第七章 随机变量及其分布全章模拟检测卷（含解析） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章　随机变量及其分布
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列随机变量X不服从超几何分布的是(　　)
A.在含有4件次品的15件产品中,任取3件,其中正品数和次品数的差为X
B.在6个黑球和3个白球中,任取4个球,其中黑球的个数为X
C.在20个乒乓球中,有12个正品和8个次品,从中任取4个,其中次品的个数为X
D.从24名男生和16名女生中,任选10名学生,其中女生的人数为X
2.已知随机变量X~B8,,则E(3X-1)=(　　)
A.11 B.12 C.18 D.36
3.已知离散型随机变量ξ的概率分布如下表,则其均值E(ξ)等于(　　)
ξ 1 3 5
P 0.5 m 0.2
A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4
4.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A里面的球的概率是(　　)
A.0.5 B.0.7 C.0.875 D.0.35
5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以3∶1战胜甲的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸到正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是(　　)
A. B. C. D.
7.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动5次后位
于点(2,3)的概率为(　　)
A. B.
C. D.
8.某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动,凡在开业当天进店的顾客,都能抽一次奖,每位进店的顾客得到一个不透明的盒子,盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个,其中红球2个,黄球3个,蓝球1个,除颜色外,小球的其他方面,诸如形状、大小、质地等完全相同,每个小球上均写有获奖内容,顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球,然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖.设X表示某顾客在一次抽奖时,从自己得到的那个盒子里取出的2个小球中红球的个数,则X的数学期望E(X)=(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X≤4)=0.8,则(　　)
A.P(X>4)=0.2 B.P(X≥0)=0.6
C.P(0≤X≤2)=0.3 D.P(0≤X≤4)=0.4
10.某市有A,B,C,D四个景点,一名游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为,游览B,C和D的概率都是,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,下列结论正确的是(　　)
A.该游客至多游览一个景点的概率为
B.P(X=2)=
C.P(X=4)=
D.E(X)=
11.下列说法中,正确的是(　　)
A.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变
C.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1≤ξ≤0)=-p
D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大
12.某工厂加工一种零件,有两种不同的工艺选择,用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位:h)均近似服从正态分布,用工艺1加工一个零件所用时间X~N(μ1,);用工艺2加工一个零件所用时间Y~N(μ2,),X,Y的分布密度曲线如图,则(　　)
A.μ1<μ2,
B.若加工时间只有a小时,应选择工艺2
C.若加工时间只有c小时,应选择工艺2
D. x0∈(b,c),P(XP(Y三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,则D(2X-3)=　　　　　.
14.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.则P(B)=　　　　　.
15.一个盒子里有1个红色、1个绿色、2个黄色,共四个球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=　　　　　;E(ξ)=　　　　　.
16.掷一个不均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为,恰好出现k次正面的概率记为Pk,则P0,P1,P2,…,P6中最大的为　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)有三个同样的箱子,甲箱中有2个红球、6个白球,乙箱中有6个红球、4个白球,丙箱中有3个红球、5个白球.
(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球,求三球都为红球的概率;
(2)从甲、乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,求该球为红球的概率.
18.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加某省举办的演讲比赛活动.
(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A).
19.(12分)甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.
20.(12分)“十一黄金周”期间三亚景区迎来了游客高峰期.游客小李从“大小洞天”景区到“天涯海角”景区有L1,L2两条路线(如图),路线L1上有A1,A2,A3三个风景点,各风景点遇到堵塞的概率均为;L2路线上有B1,B2两个风景点,各风景点遇到堵塞的概率依次为.
(1)若走L1路线,求最多遇到1次堵塞的概率;
(2)按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的旅游路线,并说明理由.
21.(12分)某商场举办了一场“双人对战”游戏,游戏规则如下:参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球(这5个球的大小、质量均相同,仅颜色不同)的盒子中轮流不放回地摸出1球,摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束,得到最后1个黑球的一方获胜.设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X.
(1)求随机变量X的分布列;
(2)求先摸球的一方获胜的概率,并判断这场游戏是否公平.
22.(12分)一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从抽取的成绩在区间[50,60)内和区间[90,100]上的学生中,随机选择三名学生进行进一步调查分析,记X为这三名学生中成绩在区间[50,60)内的人数,求X的分布列及均值E(X).
(2)①求该年级全体学生的平均成绩与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(精确到1)
②如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ分别近似为①中的,s,那么从该年级所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间[62,95]上的概率.(精确到0.01)
附:≈5.385.
参考答案
1.A　对于A,总体分为明确的两类,但A中的随机变量X不是抽取样本中一类元素的个数,∴A不服从超几何分布,其余各项服从超几何分布.故选A.
2.A　∵随机变量X~B,∴E(X)=8=4,
∴E(3X-1)=3E(X)-1=3×4-1=11.故选A.
3.D　依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,
故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.
故选D.
4.C　设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=,P(A)=,故P(B|A)==0.875.
故选C.
5.B　由题意知,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率P=故选B.
6.D　记“第一次摸到正品”为事件A,“第二次摸到正品”为事件B,则P(A)=,P(AB)=
故P(B|A)=
7.B　依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P=
8.C　由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
∴E(X)=0+1+2
9.AC　∵P(X≤4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.
∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.
∴P(0≤X≤4)=P(X≤4)-P(X<0)=0.6,
P(X≥0)=1-P(X<0)=0.8,
∴P(0≤X≤2)=P(0≤X≤4)=0.3.
10.ABD
11.BCD　对于A,因为X~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1-p)=20,所以p=,故A错误;
易知B正确;
对于C,因为ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0≤ξ≤1)=-p,所以P(-1≤ξ≤0)=-p,故C正确;
对于D,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),令0.8k0.210-k0.8k+10.29-k,且0.8k0.210-k0.8k-10.211-k,解得k,又k∈Z,故k=8,故当X=8时概率最大,故D正确.
12.AC　对于A,根据正态曲线的性质且结合两曲线,则μ1<μ2,,故A正确;
对于B,加工时间为a小时,P(X≤a)=,而P(Y≤a)<,即P(X≤a)>P(Y≤a),故选工艺1,故B错误;
对于C,加工时间为c小时,P(X≤c)=1-P(X>c),而P(Y≤c)=1-P(Y>c),∵P(X>c)>P(Y>c),故P(X≤c)对于D,结合C选项及密度曲线综合分析, x0∈(b,c),P(X13.4　由随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,
解得p=,则D(X)=4=1,
故D(2X-3)=4D(X)=4.
14　由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,且A1∪A2∪A3=Ω,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=
15　1　依题意,ξ的取值可能为0,1,2,
则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=1-,
故E(ξ)=0+1+2=1.
16.P4　由n次独立重复试验的概率计算公式可知,Pk=,根据二项分布概率公式,可得P0=,P1=,P2=,P3=,P4=,P5=,P6=,
故P0,P1,P2,…,P6中最大的为P4.
17.解(1)根据题意,记事件A1:从甲箱中取一球为红球,事件A2:从乙箱中取一球为红球,事件A3:从丙箱中取一球为红球,记事件B:取得的三球都为红球,且事件A1,A2,A3相互独立,所以P(B)=P(A1)P(A2)P(A3)=,所以三球都为红球的概率为
(2)记事件C:该球为红球,事件D1:取甲箱,事件D2:取乙箱,事件D3:取丙箱.
因为P(C|D1)=,P(C|D2)=,P(C|D3)=,
所以P(C)=P(D1)P(C|D1)+P(D2)P(C|D2)+P(D3)P(C|D3)=,
所以该球为红球的概率为
18.解(1)由题知,X的所有可能取值为0,1,2,依题意得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=
∴X的分布列如表所示.
X 0 1 2
P
(2)设“甲、乙都未被选中”为事件C,
则P(C)=
∴所求概率为P()=1-P(C)=1-
(3)P(B)=;P(B|A)=
19.解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,
则P(A)=,
故甲获得这次比赛胜利的概率为
(2)依题意,X的可能取值为2,3,4,
则P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=1=
故X的分布列为
X 2 3 4
P
E(X)=2+3+4
20.解(1)设走L1路线最多遇到1次堵塞为A事件,则P(A)=)3+)2=,所以走L1路线最多遇到1次堵塞的概率为
(2)设选择L2路线遇到堵塞的次数为X,
则X的可能取值为0,1,2,则
P(X=0)=(1-)×(1-)=,
P(X=1)=(1-)+(1-,
P(X=2)=
故随机变量X的期望为E(X)=0+1+2=
设选择L1路线遇到堵塞的次数为Y,随机变量Y服从二项分布,Y~B(3,),
所以E(Y)=3=2.
因为E(X)21.解(1)由题可得X的所有可能取值为2,3,4,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)=,
∴X的分布列为
X 2 3 4
P
(2)先摸球的一方获胜,包含以下几种情况:
双方共摸3次球,出现白黑黑,黑白黑,白白白这三种情况,即P(X=3)=,双方共摸4次球,出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形,概率为P=,∴先摸球一方获胜的概率为,∴这场游戏不公平.
22.解(1)由频率分布直方图,可知40名学生中成绩在区间[50,60)内和区间[90,100]上的人数均为4.
X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0+1+2+3=1.5.
(2)=55×0.1+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.1=73,
s=
==211.
②由①,可知成绩在区间[62,95]上的概率约为0.954 5+0.682 7=0.818 6,记“三名学生中恰有两名学生的成绩在区间[62,95]上”为事件A,则P(A)=0.818 62×(1-0.818 6)≈0.36.