2026中考数学二轮复习考点锐角三角函数专项训练（含解析）

2026年中考数学解密之锐角三角函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　）
A．米 B．米
C．120tan10°米 D．120sin10°米
2．（2025 台江区校级模拟）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置OA1释放到OA处时，两次位置的高度差PA＝h．则秋千绳索OA的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 南关区校级二模）如图，已知钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（　　）米．
A．m sin20° B．m sin40° C．2m cos20° D．2m sin20°
4．（2025 江岸区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝60°，，则AC的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
5．（2025 凉州区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝67.5°，则tanB等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 南岗区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 遵义模拟）如图，△ABC的顶点在正方形网格的交点上，则tanC的值为（　　）
A．1 B． C． D．
8．（2025 南关区校级模拟）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　）
A．50tanαm B． C．50sinαm D．
9．（2025 港北区三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．155° B．125° C．115° D．65°
10．（2025 沅江市模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，分别以AC为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于PQ两点，连接PQ交AC于点D，连接BD，E为AC延长线上一点，连接EB，∠EBD＝60°．M为BC上的点，连接EM，那么的最小值是（　　）
A． B． C． D．5
二．填空题（共10小题）
11．（2025 宁夏一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 　 　 米（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
12．（2025 徐汇区模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么sinC的值是 　 　 ．
13．（2025 旌阳区二模）如图，在坡度为1：的斜坡CB上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为20米，则大树AB的高为　 　 米．
14．（2025 南关区校级模拟）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为i＝1：m，则m＝　 　 ．
15．（2025 湖北模拟）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算AB的距离，他在点B处测得A处的俯角为30°，则AB＝　 　 m．
16．（2025 武汉模拟）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°．（AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物CD的高为　 　 米．
17．（2025 东坡区校级模拟）如图，在坡度为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC的长为18m，则大树AB的高为 　 　 m．
18．（2025 盐山县校级模拟）如图是一个港湾，A是码头，OA，OD是笔直的海岸，B是海岛，D在点O的正东方向上，点A在点O北偏东25°的方向上，点B在点O北偏东65°的方向上，OA＝3km，点O与点B的距离为4km．现有一艘货船按计划从码头A出发后，先停靠OD海岸上任意点C处装货后再开往海岛B，则按此计划，货船行驶的水路最短为 　 　 km．
19．（2025 安州区模拟）如图，小刚准备运用锐角三角函数的相关知识测量电线杆AB的高度，他将测角仪放在与电线杆的水平距离为9m的C处．若测角仪CD的高度为1.8m，在D处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为　 　 m（计算结果精确到0.1m，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
20．（2025 恩施市二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处的距离是 　 　 海里．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
三．解答题（共5小题）
21．（2025 晋中二模）研学实践：在“传承红色文化，弘扬革命精神”的主题研学实践活动中，某中学数学社团的师生们怀着崇敬的心情，专程前往山西省阳泉市狮脑山的百团大战纪念馆开展实地研学，在参观结束后，同学们利用测量工具测量了百团大战纪念碑的相关数据．
数据采集：在阳光下，小华在纪念碑的影子顶端C处竖立一根标杆CD，CD的影长CE＝3m，标杆CD＝2m，然后在纪念碑影子上的F处安装测倾器FG，测得纪念碑顶端A的仰角为42°，量得FG＝1m，CF＝17m．
数据应用：已知图中各点在同一竖直平面内，点B，F，C，E在同一水平直线上．请根据上述数据，计算百团大战纪念碑顶部点A到地面的距离AB．（结果精确到1m；参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
22．（2025 南雄市校级模拟）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，1.73）
23．（2025 石家庄模拟）2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40cm，OB＝30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度为12cm（即BD的长度）．
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm．问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，）
24．（2025 阳泉模拟）毛主席有诗云“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”．这是因为地球围绕地轴自转时，除两个极点以外，每个在地球表面静止的物体相对于地轴来说都是运动的．地球赤道的全长为40076千米（1千米＝2里），这就是诗句中“坐地日行八万里”所指的意思．小聪同学计划计算一下我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米，于是他进行了如下数学实践，请阅读并回答问题．
实践名称 坐地日行几万里
实践目的 计算我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米
方案设计 ①如图，⊙O为地球截面示意图，SN为地轴，CD为赤道所在平面，地球的平均半径约为6371千米，即OA＝OB＝6371km．点B是北回归线（北纬23.5°）上一点，即∠BOC＝23.5°； ②太阳光线可近似地看作平行线，即AE∥BF； ③l1，l2分别为A、B两点的地平面，即l1，l2为⊙O的切线，切点分别是A、B； ④太阳高度角：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，如∠1，∠2； ⑤夏至口正午时，太阳光直射北回归线，即点O，B，F三点共线，∠2＝90°； ⑥夏至日正午时分小聪在漠河某地（点A），他利用阳光下的影长测量出当时的太阳高度角∠1＝63.5°．
… …
任务：
（1）求出点A的纬度．
（2）结合小聪的方案，计算漠河某地（点A）每日绕地轴旋转大约多少千米．（结果保留π．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
25．（2025 湖北三模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其形状如图所示：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°°≈0.93，tan21.8°≈0.40．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段BC的长度；
（2）求底座的底面ABCD的面积．
2026年中考数学解密之锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D D D A B B C B
一．选择题（共10小题）
1．（2025 镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　）
A．米 B．米
C．120tan10°米 D．120sin10°米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：由题意可知：在Rt△ABC中，AB＝120米，∠A＝10°，
∵sinA，
∴BC＝AB sinA＝120sin10°（米），
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．（2025 台江区校级模拟）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置OA1释放到OA处时，两次位置的高度差PA＝h．则秋千绳索OA的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用．网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】由题意可知，OA＝OA1，再根据余弦的定义求解即可．
【解答】解：由题意可知，OA＝OA1，
∵cosα，
∴OA1，
又∵OP＝OA﹣PA＝OA1﹣PA＝OA1﹣h，
∴OA，
∴OA＝OA1，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟记三角形函数的定义是解题的关键．
3．（2025 南关区校级二模）如图，已知钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（　　）米．
A．m sin20° B．m sin40° C．2m cos20° D．2m sin20°
【考点】解直角三角形的应用．网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】过点O作 OD⊥AB于点D．因为OA＝OB，推出，．在Rt△AOD中，，推出AD＝OA sin∠AOD＝m sin20°（米）．则AB＝2AD＝2m sin20°（米）．
【解答】解：过点O作 OD⊥AB于点D．
∵OA＝OB，
∴，．
在Rt△AOD中，，
∴AD＝OA sin∠AOD＝m sin20°（米）．
∴AB＝2AD＝2m sin20°（米）．
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识．
4．（2025 江岸区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝60°，，则AC的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【考点】解直角三角形．网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】过点A作BC的垂线，先利用∠B的正弦，求出垂线段的长，再结合∠C的正弦即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB．
∵∠B＝60°，AB＝4，
∴，
则AM．
在Rt△ACM中，
sinC，
∴，
∴AC．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．
5．（2025 凉州区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝67.5°，则tanB等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．网版权所有
【专题】推理能力．
【答案】D
【分析】先求出∠B＝22.5°，在BC上取点D，使得AD＝BD，得到∠B＝∠BAD＝22.5°，利用三角形外角的性质得到∠ADC＝45°，证明△ACD是等腰直角三角形，设AC＝CD＝x，求出，则，然后根据正切的定义求解即可．
【解答】解：在BC上取点D，使得AD＝BD，
∵∠C＝90°，∠A＝67.5°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝22.5°+22.5°＝45°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
设AC＝CD＝x，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．
6．（2025 南岗区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】互余两角三角函数的关系．网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据正弦和余弦的定义即可得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，，
∴，
故cosA的值为．
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键．
7．（2025 遵义模拟）如图，△ABC的顶点在正方形网格的交点上，则tanC的值为（　　）
A．1 B． C． D．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝6，
∴tanC，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（2025 南关区校级模拟）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　）
A．50tanαm B． C．50sinαm D．
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【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】在Rt△ABC中，根据正切的定义求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝α，AC＝50m，
由三角函数可得：．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是根据正切的定义求解．
9．（2025 港北区三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．155° B．125° C．115° D．65°
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意结合图形可知β是重力G与斜面形成的三角形的外角，从而可求得β的度数．
【解答】解：∵重力G的方向竖直向下，
∴重力G与水平方向夹角为90°，
由题意可得：
∴β＝∠1＝α+90°＝115°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，正确进行计算是解题关键．
10．（2025 沅江市模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，分别以AC为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于PQ两点，连接PQ交AC于点D，连接BD，E为AC延长线上一点，连接EB，∠EBD＝60°．M为BC上的点，连接EM，那么的最小值是（　　）
A． B． C． D．5
【考点】解直角三角形；垂线段最短；线段垂直平分线的性质；勾股定理．网版权所有
【专题】数形结合；运算能力．
【答案】B
【分析】过点M作MF⊥DB，可得，则可得的最小值为点E到BD的垂线段的长度，根据所给条件分别表示出EF的长度，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点M作MF⊥DB，
，
由题意可得QD为AC的垂直平分线，
∴DC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当E，M，F三点共线时，最小，为点E到BD的垂线段的长度，
如图，
，
设BF＝x，则DF＝5﹣x，
∵∠EBF＝60°，
∴，
∵，
∴EF＝10﹣2x，
∴，
解得：，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的相关知识．判断出的最小值是点E到BD的垂线段的长度是解决本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 宁夏一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 　73.5　 米（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝30米，在Rt△ADB中和Rt△ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得，∠CAD＝37°，∠BAD＝60°，AD＝30米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，tan∠CAD，
∴CD＝AD tan37°≈30×0.75＝22.5（米），
在Rt△ADB中，tan∠BAD，
∴BD＝AD tan60°＝3030，
∴BC＝BD+CD＝22.5+3073.5（米），
即这栋楼的高度BC是73.5米．
故答案为：73.5．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
12．（2025 徐汇区模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么sinC的值是 　　 ．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】过点A作BC的垂线，结合面积法及正弦的定义即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
令小正方形网格的边长为a，
则由勾股定理得，
BC，
AC．
由面积法可知，
，
所以AM．
在Rt△ACM中，
sinC．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，巧用面积法就熟知正弦的定义是解题的关键．
13．（2025 旌阳区二模）如图，在坡度为1：的斜坡CB上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为20米，则大树AB的高为　（）　 米．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（）．
【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，根据题意可得：∠ACD＝45°，再根据已知易得在Rt△CBD中，tan∠BCD，从而可得∠BCD＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性质求出BD和CD的长，最后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
由题意得：∠ACD＝45°，
∵斜坡CB的坡度为1：，
∴，
在Rt△CBD中，tan∠BCD，
∴∠BCD＝30°，
∵BC＝20米，
∴BDBC＝10（米），CDBD＝10（米），
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD tan45°＝10（米），
∴AB＝AD﹣BD＝（1010）米，
故答案为：（）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（2025 南关区校级模拟）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为i＝1：m，则m＝　　 ．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．
【解答】解：∵某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，
∴，
∴斜面AB的坡度为2：3＝1：m，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
15．（2025 湖北模拟）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算AB的距离，他在点B处测得A处的俯角为30°，则AB＝　100　 m．
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【答案】见试题解答内容
【分析】根据由等高线可知A、B两地的高度差为50米，然后点B处测得A处的俯角为30°求值即可．
【解答】解：作示意图如下：
由题意知：A、B两地的实际高度差为AH：550﹣500＝50（m），∠B＝30°，∠AHB＝90°，
∴sinB，即sin30°，
解得：AB＝100，
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是根据题意，作出直角三角形解决问题．
16．（2025 武汉模拟）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°．（AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物CD的高为　15　 米．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】15．
【分析】作AE⊥CD于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，在Rt△ACE中，用CD表示AE，再利用AE＝BD列方程即可求出CD．
【解答】解：如图，作AE⊥CD于点E，
四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD，
在Rt△BCD中，，
在Rt△ACE中，AE（CD﹣10），
∴（CD﹣10）CD，
解得CD＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．（2025 东坡区校级模拟）如图，在坡度为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC的长为18m，则大树AB的高为 　（99）　 m．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系计算AB、BD的长即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则∠ACD＝45°，
∵斜坡BC的坡比为1：，即tan∠BCD，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝18m，
∴CD18＝9（m），BDBC＝9（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD＝9m，
∴AB＝AD﹣BD
＝（99）m，
故答案为：（99）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．
18．（2025 盐山县校级模拟）如图是一个港湾，A是码头，OA，OD是笔直的海岸，B是海岛，D在点O的正东方向上，点A在点O北偏东25°的方向上，点B在点O北偏东65°的方向上，OA＝3km，点O与点B的距离为4km．现有一艘货船按计划从码头A出发后，先停靠OD海岸上任意点C处装货后再开往海岛B，则按此计划，货船行驶的水路最短为 　5　 km．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】作点A关于直线OD的对称点A′，连接AA′，OA′，由题意得到当A′、C、B三点共线时，路线最短，即可得到答案．
【解答】解：作点A关于直线OD的对称点A′，连接AA′，OA′，连接A′B交直线OD于点C，连接AC，
∴OA＝OA′，
则AC＝A′C，∠AOD＝∠A′OD，
∴A′C+BC≥A′B，
即AC+BC≥A′B，
仅当A′、C、B三点共线时，路线最短，
∵∠AOD＝90°﹣25°＝65°，
∴∠A′OD＝65°，
∠BOD＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BOA′＝65°+25°＝90°，
则OA′＝OA＝3km，OB＝4km，
∴．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握线段最短来解题是解题的关键．
19．（2025 安州区模拟）如图，小刚准备运用锐角三角函数的相关知识测量电线杆AB的高度，他将测角仪放在与电线杆的水平距离为9m的C处．若测角仪CD的高度为1.8m，在D处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为　8.4　 m（计算结果精确到0.1m，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
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【答案】8.4．
【分析】作DE⊥AB于点E，推出四边形BCDE是矩形，得到BE＝CD＝1.8m，DE＝BC＝9m，∠AED＝90°，继而得到，求出AE＝9×0.73＝6.57m，得到AB＝AE+BE＝8.37≈8.4m，即可得到答案．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝1.8m，DE＝BC＝9m，∠AED＝90°，
∵∠ADE＝36°，
由三角函数可知，，
∴AE＝DE tan∠ADE＝9×0.73＝6.57m，
∴AB＝AE+BE＝6.57+1.8＝8.37≈8.4（m），
故答案为：8.4．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，正确添加辅助线是解题的关键．
20．（2025 恩施市二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处的距离是 　140　 海里．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
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【答案】140．
【分析】如图：过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中解直角三角形可得PC＝60、AC＝80，再在Rt△PBC中可得BC＝PC＝60，然后根据线段的和差即可解答．
【解答】解：如图：过P作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，∠A＝37°，AP＝100海里，
∴P C＝A P sin A≈100×0.6＝60（海里），AC＝AP cos37°≈100×0.8＝80（海里），
在Rt△PBC中，∠B＝45°，
∴BC＝PC＝60海里，
∴AB＝AC+BC＝80+60＝140（海里）．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 晋中二模）研学实践：在“传承红色文化，弘扬革命精神”的主题研学实践活动中，某中学数学社团的师生们怀着崇敬的心情，专程前往山西省阳泉市狮脑山的百团大战纪念馆开展实地研学，在参观结束后，同学们利用测量工具测量了百团大战纪念碑的相关数据．
数据采集：在阳光下，小华在纪念碑的影子顶端C处竖立一根标杆CD，CD的影长CE＝3m，标杆CD＝2m，然后在纪念碑影子上的F处安装测倾器FG，测得纪念碑顶端A的仰角为42°，量得FG＝1m，CF＝17m．
数据应用：已知图中各点在同一竖直平面内，点B，F，C，E在同一水平直线上．请根据上述数据，计算百团大战纪念碑顶部点A到地面的距离AB．（结果精确到1m；参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
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【答案】点A到地面的距离AB约为41m．
【分析】过点G作GH⊥AB于点H，根据矩形的性质得FB＝GH、BH＝FG＝1，利用，设AH＝9x、GH＝10x，先证得△ABC∽△DCE，可得，把各个值代入得，解方程，通过AB＝9x+1即可求解．
【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H，
由题意得：四边形GFBH是矩形，
∴FB＝GH，BH＝FG＝1．
在Rt△AGH，∠AHG＝90°，∠AGH＝42°，
∴，
∴，
设AH＝9xm，GH＝10xm，
∴FB＝GH＝10xm，AB＝AH+BH＝（9x+1）m，BC＝FB+CF＝（10x+17）m，
由题意得：AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵AB⊥BC，DC⊥CE，
∴∠ABC＝∠DCE＝90°．
∴△ABC∽△DCE，
∴，
∴，
∴解得：x≈4.4．
∴AB＝9x+1＝9×4.4+1≈41（m）．
答：点A到地面的距离AB约为41m．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
22．（2025 南雄市校级模拟）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，1.73）
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【答案】见试题解答内容
【分析】如图，过点A作AH⊥MN于点H，过点B作BK⊥AH于点K，延长DC交BK于点J．解直角三角形求出AK，JC可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥MN于点H，过点B作BK⊥AH于点K，延长DC交BK于点J．
∵∠CDH＝∠KHD＝∠JKH＝90°，
∴四边形DHKJ是矩形，
∴DJ＝KH，∠DJK＝∠BJC＝90°，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BCJ＝30°，∠CBJ＝60°，
∵∠ABC＝106°，
∴∠ABK＝46°，
∴CJ＝BC cos30°＝201017.3（cm），
AK＝AB sin46°＝25×0.72＝18（cm），
∴AH＝AK+KH＝AK+JC+CD＝18+17.3+6≈41（cm），
∴台灯的旋钮A到桌面MN的距离约为41cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．（2025 石家庄模拟）2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40cm，OB＝30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度为12cm（即BD的长度）．
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm．问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，）
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）68.6°；
（2）在规定范围内，理由见解析．
【分析】（1）由题意得∠ABN＝45°，再根据锐角三角函数求出∠OBD即可求解；
（2）过点C作CE⊥OD于E，解Rt△OEC和Rt△OEC求出CE、BN的长，进而求出手绢端点C与舞者距离即可判断求解．
【解答】解：（1）∵∠ANB＝90°，∠NAB＝45°，
∴∠ABN＝45°，
∴，
∴∠OBD＝66.4°，
∴∠ABO＝180°﹣45°﹣66.4°＝68.6°；
（2）在规定范围内，理
过点C作CE⊥OD于E，则∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝90°，∠OBD＝66.4°，
∴∠BOD＝90°﹣∠OBD＝90°﹣66.4°＝23.6°
∴∠COE＝90°﹣∠BOD＝90°﹣23.6°＝66.4°，
∴CE＝OC sin∠COE≈25×0.92＝23cm，
∵∠NAB＝45°，AB＝40cm，
∴，
∴此时手绢端点C与舞者距离为100﹣（28.28+12+23）≈36.7cm，
∵安全距离范围为30 40cm，
∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（2025 阳泉模拟）毛主席有诗云“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”．这是因为地球围绕地轴自转时，除两个极点以外，每个在地球表面静止的物体相对于地轴来说都是运动的．地球赤道的全长为40076千米（1千米＝2里），这就是诗句中“坐地日行八万里”所指的意思．小聪同学计划计算一下我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米，于是他进行了如下数学实践，请阅读并回答问题．
实践名称 坐地日行几万里
实践目的 计算我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米
方案设计 ①如图，⊙O为地球截面示意图，SN为地轴，CD为赤道所在平面，地球的平均半径约为6371千米，即OA＝OB＝6371km．点B是北回归线（北纬23.5°）上一点，即∠BOC＝23.5°； ②太阳光线可近似地看作平行线，即AE∥BF； ③l1，l2分别为A、B两点的地平面，即l1，l2为⊙O的切线，切点分别是A、B； ④太阳高度角：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，如∠1，∠2； ⑤夏至口正午时，太阳光直射北回归线，即点O，B，F三点共线，∠2＝90°； ⑥夏至日正午时分小聪在漠河某地（点A），他利用阳光下的影长测量出当时的太阳高度角∠1＝63.5°．
… …
任务：
（1）求出点A的纬度．
（2）结合小聪的方案，计算漠河某地（点A）每日绕地轴旋转大约多少千米．（结果保留π．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
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【专题】线段、角、相交线与平行线；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识．
【答案】（1）北纬50°；
（2）大约8154.88π千米．
【分析】（1）利用平行线的性质得出∠OAE+∠AOB＝180°，再根据切线的性质得到OA⊥l1，得出∠OAE＝153.5°，进而得出∠AOC的度数，即可得出答案；
（2）过点A作AG⊥SN于点G，在Rt△AOG中利用正弦的定义求出AG的长，再利用圆的周长公式即可求解．
【解答】（1）解：∵AE∥BF，点O，B，F三点共线，
∴AE∥OF，
∴∠OAE+∠AOB＝180°，
∵l1为⊙O的切线，
∴OA⊥l1，
∵∠1＝63.5°，
∴∠OAE＝90°+∠1＝153.5°，
∴∠AOF＝180°﹣153.5°＝26.5°，
∴∠AOC＝∠AOF+∠BOC＝26.5°+23.5°＝50°，
∴点A的纬度为北纬50°．
（2）解：如图，过点A作AG⊥SN于点G，则∠AGO＝90°，
∵NS⊥DC，∠AOC＝50°，
∴∠AOG＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AOG中，
∵，
∴AG＝OA sin∠AOG＝6371sin40°≈6371×0.64＝4077.44（km），
∴点A每日绕地轴旋转大约2π×4077.44＝8154.88π千米，
答：漠河某地（点A）每日绕地轴旋转大约8154.88π千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、切线的性质、平行线的性质，理解题意是解题的关键．
25．（2025 湖北三模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其形状如图所示：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°°≈0.93，tan21.8°≈0.40．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段BC的长度；
（2）求底座的底面ABCD的面积．
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【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）3米；
（2）18平方米．
【分析】（1）根据题意得，即可确定CE长度，再由∠BFG＝45°得出BE＝EF＝4米，即可求解；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，继续利用正切函数确定AB＝ME＝6米，即可求解面积．
【解答】解：（1）由三角函数可得：（米），
∴CE＝7米；
∵∠BFG＝45°，
∴BE＝EF＝4米，
∴CB＝CE﹣BE＝3米；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示：
由三角函数可得，，
∵AM＝BE＝4米，
∴MF＝10米，
∴AB＝ME＝10﹣4＝6米，
∴底座的底面ABCD的面积为：3×6＝18平方米．
【点评】此题主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．