2026中考数学二轮复习考点投影与视图专项训练（含解析）

2026年中考数学解密之投影与视图
一．选择题（共10小题）
1．（2025 绥化二模）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2025 河西区二模）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 杭州模拟）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 石家庄模拟）如图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 沭阳县校级二模）用11个完全相同的正方体堆积成如图的几何体，从①②③④四个正方体中拿走一个之后所形成的几何体与原几何体相比，俯视图发生变化的是（　　）
A．拿走① B．拿走② C．拿走③ D．拿走④
6．（2025 滨海新区校级三模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2025 澄迈县校级模拟）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025 海南二模）如图是由5个形状大小完全相同的小正方体搭成的一个几何体，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025 海南模拟）如图是由5个棱长为1的小正方体组合而成的几何体，则该几何体俯视图的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2025 辽阳一模）我国古代诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 甘州区一模）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是 　 　 ．
12．（2025 凉州区校级一模）如图，正方形ABDC的边长是5cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是 　 　 ．
13．（2025 工业园区校级二模）一个圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是 　 　 ．
14．（2025 罗庄区二模）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为 　 　 ．
15．（2025 凉州区校级二模）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积为　 　 ．
16．（2025 德州模拟）如图是将五本同规格的书放入一层书架后的主视图，已知四本书摆放整齐，一本书侧倒，书的厚度为5cm，高度为20cm，现测得AB的长为12cm，若将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为3cm的书 　 　 本．
17．（2025 永寿县校级模拟）九连环作为一种中国传统民间玩具，是由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成，其俯视图可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环，如图所示，若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为a，一个圆环的直径为b，则整个九连环的宽度可以表示为　 　 （用含a，b的代数式表示）．
18．（2025 泰兴市校级三模）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（如图1所示）是司机视线的盲区．卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区，为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线．如图2是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径O1A＝O1D＝10m，前内轮转弯半径O2B＝O2C＝4m，圆心角∠DO1A＝∠CO2B＝90°，则此“右转危险区”的面积为　 　 m2．
19．（2025 福田区模拟）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB＝0.3（dm），点光源到胶片的距离OE长为6（dm），CD长为4.3（dm），则胶片与屏幕的距离EF为　 　 dm．
20．（2025 邹城市一模）某款手机支架的左视图如图所示，已知∠A＝60°，∠B＝60°，DE⊥AD，FE⊥BC，则∠DEF＝ 　 　 °．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 博山区二模）如图是由若干棱长为2cm的小正方体搭成的几何体．
（1）请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形；
（2）求这个几何体的表面积（含底面）；
（3）若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加多少块小立方块．
22．（2025 二道区校级四模）如图为某区域的俯视图，正方形代表建筑，空白部分代表道路，小明从A路口出发，完全随机的在“北”（图中的上）、“南”（图中的下）、“西”（图中的左）、“东”（图中的右）四个方向中选择一个并移动，到达其他路口后，在不折返的前提下，在其他三个方向中完全随机的选择一个并移动．求小明从A路口出发后（不算A路口）经过的第二个路口为C路口的概率．
23．（2025 连城县模拟）综合与实践
问题情境 学校准备在一面高2m、宽4m的墙上建一扇拱形门，这面墙的主视图为矩形ABCD，如图1．老师让同学们帮忙设计，要求既美观大方，又尽可能地容易通过．
方案设计 A小组设计的是半圆形拱门，如图2，以AB为直径的半圆O与矩形ABCD三边都相切．
B小组设计的是抛物线形拱门，如图3，抛物线的顶点P在墙的上沿CD的中点处，且抛物线过点A和点B．
提出问题 A，B两小组设计的拱门哪个“通过性”更好呢？
分析问题 老师建议同学们分别计算它们的“内接正方形”（正方形的两个顶点在线段AB上，两个顶点在半圆或抛物线上）面积的大小，通过比较两种设计方案的“内接正方形”的面积，判断它们的“通过性”．
解决问题 请你先分别画出两种方案的“内接正方形”的示意图，然后分别计算它们的面积，并利用计算结果说明哪个方案的拱门“通过性”更好．（）
24．（2025 永寿县校级模拟）春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意．一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度AB＝2m，顶部高度MN＝1.2m，现以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A且平行于MN的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求该帐篷支架对应的抛物线的表达式；
（2）如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度EC＝0.9m，宽度CD＝0.3m，若在该帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？
25．（2025 南京模拟）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化
南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动．
任务1 平面图形的探究
南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为36平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格：
长（分米） 36 18 12 9 6
宽（分米） 1 2 3 4 5
周长（分米） 74 40 30 26 24
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，　 　 时周长最小．
为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为n2（n＞0），设两邻边长分别为n﹣s和n+t（s，t均为非负数），则（n﹣s）（n+t）＝n2，经化简可得，请表示出周长并补全后续的证明过程．
任务2 立体图形的包装改进
厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判断并说明理由．（取3.14，结果精确到0.1平方厘米）
2026年中考数学解密之投影与视图
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C D D B C B D
一．选择题（共10小题）
1．（2025 绥化二模）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】由三视图判断几何体．网版权所有
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】A
【分析】根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，3列，先看第一层正方体可能的最少个数，再看第二层正方体的可能的最少个数，相加即可．
【解答】解：根据主视图和左视图可得：
这个几何体有2层，3列，最底层最少有3小个正方体，第二层有1个正方体，
所以搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是3+1＝4．
故选：A．
【点评】此题考查了有三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列数．
2．（2025 河西区二模）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可．
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
3．（2025 杭州模拟）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据从上面看到的图形即可判断求解．
【解答】解：正方体搭成的几何体的俯视图是．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键．
4．（2025 石家庄模拟）如图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看时，可得选项C的图形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．（2025 沭阳县校级二模）用11个完全相同的正方体堆积成如图的几何体，从①②③④四个正方体中拿走一个之后所形成的几何体与原几何体相比，俯视图发生变化的是（　　）
A．拿走① B．拿走② C．拿走③ D．拿走④
【考点】简单组合体的三视图．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】根据用上面看到图形的变化解题即可．
【解答】解：由图可知：拿走④俯视图发生变化，
故选：D．
【点评】本题考查三视图，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2025 滨海新区校级三模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单组合体的三视图．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：根据题意可知，立体图形的主视图为：第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是关键．
7．（2025 澄迈县校级模拟）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左往右看，得到从左往右2列正方形的个数依次为1，2．如下．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图是关键．
8．（2025 海南二模）如图是由5个形状大小完全相同的小正方体搭成的一个几何体，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行判断即可．
【解答】解：俯视图是：．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图，掌握几何体的空间结构是关键．
9．（2025 海南模拟）如图是由5个棱长为1的小正方体组合而成的几何体，则该几何体俯视图的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】简单组合体的三视图．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据几何体可知该俯视图一共有4个正方形，据此求解即可．
【解答】解：俯视图如下：
∴该几何体俯视图的面积是4×1×1＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了求几何体俯视图的面积，熟练掌握该知识点是关键．
10．（2025 辽阳一模）我国古代诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可．
【解答】解：部件“榫”的实物图的俯视图是：
．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 甘州区一模）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是 　11πcm ．
【考点】由三视图判断几何体；切线的性质；弧长的计算．网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】11πcm．
【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．∠P＝40°可以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣140°＝220°，
∴优弧AMB的长是：11π（cm），
故答案为：11πcm．
【点评】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧AMB的度数．
12．（2025 凉州区校级一模）如图，正方形ABDC的边长是5cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是 　50cm2 ．
【考点】简单几何体的三视图；点、线、面、体．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】50cm2．
【分析】根据题意可知，左视图是一个长方形，即可得到面积．
【解答】解：根据题意可知，正方形旋转一周，所得几何体的左视图是一个以直径作为长，半径为宽的长方形，
∴几何体的左视图的面积为：5×2×5＝50．
故答案为：50cm2．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，点、线、面、体，掌握几何体的空间结构是解题的关键．
13．（2025 工业园区校级二模）一个圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是 　18π　 ．
【考点】由三视图判断几何体；圆锥的计算．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念；运算能力．
【答案】18π．
【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，
所以这个圆锥的侧面积6×2π×3＝18π．
故答案为：18π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（2025 罗庄区二模）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为 　　 ．
【考点】由三视图判断几何体；弧长的计算．网版权所有
【专题】投影与视图；应用意识．
【答案】．
【分析】先根据题意得出点P是AB的中点，再根据垂径定理的推论得出OP⊥AB，结合已知条件得出∠AOP的度数，于是得出∠AOB，根据弧长公式计算出弧AB，弧BCA，即可求出阴影部分的周长．
【解答】解：如图，连接AB，OA，OB，OP，
，
∵A，P，B三点在同一直线上，
∴AB经过点P，
由题意得AB为半圆的直径，，OA＝OB＝20cm，
∴OP⊥AB，
在Rt△OAP中，，
∴∠AOP＝45°，
∵OA＝OB，OP⊥AB，
∴∠BOP＝∠AOP＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴，，
∴阴影部分的周长，
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算，垂径定理的推论，熟记弧长公式是解题的关键．
15．（2025 凉州区校级二模）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积为　375　 ．
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【专题】三角形；投影与视图；运算能力．
【答案】375．
【分析】△ABC与△A1B1C1是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【解答】解：∵OB：BB1＝2：3，
∴OB：OB1＝2：5，
∴△ABC与△A1B1C1的位似比为2：5，
∴，
∴，
故答案为：375．
【点评】本题考查平行投影，熟练掌握该知识点是关键．
16．（2025 德州模拟）如图是将五本同规格的书放入一层书架后的主视图，已知四本书摆放整齐，一本书侧倒，书的厚度为5cm，高度为20cm，现测得AB的长为12cm，若将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为3cm的书 　4　 本．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】4．
【分析】由勾股定理可求得BC的值，再证明△EDC∽△CBA，得到，可求出CD的值，进而可求出BD的值，进一步即可求出答案．
【解答】解：由题意可知，AB＝12cm，AC＝20cm，CE＝5cm，
由勾股定理可得：，
由条件可知∠ECD＝∠CAB，
又∵∠EDC＝∠B，
∴△EDC∽△CBA，
∴，
∴，
∴CD＝3cm，
∴BD＝BC+CD＝16+3＝19（cm），
∴（19﹣5）÷3＝4 2，
∴将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为3cm的书4本，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，
17．（2025 永寿县校级模拟）九连环作为一种中国传统民间玩具，是由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成，其俯视图可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环，如图所示，若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为a，一个圆环的直径为b，则整个九连环的宽度可以表示为　9b﹣8a （用含a，b的代数式表示）．
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【专题】规律型；整式；运算能力．
【答案】9b﹣8a．
【分析】用九个圆环的长度减去重叠的部分的长度即可．
【解答】解：整个九连环的宽度可以表示为9b﹣8a．
故答案为：9b﹣8a．
【点评】本题考查图形规律类，熟练掌握重叠后长度，重叠部分长度，并排长度的关系是解题的关键．
18．（2025 泰兴市校级三模）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（如图1所示）是司机视线的盲区．卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区，为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线．如图2是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径O1A＝O1D＝10m，前内轮转弯半径O2B＝O2C＝4m，圆心角∠DO1A＝∠CO2B＝90°，则此“右转危险区”的面积为　（84﹣21π）　 m2．
【考点】视点、视角和盲区；圆心角、弧、弦的关系．网版权所有
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【答案】（84﹣21π）．
【分析】根据“右转危险区”的周长的长+2AB的长．“右转危险区”的面积＝六边形O1DCO2BA的面积，求解即可．
【解答】解：“右转危险区”的周长的长+2AB2×（10﹣4）（7π+12）（m）．
“右转危险区”的面积＝六边形O1DCO2BA的面积102﹣42（84﹣21π）（m2）．
故答案为：（84﹣21π）．
【点评】本题考查视点，视角和盲区，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2025 福田区模拟）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB＝0.3（dm），点光源到胶片的距离OE长为6（dm），CD长为4.3（dm），则胶片与屏幕的距离EF为　80　 dm．
【考点】中心投影．网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】80．
【分析】证明△OAB∽△OCD，推出，构建方程求出EF即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∵OF⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴，
∴，
∴EF＝80（dm），
故答案为：80．
【点评】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．
20．（2025 邹城市一模）某款手机支架的左视图如图所示，已知∠A＝60°，∠B＝60°，DE⊥AD，FE⊥BC，则∠DEF＝ 　120　 °．
【考点】由三视图判断几何体；垂线．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；投影与视图；运算能力．
【答案】120．
【分析】过点D作DG∥BC，交AB于点G，设直线EF与DG交于点H，根据平行线的性质得∠AGD＝∠B＝60°，所以∠ADG＝60°，根据垂直的定义得∠ADE＝90°，可得∠EDH＝30°，再根据角的计算即可得出答案．
【解答】解：如图，过点D作DG∥BC，交AB于点G，设直线EF与DG交于点H，
则∠AGD＝∠B＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ADG＝60°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠EDH＝30°，
∵FE⊥BC，
∴FE⊥DH，
∴∠DHE＝90°，
∴∠DEH＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，垂线，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 博山区二模）如图是由若干棱长为2cm的小正方体搭成的几何体．
（1）请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形；
（2）求这个几何体的表面积（含底面）；
（3）若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加多少块小立方块．
【考点】作图﹣三视图；几何体的表面积；简单组合体的三视图．网版权所有
【专题】作图题；投影与视图；几何直观．
【答案】（1）画图见解析；
（2）168cm2；
（3）5块．
【分析】（1）根据几何体画图即可；
（2）分别数出每个面正方形的个数，再乘以正方形的面积即可；
（3）由图可得，要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第2列第2行最多可增加2块小正方体，第3列第1行最多可增加1块小正方体，第4列第2行最多可增加2个块正方体，据此即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）几何体的表面积为（2×2×7+2×2×7+2×2×7）×2＝168cm2；
（3）从左到右第2列第2行最多可增加2块小正方体，第3列第1行最多可增加1块小正方体，第4列第2行最多可增加2个块正方体，
∴最多可以添加2+1+2＝5块小立方块．
【点评】本题考查了作图﹣三视图，从不同方向看几何体，求几何体的表面积，正确识图是解题的关键．
22．（2025 二道区校级四模）如图为某区域的俯视图，正方形代表建筑，空白部分代表道路，小明从A路口出发，完全随机的在“北”（图中的上）、“南”（图中的下）、“西”（图中的左）、“东”（图中的右）四个方向中选择一个并移动，到达其他路口后，在不折返的前提下，在其他三个方向中完全随机的选择一个并移动．求小明从A路口出发后（不算A路口）经过的第二个路口为C路口的概率．
【考点】由三视图判断几何体；列表法与树状图法．网版权所有
【专题】计算题；几何直观．
【答案】．
【分析】通过分析小明从 A 路口出发的所有可能路径，找出经过的第二个路口为 C 路口的情况，再根据概率的定义计算概率．
【解答】解：小明从 A 路口出发，有 4 个方向可以选择，即北、南、西、东．分别分析第一次移动到不同方向后第二次移动到 C 路口的情况，
若第一次向北移动：到达新路口后，此时在不折返的前提下，有3个方向可以选择，其中有一种情况可以到达C路口．
若第一次向南移动：到达新路口后，在不折返的前提下，有2个方向可以选择，但没有情况可以到达C路口．
若第一次向西移动：到达新路口后，在不折返的前提下，有2个方向可以选择，但没有情况可以到达C路口．
若第一次向东移动：到达新路口后，在不折返的前提下，有 3 个方向可以选择，其中有一种情况可以到达C路口．
从 A 路口出发第一次有 4 种选择，每种选择后第二次又有 3 种选择，所以总路径数为 3+2+2+3＝10 种．而经过 C 路口的路径有2种情况，
故经过第二个路口为C的概率为．
【点评】本题结合路线问题，考查概率基础知识，正确找出符合条件的路线是解题的关键．
23．（2025 连城县模拟）综合与实践
问题情境 学校准备在一面高2m、宽4m的墙上建一扇拱形门，这面墙的主视图为矩形ABCD，如图1．老师让同学们帮忙设计，要求既美观大方，又尽可能地容易通过．
方案设计 A小组设计的是半圆形拱门，如图2，以AB为直径的半圆O与矩形ABCD三边都相切．
B小组设计的是抛物线形拱门，如图3，抛物线的顶点P在墙的上沿CD的中点处，且抛物线过点A和点B．
提出问题 A，B两小组设计的拱门哪个“通过性”更好呢？
分析问题 老师建议同学们分别计算它们的“内接正方形”（正方形的两个顶点在线段AB上，两个顶点在半圆或抛物线上）面积的大小，通过比较两种设计方案的“内接正方形”的面积，判断它们的“通过性”．
解决问题 请你先分别画出两种方案的“内接正方形”的示意图，然后分别计算它们的面积，并利用计算结果说明哪个方案的拱门“通过性”更好．（）
【考点】由三视图判断几何体；二次函数的应用；切线的性质；简单几何体的三视图．网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】图2中正方形的“通过性”较大．
【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求出图2中正方形的边长，在图3中建立直角坐标系，求出抛物线的关系式，再根据抛物线的对称性、正方形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征求出正方形的边长，比较图2、图3中正方形的边长的大小即可．
【解答】解：如图2，由对称性可知，OM＝ONPM，OA＝OBAB＝2，
设OM＝x m，则PM＝2xm，
在Rt△POM中，由勾股定理得，
OM2+PM2＝OP2，
即x2+（2x）2＝22，
解得x （取正值），
∴正方形的边长为MN＝2OM1.8（m），
如图3，建立如图所示坐标系，则点A（﹣2，0），点B（2，0），顶点P（0，2），
设抛物线的关系式为y＝ax2+bx+c，由题意得，
，
解得，
∴抛物线的关系式为yx2+2，
设ON＝k，则QNk2+2＝2k，
解得k2（取正值），
∴正方形的边长为44≈1.7（m），
∴图2中正方形的“通过性”较大．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及简单几何体的三视图，掌握二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及简单几何体的三视图的画法是正确解答的关键．
24．（2025 永寿县校级模拟）春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意．一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度AB＝2m，顶部高度MN＝1.2m，现以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A且平行于MN的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求该帐篷支架对应的抛物线的表达式；
（2）如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度EC＝0.9m，宽度CD＝0.3m，若在该帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？
【考点】由三视图判断几何体；二次函数的应用．网版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣1.2x2+2.4x；
（2）3．
【分析】（1）根据题意得出点A（0，0），点B（2，0），顶点M（1，1.2），再利用待定系数法求出抛物线的关系式即可；
（2）求出当y＝0.9时对应的两个x的值，再根据两个x之间的距离以及椅子的宽度和高度进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意可知，点A（0，0），点B（2，0），顶点M（1，1.2），
设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，
，
解得，
∴该帐篷支架对应的抛物线的表达式y＝﹣1.2x2+2.4x；
（2）由题意得，
当y＝0.9时，即﹣1.2x2+2.4x＝0.9，
解得x＝0.5或x＝1.5，
又∵CD＝0.3m，1.5﹣0.5＝1m，而1÷0.3＝3……0.1，
∴在该帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子最多可摆放3把椅子．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．
25．（2025 南京模拟）【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化
南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动．
任务1 平面图形的探究
南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为36平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格：
长（分米） 36 18 12 9 6
宽（分米） 1 2 3 4 5
周长（分米） 74 40 30 26 24
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，　长和宽相等　 时周长最小．
为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为n2（n＞0），设两邻边长分别为n﹣s和n+t（s，t均为非负数），则（n﹣s）（n+t）＝n2，经化简可得，请表示出周长并补全后续的证明过程．
任务2 立体图形的包装改进
厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判断并说明理由．（取3.14，结果精确到0.1平方厘米）
【考点】简单组合体的三视图；近似数和有效数字；多项式乘多项式；几何体的表面积；三角形三边关系；圆柱的计算．网版权所有
【专题】整式；与圆有关的计算；投影与视图；运算能力．
【答案】任务1：长和宽相等；，证明见解析；
任务2：这样的改进合理，理由见解析．
【分析】任务1：根据矩形周长计算公式可得矩形的周长为，则当s＝t＝0时，矩形的周长有最小值，即矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
任务2：分别计算长方体和圆柱的表面积，比较即可得到结论．
【解答】解：任务1：由条件可知矩形的周长为2（n﹣s+n+t）＝4n+2（t﹣s），
∵，
∴矩形的周长为，
∵n为定值，
∴当st有最小值时，矩形的周长有最小值，
∴当s＝t＝0时，矩形的周长有最小值，
∴矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
（2）合理，理由如下：
长方体的表面积为2×（10×8+10×6+8×6）＝376平方厘米，
圆柱的表面积为2×3.14×4×4+2×3.14×4×6＝251.2平方厘米，
∴这样的改进合理．
【点评】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，圆柱和长方体的表面积计算，正确理解题意是解题的关键．