(共21张PPT)
1.6 菱 形
1.6.2 菱形的判定
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定
ABCD为菱形的是（ C ）
A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD
C. AC⊥BD D. OA＝OC，OB＝OD
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. （2025 岳阳岳阳楼一模）小美同学按以下步骤作出的四边形ABCD
如图所示：① 画∠MAN；② 以点A为圆心，1个单位长度为半径画
弧，分别交AM，AN于点B，D；③ 分别以点B，D为圆心，1个单位
长度为半径画弧，两弧交于点C；④ 连接BC，CD，DB. 若∠A＝
44°，则∠CBD的度数是（ C ）
A. 64° B. 66°
C. 68° D. 70°
C
第2题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. （2025 湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直
平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（ C ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
第3题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.小米的作法：连
接AC，作AC的垂直平分线MN，分别交AD，AC，BC于点M，O，
N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形.小米的依据是
.
第4题
对角线互
相垂直的平行四边形是菱形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BG，DH分别平分∠ABC，
∠ADC，交AD，BC于点G，H. 要使四边形BHDG为菱形，则AD的
长为 .
第5题
1＋
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. （易错题）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，
且DE＝BF，AC⊥EF，连接AF，CE. 求证：四边形AECF是菱形.
第6题
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝BC. 因为
DE＝BF，所以AD－DE＝BC－BF，即AE＝FC. 又因为
AE∥FC，所以四边形AECF是平行四边形.因为AC⊥EF，所以四边
形AECF是菱形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角
线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF.
第7题
（1） 求证：四边形CDEF为菱形；
解：（1） 因为E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，所以EF＝
AB，EF∥AB，CF＝ BC，AE＝CE. 因为AB∥CD，所以
AB∥CD∥EF. 因为AB＝BC＝2CD，所以EF＝CF＝CD. 所以四边
形CDEF为平行四边形.因为EF＝CF，所以四边形CDEF为菱形
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
（2） 连接DF交EC于点G，若DF＝2，CD＝ ，求AD的长.
解：（2） 因为四边形CDEF为菱形，DF＝2，所以DG＝1，
DF⊥CE，EG＝GC. 所以EG＝GC＝ ＝ ＝
.所以AE＝CE＝2EG＝ .所以AG＝AE＋EG＝4.所以在Rt△DGA
中，AD＝ ＝ ＝
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 小明用四把全等的含30°角的直角三角尺拼成如图所示的3个图案，
其中是菱形的有（ D ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
第8题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. 如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边
形ABCD，对角线AC＝4，BD＝2，过点D作DH⊥AB于点H，则DH
的长是（ B ）
A. B. C. D.
第9题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB. 若
AF＝6，则四边形AEDF的周长是 .
第10题
24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接成四边形ABCD. 连接
BD，AC，若BD＝8，AC＝4，则该四边形的面积是 .
第11题
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 如图，在四边形ABCD中，连接AC，AB＝AD，CB＝CD，有下
列条件：① ∠BCA＝∠DAC；② AB∥CD.
第12题
（1） 请从以上的①②中任选一个作为条件，求证：四边形ABCD
是菱形；
解：（1） 答案不唯一，如选择① 在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC.
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
所以∠BCA＝∠DCA. 因为∠BCA＝∠DAC，所以∠DCA＝∠DAC. 所以CD＝AD. 所以AB＝AD＝CB＝CD. 所以四边形ABCD是菱形
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 在（1）的条件下，若AC＝8，AB＝5，求四边形ABCD的面积.
解：（2） 连接BD交AC于点O. 因为四边形ABCD是菱形，所以
BD⊥AC，AO＝ AC＝4，BD＝2BO. 所以BO＝ ＝
＝3.所以BD＝2BO＝2×3＝6.所以S菱形ABCD＝ AC BD＝
×8×6＝24
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. （2025 湖南模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上
的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连接AO并延长，交BC于点E，
连接DE.
第13题
（1） 求证：四边形ABED是菱形；
解：（1） 因为AD∥BC，所以∠ADO＝∠EBO，∠OAD＝∠OEB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
在△AOD和△EOB中， 所以△AOD≌△EOB. 所
以AO＝EO. 因为BO＝DO，所以四边形ABED是平行四边形.因为
∠ABD＝∠CBD，所以∠ABD＝∠ADB. 所以AB＝AD. 所以四边形
ABED是菱形
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，若BE＝CE，求
证：四边形ODCF是矩形.
解：（2） 由（1）知，四边形ABED是菱形，所以BD⊥AE. 所以
∠BOF＝∠DOF＝90°.因为CF⊥AE，所以∠F＝90°.所以∠F＝
∠BOF. 所以BD∥CF.
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
在△ECF和△EBO中， 所以△ECF≌△EBO. 所以CF＝BO. 所以CF＝DO. 因为BD∥CF，所以四边形ODCF是平行四边形.因为∠F＝90°，所以四边形ODCF是矩形
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共17张PPT)
阶段训练（1.5～1.7）
第1章 四 边 形
一、 选择题
1. （2025 长沙宁乡期末）下列说法中，正确的是（ C ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线相等的菱形是正方形
D. 矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质
C
一
二
三
2. （2025 永州冷水滩模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交
于点O. 若∠AOB＝60°，则 的值为（ D ）
A. B. C. D.
第2题
D
一
二
三
3. （2025 南宁模拟）如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC，BD
交于点O，且AO＋BO＝14，则该菱形的面积为（ C ）
A. 24 B. 56 C. 96 D. 48
第3题
C
一
二
三
4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列4组
条件：① AB＝BC＝CD＝AD；② ∠ABC＝∠BCD，∠CDA＝
∠DAB；③ OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD；④ ∠ABC＝∠BCD＝
∠CDA＝90°.其中，能得到“四边形ABCD是菱形”的条件有
（ B ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
第4题
B
一
二
三
5. 如图，在 ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对
角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，BC上的动点.
有下列说法：① 存在无数个平行四边形MENF；② 存在无数个矩形
MENF；③ 存在无数个菱形MENF；④ 存在无数个正方形MENF. 其
中，正确的个数是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第5题
C
一
二
三
6. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长
线上的一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M. 若BE＝
DF＝1，则DM的长度为（ D ）
A. 2 B. C. D.
第6题
D
一
二
三
二、 填空题
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P，Q分别为
AO，AD的中点.若PQ＝2.5，则AC的长为 .
第7题
10
一
二
三
8. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方
形，则EF的长为 .
第8题
3
一
二
三
9. （2025 长沙雨花二模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，DE∥AC，CE∥BD. 若AD＝2，AB＝3，则四边形CODE的周
长是 .
第9题
2
一
二
三
10. （2025 凉山）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交
于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点
G. 若AC＝12，BD＝16，则FG的长为 .
第10题
5
一
二
三
三、 解答题
11. （2025 浙江）如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下
机翼状纸板（涂色部分），点E在对角线BD上.
（1） 该机翼状纸板是由两个全等三角形组成的，请写出
△ABE≌△CBE的证明过程；
解：（1） 因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝CB，∠ABE＝
∠CBE. 在△ABE和△CBE中，
所以△ABE≌△CBE
第11题
一
二
三
（2） 若裁剪过程中满足DE＝DA，求∠BAE的度数.
解：（2） 因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD＝90°，∠ADB
＝45°.因为DE＝DA，所以∠DAE＝∠DEA＝67.5°.所以∠BAE＝
∠BAD－∠DAE＝22.5°
第11题
一
二
三
12. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝
16，过点D作DE∥AC，过点A作AE∥BD.
第12题
（1） 试判断四边形ODEA的形状，并说明理由；
解：（1） 四边形ODEA是矩形 理由：因为DE∥AC，AE∥BD，
所以四边形ODEA是平行四边形.因为四边形ABCD是菱形，所以
AC⊥BD. 所以∠AOD＝90°.所以四边形ODEA是矩形.
一
二
三
（2） 连接OE，求OE的长.
解：（2） 因为四边形ABCD是菱形，所以OA＝ AC＝6，OD＝ BD
＝8.因为∠AOD＝90°，所以AD＝ ＝10.由（1）知，四
边形ODEA是矩形，所以OE＝AD＝10
第12题
一
二
三
13. （2024 六盘水水城期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分
线AE交BC于点E，过点E作EF⊥AD于点F，连接AC.
第13题
（1） 求证：四边形ABEF是正方形；
解：（1） 因为四边形ABCD是矩形，所以∠FAB＝∠ABE＝90°，
AF∥BE. 所以∠FAE＝∠AEB. 因为EF⊥AD，所以∠AFE＝90°.
所以四边形ABEF是矩形.因为AE平分∠BAD，所以∠FAE＝∠BAE.
所以∠BAE＝∠AEB. 所以AB＝BE. 所以四边形ABEF是正方形
一
二
三
（2） 若CE＝ BE，求∠DAC的度数.
解：（2） 因为四边形ABEF是正方形，所以AE＝ BE，∠AEB＝
45°.因为CE＝ BE，所以AE＝CE. 所以∠EAC＝∠ECA＝22.5°.
因为AF∥BC，所以易得∠DAC＝∠ECA＝∠EAC. 所以∠DAC＝
22.5°
第13题
一
二
三(共19张PPT)
1.3 中心对称和中心对称图形
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025 湖南模拟）下列有关学科的图标中（不含文字），是中心对
称图形的为（ B ）
A B C D
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. （2025 益阳二模）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的
为（ D ）
A B C D
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 下列各组图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（ D ）
A B C D
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 有下列命题：① 成中心对称的两个图形一定不全等；② 成中心对称
的两个图形是全等图形；③ 两个全等的图形一定成中心对称.其中，正
确的个数是（ B ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，则AB DE，
BC∥ ，AC＝ .
第5题
＝
EF
DF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （教材变式）如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，则对称中心是
点 .
第6题
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，
若CE＝5，AG＝2，则S△DEC＝ .
第7题
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. （教材变式）如图所示为四边形ABCD和点P，画四边形
A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点P成中心对称.
第8题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 如图所示为4×4的方格，请在其中选取一个白色的小正方形并涂
色，使涂色部分是一个中心对称图形.
第9题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 如图，△ABC与△CDA关于点O成中心对称，过点O任作一条直
线交AD，BC分别于点M，N. 有下列结论：① 点M和点N，点B和点
D分别关于点O对称；② 直线BD必过点O；③ 四边形ABCD是中心对
称图形；④ 四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤ △AOM和
△CON成中心对称.其中，正确的有（ C ）
A. 2 个 B. 3个 C. 5个 D. 1个
C
第10题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 若点O是平行四边形的中心，过点O作一条直线将平行四边形分成
面积相等的两部分，则可以画出的直线有（ D ）
A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 如图，△ABC绕点A旋转180°可得到△AB′C′，则△ABC与
△AB′C′关于点 成中心对称.若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝
1，则BB′的长为 .
第12题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 如图， ABCO与 A′B′C′O关于点O成中心对称，∠BAO的平
分线交BC于点D，若BD＝3，CD＝2，则 A′B′C′O的周长
为 .
第13题
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 如图，D是△ABC中边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE
＝AD，连接BE.
第14题
（1） 直接写出哪两个图形成中心对称；
解：（1） △ADC和△EDB成中心对称
（2） 若△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
解：（2） 因为△ADC和△EDB成中心对称，S△ADC＝4，所以S△EDB
＝S△ADC＝4.因为D是边BC的中点，所以BD＝CD. 所以S△ABD＝
S△ADC＝4.所以S△ABE＝S△ABD＋S△EDB＝4＋4＝8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3） 若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围.
解：（3） 因为△ADC和△EDB成中心对称，所以△ADC≌△EDB.
所以AC＝EB＝3.因为在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，所
以2＜AE＜8.因为AD＝DE＝ AE，所以1＜AD＜4
第14题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 如图，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE
关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交
CF于点P.
第15题
（1） 求证：AC＝DC；
解：（1） 因为△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，所以
△ABM≌△ACM. 所以AB＝AC. 因为△ABE与△DCE关于点E成中
心对称，所以△ABE≌△DCE.
所以AB＝DC. 所以AC＝DC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） 若∠BAC＝2∠MPC，请判断∠F与∠MCD的数量关系，并说
明理由.
解：（2） ∠F＝∠MCD 理由：由（1），得△ABM≌△ACM，
△ABE≌△DCE，所以∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝
∠BMA. 设∠MPC＝α，∠CMA＝β.因为∠BAC＝2∠MPC，∠BMA
＝∠PMF，所以∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝∠MPC＝α，∠PMF＝
∠BMA＝∠CMA＝β.所以∠F＝∠MPC－∠PMF＝α－β，∠MCD＝
∠CDE－∠CMA＝α－β.所以∠F＝∠MCD.
第15题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15(共19张PPT)
1.5 矩 形
1.5.1 矩形的性质
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2的度数为（ C ）
A. α－90° B. α－45°
C. 180°－α D. 270°－α
第1题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别
是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长为（ A ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第2题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若AB＝3，
AC＝6，则∠AOD的度数为（ D ）
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
第3题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，
交BC于点E. 若∠CAE＝15°，AC＝18，则BE的长为 .
第4题
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3.在边AD上取一点E，使
BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为 .
第5题
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6. （教材变式）（2025 黔东南凯里一模）如图，四边形ABCD为矩
形，对角线AC，BD交于点O，AC∥DE交BC的延长线于点E.
第6题
（1） 求证：BC＝CE；
解：（1） 因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，AD＝BC. 因为
点E在BC的延长线上，所以AD∥CE. 又因为AC∥DE，所以四边形
ACED是平行四边形.所以AD＝CE. 所以BC＝CE
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（2） 若∠E＝40°，求∠BOC的度数.
解：（2） 因为AC∥DE，∠E＝40°，所以∠OCB＝∠E＝40°.因
为四边形ABCD是矩形，所以OB＝OC. 所以∠OBC＝∠OCB＝40°.
所以∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－40°－40°＝100°
第6题
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7. （新情境 游戏活动）（2025 湖南模拟）翻花绳是中国民间流传的
游戏.在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷
绷、解股等等.如图①所示为翻花绳的一种图案，可以抽象成图②.在矩
形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度数为
（ D ）
D
第7题
A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
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8. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，
过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则
OE＋EF的值为（ C ）
A. B. C. D.
第8题
C
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9. （2025 广西模拟）设矩形一条对角线的长为2 cm，两条对角线组成
的对顶角中，有一组是120°，则矩形的周长是 cm.
（2＋2 ）
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10. （2025 长沙雨花三模）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E
在边AD上，且EO⊥AC. 若AB＝3，AC＝5，则△EDC的周长
是 .
7
第10题
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11. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点
A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE.
第11题
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
解：（1） 因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以易得AE∥CF，∠AEB＝
∠DFC＝90°.因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝CD，AB∥CD.
所以∠ABE＝∠CDF. 在△ABE和△CDF中， 所
以△ABE≌△CDF. 所以AE＝CF.
所以四边形AECF是平行四边形
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（2） 若AB＝1，BE＝EO，求BC的长.
解：（2） 因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝2AO，∠ABC＝90°.
因为AE⊥BO，BE＝EO，所以AO＝AB＝1.所以AC＝2.所以BC＝
＝ ＝
第11题
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12. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD上的一
点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE.
第12题
（1） 如图①，求证：△BEO≌△CEO；
解：（1） 因为四边形ABCD是矩形，所以OA＝OC＝ AC，OB＝
OD＝ BD，AC＝BD. 所以OB＝OC＝OA＝OD. 在△BEO和
△CEO中，
所以△BEO≌△CEO
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（2） 如图②，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D
作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况
下，请写出与△AEF的面积相等的四个三角形（△AEF除外），并
说明理由.
解：（2） △DEH，△CHO，△DEG，△BFO
第12题
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理由：因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD＝∠CDA＝90°，AB
＝DC. 在Rt△BAE和Rt△CDE中， 所以
Rt△BAE≌Rt△CDE. 所以∠AEB＝∠DEC，AE＝DE. 因为OA＝
OD，所以OE⊥AD. 所以∠OEA＝∠OED＝90°.所以∠BAD＝
∠OED＝90°，∠CDA＝∠OEA＝90°.所以AB∥OE，DC∥OE.
所以S△AEO＝S△BEO，S△DEO＝S△CEO. 所以S△AEO－S△EFO＝S△BEO－
S△EFO，S△DEO－S△EHO＝S△CEO－S△EHO. 所以S△AEF＝S△BFO，
S△DEH＝S△CHO.
第12题
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因为OA＝OD，所以∠DAO＝∠ADO，即∠EAF＝∠EDH. 在
△AEF和△DEH中， 所以△AEF≌△DEH. 所以
S△AEF＝S△DEH＝S△CHO. 因为DG∥AC，所以∠AFE＝∠G，∠FAE
＝∠GDE. 在△AEF和△DEG中， 所以
△AEF≌△DEG. 所以S△AEF＝S△DEG.
所以△DEH，△CHO，
△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等.
第12题
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12(共20张PPT)
1.7 正 方 形
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是
（ C ）
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分 D. 对角线平分内角
C
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2. （2025 长沙模拟）如图，正方形ABCD内的△BEC为等边三角形，
则∠DEA的度数为（ D ）
A. 130° B. 120° C. 135° D. 150°
第2题
D
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3. 如图所示为 ABCD，从① ∠ABC＝90°；② AC⊥BD；③ AB＝
BC；④ AC＝BD四个条件中任选两个作为补充条件，使 ABCD成为
正方形，则下列四种选法中错误的是（ C ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
第3题
C
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4. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD的
中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于 .
第4题
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5. （新考法 条件开放题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，
AC与BD互相平分且交于点O. 要使四边形ABCD是正方形，则还需添
加的一个条件是 （写出一个即可）.
第5题
AB＝BC（答案不唯一）
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6. （2025 广安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两
点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，EC，CF，FA.
第6题
（1） 求证：△ADE≌△CBF；
解：（1） 因为四边形ABCD为正方形，所以BC＝AD，BC∥AD. 所
以∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， 所以
△ADE≌△CBF
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（2） 若四边形AECF的周长为4 ，求EF的长.
解：（2） 连接AC，交BD于点O. 因为四边形ABCD为正方形，BD＝
10，所以BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5.所以AF
＝CF，AE＝CE. 由（1）可知，△ADE≌△CBF，所以AE＝CF. 所
以AF＝CF＝AE＝CE. 所以四边形AECF是菱形.所以OF＝OE. 所以
EF＝2OF. 因为四边形AECF的周长为4AF＝4 ，所以AF＝ .
在Rt△AOF中，由勾股定理，得OF＝ ＝
＝3，所以EF＝2OF＝6，即EF的长为6
第6题
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7. （2025 长沙望城一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝
BC，AB⊥BC，E是边CD延长线上的动点，连接AE，过点C作
CF⊥AE于点F.
第7题
（1） 求证：四边形ABCD是正方形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，所以四边形
ABCD是菱形.又因为AB⊥BC，所以四边形ABCD是正方形
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（2） 若F是AE的中点，且CE＝8 ，求△CEF的面积.
解：（2） 连接AC. 因为E是边CD延长线上的动点，CF⊥AE于点
F，F是AE的中点，CE＝8 ，所以CF为线段AE的垂直平分线，
AF＝EF. 所以AC＝CE＝8 .所以S△AFC＝S△EFC＝ S△AEC. 因为四
边形ABCD是正方形，所以AD＝CD，∠ADC＝90°.在Rt△ACD
中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2，所以AD2＝ AC2＝ ×
（8 ）2＝64.所以AD＝8（负值舍去）.
所以S△EFC＝ S△AEC＝ × CE AD＝16
第7题
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8. （新考法 操作实践题）（2025 长沙一模）用四根长度相等的木条
制作学具，先制作如图①所示的正方形ABCD，测得BD＝10 cm，将学
具拉成如图②所示的四边形ABCD，测得∠A＝120°，则图②中BD的
长是（ C ）
A. 5 cm B. 10 cm
C. 5 cm D. 10 cm
第8题
C
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9. （2025 邵阳大祥期末）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，
点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，则CH的长为
（ A ）
A. B. 2 C. 3 D.
第9题
A
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10. （新情境 日常生活）如图所示为某城市部分街道示意图，四边形
ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，垂足分
别为E，F，AD＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行
走的路线为B→A→D→E→F. 若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪
行走的路程为 m.
第10题
4 600
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11. （2025 遵义余庆期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分
别在AD，DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF.
第11题
（1） 求证：BE⊥AF.
解：（1） 因为四边形ABCD是正方形，所以BA＝AD，∠BAE＝
90°＝∠D. 又因为BE＝AF，所以△BAE≌△ADF. 所以∠ABE＝
∠DAF. 所以∠ABE＋∠BAG＝∠DAF＋∠BAG＝90°.所以∠AGB
＝90°.所以BE⊥AF
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（2） 若正方形ABCD的边长为5，AE＝2，H为BF的中点，连接GH.
求GH的长.
解：（2） 由（1）得，△BAE≌△ADF，所以AE＝DF＝2.因为正方
形ABCD的边长为5，所以BC＝5，CF＝5－2＝3.所以BF＝
＝ .因为BE⊥AF，H为BF的中点，所以GH＝ BF
＝
第11题
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12. （2024 遵义桐梓期末）如图，正方形ABCD的边长为6，菱形
EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA
上，且AH＝2，连接CF.
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（1） 当DG＝2时，求证：菱形EFGH为正方形；
解：（1） 因为四边形ABCD是正方形，所以∠D＝∠A＝90°.因为四
边形EFGH是菱形，所以HG＝HE. 在Rt△HDG和Rt△EAH中，
所以Rt△HDG≌Rt△EAH. 所以∠DHG＝∠AEH. 所
以∠DHG＋∠AHE＝∠AEH＋∠AHE＝90°.
所以∠GHE＝90°.所以菱形EFGH为正方形
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（2） 设DG＝x，试用含x的代数式表示△FCG的面积.
解：（2） 如图，过点F作FM⊥CD，交DC的延长线于点M，连接
GE. 所以∠M＝90°.因为四边形ABCD是正方形，所以CD＝6，
CD∥AB. 所以∠AEG＝∠MGE. 因为四边形EFGH是菱形，所以HE
＝FG，HE∥FG. 所以∠HEG＝∠FGE.
第12题答案
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所以∠AEH＝∠MGF. 在△AHE和△MFG中， 所以△AHE≌△MFG. 所以MF＝AH＝2.因为DG＝x，
所以CG＝6－x.所以S△FCG＝ CG FM＝6－x
第12题答案
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12(共19张PPT)
小专题（四） 四边形中的动点问题
第1章 四 边 形
类型一 平行四边形中的动点问题
1. （易错题）（2025 铜仁印江三模）如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13.若动点P从点B
出发，沿射线BC以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出
发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，当动点Q到
达点D时，动点P同时停止运动.设点P的运动时间为t秒.当以P，C，
D，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（ C ）
A. 2或 B. C. 或 D.
第1题
C
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2. 如图，在 ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点（不与
点A，D重合），连接EG并延长，与BC的延长线相交于点F，连接
CE，DF.
第2题
（1） 求证：四边形CEDF是平行四边形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD，即
CF∥ED. 所以∠FCD＝∠EDG. 因为G是CD的中点，所以CG＝DG.
在△FCG和△EDG中， 所以△FCG≌△EDG. 所
以FG＝EG.
因为CG＝DG，所以四边形CEDF是平行四边形
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（2） 若AB＝3，BC＝5，∠B＝60°，则当AE＝ 时，四边形
CEDF是菱形.
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第2题
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类型二 矩形中的动点问题
3. 如图，在矩形ABCD中，P是线段AD上一动点，O为BD的中点，
连接PO并延长，交BC于点Q，连接BP，DQ.
第3题
（1） 求证：OP＝OQ.
解：（1） 因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC. 所以∠PDO＝
∠QBO. 因为O为BD的中点，所以OD＝OB. 在△POD和△QOB
中， 所以△POD≌△QOB.
所以OP＝OQ
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（2） 若AD＝8 cm，AB＝6 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向
点D运动（不与点D重合）.设点P的运动时间为t s，请用含t的代数式
表示PD的长，并求当t为何值时，BD⊥PQ.
解：（2） 由题意，得AP＝t cm，则PD＝（8－t）cm.因为OD＝
OB，OP＝OQ，所以四边形PBQD是平行四边形.因为BD⊥PQ，所
以 PBQD是菱形.所以PD＝BP＝（8－t）cm.因为四边形ABCD是矩
形，所以∠A＝90°.在Rt△ABP中，由勾股定理，得AB2＋AP2＝
BP2，即62＋t2＝（8－t）2，解得t＝ .所以当t＝ 时，BD⊥PQ
第3题
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4. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AD＝20 cm，
BC＝16 cm，点P从点D出发，以2 cm/s的速度向点A运动，点M从点B
同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两
个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t s.
第4题
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（1） 当t＝5时，判断四边形ABMP的形状，并说明理由；
解：（1） 四边形ABMP是矩形 理由：因为AD∥BC，点P在AD
上，点M在BC上，所以AP∥BM. 因为点P从点D出发，以2 cm/s的
速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，
所以当点P的运动时间为5 s时，DP＝BM＝2×5＝10（cm）.因为
AD＝20 cm，所以AP＝AD－DP＝20－10＝10（cm）.所以AP＝
BM. 所以四边形ABMP是平行四边形.因为∠B＝90°，所以四边形
ABMP是矩形.
第4题
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（2） 当四边形CDPM为平行四边形时，求t的值.
解：（2） 因为DP∥CM，所以当DP＝CM时.四边形CDPM为平行四
边形.因为点P与点M同时运动，运动时间为t s，运动速度均为2 cm/s，
所以DP＝2t cm，CM＝（16－2t）cm.因为DP＝CM，所以2t＝16－
2t，解得t＝4
第4题
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类型三 菱形中的动点问题
5. 如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连接
DE并延长，交AB的延长线于点F，连接BE.
第5题
（1） 求证：∠F＝∠EBC；
解：（1） 因为四边形ABCD为菱形，所以DC∥AB，DC＝BC＝AB
＝AD，∠DCE＝∠BCE. 在△DCE和△BCE中，
所以△DCE≌△BCE. 所以∠EDC＝∠EBC.
因为DC∥AB，所以∠EDC＝∠F. 所以∠F＝∠EBC
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（2） 若DE＝EC，且BE⊥AF，垂足为B，求∠DAB的度数.
解：（2） 因为DE＝EC，所以∠EDC＝∠ECD. 设∠EDC＝∠ECD
＝∠BCE＝∠EBC＝x，则∠DCB＝∠ECD＋∠BCE＝2x.因为
DC∥AB，所以∠DCB＝∠CBF＝2x.因为BE⊥AF，所以∠EBF＝
90°.所以2x＋x＝90°，解得x＝30°.所以∠DCB＝60°.因为四边形
ABCD为菱形，所以∠DAB＝∠DCB＝60°
第5题
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6. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是边AD的中
点，M是边AB上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长
线于点N，连接MD，AN.
第6题
（1） 求证：四边形AMDN是平行四边形.
解：（1） 因为四边形ABCD是菱形，所以ND∥AM. 所以∠NDE＝
∠MAE，∠DNE＝∠AME. 又因为E是边AD的中点，所以DE＝AE.
所以△NDE≌△MAE. 所以ND＝MA. 所以四边形AMDN是平行四边
形
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（2） 当AM的长度是多少时，四边形AMDN是矩形？
解：（2） 因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝AB＝2.当四边形
AMDN是矩形时，∠AMD＝90°.因为∠DAB＝60°，所以∠ADM＝
90°－60°＝30°.所以AM＝ AD＝1
第6题
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（3） 当AM的长度是多少时，四边形AMDN是菱形？
解：（3） 当四边形AMDN是菱形时，AM＝DM. 因为∠DAB＝
60°，所以△AMD是等边三角形.所以AM＝AD＝2
第6题
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类型四 正方形中的动点问题
7. 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上的动点（不与点A，C
重合），PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接PD，EF. 求
证：EF＝PD.
第7题
解：连接PB. 因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC＝90°，AB＝
AD，∠BAP＝∠DAP.
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在△ABP和△ADP中， 所以△ABP≌△ADP. 所以PB＝PD. 因为PE⊥AB，PF⊥BC，所以∠PEB＝∠PFB＝∠ABC＝90°.所以四边形BEPF是矩形.所以PB＝EF. 所以EF＝PD
第7题
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8. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一动点（不与点A，B重
合），F是点E关于直线BC的对称点，连接CE，CF，过点E作
EG⊥CF于点G，延长GE交CA的延长线于点H.
（1） 若∠ECB＝α，求∠CHG的大小（用含α的式子表示）；
解：（1） 因为EG⊥CF，所以△CHG是直角三角形.根据对称的性
质，得∠FCB＝∠ECB＝α，BE＝BF. 在正方形ABCD中，∠ACB＝
45°，所以∠HCG＝∠ACB＋∠FCB＝45°＋α.在Rt△CHG中，
∠CHG＝90°－∠HCG＝45°－α
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5
6
7
8
（2） 用等式表示线段AH与EF的数量关系，并证明.
解：（2） AH＝ EF 如图，过点H作HM⊥BA，交BA的延长线于
点M. 所以∠M＝90°.在正方形ABCD中，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∠CBE＝90°，所以∠HAM＝∠CAB＝45°.所以△AHM是等腰直角
三角形.所以MH＝MA. 由勾股定理，得AH＝ ＝ MH.
由（1）可知，∠CHG＝45°－α，又因为∠ECA＝∠ACB－∠ECB
＝45°－α，所以∠CHG＝∠ECA＝45°－α.所以EH＝EC.
第8题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
因为易得∠CBF＝90°，EG⊥CF，所以∠GEF＋∠F＝90°，∠F
＋∠FCB＝90°.所以∠GEF＝∠FCB＝∠ECB＝α.所以∠HEM＝
∠GEF＝∠ECB＝α.在△HEM和△ECB中，
所以△HEM≌△ECB. 所以MH＝BE. 因为
BE＝BF，所以BE＝ EF. 所以MH＝ EF.
所以AH＝ EF
第8题答案
1
2
3
4
5
6
7
8(共20张PPT)
阶段训练（1.1～1.4）
第1章 四 边 形
一、 选择题
1. 如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠ACB的度数是
（ A ）
A. 36° B. 32° C. 30° D. 26°
第1题
A
一
二
三
2. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论一定正确
的是（ D ）
A. △AOB≌△COB B. AC＝BD
C. AC⊥BD D. S ABCD＝4S△AOB
第2题
D
一
二
三
3. 如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，下列结论
错误的是（ B ）
A. AD＝CD B. ∠C＝∠E
C. AE＝CB D. S△ADE＝S△ADB
第3题
B
一
二
三
4. （2025 长沙期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的
中位线，连接CD. 若∠B＝68°，则∠EDC的度数为（ B ）
A. 20° B. 22° C. 32° D. 34°
第4题
B
一
二
三
5. 依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是（ D ）
A B C D
D
一
二
三
6. 如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，且
EF∥AB，连接AC交EF于点G，连接DG，AE. 若 ＝ ，S△DGC＝
4，则△ABE的面积为（ C ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
第6题
C
一
二
三
7. （2025 安徽）在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC
的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足
AF＝CH，则下列为定值的是（ C ）
A. 四边形EFGH的周长 B. ∠EFG的度数
C. 四边形EFGH的面积 D. 线段FH的长
第7题
C
一
二
三
二、 填空题
8. （新考向 传统文化）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，
如图①，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一
个画框之中.图②是正八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的度数
为 °.
第8题
45
一
二
三
9. 如图，m∥n，点C，D，E在直线m上，四边形ABED为平行四边
形，若△ABC的面积为3，则 ABED的面积是 .
6
第9题
一
二
三
10. （新考法 条件开放题）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在
不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件：
，使四边形ABCD是平行四边形（写出一个即
可）.
第10题
∠A＋∠B＝
180°（答案不唯一）
一
二
三
11. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，E为
边AC的中点.若AB＝30，BC＝18，则DE的长为 .
6
第11题
一
二
三
12. 如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
有下列结论：① BE＝DF；② BE∥DF；③ AB＝DE；④ 四边形
EBFD为平行四边形；⑤ S△ADE＝S△ABE. 这些结论中正确的是
（填序号）.
第12题
①②④
⑤
一
二
三
三、 解答题
13. （2025 衡阳期中）如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两
点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接ED，FB.
第13题
（1） 求证：AE＝CF；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝
CD. 所以∠BAE＝∠DCF. 因为BE⊥AC，DF⊥AC，所以
BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE和△CDF中，
所以△ABE≌△CDF.
所以AE＝CF
一
二
三
（2） 连接BD交AC于点O，若BE＝8，EF＝12，求BD的长.
解：（2） 由△ABE≌△CDF，得BE＝DF. 又因为BE∥DF，所以四
边形BEDF为平行四边形.所以OB＝OD，OE＝OF＝ EF＝6.因为
BE⊥AC，所以∠BEO＝90°.所以OB＝ ＝ ＝
10.所以BD＝2OB＝20
第13题
一
二
三
14. 如图，等边三角形ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中
点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD，EF.
第14题
（1） 请判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
解：（1） 四边形CDEF为平行四边形 理由：因为D，E分别为
AB，AC的中点，所以DE∥BC，DE＝ BC. 所以DE∥CF. 因为CF
＝ BC，所以DE＝CF.
所以四边形CDEF为平行四边形
一
二
三
（2） 求EF的长.
解：（2） 因为四边形CDEF为平行四边形，所以CD＝EF. 因为D为
AB的中点，△ABC为等边三角形，所以易得CD⊥AB，∠BCD＝
∠ACB＝30°.所以BD＝ BC＝2.所以EF＝CD＝ ＝2
第14题
一
二
三
15. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CE交AB于
点F，交DA的延长线于点E.
第15题
（1） 求证：AB＝DE；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB＝
CD. 所以∠DEC＝∠BCE. 因为CE平分∠BCD，所以∠BCE＝
∠DCE. 所以∠DEC＝∠DCE. 所以DE＝CD. 所以AB＝DE
一
二
三
（2） 若DF恰好平分∠ADC，连接AC，BE，求证：四边形AEBC是
平行四边形；
解：（2） 由（1）知，DE＝CD. 因为DF平分∠ADC，所以EF＝
CF. 因为∠AFE＝∠BFC，∠AEF＝∠BCF，所以△AEF≌△BCF.
所以AF＝BF. 因为EF＝CF，所以四边形AEBC是平行四边形
第15题
一
二
三
（3） 若DF⊥EC，∠AEC＝60°，AB＝2，求DF的长.
解：（3） 由（1）知，DE＝CD. 又因为∠AEC＝60°，所以△DCE
是等边三角形.所以EC＝DE＝AB＝2.因为DF⊥EC，所以易得EF＝
CF＝ EC＝1.所以DF＝ ＝
第15题
一
二
三(共19张PPT)
1.4 三角形的中位线定理
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，G，H分别为CE，
CF的中点，则∠EGH的度数为（ C ）
A. 135° B. 140° C. 145° D. 155°
第1题
C
1
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3
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. （2025 河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，
△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，D，E分别是边BA，CA与网
格线的交点，连接DE，则DE的长为（ B ）
A. B. 1 C. D.
第2题
B
1
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，
AB＝4，则OE的长为（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第3题
B
1
2
3
4
5
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8
9
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13
4. （新情境 日常生活）（2025 长沙岳麓二模）如图，A，B两点是一
个池塘的两端，小聪想用绳子测量点A，B间的距离，但绳子不够长，
一名同学帮他想了一个方法：先在地上取一个可以直接到达点A，B的
点C，再找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为13 m，则点
A，B间的距离为 m.
第4题
26
1
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3
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，
CD，AC的中点.若∠DAC＝20°，∠ACB＝72°，则∠FEG的度数
为 .
第5题
26°
1
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4
5
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10
11
12
13
6. 如图，在△ABC中，点D在BC上，且CD＝CA，CF平分∠ACB，
AE＝EB. 求证：EF＝ BD.
第6题
解：因为CD＝CA，CF平分∠ACB，所以DF＝AF，即F是AD的中
点.因为AE＝EB，所以E是AB的中点.所以EF＝ BD
1
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12
13
7. （易错题）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC
的中点.
（1） EF是△ABC的 线，AD是△ABC的 线.
中位
中
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） EF与AD互相平分吗？请说明理由.
解：EF与AD互相平分 理由：如图，连接DE，DF. 因为D，E分别
是边BC，AB的中点，所以DE∥AC，即DE∥AF. 同理，可得
DF∥AE. 所以四边形AFDE是平行四边形.所以EF与AD互相平分.
第7题答案
第7题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. （2024 长沙雨花期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平
分线交DE于点F，AB＝6，BC＝9，则EF的长为（ C ）
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2
第8题
C
1
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5
6
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8
9
10
11
12
13
9. （新情境 日常生活）如图①所示为人字形钢架屋顶，图②是它的示
意图（部分）.已知AB＝AC＝8，D为BC的中点，E为AB的中点，且
∠BED＝120°，∠EFB＝∠ADB＝90°，则∠DAC的度数和DF的长
度分别为（ B ）
A. 61°，2 B. 60°，2
C. 61°，2 D. 60°，2
B
第9题
1
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6
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12
13
10. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点.若AB＝
4，CD＝6，∠ABC＋∠BCD＝90°，则EF的长为 .
第10题
1
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13
11. （新考法 探究题）如图，在△A1B1C1中，A1B1＝7，B1C1＝4，
A1C1＝6，依次连接△A1B1C1三边的中点，得到△A2B2C2，再依次连接
△A2B2C2三边的中点，得到△A3B3C3，…，按此规律继续下去，则
△AnBnCn的周长为 .
第11题
1
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13
12. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别
为AC，CD的中点，连接BM，MN，NB.
第12题
（1） 求证：MN＝BM；
解：（1） 在△CAD中，因为M，N分别为AC，CD的中点，所以
MN∥AD，MN＝ AD. 在Rt△ABC中，因为M为AC的中点，所以
BM＝ AC＝AM＝MC.
因为AC＝AD，所以MN＝BM
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13
（2） 若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长.
解：（2） 因为∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，所以∠BAC＝
∠DAC＝30°.由（1），得BM＝MN＝AM＝MC＝ AC＝1，所以
∠BAM＝∠ABM. 所以∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.
由（1），得MN∥AD，所以∠NMC＝∠DAC＝30°.所以∠BMN＝
∠BMC＋∠NMC＝90°.所以在Rt△BMN中，由勾股定理，得BN＝
＝ ＝
第12题
1
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13
13. （教材变式）如图，O是△ABC外的一点，连接OB，OC，D，
E，F，G分别为线段AB，OB，OC，AC的中点，连接DE，EF，
FG，GD.
第13题
1
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11
12
13
（1） 判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
解：（1） 四边形DEFG是平行四边形 理由：因为D，E，F，G分
别为线段AB，OB，OC，AC的中点，所以EF∥BC，EF＝ BC，
DG∥BC，DG＝ BC. 所以EF∥DG，EF＝DG. 所以四边形DEFG
是平行四边形.
第13题
1
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5
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12
13
（2） 若M为EF的中点，OM＝2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG
的长.
解：（2） 因为∠OBC和∠OCB互余，所以∠OBC＋∠OCB＝90°.
所以∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝90°.在Rt△OEF中，因
为M为EF的中点，所以EF＝2OM＝2×2＝4.因为EF＝DG，所以
DG＝4
第13题
1
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12
13(共19张PPT)
1.6 菱 形
1.6.1 菱形的性质
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列结论错误的
是（ D ）
A. AB＝CD，BC＝AD
B. AB∥CD，AD∥BC
C. ∠BAC＝∠DAC，∠ABD＝∠CBD
D. OA＝OB＝OC＝OD
D
第1题
1
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13
2. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AC，CD的中点，AB＝8，
则EF的长为（ A ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 5
第2题
A
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13
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，
垂足为E. 若∠BCD＝50°，则∠BOE 的度数为（ B ）
A. 24° B. 25° C. 40° D. 65°
第3题
B
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13
4. （教材变式）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为（ C ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 40
第4题
C
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5. （2025 长沙一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，
则AC的长为 .
第5题
10
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13
6. （2025 柳州期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 .
第6题
4
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13
7. （2025 泸州）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上
的点，且AE＝CF. 求证：AF＝CE.
解：因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC. 因为AE＝CF，所以
AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF. 在△ABF和△CBE中，
所以△ABF≌△CBE. 所以AF＝CE
第7题
1
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13
8. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，AD＝4.
求：
（1） BD的长；
解：（1） 如图，连接AC，交BD于点O. 因为AE⊥BC于点E，且
BE＝CE，所以AE垂直平分BC. 所以AB＝AC. 因为四边形ABCD是
菱形，所以AB＝BC＝AD＝CD，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD.
所以AB＝BC＝AC＝AD＝4.
第8题答案
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13
所以△ABC是等边三角形.所以∠ABC＝60°.因为四边形ABCD是菱形，所以∠ABO＝∠CBO＝ ∠ABC＝30°.因为AO＝CO，所以AO＝ AC＝2.在Rt△AOB中，由勾股定理，得BO＝ ＝ ＝2 .因为BO＝DO，所以BD＝2BO＝2×2 ＝4
第8题答案
1
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13
（2） 菱形ABCD的面积.
解：（2） 菱形ABCD的面积＝ AC BD＝ ×4×4 ＝8
第8题答案
1
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13
9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AB于点
H，连接OH. 若OH＝3，AC＝8，则DH的长为（ D ）
A. 4 B. 3 C. D.
第9题
D
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13
10. （2025 福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O
且与边AB，CD分别相交于点E，F. 若OA＝2，OD＝1，则△AOE与
△DOF的面积之和为 .
第10题
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13
11. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，
连接AE，F为CD的中点，连接OF. 若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，
则线段OF的长为 .
第11题
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13
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以点C为圆
心，BC长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.
第12题
（1） 求证：AC∥DE；
解：（1） 因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝BC，AD∥BC，即
AD∥CE. 因为以点C为圆心，BC长为半径画弧，交BC的延长线于点
E，所以BC＝CE＝AD. 因为AD∥CE，所以四边形ACED是平行四
边形.所以AC∥DE
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13
（2） 若AB＝4，∠ABC＝60°，求△BDE的周长和面积.
解：（2） 因为四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，所以
CE＝BC＝AB＝4，∠CBD＝30°.所以△ABC为等边三角形.所以
∠BAC＝60°，AC＝AB＝4，BE＝BC＋CE＝8.所以易得∠CAD＝
60°.因为四边形ACED是平行四边形，所以DE＝AC＝4，∠CED＝
∠CAD＝60°.所以∠BDE＝180°－∠CBD－∠CED＝90°.在
Rt△BDE中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝
4 ，所以△BDE的周长＝DE＋BE＋BD＝4＋8＋4 ＝12＋
4 ，S△BDE＝ DE BD＝ ×4×4 ＝8
第12题
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13
13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作
DE∥AC，且DE＝ AC，连接AE，交OD于点F，连接CE，OE.
第13题
（1） 求证：OE＝CD；
解：（1） 因为四边形ABCD是菱形，所以OA＝OC＝ AC，AD＝
CD. 因为DE＝ AC，所以DE＝OA＝OC. 又因为DE∥AC，所以四
边形OADE和四边形OCED都是平行四边形.所以OE＝AD. 所以OE＝
CD
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13
（2） 若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长.
解：（2） 由（1），得OE＝CD，所以 OCED是矩形.因为菱形
ABCD的边长为2，所以AB＝BC＝AD＝2.因为∠ABC＝60°，所以
△ABC是等边三角形.所以AC＝AB＝BC＝2.又因为OA＝OC，所以
∠ABO＝∠CBO＝30°.因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，
AC⊥BD. 所以∠ADO＝∠CBO＝30°.在Rt△AOD中，∠ADO＝
30°，AD＝2，所以OA＝1.所以在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD
＝ ＝ ＝ .因为四边形OCED是矩形，所以CE
＝OD＝ ，∠OCE＝90°.所以在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE
＝ ＝ ＝
第13题
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11
12
13(共20张PPT)
1.1 多 边 形
第1课时 多边形及其内角和
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列图形为正多边形的是（ D ）
A B C D
D
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2. （2024 毕节威宁期末）若从一个多边形的一个顶点出发，可以引出
12条对角线，则它是（ D ）
A. 十二边形 B. 十三边形
C. 十四边形 D. 十五边形
D
3. （2024 遵义期末）若正n边形的每个内角都是120°，则n的值是
（ C ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
C
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4. （新考向 传统文化）（2025 贵阳花溪模拟）风铃，又称铁马，古
称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②所示为六角
形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接CF，
则∠AFC的度数为（ C ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
第4题
C
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5. 在四边形ABCD中，∠A＋∠B＝210°，∠C＝4∠D，则∠C
＝ °，∠D＝ °.
120
30
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6. （新情境 日常生活）（2025 岳阳临湘模拟）如图①，用一条宽度
相等、且足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图
②所示的正五边形ABCDE. 在图②中，∠ACD的度数为 .
第6题
72°
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7. 过n边形一个顶点的所有对角线将这个n边形分成了5个三角形.这个
n边形是几边形？它的内角和是多少？
解：由题意，得n－2＝5，解得n＝7，即这个n边形是七边形.它的内
角和为（7－2）×180°＝900°
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8. 已知n边形的内角和θ＝（n－2） 180°.
（1） 甲说：“θ能取360°.”而乙说：“θ也能取630°.”甲、乙两人
的说法对吗？若对，求边数n；若不对，请说明理由.
解：（1） 甲的说法对 因为360°÷180°＋2＝4，所以甲说的n边形
的边数 n是4 乙的说法不对 理由：当θ＝630°时，n＝5.5.因为n为
正整数，所以θ不能取630°.
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（2） 若n边形变为（n＋x）边形，发现内角和增加了360°，则用列
方程的方法求x的值.
解：（2） 由题意，得（n＋x－2） 180°－（n－2） 180°＝
360°，解得x＝2
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9. （2025 眉山）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交
于点M，N，则∠1＋∠2的度数为（ C ）
A. 216° B. 180° C. 144° D. 120°
第9题
C
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10. （易错题）（2025 贵港港北模拟）将一个多边形纸片按如图所示
的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2 340°的新多边形，则原多
边形的边数为（ B ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
第10题
B
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11. （新情境 日常生活）（2025 贺州昭平二模）如图，足球的表面是
由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的.将足球上的一块
黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则∠AOB的度数为 .
第11题
132°
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12. 如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边
BH，GH上.若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长
为 .
第12题
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13. （新考向 传统文化）（2025 湖南）如图，图①为传统建筑中的一
种窗格，图②为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连
接AC，BD，AC与BD交于点M，则∠AMB＝ .
第13题
45°
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14. 小明在计算某个多边形的内角和时得到的结果为1 840°，老师说他
算错了，于是小明认真地检查了一遍.
（1） 若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数；
解：（1） 设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x°，
则（n－2） 180°＝1 840°－x°，即x°＝2 200°－n 180°.因为0
＜x＜180，n为正整数，所以当n取12时，x＝40，符合题意.所以这个
多边形的边数是12
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（2） 若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的内角的度数及这个多边
形的边数.
解：（2） 设这个多边形的边数是m，漏算的内角的度数是y°，则
（m－2） 180°＝1 840°＋y°，即y°＝m 180°－2 200°.因为0
＜y＜180，m为正整数，所以当m取13时，y＝140，符合题意.所以漏
算的内角的度数是140°，这个多边形的边数是13
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15. （新考法 探究题）（2025 永州道县期中）如图所示为一组正多边
形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题.
第15题
正多边形的边数n 3 4 5 6 …
∠α的度数 60° 45° 36° m …
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（1） 表格中的m＝ .
（2） 根据∠α的变化规律，请探究∠α与边数n的关系，并用含n的式
子表示∠α.
解：（2） ∠α＝ × ＝ ，即∠α＝
30°
第15题
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（3） 根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α＝18°？若存
在，请求出n的值；若不存在，请说明理由.
解：（3） 存在一个正多边形，其中的∠α＝18° 设这个正多边形的
边数为n，则 ＝18°，解得n＝10
第15题
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15(共34张PPT)
第1章总结提升
第1章 四 边 形
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 多边形的内角和与外角和
1. （2025 北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为
（ C ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
C
2. 若正多边形的一个外角是40°，则该正多边形的内角和为（ D ）
A. 540° B. 720° C. 900° D. 1 260°
D
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考点二 中心对称与中心对称图形
3. （2025 内蒙古）下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称
图形的为（ B ）
A B C D
B
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考点三 三角形的中位线
4. （2025 广东）如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A
＝70°，则∠EDF的度数为（ C ）
A. 20° B. 40° C. 70° D. 110°
第4题
C
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5. （2025 扬州）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中
点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，
则DF的长是 .
第5题
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考点四 平行四边形的性质与判定
6. 如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左
侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°.
第6题
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
解：（1） 因为∠AEB＝∠CFD＝90°，所以∠AEF＝∠CFE＝90°.
所以AE∥CF. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB
＝CD. 所以∠ABD＝∠CDB.
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在△ABE和△CDF中， 所以△ABE≌△CDF. 所以AE＝CF. 又因为AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形
第6题
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（2） 若AB⊥AF，AB＝8，AF＝6，求线段EF的长.
解：（2） 因为AB⊥AF，所以在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝
＝ ＝10.所以AE＝ ＝ .在Rt△AEF中，由勾
股定理，得EF＝ ＝ ＝
第6题
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考点五 矩形的性质与判定
7. 如图，在矩形ABCD中，若AO＝5，CD＝6，则AD的长为
（ D ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
第7题
D
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8. （新考法 条件开放题）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，
AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个
矩形，需添加的一个条件是 （写出一个
即可）.
第8题
∠A＝90°（答案不唯一）
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9. （2025 长沙长沙期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，
CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC.
第9题
（1） 求证：四边形ABCD是矩形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE∥BC. 因为
CE∥BD，所以四边形BCED是平行四边形.所以CE＝BD. 因为CE＝
AC，所以AC＝BD. 所以四边形ABCD是矩形
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（2） 若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长.
解：（2） 因为四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，所以∠DAB
＝90°，BC＝AD＝3.所以BD＝ ＝ ＝5.因为四边
形BCED是平行四边形，所以四边形BCED的周长＝2（BC＋BD）＝
2×（3＋5）＝16
第9题
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考点六 菱形的性质与判定
10. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E在AC上，CE
＝CD，AC＝16，CD＝10，则DE的长为（ A ）
A. 2 B. 4 C. D. 4
第10题
A
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11. （2025 衡阳模拟）如图，AC是 ABCD的对角线，∠BAC＝
∠DAC.
（1） 求证：四边形ABCD是菱形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC. 所以
∠DAC＝∠BCA. 因为∠BAC＝∠DAC，所以∠BAC＝∠BCA. 所以
AB＝BC. 所以四边形ABCD是菱形
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（2） 若AB＝2，AC＝2 ，求四边形ABCD的面积.
解：（2） 如图，连接BD交AC于点O. 因为四边形ABCD是菱形，所
以AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝ ，OB＝OD＝ BD. 所以OB＝
＝ ＝1.所以BD＝2OB＝2.所以菱形ABCD
的面积＝ AC BD＝ ×2 ×2＝2
第11题答案
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考点七 正方形的性质与判定
12. 如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF＝90°且EF＝
AE，过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M.
第12题
（1） 求证：BE＝CM；
解：（1） 因为四边形ABCD是正方形，所以∠B＝90°，AB＝BC.
所以∠BAE＋∠BEA＝90°.因为∠AEF＝90°，所以∠BEA＋
∠FEM＝90°.所以∠BAE＝∠FEM. 因为FM⊥BC，所以∠M＝
∠B＝90°.因为EF＝AE，所以△ABE≌△EMF. 所以AB＝EM. 所
以BC＝EM. 所以BC－EC＝EM－EC，即BE＝CM
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（2） 延长CD至点N，使得DN＝BE，连接AN，NF，求证：四边形
AEFN是正方形.
解：（2） 因为四边形ABCD是正方形，所以易得∠B＝∠ADN＝
90°，AB＝AD. 因为DN＝BE，所以△ABE≌△ADN. 所以AE＝
AN，∠BAE＝∠DAN. 因为AE＝EF，所以EF＝AN. 因为∠DAN＋
∠EAD＝∠BAE＋∠EAD＝90°，所以∠EAN＝∠AEF＝90°.所以
∠EAN＋∠AEF＝180°.所以AN∥EF. 所以四边形AEFN是平行四边
形.因为AE＝EF，所以四边形AEFN是菱形.因为∠AEF＝90°，所以
四边形AEFN是正方形
第12题
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13. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于某点成中心对称，则这个
点是（ A ）
A. 点O1 B. 点O2 C. 点O3 D. 点O4
第13题
A
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14. 如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，E是边AD的中点，
连接OE. 下列结论一定成立的是（ C ）
A. OE＝ AD B. OE＝ AE
C. OE＝ AB D. OE＝ AC
第14题
C
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15. 如图，四边形EGFH的四个顶点分别在矩形ABCD的边和对角线
AC上，AG＝CH. 下列条件中，能使四边形EGFH是平行四边形的为
（ C ）
A. FH＝GE B. DF＝FC
C. DF＝BE D. FG＝FH
第15题
C
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16. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，下列说法错误的是
（ D ）
A. 四边形AEDF是平行四边形
B. 若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形
C. 若AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形
第16题
D
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17. 如图，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E
＝ .
第17题
205°
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18. 如图，过 ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，
分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，
GH，HE. 若GH＝25，EO＝15，则四边形EFGH的面积为 .
第18题
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19. 如图，E为正方形ABCD对角线BD上的一点，四边形EFCG为矩
形，若正方形ABCD的对角线BD的长为4，则EF＋EG的长
为 .
第19题
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20. （2025 上海）已知在矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关
于直线AD的对称点，连接EF，AF，BE. 若四边形ABEF是菱形，则
的值为 .
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21. 如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是它
的对角线，AG∥DB交CB的延长线于点G.
（1） 求证：DE＝BF.
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝
CD. 因为E，F分别为边AB，CD的中点.所以BE＝ AB，DF＝
CD. 所以BE＝DF. 所以四边形DEBF是平行四边形.所以DE＝BF
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（2） 若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？请
说明理由.
解：（2） 四边形AGBD是矩形 理由：因为四边形ABCD是平行四边
形，所以AD∥BC. 因为AG∥DB，所以四边形AGBD是平行四边形.
如图，连接DG. 因为E为边AB的中点，所以点E在DG上，AE＝BE.
所以DE＝GE. 因为四边形BEDF是菱形，所以DE＝BE. 因为AE＝
BE＝DE＝EG，所以AB＝DG. 所以四边形AGBD是矩形.
第21题答案
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22. （新考法 探究题）（1） 如图①，矩形ABCD的对角线AC，BD相
交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形
CODP的形状，并说明理由.
第22题
解：（1） 四边形CODP是菱形 理由：因为DP∥OC，DP＝OC，
所以四边形CODP是平行四边形.因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝
BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD. 所以OC＝OD. 所以四边形
CODP是菱形.
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（2） 如果题目（1）中的矩形变为菱形，如图②，那么结论应变为什
么？请说明理由.
解：（2） 四边形CODP是矩形 理由：因为DP∥OC，DP＝OC，
所以四边形CODP是平行四边形.因为四边形ABCD是菱形，所以
AC⊥BD. 所以∠DOC＝90°.所以四边形CODP是矩形.
第22题
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（3） 如果题目（1）中的矩形变为正方形，如图③，那么结论又应变
为什么？请说明理由.
解：（3） 四边形CODP是正方形 理由：因为DP∥OC，DP＝
OC，所以四边形CODP是平行四边形.因为四边形ABCD是正方形，所
以AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD. 所以
∠DOC＝90°，OD＝OC. 所以四边形CODP是正方形.
第22题
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22(共19张PPT)
小专题（五） 特殊四边形中的最值问题
第1章 四 边 形
类型一 平行四边形中的最值问题
1. （2025 陕西）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝
60°.动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等
边三角形MNP，使点P始终在 ABCD的内部或边上.当△MNP的面积
最大时，DN的长为 .
第1题
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类型二 矩形中的最值问题
2. （2025 内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分
别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，G为BE的中点，H为EF的
中点，连接GH，则GH的最大值是 .
第2题
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3. （2025 柳州柳南三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝
10，P是BC边上一动点（不与点B，C重合），连接AP，作点B关于
直线AP的对称点M，连接MC，则线段MC的最小值为 .
第3题
5 －5
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5
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10
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm，O是矩形对角线
的交点，过点O作任意一条直线l，分别过点A，C作直线l的垂线，垂
足为E，F.
（1） 求证：CF＝AE.
解：（1） 如图，连接AC，则AC经过点O. 因为四边形ABCD是矩
形，所以OC＝OA. 因为CF⊥EF，AE⊥EF，所以∠CFO＝∠AEO
＝90°.在△OCF和△OAE中， 所以
△OCF≌△OAE. 所以CF＝AE
第4题答案
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10
（2） 当直线l满足什么条件时，垂线段CF的值最大？最大是多少？
解：（2） 因为在Rt△OFC中，斜边OC的长一定，所以当直线
EF⊥OC，即点F与点O重合时，CF的值最大，即CF＝OC. 因为四
边形ABCD是矩形，所以∠B＝90°，OC＝ AC，BC＝AD＝6 cm.
所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝
10（cm）.所以CF＝OC＝ AC＝5 cm.所以当直线l⊥AC时，垂线段
CF的值最大，最大是5 cm
第4题答案
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5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，过点D
作BC的垂线，垂足为E，连接DE并延长至点G，使得DE＝GE，过
点D作AC的垂线，垂足为F，连接DF并延长交GC的延长线于点H，
连接EF.
第5题
（1） 求证：四边形CEDF是矩形.
解：（1） 因为DG⊥BC，DH⊥AC，所以∠DEC＝∠DFC＝90°.
又因为∠ACB＝90°，所以四边形CEDF是矩形
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（2） 当点D在什么位置时，HG最短？请说明理由.
解：（2） 当CD⊥AB于点D时，HG最短 理由：连接CD. 因为四边
形CEDF是矩形，所以∠EDF＝90°，CF∥DG，DH∥BC. 所以
∠ACD＝∠CDG，∠HCF＝∠G. 因为DE＝GE，DG⊥BC，所以
CD＝CG. 所以∠CDG＝∠G. 所以∠HCF＝∠FCD. 因为∠CFH＝
∠CFD＝90°.所以CH＝CD＝CG. 所以HG＝2CD. 所以当CD最短，
即CD⊥AB于点D时，HG最短.
第5题
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类型三 菱形中的最值问题
6. （分类讨论思想）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝
120°，M为CD的中点，E为菱形四条边上的一个动点，沿A－B－C
－D－A的方向运动，连接AE，以AE为边作直角三角形AEF，其中
∠AEF＝90°，∠EAF＝60°.在点E运动的过程中，线段MF的长的
最大值为 .
第6题
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7. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E，F分别是边AD，
CD上的动点，且AE＋CF＝4，连接BE，EF，FB.
第7题
（1） 求证：BE＝BF；
解：（1） 因为四边形ABCD是边长为4的菱形，所以AB＝AD＝BC
＝CD＝4.因为BD＝4，所以AB＝AD＝BD＝4，BC＝CD＝BD＝4.
所以△ABD，△CBD都是边长为4的等边三角形.
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所以∠BDE＝∠C＝60°.因为AE＋CF＝4，所以CF＝4－AE＝AD－AE＝DE. 在△BDE和△BCF中， 所以△BDE≌△BCF. 所以BE＝BF
第7题
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（2） 求△BEF的面积的最小值.
解：（2） 因为△BDE≌△BCF，所以∠EBD＝∠FBC. 所以∠EBD
＋∠DBF＝∠FBC＋∠DBF，即∠EBF＝∠DBC. 由（1）知，
△BCD是等边三角形，所以∠DBC＝60°.所以∠EBF＝60°.又因为
BE＝BF，所以△BEF是等边三角形.所以EF＝BE＝BF. 当
BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE最小，此时AE＝ AD＝2.在
Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝ ＝ ＝2 .
过点B作BG⊥EF，垂足为G.
第7题
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因为△BEF是等边三角形，BG⊥EF，BE＝2 ，所以易得∠EBG
＝ ∠EBF＝30°，BE＝EF＝BF＝2 .所以EG＝ BE＝ .在
Rt△BEG中，由勾股定理，得BG＝ ＝
＝3.所以S△BEF＝ EF BG＝ ×2 ×3＝
3 .所以△BEF的面积的最小值为3
第7题
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类型四 正方形中的最值问题
8. 如图，在△BCP中，BP＝ ，PC＝4，现以BC为边在BC的下方
作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（ B ）
A. 2 B. 6 C. D. 4＋2
第8题
B
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9. （2025 岳阳岳阳楼一模）如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是
边CD和对角线BD上的动点，且DP＝BQ. 当BP＋CQ的最小值为2
时，则正方形的边长为 .
第9题
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10. （新考法 探究题）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等
边三角形，M为对角线BD上任意一点（不与点B重合），将BM绕点B
按逆时针方向旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM.
（1） 连接MN，△BMN是等边三角形吗？请说明理由.
解：（1） △BMN是等边三角形 理由：因为BM绕点B按逆时针方
向旋转60°得到BN，所以BM＝BN，∠MBN＝60°.所以△BMN是
等边三角形.
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（2） 求证：△AMB≌△ENB.
解：（2） 因为△ABE和△BMN都是等边三角形，所以AB＝EB，
BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°.所以∠ABE－∠ABN＝∠MBN
－∠ABN，即∠EBN＝∠ABM. 在△AMB和△ENB中，
所以△AMB≌△ENB
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（3） ① 当点M在何处时，AM＋CM的值最小？② 如图②，当点M
在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？请你画出图形，并说明理由.
解：（3） ① 由两点之间线段最短，得当A，M，C三点共线时，AM
＋CM的值最小.因为四边形ABCD是正方形，所以M为BD的中点 ②
当点M在CE与BD的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，如图即为
所求作 理由：连接MN. 由（1），得△BMN是等边三角形，所以
BM＝MN.
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由（2），得△AMB≌△ENB，所以AM＝EN. 所以AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 由两点之间线段最短，可知当点E，N，M，C在同一条直线上时，EN＋MN＋CM的值最小，所以当点M在CE与BD的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.
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10(共20张PPT)
1.2 平行四边形
1.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025 长沙开福三模）如图，在 ABCD中，下列结论不一定成立
的是（ C ）
A. ∠1＝∠2 B. ∠ABC＝∠CDA
C. AC＝BD D. AB＝CD
第1题
C
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2. 如图，l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列
结论不一定成立的是（ D ）
A. AB＝CD B. CE＝FG
C. EG＝CF D. BD＝EG
第2题
D
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3. （2025 贵阳乌当二模）如图，在 ABCD中，AC⊥AB，E为边BC
的中点，AD＝6，则AE的长为（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第3题
B
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4. 如图，在 ABCD中，延长BC到点E，连接AE，使AE＝AB. 若
∠ADC＝40°，则∠E的度数为 .
第4题
40°
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5. 如图，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，则图中共有 个平行
四边形.
第5题
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6. 如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E. 若AD＝2，则
BE＝ .
第6题
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7. （2025 宜宾）如图，E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长
交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.
第7题
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD，BC＝AD＝5，
所以∠D＝∠FCE. 因为E是CD的中点，所以DE＝CE.
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在△ADE和△FCE中，
所以△ADE≌△FCE. 所以FC＝AD＝5.所以BF＝BC＋FC＝
5＋5＝10
第7题
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8. 如图，在 ABCD中，BE⊥DC于点E，BF⊥DA于点F. 若∠A＝
30°，BE＝9，BF＝10，求 ABCD的面积和周长.
第8题
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝BC，AB
＝CD，∠C＝∠A＝30°.因为BE⊥CD，∠C＝30°，所以BC＝
2BE＝2×9＝18.所以AD＝18.因为BF⊥AD，∠A＝30°，所以AB＝
2BF＝20.所以CD＝20.所以 ABCD的面积＝AD BF＝18×10＝
180， ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝2（AB＋BC）＝2×
（20＋18）＝76
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9. （教材变式）（2025 南宁青秀三模）如图，在 ABCD中，∠ABC
＝70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，点F在边BC上，AE＝CF，
则∠1的度数为（ B ）
A. 30° B. 35° C. 45° D. 55°
第9题
B
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10. （2025 南宁二模）如图，△ABC的面积为24，D为边AC上的一
点，连接BD并延长交BC的平行线AG于点E，连接EC，以DE，EC
为邻边作 DECF，DF交边BC于点H，连接AH. 当AD＝ CD时，
△AHC的面积为（ C ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
第10题
C
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11. 如图，在△MBN中，BM＝6，点A，C，D分别在MB，NB，
MN上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC＝∠MDA，则 ABCD的
周长是 .
第11题
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12. 如图，在 ABCD中，点P在对角线AC上，过点P作EF∥AB，
HG∥AD，记四边形BFPH的面积为S1，四边形DEPG的面积为S2，则
S1 S2（填“＞”“＜”或“＝”）.
第12题
＝
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13. 如图，在 ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分
线交于点E. 若点E恰好在边AD上，则BE2＋CE2＝ .
第13题
16
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14. 如图，四边形BCEF为平行四边形，连接FC并延长至点D，延长
CF至点A，使得DC＝AF，连接AB，DE.
（1） 若∠A＝35°，求∠D的度数；
解：（1） 因为四边形BCEF为平行四边形，点D，A分别在FC，CF
的延长线上，所以EF＝BC，EF∥BC. 所以∠DFE＝∠ACB. 因为
DC＝AF，所以DC＋CF＝AF＋CF，即DF＝AC. 在△DEF和
△ABC中，
所以△DEF≌△ABC.
所以∠D＝∠A＝35°
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（2） 若BC＝BF，且AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，求CF的长.
解：（2） 如图，过点B作BH⊥AC于点H，则∠BHC＝90°.因为BC＝BF，所以FH＝CH. 因为AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，所以∠ABC＝90°.
所以AC＝ ＝ ＝10.因为S△ABC＝ ×10×BH＝ ×8×6，所以BH＝ .所以CH＝ ＝ ＝ .
所以CF＝2CH＝2× ＝
第14题答案
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15. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延
长，交DC的延长线于点F.
（1） 求证：△ABE≌△FCE；
解：（1） 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD. 所以∠B
＝∠ECF. 因为E为BC的中点，所以BE＝CE. 在△ABE和△FCE
中， 所以△ABE≌△FCE
第15题
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15
（2） 过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点，连接CH，判断CH
与DG的位置关系，并说明理由.
解：（2） CH⊥DG 理由：连接CG. 因为△ABE≌△FCE，所以AB
＝FC. 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB＝CD. 所以CD＝
FC. 因为DG⊥AE，所以∠DGF＝90°.所以CG＝ DF＝CD. 因为H
为DG的中点，所以CH⊥DG.
第15题
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15(共17张PPT)
小专题（三） 与四边形有关的折叠问题
第1章 四 边 形
类型一 与平行四边形有关的折叠问题
1. （2025 益阳二模）如图，在 ABCD中，∠B＝50°，点E，F分
别在BC，CD上，将△CEF沿EF折叠后，点C正好落在AD上的点M
处.若∠2＝30°，则∠1的度数为 .
第1题
40°
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2. （2025 长沙岳麓一模）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线
折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF.
第2题
（1） 求证：△EBC≌△FGC；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A＝∠BCD，∠D
＝∠B，AD＝BC. 由折叠可得，∠A＝∠ECG，∠D＝∠G，AD＝
CG，所以∠BCD＝∠ECG，∠B＝∠G，BC＝GC. 所以∠BCD－
∠ECF＝∠ECG－∠ECF. 所以∠ECB＝∠FCG. 在△EBC和△FGC
中， 所以△EBC≌△FGC
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（2） 若∠ECB＝30°，∠A＝120°，试判断△ECF的形状，并说明
理由.
解：（2） △ECF为等腰直角三角形 理由：因为四边形ABCD是平行
四边形，所以∠A＝∠BCD＝120°.因为∠ECB＝30°，所以∠ECF
＝90°.由（1）知，△EBC≌△FGC，所以EC＝FC. 所以△ECF为等
腰直角三角形.
第2题
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类型二 与矩形有关的折叠问题
3. （2025 河北）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在
点A′处，A′D交BC于点E. 将△CDE沿DE折叠，使点C落在△BDE
内的点C′处，下列结论一定正确的是（ D ）
A. ∠1＝45°－α B. ∠1＝α
C. ∠2＝90°－α D. ∠2＝2α
D
第3题
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4. （2025 衡阳模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D
落在边BC的中点M处.若AB＝4，BC＝6，则CF＝ .
第4题
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5. （新考法 操作实践题）（2025 长沙岳麓模拟）【实践操作】 第一
步：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点C落在边
AD上的点C′处，得到折痕DE，再把纸片展平；第二步：如图②，将图
①的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，使点A恰好落在边CD上的
点A′处，得到折痕EF，BC交A′B′于点M，再把纸片展平.
第5题
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【问题解决】
（1） 如图①，求证：四边形CDC′E是正方形；
解：（1） 因为四边形ABCD是矩形，所以∠C＝∠CDC′＝90°.由
折叠的性质，得∠DC′E＝∠C＝90°，CD＝C′D，所以四边形
CDC′E是矩形.又因为CD＝C′D，所以四边形CDC′E是正方形
第5题
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（2） 如图②，若CA′＝3，DA′＝6，求△A′CM的面积.
解：（2） 连接A′E. 由（1）可易得CE＝CD. 因为CA′＝3，
DA′＝6，所以CD＝CE＝CA′＋DA′＝9.由折叠的性质，得
A′B′＝AB，∠B′＝∠B＝90°.因为四边形ABCD是矩形，所以
CD＝AB，∠B＝∠C＝∠B′＝90°.
第5题
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所以A′B′＝CD＝CE. 在Rt△A′B′E和Rt△ECA′中， 所以Rt△A′B′E≌Rt△ECA′.所以∠B′A′E＝∠CEA′.所以A′M＝EM＝9－CM. 因为CA′2＋CM2＝A′M2，所以32＋CM2＝（9－CM）2，解得CM＝4.所以S△A′CM＝ CA′ CM＝ ×3×4＝6
第5题
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类型三 与菱形有关的折叠问题
6. （2025 河南）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E
在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的
点F处，则CF的长为（ D ）
A. 2 B. 6－3 C. 2 D. 6 －6
第6题
D
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7. 如图，将一张菱形纸片ABCD沿DE所在的直线翻折，使点C落在点
F处，DF交边AB于点G. 如果∠A＝60°，AB＝2，G为AB的中点，
那么折痕DE与边BC的较小夹角的度数是 .
第7题
75°
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8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点
E为AC上一点，连接BE，交CD于点G，△BFE是△BCE沿BE折叠所
得，且点C的对应点F恰好落在AB上，连接FG.
第8题
（1） 求证：四边形CEFG是菱形；
解：（1） 因为CD⊥AB，∠ACB＝90°，△BFE是△BCE沿BE折
叠所得，所以∠CDB＝∠BFE＝∠BCE＝90°，∠CEG＝∠FEG，
EC＝EF. 因为∠CDB＝∠BFE，所以CD∥EF. 所以∠CGE＝
∠FEG. 所以∠CGE＝∠CEG. 所以CE＝CG. 所以CG＝EF. 因为
CG∥EF，所以四边形CEFG是平行四边形.
因为EC＝EF，所以四边形CEFG是菱形
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（2） 若AC＝8，BC＝6，求DG的长.
解：（2） 因为AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，所以AB＝
＝10.设CG＝x.因为四边形CEFG是菱形，所以EF＝FG
＝CE＝CG＝x.所以AE＝8－x.因为△BFE是△BCE沿BE折叠所
得，所以BF＝BC＝6.所以AF＝AB－BF＝10－6＝4.在Rt△AEF
中，EF2＋AF2＝AE2，所以x2＋42＝（8－x）2，解得x＝3，即CG＝
3.因为CD⊥AB，所以S△ABC＝ AC×BC＝ AB×CD. 所以CD＝4.8.
所以DG＝CD－CG＝4.8－3＝1.8
第8题
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类型四 与正方形有关的折叠问题
9. （2025 深圳）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线
的交点O重合，EF为折痕，则 的值为（ D ）
A. B. C. D.
第9题
D
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10. 如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折得
到△GCE，延长CG交AD于点F，连接EF.
第10题
（1） 求证：Rt△EAF≌Rt△EGF；
解：（1） 因为四边形ABCD是正方形，所以∠A＝∠B＝∠D＝90°.
因为E是AB的中点，所以AE＝BE. 由翻折，得GE＝BE，∠CGE＝
∠B＝90°.所以AE＝GE，∠EGF＝90°.在Rt△EAF和Rt△EGF
中， 所以Rt△EAF≌Rt△EGF
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（2） 若AB＝8，求CF的长.
解：（2） 因为四边形ABCD是正方形，AB＝8，所以AD＝CD＝CB
＝AB＝8.由翻折，得CG＝CB＝8.所以CF＝8＋GF. 由（1），得
Rt△EAF≌Rt△EGF，所以AF＝GF. 所以DF＝AD－AF＝8－GF.
因为∠D＝90°，所以DF2＋CD2＝CF2.所以（8－GF）2＋82＝（8＋
GF）2，解得GF＝2.所以CF＝8＋2＝10
第10题
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10(共19张PPT)
1.1 多 边 形
第2课时 多边形的外角和
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列图形中不具有稳定性的是（ B ）
A B C D
B
2. （教材变式）（2024 安顺期末）每一个外角都是60°的正多边形是
（ D ）
A. 正三边形 B. 正四边形
C. 正五边形 D. 正六边形
D
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3. （新情境 日常生活）（2025 铜仁三模）佩佩在“黄峨古镇”研学
时学习扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多
边形的每个外角为（ C ）
A. 36° B. 40° C. 45° D. 60°
C
4. （2025 长沙一模）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的
内角和为（ C ）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
C
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5. 如图所示为第四套人民币中的一角硬币，该硬币边缘镌刻着一个正
九边形，若直线AC，BC与正九边形的两条边重合，则∠ACB
＝ °.
第5题
6. 一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是 .
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7. 已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少180°.
（1） 求这个多边形的边数；
解：（1） 设这个多边形的边数是n.由题意，得（n－2）×180°＝
360°×2－180°，解得n＝5.所以这个多边形的边数是5
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（2） 若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内
角和.
解：（2） 因为截去一个角后，多边形的边数可能减少了1，也可能不
变，还可能增加了1，所以截完后所形成的新多边形的边数可能是4或5
或6.① 当多边形为四边形时，其内角和为（4－2）×180°＝360°；②
当多边形为五边形时，其内角和为（5－2）×180°＝540°；③ 当多
边形为六边形时，其内角和为（6－2）×180°＝720°.综上所述，截
完后所形成的新多边形的内角和为360°或540°或720°
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8. 求图中∠1的度数.
（1）
解：∠1＝360°－140°－90°－90°＝40°
（2）
解：∠1＝180°－［360°－40°－115°－50°－（180°－120°）］
＝85°
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9. 根据如图所示的对话回答问题：
第9题
（1） 小明为什么说不可能？
解：（1） 因为n边形的内角和是（n－2） 180°，所以内角和一定
是180°的整数倍.因为2 014÷180＝11……34，所以这个多边形的内角
和不可能是2 014°
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（2） 小华求的是几边形的内角和？
解：（2） 设这个多边形的边数为x.由题意，得（x－2） 180°＜
2 014°，解得x＜13 .所以多边形的边数是13.所以小华求的是十三边
形的内角和
第9题
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（3） 求多加的这个外角的度数.
解：（3） 因为2 014°－（13－2）×180°＝34°，所以多加的这个外
角的度数为34°
第9题
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10. （2025 凉山）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这
个多边形的一个顶点处引出的对角线有（ B ）
A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条
B
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11. 如图，将六边形纸片剪切掉一部分，设剪切后的四边形和六边形的
外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ A ）
A. α＝β B. α＞β C. α＜β D. 无法比较
第11题
A
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12. （新情境 游戏活动）“找起点”游戏规定：如图，从起点走五段
相等的直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行.成功的
招数不止一个.下列可助我们成功的招数是（ A ）
A. 每走完一段直路后沿向右偏72°的方向行走
B. 每段走的直路要短
C. 每走完一段直路后沿向右偏108°的方向行走
D. 每段走的直路要长
第12题
A
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13. 若一个多边形的内角和与它的外角和的比为7∶2，则这个多边形
是 边形.
14. 如图，在正五边形ABCDE中，AE，CD的延长线交于点F，则
∠F＝ .
第14题
九
36°
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15. 一个n边形，它的内角和与一个外角的差为1 200°，求这个n边形
的边数与这个外角的度数.
解：设这个外角的度数为x°.由题意，得（n－2） 180°－x°＝
1 200°，即x°＝n 180°－1 560°.因为0＜x＜180，所以0°＜
n 180°－1 560°＜180°，解得8 ＜n＜9 .因为n为正整数，所以n
＝9.所以x＝60.所以这个n边形的边数为9，这个外角的度数为60°
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16. （新考法 探究题）如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个不相
邻的外角.
第16题
（1） 猜想并说明∠1＋∠2与∠A，∠C的数量关系.
解：（1） 猜想：∠1＋∠2＝∠A＋∠C 因为∠1＋∠ABC＋∠2＋
∠ADC＝360°，∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝360°，所以∠1＋
∠2＝∠A＋∠C
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（2） 如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点
O. 若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数.
解：（2） 因为∠A＝50°，∠C＝150°，所以∠ABC＋∠ADC＝
360°－50°－150°＝160°.因为BO，DO分别平分∠ABC与
∠ADC，所以∠OBC＝ ∠ABC，∠ODC＝ ∠ADC. 所以∠OBC＋
∠ODC＝ （∠ABC＋∠ADC）＝80°.所以∠BOD＝360°－
（∠OBC＋∠ODC＋∠C）＝360°－（80°＋150°）＝130°
第16题
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（3） 如图③，BO，DO分别是四边形ABCD的外角∠CBE，∠CDF
的平分线.求证：∠C－∠A＝2∠O.
解：（3） 因为BO，DO分别是四边形ABCD的外角∠CBE，∠CDF
的平分线，所以∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝
2∠CBO. 由（1），知∠FDO＋∠EBO＝∠A＋∠O，∠FDC＋
∠EBC＝∠A＋∠C，所以2∠FDO＋2∠EBO＝2∠A＋2∠O，
2∠FDO＋2∠EBO＝∠A＋∠C. 所以2∠A＋2∠O＝∠A＋∠C. 所
以∠C－∠A＝2∠O
第16题
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16(共18张PPT)
1.5 矩 形
1.5.2 矩形的判定
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 依据下列四边形所标数据，其中，不一定为矩形的是（ A ）
A B C D
A
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2. （新考向 传统文化）（2025 南宁西乡塘期末）我国古代有“不以
规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是
圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称：“矩
形”.木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的
一个四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是
（ A ）
A
A. 测量是否有三个角是直角
B. 测量对角线是否相等
C. 测量两组对边是否分别相等
D. 测量对角线是否互相垂直
第2题
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3. 四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形
ABCD为矩形的是（ D ）
A. AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°
B. OA＝OB＝OC＝OD
C. AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD
D. AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD
第4题
D
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，DF∥AB，
DE∥AC，则当∠B的度数为 °时，四边形AEDF是矩形.
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5. （易错题）（2024 常德桃源期末）如图，在 ABCD中，点E，F
分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF.
第5题
（1） 求证：四边形AECF是矩形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC，
AD∥BC. 因为BE＝DF，所以AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC. 所
以四边形AECF是平行四边形.因为AC＝EF，所以平行四边形AECF
是矩形
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（2） 若CE＝2BE且AE＝BE，已知AB＝2，求AC的长.
解：（2） 因为四边形AECF是矩形，所以∠AEC＝∠AEB＝90°.因
为AE＝BE，AB＝2，所以AE＝BE＝ .所以CE＝2BE＝2 .
所以AC＝ ＝ ＝
第5题
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6. （2025 贵阳南明二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点
F，E分别在边AB，BC上，连接FE，ED. 若AF＝DE＝DC，∠C＋
∠BEF＝90°.
第6题
（1） 求证：四边形AFED是矩形；
解：（1） 因为AF＝DE＝DC，所以∠DEC＝∠C. 因为∠B＝
∠C，所以∠DEC＝∠B. 所以AB∥DE. 所以AF∥DE. 所以四边形
AFED是平行四边形.因为∠B＝∠C，∠C＋∠BEF＝90°，所以∠B
＋∠BEF＝90°.所以∠AFE＝∠B＋∠BEF＝90°.所以四边形
AFED是矩形
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（2） 若AD＝12，BF＝9，求△BEF的面积.
解：（2） 因为四边形AFED是矩形，所以EF＝AD＝12.因为∠BFE
＝90°，BF＝9，所以△BEF的面积＝ BF EF＝54
第6题
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7. （2025 长沙浏阳期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长
AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使
四边形DBCE成为矩形的是（ D ）
A. AB＝BE B. CE⊥DE
C. ∠ADB＝90° D. BE⊥AB
第7题
D
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8. 如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交
BC于点F，连接AC，BE. 添加一个条件，使四边形ABEC是矩形.有
下列四个条件：① ∠DAC＝∠EAC；② AD＝AE；③ AB＝AD；④
∠AFC＝2∠ABC，其中可选择的是 （填序号）.
第8题
①②④
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9. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点
E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF.
第9题
（1） 求证：四边形ABCD是矩形；
解：（1） 因为AE⊥BD，DF⊥AC，所以∠AEO＝∠DFO＝90°.
在△AEO和△DFO中， 所以△AEO≌△DFO. 所
以AO＝DO. 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以易得AO＝CO＝DO＝BO.
所以AC＝BD. 所以四边形ABCD是矩形
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（2） 若∠BAE＝ ∠EAD，求∠AOE的度数.
解：（2） 由（1），得四边形ABCD是矩形.因为∠BAE＝ ∠EAD，
所以∠BAE＝90°× ＝30°，AO＝BO. 所以∠OAB＝∠ABE. 在
Rt△ABE中，∠ABE＝90°－∠BAE＝60°＝∠OAB，所以∠AOE
＝180°－∠OAB－∠ABE＝60°
第9题
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10. （2025 铜仁碧江模拟）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边
BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°.
第10题
（1） 求证：四边形AECF是矩形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC＝AD，
BC∥AD. 又因为BE＝DF，所以BC－BE＝AD－DF，即EC＝AF.
因为EC∥AF，所以四边形AECF是平行四边形.又因为∠AEC＝
90°，所以四边形AECF是矩形
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（2） 连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求AD
的长.
解：（2） 因为BF平分∠ABC，所以∠ABF＝∠FBC. 因为
BC∥AD，所以∠AFB＝∠FBC. 所以∠AFB＝∠ABF. 所以AF＝
AB＝4.在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，所以∠BAE
＝30°.所以BE＝ AB＝2.所以FD＝BE＝2.所以AD＝AF＋FD＝6
第10题
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11. （新考法 条件开放题）如图，在 ABCD中，∠BDC＝90°，E
是AD边上一点，连接BE并延长，与CD的延长线交于点F，连接
AF，BD.
第11题
（1） 请从① AE＝DE；② BF＝BC中选择一个能证明四边形ABDF是
矩形的条件，并写出证明过程.
解：（1） 答案不唯一，如选① 因为四边形ABCD是平行四边形，所
以AB∥CD. 所以∠ABE＝∠DFE.
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在△ABE和△DFE中， 所以△ABE≌△DFE. 所以AB＝DF. 因为AB∥DF，所以四边形ABDF是平行四边形.因为∠BDC＝90°，所以∠BDF＝180°－90°＝90°.所以四边形ABDF是矩形
第11题
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11
（2） 在（1）的条件下，若AB＝3，AD＝5，求四边形ABCF的面积.
解：（2） 因为四边形ABDF是矩形，所以AB＝DF. 因为四边形
ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD＝5.所以AB＝DF＝
CD＝3.所以CF＝DF＋CD＝3＋3＝6.在Rt△BDC中，BC＝5，CD＝
3，所以BD＝ ＝ ＝4.所以四边形ABCF的面积＝
S矩形ABDF＋SRt△BDC＝AB BD＋ CD BD＝3×4＋ ×3×4＝18
第11题
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11(共18张PPT)
1.2 平行四边形
1.2.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝6，AO
＝5，BO＝7，给出下列结论：① CD＝6；② DO＝5；③ AC＝10；④
∠AOB＝90°.其中，正确的结论是（ A ）
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④
第1题
A
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13
2. 如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分别与
AB，CD交于点E，F. 若 ABCD的面积为80，则图中涂色部分的面
积是（ A ）
A. 40 B. 41 C. 42 D. 43
第2题
A
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13
3. （2025 黔南平塘一模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则OB的长为（ A ）
A. B. 6 C. 7 D.
第3题
A
1
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10
11
12
13
4. （2024 贵港平南期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，对
角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ B ）
A. 2＜OA＜10 B. 1＜OA＜5
C. 4＜OA＜6 D. 2＜OA＜8
第4题
B
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12
13
5. （教材变式）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过
点O与AD，BC分别相交于点E，F. 若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，
则四边形EFCD的周长为 .
第5题
12
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11
12
13
6. （新考法 操作实践题）用若干根木棒搭如图所示的平行四边形，从
长度分别为8 cm，10 cm，12 cm的三根木棒中，选择长度为 cm的
木棒作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形.
第6题
8
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5
6
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8
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12
13
7. 如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂
直于AD.
第7题
（1） 求证：OE＝OF；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，OA＝
OC. 所以∠EAO＝∠FCO. 在△AEO和△CFO中，
所以△AEO≌△CFO.
所以OE＝OF
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13
（2） 若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长.
解：（2） 因为OE＝OF，OE＝3.5，所以EF＝2OE＝7.又因为
EF⊥AD，所以S ABCD＝AD×EF＝63.所以AD＝9
第7题
1
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6
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13
8. （2025 六盘水钟山模拟）如图，在 ABCD中，AC，BD为对角
线，∠BAC＝90°，且AC∶BD＝2∶3.若 ABCD的面积为16 ，
则AB的长为（ B ）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
第8题
B
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2
3
4
5
6
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8
9
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11
12
13
9. （2025 贵阳花溪一模）如图，在 ABCD中，AC＝6，E是AD上
的一点，△DCE的周长是 ABCD的周长的一半，且EC＝4.连接
EO，则EO的长为（ D ）
A. 3 B. 5 C. 2 D.
第9题
D
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
12
13
10. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，直线MN经过点
O，分别交AD，BC于点M，N. 若∠MDO＝∠MOD，BN＝2，则
MN的长为 .
第10题
4
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
12
13
11. （2025 长沙雨花模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角
线AC，BD交于点O，∠BAC＝90°，AH⊥BD于点H. 若AB＝2，
BC＝2 ，则AH的长为 .
第11题
1
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6
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11
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13
12. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为
OB，OD的中点，连接AE并延长交BC于点G，连接OG，CF.
第12题
（1） 求证：AE∥CF；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝
OD. 因为E，F分别为OB，OD的中点，所以OE＝ OB，OF＝
OD. 所以OE＝OF. 在△AOE和△COF中，
所以△AOE≌△COF. 所以∠OAE＝∠OCF.
所以AE∥CF
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13
（2） 当AG⊥BC，OG⊥AC时，求∠ACB的度数.
解：（2） 因为AG⊥BC，所以∠AGC＝90°.由（1）知，OA＝OC.
因为OG⊥AC，所以OG垂直平分AC. 所以AG＝CG. 所以△AGC是
等腰直角三角形.所以∠ACB＝45°
第12题
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13
13. （新考法 探究题）（1） 如图①， ABCD的对角线AC，BD相交
于点O，EF过点O与AD，BC分别交于点E，F. 求证：AE＝CF.
第13题
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，OA＝
OC. 所以∠EAO＝∠FCO. 在△AOE和△COF中，
所以△AOE≌△COF.
所以AE＝CF
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13
（2） 若（1）中的条件不变，将EF转动到如图②所示的位置，EF分
别与DA，BC的延长线交于点E，F，则（1）中的结论是否仍然成
立？请说明理由.
解：（2） 结论仍然成立 理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所
以AD∥BC，OA＝OC. 所以∠EAO＝∠FCO. 在△AOE和△COF
中， 所以△AOE≌△COF.
所以AE＝CF.
第13题
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13(共17张PPT)
1.2 平行四边形
1.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025 贵州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一
个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（ D ）
A. AD＝BC B. ∠ABD＝∠BDC
C. AB＝AD D. ∠A＝∠C
第1题
D
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12
2. 如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交
AB的延长线于点F，AB＝BF. 要使四边形ABCD是平行四边形，还需
添加的条件是（ D ）
A. AD＝BC B. CD＝BF
C. ∠A＝∠C D. ∠F＝∠CDE
第2题
D
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12
3. 如图，△ABC，△ACE，△ECD都是等边三角形，则图中的平行四
边形有 .
第3题
4. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，则当BC＝ 时，四边
形ABCD是平行四边形.
ABCE， ACDE
5
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5. （教材变式）如图，在 ABCD中，E，F分别是BC，AD的中
点，则四边形AECF是 ，依据是
.
第5题
平行四边形
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
1
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12
6. （新情境 日常生活）如图所示为某高速公路服务区大货车倾斜式停
车位的示意图.工人在绘制时会保证四边形停车位ABCD的边AD＝BC
＝12 m，边AB＝CD＝3.5 m，且∠A＝60°.判断四边形ABCD的形
状，并求这个停车位的面积.
第6题
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12
解：因为AD＝BC，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形.所以
AD∥BC. 过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，所以∠CBE＝
∠A＝60°.所以∠BCE＝90°－∠CBE＝30°.因为BC＝12 m，所以
BE＝ BC＝6 m.在Rt△BCE中，CE＝ ＝6 m，所以
S ABCD＝AB×CE＝3.5×6 ＝21 （m2）
第6题
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7. （2025 常德三模）如图，在 ABCD中，AB＝8，E是AB上一
点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则
BF的长为（ C ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
第7题
C
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12
8. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC与BD相交于点
O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，且DE＝BF，连接AF，CE.
有下列结论：① CF＝AE；② OE＝OF；③ 四边形ABCD是平行四边
形；④ 图中共有四对全等三角形.其中，正确的是（ C ）
A. ①② B. ①③
C. ①②③ D. ①②③④
第8题
C
9. 已知一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且满足（a－c）2
＋｜b－d｜＝0，则这个四边形是 .
平行四边形
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10. （新考法 条件开放题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点
E在边AB上， .
请从“① ∠B＝∠AED；② AE＝BE，AE＝CD”这两个条件中任选
一个作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下面的问题：
第10题
①
（1） 求证：四边形BCDE为平行四边形；
解：（1） 因为∠B＝∠AED，所以BC∥DE. 因为AB∥CD，所以
四边形BCDE为平行四边形
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（2） 若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
解：（2） 由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，所以DE＝BC
＝10.因为AD⊥AB，所以∠A＝90°.所以AE＝ ＝
＝6，即线段AE的长为6
（答案不唯一）
第10题
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11. 如图，在 ABCD中，BD是对角线，过点A作AE⊥BD于点E，
过点C作CF⊥BD于点F，连接AF，CE.
第11题
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝
BC. 所以∠ADE＝∠CBF. 因为AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
所以∠AED＝∠CFB＝90°.所以AE∥CF. 在△ADE和△CBF中，
所以△ADE≌△CBF.
所以AE＝CF. 所以四边形AECF是平行四边形
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（2） 若BE＝CE，AE＝8，DE＝16，求CD的长.
解：（2） 因为△ADE≌△CBF，所以DE＝BF. 所以DF＝BE. 因为
四边形AECF是平行四边形，BE＝EC，所以EC＝AF＝DF. 设DF
＝AF＝x，则有x2＝82＋（16－x）2，解得x＝10.所以DF＝10.因为
CF⊥BD，AE＝CF＝8，所以CD＝ ＝ ＝2
第11题
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12. （2025 贵阳花溪二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D
是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于
点F，连接DF交AC于点O.
第12题
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（1） 求证：DF⊥AC；
解：（1） 因为AF∥BC，所以∠FAD＝∠ADB. 因为E是AD的中
点，所以AE＝DE. 在△AEF和△DEB中，
所以△AEF≌△DEB. 所以AF＝BD. 因为AF∥BD，所以四边形
ABDF是平行四边形.所以AB∥DF.
所以∠COD＝∠BAC＝90°.所以DF⊥AC
第12题
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12
（2） 若AD＝5，DF＝8，求AC的长.
解：（2） 因为四边形ABDF是平行四边形，所以AB＝DF＝8.因为
∠BAC＝90°，D是BC的中点，所以BC＝2AD＝10.所以在
Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝ ＝6
第12题
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12(共16张PPT)
小专题（二） 特殊平行四边形的性质与判定
第1章 四 边 形
类型一 矩形的性质与判定
1. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动
点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ A ）
A. 2.4 B. 2.5 C. 3 D. 5
第1题
A
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2. （2024 兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
第2题
（1） 求证：四边形ADCE是矩形；
解：（1） 因为在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，所以
AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°.因为CE∥AD，所以∠ECD＝
∠ADB＝90°.因为AE⊥AD，所以∠EAD＝90°.所以∠ADC＝
∠ECD＝∠EAD＝90°.所以四边形ADCE是矩形
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（2） 若BC＝4，CE＝3，求EF的长.
解：（2） 因为在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4，所
以BD＝CD＝ BC＝2.由（1）可知，四边形ADCE是矩形，所以AE
＝CD＝2，∠AEC＝90°.在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3，由勾股
定理，得AC＝ ＝ .因为EF⊥AC，所以S△AEC＝
AC EF＝ AE CE. 所以EF＝ ＝ ＝
第2题
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3. （2025 娄底期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC
至点F，使CF＝BE，连接DF，AF，DE，AF与DE交于点O.
第3题
（1） 求证：四边形AEFD是矩形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝
BC. 因为CF＝BE，所以CF＋CE＝BE＋CE. 所以EF＝BC. 所以
EF＝AD. 因为AD∥EF，所以四边形AEFD是平行四边形.因为
AE⊥BC，所以∠AEF＝90°.所以四边形AEFD是矩形
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（2） 若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求AE的长.
解：（2） 由（1）知，四边形AEFD是矩形，所以AF＝DE＝2OE＝
2×2＝4.因为AB＝3，BF＝5，所以AB2＋AF2＝BF2.所以△ABF是直
角三角形，且∠BAF＝90°.所以△ABF的面积＝ BF AE＝
AB AF. 所以5×AE＝3×4.所以AE＝2.4
第3题
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类型二 菱形的性质与判定
4. （新考向 传统文化）（2025 广西模拟）红色的“中国结”是一种
喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征.乐乐家有一个“中国结”挂
饰.他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱
形ABCD，测得BD＝12 cm，∠DAB＝60°，直线EF过点O且与AB垂
直，分别与AB，CD交于点E，F，则EF的长为（ A ）
A. 6 cm B. 4 cm
C. 10 cm D. 4 cm
第4题
A
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5. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ C ）
A B C D
C
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10
6. 如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任意一点P作EF∥BC，
GH∥AB，有下列结论：① 图中共有3个菱形；② △BEP≌△BGP；③
四边形AEPH的面积一定是四边形BGPE的面积的2倍；④ 四边形AEPH
的周长等于四边形GPFC的周长.其中，正确的是 （填序
号）.
第6题
①②④
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7. （2025 长沙模拟）如图，在四边形ABCD中，点B与点D关于直线
AC对称，连接BD交AC于点O，E为AC上一点，OE＝OC，连接
BE，DE.
第7题
（1） 求证：四边形EBCD为菱形；
解：（1） 因为点B与点D关于直线AC对称，所以OD＝OB，
OD⊥AC. 又因为OE＝OC，所以四边形EBCD为平行四边形.因为
OD⊥AC，所以四边形EBCD为菱形
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（2） 若AE＝DE，∠BAE＝15°，BD＝6，求∠DEO的度数及AC
的长.
解：（2） 因为AE＝DE，∠BAE＝15°，所以∠EAD＝∠EDA＝
15°.所以∠DEO＝∠EAD＋∠EDA＝30°.因为四边形EBCD为菱
形，所以DE＝EB，∠BEO＝∠DEO＝30°.所以∠DEB＝60°.所以
△DEB是等边三角形.所以BE＝DE＝BD＝AE＝6.因为BD＝6，所以
BO＝DO＝3.所以EO＝ ＝ ＝3 .所以EC＝
2EO＝2×3 ＝6 .所以AC＝AE＋EC＝6＋6
第7题
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类型三 正方形的性质与判定
8. （2025 广西模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中
点，点F在BC上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，
B′E，B′F. 当点F在边BC上移动使得四边形BEB′F成为正方形时，
B′D的长为（ A ）
A. B. C. 2 D. 3
第8题
A
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9. 四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过顶点B，C作两
条对角线的平行线交于点E，得到四边形OBEC.
第9题
（1） 如果四边形ABCD为矩形（如图），那么四边形OBEC是什么特
殊的四边形？请证明你的结论.
解：（1） 四边形OBEC是菱形 由题意，得BE∥AC，CE∥BD，
即BE∥OC，CE∥OB，所以四边形OBEC为平行四边形.因为四边形
ABCD是矩形，所以OC＝OB. 所以四边形OBEC是菱形
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（2） 如果四边形ABCD是正方形，四边形OBEC也是正方形吗？如果
是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
解：（2） 四边形OBEC是正方形 由题意，得BE∥AC，
CE∥BD，即BE∥OC，CE∥OB，所以四边形OBEC为平行四边形.
因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝OB，∠BOC＝90°.所以易得
四边形OBEC是正方形
第9题
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10. 如图，在正方形ABCD中，动点E在线段AC上（不与点A，C重
合），AF⊥AC，垂足为A，且AF＝AE，连接BF，BE，DE.
第10题
（1） 求证：BF＝DE.
解：（1） 因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠BAD＝
90°.因为AF⊥AC，所以∠EAF＝90°.所以∠EAF－∠BAE＝
∠BAD－∠BAE，即∠BAF＝∠DAE. 在△ABF和△ADE中，
所以△ABF≌△ADE.
所以BF＝DE
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（2） 当点E运动到AC的中点处时（其他条件都保持不变），四边形
AFBE是什么特殊的四边形？请说明理由.
解：（2） 当点E运动到AC的中点处时，四边形AFBE是正方形 理
由：因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝BC. 因为E是AC的中
点，所以BE⊥AC，AE＝ AC. 所以BE＝AE＝ AC. 因为AF＝
AE，所以BE＝AF＝AE. 因为BE⊥AC，所以∠BEC＝90°.因为
∠EAF＝∠BEC＝90°，所以BE∥AF. 所以四边形AFBE是平行四边
形.因为∠FAE＝90°，所以四边形AFBE是矩形.
因为AF＝AE，所以四边形AFBE是正方形.
第10题
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小专题（一） 平行四边形的性质与判定
第1章 四 边 形
类型一 平行四边形的性质与判定
1. 如图，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE并延
长，交CB的延长线于点G，连接BF并延长，交AD的延长线于点H，
则图中平行四边形的个数为（ A ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
A
第1题
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2. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，
CE∥BD. 若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（ C ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
第2题
C
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3. 如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条
件：① AE∥CF；② BE＝FD；③ ∠1＝∠2；④ AE＝CF. 若要使四边
形AECF为平行四边形，则添加的条件可以是 （填序号）.
第3题
①②③
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4. （新考法 条件开放题）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边
BC，AD上，AF＝CE.
（1） 求证：△ABE≌△CDF；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AD＝
BC，∠B＝∠D. 因为AF＝CE，所以AD－AF＝BC－CE，即DF
＝BE. 在△ABE和△CDF中，
所以△ABE≌△CDF
第4题
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（2） 连接EF，请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行
四边形（不需要说明理由）.
解：（2） 答案不唯一，如BE＝CE
第4题
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类型二 求线段的长
5. 在四边形ABCD中，∠A＝30°，∠B＝150°，∠C＝30°，AB＝
2，则CD的长为（ C ）
A. 1 B. C. 2 D.
C
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6. 如图，在 ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的
延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是 .
第6题
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7. （教材变式）（2025 长沙模拟）如图，在 ABCD中，E，F是直
线BD上的两点，DE＝BF.
第7题
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝
BC. 所以∠ADB＝∠CBD. 所以∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF
中， 所以△ADE≌△CBF. 所以AE＝CF，
∠AED＝∠CFB. 所以AE∥CF.
所以四边形AECF是平行四边形
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（2） 若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF－AF＝2，求DE的长.
解：（2） 因为四边形AECF是平行四边形，AD⊥BD，AB＝5，BC
＝3，所以AD＝BC＝3，BD＝ ＝ ＝4.设DE＝
BF＝x，所以EF＝2x＋4，DF＝4＋x.因为EF－AF＝2，所以AF＝
2x＋2.在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2，所以（2x＋2）2＝32＋（4
＋x）2.所以x＝ （负值舍去）.所以DE的长为
第7题
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类型三 求角的度数
8. 如图，在四边形ABCD中，AD＝12，DO＝BO＝5，AC＝26，O
为AC的中点，则∠DBC＝ .
第8题
90°
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9. （2025 毕节金沙一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC
延长线上的一点，BE＝CD，连接AE交CD于点F，连接AC，BF，
DE.
第9题
（1） 若∠DAE＝65°，求∠BAD的度数；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB＝
CD. 所以∠DAE＝∠AEB＝65°.因为BE＝CD，所以AB＝BE.
所以∠BAE＝∠AEB＝65°.
所以∠BAD＝∠BAE＋∠DAE＝130°
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（2） 已知BF⊥AE，求证：四边形ACED是平行四边形.
解：（2） 因为AB＝BE，BF⊥AE，所以AF＝EF. 在△ADF和
△ECF中， 所以△ADF≌△ECF. 所以DF＝CF.
又因为AF＝EF，所以四边形ACED是平行四边形
第9题
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10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，分别延长AB，CD至点E，F，使
得BE＝DF.
第10题
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
解：（1） 因为AB∥CD，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边
形.所以AB＝CD. 因为BE＝DF，所以AE＝CF. 因为AE∥CF，所以
四边形AECF是平行四边形
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（2） 若AF＝DF，∠CBE＝28°，求∠EAF的度数.
解：（2） 因为四边形AECF是平行四边形，所以AF＝EC，
AF∥EC. 又因为AF＝DF，BE＝DF，所以BE＝CE. 所以∠CBE＝
∠BCE＝28°.所以∠E＝180°－28°－28°＝124°.因为AF∥EC，
所以∠EAF＋∠E＝180°.所以∠EAF＝180°－124°＝56°
第10题
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类型四 证明线段之间的关系
11. 如图，在 ABCD中，对角线AC的平行线MN交DA的延长线于点
M，交DC的延长线于点N，交AB，BC于点P，Q.
第11题
（1） 请指出图中除 ABCD以外的平行四边形，并说明理由.
解：（1） AMQC和 APNC 理由：因为四边形ABCD是平行四
边形，所以AD∥BC，AB∥DC. 因为MQ∥AC，AM∥QC，所以四
边形AMQC是平行四边形.因为AP∥CN，PN∥AC，所以四边形
APNC是平行四边形.
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（2） MP和QN相等吗？请说明理由.
解：（2） MP＝QN 理由：由（1）知，四边形AMQC是平行四边
形，所以MQ＝AC. 因为四边形APNC是平行四边形，所以PN＝AC.
所以MQ＝PN. 所以MQ－PQ＝PN－PQ，即MP＝QN.
第11题
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类型五 求图形的面积
12. 如图，在 ABCD中，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，交AC
于点E，F，连接DE，BF.
第12题
（1） 求证：四边形BEDF是平行四边形.
解：（1） 连接BD，交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝∠CDA.
所以∠BAE＝∠DCF.
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因为BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，所以∠ABE＝ ∠ABC，∠CDF＝ ∠CDA. 所以∠ABE＝∠CDF. 在△ABE和△CDF中， 所以△ABE≌△CDF. 所以AE＝CF.
所以OA－AE＝OC－CF. 所以OE＝OF.
又因为OB＝OD，所以四边形BEDF是平行四边形
第12题
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（2） 过点E作EH⊥AB，垂足为H. 若 ABCD的周长为18，EH＝
2，求△ABC的面积.
解：（2） 过点E作EP⊥BC于点P. 因为BE平分∠ABC，
EH⊥AB，EH＝2，所以EP＝EH＝2.因为 ABCD的周长为18，所
以2（AB＋BC）＝18.所以AB＋BC＝9.因为S△ABE＝ AB EH＝
AB，S△BCE＝ BC EP＝BC，所以S△ABC＝S△ABE＋S△BCE＝AB＋
BC＝9
第12题
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12(共17张PPT)
1.2 平行四边形
1.2.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3
第1章 四 边 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能
判定四边形ABCD为平行四边形的是（ B ）
A. OA＝OB，OC＝OD
B. OA＝OC，OB＝OD
C. OB＝AB，OD＝CD
D. OA＝OB，AC＝BD
第1题
B
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2. 下列给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其
中，能判定四边形ABCD是平行四边形的为（ C ）
A. 1∶2∶3∶4 B. 2∶2∶3∶3
C. 2∶3∶2∶3 D. 2∶3∶3∶2
3. 若AC＝16，BD＝6，AC与BD相交于点O，则当AO＝ ，DO
＝ 时，四边形ABCD是平行四边形.
C
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4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝EC，延长DE到点F，使EF
＝DE，连接AF，FC，CD，则四边形ADCF是 .
第4题
平行四边形
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5. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠CAB＝∠DCA. 求证：
四边形ABCD是平行四边形.
第5题
解：因为∠B＝∠D，∠CAB＝∠DCA，所以180°－（∠B＋
∠CAB）＝180°－（∠D＋∠DCA），即∠ACB＝∠DAC. 所以
∠ACB＋∠DCA＝∠DAC＋∠CAB，即∠DCB＝∠DAB. 又因为
∠B＝∠D，所以四边形ABCD是平行四边形
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6. （易错题）如图，BD是△ABC的中线，E是线段BD的中点，连接
CE并延长至点F，使得EF＝CE，连接FB，FD. 求证：
第6题
（1） BF∥CD；
解：（1） 因为E是线段BD的中点，所以BE＝DE. 又因为EF＝
CE，所以四边形FBCD是平行四边形.所以BF∥CD
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（2） AB与FD互相平分.
解：（2） 连接AF. 因为四边形FBCD是平行四边形，所以
BF∥CD，BF＝CD. 因为BD是△ABC的中线，所以AD＝CD＝BF.
所以四边形AFBD是平行四边形，所以AB与FD互相平分
第6题
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7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，线段MF在 ABCD的左侧，连
接MA，MD，FB和FC，四边形MABF的对角线AF和BM交于点O，
且OA＝OF，OM＝OB. 求证：四边形DMFC是平行四边形.
第7题
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解：因为四边形MABF的对角线AF和BM交于点O，且OA＝OF，
OM＝OB，所以四边形MABF是平行四边形.所以FM∥AB，且FM
＝AB. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD∥AB，且CD＝AB.
所以FM∥CD，且FM＝CD. 所以四边形DMFC是平行四边形
第7题
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8. （新考法 操作实践题）（2025 黔东南二模）如图，取两根长度不
等的细木棒AC，BD，将它们的中点重合固定（记为点O），转动细木
棒AC. 在∠AOD由锐角变成钝角的过程中，分析以细木棒四个端点为
顶点的四边形ABCD，下列结论一定成立的是（ D ）
A. AB＝AD B. OA＝AD
C. ∠BAD＝∠ABC D. ∠BAD＝∠BCD
第8题
D
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9. （易错题）顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，有
下列四个条件：① AB∥CD；② BC＝AD；③ ∠A ＝∠C；④ ∠B
＝∠D. 从中任选两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一
结论的情况共有（ C ）
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 1种
C
10. 在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，OA＝2x＋3，OB＝3y
－1，OC＝y＋4，OD＝x＋6.若四边形ABCD是平行四边形，则x
＝ ，y＝ .
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11. 在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＋2∠C＝225°，∠B－
∠C＝90°.求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：因为∠B＋2∠C＝225°，∠B－∠C＝90°，所以∠B＝
135°，∠C＝45°.所以∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝360°－
45°－135°－45°＝135°.所以∠A＝∠C，∠B＝∠D. 所以四边形
ABCD是平行四边形
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12. （2025 衡阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC
的中点，D是边AB上一点，CF∥AB，连接CD，DE，延长DE与CF
交于点F，连接AF.
第12题
（1） 求证：四边形ADCF是平行四边形；
解：（1） 因为CF∥AB，所以∠DAE＝∠FCE. 因为E是AC的中
点，所以AE＝CE. 在△AED和△CEF中， 所以
△AED≌△CEF. 所以DE＝FE. 又因为AE＝EC，
所以四边形ADCF是平行四边形
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（2） 若∠B＝60°，BC＝2，D是AB的中点，求四边形ADCF的面
积.
解：（2） 在Rt△ABC中，∠B＝60°，所以∠BAC＝30°.因为BC＝
2，所以易得AC＝2 .因为D是AB的中点，所以S△ABC＝2S△ACD. 因
为四边形ADCF是平行四边形，所以S四边形ADCF＝2S△ACD，所以S四边形
ADCF＝S△ABC＝ BC AC＝ ×2×2 ＝2
第12题
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13. 如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接
BF，BD，DE，延长DE交CB的延长线于点G，连接AG.
第13题
（1） 求证：DE∥BF；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以DC＝AB，
DC∥AB，即DF∥EB. 因为E，F分别为边AB，CD的中点，所以
BE＝ AB，DF＝ DC. 所以BE＝DF.
所以四边形DEBF是平行四边形.所以DE∥BF
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（2） 探究线段AG与线段DB之间的关系，并说明理由.
解：（2） AG∥DB，AG＝DB 理由：因为四边形ABCD是平行四边
形，所以AD∥GC. 所以∠DAE＝∠GBE. 因为E为边AB的中点，所
以AE＝BE. 在△AED和△BEG中，
所以△AED≌△BEG. 所以ED＝EG. 所以四边形
ADBG是平行四边形.所以AG∥DB，AG＝DB.
第13题
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