2026中考数学二轮复习考点图形的相似专项训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026中考数学二轮复习考点图形的相似专项训练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年中考数学解密之图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．（2025 南岗区校级模拟）如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025 余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
B．a＝2，b，c＝2，d
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a，b＝3，c＝2，d
3．（2025 芜湖一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
4．（2025 广州二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（ ）
A．30cm B． C．20cm D．
5．（2025 灌南县校级模拟）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A． B．4 C． D．5
6．（2025 威海一模）如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点，连接CE，DF，CE与DF交于点G，连接BG，过点D作DM∥BG，分别交CE、BC于点H、M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025 铁东区三模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（ ）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
8．（2025 天津校级模拟）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025 云岩区校级模拟）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025 萧山区二模）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（1，﹣2）
C．（﹣4，8） D．（﹣4，8）或（4，﹣8）
二．填空题（共10小题）
11．（2025 观山湖区校级一模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高AB＝10cm，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC约为 cm．
12．（2025 安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，那么 ．
13．（2025 苍溪县模拟）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ．
14．（2025 光明区二模）如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝60cm，则AF的长度为 cm．
15．（2025 汕头模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为 ．
16．（2025 徐汇区模拟）我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为A4的矩形纸片ABCD，将其长边对折（EF为折痕），得到两个全等的A5矩形纸片，且A4、A5这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ．
17．（2025 徐汇区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果AE＝2BE，且S△ABC＝36．那么正方形CDEF的面积为 ．
18．（2025 徐汇区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanB，E是边AB上一点，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，如果AB′∥BC，那么的值为 ．
19．（2025 徐汇区模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE＝BF＝DG，联结CE、FG，交于点H，如果AE：BE＝1：2，那么的值为 ．
20．（2025 旌阳区二模）《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 池州一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，连接CE，交对角线BD于点F，且AE＝CE．
（1）若∠ADB＝35°，求∠DCE的度数；
（2）若EF＝1，CF＝4，求DE的长；
（3）若DE＝DF，求的值．
22．（2025 河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注 点F，M，D，C在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
23．（2025 威海一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为DP、EQ，这两面墙间距DE＝3米，经观测，太阳光线常从院墙EQ方向照进院子中，房子墙壁DP下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边DH紧贴着左侧院墙，DH＝2米．图3是院子的左视图，已知弧AB所在的圆的圆心O恰好在墙壁AD上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离AD＝2.6m，外边缘B到墙壁AD的距离BC＝1.6m，AC＝0.8m．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙EG落在地面上的影子是EF，EG＝1.2m．
（1）根据以上数据，求圆心O到地面的距离；
（2）如图4，小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧AB的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
（3）如图5，当遮阳棚边缘B的影子正好落在点D处时，求此时围墙的影长．
24．（2025 新疆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点．
（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；
（2）当a时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值；
（3）当a时，求MN+ND的最小值．
25．（2025 南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G．
（1）求证：AG＝2GC；
（2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I．
①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离；
②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值．
2026年中考数学解密之图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B A B C D A B
一．选择题（共10小题）
1．（2025 南岗区校级模拟）如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，
∴，
故本选项不符合题目要求；
B、∵AE∥DF，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
故本选项不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF＝DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴，
故本选项不符合题目要求；
D、∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
故本选项符合题目要求．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
2．（2025 余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
B．a＝2，b，c＝2，d
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a，b＝3，c＝2，d
【考点】比例线段．网版权所有
【答案】B
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误；
B、22，四条线段成比例，故本选项正确；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误；
D、3≠2，四条线段不成比例，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．（2025 芜湖一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
【考点】相似三角形的判定．网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
4．（2025 广州二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（ ）
A．30cm B． C．20cm D．
【考点】相似三角形的判定与性质．网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】证明△COD∽△BOA，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．
【解答】解：根据题意得CD∥AB，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∵AB＝50cm，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
5．（2025 灌南县校级模拟）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A． B．4 C． D．5
【考点】相似三角形的应用．网版权所有
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．
【解答】解：已知物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得，
解得，
即蜡烛火焰的高度是，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，解答本题的关键要明确：相似三角形对应高线的比等于相似比．
6．（2025 威海一模）如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点，连接CE，DF，CE与DF交于点G，连接BG，过点D作DM∥BG，分别交CE、BC于点H、M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行线分线段成比例．网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】延长DF交CB的延长线于点N，利用平行四边形的性质相似三角形的判定与性质得到BN＝BC＝AD，再利用相似三角形的判定与性质得到BMBC，得到CM＝BC﹣BMBC，由△DEH∽△MCH得到，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
延长DF交CB的延长线于点N，如图，
∵F是AB的中点，
∴BFABCD，
∴NBNC，
∴BN＝BC＝AD，
∴NC＝2BC，
∵E是AD的中点，
∴DEADBC，
AB∥CD，
∴△NBF∽△NCD，
∴，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△NCG
∴，
∵DM∥GB，
∴
∴BMBNBC，
∴CM＝BC﹣BMBC，
∵AD∥BC，
∴△DEH∽△MCH，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2025 铁东区三模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（ ）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
【考点】平行线分线段成比例．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据平行线等分线段定理列比例式求得DF＝27cm．BF＝BD+DF＝72cm，再运用线段的和差求解即可．
【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，
∴，
∴，
解得：DF＝27cm．
∴BF＝BD+DF＝72cm，
∴BF＝BD+DF＝72cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键．
8．（2025 天津校级模拟）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．网版权所有
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA；根据相似三角形的对应边成比例，即可解答题目．
【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，
∴，，
∴．
∴结论一定正确的是．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
9．（2025 云岩区校级模拟）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定．网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．
A、∵，∠C＝∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；
B、∵，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
C、∵，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
D、∵，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
10．（2025 萧山区二模）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（1，﹣2）
C．（﹣4，8） D．（﹣4，8）或（4，﹣8）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，点A的坐标为（﹣2，4），
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣2，4）或[﹣2×（），4×（）），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 观山湖区校级一模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高AB＝10cm，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC约为 6.18 cm．
【考点】黄金分割．网版权所有
【专题】运算能力．
【答案】6.18．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
，
因为AB＝10cm，
所以AC≈6.18（cm）．
故答案为：6.18．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
12．（2025 安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，那么 ．
【考点】平行线分线段成比例；三角形中位线定理．网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到AF＝FH＝HC，得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵DH∥BF，AD是△ABC的中线，
∴CH＝HF，
∵DH∥BF，E是AD中点，
∴AF＝FH，
∴AF＝FH＝HC，
∴AF：CF＝1：2，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．（2025 苍溪县模拟）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由等边三角形的性质得出AB＝DC，∠B＝∠C＝60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
【解答】解∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD：DC＝1：2，
∴，
∴，
∴，
∴DE．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2025 光明区二模）如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝60cm，则AF的长度为 15 cm．
【考点】相似三角形的判定与性质．网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用矩形性质可以证明△AEH∽△CGE，△AEF∽△CED，CD＝AB＝60cm，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，矩形护栏ABCD中，AB＝60cm，
∴AB∥CD，
∴△AEH∽△CGE，△AEF∽△CED，CD＝AB＝60cm，
∴AE：EC＝AH：GC＝1：4，
∴AF：CD＝AE：CE＝1：4，
∴AFCD＝15cm．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定，解题的关键是灵活运用题目已知条件得出结论．
15．（2025 汕头模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为 ．
【考点】平行线分线段成比例．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DH∥AE交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．
【解答】解：过点D作DH∥AE交BC于H，
∴，，
∵D是AC的中点，BF：FD＝4：1，BC＝10，
∴CD＝DA，BF＝4FD，
∴1，4，
∴CH＝HE，BE＝4EH，
∴BE＝2CE，
∴10＝BC＝BE+CE＝2CE+CE，
∴CE，
即CE的长为．
故选：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．（2025 徐汇区模拟）我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为A4的矩形纸片ABCD，将其长边对折（EF为折痕），得到两个全等的A5矩形纸片，且A4、A5这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ．
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为x，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：x，
解得y：x＝1：，
∴这个“白银比”为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例．
17．（2025 徐汇区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果AE＝2BE，且S△ABC＝36．那么正方形CDEF的面积为 16 ．
【考点】平行线分线段成比例；三角形的面积；正方形的性质．网版权所有
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】16．
【分析】设正方形CDEF的边长为x，得到CD＝CF＝EF＝DE＝x根据平行线分线段成比例定理得到2，，求得AD＝2CD＝2x，BFx，AC＝3x，BCx，根据三角形的面积公式列方程得到CD＝4，于是得到正方形CDEF的面积＝4×4＝16．
【解答】解：设正方形CDEF的边长为x，
∴CD＝CF＝EF＝DE＝x
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴2，，
∴AD＝2CD＝2x，BFx，
∴AC＝3x，BCx，
∵S△ABC＝36．
∴3x x＝36，
∴x＝4（负值舍去），
∴CD＝4，
∴正方形CDEF的面积＝4×4＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
18．（2025 徐汇区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanB，E是边AB上一点，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，如果AB′∥BC，那么的值为 或 ．
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【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】或．
【分析】根据，设AC＝4x，BC＝5x，运用勾股定理可得，分类讨论：如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，AB'∥BC，设AB，CB'交于点F，运用勾股定理可得AB＝3x，由平行可证△AB'F∽△BCF，可得解得，，再证△B'EF∽△AEB'，可得即可求解；将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB'∥BC，延长B'A，CE交于点G，运用勾股定理可得AB'＝3x，由折叠与平行的性质可得BC＝B'C＝B'G，则AG＝2x，再证△AGE∽△BCE，得到即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
设AC＝4x，BC＝5x，
∴，
如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB′∥BC，设AB，CB'交于点F，
∴BC＝B'C＝5x，∠B'AC＝∠ACB＝90°，
在Rt△AB'C中，，
∵AB'∥BC，
∴△AB'F∽△BCF，
∴，
∵CF+B'F＝CB'＝5x，
∴CF＝5x﹣B'F，
∴，
解得：，
同理，，
∴，
∴，
解得：，
∵折叠，
∴∠CBE＝∠CB'E，BE＝B'E，
∵AB'∥BC，
∴∠CBA＝∠B'AB，
∴∠EB'F＝∠EAB'，且∠B'EF＝∠AEB'，
∴△B'EF∽△AEB'，
∴，即，
整理得，，
∵B'E＝BE，
∴；
如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB'∥BC，延长B'A，CE交于点G，
∴B'G∥BC，
∴∠G＝∠BCG，∠B'AC＝∠ACB＝90°，
∵折叠，
∴∠BCG＝∠B'CG，BC＝B'C＝5x，
∴∠G＝∠B'CG，
∴B'C＝B'G＝5x，
在Rt△ACB'中，，
∴AG＝B'G﹣AB'＝5x﹣3x＝2x，
∵AG∥BC，
∴△AGE∽△BCE，
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
19．（2025 徐汇区模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE＝BF＝DG，联结CE、FG，交于点H，如果AE：BE＝1：2，那么的值为 ．
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【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】延长DA、CE交于点P，设AE＝m，则AE＝BF＝DG＝m，由AE：BE＝1：2，得BE＝2AE＝2m，由正方形的性质得AD＝BC＝AB＝3m，所以AG＝CF＝2m，由AP∥BC，证明△APE∽△BCE，由，所以APBCm，则PGm，再证明△PGH∽△CFH，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长DA、CE交于点P，设AE＝m，
∵AE＝BF＝DG，AE：BE＝1：2，
∴AE＝BF＝DG＝m，BE＝2AE＝2m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AB＝m+2m＝3m，AD∥BC，
∴AG＝CF＝3m﹣m＝2m，
∵AP∥BC，
∴△APE∽△BCE，
∴，
∴APBC3mm，
∴PG＝2mmm，
∵PG∥CF，
∴△PGH∽△CFH，
∴，
故答案为：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（2025 旌阳区二模）《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为 ．
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【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观．
【答案】．
【分析】由题意得正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的相似比为1：2，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的面积比为1：4，可得正方形A′B′C′D′的面积为16，则可得正方形A′B′C′D′的边长为4，进而可得四边形A′B′C′D′的外接圆的直径为，从而可得答案．
【解答】解：∵A′B′：AB＝2：1，
∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的相似比为1：2，
∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的面积比为1：4，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形A′B′C′D′的面积为16，
∴正方形A′B′C′D′的边长为4．
∴四边形A′B′C′D′的外接圆的直径为，
∴四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为．
故答案为：．
【点评】本题考查位似变换、正方形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质、正方形的性质等相关知识点是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 池州一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，连接CE，交对角线BD于点F，且AE＝CE．
（1）若∠ADB＝35°，求∠DCE的度数；
（2）若EF＝1，CF＝4，求DE的长；
（3）若DE＝DF，求的值．
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【专题】三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图，连接AC，交对角线BD于点O，根据矩形的性质得到OA＝OD，∠ADC＝90°，则∠CAD＝∠ADB＝35°，由等边对等角得到∠ECA＝∠EAC＝35°，由三角形外角的性质得到∠DEC＝70°，根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据矩形的性质得到△EFD∽△CFB，，则BC＝4DE，设DE＝x，则BC＝AD＝4x，AE＝CE＝EF+CF＝1+4＝5，所以DE＝AD﹣AE＝4x﹣5，由此列式求解即可；
（3）设DE＝DF＝a，CE＝AE＝b，由矩形的性质，结合题意得到∠DEF＝∠DFE＝∠BFC＝∠BCF，BC＝BF＝AD＝a+b，BD＝BF+DF＝BF+DE＝a+b+a＝2a+b，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2﹣BC2＝CD2，在Rt△CDE中，由勾股定理得EC2﹣ED2＝CD2，整理得b2﹣2ab﹣4a2＝0，所以，即，由（2）知△EFD∽△CFB，可得，由此即可求解．
【解答】解：（1）如图，连接AC，交对角线BD于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADB＝35°，
∵CE＝AE，
∴∠ECA＝∠EAC＝35°，
∴∠DEC＝70°，
∴∠DCE＝90°﹣∠DEC＝90°﹣70°＝20°．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠FCB，∠EDF＝∠FBC，
∴△EFD∽△CFB，
∴，
∵EF＝1，CF＝4，
∴，即BC＝4DE，
设DE＝x，则BC＝AD＝4x，
∵AE＝CE＝EF+CF＝1+4＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝4x﹣5，
即x＝4x﹣5，
解得，
∴DE的长为．
（3）设CE＝AE＝b，DE＝DF＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠CDE＝∠BCD＝90°，
∴∠DEF＝∠FCB，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠DEF＝∠DFE＝∠BFC＝∠BCF，
∴BD＝BF+DF＝BF+DE＝a+b+a＝2a+b，BC＝BF＝AD＝a+b，
在Rt△BCD中，BD2﹣BC2＝CD2，
在Rt△CDE中，EC2﹣ED2＝CD2，
∴BD2﹣BC2＝EC2﹣ED2，即（2a+b）2﹣（a+b）2＝b2﹣a2，
整理得b2﹣2ab﹣4a2＝0，
∴，
∵a＞0，b＞0，
∴，
∴，
由（2）知△EFD∽△CFB，
∴．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，数形结合分析是解题的关键．
22．（2025 河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注 点F，M，D，C在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
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【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】（1）见解析；
（2）纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）小红的结果误差较大，理由见解析．
【分析】（1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论；
（2）令BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形，设AB＝xm，证明△NEH﹣△NAB得到，求出x的值即可；
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．
【解答】解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，
∴，
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，
即DE＝DF，
∴CD＝CA；
（2）如图，令BN与DE的交点为H，
则四边形BCDH和MNHD是矩形，
∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m，
∴BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m，
∴EH＝DE﹣DH＝0.9m，
设AB＝xm，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m，
∴BH＝CD＝（1.2+x）m，
∴NB＝BH+NH＝（2.2+x），
∵EH∥AB，
∴△NEH∽△NAB，
∴，
∴，
解得：x＝19.8，
经检验，x＝19.8是原方程的解，
答：纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度为19.8m，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
23．（2025 威海一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为DP、EQ，这两面墙间距DE＝3米，经观测，太阳光线常从院墙EQ方向照进院子中，房子墙壁DP下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边DH紧贴着左侧院墙，DH＝2米．图3是院子的左视图，已知弧AB所在的圆的圆心O恰好在墙壁AD上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离AD＝2.6m，外边缘B到墙壁AD的距离BC＝1.6m，AC＝0.8m．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙EG落在地面上的影子是EF，EG＝1.2m．
（1）根据以上数据，求圆心O到地面的距离；
（2）如图4，小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧AB的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
（3）如图5，当遮阳棚边缘B的影子正好落在点D处时，求此时围墙的影长．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）圆心O到地面的距离为0.6m；
（2）小明的说法正确，如图，设光线的延长线交ED延长线于K，
∵BK∥FG，
∴∠GFE＝∠K，
∵BC∥DE，
∴∠K＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠GFE，
∵AC＝0.8m，OB＝OA＝2m，
∴EG＝1.2m，OC＝2﹣0.8＝1.2m，
∴OC＝EG，
∵∠OCB＝∠GEF＝90°，
∴△BCO≌△FEG（AAS），
∴OB＝FG，
∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧AB的半径，小明的说法正确；
（3）．
【分析】（1）由题意可得：BC⊥AD，OA＝OB，设OA＝OB＝rm，再利用勾股定理求解r，从而可得答案；
（2）如图，设光线的延长线交ED于K，证明△BCO≌△FEG，可得OB＝FG，从而可得结论；
（3）过B作GF∥BD交DE于F，过B作BK⊥DE于K，证明四边形CDKB为矩形，可得CD＝BK，DK＝BC＝1.6，证明△BDK∽△GFE，可得．
【解答】解：（1）设OA＝OB＝rm，
∵AC＝0.8m，
∴CO＝（r﹣0.8）m，
∵BC＝1.6m，
∴r2＝1.62+（r﹣0.8）2，
解得r＝2，
∴圆心O到地面的距离为AD﹣AO＝2.6﹣2＝0.6（m）；
（2）小明的说法正确．理由如下：
如图，设光线的延长线交ED延长线于K，
∵BK∥FG，
∴∠GFE＝∠K，
∵BC∥DE，
∴∠K＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠GFE，
∵AC＝0.8m，OB＝OA＝2m，
∴EG＝1.2m，OC＝2﹣0.8＝1.2m，
∴OC＝EG，
∵∠OCB＝∠GEF＝90°，
∴△BCO≌△FEG（AAS），
∴OB＝FG，
∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧AB的半径，小明的说法正确；
（3）过B作BK⊥DE于K，过G作GF∥BD交DE于F，
∵BC⊥AD，
∴∠BCD＝∠CDE＝∠BKD＝90°，
则由题意得四边形CDKB为矩形，
∴DK＝BC＝1.6m，CD＝BK＝2.6﹣0.8＝1.8m，
∴∠BKD＝∠GEF＝90°，∠BDK＝∠GFE，
∴△BDK∽△GFE，
∴，
∴EF，
答：围墙的影长．
【点评】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
24．（2025 新疆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点．
（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；
（2）当a时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值；
（3）当a时，求MN+ND的最小值．
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【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先求出AB、AC的长，再根据中点求出AD、BN的长，即可得a的值；
（2）设BN＝x，得到，CN＝BC﹣BN＝4﹣x，进而得到，分△CDN∽△BMN和△CND∽△BMN两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可；
（3）法一（几何法）：以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，易得△AED为等腰直角三角形，得到，∠DAE＝45°，进而得到四边形EDNB为平行四边形，得到BE＝DN，将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF，证明△AEB≌△BNF，得到BE＝DF，进而得到DF＝DN，得到MN+ND＝MN+NF≥MF，勾股定理求出MF的长即可．法二（代数法）：作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，由BM，可得BE＝ME＝1，设BN＝x，则AD，CD，
DF＝CFCD＝2﹣x，EN，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2，由勾股定理可得MN+ND，上式结果可看成点（x，0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和，根据将军饮马原理即可求得结果．
【解答】解：（1）∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，
∴AB＝AC．
当点D和点N分别是AC和BC的中点时，
可得ADAC，BNBC＝2，
故a．
（2）∵，AD＝aBN，
∴ADBN，设BN＝x，则，CN＝BC﹣BN＝4﹣x，
∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，
∴，，
∵M是AB的中点，
∴，
∴∠B＝∠C＝45°，
当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况：
①当△CDN∽△BMN时，则，
即，此方程无解，不符合题意；
②当△CND∽△BMN时，则，
∴解得：（不符合题意，舍去）或，
∴，
综上可得．
（3）法一（几何法）：
∵，AD＝aBN，
∴．
以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，则∠ADE＝∠C＝45°，
如图所示：
∴，
∴AE＝DE＝BN，
∵∠ADE＝∠C＝45°，
∴DE∥BN，
∴四边形EDNB为平行四边形，
∴BE＝DN，
将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF，
则BF＝AB＝2，∠ABF＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠NBF＝45°＝∠BAE，
又∵AB＝BF，AE＝BN，
∴△AEB≌△BNF（SAS），
∴BE＝NF，
∴DN＝NF，
∴MN+ND＝MN+NF≥MF，
∴当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小为MF的长，
在Rt△MBF中，，，
故，
∴MN+ND的最小值为．
法二（代数法）：作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，如图所示：
∵BM，
∴BE＝ME＝1，设BN＝x，
则AD，CD＝AC﹣AD，
∵∠C＝45°，
∴DF＝CFCD＝2﹣x，
∴EN，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2，
由勾股定理可得MN+ND
，
上式结果可看成点（x，0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和，
欲求和最小，根据将军饮马原理，作点（1，1）关于x轴的对称点（1，﹣1），
则MN+ND的最小值为．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值等知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形是解题关键．
25．（2025 南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G．
（1）求证：AG＝2GC；
（2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I．
①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离；
②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值．
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【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①点I到BC的距离为2；
②．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到，得到BC＝2CM，求得AD＝2CM，得到，于是得到AG＝2GC；
（2）①根据勾股定理得到，求得BD＝AC＝10，如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H，设IH＝r，则（BC+CD+BD） rBC CD，得到r＝2，于是得到结论；
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，由AB+AC＝2BC得，在△BCD中，，解方程得到，根据相似三角形的性质得到，求得，得到GQ＝IH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADG∽△CMG，
∴，
∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM，
∴AD＝2CM，
∴，
∴AG＝2GC；
（2）解：①在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴，
∴BD＝AC＝10，
如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H，
设IH＝r，则（BC+CD+BD） rBC CD，
∴r＝2，
即IH＝2，
∴点I到BC的距离为2；
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，
设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，
由AB+AC＝2BC得，
在△BCD中，，
∴，
∵GQ∥AB，
∴△CGQ∽△CAB，
∴，
∵AG＝2GC，
∴AC＝3GC，
∴，
∴，
∴GQ＝IH，
∵IH⊥BC，GQ⊥BC，
∴GQ∥IH，
∴四边形GQHI是平行四边形，
∴GI∥BC，
即EF∥BC，
∴，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
∴．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．（2025 南岗区校级模拟）如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025 余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
B．a＝2，b，c＝2，d
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a，b＝3，c＝2，d
3．（2025 芜湖一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
4．（2025 广州二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（ ）
A．30cm B． C．20cm D．
5．（2025 灌南县校级模拟）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A． B．4 C． D．5
6．（2025 威海一模）如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点，连接CE，DF，CE与DF交于点G，连接BG，过点D作DM∥BG，分别交CE、BC于点H、M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025 铁东区三模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（ ）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
8．（2025 天津校级模拟）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025 云岩区校级模拟）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025 萧山区二模）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（1，﹣2）
C．（﹣4，8） D．（﹣4，8）或（4，﹣8）
二．填空题（共10小题）
11．（2025 观山湖区校级一模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高AB＝10cm，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC约为 cm．
12．（2025 安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，那么 ．
13．（2025 苍溪县模拟）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ．
14．（2025 光明区二模）如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝60cm，则AF的长度为 cm．
15．（2025 汕头模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为 ．
16．（2025 徐汇区模拟）我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为A4的矩形纸片ABCD，将其长边对折（EF为折痕），得到两个全等的A5矩形纸片，且A4、A5这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ．
17．（2025 徐汇区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果AE＝2BE，且S△ABC＝36．那么正方形CDEF的面积为 ．
18．（2025 徐汇区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanB，E是边AB上一点，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，如果AB′∥BC，那么的值为 ．
19．（2025 徐汇区模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE＝BF＝DG，联结CE、FG，交于点H，如果AE：BE＝1：2，那么的值为 ．
20．（2025 旌阳区二模）《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 池州一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，连接CE，交对角线BD于点F，且AE＝CE．
（1）若∠ADB＝35°，求∠DCE的度数；
（2）若EF＝1，CF＝4，求DE的长；
（3）若DE＝DF，求的值．
22．（2025 河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注 点F，M，D，C在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
23．（2025 威海一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为DP、EQ，这两面墙间距DE＝3米，经观测，太阳光线常从院墙EQ方向照进院子中，房子墙壁DP下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边DH紧贴着左侧院墙，DH＝2米．图3是院子的左视图，已知弧AB所在的圆的圆心O恰好在墙壁AD上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离AD＝2.6m，外边缘B到墙壁AD的距离BC＝1.6m，AC＝0.8m．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙EG落在地面上的影子是EF，EG＝1.2m．
（1）根据以上数据，求圆心O到地面的距离；
（2）如图4，小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧AB的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
（3）如图5，当遮阳棚边缘B的影子正好落在点D处时，求此时围墙的影长．
24．（2025 新疆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点．
（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；
（2）当a时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值；
（3）当a时，求MN+ND的最小值．
25．（2025 南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G．
（1）求证：AG＝2GC；
（2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I．
①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离；
②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值．
2026年中考数学解密之图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B A B C D A B
一．选择题（共10小题）
1．（2025 南岗区校级模拟）如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，
∴，
故本选项不符合题目要求；
B、∵AE∥DF，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
故本选项不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF＝DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴，
故本选项不符合题目要求；
D、∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
故本选项符合题目要求．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
2．（2025 余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
B．a＝2，b，c＝2，d
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a，b＝3，c＝2，d
【考点】比例线段．网版权所有
【答案】B
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误；
B、22，四条线段成比例，故本选项正确；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误；
D、3≠2，四条线段不成比例，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．（2025 芜湖一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
【考点】相似三角形的判定．网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
4．（2025 广州二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（ ）
A．30cm B． C．20cm D．
【考点】相似三角形的判定与性质．网版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】证明△COD∽△BOA，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．
【解答】解：根据题意得CD∥AB，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∵AB＝50cm，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
5．（2025 灌南县校级模拟）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A． B．4 C． D．5
【考点】相似三角形的应用．网版权所有
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．
【解答】解：已知物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得，
解得，
即蜡烛火焰的高度是，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，解答本题的关键要明确：相似三角形对应高线的比等于相似比．
6．（2025 威海一模）如图，在 ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点，连接CE，DF，CE与DF交于点G，连接BG，过点D作DM∥BG，分别交CE、BC于点H、M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行线分线段成比例．网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】延长DF交CB的延长线于点N，利用平行四边形的性质相似三角形的判定与性质得到BN＝BC＝AD，再利用相似三角形的判定与性质得到BMBC，得到CM＝BC﹣BMBC，由△DEH∽△MCH得到，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
延长DF交CB的延长线于点N，如图，
∵F是AB的中点，
∴BFABCD，
∴NBNC，
∴BN＝BC＝AD，
∴NC＝2BC，
∵E是AD的中点，
∴DEADBC，
AB∥CD，
∴△NBF∽△NCD，
∴，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△NCG
∴，
∵DM∥GB，
∴
∴BMBNBC，
∴CM＝BC﹣BMBC，
∵AD∥BC，
∴△DEH∽△MCH，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2025 铁东区三模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（ ）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
【考点】平行线分线段成比例．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据平行线等分线段定理列比例式求得DF＝27cm．BF＝BD+DF＝72cm，再运用线段的和差求解即可．
【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，
∴，
∴，
解得：DF＝27cm．
∴BF＝BD+DF＝72cm，
∴BF＝BD+DF＝72cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键．
8．（2025 天津校级模拟）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．网版权所有
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA；根据相似三角形的对应边成比例，即可解答题目．
【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，
∴，，
∴．
∴结论一定正确的是．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
9．（2025 云岩区校级模拟）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定．网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．
A、∵，∠C＝∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；
B、∵，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
C、∵，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
D、∵，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
10．（2025 萧山区二模）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（1，﹣2）
C．（﹣4，8） D．（﹣4，8）或（4，﹣8）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，点A的坐标为（﹣2，4），
∴点A的对应点A′的坐标为（﹣2，4）或[﹣2×（），4×（）），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 观山湖区校级一模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高AB＝10cm，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC约为 6.18 cm．
【考点】黄金分割．网版权所有
【专题】运算能力．
【答案】6.18．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
，
因为AB＝10cm，
所以AC≈6.18（cm）．
故答案为：6.18．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
12．（2025 安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，那么 ．
【考点】平行线分线段成比例；三角形中位线定理．网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到AF＝FH＝HC，得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵DH∥BF，AD是△ABC的中线，
∴CH＝HF，
∵DH∥BF，E是AD中点，
∴AF＝FH，
∴AF＝FH＝HC，
∴AF：CF＝1：2，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．（2025 苍溪县模拟）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由等边三角形的性质得出AB＝DC，∠B＝∠C＝60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
【解答】解∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD：DC＝1：2，
∴，
∴，
∴，
∴DE．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2025 光明区二模）如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝60cm，则AF的长度为 15 cm．
【考点】相似三角形的判定与性质．网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用矩形性质可以证明△AEH∽△CGE，△AEF∽△CED，CD＝AB＝60cm，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，矩形护栏ABCD中，AB＝60cm，
∴AB∥CD，
∴△AEH∽△CGE，△AEF∽△CED，CD＝AB＝60cm，
∴AE：EC＝AH：GC＝1：4，
∴AF：CD＝AE：CE＝1：4，
∴AFCD＝15cm．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定，解题的关键是灵活运用题目已知条件得出结论．
15．（2025 汕头模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为 ．
【考点】平行线分线段成比例．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DH∥AE交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．
【解答】解：过点D作DH∥AE交BC于H，
∴，，
∵D是AC的中点，BF：FD＝4：1，BC＝10，
∴CD＝DA，BF＝4FD，
∴1，4，
∴CH＝HE，BE＝4EH，
∴BE＝2CE，
∴10＝BC＝BE+CE＝2CE+CE，
∴CE，
即CE的长为．
故选：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．（2025 徐汇区模拟）我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为A4的矩形纸片ABCD，将其长边对折（EF为折痕），得到两个全等的A5矩形纸片，且A4、A5这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ．
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为x，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：x，
解得y：x＝1：，
∴这个“白银比”为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例．
17．（2025 徐汇区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果AE＝2BE，且S△ABC＝36．那么正方形CDEF的面积为 16 ．
【考点】平行线分线段成比例；三角形的面积；正方形的性质．网版权所有
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】16．
【分析】设正方形CDEF的边长为x，得到CD＝CF＝EF＝DE＝x根据平行线分线段成比例定理得到2，，求得AD＝2CD＝2x，BFx，AC＝3x，BCx，根据三角形的面积公式列方程得到CD＝4，于是得到正方形CDEF的面积＝4×4＝16．
【解答】解：设正方形CDEF的边长为x，
∴CD＝CF＝EF＝DE＝x
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴2，，
∴AD＝2CD＝2x，BFx，
∴AC＝3x，BCx，
∵S△ABC＝36．
∴3x x＝36，
∴x＝4（负值舍去），
∴CD＝4，
∴正方形CDEF的面积＝4×4＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
18．（2025 徐汇区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanB，E是边AB上一点，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，如果AB′∥BC，那么的值为 或 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】或．
【分析】根据，设AC＝4x，BC＝5x，运用勾股定理可得，分类讨论：如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，AB'∥BC，设AB，CB'交于点F，运用勾股定理可得AB＝3x，由平行可证△AB'F∽△BCF，可得解得，，再证△B'EF∽△AEB'，可得即可求解；将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB'∥BC，延长B'A，CE交于点G，运用勾股定理可得AB'＝3x，由折叠与平行的性质可得BC＝B'C＝B'G，则AG＝2x，再证△AGE∽△BCE，得到即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
设AC＝4x，BC＝5x，
∴，
如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB′∥BC，设AB，CB'交于点F，
∴BC＝B'C＝5x，∠B'AC＝∠ACB＝90°，
在Rt△AB'C中，，
∵AB'∥BC，
∴△AB'F∽△BCF，
∴，
∵CF+B'F＝CB'＝5x，
∴CF＝5x﹣B'F，
∴，
解得：，
同理，，
∴，
∴，
解得：，
∵折叠，
∴∠CBE＝∠CB'E，BE＝B'E，
∵AB'∥BC，
∴∠CBA＝∠B'AB，
∴∠EB'F＝∠EAB'，且∠B'EF＝∠AEB'，
∴△B'EF∽△AEB'，
∴，即，
整理得，，
∵B'E＝BE，
∴；
如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB'∥BC，延长B'A，CE交于点G，
∴B'G∥BC，
∴∠G＝∠BCG，∠B'AC＝∠ACB＝90°，
∵折叠，
∴∠BCG＝∠B'CG，BC＝B'C＝5x，
∴∠G＝∠B'CG，
∴B'C＝B'G＝5x，
在Rt△ACB'中，，
∴AG＝B'G﹣AB'＝5x﹣3x＝2x，
∵AG∥BC，
∴△AGE∽△BCE，
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
19．（2025 徐汇区模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE＝BF＝DG，联结CE、FG，交于点H，如果AE：BE＝1：2，那么的值为 ．
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【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】延长DA、CE交于点P，设AE＝m，则AE＝BF＝DG＝m，由AE：BE＝1：2，得BE＝2AE＝2m，由正方形的性质得AD＝BC＝AB＝3m，所以AG＝CF＝2m，由AP∥BC，证明△APE∽△BCE，由，所以APBCm，则PGm，再证明△PGH∽△CFH，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长DA、CE交于点P，设AE＝m，
∵AE＝BF＝DG，AE：BE＝1：2，
∴AE＝BF＝DG＝m，BE＝2AE＝2m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AB＝m+2m＝3m，AD∥BC，
∴AG＝CF＝3m﹣m＝2m，
∵AP∥BC，
∴△APE∽△BCE，
∴，
∴APBC3mm，
∴PG＝2mmm，
∵PG∥CF，
∴△PGH∽△CFH，
∴，
故答案为：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（2025 旌阳区二模）《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为 ．
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【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观．
【答案】．
【分析】由题意得正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的相似比为1：2，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的面积比为1：4，可得正方形A′B′C′D′的面积为16，则可得正方形A′B′C′D′的边长为4，进而可得四边形A′B′C′D′的外接圆的直径为，从而可得答案．
【解答】解：∵A′B′：AB＝2：1，
∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的相似比为1：2，
∴正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的面积比为1：4，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形A′B′C′D′的面积为16，
∴正方形A′B′C′D′的边长为4．
∴四边形A′B′C′D′的外接圆的直径为，
∴四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为．
故答案为：．
【点评】本题考查位似变换、正方形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质、正方形的性质等相关知识点是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 池州一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，连接CE，交对角线BD于点F，且AE＝CE．
（1）若∠ADB＝35°，求∠DCE的度数；
（2）若EF＝1，CF＝4，求DE的长；
（3）若DE＝DF，求的值．
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【专题】三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图，连接AC，交对角线BD于点O，根据矩形的性质得到OA＝OD，∠ADC＝90°，则∠CAD＝∠ADB＝35°，由等边对等角得到∠ECA＝∠EAC＝35°，由三角形外角的性质得到∠DEC＝70°，根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据矩形的性质得到△EFD∽△CFB，，则BC＝4DE，设DE＝x，则BC＝AD＝4x，AE＝CE＝EF+CF＝1+4＝5，所以DE＝AD﹣AE＝4x﹣5，由此列式求解即可；
（3）设DE＝DF＝a，CE＝AE＝b，由矩形的性质，结合题意得到∠DEF＝∠DFE＝∠BFC＝∠BCF，BC＝BF＝AD＝a+b，BD＝BF+DF＝BF+DE＝a+b+a＝2a+b，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2﹣BC2＝CD2，在Rt△CDE中，由勾股定理得EC2﹣ED2＝CD2，整理得b2﹣2ab﹣4a2＝0，所以，即，由（2）知△EFD∽△CFB，可得，由此即可求解．
【解答】解：（1）如图，连接AC，交对角线BD于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADB＝35°，
∵CE＝AE，
∴∠ECA＝∠EAC＝35°，
∴∠DEC＝70°，
∴∠DCE＝90°﹣∠DEC＝90°﹣70°＝20°．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠FCB，∠EDF＝∠FBC，
∴△EFD∽△CFB，
∴，
∵EF＝1，CF＝4，
∴，即BC＝4DE，
设DE＝x，则BC＝AD＝4x，
∵AE＝CE＝EF+CF＝1+4＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝4x﹣5，
即x＝4x﹣5，
解得，
∴DE的长为．
（3）设CE＝AE＝b，DE＝DF＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠CDE＝∠BCD＝90°，
∴∠DEF＝∠FCB，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠DEF＝∠DFE＝∠BFC＝∠BCF，
∴BD＝BF+DF＝BF+DE＝a+b+a＝2a+b，BC＝BF＝AD＝a+b，
在Rt△BCD中，BD2﹣BC2＝CD2，
在Rt△CDE中，EC2﹣ED2＝CD2，
∴BD2﹣BC2＝EC2﹣ED2，即（2a+b）2﹣（a+b）2＝b2﹣a2，
整理得b2﹣2ab﹣4a2＝0，
∴，
∵a＞0，b＞0，
∴，
∴，
由（2）知△EFD∽△CFB，
∴．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，数形结合分析是解题的关键．
22．（2025 河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注 点F，M，D，C在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
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【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】（1）见解析；
（2）纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）小红的结果误差较大，理由见解析．
【分析】（1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论；
（2）令BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形，设AB＝xm，证明△NEH﹣△NAB得到，求出x的值即可；
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．
【解答】解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，
∴，
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，
即DE＝DF，
∴CD＝CA；
（2）如图，令BN与DE的交点为H，
则四边形BCDH和MNHD是矩形，
∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m，
∴BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m，
∴EH＝DE﹣DH＝0.9m，
设AB＝xm，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m，
∴BH＝CD＝（1.2+x）m，
∴NB＝BH+NH＝（2.2+x），
∵EH∥AB，
∴△NEH∽△NAB，
∴，
∴，
解得：x＝19.8，
经检验，x＝19.8是原方程的解，
答：纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度为19.8m，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
23．（2025 威海一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为DP、EQ，这两面墙间距DE＝3米，经观测，太阳光线常从院墙EQ方向照进院子中，房子墙壁DP下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边DH紧贴着左侧院墙，DH＝2米．图3是院子的左视图，已知弧AB所在的圆的圆心O恰好在墙壁AD上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离AD＝2.6m，外边缘B到墙壁AD的距离BC＝1.6m，AC＝0.8m．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙EG落在地面上的影子是EF，EG＝1.2m．
（1）根据以上数据，求圆心O到地面的距离；
（2）如图4，小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧AB的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
（3）如图5，当遮阳棚边缘B的影子正好落在点D处时，求此时围墙的影长．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）圆心O到地面的距离为0.6m；
（2）小明的说法正确，如图，设光线的延长线交ED延长线于K，
∵BK∥FG，
∴∠GFE＝∠K，
∵BC∥DE，
∴∠K＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠GFE，
∵AC＝0.8m，OB＝OA＝2m，
∴EG＝1.2m，OC＝2﹣0.8＝1.2m，
∴OC＝EG，
∵∠OCB＝∠GEF＝90°，
∴△BCO≌△FEG（AAS），
∴OB＝FG，
∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧AB的半径，小明的说法正确；
（3）．
【分析】（1）由题意可得：BC⊥AD，OA＝OB，设OA＝OB＝rm，再利用勾股定理求解r，从而可得答案；
（2）如图，设光线的延长线交ED于K，证明△BCO≌△FEG，可得OB＝FG，从而可得结论；
（3）过B作GF∥BD交DE于F，过B作BK⊥DE于K，证明四边形CDKB为矩形，可得CD＝BK，DK＝BC＝1.6，证明△BDK∽△GFE，可得．
【解答】解：（1）设OA＝OB＝rm，
∵AC＝0.8m，
∴CO＝（r﹣0.8）m，
∵BC＝1.6m，
∴r2＝1.62+（r﹣0.8）2，
解得r＝2，
∴圆心O到地面的距离为AD﹣AO＝2.6﹣2＝0.6（m）；
（2）小明的说法正确．理由如下：
如图，设光线的延长线交ED延长线于K，
∵BK∥FG，
∴∠GFE＝∠K，
∵BC∥DE，
∴∠K＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠GFE，
∵AC＝0.8m，OB＝OA＝2m，
∴EG＝1.2m，OC＝2﹣0.8＝1.2m，
∴OC＝EG，
∵∠OCB＝∠GEF＝90°，
∴△BCO≌△FEG（AAS），
∴OB＝FG，
∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧AB的半径，小明的说法正确；
（3）过B作BK⊥DE于K，过G作GF∥BD交DE于F，
∵BC⊥AD，
∴∠BCD＝∠CDE＝∠BKD＝90°，
则由题意得四边形CDKB为矩形，
∴DK＝BC＝1.6m，CD＝BK＝2.6﹣0.8＝1.8m，
∴∠BKD＝∠GEF＝90°，∠BDK＝∠GFE，
∴△BDK∽△GFE，
∴，
∴EF，
答：围墙的影长．
【点评】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
24．（2025 新疆）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，AD＝aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点．
（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；
（2）当a时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值；
（3）当a时，求MN+ND的最小值．
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【专题】图形的全等；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先求出AB、AC的长，再根据中点求出AD、BN的长，即可得a的值；
（2）设BN＝x，得到，CN＝BC﹣BN＝4﹣x，进而得到，分△CDN∽△BMN和△CND∽△BMN两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可；
（3）法一（几何法）：以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，易得△AED为等腰直角三角形，得到，∠DAE＝45°，进而得到四边形EDNB为平行四边形，得到BE＝DN，将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF，证明△AEB≌△BNF，得到BE＝DF，进而得到DF＝DN，得到MN+ND＝MN+NF≥MF，勾股定理求出MF的长即可．法二（代数法）：作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，由BM，可得BE＝ME＝1，设BN＝x，则AD，CD，
DF＝CFCD＝2﹣x，EN，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2，由勾股定理可得MN+ND，上式结果可看成点（x，0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和，根据将军饮马原理即可求得结果．
【解答】解：（1）∵三角形ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，
∴AB＝AC．
当点D和点N分别是AC和BC的中点时，
可得ADAC，BNBC＝2，
故a．
（2）∵，AD＝aBN，
∴ADBN，设BN＝x，则，CN＝BC﹣BN＝4﹣x，
∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，
∴，，
∵M是AB的中点，
∴，
∴∠B＝∠C＝45°，
当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况：
①当△CDN∽△BMN时，则，
即，此方程无解，不符合题意；
②当△CND∽△BMN时，则，
∴解得：（不符合题意，舍去）或，
∴，
综上可得．
（3）法一（几何法）：
∵，AD＝aBN，
∴．
以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE，连接BE，则∠ADE＝∠C＝45°，
如图所示：
∴，
∴AE＝DE＝BN，
∵∠ADE＝∠C＝45°，
∴DE∥BN，
∴四边形EDNB为平行四边形，
∴BE＝DN，
将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF，
则BF＝AB＝2，∠ABF＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠NBF＝45°＝∠BAE，
又∵AB＝BF，AE＝BN，
∴△AEB≌△BNF（SAS），
∴BE＝NF，
∴DN＝NF，
∴MN+ND＝MN+NF≥MF，
∴当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小为MF的长，
在Rt△MBF中，，，
故，
∴MN+ND的最小值为．
法二（代数法）：作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，如图所示：
∵BM，
∴BE＝ME＝1，设BN＝x，
则AD，CD＝AC﹣AD，
∵∠C＝45°，
∴DF＝CFCD＝2﹣x，
∴EN，NF＝BC﹣BN﹣CF＝4﹣x﹣2+x＝2，
由勾股定理可得MN+ND
，
上式结果可看成点（x，0）到点（1，1）和点（2，2）的距离之和，
欲求和最小，根据将军饮马原理，作点（1，1）关于x轴的对称点（1，﹣1），
则MN+ND的最小值为．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值等知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形是解题关键．
25．（2025 南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G．
（1）求证：AG＝2GC；
（2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I．
①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离；
②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值．
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【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①点I到BC的距离为2；
②．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到，得到BC＝2CM，求得AD＝2CM，得到，于是得到AG＝2GC；
（2）①根据勾股定理得到，求得BD＝AC＝10，如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H，设IH＝r，则（BC+CD+BD） rBC CD，得到r＝2，于是得到结论；
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，由AB+AC＝2BC得，在△BCD中，，解方程得到，根据相似三角形的性质得到，求得，得到GQ＝IH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADG∽△CMG，
∴，
∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM，
∴AD＝2CM，
∴，
∴AG＝2GC；
（2）解：①在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴，
∴BD＝AC＝10，
如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H，
设IH＝r，则（BC+CD+BD） rBC CD，
∴r＝2，
即IH＝2，
∴点I到BC的距离为2；
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，
设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，
由AB+AC＝2BC得，
在△BCD中，，
∴，
∵GQ∥AB，
∴△CGQ∽△CAB，
∴，
∵AG＝2GC，
∴AC＝3GC，
∴，
∴，
∴GQ＝IH，
∵IH⊥BC，GQ⊥BC，
∴GQ∥IH，
∴四边形GQHI是平行四边形，
∴GI∥BC，
即EF∥BC，
∴，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
∴．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
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