(共15张PPT)
第8章 四 边 形
8.2 特殊的平行四边形
第5课时 正方形的概念、判定与性质定理
01
基础过关
02
能力进阶
目
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03
思维拓展
1. (2025·苏州段考)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( B )
A. 四边相等 B. 对角线相等
C. 对角相等 D. 对角线互相垂直
B
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2. (2025·苏州段考)如图,在正方形ABCD中,以BC为边在正方形内作等边三角形BCE,则∠AEB的度数为( D )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
D
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3. (2024·高新区段考)如图,边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm,再向右平移2cm,得到正方形A'B'C'D',此时涂色部分的面积为 40 cm2.
40
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4. (2025·浙江)如图,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(涂色部分),点E在对角线BD上.若裁剪过程中满足DE=DA,则“机翼角”∠BAE的度数为 22.5° .
22.5°
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5. (新情境·现实生活)(2025·德阳)在综合实践活动中,同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用.如图,点E,F处是它的两个门,且DE=CF,要修建两条直路AF,BE,AF与BE相交于点O(两个门E,F的大小忽略不计).这两条路是否等长 它们有什么位置关系 请说明理由.
第5题
解:两条路等长;它们的位置关系是互相垂直 理由:∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.∵ DE=CF,∴ AD-DE=CD-CF,即AE=DF. 在△BAE和△ADF中, ∴ △BAE≌△ADF(SAS),
∴ BE=AF,∠ABE=∠DAF. ∵ ∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°,
∴ ∠BAO+∠ABE=90°,∴ 在△AOB中,∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°,∴ AF⊥BE,∴ 道路AF与BE等长,且它们互相垂直.
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6. 如图,一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a. 两组对边分别相等;b. 一组对边平行且相等;c. 一组邻边相等;d. 一个角是直角.顺次添加的条件:① a→c→d;② b→d→c;③ a→b→c.其中,正确的是( C )
A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③
C
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7. (2025·自贡)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边长为5,边AB在y轴上,B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',则点D'的坐标为( A )
A. (-3,5) B. (5,-3) C. (-2,5) D. (5,-2)
A
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8. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E是OC的中点,连接BE,过点A作AM⊥BE于点M,交BD于点F. 若BD=4,则AF的长为 .
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9. (2025·北京)如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,CF⊥BE,垂足为F. 若AB=1,∠EBC=30°,则△ABF的面积为 .
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10. (教材变式)如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是各边上的点,且AE=BF=CG=DH. 求证:
(1) △AHE≌△BEF;
解:(1) ∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵ AE=BF=CG=DH,∴ BE=CF=DG=AH,∴ △AHE≌△BEF
第10题
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(2) 四边形EFGH是正方形.
解:(2)
∵ AE=BF=CG=DH,AH=BE=CF=DG,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴ EH=FE=GF=HG,∠EHA=∠HGD,∴ 四边形EFGH是菱形.
∵ ∠D=90°,∴ ∠HGD+∠GHD=90°,
∴ ∠EHA+∠GHD=90°,∴ ∠EHG=90°,∴ 四边形EFGH是正方形
第10题
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11. 如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.
(1) 求证:BQ=AP;
解:(1) ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ BA=DA,∠BAD=90°,即∠BAQ+∠DAP=90°.∵ DP⊥AQ,∴ ∠ADP+∠DAP=90°,
∴ ∠BAQ=∠ADP. ∵ AQ⊥BE,DP⊥AQ,
∴ ∠AQB=∠DPA=90°,∴ △AQB≌△DPA,∴ BQ=AP
第11题
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(2) (易错题)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段的长度差等于PQ的长.
解:(2) AQ-AP=PQ,AQ-BQ=PQ,DP-AP=PQ,DP-BQ=PQ
第11题
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11(共15张PPT)
第8章 四 边 形
8.1 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定定理1、2
01
基础过关
02
能力进阶
目
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03
思维拓展
1. 如图,在四边形ABCD中,∠A=100°,∠B=80°,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是平行四边形的为( D )
A. ∠C=100° B. ∠D=80°
C. AB∥CD D. AD∥BC
D
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2. (2024·苏州工业园区段考)如图,已知△ABD,用尺规进行如下操作:① 以点B为圆心,AD长为半径画弧;② 以点D为圆心,AB长为半径画弧;③ 两弧在BD上方交于点C,连接BC,DC. 下列可以直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据是( B )
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等
B
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3. (教材变式)如图,在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F. 请你只添加一个条件: 答案不唯一,如AE=CF (不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形.
答案不唯一,如AE=CF
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4. 如图,在 ABCD中,∠BAD=120°,连接BD,过点A作AE∥BD,交CD的延长线于点E,过点E作EF⊥BC,交BC的延长线于点F,且CF=1,则AB的长为 1 .
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5. 如图,∠DBC=90°,四边形ABCD是平行四边形吗 为什么
第5题
解:四边形ABCD是平行四边形 ∵ 在Rt△DBC中,∠DBC=90°,
∴ DB2+BC2=DC2,即42+(x-5)2=(x-3)2,解得x=8,∴ DC=5,BC=3,AD=3.又∵ AB=5,
∴ AD=BC,DC=AB,∴ 四边形ABCD是平行四边形
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6. (易错题)在四边形ABCD中,有下列条件:① AB∥CD;② AD∥BC;③ AB=CD;④ AD=BC. 从中选择两个条件,使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( B )
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
B
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7. (2024·辽宁)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,DE,CE相交于点E. 若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为( C )
A. 4 B. 6
C. 8 D. 16
第7题
C
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8. (分类讨论思想)在平面直角坐标系中,有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1),则当x的值为 4或-2 时,以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形.
9. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为AB的中点,请仅用无刻度的直尺画出△ABD的边BD上的中线(不写作法,保留作图痕迹).
4或-2
解:如图,AF即为所求作
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10. (2025·苏州工业园区段考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, . 请从“① ∠B=∠AED;② AE=BE,AE=CD”这两个条件中任选一个作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下面的问题.
(1) 求证:四边形BCDE为平行四边形;
解:(1) 选择不唯一,若选择①,∵ ∠B=∠AED,∴ BC∥DE.
∵ AB∥CD,∴ 四边形BCDE为平行四边形.若选择②,
∵ AE=BE,AE=CD,∴ BE=CD. ∵ AB∥CD,即BE∥CD,∴ 四边形BCDE为平行四边形
第10题
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(2) 若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
解:(2) 由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,∴ DE=BC=10.
∵ AD⊥AB,∴ ∠A=90°,∴ AE= = =6,即线段AE的长为6
第10题
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11. (新考法·探究题)(2024·浙江)如图①,E是 ABCD的边AD上一点(不与点A,D重合),连接CE. 用尺规作AF∥CE,其中F是边BC上一点.小明的作法如下:如图②,以点C为圆心,AE长为半径画弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE. 小丽的作法如下:以点A为圆心,CE长为半径画弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE. 小明指出小丽的作法有问题.
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(1) 根据小明的作法,求证:AF∥CE;
解:(1) 根据小明的作法知,CF=AE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC. 又∵ CF=AE,∴ 四边形AFCE是平行四边形,∴ AF∥CE
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(2) 指出小丽的作法中存在的问题.
解:(2) 以点A为圆心,CE长为半径画弧,交BC于点F,此时可能会有两个交点,只有其中一个交点符合题意.∴ 小丽的作法有问题
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第8章 四 边 形
8.1 平行四边形
第1课时 平行四边形的概念与性质定理1
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基础过关
02
能力进阶
目
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03
思维拓展
1. 若四边形ABCD是平行四边形,则下列结论一定正确的是( B )
A. AB⊥BC B. ∠A+∠B=180°
C. AB=AD D. ∠A≠∠C
2. (2024·苏州工业园区模拟)若平行四边形的周长为24,相邻两边的差为2,则该平行四边形的各边长分别为( B )
A. 4,8,4,8 B. 5,7,5,7
C. 5.5,6.5,5.5,6.5 D. 13,11,13,11
B
B
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3. (2025·河北)平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为n.若n为整数,则n的值可以为 答案不唯一,如2 (写出一个即可).
4. (2024·苏州工业园区模拟)在如图所示的平面直角坐标系中, ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是 (7,3) .
答案不唯一,如2
(7,3)
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5. (教材变式)如图,在 ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,连接BE,DF,则BE,DF之间的数量关系和位置关系分别是 BE=DF,BE∥DF .
BE=DF,BE∥DF
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6. (2025·吴江区段考)如图,在 ABCD中,O是AB的中点,连接CO并延长,交DA的延长线于点E,求证:AE=AD.
第6题
解:∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC,
∴ ∠OAE=∠OBC,∠E=∠OCB. ∵ O是AB的中点,∴ OA=OB,
∴ △AOE≌△BOC(AAS),∴ AE=BC,∴ AE=AD
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7. (2025·高新区二模)如图,在 ABCD中,若AB=5,BC=7,BE平分∠ABC,交AD于点E,CF平分∠BCD,交AD于点F,则EF的长为( D )
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 3
第7题
D
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8. (2025·苏州期末)如图,将 ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点E处.若∠1=50°,∠2=58°,则∠A的度数为( A )
A. 101° B. 108° C. 110° D. 120°
A
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9. 如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E. 若∠A=40°,则∠ABE的度数为 70° .
70°
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10. (教材变式)(2025·苏州工业园区段考)如图,在平面直角坐标系中, ABCD的顶点A,C,D的坐标分别是(-1,2),(2,-1),(3,2),则顶点B的坐标是 (-2,-1) .
11. (分类讨论思想)已知四边形ABCD是平行四边形,AB=6,∠BAD的平分线交直线BC于点E. 若CE=2,则 ABCD的周长为 20或28 .
(-2,-1)
20或28
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第12题
解:∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AB=CD,∠B=∠D,
∴ ∠DFC=∠BCF. ∵ BE=DF,∴ △ABE≌△CDF(SAS),∴ ∠BEA=∠DFC,
∴ ∠BEA=∠BCF,∴ AE∥CF
12. (2025·苏州工业园区段考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,且BE=DF,连接AE,CF. 求证:AE∥CF.
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13. 如图,在 ABCD中,∠BCD=120°,分别延长DC,BC到点E,F,连接AE,BE,AF,DF,使△BCE和△CDF都是等边三角形.
(1) 求证:AE=FA;
解:(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠ABC=∠ADC,AB=CD,BC=DA. ∵ △BCE和△CDF都是等边三角形,∴ BE=BC,FD=CD,∠EBC=∠CDF=60°,
第13题
∴ AB=FD,BE=DA,∠ABC+∠EBC=∠ADC+∠CDF,即∠ABE=∠FDA. 在△ABE和△FDA中,
∴ △ABE≌△FDA(SAS),∴ AE=FA
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(2) 求∠EAF的度数.
解:(2) 由(1),得△ABE≌△FDA,∠EBC=60°,
∴ ∠AEB=∠FAD. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∠BCD=120°,∴ ∠BAD=∠BCD=120°,AB∥CD,
∴ ∠ABF=180°-∠BCD=180°-120°=60°,
∴ ∠ABE=∠ABF+∠EBC=60°+60°=120°,
∴ ∠AEB+∠BAE=180°-∠ABE=180°-120°=60°,
∴ ∠FAD+∠BAE=60°,∴ ∠EAF=∠BAD-(∠FAD+∠BAE)=120°-60°=60°
第13题
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13(共15张PPT)
第8章 四 边 形
8.1 平行四边形
第2课时 平行四边形的性质定理2
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. (2024·贵州)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( B )
A. AB=BC B. AD=BC
C. OA=OB D. AC⊥BD
B
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2. 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ODA=90°,AC=10,BD=6,则BC的长为( A )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
A
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3. (2025·苏州工业园区期末)如图,在 ABCD中,AD=3,对角线AC与BD相交于点O,若AC+BD=10,则△BOC的周长为 8 .
4. 在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. 若△AOB的面积为3,则 ABCD的面积为 12 .
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5. 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为边AB上的动点(不与点A,B重合),连接EO并延长,交CD于点F,图中三个涂色部分①,②,③的面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的数量关系为 S1+S2=S3 .
S1+S2=S3
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第6题答案
6. (2025·姑苏区段考)如图,在 ABCD中,AC交BD于点O,E,F分别是OA,OC的中点,请判断线段BE,DF的关系,并证明你的结论.
解:BE=DF,BE∥DF 如图,连接DE,BF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA=OC,OB=OD. ∵ E,F分别是OA,OC的中点,∴ OE= OA,OF= OC,
∴ OE=OF. 在△BOE和△DOF中,
∴ △BOE≌△DOF(SAS),∴ BE=DF,∠BEO=∠DFO,∴ BE∥DF
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7. (教材变式)(2025·湖北)如图, ABCD的对角线AC与BD的交点是原点O. 若点A的坐标是(-1,2),则点C的坐标是( C )
A. (2,-1)
B. (-2,1)
C. (1,-2)
D. (-1,-2)
第7题
C
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8. (教材变式)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE. 若△ABE的周长为14,则 ABCD的周长为( A )
A. 28 B. 24 C. 21 D. 14
A
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9. (方程思想)已知 ABCD的周长为52cm,两条对角线AC和BD相交于点O,△BOC和△DOC的周长差为6cm,则这个平行四边形的两条邻边的长分别为 16cm,10cm .
10. 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=3,AB=4,∠BAC=30°,则 ABCD的面积为 12 .
16cm,10cm
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11. 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5,BC=3,BD=4,则OC的长为 .
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12. 如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点P在边AB上,四边形ACPD是平行四边形,则CD长的最小值是 .
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13. 如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,BD=2CD,F为AD的中点,E为OC的中点.若BC=18,求EF的长.
第13题答案
解:如图,连接DE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,BC=18,
∴ BD=2OD,AD=BC=18.∵ BD=2CD,∴ OD=CD. ∵ E为OC的中点,
∴ DE⊥OC,∴ △AED是直角三角形,且∠AED=90°.∵ F为AD的中点,∴ EF= AD=9
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14. 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E.
(1) 求证:AC⊥BD;
解:(1) ∵ ∠CAB=∠ACB,∴ AB=CB. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ OA=OC,∴ AC⊥BD
第14题
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(2) 若AB=10,AC=16,求CE的长.
解:(2) ∵ AC=16,∴ OA=OC= AC=8.由(1)知,AC⊥BD,
∴ ∠AOB=90°.∵ AB=10,∴ OB= = =6.
∵ CE⊥AB,∴ S△ABC= AB·CE= AC·OB,即AB·CE=AC·OB,∴ CE= = =
第14题
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14(共15张PPT)
第8章 四 边 形
8.2 特殊的平行四边形
第4课时 菱形的判定定理
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. (2024·苏州期末)下列条件中,能使 ABCD成为菱形的是( A )
A. AC⊥BD B. AB⊥BC
C. AB=CD D. ∠BAD=∠ADC
2. 下列说法中,不正确的是( C )
A. 四边相等的四边形是菱形
B. 对角线垂直的平行四边形是菱形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等
D. 菱形的邻边相等
A
C
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3. 如图,B,C分别是锐角∠A两边上的点,AB=AC,分别以点B,C为圆心,AB的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接BD,CD. 根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是 四边相等的四边形是菱形 .
四边相等的四边形是菱形
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4. 如图,在 ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,当a的值为 2 时,四边形ECDF为菱形.
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5. 如图,点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF,连接DE,CF.
(1) 求证:AE∥BF;
解:(1) ∵ AD=BC,∴ AD+CD=BC+CD,即AC=BD. 在△AEC和△BFD中,
∴ △AEC≌△BFD(SSS),∴ ∠A=∠B,∴ AE∥BF
第5题
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(2) 若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形.
解:(2) 由(1)知,△AEC≌△BFD,∴ ∠ECA=∠FDB,
∴ EC∥DF. ∵ EC=DF,∴ 四边形DECF是平行四边形.
∵ DF=FC,∴ 四边形DECF是菱形
第5题
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6. (2024·苏州工业园区段考)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E,F分别是AB,AC的中点,连接DE,DF. 下列条件中,添加后能使四边形AEDF为菱形的是( A )
A. AB=AC B. ∠B=∠A
C. BD=DF D. DE⊥DF
A
第6题
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7. 如图,在 ABCD中,对角线AC所在的直线上有两点E,F,满足AE=AC=CF,连接BE,BF,DE,DF. 若∠EDC=90°,要使四边形BEDF为菱形,则∠DEA的度数必须为( C )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 45°
C
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8. 把一张矩形纸片按如图所示的方法对折两次,然后剪下三角形纸片并展开,得到的图形一定是 菱形 (填写一个特殊的平行四边形).
菱形
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9. 如图,在 ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连接BE,CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连接BF. 若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为 24 .
24
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解:(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,
∴ ∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA. ∵ O为BF的中点,
∴ OB=OF. 在△AOF和△EOB中,
∴ △AOF≌△EOB(AAS),∴ FA=BE. ∵ FA∥BE,∴ 四边形ABEF是平行四边形.又∵ AB=AF,∴ 四边形ABEF是菱形
第10题
10. (2025·姑苏区段考)如图,在 ABCD中,点F在边AD上,AB=AF,连接BF,O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连接EF.
(1) 求证:四边形ABEF是菱形;
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(2) 若 ABCD的周长为24,CE=2,∠BAD=120°,求AE的长.
解:(2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,AD=BC. 又∵ AF=BE,∴ 易得DF=CE=2.∵ 四边形ABEF是菱形,
∴ AB=BE=EF=FA,∴ CD=EF. ∵ ABCD的周长为24,
∴ AB+BC+CD+DA=AB+BE+EC+EF+DF+FA=24,
∴ AB+BE+EF+FA=20,∴ AB=5.∵ 四边形ABEF是菱形,∠BAD=120°,∴ ∠BAE= ∠BAD=60°.
又∵ AB=BE,∴ △ABE是等边三角形,∴ AE=AB=5
第10题
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11. (新情境·现实生活)将两张长为8cm、宽为4cm的矩形纸片按如图所示的方式叠放.
(1) 判断四边形AGCH的形状,并说明理由;
解:(1) 四边形AGCH是菱形 理由:∵ 四边形ABCD和四边形AFCE是矩形,∴ ∠B=∠F=90°,AD∥BC,AF∥CE,
∴ 四边形AGCH是平行四边形.
∵ S AGCH=GC·AB=AG·CF,AB=CF=4cm,∴ GC=AG,∴ 四边形AGCH是菱形.
第11题
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(2) 求四边形AGCH的面积.
解:(2) 由(1)可知,GC=AG. 设GC=AG=xcm,则BG=(8-x)cm.∵ 在矩形ABCD中,∠B=90°,AB=4cm,∴ 在Rt△ABG中,由勾股定理,得42+(8-x)2=x2,解得x=5,
∴ GC=5cm,∴ S菱形AGCH=GC·AB=5×4=20cm2
第11题
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11(共13张PPT)
第8章 四 边 形
8.2 特殊的平行四边形
第2课时 矩形的判定定理
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. (2025·姑苏区段考)依据所标数据,下列四边形不一定为矩形的是( A )
A
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2. (2025·相城区段考)下列说法正确的是( C )
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 有一组对边平行,有一个内角是直角的四边形是矩形
C. 两组对角分别相等,且有一个角是直角的四边形是矩形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形
C
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3. 如图,在 ABCD中,对角线BD=8cm,AE⊥BD,垂足为E,且AE=3cm,BC=4cm,则AD与BC之间的距离为 6 cm.
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4. (新情境·现实生活)如图,工人师傅砌墙时,要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是否为矩形),在确保两组对边分别平行的前提下,只要测量出对角线AC,BD的长度,然后看它们是否相等就可以判断了.
(1) 当AC = BD时,门框符合要求(填“=”或“≠”);
(2) 这种做法的依据是 对角线相等的平行四边形是矩形 .
=
对角线相等的平行四边形是矩形
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5. (2025·威海改编)如图,将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠,恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH. 判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
第5题
解:四边形EFGH是矩形 理由:∵ EF,GF是折痕,∴ ∠AFE=∠EFK= ∠AFK,∠BFG=∠KFG= ∠BFK. ∵ ∠AFB=180°,
∴ 2∠EFK+2∠KFG=180°,∴ ∠EFK+∠KFG=90°,即∠EFG=90°.同理可证∠FGH=∠EHG=90°,∴ 四边形EFGH是矩形.
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6. 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件可以是( A )
A. OM= AC B. MB=MO
C. BD⊥AC D. ∠AMB=∠CND
A
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7. (分类讨论思想)设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线.已知AB与CD之间的距离是12cm,EF与CD之间的距离是5cm,则AB与EF之间的距离是 7cm或17cm .
8. (2025·苏州工业园区期末)如图,在矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,则PQ长的最小值为 2.4 .
7cm或17cm
2.4
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9. (2025·苏州工业园区期中)如图,在 ABCD中,DE⊥BC于点E,延长CB至点F,使得BF=CE,连接AF,DF.
(1) 求证:四边形ADEF是矩形;
解:(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD∥BC,AD=BC. ∵ BF=CE,∴ BF+BE=CE+BE,即EF=BC,∴ EF=AD. ∵ EF∥AD,∴ 四边形ADEF是平行四边形.∵ DE⊥BC,∴ ∠DEF=90°,∴ 四边形ADEF是矩形
第9题
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(2) 若AB=3,DF=4,DF⊥CD,求DE的长.
解:(2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ CD=AB=3.
∵ DF⊥CD,∴ ∠CDF=90°,∴ CF= = =5.∵ △CDF的面积= DF·CD= CF·ED,即 ×4×3= ×5ED,∴ DE=
第9题
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10. 如图,AC=AB,AD=AE,DE=BC,∠BAD=∠CAE. 求证:四边形BCDE是矩形(用两种不同的矩形判定方法证明).
第10题
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解:证法一:∵ ∠BAD=∠CAE,∴ ∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC,即∠CAD=∠BAE. 又∵ AC=AB,AD=AE,∴ △CAD≌△BAE,
∴ ∠CDA=∠BEA,CD=BE. 又∵ DE=BC,∴ 四边形BCDE是平行四边形,
∴ BE∥CD,∴ ∠CDE+∠BED=180°.∵ AD=AE,∴ ∠ADE=∠AED,
∴ ∠CDA-∠ADE=∠BEA-∠AED,即∠CDE=∠BED,
∴ ∠CDE=∠BED=90°,∴ 四边形BCDE是矩形
证法二:同证法一,得△CAD≌△BAE,∴ CD=BE. 又∵ DE=BC,∴ 四边形BCDE是平行四边形.连接BD,CE. ∵ AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴ △BAD≌△CAE,∴ BD=CE,∴ 四边形BCDE是矩形
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10(共11张PPT)
第8章 四 边 形
8.1 平行四边形
第4课时 平行四边形的判定定理3
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. 小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:如图,将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是( A )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
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2. (易错题)(教材变式)已知A,B,C三点不在同一条直线上,用直尺和圆规作出第四个点,使得以这四点为顶点的平行四边形共有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. 如果AO= AC,BD=2BO,那么四边形ABCD 是 (填“是”或“不是”)平行四边形.
C
是
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4. 如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上,满足∠EAO=∠DCO.
(1) 求证:四边形AECD是平行四边形;
(2) 若AB=BC,CD=5,AC=8,则四边形AECD的面积为 24 .
第4题
24
解:(1) 在△AOE和△COD中, ∴ △AOE≌△COD(ASA),
∴ OE=OD. 又∵ AO=CO,∴ 四边形AECD是平行四边形
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5. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为( D )
A. 6 B. 12
C. 20 D. 24
第5题
D
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6. 如图, ABCD的对角线相交于点O,过点O作一条直线,分别交线段AD,BC于点E,F,连接EC,AF,则四边形AFCE是平行四边形,最合适的判定方法是 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
对角
线互相平分的四边形是平行四边形
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7. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE. 若DE=BF,则有下列结论:① CF=AE;② OE=OF;③ 图中共有四对全等三角形;④ 四边形ABCD是平行四边形.其中,正确的是 ①②④ (填序号).
①②④
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8. (2025·相城区段考)在平面直角坐标系中,有以下各点:A(1,2),B(2,1),C(5,4).若以A,B,C,D四点为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为 (-2,-1)或(4,5)或(6,3) .
9. 如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F是对角线BD上的两点,且BF=ED,连接AE,AF,CE,CF. 求证:AE∥CF.
(-2,-1)或(4,5)
或(6,3)
第9题
解:连接AC,交BD于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ OA=OC,OB=OD. ∵ BF=ED,∴ BF-OB=ED-OD,即OF=OE. 又∵ OA=OC,∴ 四边形AECF是平行四边形,∴ AE∥CF
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10. 如图①,在 ABCD中,O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.
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解:(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠EAO=∠FCO. ∵ O是AC的中点,∴ OA=OC. 在△OAE和△OCF中,
∴ △OAE≌△OCF(ASA),∴ OE=OF. 同理,可得OG=OH,∴ 四边形EGFH是平行四边形
(2) 如图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD的面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外).
(1) 求证:四边形EGFH是平行四边形;
解:(2) 与四边形AGHD面积相等的平行四边形有 GBCH, ABFE, EFCD, EGFH
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10(共26张PPT)
第8章 四 边 形
第8章整合提升
01
考点突破
02
素养提升
目
录
考点一 平行四边形的性质与判定
1. (新情境·现实生活)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,她带了其中两块碎玻璃,其编号应该是( A )
A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②④
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2. 如图,在 ABCD中,EF∥AD,HN∥AB,则图中的平行四边形共有( B )
A. 12个 B. 9个 C. 7个 D. 5个
B
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3. (2025·新疆)如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线交AB于点E. 若AD=2,则BE的长为 2 .
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4. 如图,在 ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,∠ADE=∠CBF,EF与BD相交于点O. 求证:OB=OD.
第4题
解:∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,AD=CB,∠A=∠C. 在△DAE和△BCF中, ∴ △DAE≌△BCF(ASA),∴ DE=BF,AE=CF.
∵ AB=CD,∴ AB-AE=CD-CF,即BE=DF,∴ 四边形BFDE是平行四边形,
∴ OB=OD
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考点二 矩形、菱形、正方形的性质与判定
5. 下列命题属于真命题的是( D )
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D
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6. 如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,连接DE,DF,则下列说法错误的是( C )
A. △BDE和△DCF的面积相等
B. 四边形AEDF是平行四边形
C. 若AB=BC,则四边形AEDF是菱形
D. 若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形
C
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7. (2025·常州)如图,在菱形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=5.若∠ABD=30°,则AC的长为( B )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 10
B
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8. 若菱形的两条对角线长分别为6和8,则该菱形的面积为 24 .
9. 如图,M为正方形ABCD的对角线BD上的一点,连接AM并延长,交CD于点P. 若PM=PC,则∠AMB的度数为 75° .
第9题
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10. (2025·青海)如图,在△ABC中,O,D分别是边AB,BC的中点,过点A作AE∥BC,交DO的延长线于点E,连接AD,BE.
(1) 求证:四边形AEBD是平行四边形;
解:(1) ∵ O是AB的中点,∴ AO=BO. ∵ AE∥BC,
∴ ∠AEO=∠BDO. 在△AEO和△BDO中, ∴ △AEO≌△BDO(AAS),
∴ EO=DO,∴ 四边形AEBD是平行四边形
第10题
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(2) 若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状,并证明.
解:(2) 当AB=AC时,四边形AEBD是矩形 ∵ AB=AC,D是BC的中点,∴ AD⊥BC,∴ ∠ADB=90°.由(1)可知,四边形AEBD是平行四边形,∴ 四边形AEBD是矩形
第10题
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11. 如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.
(1) 求证:四边形AECD是菱形;
解:(1) ∵ AD∥BC,AE∥DC,∴ 四边形AECD是平行四边形.∵ 在Rt△BAC中,∠BAC=90°,E是BC的中点,∴ AE= BC=CE,∴ 四边形AECD是菱形
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第11题答案
(2) 若AB=6,BC=10,求EF的长.
解:(2) 如图,过点A作AH⊥BC于点H. ∵ ∠BAC=90°,AB=6,BC=10,
∴ AC= = =8.∵ BC·AH=AB·AC=2S△BAC,∴ AH= = = .由(1),得四边形AECD是菱形,∴ CE=CD. ∵ S菱形AECD=CE·AH=CD·EF,∴ EF=AH=
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考点三 三角形的中位线
12. 如图,在△ABC中,D,E,F分别为各边的中点,AH是高,连接DH,DE,FH,FE. 若∠DEF=65°,则∠DHF的度数为( C )
A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
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13. (2025·内江)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,G为BE的中点,H为EF的中点,连接GH,则GH长的最大值为 5 .
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14. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD=4,且AB与CD不平行,P,M,N分别是AD,BD,AC的中点,则MN长的取值范围是 001
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第16题答案
考点四 梯形
15. (分类讨论思想)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=8cm,CD=7cm,AD=5cm,∠B=60°,则BC的长为 10或8 cm.
16. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),E,F分别是对角线BD,AC的中点.求证:EF= (BC-AD).
10或8
解:如图,连接AE并延长,交BC于点G. ∵ AD∥BC,
∴ ∠ADE=∠GBE,∠EAD=∠EGB. ∵ E是BD的中点,∴ DE=BE. 在△ADE和△GBE中, ∴ △ADE≌△GBE (AAS),∴
AD=GB,AE=GE. ∵ F是AC的中点,∴ AF=FC,∴ EF为△AGC的中位线,∴ EF= GC= (BC-BG),∴ EF= (BC-AD)
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17. (2025·德阳)如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.如果BD=AC,四边形EFGH的面积为24,且HF=6,那么GH的长为( B )
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
B
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18. 如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,点A在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时,点D也随之在y轴上运动,在这个运动过程中,点C到原点O的最大距离为 1+ .
1+
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(2) 如图②,若AB=AD,AE≠ED,过点C作CH∥AE,交BE于点H,则图②中与∠BAE相等的角是 ∠AEB,∠DHC,∠EFC,∠DCH .
∠AEB,∠DHC,∠EFC,∠DCH
19. 已知四边形ABCD是平行四边形,点E在对角线BD上,点F在边BC上,连接AE,EF,DE=BF,BE=BC.
(1) 如图①,求证:△AED≌△EFB;
解:(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC,∴ ∠ADE=∠EBF. ∵ BE=BC,∴ AD=BE. 在△AED和△EFB中,
∴ △AED≌△EFB(SAS)
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第20题答案
20. (2025·广东)如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,过点A,C分别作AE∥DC,CE∥AB,AE与CE相交于点E. 现有以下命题:
命题1:若连接BE交CA于点F,则S△CFB=2S△CEF.
命题2:若连接ED,则ED⊥AC.
命题3:若连接ED,则ED=BC.
任选两个命题,先判断真假,再证明或举反例.
解:命题1、命题2、命题3都是真命题 如图,设ED交AC于点O. ∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴ DC=DA=DB= AB. ∵ AE∥DC,CE∥AB,
∴ 四边形ADCE是平行四边形,∴ 四边形ADCE是菱形,
∴ ED⊥AC,EC=DA,OE=OD= ED,∴ EC=DB,∴ 四边形EDBC是
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平行四边形,∴ ED=BC,∴ OE= BC. ∵ S△CFB= CF·BC,S△CEF= CF·OE,
∴ S△CFB=2S△CEF
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21. (新考法·探究题)已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点,连接DM,EM.
(1) 如图①,点E在CD上,点G在BC的延长线上,请判断DM,EM的数量关系与位置关系,并直接写出结论.
解:(1) DM=EM,DM⊥EM
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(2) 如图②,点E在DC的延长线上,点G在BC上,(1)中结论是否仍然成立 如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
解:(2) (1)中的结论仍然成立,即DM=EM,DM⊥EM 延长EM交DA的延长线于点H. ∵ 四边形ABCD与四边形CEFG是正方形,
∴ ∠ADE=∠DEF=90°,AD=CD,EC=FE,∴
∠ADE+∠DEF=180°,
∴ AD∥EF,∴ ∠MAH=∠MFE. ∵ M是AF的中点,∴ AM=FM.
又∵ ∠AMH=∠FME,∴ △AMH≌△FME(ASA),∴ MH=ME,AH=FE=EC,
∴ DH=DE,∴ 在Rt△EDH中,DM=EM,DM⊥EM
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(3) 将图①中的正方形CEFG绕点C旋转,使D,E,F三点在一条直线上.若AB=13,CE=5,请画出图形,并直接写出MF的长.
解:(3) 如答案图①,MF= ;如答案图②,MF=
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第8章 四 边 形
8.2 特殊的平行四边形
第3课时 菱形的概念与性质定理
01
基础过关
02
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03
思维拓展
1. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论错误的是( C )
A. AB=AD B. AC⊥BD
C. AC=BD D. ∠DAC=∠BAC
C
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2. (2025·苏州工业园区期中)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E. 若∠BCD=70°,则∠BOE的度数为( A )
A. 35° B. 40° C. 50° D. 65°
A
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3. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,连接OE. 若OE=3,则菱形ABCD的周长为 24 .
24
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4. (2025·云南)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. 若AC=6,BD=5,则菱形ABCD的面积是 15 .
15
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5. 如图,四边形ABCD为菱形,E为对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连接DE并延长,交射线AB于点F,连接BE. 求证:
(1) △DCE≌△BCE;
解:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ CD=CB,∠DCE=∠BCE. 在△DCE和△BCE中,
∴ △DCE≌△BCE(SAS)
第5题
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(2) ∠AFD=∠EBC.
解:(2) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ DC∥AF,
∴ ∠CDF=∠AFD. ∵ △DCE≌△BCE,∴ ∠CDF=∠EBC,
∴ ∠AFD=∠EBC
第5题
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6. (2024·苏州工业园区段考)如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD交于点O,DE⊥AB,垂足为E. 若AB=5,BD=6,则DE的长是( C )
A. B.
C. D.
第6题
C
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7. (教材变式)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿AC方向平移,得到△A'B'O'.当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为( C )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
C
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8. 如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴的正半轴上,则点C的坐标是 (-5,4) .
(-5,4)
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9. (2025·凉山)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G. 若AC=12,BD=16,则FG的长为 5 .
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10. 如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB,交AC于点E.
(1) 求证:AC⊥BD;
解:(1) ∵ ∠CAB=∠ACB,∴ AB=CB. ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ ABCD是菱形,∴ AC⊥BD
第10题
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(2) 若AB=10,AC=16,求OE的长.
解:(2) 设OE=x.∵ ABCD是菱形,AC=16,∴ OA= AC=8.
∵ AC⊥BD,∴ ∠AOB=∠BOE=90°,∴ 在Rt△AOB中,OB= = =6,∴ 在Rt△EOB中,BE2=OE2+OB2=x2+62.∵ BE⊥AB,∴ ∠EBA=90°,∴ 在Rt△ABE中,BE2=AE2-AB2=(8+x)2-102,∴ x2+62=(8+x)2-102,解得x= ,∴ OE的长为
第10题
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11. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线,交BA的延长线于点E.
(1) 求证:四边形ACDE是平行四边形;
解:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形,∴ AB∥CD,AC⊥BD,
∴ AE∥CD. 又∵ DE⊥BD,∴ DE∥AC,∴ 四边形ACDE是平行四边形
第11题
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(2) 若AC=16,BD=12,求△ADE的周长.
解:(2) ∵ 四边形ABCD是菱形,AC=16,BD=12,
∴ AC⊥BD,AD=CD,AO= AC=8,DO= BD=6,∴ 在Rt△AOD中,AD= = =10,
∴ CD=10.∵ 四边形ACDE是平行四边形,
∴ AE=CD=10,DE=AC=16,∴ △ADE的周长为AD+AE+DE=36
第11题
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11(共15张PPT)
第8章 四 边 形
8.3 三角形的中位线
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03
思维拓展
1. (2025·姑苏区段考)如图,小义同学想测量池塘A,B两处之间的距离.他先在A,B外选一点C,然后步测AC,BC的中点为D,E,测得DE=20m,则A,B之间的距离为( D )
A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m
D
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2. (教材变式)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BF是边AC上的中线,DE是△ABC的中位线.若DE=6,则BF的长为( A )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 10
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3. (2025·苏州模拟)如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,连接BE,DE. 若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为 4 .
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4. 如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE. 若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为 40° .
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第5题答案
5. (2024·高新区段考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE是△ABC的中位线,AF是△ABC的中线.求证:DE=AF.
证明:∵ DE是△ABC的中位线,∴ DE= BC .∵ AF是△ABC的中线,∠BAC=90°,∴ AF= BC ,∴ DE=AF.
(1) 请把以上证明过程补充完整;
BC
BC
(2) 试用不同的方法证明DE=AF.
解:如图,连接DF,EF. ∵ DE是△ABC的中位线,AF是△ABC的中线,∴ D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,∴ DF,EF是△ABC的中位线,
∴ DF∥AC,EF∥AB,∴ 四边形ADFE是平行四边形.∵ ∠BAC=90°,∴ 四边形ADFE是矩形,∴ DE=AF
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6. (2024·山西)在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,EG,FH交于点O. 若四边形ABCD的对角线相等,则关于线段EG与FH的关系,下列说法最准确的是( A )
A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等
C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等
A
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7. (2025·广元)如图,在 ABCD中,AB=8,对角线AC,BD交于点O,P是AB的中点,连接DP,E是DP的中点,连接OE,则OE的长是( C )
A. 1 B. C. 2 D. 4
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8. (2025·高新区段考)如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,则∠EPF的度数是 120° .
120°
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9. (整体思想)如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M. 若BC=7,则MN的长为 .
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10. (2025·姑苏区段考)小李和小王去公园玩跷跷板(两边长度一样),小李对小王说:“我只能将你最高翘到1米高,如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度,那么我就能将你翘得更高.”
(1) 借助如图所示的示意图,计算跷跷板的支点O与地面的距离OP.
解:(1) 如图①,过点O作OD⊥AC于点D. 由题意,得OP⊥BC,AC⊥BC,AO=BO,
∴ ∠OPB=∠OPC=∠C=∠ODC=∠ODA=90°,∴ 四边形ODCP为矩形,
∴ OD=PC,OD∥PC,即OD∥BC,∴ ∠AOD=∠B. 在△AOD和△OBP中, ∴ △AOD≌△OBP(AAS),∴ OD=BP,∴ BP=PC,∴ OP是△ABC的中位线.∵ AC=1米,∴ OP= AC=0.5米,∴ 跷跷板的支点O与地面的距离OP为0.5米
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(2) 你认为小李的话对吗 请你作图分析,并说明理由.
解:(2) 小李的话不对 理由:如图②,将两端都再伸长a米(a>0).∵ BO=OA,
∴ BO+a=OA+a,即DO=OE. 过点O作OG⊥EF于点G. 与(1)同理,得OG=PF,OG=DP,∴ DP=PF,∴ OP是△DEF的中位线.∵ 由(1),得OP=0.5米,∴ EF=2OP=1米,∴ EF的长与a无关,跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍,∴ 不可能翘得更高,∴ 小李的话不对.
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11. (2024·新疆)如图,△ABC的中线BD,CE相交于点O,F,G分别是OB,OC的中点,连接DE,EF,FG,GD.
(1) 求证:四边形DEFG是平行四边形;
解:(1) ∵ BD,CE是△ABC的中线,∴ D,E分别是AC,AB的中点,∴ DE是△ABC的中位线,∴ DE∥BC,DE= BC. 同理,可得FG∥BC,FG= BC. ∴ DE∥FG,DE=FG,∴ 四边形DEFG是平行四边形
第11题
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(2) 若BD=CE,求证:四边形DEFG是矩形.
解:(2) 由(1)知,四边形DEFG是平行四边形,∴ OF=OD. 又∵ F是OB的中点,∴ BF=OF,∴ DF= BD. 同理,可得EG= CE.
∵ BD=CE,∴ DF=EG. ∵ 四边形DEFG是平行四边形,∴ 四边形DEFG是矩形
第11题
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第8章 四 边 形
8.4 梯 形
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03
思维拓展
1. (2025·河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图所示为某个构件的截面图,其中AD∥BC,∠ABC=70°,则∠BAD的度数为( C )
A. 70° B. 100° C. 110° D. 130°
C
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2. (易错题)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6,BC=10,两腰的长分别为3,5,则直角梯形ABCD的面积为( A )
A. 24 B. 48 C. 40 D. 80
3. 如图,在梯形OBCD中,BC∥OD,OB=BC=CD= OD,将梯形OBCD放置于平面直角坐标系中,O为原点,点D的坐标为(4,0),则点C的坐标是( B )
A. (3,2) B. (3, ) C. (,2) D. (2,3)
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4. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠ABD=15°,∠C=60°,则∠BDC的度数为 45 °.
45
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5. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,连接AC,BD. 如果梯形ABCD的面积为17,△BDC的面积为12,那么△ADC的面积为 5 .
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6. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F两点在边BC上,AB∥DE,AF∥DC,且四边形AEFD是平行四边形.
(1) 请指出AD与BC间的数量关系,并说明理由;
解:(1) AD= BC 理由:∵ AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,
∴ 四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,
∴ AD=BE,AD=FC. ∵ 四边形AEFD是平行四边形,
∴ AD=EF,∴ AD=BE=EF=FC,∴ AD= BC.
第6题
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(2) 当AB=DC时,求证: AEFD是矩形.
解:(2) 由(1)知,四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,∴ DE=AB,AF=DC. ∵ AB=DC,∴ DE=AF. ∵ 四边形AEFD是平行四边形,∴ AEFD是矩形
第6题
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7. (2024·上海)已知四边形ABCD为矩形,过点A,C作对角线BD的垂线,过点B,D作对角线AC的垂线.如果四条垂线段首尾相连拼成一个四边形,那么这个四边形为( A )
A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形
A
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8. (整体思想)如图,把梯形ABCD沿AD方向平移得到梯形EFGH,其中∠C=90°,HG=24,WG=8,WC=6,则涂色部分的面积为( D )
A. 120 B. 144 C. 148 D. 168
D
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9. (新情境·游戏活动)如图,将一矩形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片,根据图中所示的长度,梯形纸片中较短的底边长等于 6 .
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10. 如图,小华有一块三角尺ABC,其中∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l,分别过点A,B作l的垂线,垂足分别是D,E. 若DE=8,则梯形ABED的面积为 32 .
11. 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,AB=4,CD=5,则BC的长为 9或3 .
32
9或
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(1) 已知∠A=∠B,求证:AD=BC;
解:(1) 如图,过点C作CE∥AD交AB于点E. ∵ AB∥DC,CE∥AD,∴ 四边形ADCE是平行四边形,∴ AD=CE. ∵ AD∥CE,∴ ∠A=∠CEB.
∵ ∠A=∠B,∴ ∠CEB=∠B,∴ CE=CB,∴ AD=BC
12. (教材变式)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC.
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(2) 已知AD=BC,求证:∠A=∠B.
第12题答案
解:(2) 如图,过点C作CE∥AD,交AB于点E. ∵ AB∥DC,∴ 四边形ADCE是平行四边形,∴ AD=CE. ∵ AD=BC,∴ CE=CB,∴ ∠CEB=∠B. ∵ AD∥CE,
∴ ∠A=∠CEB,∴ ∠A=∠B
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13. 求证:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
第13题答案
解:已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC=BD. 求证:AB=DC. 证明:过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E. ∵ AD∥BC,即AD∥CE,DE∥AC,∴ 四边形ACED是平行四边形,∴ AC=DE. ∵ AC=BD,
∴ BD=DE,∴ ∠DBC=∠E. ∵ DE∥AC,∴ ∠ACB=∠E,∴ ∠ACB=∠DBC. 在△ABC和△DCB中, ∴ △ABC≌△DCB(SAS),∴ AB=DC,
∴ 两条对角线相等的梯形是等腰梯形
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第8章 四 边 形
8.2 特殊的平行四边形
第1课时 矩形的概念与性质定理
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. (2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( C )
A. AB=AD B. AC⊥BD
C. AC=BD D. ∠ACB=∠ACD
C
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2. 如图,E是矩形ABCD的边DC上一点,AB=AE,∠AED=30°,则∠BEC等于( C )
A. 60° B. 70° C. 75° D. 80°
C
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3. 如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的点A'处.若∠DBC=24°,则∠A'EB的度数为 57° .
57°
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4. 如图,线段BC为等腰三角形ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O. 若OD=2,则AC的长为 4 .
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5. (2025·吉林)如图,在矩形ABCD中,点E,F在边BC上,连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.
(1) 求证:△ABE≌△DCF;
解:(1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB=CD,∠B=∠C=90°.在△ABE和△DCF中,
∴ △ABE≌△DCF(ASA)
第5题
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(2) 当AB=12,DF=13时,求BE的长.
解:(2) ∵ △ABE≌△DCF,∴ AE=DF=13.∵ AB=12,∴ 在Rt△ABE中,BE= = =5
第5题
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6. (2025·昆山段考)在如图所示的平面直角坐标系中,若矩形ABCD的3个顶点的坐标分别为A(-6,2),B(2,2),C(2,-3),则点D的坐标为( C )
A. (-6,3) B. (3,-6)
C. (-6,-3) D. (-3,-6)
第6题
C
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7. (2025·兰州)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF交对角线BD于点P. 若P为EF的中点,∠ADB=35°,则∠DPE的度数为( C )
A. 95° B. 100° C. 110° D. 145°
C
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8. (2025·苏州期中)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC,交AD于点E. 若AB=6,BC=10,则AE的长为 .
9. 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD的边上,连接OF. 若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF的度数为 46°或106° .
46°或106°
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(1) 求证:AE=CF;
(2) 当∠ADB=30°时,连接AF,CE,在不添加任何辅助线的情况下,图中面积等于矩形ABCD面积的 的三角形是 △ABE,△CDF,△BCE,△ADF .
第10题
△ABE,△CDF,△BCE,△ADF
10. 如图,在矩形ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F.
解:(1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB=CD,AB∥CD,∴ ∠ABE=∠CDF.
∵ AE⊥BD,CF⊥BD,∴ ∠AEB=∠CFD=90°.在△ABE和△CDF中, ∴ △ABE≌△CDF(AAS),∴ AE=CF
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11. (分类讨论思想)如图,在矩形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(0,b),a,b满足 +|b-6|=0,点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动.
(1) 点B的坐标为 (4,6) .当点P移动3.5秒时,点P的坐标为 (1,6) .
(4,6)
(1,6)
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(2) 当点P到x轴的距离为4个单位长度时,求点P的移动时间.
解:(2) 由题意,可得OA=BC=4,OC=AB=6.当点P到x轴的距离为4个单位长度时,分两种情况讨论:① 当点P在OC上时,OP=4.∴ 点P的移动时间为4÷2=2(秒).② 当点P在AB上时,AP=4.∴ 点P的移动时间为(6+4+6-4)÷2=6(秒).综上所述,点P的移动时间为2秒或6秒
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(3) 当以O,B,P为顶点的三角形的面积为10时,求点P的移动时间.
解:(3) ① 当点P在OC上时,如图①.由题意,得 BC·OP=10,即 ×4OP=10.
∴ OP=5,∴ 点P的移动时间为5÷2= (秒).② 当点P在BC上时,如图②.由题意,得 OC·PB=10,即 ×6PB=10.∴ BP= ,∴ CP= ,∴ 点P的移动时间为
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（6+ ）÷2= (秒).③ 当点P在AB上时,如图③.由题意,得 BP·BC=10,即 BP×4=10.∴ BP=5,∴ 点P的移动时间为(6+4+5)÷2= (秒).④ 当点P在OA上时,如图④.由题意,得 OP·AB=10,即 OP×6=10.∴ OP= ,∴ 点P的移动时间为（6+4+6+4- ）÷2= (秒).综上所述,点P的移动时间为 秒或 秒或 秒或 秒
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