(共10张PPT)
第9章 因式分解
9.1 因式分解的概念
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基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. 对于① x-3xy=x(1-3y),② (x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是( C )
A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解,②是乘法运算 D. ①是乘法运算,②是因式分解
2. (2024·姑苏区期中)下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是( C )
A. a2-5=(a+2)(a-2)-1 B. (x+2)(x-2)=x2-4
C. x2+8x+16=(x+4)2 D. a2+4=(a+2)2-4a
C
C
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3. 下列计算不正确的是( D )
A. 642+64×36=64×100=6400
B. 1782-782=(178+78)×(178-78)=256×100=25600
C. 492+49=49×(49+1)=49×50=2450
D. - = =81
D
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4. (教材变式)把x2+3x+c分解因式,得(x+1)(x+2),则c的值为 2 .
5. 若9a2+kab+4b2分解因式的结果为(3a-2b)2,则k的值为 -12 .
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(1) (x+4)(x-4)=x2-16; (2) m2-9=(m-3)(m+3);
解:不是
解:是
分解后的各因式分别为m-3,m+3
(3) x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1; (4) x2+3x+9=(x+3)2-3x;
解:不是
(5) x2-4xy+4y2=(x-2y)2; (6) -a2-2ab-b2=-(a+b)2.
解:是 分解后的各因式分别为x-2y,x-2y
6. 下列从左边到右边的变形中,哪些是因式分解 哪些不是因式分解 是因式分解的,请指出分解后的各因式.
解:不是
解:是 分解后的各因式分别为-1,a+b,a+b
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7. 若多项式M+b4分解因式的结果为-(4a2+b2)(2a+b)(2a-b),则M等于( B )
A. 16a4 B. -16a4 C. 4a4 D. -4a4
8. 已知多项式6x2-x-b分解因式的结果为(2x+3)(3x+c),则b,c的值分别为( C )
A. 12,-5 B. -12,4 C. 15,-5 D. 15,5
9. (数形结合思想)根据如图所示的拼图过程,写出一个多项式的因式分解: x2+6x+8=(x+2)(x+4) .
B
C
x2+6x+8=(x+2)(x+4)
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10. 若多项式x2+px-5分解因式的结果为(x+m)(x+n),其中m,n为整数,则符合条件的p的值共有 2 个.
11. (教材变式)20232+2023×3能被2026整除吗 能被4046整除吗 请说明理由.
解:20232+2023×3能被2026整除,也能被4046整除 理由:
∵ 20232+2023×3=2023×(2023+3)=2023×2026=2023×2×1013=4046×1013,
∴ 20232+2023×3能被2026整除,也能被4046整除.
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12. (新考法·阅读理解题)仔细阅读下面的材料.
已知m为实数,关于x的三项式x2-4x+m有一个因式为x+3,求另一个因式及m的值.
解:由题意,可设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,∴ 解得 ∴ 另一个因式为x-7,m的值为-21.
仿照以上方法解答问题:已知k为实数,关于x的三项式2x2+3x-k有一个因式为2x-5,求另一个因式及k的值.
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解:由题意,可设另一个因式为x+a,得2x2+3x-k=(2x-5)(x+a),则2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a,∴ 解得 ∴ 另一个因式为x+4,k的值为20
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第9章 因式分解
9.3 公 式 法
第2课时 用完全平方公式分解因式
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基础过关
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02
能力进阶
03
思维拓展
1. (2024·盐城改编)下列因式分解正确的是( B )
A. x2-y2=(x-y)2 B. 3a+3b=3(a+b)
C. x2+2x+1=(x-1)2 D. a2-9a-9=(a-3)2
2. 如果a2+16与一个单项式的和可以用完全平方公式分解因式,那么下列各项中这个单项式可以为( B )
A. 4a B. ±8a C. ±4a D. -4a
3. 分解因式:
(1) (2025·甘肃)x2-6x+9= (x-3)2 ;
(2) (2024·常州)x2-4xy+4y2= (x-2y)2 .
B
B
(x-3)2
(x-2y)2
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4. (1) 若100x2+2kxy+49y2可以分解成(10x-7y)2,则常数k的值为 -70 ;
(2) 已知a=7-3b,则代数式a2+6ab+9b2的值为 49 .
5. (教材变式)把下列各式分解因式:
(1) 16x2-72x+81;
(2) m4n4+8m2n2+16;
解:(4x-9)2
解:(m2n2+4)2
(3) 20(x+y)+25+4(x+y)2;
(4) a2-6a(c-b)+9(b-c)2.
解:(5+2x+2y)2
解:(a+3b-3c)2
-70
49
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6. 将(x-1)2-2(x-1)+1分解因式的结果为( D )
A. (x-1)(x-2) B. x2 C. (x+1)2 D. (x-2)2
7. (易错题)若x2+2(3-m)x+25可以用完全平方公式分解因式,则常数m的值为( D )
A. ±5 B. -2 C. 8 D. -2或8
8. 若2m+n=3,则4m2+4mn+n2-6的值为( C )
A. 12 B. 6 C. 3 D. 0
D
D
C
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9. (1) (2024·威海)分解因式:(x+2)(x+4)+1= (x+3)2 ;
(2) (2024·广元)分解因式:(a+1)2-4a= (a-1)2 ;
(3) (2024·淄博)若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,则m的值为 ±12 .
(x+3)2
(a-1)2
±12
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10. 把下列各式分解因式:
(1) -1+xy- ;
(2) 4+12(y-x)+9(x-y)2;
解:-
解:(2-3x+3y)2
(3) m6-n2(2m3-n2);
(4) (m+6n)2+4m(m+6n)+4m2.
解:(m3-n2)2
解:9(m+2n)2
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11. 利用因式分解计算:
(1) 38.92-2×38.9×48.9+48.92;
(2) 342+34×32+162.
解:100
解:2500
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12. (教材变式)已知M=a2-a,N=a-2(a为任意有理数),试比较M与N的大小.
解:M-N=a2-a-(a-2)=a2-2a+2=a2-2a+1+1=(a-1)2+1.∵ (a-1)2≥0,∴ (a-1)2+1>0,即M-N>0,∴ M>N
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第9章 因式分解
9.3 公 式 法
第1课时 用平方差公式分解因式
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能力进阶
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思维拓展
1. 下列各式属于多项式x2-36的因式的为( C )
A. x-3 B. x-4 C. x-6 D. x-9
2. 将(a-1)2-1分解因式,结果正确的是( B )
A. a(a-1) B. a(a-2)
C. (a-2)(a-1) D. (a-2)(a+1)
3. 在括号内填上适当的代数式: x2-4y2= ( x -2y).
4. 计算:20252-20262= -4051 .
C
B
x
-4051
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(1) (2025·常州)x2-9y2;
(2) - x4+9y2;
解:(x-3y)(x+3y)
解:
(3) x2-(x-y)2;
(4) 81(a+b)2-4(a-b)2.
解:y(2x-y)
解:(11a+7b)(7a+11b)
5. 把下列各式分解因式:
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6. 已知4m+n=90,2m-3n=10,利用因式分解求(m+2n)2-(3m-n)2的值.
解:原式=(m+2n+3m-n)[m+2n-(3m-n)]=(4m+n)(-2m+3n).∵ 4m+n=90,2m-3n=10,∴ -2m+3n=-10,∴ 原式=90×(-10)=-900
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7. 若xy=5,a-b=3,a+b=4,则xya2-xyb2的值是( A )
A. 60 B. 45 C. 50 D. 75
8. (教材变式)(2025·苏州工业园区期中)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能( B )
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
A
B
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9. (1) 若m2-n2=6,且m-n=-2,则m+n的值为 -3 ;
(2) (2025·高新区三模)若a+b=4,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2的值为 12 .
10. 把下列各式分解因式:
(1) (x+p)2-(x-q)2;
(2) (a-b)2-4b2;
解:(p+q)(2x+p-q)
解:(a+b)(a-3b)
(3) (x-1)2+2(x-5);
(4) 49(x-2)2-25(x-3)2.
解:(x+3)(x-3)
解:(12x-29)(2x+1)
-3
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11. 利用因式分解计算:
(1) ;
解:500
(2) × × ×…× .
解:
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12. (新考法·探究题)小王同学说:“248-1能被60与70之间的两个整数整除.”你认为这种说法正确吗 如果正确,请求出这两个整数;如果不正确,请说明理由.
解:正确 ∵ 248-1=(224+1)×(224-1)=(224+1)×(212+1)×(212-1)=(224+1)×(212+1)×(26+1)×(26-1)=(224+1)×(212+1)×65×63,∴ 248-1中含有因数65与63,即248-1能被整数65,63整除,∴ 小王同学的说法正确.符合题意的两个整数为65与63
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第9章 因式分解
9.2 提公因式法
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能力进阶
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思维拓展
1. 多项式-5mx3+25mx2-10mx中各项的公因式为( D )
A. 5mx2 B. -5mx3 C. mx D. -5mx
2. 下列因式分解正确的是( C )
A. -x2+4x=-x(x+4) B. x2+xy+x=x(x+y)
C. x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2 D. x2-4x+4=(x+2)(x-2)
3. 2a2与4ab的公因式为 2a .
4. 写出一个公因式为3xy且次数为3的多项式: 3xy-6xy2(答案不唯一) .
5. 分解因式:
(1) (2025·吉林)a2-ab= a(a-b) ; (2) (2025·广东)a2b+ab2= ab(a+b) .
D
C
2a
3xy-6xy2(答案不唯一)
a(a-b)
ab(a+b)
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6. 计算:610×3.14+170×3.14+3.14×220=3.14×( 610+170+220 )=3.14× 1000 = 3140 .
7. (教材变式)把下列各式分解因式:
610+170+220
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00
3140
(1) 5x3-10x2;
(2) 2x2y-6y2z;
解:5x2(x-2)
解:2y(x2-3yz)
(3) -3m3+9m2-15m;
(4) 18a3bc-45a2b2c2;
解:-3m(m2-3m+5)
解:9a2bc(2a-5bc)
(5) 2a(b+c)2-3(b+c)2;
(6) -6(a+b-c)+3d(b+a-c).
解:(b+c)2(2a-3)
解:-3(a+b-c)(2-d)
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8. 已知多项式4x3y-M可分解因式为4xy(x2-y2+ab),则M等于( D )
A. -4xy3+4abxy B. -4xy3-4abxy
C. 4xy3+4abxy D. 4xy3-4abxy
9. 当x=-125时,x2+124x 的值是 125 .
10. (2025·苏州工业园区二模)已知a=2,2a-b=3,则代数式2a3-a2b的值为 12 .
D
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(1) -4a3+4a2-16a;
(2) 6(x-y)2+3(x-y);
解:-4a(a2-a+4)
解:3(x-y)(2x-2y+1)
(3) 20c(a-b)2-25(b-a)3;
(4) -ab(a-b)2+a(b-a)2-ac(a-b)2.
解:5(b-a)2(4c-5b+5a)
解:-a(a-b)2(b-1+c)
11. 把下列各式分解因式:
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12. 利用因式分解计算:
(1) 39×37-13×81;
解:原式=13×3×37-13×3×27=13×3×(37-27)=13×3×10=390
(2) 32×22+14×23+10×24.
解:原式=8×24+7×24+10×24=24×(8+7+10)=16×25=400
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13. 已知m-n=3,mn=-2,求下面各式的值:
(1) m2n-mn2;
解:原式=mn(m-n).∵ m-n=3,mn=-2,∴ 原式=-2×3=-6
(2) 10-5mn2+5m2n.
解:由(1),知m2n-mn2=-6,∴ 原式=5(2-mn2+m2n)=5×(2-6)=-20
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14. 阅读下面分解因式的过程,并回答问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3.
(1) 上述分解因式的方法是 提公因式法 ,共运用了 2 次;
(2) 若将1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 025 分解因式,则需运用上述方法 2025 次,分解因式的结果为 (1+x)2026 ;
(3) 将1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n 为正整数)分解因式的结果为 (1+x)n+1 .
提公因式法
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2025
(1+x)2026
(1+x)n+1
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第9章 因式分解
9.3 公 式 法
第3课时 因式分解方法的综合应用
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基础过关
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思维拓展
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02
能力进阶
1. (2025·苏州工业园区模拟)下列因式分解正确的是( D )
A. ax+ay-a=a(x+y) B. a2+b=a(a+b)
C. a2+a+1=(a+1)2 D. -a2+b2=(b-a)(b+a)
2. 多项式2b3-4b2+2b分解因式的结果为( A )
A. 2b(b-1)2 B. 2b(b+1)2
C. b(2b-1)2 D. b(2b+1)2
3. 分解因式:
(1) (2025·北京)7m2-28= 7(m+2)(m-2) ;
(2) (2024·兴安盟)a+2ab+ab2= a(b+1)2 .
D
A
7(m+2)(m-2)
a(b+1)2
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4. (2025·相城区段考)若x+y=2,则代数式x2-y2+4y的值为 4 .
5. (教材变式)把下列各式分解因式:
(1) (2a+b)2-(a+2b)2;
(2) -a3+2a2-a;
解:3(a+b)(a-b)
解:-a(a-1)2
(3) a2(a-b)-4(a-b);
(4) (x2+4y2)2-16x2y2.
解:(a-b)(a-2)(a+2)
解:(x+2y)2(x-2y)2
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6. 对于任意数a,b,a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)恒成立,则下列关系式正确的为( A )
A. a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) B. a3-b3=(a+b)(a2+ab+b2)
C. a3-b3=(a-b)(a2-ab+b2) D. a3-b3=(a+b)(a2+ab-b2)
7. 若 =8×10×12,则k的值为 10 .
8. 已知xy=2,x-3y=3,则代数式2x3y-12x2y2+18xy3的值为 36 .
9. 设x为有理数,则多项式x3-x2- x4的值为 非正数 (填“非正数”或“非负数”).
10. (教材变式)当m= 6 时,代数式m2-12m+26的最小值为 -10 .
A
10
36
非正数
6
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(1) 3a4-3b4;
(2) m3(x-2)+m(2-x);
解:3(a2+b2)(a+b)(a-b)
解:m(x-2)(m-1)(m+1)
(3) (x2-1)2+9+6(1-x2);
(4) (3a2+2a-8)2-(a2-2a-8)2.
解:(x+2)2(x-2)2
解:8a(a+2)2(a-2)
11. 把下列各式分解因式:
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12. 若a,b,c为△ABC的三边长,求证:代数式(a2+b2-c2)2-4a2b2的值是负数.
解:(a2+b2-c2)2-4a2b2=(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).根据三角形的三边关系,可知a+b+c>0,a+b-c>0,a-b+c>0,a-b-c<0,∴ (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0,即代数式(a2+b2-c2)2-4a2b2的值是负数
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13. (整体思想)“整体思想”在数学解题中运用广泛,下面例题运用了“整体思想”对多项式进行因式分解:因式分解:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1.
解:原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1=(x2+5x)2+10(x2+5x)+24+1=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25=(x2+5x+5)2.
(1) 以上例题解答过程中把 x2+5x 当作一个整体,多项式变形后,运用了 完全平方 公式进行因式分解;
x2+5x
完
全平方
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(2) 请仿照以上方法进行因式分解:(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+25;
解:(2) 原式=[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]+25=(x2+x-2)(x2+x-12)+25=(x2+x)2-14(x2+x)+24+25=(x2+x)2-14(x2+x)+49=(x2+x-7)2
(3) 求证:四个连续自然数n,n+1,n+2,n+3的积与1的和等于一个奇数的平方.
解:(3)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2.∵ n是自然数,∴ n(n+3)一定是偶数,
∴ n2+3n=n(n+3)是偶数,∴ n2+3n+1是奇数,∴ 四个连续自然数n,n+1,n+2,n+3的积与1的和等于一个奇数的平方
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13(共11张PPT)
第9章 因式分解
第9章整合提升
01
考点突破
02
素养提升
目
录
考点一 因式分解的意义
1. (2024·姑苏区段考)下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( C )
A. x(a-b)=ax-bx B. x2-3x+1=x(x-3)+1
C. x2-4=(x+2)(x-2) D. a2-2ab+4b2=(a-2b)2
C
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考点二 用提公因式法分解因式
2. 把多项式m2(a-1)+m(1-a)分解因式的结果为( C )
A. (a-1)(m2+m) B. (a-1)(m2-m)
C. m(a-1)(m-1) D. m(a-1)(m+1)
3. 分解因式:(1) 4a3b2-14ab2c= 2ab2(2a2-7c) ;(2) 6b(a+b)-4a(a+b)= 2(a+b)(3b-2a) .
4. (2025·高新区一模)将多项式(n-3)2-(n-3)分解因式的结果是 (n-3)(n-4) .
C
2ab2(2a2-7c)
2(a+b)(3b-2a)
(n-3)(n-4)
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考点三 用公式法分解因式
5. 多项式mx2-4m与多项式x2-4x+4的公因式为( B )
A. x+2 B. x-2 C. x2-9 D. (x-2)2
6. (易错题)已知关于x,y的多项式9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解,则实数m的值为( D )
A. 12 B. ±12 C. 24 D. ±24
B
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7. 把下列各式分解因式:
(1) (2024·无锡)a3-a= a(a+1)(a-1) ;
(2) (2024·通辽)3ax2-6axy+3ay2= 3a(x-y)2 ;
(3) a(a-2)+1= (a-1)2 ;
(4) (a-b)2+4ab= (a+b)2 .
a(a+1)(a-1)
3a(x-y)2
(a-1)2
(a+b)2
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8. 把下列各式分解因式:
(1) (2025·齐齐哈尔)2x3-8x;
(2) (2x+7)x-2x-7;
解:2x(x+2)(x-2)
解:(2x+7)(x-1)
(3) +ax+a;
(4) 3x3-12xy2;
解:a
解:3x(x+2y)(x-2y)
(5) (x2-4x)2-8(4x-x2)+16;
(6) (2-m2n2)(6-m2n2)+4.
解:(x-2)4
解:(2+mn)2(2-mn)2
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考点四 因式分解的应用
9. 若a=b+2,则代数式a2-2ab+b2的值为( B )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 已知a,b满足ab=3,a-b=2,则a2b3-a3b2的值为 -18 .
11. 已知a,b,c是一个三角形的三条边长,则代数式(a-b)2-c2的值一定是 负数 (填“正数”“负数”或“0”).
12. 若长和宽分别为a,b的矩形的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为 70 .
13. 已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a4-b4=a2c2-b2c2,则△ABC的形状是 等腰三角形或直角三角形 .
B
-18
负
数
70
等腰三角形或直角三角形
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14. (新情境·游戏活动)小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:a-b,x-1,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:你、爱、中、数、学、国,现将3a(x2-1)-3b(x2-1)分解因式,结果呈现的密码信息可能是( D )
A. 你爱数学 B. 你爱学
C. 爱中国 D. 中国爱你
15. 规定新运算:a△b=3a-2b,例如:1△2=3×1-2×2=-1.当a=x2+2xy,b=3xy+6y2时,把a△b分解因式的结果为( A )
A. 3(x+2y)(x-2y) B. 3(x-2y)2
C. 3(x2-4y2) D. 3(x+4y)(x-4y)
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16. 已知实数x,y,z满足(x+z)2-4(x-y)(y+z)=0,则下列式子一定成立的是( D )
A. x+y-z=0 B. x+y+2z=0
C. y-z-2x=0 D. -z+x-2y=0
17. (1) 若x,y满足x=2y-2,x+2y=3,则代数式4y2-x2的值为 6 ;
(2) 若m+2n=1,则3m2+6mn+6n的值为 3 .
D
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解:验证:∵ 1012-992=(101+99)×(101-99)=200×2=400=50×8,∴ 1012-992的结果是8的50倍 探究:设两个连续奇数为2n-1,2n+1,则(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n.∵ n为整数,∴ 两个连续奇数的平方差是8的倍数 延伸:任意两个连续偶数的平方差是4的倍数 理由:设两个连续偶数为2n,2n+2(n为整数),则(2n+2)2-(2n)2=8n+4=4(2n+1).∵ n为整数,∴ 任意两个连续偶数的平方差是4的倍数.
18. (新考法·探究题)发现:两个连续奇数的平方差是8的倍数.
验证:1012-992的结果是8的多少倍
探究:设n为整数,写出两个连续奇数的平方差,并说明是8的倍数.
延伸:任意两个连续偶数的平方差是几的倍数 请说明理由.
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