(共13张PPT)
期末专题
专题（五） 分 式
1. 当x＝1时，下列式子没有意义的是（ B ）
A. B. C. D.
2. （2025·贵州）若分式 的值为0，则实数x的值为（ A ）
A. 2 B. 0 C. －2 D. －3
3. （2024·泸州）分式方程 －3＝ 的解是（ D ）
A. x＝－ B. x＝－1 C. x＝ D. x＝3
B
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4. （2025·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程 ＋ ＝2无解，那么实数m的值是（ C ）
A. m＝1 B. m＝－1
C. m＝1或m＝－1 D. m≠1且m≠－1
5. 如果a－b＝2 ，那么代数式 · 的值为（ A ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
C
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6. （2024·绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用的时间与以该航速沿江逆流航行80km所用的时间相同，则江水的流速为（ D ）
A. 5km/h B. 6km/h C. 7km/h D. 8km/h
7. 已知关于x的分式方程 ＋ ＝ 无解，且关于y的不等式组 有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ B ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
D
B
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8. （1） 已知式子 ，当x＝ ±5 时，这个式子无意义；当x＝ 0 时，这个式子的值为0.
（2） 若分式 的值为0，则x的值为 2 .
9. 计算：
（1） ＋ ＝ ；
（2） （2025·江西） ÷ ＝ .
±5
0
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10. （1） 已知x－y＝3， － ＝3，则x2y－xy2的值为 －3 ；
（2） 若关于x的方程 ＋ ＝ 有增根，则a的值为 －6或－4 .
11. 若x和y互为倒数，则 的值为 2 .
12. 若关于x的分式方程 ＋1＝ 的解为正数，且关于y的一元一次不等式组 有解，则所有满足条件的整数a的值之和是 －4 .
－3
－6或－4
2
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（1） －a－1；
解：
（2） （2025·龙东地区） · ＋ ；
解：
（3） （2025·烟台） ÷ ；
解：3m
（4） ÷ .
解：
13. 计算：
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14. 解方程：
（1） （2025·北京） ＋ ＝0； （2） （2025·广东） ＝ －2.
解：x＝2
15. 先化简，再求值：
（1） （2025·凉山）1－ ÷ ，请在－2≤x≤2内取一个使原式有意义的整数x求值；
解：原式＝1－ · ＝1－ · ＝1－ ＝ ＝－ .根据分母不能为0，得x≠0且x＋2≠0且x－2≠0，∴ x≠0且x≠±2.∵ 整数x在－2≤x≤2内，∴ x＝±1.x的取值不唯一，如当x＝1时，原式＝－ ＝4（或当x＝－1时，原式＝－ ＝ ）
解：无解
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（2） （2025·眉山） ÷ ，其中x，y满足（x＋2）2＋｜y－1｜＝0.
解：原式＝［ ＋ ］· ＝ · ＝ .∵ （x＋2）2＋｜y－1｜＝0，且（x＋2）2≥0，｜y－1｜≥0，∴ x＋2＝0，y－1＝0，解得x＝－2，y＝1，∴ 原式＝ ＝－1
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16. 若关于x的分式方程 ＝ 有解，求a的取值范围.
解：∵ 原分式方程有解，∴ 解分式方程，得x＝ .由题意，得5－a≠0且x≠0且x≠2，∴ a≠5且 ≠0且 ≠2，解得a≠5且a≠0
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17. 已知x为整数，且 ＋ ＋ 为整数，求所有满足条件的x的值.
解：原式＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ .由于x为整数，且代数式的值为整数，∴ 当x＝2时，代数式的值为－1；当x＝3时，代数式的值为－2；当x＝5时，代数式的值为2；当x＝6时，代数式的值为1，∴ 满足条件的x的值为2，3，5，6
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18. （2025·广州）智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘.
（1） 若人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30％，则用智能机器人采摘的成本是 0.7a 元（用含a的代数式表示）.
0.7a
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（2） 要采摘4000千克该种水果，用一台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1，这台智能采摘机器人采摘的效率是1个工人的5倍.求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.
解：设1个工人每天可采摘该种水果x千克，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果5x千克.根据题意，得 － ＝1，解得x＝200.经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意.∴ 5x＝5×200＝1000.∴ 这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克
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期末专题
专题（三） 四 边 形
1. 如图，O是 ABCD的对角线AC，BD的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论一定成立的是（ A ）
A. OE＝OF B. AE＝BF
C. ∠DOC＝∠OCD D. ∠CFE＝∠DEF
A
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2. （2025·绥化）一个矩形的一条对角线的长为10，两条对角线的一个夹角为60°，则这个矩形的面积是（ B ）
A. 25 B. 25 C. 25 D. 50
3. 如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B的度数为（ D ）
A. 20° B. 45° C. 65° D. 70°
B
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4. （2025·苏州工业园区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ A ）
A. 当∠BAC＝90°时， ABCD是菱形
B. 当∠ABC＝90°时， ABCD是矩形
C. 当AC⊥BD时， ABCD是菱形
D. 当AC＝BD且AC⊥BD时， ABCD是正方形
A
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5. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ A ）
A. 12 B. 14 C. 24 D. 21
A
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6. （2025·安徽）在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（ C ）
A. 四边形EFGH的周长 B. ∠EFG的大小
C. 四边形EFGH的面积 D. 线段FH的长
C
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7. 如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连接AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2.
第7题
若要求出S－S1－S2的值，只需知道（ C ）
C
A. △ABE的面积
B. △ACD的面积
C. △ABC的面积
D. 矩形BCDE的面积
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8. 在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，点A的坐标为（5，0），OB＝4 ，P是对角线OB上的一个动点，点D的坐标为（0，1）.当CP＋DP的值最小时，点P的坐标为（ D ）
A. （0，0） B.
C. D.
D
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9. （2024·上海）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝ 57° .
10. （2025·苏州模拟）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为 49° .
57°
49°
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11. （2025·青海）如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 12 .
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12. （2025·上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是AB的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△BFE. 若AD＝a，且DF＝DC，则BC的长为 3a （用含a的代数式表示）.
3a
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13. 如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD上的点，EG与FH相交于点O，且EG∥AD，FH∥AB，OE＝OF. 若S矩形AEOH＝12，C矩形OFCG＝16，则S正方形EBFO＋S正方形HOGD＝ 40 .
40
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14. （2025·宜宾）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形的对角线BD上的点M处.若A，M，E三点共线，则 的值为 .
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15. （2025·济南）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF＝CE. 求证：∠AEB＝∠CFD.
第15题
解：证法1：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝CD. ∵ AF＝CE，∴ AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE. 在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF（SAS），∴ ∠AEB＝∠CFD
证法2：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，即AF∥EC. ∵ AF＝CE，∴ 四边形AECF是平行四边形，∴ ∠AEC＝∠CFA. ∵ ∠AEC＋∠AEB＝180°，∠CFA＋∠CFD＝180°，∴ ∠AEB＝∠CFD
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16. （2025·长沙）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且BE＝DF，连接AF，EC.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝CD，AB∥CD，即AE∥CF.
∵ BE＝DF，∴ AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF，∴ 四边形AECF是平行四边形
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（2） 连接EF. 若BC＝12，BE＝5，求EF的长.
第16题答案
解：（2） 如图，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHC＝∠EHF＝90°.∵ 四边形ABCD是正方形，BC＝12，∴ BC＝CD＝12，∠B＝∠BCD＝90°，
∴ 四边形EBCH是矩形，∴ EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，∴ DH＝CD－CH＝12－5＝7.∵ BE＝DF＝5，∴ HF＝DH－DF＝7－5＝2，∴ 在Rt△EHF中，EF＝ ＝ ＝2
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第17题答案
17. 如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABM和等边三角形CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE＝EF.
解：如图，连接MC，BN. ∵ △ABM和△CAN是等边三角形，∴ ∠BAM＝∠CAN＝60°，AM＝AB，AC＝AN，∴ ∠BAM＋∠BAC＝∠CAN＋∠BAC，即∠MAC＝∠BAN. 在△MAC和△BAN中，
∴ △MAC≌△BAN（SAS），∴ MC＝BN. ∵ D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，∴ DE＝ MC，EF＝ BN，∴ DE＝EF
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18. （新考法·条件开放题）（2025·青岛）如图，在 ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF，交FE的延长线于点G，连接AG.
（1） 求证：△AEF≌△BEG.
解：（1） ∵ BG∥AF，∴ ∠AFE＝∠BGE，∠FAE＝∠GBE. ∵ E是AB的中点，∴ AE＝BE. 在△AEF和△BEG中， ∴ △AEF≌△BEG（AAS）
第18题
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解：（2） 若选择条件①，则四边形AGBF是矩形 由（1）知，△AEF≌△BEG，∴ AF＝BG，EF＝EG，∴ EF＝ FG. ∵ AF∥BG，∴ 四边形AGBF是平行四边形.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD. ∵ EF＝ CD，∴ EF＝ AB，∴ FG＝AB，∴ 四边形AGBF是矩形
若选择条件②，则四边形AGBF是菱形 由（1）知，△AEF≌△BEG，∴ AF＝BG. ∵ AF∥BG，∴ 四边形AGBF是平行四边形.∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD. ∵ EF⊥CD，∴ FG⊥AB，∴ 四边形AGBF
第18题
（2） 已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论.
条件①：EF＝ CD；
条件②：EF⊥CD.
是菱形
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19. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD＝5，BC＝12，CD＝4 ，∠C＝45°，P是边BC上的一个动点，设PB的长为x.
（1） （分类讨论思想）当x的值为 1或11 时，以P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形.
（2） 在点P运动的过程中，以P，A，D，E为顶点的四边形能否构成菱形？请说明理由.
第19题
1或11
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解：能 理由：由（1）知，当PB＝11时，以P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形.∴ EP＝AD＝5.∵ E是BC的中点，∴ CE＝ BC＝6，∴ PC＝1.过点D作DF⊥BC于点F. 在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠C＝45°，
∴ ∠C＝∠CDF＝45°，∴ CF＝DF. ∵ CD＝4 ，∴ 由勾股定理，易得DF＝FC＝4，∴ FP＝FC－PC＝4－1＝3，∴ 在Rt△PDF中，DP＝ ＝ ＝5，∴ AD＝DP，∴ 此时四边形PDAE是菱形，即以P，A，D，E为顶点的四边形能构成菱形.
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20. 如图①，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H.
（1） 如图②，将△ADF绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABG，求证：△AGE≌△AFE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD. 由旋转的性质知，AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，∠ABG＝∠ADF＝90°.∴ ∠ABC＋∠ABG＝180°，∴ G，B，E三点共线.∵ ∠EAF＝45°，∴ ∠BAE＋∠DAF＝45°，∴ ∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°，∴ ∠EAG＝∠EAF. 又∵ AE＝AE，∴ △AGE≌△AFE
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（2） 如图③，连接BD，交AE于点M，交AF于点N. 请探究并猜想线段BM，MN，ND之间有什么数量关系，并说明理由.
解：（2） MN2＝ND2＋BM2 理由：如图③，将△ABM绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADM'，连接NM'.∵ 四边形ABCD为正方形，∴ 易证∠ABD＝∠ADB＝45°，∠BAM＋∠EAD＝90°.由旋转的性质知，AM＝AM'，∠ABM＝∠ADM'＝45°，∠BAM＝∠DAM'，BM＝DM'，∴ ∠NDM'＝
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90°，∠DAM'＋∠EAD＝90°，即∠EAM'＝90°，∴ 在Rt△NDM'中，M'N2＝ND2＋DM'2.∵ ∠EAM'＝90°，∠EAF＝45°，∴ ∠MAN＝∠M'AN＝45°.又∵ AN＝AN，∴ △AMN≌△AM'N，∴ MN＝M'N.
又∵ BM＝DM'，∴ MN2＝ND2＋BM2.
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期末专题
专题（四） 因式分解
1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ D ）
A. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 B. a2＋2a＋3＝a（a＋2）＋3
C. 8a5b2＝4a3b·2a2b D. 2a2－6ab＝2a（a－3b）
2. 下列各组多项式中，没有公因式的为（ C ）
A. 3x－2与6x2－4x B. 3（a－b）2与11（b－a）3
C. ab－ac与ab－bc D. mx－my与ny－nx
3. 有下列多项式：① a2＋ab＋b2；② a2－a＋ ；③ 9a2－24ab＋4b2；④－a2＋8a－16.其中，能用完全平方公式分解因式的共有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
C
B
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4. 如果一个多项式因式分解的结果是（b3＋2）（2－b3），那么这个多项式为（ A ）
A. 4－b6 B. b6－4 C. b6＋4 D. －b6－4
5. 把m3－4m2＋4m分解因式，结果正确的是（ B ）
A. m（m2－4m＋4） B. m（m－2）2
C. 2m（m－2）2 D. m（m2－2m＋4）
6. 若m＋1012－1＝1022，则m的值为（ D ）
A. 100 B. 101 C. 200 D. 204
7. 单项式8a2b2，－12ab3，6a2bc3的公因式为 2ab .
A
B
D
2ab
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8. 如果x2－kxy＋9y2是一个完全平方式展开后的结果，那么常数k的值为 ±6 .
9. （整体思想）已知x－y＝2，y－z＝2，x＋z＝－14，则x2－z2的值为 －56 .
10. （分类讨论思想）若多项式x2＋px－6可分解成（x＋m）（x＋n），其中m，n为整数，则符合条件的p的值有 4 个.
±6
－
56
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（1） 20am＋1b2m＋4－12a2m＋1bm＋2（m是正整数）；
解：4am＋1bm＋2（5bm＋2－3am）
（2） 2x2－2x＋ ；
解：2
（3） （2024·达州）3x2－18x＋27；
解：3（x－3）2
（4） （2024·绥化）2mx2－8my2；
解：2m（x＋2y）（x－2y）
11. 把下列各式分解因式：
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（5） （m－n）（5m＋2n）＋（m＋6n）（n－m）；
解：4（m－n）2
（6） －yz2＋x4yz2.
解：－yz2（1＋x2）（1＋x）（1－x）
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12. 用简便方法计算：
（1） 29×20.26－72×（－20.26）＋13×20.26－20.26×14；
解：原式＝20.26×（29＋72＋13－14）＝20.26×100＝2026
（2） 21042－522×4.
解：原式＝21042－522×22＝21042－1042＝（2104＋104）×（2104－104）＝4416000
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13. 大正方形的周长比小正方形的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长.
解：设小正方形的边长为xcm，则大正方形的边长为（x＋96÷4）cm.根据题意，得（x＋96÷4）2－x2＝960，即（x＋24）2－x2＝960，解得x＝8，此时x＋24＝32.∴ 大正方形的边长为32cm，小正方形的边长为8cm
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14. “a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝（x＋2）2＋1，∵ （x＋2）2≥0，∴ （x＋2）2＋1≥1，∴ x2＋4x＋5≥1.试利用“配方法”解决下面的问题：
（1） 已知x2－4x＋y2＋2y＋5＝0，求x＋y的值；
解：（1） x2－4x＋y2＋2y＋5＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝0.根据非负数的意义，得x－2＝0，y＋1＝0，解得x＝2，y＝－1.∴ x＋y＝2－1＝1
（2） 比较代数式x2－1与2x－3的大小.
解：（2） x2－1－（2x－3）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.∵ （x－1）2≥0，∴ （x－1）2＋1＞0，∴ x2－1－（2x－3）＞0，∴ x2－1＞2x－3
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15. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分.而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x3＋2x2－x－2因式分解的结果为（x－1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x－1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到六位数的数字密码171920.
（1） 根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3－xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）？
解：（1） x3－xy2＝x（x－y）（x＋y），当x＝21，y＝7时，x－y＝14，x＋y＝28，∴ 可以形成的数字密码是211428，212814，142128（答案不唯一）
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（2） 若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边长分别为x，y，求出一个由多项式x3y＋xy3分解因式后得到的五位数的数字密码（只需一个即可）.
解：（2） 由题意，得x＋y＝30－13＝17，x2＋y2＝132＝169，∴ xy＝ ＝60.∵ x3y＋xy3＝xy（x2＋y2），∴ 可得数字密码为60169（答案不唯一）
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（3） 若多项式x3＋（m－3n）x2－nx－21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m，n的值.
解：（3） ∵ 24＝27－3，28＝27＋1，34＝27＋7，∴ 由题意，易得x3＋（m－3n）x2－nx－21＝（x－3）（x＋1）（x＋7）.∵ （x－3）（x＋1）（x＋7）＝x3＋5x2－17x－21，∴ x3＋（m－3n）x2－nx－21＝x3＋5x2－17x－21，∴ 解得 ∴ m，n的值分别是56，17
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期末专题
专题（一） 数据的收集、整理与描述
1. 下列说法中，不正确的是（ D ）
A. 了解某市中小学生每天睡眠情况，适合采用抽样调查
B. 了解某班学生的兴趣爱好，适合采用普查
C. 检查乘坐高铁旅客的行李，适合采用普查
D. 检查新研发的新型战斗机的零部件，适合采用抽样调查
D
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2. 为了迎接中秋节，某餐厅推出了4种新款月饼：A. 柠檬蛋黄馅月饼，B. 豆沙玫瑰馅月饼，C. 牛肉馅月饼，D. 榴梿馅月饼，请顾客免费试吃后选出最喜欢的品种，结果反馈如下：D，D，B，B，C，B，B，D，A，D，A，D，A，A，B，B，C，B，C，C，C，B. 根据以上信息，判断下列说法正确的是（ C ）
A. A款月饼比D款月饼更受欢迎
B. C款月饼比D款月饼更受欢迎
C. B款月饼最受欢迎
D. 最喜欢A，D两款月饼的人数加起来占试吃总人数的一半
C
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3. 小明在一次射击训练中，共射击10发，成绩如下（单位：环）：8，7，7，8，9，8，7，7，10，8，则中靶8环的频率是（ D ）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
4. 为估计鱼塘中鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘.经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是有记号的，那么这个鱼塘中鱼的数量约为（ A ）
A. 1250条 B. 1750条 C. 2500条 D. 5000条
D
A
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5. （2025·甘肃）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气.中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格.如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（ C ）
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A. 2022年，该网站用户的人均纸质书籍阅读量为5本
B. 2023年，该网站用户的人均电子书籍阅读量为11本
C. 2024年，该网站用户的人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D. 2016年至2024年，该网站用户的人均电子书籍阅读量逐年上升
答案：C
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6. 如图所示为近年来M国年财政收入同比（与上一年比较）增长率的折线统计图，其中2023年M国的财政收入约为61330亿元.给出下列结论：① 2022年M国的财政收入约为61330×（1－19.5％）亿元；② 这四年中，2024年M国的财政收入最少；③ 2025年M国的财政收入约为61330×（1＋11.7％）×（1＋21.3％）亿元.其中，正确的有（ C ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
C
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7. 为了了解全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式为 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”）.
8. （2025·苏州工业园区期末）为了解某校八年级1200名学生的身高状况，从中随机抽取60名学生进行统计分析.有下列说法：① 这种调查方式是抽样调查；② 1200名学生是总体；③ 每名学生的身高是个体；④ 样本容量是60.其中，正确的是 ①③④ （填序号）.
抽样调查
①③④
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视 力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人 数 39 41 33 40 47
根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中视力不低于4.8的人数是 9600 .
9600
9. （2024·赤峰）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表：
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10. （2025·大庆）开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义.某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每名学生回答10题，每题10分.赛后发现所有学生知识竞赛成绩（单位：分）不低于70分.为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.请根据以上信息，完成下列问题：
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（1） 此次抽查的学生总人数为 200 ，并补全抽取的学生成绩条形统计图；
（2） 在扇形统计图中，m的值为 40 ，成绩为“100分”这一项所对应的扇形的圆心角的度数为 72° ；
200
40
72°
解：（1） 补全条形统计图如图所示
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（3） 已知该校共有3000名学生，请估计该校成绩不低于90分的学生人数.
（3） 3000× ＝1800（名）.∴ 估计该校成绩不低于90分的学生人数为1800
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11. （新情境·生态环境）目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题.某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量x（单位：t），整理出了如下频数分布表和如图所示的统计图.
月均用水量x/t 2≤x＜3.5 3.5≤x＜5 5≤x＜6.5 6.5≤x＜8 8≤x＜9.5
频 数 7 6
对应的扇形区域 A B C D E
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根据以上信息，解答下面的问题：
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（1） 补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中扇形E对应的圆心角的度数.
解：（1） 抽取的样本容量为7÷14％＝50，B的频数为50×46％＝23，C的频数为50×24％＝12，补全频数分布直方图如图所示 扇形统计图中扇形E对应的圆心角的度数为360°× ＝14.4°
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（2） 为了鼓励节约用水，要确定一个月均用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市60％的家庭水费支出不受影响，你觉得月均用水量应该定为多少？并说明理由.
解：（2） 要使60％的家庭水费支出不受影响，月均用水量应该定为5t 理由：∵ 月均用水量不超过5t的有7＋23＝30（个）家庭，30÷50×100％＝60％，
∴ 家庭月均用水量应该定为5t.
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期末专题
专题（六） 二次根式
1. （2025·北京）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ D ）
A. x≠1 B. x＞1 C. x＜1 D. x≥1
2. 与 结果相同的是（ A ）
A. 3－2＋1 B. 3＋2－1
C. 3＋2＋1 D. 3－2－1
3. 下列化简正确的是（ A ）
A. ＝2 B. ＝
C. － ＝－x D. ＝x
D
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4. 计算 ÷ × 的结果是（ B ）
A. B. C. D.
5. （2024·重庆B卷）估计 ×（ ＋ ）的值应在（ C ）
A. 8和9之间 B. 9和10之间
C. 10和11之间 D. 11和12之间
6. 已知2＜a＜4，则化简 ＋ 的结果是（ D ）
A. 2a－5 B. 5－2a
C. －3 D. 3
B
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D
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7. （1） 要使代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤4.5 ；
（2） （2025·齐齐哈尔）若代数式 ＋（x－2025）0有意义，则实数x的取值范围是 x＞3且x≠2025 .
8. 当a ＞0 时， ＝1；当a ＜0 时， ＝－1.
9. 若实数x，y满足y＋6＝ ＋ ，则xy的值为 －3 .
x≤4.5
x＞3且x≠2025
＞0
＜0
－3
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10. 已知实数a，b满足 ＋b2＋5＋2 b＝0，则a＋b的值为 － .
11. 把式子中根号外面的因式移到根号内：3 ＝ ；a ＝ － .
12. （1） （2025·宿迁改编）计算（ ）2－2× ＋｜ －1｜的结果为 1 ；
（2） 已知a＝2＋ ，b＝2－ ，则 － 的值为 8 .
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13. 已知菱形的周长为8，其中一组同旁内角的度数比为1∶2，则菱形的面积为 2 .
14. （新考法·阅读理解）（2024·南京）阅读材料：由6＋2 ＝5＋1＋2 ＝（ ）2＋2× ×1＋12＝（ ＋1）2，可知6＋2 的算术平方根是 ＋1.类似地，16－6 的算术平方根是 3－ .
15. 若直角三角形的两边之长分别为 ， ，则第三条边的长为 3或 .
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（1） ÷ － × ＋ ；
解：4＋
（2） （3 －2 ）2－（3 ＋2 ）2；
解：－24
16. 计算：
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（3） ｜2－ ｜－ × ＋ ；
解：2 －1
（4） a －2a2 ＋3 （a＞0）.
解： a
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17. （1） 已知x＝2－ ，求代数式（7＋4 ）x2＋（2＋ ）x＋ 的值；
解：把x＝2－ 代入，得原式＝（7＋4 ）×（2－ ）2＋（2＋ ）×（2－ ）＋ ＝（7＋4 ）×（7－4 ）＋1＋ ＝1＋1＋ ＝2＋
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（2） 先化简，再求值： ÷ ，其中x＝ ＋（ ）0－ .
解：原式＝ · ＝ · ＋ · ＝ ＋ ＝ ＝ .当x＝ ＋（ ）0－ ＝2 ＋1－2＝2 －1时，原式＝ ＝
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18. 已知x ＋3 ＋ ＝15，求x的值.
解：∵ x ＋3 ＋ ＝ ＋ ＋3 ＝5 ，∴ 5 ＝15，∴ ＝3，解得x＝3
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19. 设a＝ ，b＝ ，c＝ .
（1） 当x的取值范围是多少时，a，b，c都有意义？
解：（1） 由题意，得 解得－ ≤x≤8
（2） 若a，b，c为某直角三角形的三边长，求x的值.
解：（2） 当a2＋b2＝c2时，8－x＋3x＋4＝x＋2，解得x＝－10（不合题意，舍去）；当a2＋c2＝b2时，8－x＋x＋2＝3x＋4，解得x＝2；当b2＋c2＝a2时，3x＋4＋x＋2＝8－x，解得x＝ .综上所述，x的值为2或
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20. 如图，矩形ABCD的长为2 ＋ ，宽为2 － .
（1） 矩形ABCD的周长是多少？
解：（1） 矩形ABCD的周长为2×（2 ＋ ＋2 － ）＝2×4 ＝8
第20题
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（2） 在矩形ABCD内部挖去一个边长为 － 的正方形，求剩余部分的面积.
解：（2） 剩余部分的面积为（2 ＋ ）×（2 － ）－（ － ）2＝（2 ）2－（ ）2－[（ ）2－2 × ＋（ ）2]＝24－5－（11－2 ）＝8＋2
第20题
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期末专题
专题（二） 认识概率
1. 下列事件是必然事件的为（ B ）
A. 小红去等公交车，车站正好驶入一辆公交车
B. 实心铁球投入水中会沉入水底
C. 小明踢足球，正好踢进球门
D. 从只装有红球和黄球的袋中，摸出一个球是黑球
B
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2. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ D ）
A. 从装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是白球
B. 从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
第2题
D
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3. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组通过模拟试验来探究“6个人中至少有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下表：
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试验次数n 100 300 500 1000 1600 2000
“至少有2个人同月过生日”的次数m 79 229 385 771 1241 1556
“至少有2个人同月过生日”的频率 （精确到0.001） 0.790 0.763 0.770 0.771 0.776 0.778
通过试验，该小组估计“6个人中至少有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）是（ B ）
A. 0.82 B. 0.78 C. 0.77 D. 0.76
B
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4. （2025·徐州）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ C ）
A. 至多有1个球是红球 B. 至多有1个球是黑球
C. 至少有1个球是红球 D. 至少有1个球是黑球
5. 有下列说法：① “买中奖率为 的奖券10张，中奖”是必然事件；② “汽车累计行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件；③ A市气象局预报“明天的降水概率为70％”，意味着A市明天一定下雨；④ 发生的概率很小的事情是不可能发生的.其中，正确的个数为（ A ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
A
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6. （2025·苏州工业园区期末）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他都相同的小球，其中有6个红球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3，则估计n＝ 20 .
7. 有下列事件：① 书包里有14本大小和厚薄相同的不同种类的课本（其中只有1本是数学课本），随手摸出1本，恰好是数学课本；② 小红花4元买两张彩票，中500万；③ 抛掷一枚质地均匀的普通硬币两次，每次都是反面朝上；④ 八年级（1）班共40人，小华同学星期三早晨第一个来到教室.把这四个事件的序号按发生的概率从大到小排列： ③＞①＞④＞② （用“＞”连接）.
20
③＞①＞④＞②
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8. （2024·辽宁改编）一个不透明的袋子中装有4个白球、3个红球、x个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出1个球.
（1） 若摸出白球与摸出黑球的概率相同，则x的值应为多少？
解：（1） x的值应为4
（2） 若摸出黑球为不可能事件，则x的值应为多少？
解：（2） x的值应为0
（3） 若摸出黑球为随机事件，且摸出黑球的概率比摸出红球的概率小，则x的值应为多少？
解：（3） x的值为1或2
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9. （2024·姑苏区期中）把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张.有下列事件，计算这些事件发生的概率，并说明是必然事件，不可能事件，还是随机事件，并把这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列.
（1） 抽到的牌上的数是8；
解：（1） 抽到的牌上的数是8的概率为 ，是随机事件
（2） 抽到的牌上的数小于6；
解：（2） 抽到的牌上的数小于6的概率为 ，是随机事件
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（3） 抽到的牌是黑桃；
解：（3） 抽到的牌是黑桃的概率为0，是不可能事件
（4） 抽到的牌是红桃.
解：（4） 抽到的牌是红桃的概率为1，是必然事件
把这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列为（3）（1）（2）（4）
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10. （新情境·现实生活）A市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他都相同）的不透明纸箱中随机摸出1个球，摸出红球就可以免费得到1个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000名，该景点一共为参与这种游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个.
（1） 求参与这种游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
解：（1） 参与这种游戏可免费得到景点吉祥物的频率为 ＝0.25
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（2） 请你估计纸箱中白球的数量.
解：（2） 设纸箱中白球的数量为x个.根据题意，得 ＝0.25，解得x＝36.经检验，x＝36是所列方程的解，且符合实际.∴ 估计纸箱中白球的数量为36个
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11. （教材变式）某种玉米种子在相同条件下的发芽试验结果如下表：
试验粒数n 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 60 116 282 639 1339 1802 2715
发芽的频率 （精确到0.01） 1.00 0.80 0.90 0.86 0.89 0.91 0.91 0.89 0.90 0.91
1.00
0.80
0.90
0.86
0.89
0.91
0.91
0.89
0.90
0.91
（1） 填写上表中玉米种子发芽的频率；
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（2） 画出这种玉米种子发芽的频率的折线统计图；
解：（2） 根据表中玉米种子发芽的频率画出折线统计图，图略
（3） 这种玉米种子发芽的概率的估计值是多少（精确到0.1）？
解：（3） 这种玉米种子发芽的概率的估计值是0.9
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