2026中考数学二轮复习考点图形认识初步专项训练（含解析）

2026年中考数学解密之图形认识初步
一．选择题（共10小题）
1．（2025 石家庄模拟）爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在如图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（　　）
A．数 B．学 C．很 D．好
2．（2025 新城区校级二模）用一平面去截下列几何体，其截面不可能是圆形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 市南区校级模拟）某正方体的每个面上都有一个汉字，它的一个平面展开图如图所示，在原正方体中，与“你”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．祝 B．你 C．成 D．功
4．（2025 淮安）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 巴彦淖尔模拟）如图中，经过折叠能围成如图所示的几何体的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025 朝阳区校级一模）下列长方体、圆柱体和圆锥体木料，切开后截面形状与其他三个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025 南关区校级模拟）如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025 安州区模拟）如图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（　　）
A． B． C． D．
9．（2025 遵义模拟）线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，那么BQ的长是（　　）
A．2cm或22cm B．18cm或28cm
C．8cm或28cm D．8cm或18cm
10．（2025 滑县二模）一木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，若摩擦力F2方向与重力G方向的夹角α＝117°，则斜面的坡角β的度数为（　　）
A．25° B．26° C．27° D．28°
二．填空题（共10小题）
11．（2025 洞口县校级模拟）北京时间2022年11月29日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射，标志着空间站关键技术验证和建造阶段规划的12次发射任务全部圆满完成．当时钟指向23：08时，时针与分针所成角的度数是 　 　 °．
12．（2025 河北模拟）已知点A，B，C在同一条直线上，且互不重合，AB＝a2+a+5，AC＝2na，BC＝na+1．若点C在点A，B之间，则n的取值范围为　 　 ．
13．（2025 山西模拟）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的图形，则图中围出的“箭头”（即阴影部分）的面积为 　 　 ．
14．（2025 陕西模拟）七巧板由我国宋代“燕几图”演变而来，是一种古老的传统拼图玩具．小凯用一个边长为4的正方形制作了一副七巧板（如图①），并用这副七巧板拼成如图②所示的“企鹅”，则图②中AB的长为 　 　 ．
15．（2025 河北模拟）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形随机放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是 　 　 ．
16．（2025 永寿县校级模拟）如图，M，N位于数轴上原点O两侧，且OM＝3ON．若点M表示的数是9，则点N表示的数是　 　 ．
17．（2025 碑林区校级模拟）如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 　 　 ．
18．（2025 长春模拟）要种一列排列笔直的树，小明说：只要先定下两棵树的位置，然后其他树的位置就容易确定了，你认为小明这样说根据的数字原理是　 　 ．
19．（2025 冷水滩区校级模拟）如图，B、C两点把线段AD分成了三部分，且AB：BC：CD＝2：5：3，M为AD的中点，若AD＝24cm，则CM长为　 　 ．
20．（2025 福田区校级三模）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线OC⊥MN，反射光线AO与水平线的夹角∠AOD＝54°，则平面镜MN与水平线BD的夹角∠DON的大小为　 　 度．
（备注：入射角∠BOC等于反射角∠AOC）
三．解答题（共5小题）
21．（2025 韶关模拟）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 　 　 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（画出一种情况即可）
（3）小明说：他剪的所有棱中，最短的一条棱长为a，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求a的值及长方体纸盒的体积．
22．（2025 平乡县二模）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 　 　
A．
B．
C．
D．
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm） 30×40 20×80 80×80
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
23．（2025 韶关模拟）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）长方体共有 　 　 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开 　 　 条棱；
（3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积．
24．（2025 南海区校级三模）综合与实践：
探索求圆半径的办法
背景素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题．
任务一 （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，G．现测得AG＝1cm，则可知该圆的半径为　 　 cm；
任务二 （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点A，E，F在半圆上．若AE＝4cm，BF＝5cm，求圆的半径；
任务三 （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得AD＝BC＝5cm，分别以AB，BC所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕BC旋转得到的圆柱体积V1，绕AB旋转得到的圆柱体积V2，比较大小：V1　 　 V2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
任务四 （4）若矩形纸片的长BC＝a，宽AB＝b，（a＞b），猜想：绕　 　 （填“AB”或“BC”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想．
25．（2025 蜀山区三模）【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案．
任务1探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？
通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表：
长 16 14 12 10 8 6 4
宽 1 1.6 2 4
周长 34 23.2 20 16
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，　 　 时周长最小．
为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为a2，设两邻边长分别为a﹣x和a+y（x，y均为非负数），则（a﹣x）（a+y）＝a2，得．
…（请表示出周长并补全后续的证明过程）．
任务2计算对比，合理优化．
设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长7cm、宽4cm、高5cm，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为6cm的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由．
2026年中考数学解密之图形认识初步
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A C D B A C C
一．选择题（共10小题）
1．（2025 石家庄模拟）爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在如图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（　　）
A．数 B．学 C．很 D．好
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．网版权所有
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】B
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“数”与“玩”是对面，“很”与“好”是对面，“学”字的相对面没有字．
故选：B．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是正确解答的关键．
2．（2025 新城区校级二模）用一平面去截下列几何体，其截面不可能是圆形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】截一个几何体．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据三棱柱、球、圆锥、圆柱的截面的形状逐项进行判断即可．
【解答】解：A．用一平面去截三棱柱，其截面不可能是圆形，因此选项A符合题意；
B．用一平面去截球，截面是圆形，因此选项B不符合题意；
C．用一平面去截圆锥体，其截面可能是圆形，因此选项C不符合题意；
D．用一平面去截圆柱体，其截面可能是圆形，因此选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查截一个几何体，掌握三棱柱、球、圆锥、圆柱的截面的形状是正确解答的关键．
3．（2025 市南区校级模拟）某正方体的每个面上都有一个汉字，它的一个平面展开图如图所示，在原正方体中，与“你”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．祝 B．你 C．成 D．功
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．网版权所有
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】D
【分析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可求解．
【解答】解：根据正方体平面展开图特征可知：“你”字所在面相对的面上的汉字是“功”，
故选：D．
【点评】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的展开图特征是关键．
4．（2025 淮安）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
【考点】点、线、面、体．网版权所有
【专题】展开与折叠；推理能力．
【答案】A
【分析】将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是圆锥，由此判断即可．
【解答】解：将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是圆锥，
故选：A．
【点评】本题考查了立体图形，掌握立体图形是解题的关键．
5．（2025 巴彦淖尔模拟）如图中，经过折叠能围成如图所示的几何体的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】展开图折叠成几何体．网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】可根据正方体的展开图进行求解．
【解答】解：由图可知：经过折叠能围成的几何体的是C选项；
故选：C．
【点评】本题主要考查了展开图折叠成几何体，掌握正方体的展开图是解题的关键．
6．（2025 朝阳区校级一模）下列长方体、圆柱体和圆锥体木料，切开后截面形状与其他三个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】截一个几何体．网版权所有
【专题】空间观念．
【答案】D
【分析】长方体无论是横切，还是竖切，切面都是长方形，圆柱沿底面直径切开，切面是长方形，圆锥从顶点到底面直径切开，切面是三角形．据此解答．
【解答】解：长方体、圆柱形和圆锥形木料，切开后截面形状与其他三个不同的是圆锥．
故选：D．
【点评】此题考查的是截一个几何体，该题的目的是理解掌握长方体、圆柱、圆锥的特征及应用．
7．（2025 南关区校级模拟）如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．网版权所有
【专题】展开与折叠；几何直观．
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征解答即可．
【解答】解：此收纳盒的展开图是：
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题进行分析是解题关键．
8．（2025 安州区模拟）如图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（　　）
A． B． C． D．
【考点】点、线、面、体．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】A
【分析】观察图形，根据面动成体解答即可．
【解答】解：由图可知，几何体是由A选项平面图形沿虚线旋转一周得到．
故选：A．
【点评】本题考查了点、线、面、体，是基础题，准确识图是解题的关键．
9．（2025 遵义模拟）线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，那么BQ的长是（　　）
A．2cm或22cm B．18cm或28cm
C．8cm或28cm D．8cm或18cm
【考点】线段的和差．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】P点可确定，但Q点不能确定，需分Q点在P点左侧和右侧两种情况考虑．
【解答】解：如图1，当Q点在P点右侧时，
∵线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，
∴BQ＝AB﹣AP﹣PQ＝30﹣12﹣10＝8（cm）．
如图2，当Q点在P点左侧时，
∵AP＝12cm，PQ＝10cm，
∴AQ＝AP﹣PQ＝12﹣10＝2（cm），
∵AB＝30cm，
∴BQ＝AB﹣AQ＝30﹣2＝28（cm），
综上所述，BQ长为8cm或28cm．
故选：C．
【点评】本题考查了线段的和差，能进行分类讨论求解是解题的关键．
10．（2025 滑县二模）一木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，若摩擦力F2方向与重力G方向的夹角α＝117°，则斜面的坡角β的度数为（　　）
A．25° B．26° C．27° D．28°
【考点】角的计算．网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据外角和定理及平行线性质可列等式即β+90°＝α，代入数值计算即可．
【解答】解：如图，摩擦力F2方向与重力G方向的夹角α＝117°，
由题意可得：∠1＝α，
又∵∠1＝∠2+β＝90°+β，
∴β+90°＝α，
∵α＝117°，
∴β＝117°﹣90°＝27°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线性质，三角形的外角和定理等，正确进行计算是解题关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 洞口县校级模拟）北京时间2022年11月29日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射，标志着空间站关键技术验证和建造阶段规划的12次发射任务全部圆满完成．当时钟指向23：08时，时针与分针所成角的度数是 　74　 °．
【考点】钟面角．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】74．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：当时钟指向23：08时，时针与分针相距的份数是1，
当时钟指向23：08时，时针与分针的夹角是30°74°．
故答案为：74．
【点评】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
12．（2025 河北模拟）已知点A，B，C在同一条直线上，且互不重合，AB＝a2+a+5，AC＝2na，BC＝na+1．若点C在点A，B之间，则n的取值范围为n≤﹣1或n　 ．
【考点】两点间的距离．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】n≤﹣1或n．
【分析】根据点C 在点A，B 之间，可得AB ＝ AC+BC，由此列出等式，再根据线段长度大于零的性质求解n的取值范围．
【解答】解：∵点C在点A，B之间，
∴AB＝AC+BC恒成立，
即方程a2+a+5＝2na+na+1至少有一个根，
整理得a2+（1﹣3n）a+4＝0，
Δ＝（1﹣3n）2﹣4×1×4≥0，
解得，n≤﹣1或n，
故答案为：n≤﹣1或n．
【点评】本题主要考查两点间的距离及判别式的应用，由题意列出等式关系是解题的关键．
13．（2025 山西模拟）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的图形，则图中围出的“箭头”（即阴影部分）的面积为 　　 ．
【考点】七巧板．网版权所有
【专题】推理能力．
【答案】．
【分析】先根据七巧板中图形的关系，求得新图形的对角线的长，然后再根据数形集合思想即可解答．
【解答】解：如图：∵正方形的边长为4，
∴，，
由题意可得：，，
∴KD1，
∴KA1＝KD1＝2，
∴A1D1，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键．
14．（2025 陕西模拟）七巧板由我国宋代“燕几图”演变而来，是一种古老的传统拼图玩具．小凯用一个边长为4的正方形制作了一副七巧板（如图①），并用这副七巧板拼成如图②所示的“企鹅”，则图②中AB的长为 　　 ．
【考点】七巧板；勾股定理．网版权所有
【专题】几何图形；运算能力．
【答案】．
【分析】过点A作AH⊥BC交BC延长线于H，由七巧板的特点可知，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，，求出∠ACH＝45°，则可解直角三角形得到AH＝1，CH＝1，则BH＝BC+CH＝5，再利用勾股定理即可得到答案．
【解答】解：过点A作AH⊥BC交BC延长线于H，
∵∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，，
∴∠ACH＝45°，
∴，
∴BH＝BC+CH＝5，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，七巧板的特点，正确进行计算是解题关键．
15．（2025 河北模拟）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形随机放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是 　　 ．
【考点】展开图折叠成几何体；概率公式．网版权所有
【专题】投影与视图；运算能力．
【答案】．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题，然后再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题，然后再根据概率公式进行计算如下：
将图1的正方形放在图2中的①的位置出现图1正方形与图2最右边正方形重叠，所以不能围成正方体，
将图1的正方形放在图2中的②④的位置是展开图的1﹣3﹣2形，可以围成正方体；
将图1的正方形放在图2中的③的位置是展开图的3﹣3形，可以围成正方体，
∴所组成的图形能围成正方体的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，概率计算，解题关键是勿忘记正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”“凹”“一”的展开图都不是正方体的表面展开图．
16．（2025 永寿县校级模拟）如图，M，N位于数轴上原点O两侧，且OM＝3ON．若点M表示的数是9，则点N表示的数是　﹣3　 ．
【考点】线段的和差；数轴．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】﹣3．
【分析】先根据点M表示的数是9得出OM＝9，再由OM＝3ON得出ON的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵点M表示的数是9，
∴OM＝9，
∵OM＝3ON，
∴ON＝3，
∵点N在x轴的负半轴，
∴点N表示的数是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查的是线段的和差，数轴，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．
17．（2025 碑林区校级模拟）如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 　25　 ．
【考点】七巧板．网版权所有
【专题】规律型；几何直观．
【答案】25．
【分析】根据七巧板中，各部分的面积关系，即可求出结果．
【解答】解：整个正方正方形的面积：10×10＝100，
∴阴影部分小正方形的面积：100÷8＝12.5，
阴影部分平行四边形的面积：100÷8＝12.5，
∴阴影部分面积：12.5+12.5＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查七巧板，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
18．（2025 长春模拟）要种一列排列笔直的树，小明说：只要先定下两棵树的位置，然后其他树的位置就容易确定了，你认为小明这样说根据的数字原理是　两点确定一条直线　 ．
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．网版权所有
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【解答】解：被定下的两棵树相当于两个点，因为经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线．所以定下两棵树的位置就能定下一排树的位置．
故答案为：两点确定一条直线．
【点评】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线．解答此题不仅要根据公理，更要联系生活实际，以培养同学们的学以致用的思维习惯．
19．（2025 冷水滩区校级模拟）如图，B、C两点把线段AD分成了三部分，且AB：BC：CD＝2：5：3，M为AD的中点，若AD＝24cm，则CM长为　4.8cm ．
【考点】两点间的距离；线段的和差．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】4.8cm．
【分析】根据AB：BC：CD＝2：5：3求出各线段的长，再利用中点求解即可．
【解答】解：由条件可知，，，
∵M为AD的中点，
∴，
∴CM＝DM﹣CD＝4.8cm，
故答案为：4.8cm．
【点评】本题考查了线段的和差，解题关键是根据AB：BC：CD＝2：5：3求出各线段的长．
20．（2025 福田区校级三模）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线OC⊥MN，反射光线AO与水平线的夹角∠AOD＝54°，则平面镜MN与水平线BD的夹角∠DON的大小为　27　 度．
（备注：入射角∠BOC等于反射角∠AOC）
【考点】角的计算；对顶角、邻补角；垂线．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】27
【分析】根据补角的性质可得∠BOA+∠AOD＝180°，求出∠BOA＝126°，再根据入射角∠BOC等于反射角∠AOC，求出∠AOC＝63°，最后由法线OC垂直得∠CON＝90°，从而可得∠BOM＝27°，最后根据对顶角相等即可得．
【解答】解：∵∠AOD＝54°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝180°﹣54°＝126°，
∵入射角∠BOC等于反射角∠AOC，
∴，
∵OC⊥MN，
∴∠COM＝90°，
∴∠BOM＝∠COM﹣∠BOC＝90°﹣63°＝27°，
由对顶角相等得：∠DON＝∠BOM＝27°，
故答案为：27°．
【点评】本题考查了求一个角的余角、补角、垂直、对顶角等的运用，熟练掌握求一个角的余角和补角的方法是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 韶关模拟）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 　8　 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（画出一种情况即可）
（3）小明说：他剪的所有棱中，最短的一条棱长为a，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求a的值及长方体纸盒的体积．
【考点】展开图折叠成几何体．网版权所有
【专题】几何图形；几何直观；应用意识．
【答案】（1）8；
（2）见解析；
（3）200cm3．
【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，
（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，
（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是88cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．
【解答】解（1）小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，四种情况．
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是88cm，
∴4（a+5a+5a）＝88，
解得a＝2，
∴这个长方体纸盒的体积为2×10×10＝200（cm3）．
【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
22．（2025 平乡县二模）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 C
A．
B．
C．
D．
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm） 30×40 20×80 80×80
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【考点】几何体的展开图．网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）2；
（2）C；
（3）58元．
【分析】（1）由折叠和题意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH，四边形EFNM是正方形，得到EM＝EF，即AG＝EF，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【解答】解：（1）如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH，
∵四边形EFNM是正方形，
∴EM＝EF，即AG＝EF，
∴GH+AG＝AE+FB+EF，即AH＝AB，
∵AH＝DH，
∴，
∴的值为：2．
（2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：
∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则10×2+2×3+1×1＝27（个），
∴所用卡纸总费用为：20×2+5×3+3×1＝58（元）．
答：所用卡纸总费用为58元．
【点评】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．
23．（2025 韶关模拟）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）长方体共有 　12　 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开 　7　 条棱；
（3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积．
【考点】展开图折叠成几何体．网版权所有
【答案】（2）12，7；
（3）72cm3．
【分析】（1）、（2）由平面图形的折叠及长方体的展开图解题，（3）按平面折叠成几何体后求得体积．
【解答】解：（1）有多余块，
；
（2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱；
（3）底面正方形边长：12÷4＝3（cm），
长方体高：17﹣3×3＝8（cm），
长方体体积为：3×3×8＝72（cm3），
答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为72cm3．
【点评】本题考查了对于长方体展开图的掌握与立体图形体积的计算，较简单．
24．（2025 南海区校级三模）综合与实践：
探索求圆半径的办法
背景素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题．
任务一 （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，G．现测得AG＝1cm，则可知该圆的半径为　　 cm；
任务二 （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点A，E，F在半圆上．若AE＝4cm，BF＝5cm，求圆的半径；
任务三 （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得AD＝BC＝5cm，分别以AB，BC所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕BC旋转得到的圆柱体积V1，绕AB旋转得到的圆柱体积V2，比较大小：V1　＜　 V2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
任务四 （4）若矩形纸片的长BC＝a，宽AB＝b，（a＞b），猜想：绕AB （填“AB”或“BC”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想．
【考点】点、线、面、体；圆柱的体积．网版权所有
【专题】几何图形；运算能力．
【答案】任务一：；
任务二：；
任务三：＜；
任务四：AB．
【分析】任务一：根据勾股定理求出BG的长即可求解；
任务二：作ON⊥AD于点N，交BC于点M，连接OE，OF，由垂径定理得，根据OM2+FM2＝ON2+NE2求出OM的值，进而可求出半径；
任务三：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论；
任务四：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论．
【解答】解：任务一：∵∠BAG＝90°，
∴BG是直径．
∵AG＝1cm，AB＝2cm，
∴，
∴该圆的半径为．
故答案为：；
任务二：作ON⊥AD于点N，交BC于点M，连接OE，OF，
则四边形ABMN是矩形，
∴BM＝AN，MN＝AB＝2cm．
∵AE＝4cm，ON⊥AD，
∴，
∴BM＝AN＝2cm，
∵BF＝5cm，
∴FM＝BF﹣BM＝5cm﹣2cm＝3cm．
由勾股定理可得：OF2＝OM2+FM2，OE2＝ON2+NE2，
∴OM2+FM2＝ON2+NE2，
∴OM2+32＝（OM+2）2+22，
∴，
∴，
∴；
答：圆的半径为；
任务三：绕BC旋转得到的圆柱体积；
绕AB旋转得到的圆柱体积，
∴V1＜V2，
任务四：绕BC旋转得到的圆柱体积；
绕AB旋转得到的圆柱体积，
∵a＞b，
∴πab2＞πa2b，
∴V1＜V2，
故答案为：AB．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆柱体体积，正确进行计算是解题关键．
25．（2025 蜀山区三模）【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案．
任务1探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？
通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表：
长 16 14 12 10 8 6 4
宽 1 1.6 2 4
周长 34 23.2 20 16
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，x＝y＝0　 时周长最小．
为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为a2，设两邻边长分别为a﹣x和a+y（x，y均为非负数），则（a﹣x）（a+y）＝a2，得．
…（请表示出周长并补全后续的证明过程）．
任务2计算对比，合理优化．
设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长7cm、宽4cm、高5cm，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为6cm的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由．
【考点】几何体的表面积；圆柱的计算．网版权所有
【专题】展开与折叠；推理能力．
【答案】任务1：x＝y＝0；
任务2：合理，理由见解析．
【分析】任务1：观察表格可得结论：矩形的面积一定时，长和宽相等时周长最小，根据过程由，即可得出结论．
任务2：分别计算长方体和圆柱体的表面积即可得出结论．
【解答】解：任务1：长和宽相等设两邻边长分别为a﹣x和a+y（x，y均为非负数），则（a﹣x）（a+y）＝a2，得，
矩形周长为2（a﹣x）+2（a+y）＝4a+2（y﹣x）＝4a4a，
所以x＝y＝0，即矩形为正方形时，周长最小，
故答案为：x＝y＝0；
任务2：合理，理由如下：
长方体的体积7×4×5＝140cm3，圆柱体的体积，
长方体的表面积为：（7×4+4×5+7×5）×2＝166cm2．
圆柱体的表面积为：π×32×2+6π×5＝48π，48π＜48×3.2＝153.6cm2．
因为153.6＜166，
所以改为圆柱体更节省材料．
【点评】本题考查了整式乘法的应用、圆柱体和长方体体积与表面积计算，掌握乘法公式是解题的关键．