2026中考数学二轮复习考点一次函数专项训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026中考数学二轮复习考点一次函数专项训练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-18 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年中考数学解密之一次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2
2．（2025 苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：
温度t（℃） ﹣10 0 10 30
声音传播的速度v（m/s） 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（ ）
A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s
3．（2025 晋中二模）学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于150℃且小于220℃时，烘焙时间y（min）是烘焙温度x（℃）的一次函数，部分数据如下表所示：
烘焙温度x（℃） … 160 170 180 190 200 …
烘焙时间y（min） … 30 27.5 25 22.5 20 …
则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝0.25x+30 B．y＝﹣0.25x+40
C．y＝﹣0.25x+70 D．y＝﹣2.5x+430
4．（2025 阳泉模拟）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量Q（L）与出水时间t（min）之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下，则Q与t之间的函数关系式为（ ）
出水时间t（min） ．．． 5 10 15 20 ．．．
剩余水量Q（L） ．．． 80 60 40 20 ．．．
A．Q＝﹣4t B．Q＝4t﹣100 C．Q＝100﹣4t D．Q＝80﹣5t
5．（2025 旌阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．m＞﹣2
6．（2025 扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为 （1，﹣2），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025 五莲县三模）已知点P（﹣1，y1）、Q（3，y2）在一次函数y＝（2m﹣1）x+2的图象上，且y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m＜1 C．m D．m
8．（2025 朝阳县二模）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，﹣4）都在经过原点的同一条直线上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
9．（2025 河南校级三模）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距74400米；④乙比甲晚12分钟到达B地．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
10．（2025 瓯海区二模）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（ ）
A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0
C．当m+n＝3时，k＞0 D．当m+n＝3时，k＜0
二．填空题（共10小题）
11．（2025 商河县一模）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 分钟．
12．（2025 天宁区校级模拟）如图，已知直线与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线上的动点，将OM绕点O顺时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为 ．
13．（2025 澄迈县校级模拟）如图，一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为 ．
14．（2025 阳新县模拟）直线y＝k1x+3与直线y＝k2x﹣4在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与y轴的交点为分别为A、B，以AB为边向左作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为 ．
15．（2025 杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+b的值，则n的取值范围是 ．
16．（2025 新吴区一模）如图是一个游戏装置，四边形ABOD是正方形，点光源E为OB的中点．点P、点Q为AD的三等分点，PQ是一个感光元件．若从点E发出的光线照向平面镜OD，其反射光线照射到PQ上（含端点），该感光元件就会发光．已知点E（﹣3，0），反射光线所在直线为y＝kx+b，当感光元件发光时，b的取值范围为 ．
17．（2025 莱西市校级模拟）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．则部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 h．
18．（2025 济阳区模拟）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 小时．
19．（2025 山东一模）如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，点B是线段OA上一点．过点B作y轴的垂线l，直线l与一次函数y＝x+4的图象交于点M，与正比例函数y＝2x的图象交于点N．当点M与点N关于y轴对称时，OB＝ ．
20．（2025 深圳模拟）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 h后两人相距2km．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
22．（2025 通州区一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为x分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为y1克、y2克，其中y1，y2与x的几组对应值如表：
x 0 5 10 15 20 24
y1 25 23.5 20 14.5 7 0
y2 25 20 15 10 5 1
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，且y2与x之间满足某种特殊的变化规律：
①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
②直接写出y2与x之间的函数表达式是 ；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为 克（结果保留小数点后一位）；
②随着实验的进行，当y1＝y2时，实验时间约为 分钟（结果保留小数点后一位）．
23．（2025 浙江模拟）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为14N；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为8N．整个过程中，弹簧测力计读数F（N）与圆柱体下降高度h（cm）的关系图象如图2所示．
（1）分析题意，图2中的a＝ ，b＝ ；
（2）求AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式；
（3）若弹簧测力计的读数为10.4N，求圆柱体浸入水中的高度．
24．（2025 佳木斯一模）随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元．
甲 乙
进价/（元/双） m m﹣20
售价/（元/双） 240 160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要获得最大利润应如何进货？
25．（2025 肇庆一模）为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y1元，选择方案二的总费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
2026年中考数学解密之一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B C C B B C
一．选择题（共10小题）
1．（2025 徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0，
所以关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1，
所以关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1，
所以解集为x＜2，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．（2025 苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：
温度t（℃） ﹣10 0 10 30
声音传播的速度v（m/s） 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（ ）
A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s
【考点】一次函数的应用．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出v与t之间的函数关系式，当t＝15时，求出对应v的值即可．
【解答】解：将t＝0，v＝330和t＝10，v＝33（6分）别代入v＝at+b，
得，
解得，
∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t+330，
当t＝15时，v＝0.6×15+330＝339，
∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339m/s．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
3．（2025 晋中二模）学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于150℃且小于220℃时，烘焙时间y（min）是烘焙温度x（℃）的一次函数，部分数据如下表所示：
烘焙温度x（℃） … 160 170 180 190 200 …
烘焙时间y（min） … 30 27.5 25 22.5 20 …
则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝0.25x+30 B．y＝﹣0.25x+40
C．y＝﹣0.25x+70 D．y＝﹣2.5x+430
【考点】一次函数的应用．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】利用待定系数法解答即可．
【解答】解：设y与x之间的关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将x＝180，y＝25和x＝200，y＝20分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x之间的关系式为y＝﹣0.25x+70．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
4．（2025 阳泉模拟）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量Q（L）与出水时间t（min）之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下，则Q与t之间的函数关系式为（ ）
出水时间t（min） ．．． 5 10 15 20 ．．．
剩余水量Q（L） ．．． 80 60 40 20 ．．．
A．Q＝﹣4t B．Q＝4t﹣100 C．Q＝100﹣4t D．Q＝80﹣5t
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据表格的数据可知，出水时间每增加5min，剩余水量就减少20L，据此先求出水箱内原有水量，再求出函数关系式，即可得出答案．
【解答】解：出水时间每增加5min，剩余水量就减少20L，
则原有水量为80+20＝100（L），
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的解析式，找到函数变化的规律是解题的关键．
5．（2025 旌阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．m＞﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，得出一次函数y＝kx+2过定点（0，2），再根据点A坐标得出m与k的关系，由x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立求出k的取值范围，进一步得出m的取值范围即可解决问题．
【解答】解：由题知，
一次函数y＝kx+2过定点（0，2）．
如图所示，
因为当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，
所以k≤2且3k+2＞5，
解得1＜k≤2，
所以．
因为一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），
所以mk+2＝0，
则m，
所以﹣2＜m≤﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，能根据题意得出关于k的不等式及m和k之间的关系是解题的关键．
6．（2025 扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为 （1，﹣2），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；一次函数的性质．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】过点C作CH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥y轴于点G，易证△AGO≌△OHC（AAS），根据全等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：过点C作CH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
则有∠CHO＝∠OGA＝90°，
∴∠HCO+∠HOC＝90°，
∵ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠COA＝90°，
∴∠COH+∠AOG＝90°，
∴∠AOG＝∠HCO，
∴△AGO≌△OHC（AAS），
∴HC＝OG，HO＝GA，
∵A（1，﹣2），
∴GA＝1，OG＝2，
∴C（2，1），
将A，C点坐标代入y＝kx+b，
得，
解得k＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，构造全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．
7．（2025 五莲县三模）已知点P（﹣1，y1）、Q（3，y2）在一次函数y＝（2m﹣1）x+2的图象上，且y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m＜1 C．m D．m
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【解答】解：∵点P（﹣1，y1）、点Q（3，y2）在一次函数y＝（2m﹣1）x+2的图象上，
∴当3＞﹣1时，由题意可知y2＞y1，
∴y随x的增大而增大，
∴2m﹣1＞0，解得m，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．（2025 朝阳县二模）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，﹣4）都在经过原点的同一条直线上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
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【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】先由已知求得直线解析式，再根据正比例函数的性质可得y1，y2的大小关系．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，﹣4）都在经过原点的同一条直线上，
∴设直线解析式为y＝kx（k≠0），
将C（3，﹣4）代入y＝kx得﹣4＝3k，
解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣2＜1，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
9．（2025 河南校级三模）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距74400米；④乙比甲晚12分钟到达B地．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】依据题意，由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②；求出甲的总路程判断③；求出甲到达B地时，乙离B地的距离，判断④．
【解答】解：由题意，根据函数的图象可得，乙的速度为：1500÷5＝300（米/分）；故①正确；
又设甲出发时的速度为x米/分．
∴25×300﹣（25﹣5）x＝2500，
∴x＝250，
∴甲出发时速度为250米/分，
又∵25分钟后甲的速度为：（米/分），
∴25分钟后甲追上乙所需时间为：2500÷（400﹣300）＝25（分），
∴25+25＝50（分）．
∴当乙出发50分钟时，甲追上乙，故②错误；
由题意得，两地A、B相距＝250×（25﹣5）+（86﹣25）×400＝29400（米），
故③错误；
∵86分钟乙的路程为：86×300＝25800（米），
∴（分钟）．
∴乙比甲晚12分钟到达B地，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
10．（2025 瓯海区二模）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（ ）
A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0
C．当m+n＝3时，k＞0 D．当m+n＝3时，k＜0
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】利用图象即可判断A、B；利用一次函数的性质即可判断C、D．
【解答】解：如图，
若点P为（2，1）时，m＞n，则b＜0，故A错误；
若点P为（1，4）时，m＜n，则b＞0，故B错误；
当m+n＝3时，由题意可知0＜m＜3，0＜n＜3，
∵一次函数y＝kx+b图象经过A（3，3），P（m，n），
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0，故C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 商河县一模）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 4.5 分钟．
【考点】一次函数的应用．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解．
【解答】解：由图可得，甲的速度为240÷3＝80米/分，
设乙的速度为x米/分，
由图可得，（15﹣3）x＝240+80×（15﹣3），
解得x＝100，
∴乙的速度为100米/分，
∴甲到达终点的时间为3000÷80＝37.5分钟，
乙达到终点的时间为3000÷100＝30分钟，
∵甲先出发3分钟，
∴乙先到终点原地休息了37.5﹣3﹣30＝4.5分钟，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂函数的图象是解题的关键．
12．（2025 天宁区校级模拟）如图，已知直线与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线上的动点，将OM绕点O顺时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为 3 ．
【考点】一次函数图象与几何变换；垂线段最短；全等三角形的判定与性质．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设直线与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接OD、AN，过B作BH⊥AN于H点．根据直线解析式求出点A和点E的坐标，然后再证明△AOD为等边三角形．再结合旋转的性质和等边三角形的性质，并利用SAS证明△MOD≌△NOA，得出∠OAN＝∠ODE＝120°．由A为定点，∠OAN＝120°为定值，即说明当M在直线上运动时，点N也在定直线AN上运动，即得出当点N与点H重合时，BN最短．结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出BH＝AB sin60°＝3，即BN的最小值为3．
【解答】解：设直线与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接OD、AN，过B作BH⊥AN于H点，如图所示：
对于，令x＝0，则y＝3，
∴E（0，3），
令y＝0，则，
∴，
∴，OE＝3，
∵∠AOE＝90°，
∴，
∵AE的中点为D，
∴，
∴，
∴△DAO为等边三角形，
∴∠AOD＝∠ODA＝60°，
∴∠ODE＝120°，
由旋转的性质可知OM＝ON，∠MON＝60°＝∠DOA，
∴∠MON﹣∠DON＝∠DOA﹣∠DON，即∠MOD＝∠NOA，
∴△MOD≌△NOA（SAS），
∴∠OAN＝∠ODE＝120°，
∵A为定点，∠OAN＝120°为定值，
∴当M在直线上运动时，点N也在定直线AN上运动，
∴当点N与点H重合时，BN最短，
∵点B与点A关于y轴对称，
∴，
∴，
∵∠BAH＝180°﹣∠OAN＝60°，
∴BH＝AB sin60°＝3，即BN的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点N在定直线上，通过垂线段最短的性质求BN的最小值．
13．（2025 澄迈县校级模拟）如图，一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝15+0.5x（0≤x≤10） ．
【考点】根据实际问题列一次函数关系式．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】y＝15+0.5x（0≤x≤10）．
【分析】根据不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm列出分式关系式即可．
【解答】解：∵不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，
∴y＝15+0.5x（0≤x≤10），
故答案为：y＝15+0.5x（0≤x≤10）．
【点评】本题考查了列函数关系式，根据题意列出函数关系式，即可求解．
14．（2025 阳新县模拟）直线y＝k1x+3与直线y＝k2x﹣4在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与y轴的交点为分别为A、B，以AB为边向左作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为 49 ．
【考点】两条直线相交或平行问题；正方形的性质．网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】针对于y＝k1x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3），同理点B（0，﹣4），故AB＝7，即可求解．
【解答】解：y＝k1x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3）
同理点B（0，﹣4），故AB＝7，
则正方形ABCD的面积7×7＝49，
故答案为49．
【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题，主要考查函数与系数的关系，求出点A、B的坐标即可求解．
15．（2025 杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+b的值，则n的取值范围是 n≥2 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】n≥2．
【分析】先利用待定系数法求得函数y＝x+b的解析式，然后计算x＝3时，y＝4，再把点（3，4）代入函数中得到n＝2，则利用一次函数的性质可判断当n≥2时满足条件．
【解答】解：∵函数y＝x+b的图象经过点（1，2），
∴2＝1+b，解得b＝1，
∴y＝x+1，
当x＝3时，y＝x+1＝4，
把（3，4）代入函数得，4，解得n＝2，
∵当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+1的值，
∴n≥2．
故答案为：n≥2．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
16．（2025 新吴区一模）如图是一个游戏装置，四边形ABOD是正方形，点光源E为OB的中点．点P、点Q为AD的三等分点，PQ是一个感光元件．若从点E发出的光线照向平面镜OD，其反射光线照射到PQ上（含端点），该感光元件就会发光．已知点E（﹣3，0），反射光线所在直线为y＝kx+b，当感光元件发光时，b的取值范围为 ．
【考点】一次函数的应用；正方形的性质；轴对称的性质．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】．
【分析】取点E关于y轴的对称点E'，根据点E的坐标得到E'的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点E'；设反射光线所在的直线的解析式为y＝ax+b（a为常数，且 a≠0），将E'的坐标代入y＝ax+b，将a用含b的代数式表示出来；再分别将点P、Q的坐标代入得到对应b的值，从而得到b的取值范围，进而求得b的整数值．
【解答】解：如图，取点E关于y轴的对称点E'，
∵点E（﹣3，0）为OB的中点，
∴BE＝OE＝3，
∵四边形ABOD是正方形，
∴OB＝OD＝AD＝6，
∵点P、点Q为AD的三等分点，
∴P（﹣4，6），Q（﹣2，6），
∵点E（﹣3，0）关于y轴的对称点E'，
∴E'（3，0），根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点E'，
设反射光线所在的直线的解析式为y＝ax+b（a为常数，且a≠0），
将E'（3，0）代入y＝ax+b，
得3a+b＝0，
∴，
∴，
当反射光线经过P（﹣4，6）时，得，
解得，
当反射光线经过Q （﹣2，6）时，得，解得，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数是解题的关键．
17．（2025 莱西市校级模拟）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．则部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 h．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】．
【分析】根据速度＝路程÷时间求出大巴的速度，再根据时间＝路程÷速度求出a的值，由速度＝路程÷时间求出军车的速度，再根据a的值和时间＝路程÷速度求出部队官兵在仓库领取物资所用的时间即可．
【解答】解：大巴的速度为（60﹣20）÷1＝40（km/h），
则大巴天到达基地所用的时间为（100﹣20）÷40＝2（h），
∴a＝2，
军车的速度为60÷1＝60（km/h），
则部队官兵在仓库领取物资所用的时间为2﹣100÷60（h）．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
18．（2025 济阳区模拟）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 小时．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用待定系数法求出y与t的函数关系式，将y＝0代入该函数关系式，求出对应x的值即可．
【解答】解：y与t的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（0，25）和（2，10）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与t的函数关系式为yx+25，
当y＝0时，得x+25＝0，
解得x，
∴一箱汽油可供汽车行驶小时．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
19．（2025 山东一模）如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，点B是线段OA上一点．过点B作y轴的垂线l，直线l与一次函数y＝x+4的图象交于点M，与正比例函数y＝2x的图象交于点N．当点M与点N关于y轴对称时，OB＝ ．
【考点】两条直线相交或平行问题；关于x轴、y轴对称的点的坐标．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设点N（m，2m），则M（﹣m，﹣m+4），利用点M与点N关于y轴对称，建立方程2m＝﹣m+4，求出m值，即可得到OB值．
【解答】解：设点N（m，2m），则M（﹣m，﹣m+4），
∵点M与点N关于y轴对称，
∴2m＝﹣m+4，
解得：m，
∴B（0，）．
∴OB．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、关于xy轴对称点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（2025 深圳模拟）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 0.15 h后两人相距2km．
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【专题】一次函数及其应用．
【答案】0.15．
【分析】根据题意和函数图象中的数据计算出小明和小亮的速度，明确两人出发xh后两人相距2km为等量关系列出方程．
【解答】解：由题意和图象可得：
小明0.5h行驶了6﹣3.5＝2.5（km），
∴小明的速度为：2.5÷0.5＝5（km/h），
小亮0.4h小时行驶了6km，
∴小明的速度为：6÷0.4＝15（km/h），
设两人出发xh后两人相距2km，
∴15x﹣5x＝3.5﹣2，
解得：x＝0.15，
答：两人出发0.15h后两人相距2km，
故答案为：0.15．
【点评】本题考查了函数的图象，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
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【答案】（1）2.8N，2.5N；
（2）F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）；
（3）0.6，1.6．
【分析】（1）观察图象即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）当x＝8时，求出弹簧测力计A的示数F拉力，根据F拉力＝G重力﹣F浮力求出m的值；利用待定系数法求出当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，求出对应x的值并再减去6cm，即n的值．
【解答】解：（1）当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，
当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
22．（2025 通州区一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为x分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为y1克、y2克，其中y1，y2与x的几组对应值如表：
x 0 5 10 15 20 24
y1 25 23.5 20 14.5 7 0
y2 25 20 15 10 5 1
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，且y2与x之间满足某种特殊的变化规律：
①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
②直接写出y2与x之间的函数表达式是 y2＝﹣x+25 ；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为 4.5 克（结果保留小数点后一位）；
②随着实验的进行，当y1＝y2时，实验时间约为 22.5 分钟（结果保留小数点后一位）．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①见解答；②y2＝﹣x+25；
（2）①4.5；②22.5．
【分析】（1）①描点并连线即可；
②利用待定系数法解答即可；
（2）①根据图象，计算当x＝7.5时对应两函数值之差即可；
②根据图象，当y1＝y2时对应x的值即为所求．
【解答】解：（1）①描点并连线如图所示：
②∵y2与x之间的函数图象是一条直线，
∴y2与x之间是一次函数的关系，
设y2与x之间的函数表达式是y2＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（0，25）和（5，20）分别代入y2＝kx+b，
得，
解得，
∴y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣x+25．
（2）①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为4.5克．
故答案为：4.5．
②随着实验的进行，当y1＝y2时，实验时间约为22.5分钟．
故答案为：22.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
23．（2025 浙江模拟）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为14N；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为8N．整个过程中，弹簧测力计读数F（N）与圆柱体下降高度h（cm）的关系图象如图2所示．
（1）分析题意，图2中的a＝ 14 ，b＝ 8 ；
（2）求AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式；
（3）若弹簧测力计的读数为10.4N，求圆柱体浸入水中的高度．
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【专题】数形结合；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）14，8；
（2）F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）；
（3）圆柱体浸入水中的高度为3cm．
【分析】（1）根据已知直接可得a＝14，b＝8；
（2）用待定系数法可得F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）；
（3）令F＝10.4求得h＝8，即可得圆柱体浸入水中的高度为3cm．
【解答】解：（1）根据已知可得，a＝14，b＝8；
故答案为：14，8；
（2）设AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式为F＝kh+b，
∴，
解得，
∴F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）；
（3）在F＝﹣1.2h+20中，令F＝10.4时，10.4＝﹣1.2h+20，
解得h＝8，
∵8﹣5＝3（cm），
∴圆柱体浸入水中的高度为3cm．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24．（2025 佳木斯一模）随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元．
甲 乙
进价/（元/双） m m﹣20
售价/（元/双） 240 160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要获得最大利润应如何进货？
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）100；
（2）11种；
（3）当50＜a＜60时，购进甲种运动鞋105双、乙种运动鞋95双可获得最大利润；当a＝60时，所有方案获利都相等；当60＜a＜70时，购进甲种运动鞋95双、乙种运动鞋105双可获得最大利润．
【分析】（1）根据题意列关于m的一元一次方程并求解即可；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，x的整数的数量就是进货方案的数量；
（3）设获得的利润为W元，写出W关于x的函数关系式，根据a的取值范围和一次函数的增减性确定当x取何值时W的值最大，并求出此时200﹣x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意，得60m+50（m﹣20）＝10000，
解得m＝100，
∴m的值为100．
（2）乙种运动鞋每双进价为100﹣20＝80（元），
设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意，得，
解得95≤x≤105，
∵x为非负整数，
∴该专卖店有11种进货方案．
（3）设获得的利润为W元，则W＝（240﹣100﹣a）x+（160﹣80）（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000，
当50＜a＜60时，60﹣a＞0，
∴W随x的增大而增大，
∵95≤x≤105，
∴当x＝105时W值最大，
200﹣105＝95（双）；
当a＝60时，W＝16000；
当60＜a＜70时，60﹣a＜0，
∴W随a的减小而增大，
∵95≤x≤105，
∴当x＝95时W值最大，
200﹣95＝105（双）；
∴当50＜a＜60时，购进甲种运动鞋105双、乙种运动鞋95双可获得最大利润；当a＝60时，所有方案获利都相等；当60＜a＜70时，购进甲种运动鞋95双、乙种运动鞋105双可获得最大利润．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握一元一次方程和一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
25．（2025 肇庆一模）为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y1元，选择方案二的总费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y1＝2x+4500，y2y2＝8x+3600；
（2）当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少．
【分析】（1）根据总费用＝A，B两种奖品费用之和列出y1、y2关于x的函数解析式；
（2）根据（1）中解析式分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）根据题意，得，
y2＝20x+15×80%×（300﹣x）＝8x+3600．
（2）由y1＞y2，得2x+4500＞8x+3600．
解得x＜150；
∴购买A种奖品少于150个时，方案一支付费用少．
由y1＝y2，得2x+4500＝8x+3600．
解得x＝150；
∴购买A种奖品150个时，方案一和方案二支付费用一样多；
由y1＜y2，得2x+4500＜8x+3600．
解得x＞150．
∴购买A种奖品超过150个时，方案二支付费用少；
答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少．
【点评】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式．
一．选择题（共10小题）
1．（2025 徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2
2．（2025 苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：
温度t（℃） ﹣10 0 10 30
声音传播的速度v（m/s） 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（ ）
A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s
3．（2025 晋中二模）学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于150℃且小于220℃时，烘焙时间y（min）是烘焙温度x（℃）的一次函数，部分数据如下表所示：
烘焙温度x（℃） … 160 170 180 190 200 …
烘焙时间y（min） … 30 27.5 25 22.5 20 …
则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝0.25x+30 B．y＝﹣0.25x+40
C．y＝﹣0.25x+70 D．y＝﹣2.5x+430
4．（2025 阳泉模拟）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量Q（L）与出水时间t（min）之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下，则Q与t之间的函数关系式为（ ）
出水时间t（min） ．．． 5 10 15 20 ．．．
剩余水量Q（L） ．．． 80 60 40 20 ．．．
A．Q＝﹣4t B．Q＝4t﹣100 C．Q＝100﹣4t D．Q＝80﹣5t
5．（2025 旌阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．m＞﹣2
6．（2025 扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为 （1，﹣2），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025 五莲县三模）已知点P（﹣1，y1）、Q（3，y2）在一次函数y＝（2m﹣1）x+2的图象上，且y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m＜1 C．m D．m
8．（2025 朝阳县二模）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，﹣4）都在经过原点的同一条直线上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
9．（2025 河南校级三模）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距74400米；④乙比甲晚12分钟到达B地．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
10．（2025 瓯海区二模）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（ ）
A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0
C．当m+n＝3时，k＞0 D．当m+n＝3时，k＜0
二．填空题（共10小题）
11．（2025 商河县一模）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 分钟．
12．（2025 天宁区校级模拟）如图，已知直线与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线上的动点，将OM绕点O顺时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为 ．
13．（2025 澄迈县校级模拟）如图，一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为 ．
14．（2025 阳新县模拟）直线y＝k1x+3与直线y＝k2x﹣4在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与y轴的交点为分别为A、B，以AB为边向左作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为 ．
15．（2025 杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+b的值，则n的取值范围是 ．
16．（2025 新吴区一模）如图是一个游戏装置，四边形ABOD是正方形，点光源E为OB的中点．点P、点Q为AD的三等分点，PQ是一个感光元件．若从点E发出的光线照向平面镜OD，其反射光线照射到PQ上（含端点），该感光元件就会发光．已知点E（﹣3，0），反射光线所在直线为y＝kx+b，当感光元件发光时，b的取值范围为 ．
17．（2025 莱西市校级模拟）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．则部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 h．
18．（2025 济阳区模拟）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 小时．
19．（2025 山东一模）如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，点B是线段OA上一点．过点B作y轴的垂线l，直线l与一次函数y＝x+4的图象交于点M，与正比例函数y＝2x的图象交于点N．当点M与点N关于y轴对称时，OB＝ ．
20．（2025 深圳模拟）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 h后两人相距2km．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
22．（2025 通州区一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为x分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为y1克、y2克，其中y1，y2与x的几组对应值如表：
x 0 5 10 15 20 24
y1 25 23.5 20 14.5 7 0
y2 25 20 15 10 5 1
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，且y2与x之间满足某种特殊的变化规律：
①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
②直接写出y2与x之间的函数表达式是 ；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为 克（结果保留小数点后一位）；
②随着实验的进行，当y1＝y2时，实验时间约为 分钟（结果保留小数点后一位）．
23．（2025 浙江模拟）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为14N；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为8N．整个过程中，弹簧测力计读数F（N）与圆柱体下降高度h（cm）的关系图象如图2所示．
（1）分析题意，图2中的a＝ ，b＝ ；
（2）求AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式；
（3）若弹簧测力计的读数为10.4N，求圆柱体浸入水中的高度．
24．（2025 佳木斯一模）随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元．
甲 乙
进价/（元/双） m m﹣20
售价/（元/双） 240 160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要获得最大利润应如何进货？
25．（2025 肇庆一模）为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y1元，选择方案二的总费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
2026年中考数学解密之一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B C C B B C
一．选择题（共10小题）
1．（2025 徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0，
所以关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1，
所以关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1，
所以解集为x＜2，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．（2025 苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：
温度t（℃） ﹣10 0 10 30
声音传播的速度v（m/s） 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（ ）
A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s
【考点】一次函数的应用．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出v与t之间的函数关系式，当t＝15时，求出对应v的值即可．
【解答】解：将t＝0，v＝330和t＝10，v＝33（6分）别代入v＝at+b，
得，
解得，
∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t+330，
当t＝15时，v＝0.6×15+330＝339，
∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339m/s．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
3．（2025 晋中二模）学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于150℃且小于220℃时，烘焙时间y（min）是烘焙温度x（℃）的一次函数，部分数据如下表所示：
烘焙温度x（℃） … 160 170 180 190 200 …
烘焙时间y（min） … 30 27.5 25 22.5 20 …
则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝0.25x+30 B．y＝﹣0.25x+40
C．y＝﹣0.25x+70 D．y＝﹣2.5x+430
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】利用待定系数法解答即可．
【解答】解：设y与x之间的关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将x＝180，y＝25和x＝200，y＝20分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x之间的关系式为y＝﹣0.25x+70．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
4．（2025 阳泉模拟）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量Q（L）与出水时间t（min）之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下，则Q与t之间的函数关系式为（ ）
出水时间t（min） ．．． 5 10 15 20 ．．．
剩余水量Q（L） ．．． 80 60 40 20 ．．．
A．Q＝﹣4t B．Q＝4t﹣100 C．Q＝100﹣4t D．Q＝80﹣5t
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据表格的数据可知，出水时间每增加5min，剩余水量就减少20L，据此先求出水箱内原有水量，再求出函数关系式，即可得出答案．
【解答】解：出水时间每增加5min，剩余水量就减少20L，
则原有水量为80+20＝100（L），
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的解析式，找到函数变化的规律是解题的关键．
5．（2025 旌阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．m＞﹣2
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，得出一次函数y＝kx+2过定点（0，2），再根据点A坐标得出m与k的关系，由x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立求出k的取值范围，进一步得出m的取值范围即可解决问题．
【解答】解：由题知，
一次函数y＝kx+2过定点（0，2）．
如图所示，
因为当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，
所以k≤2且3k+2＞5，
解得1＜k≤2，
所以．
因为一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），
所以mk+2＝0，
则m，
所以﹣2＜m≤﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，能根据题意得出关于k的不等式及m和k之间的关系是解题的关键．
6．（2025 扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为 （1，﹣2），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；一次函数的性质．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】过点C作CH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥y轴于点G，易证△AGO≌△OHC（AAS），根据全等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：过点C作CH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
则有∠CHO＝∠OGA＝90°，
∴∠HCO+∠HOC＝90°，
∵ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠COA＝90°，
∴∠COH+∠AOG＝90°，
∴∠AOG＝∠HCO，
∴△AGO≌△OHC（AAS），
∴HC＝OG，HO＝GA，
∵A（1，﹣2），
∴GA＝1，OG＝2，
∴C（2，1），
将A，C点坐标代入y＝kx+b，
得，
解得k＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，构造全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．
7．（2025 五莲县三模）已知点P（﹣1，y1）、Q（3，y2）在一次函数y＝（2m﹣1）x+2的图象上，且y2＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m＜1 C．m D．m
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【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【解答】解：∵点P（﹣1，y1）、点Q（3，y2）在一次函数y＝（2m﹣1）x+2的图象上，
∴当3＞﹣1时，由题意可知y2＞y1，
∴y随x的增大而增大，
∴2m﹣1＞0，解得m，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．（2025 朝阳县二模）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，﹣4）都在经过原点的同一条直线上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
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【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】先由已知求得直线解析式，再根据正比例函数的性质可得y1，y2的大小关系．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，﹣4）都在经过原点的同一条直线上，
∴设直线解析式为y＝kx（k≠0），
将C（3，﹣4）代入y＝kx得﹣4＝3k，
解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣2＜1，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
9．（2025 河南校级三模）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距74400米；④乙比甲晚12分钟到达B地．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】依据题意，由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②；求出甲的总路程判断③；求出甲到达B地时，乙离B地的距离，判断④．
【解答】解：由题意，根据函数的图象可得，乙的速度为：1500÷5＝300（米/分）；故①正确；
又设甲出发时的速度为x米/分．
∴25×300﹣（25﹣5）x＝2500，
∴x＝250，
∴甲出发时速度为250米/分，
又∵25分钟后甲的速度为：（米/分），
∴25分钟后甲追上乙所需时间为：2500÷（400﹣300）＝25（分），
∴25+25＝50（分）．
∴当乙出发50分钟时，甲追上乙，故②错误；
由题意得，两地A、B相距＝250×（25﹣5）+（86﹣25）×400＝29400（米），
故③错误；
∵86分钟乙的路程为：86×300＝25800（米），
∴（分钟）．
∴乙比甲晚12分钟到达B地，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
10．（2025 瓯海区二模）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（ ）
A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0
C．当m+n＝3时，k＞0 D．当m+n＝3时，k＜0
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【专题】一次函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】利用图象即可判断A、B；利用一次函数的性质即可判断C、D．
【解答】解：如图，
若点P为（2，1）时，m＞n，则b＜0，故A错误；
若点P为（1，4）时，m＜n，则b＞0，故B错误；
当m+n＝3时，由题意可知0＜m＜3，0＜n＜3，
∵一次函数y＝kx+b图象经过A（3，3），P（m，n），
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0，故C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 商河县一模）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 4.5 分钟．
【考点】一次函数的应用．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解．
【解答】解：由图可得，甲的速度为240÷3＝80米/分，
设乙的速度为x米/分，
由图可得，（15﹣3）x＝240+80×（15﹣3），
解得x＝100，
∴乙的速度为100米/分，
∴甲到达终点的时间为3000÷80＝37.5分钟，
乙达到终点的时间为3000÷100＝30分钟，
∵甲先出发3分钟，
∴乙先到终点原地休息了37.5﹣3﹣30＝4.5分钟，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂函数的图象是解题的关键．
12．（2025 天宁区校级模拟）如图，已知直线与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线上的动点，将OM绕点O顺时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为 3 ．
【考点】一次函数图象与几何变换；垂线段最短；全等三角形的判定与性质．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设直线与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接OD、AN，过B作BH⊥AN于H点．根据直线解析式求出点A和点E的坐标，然后再证明△AOD为等边三角形．再结合旋转的性质和等边三角形的性质，并利用SAS证明△MOD≌△NOA，得出∠OAN＝∠ODE＝120°．由A为定点，∠OAN＝120°为定值，即说明当M在直线上运动时，点N也在定直线AN上运动，即得出当点N与点H重合时，BN最短．结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出BH＝AB sin60°＝3，即BN的最小值为3．
【解答】解：设直线与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接OD、AN，过B作BH⊥AN于H点，如图所示：
对于，令x＝0，则y＝3，
∴E（0，3），
令y＝0，则，
∴，
∴，OE＝3，
∵∠AOE＝90°，
∴，
∵AE的中点为D，
∴，
∴，
∴△DAO为等边三角形，
∴∠AOD＝∠ODA＝60°，
∴∠ODE＝120°，
由旋转的性质可知OM＝ON，∠MON＝60°＝∠DOA，
∴∠MON﹣∠DON＝∠DOA﹣∠DON，即∠MOD＝∠NOA，
∴△MOD≌△NOA（SAS），
∴∠OAN＝∠ODE＝120°，
∵A为定点，∠OAN＝120°为定值，
∴当M在直线上运动时，点N也在定直线AN上运动，
∴当点N与点H重合时，BN最短，
∵点B与点A关于y轴对称，
∴，
∴，
∵∠BAH＝180°﹣∠OAN＝60°，
∴BH＝AB sin60°＝3，即BN的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点N在定直线上，通过垂线段最短的性质求BN的最小值．
13．（2025 澄迈县校级模拟）如图，一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝15+0.5x（0≤x≤10） ．
【考点】根据实际问题列一次函数关系式．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】y＝15+0.5x（0≤x≤10）．
【分析】根据不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm列出分式关系式即可．
【解答】解：∵不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，
∴y＝15+0.5x（0≤x≤10），
故答案为：y＝15+0.5x（0≤x≤10）．
【点评】本题考查了列函数关系式，根据题意列出函数关系式，即可求解．
14．（2025 阳新县模拟）直线y＝k1x+3与直线y＝k2x﹣4在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与y轴的交点为分别为A、B，以AB为边向左作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为 49 ．
【考点】两条直线相交或平行问题；正方形的性质．网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】针对于y＝k1x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3），同理点B（0，﹣4），故AB＝7，即可求解．
【解答】解：y＝k1x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3）
同理点B（0，﹣4），故AB＝7，
则正方形ABCD的面积7×7＝49，
故答案为49．
【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题，主要考查函数与系数的关系，求出点A、B的坐标即可求解．
15．（2025 杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+b的值，则n的取值范围是 n≥2 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】n≥2．
【分析】先利用待定系数法求得函数y＝x+b的解析式，然后计算x＝3时，y＝4，再把点（3，4）代入函数中得到n＝2，则利用一次函数的性质可判断当n≥2时满足条件．
【解答】解：∵函数y＝x+b的图象经过点（1，2），
∴2＝1+b，解得b＝1，
∴y＝x+1，
当x＝3时，y＝x+1＝4，
把（3，4）代入函数得，4，解得n＝2，
∵当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+1的值，
∴n≥2．
故答案为：n≥2．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
16．（2025 新吴区一模）如图是一个游戏装置，四边形ABOD是正方形，点光源E为OB的中点．点P、点Q为AD的三等分点，PQ是一个感光元件．若从点E发出的光线照向平面镜OD，其反射光线照射到PQ上（含端点），该感光元件就会发光．已知点E（﹣3，0），反射光线所在直线为y＝kx+b，当感光元件发光时，b的取值范围为 ．
【考点】一次函数的应用；正方形的性质；轴对称的性质．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】．
【分析】取点E关于y轴的对称点E'，根据点E的坐标得到E'的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点E'；设反射光线所在的直线的解析式为y＝ax+b（a为常数，且 a≠0），将E'的坐标代入y＝ax+b，将a用含b的代数式表示出来；再分别将点P、Q的坐标代入得到对应b的值，从而得到b的取值范围，进而求得b的整数值．
【解答】解：如图，取点E关于y轴的对称点E'，
∵点E（﹣3，0）为OB的中点，
∴BE＝OE＝3，
∵四边形ABOD是正方形，
∴OB＝OD＝AD＝6，
∵点P、点Q为AD的三等分点，
∴P（﹣4，6），Q（﹣2，6），
∵点E（﹣3，0）关于y轴的对称点E'，
∴E'（3，0），根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点E'，
设反射光线所在的直线的解析式为y＝ax+b（a为常数，且a≠0），
将E'（3，0）代入y＝ax+b，
得3a+b＝0，
∴，
∴，
当反射光线经过P（﹣4，6）时，得，
解得，
当反射光线经过Q （﹣2，6）时，得，解得，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数是解题的关键．
17．（2025 莱西市校级模拟）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．则部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 h．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】．
【分析】根据速度＝路程÷时间求出大巴的速度，再根据时间＝路程÷速度求出a的值，由速度＝路程÷时间求出军车的速度，再根据a的值和时间＝路程÷速度求出部队官兵在仓库领取物资所用的时间即可．
【解答】解：大巴的速度为（60﹣20）÷1＝40（km/h），
则大巴天到达基地所用的时间为（100﹣20）÷40＝2（h），
∴a＝2，
军车的速度为60÷1＝60（km/h），
则部队官兵在仓库领取物资所用的时间为2﹣100÷60（h）．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
18．（2025 济阳区模拟）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 小时．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用待定系数法求出y与t的函数关系式，将y＝0代入该函数关系式，求出对应x的值即可．
【解答】解：y与t的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（0，25）和（2，10）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与t的函数关系式为yx+25，
当y＝0时，得x+25＝0，
解得x，
∴一箱汽油可供汽车行驶小时．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
19．（2025 山东一模）如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，点B是线段OA上一点．过点B作y轴的垂线l，直线l与一次函数y＝x+4的图象交于点M，与正比例函数y＝2x的图象交于点N．当点M与点N关于y轴对称时，OB＝ ．
【考点】两条直线相交或平行问题；关于x轴、y轴对称的点的坐标．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设点N（m，2m），则M（﹣m，﹣m+4），利用点M与点N关于y轴对称，建立方程2m＝﹣m+4，求出m值，即可得到OB值．
【解答】解：设点N（m，2m），则M（﹣m，﹣m+4），
∵点M与点N关于y轴对称，
∴2m＝﹣m+4，
解得：m，
∴B（0，）．
∴OB．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、关于xy轴对称点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（2025 深圳模拟）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 0.15 h后两人相距2km．
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【专题】一次函数及其应用．
【答案】0.15．
【分析】根据题意和函数图象中的数据计算出小明和小亮的速度，明确两人出发xh后两人相距2km为等量关系列出方程．
【解答】解：由题意和图象可得：
小明0.5h行驶了6﹣3.5＝2.5（km），
∴小明的速度为：2.5÷0.5＝5（km/h），
小亮0.4h小时行驶了6km，
∴小明的速度为：6÷0.4＝15（km/h），
设两人出发xh后两人相距2km，
∴15x﹣5x＝3.5﹣2，
解得：x＝0.15，
答：两人出发0.15h后两人相距2km，
故答案为：0.15．
【点评】本题考查了函数的图象，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
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【答案】（1）2.8N，2.5N；
（2）F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）；
（3）0.6，1.6．
【分析】（1）观察图象即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）当x＝8时，求出弹簧测力计A的示数F拉力，根据F拉力＝G重力﹣F浮力求出m的值；利用待定系数法求出当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，求出对应x的值并再减去6cm，即n的值．
【解答】解：（1）当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，
当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
22．（2025 通州区一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为x分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为y1克、y2克，其中y1，y2与x的几组对应值如表：
x 0 5 10 15 20 24
y1 25 23.5 20 14.5 7 0
y2 25 20 15 10 5 1
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，且y2与x之间满足某种特殊的变化规律：
①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
②直接写出y2与x之间的函数表达式是 y2＝﹣x+25 ；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为 4.5 克（结果保留小数点后一位）；
②随着实验的进行，当y1＝y2时，实验时间约为 22.5 分钟（结果保留小数点后一位）．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①见解答；②y2＝﹣x+25；
（2）①4.5；②22.5．
【分析】（1）①描点并连线即可；
②利用待定系数法解答即可；
（2）①根据图象，计算当x＝7.5时对应两函数值之差即可；
②根据图象，当y1＝y2时对应x的值即为所求．
【解答】解：（1）①描点并连线如图所示：
②∵y2与x之间的函数图象是一条直线，
∴y2与x之间是一次函数的关系，
设y2与x之间的函数表达式是y2＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（0，25）和（5，20）分别代入y2＝kx+b，
得，
解得，
∴y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣x+25．
（2）①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为4.5克．
故答案为：4.5．
②随着实验的进行，当y1＝y2时，实验时间约为22.5分钟．
故答案为：22.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
23．（2025 浙江模拟）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为14N；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为8N．整个过程中，弹簧测力计读数F（N）与圆柱体下降高度h（cm）的关系图象如图2所示．
（1）分析题意，图2中的a＝ 14 ，b＝ 8 ；
（2）求AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式；
（3）若弹簧测力计的读数为10.4N，求圆柱体浸入水中的高度．
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【专题】数形结合；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）14，8；
（2）F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）；
（3）圆柱体浸入水中的高度为3cm．
【分析】（1）根据已知直接可得a＝14，b＝8；
（2）用待定系数法可得F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）；
（3）令F＝10.4求得h＝8，即可得圆柱体浸入水中的高度为3cm．
【解答】解：（1）根据已知可得，a＝14，b＝8；
故答案为：14，8；
（2）设AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式为F＝kh+b，
∴，
解得，
∴F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）；
（3）在F＝﹣1.2h+20中，令F＝10.4时，10.4＝﹣1.2h+20，
解得h＝8，
∵8﹣5＝3（cm），
∴圆柱体浸入水中的高度为3cm．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24．（2025 佳木斯一模）随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元．
甲 乙
进价/（元/双） m m﹣20
售价/（元/双） 240 160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要获得最大利润应如何进货？
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）100；
（2）11种；
（3）当50＜a＜60时，购进甲种运动鞋105双、乙种运动鞋95双可获得最大利润；当a＝60时，所有方案获利都相等；当60＜a＜70时，购进甲种运动鞋95双、乙种运动鞋105双可获得最大利润．
【分析】（1）根据题意列关于m的一元一次方程并求解即可；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，x的整数的数量就是进货方案的数量；
（3）设获得的利润为W元，写出W关于x的函数关系式，根据a的取值范围和一次函数的增减性确定当x取何值时W的值最大，并求出此时200﹣x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意，得60m+50（m﹣20）＝10000，
解得m＝100，
∴m的值为100．
（2）乙种运动鞋每双进价为100﹣20＝80（元），
设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意，得，
解得95≤x≤105，
∵x为非负整数，
∴该专卖店有11种进货方案．
（3）设获得的利润为W元，则W＝（240﹣100﹣a）x+（160﹣80）（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000，
当50＜a＜60时，60﹣a＞0，
∴W随x的增大而增大，
∵95≤x≤105，
∴当x＝105时W值最大，
200﹣105＝95（双）；
当a＝60时，W＝16000；
当60＜a＜70时，60﹣a＜0，
∴W随a的减小而增大，
∵95≤x≤105，
∴当x＝95时W值最大，
200﹣95＝105（双）；
∴当50＜a＜60时，购进甲种运动鞋105双、乙种运动鞋95双可获得最大利润；当a＝60时，所有方案获利都相等；当60＜a＜70时，购进甲种运动鞋95双、乙种运动鞋105双可获得最大利润．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握一元一次方程和一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
25．（2025 肇庆一模）为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y1元，选择方案二的总费用为y2元．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y1＝2x+4500，y2y2＝8x+3600；
（2）当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少．
【分析】（1）根据总费用＝A，B两种奖品费用之和列出y1、y2关于x的函数解析式；
（2）根据（1）中解析式分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）根据题意，得，
y2＝20x+15×80%×（300﹣x）＝8x+3600．
（2）由y1＞y2，得2x+4500＞8x+3600．
解得x＜150；
∴购买A种奖品少于150个时，方案一支付费用少．
由y1＝y2，得2x+4500＝8x+3600．
解得x＝150；
∴购买A种奖品150个时，方案一和方案二支付费用一样多；
由y1＜y2，得2x+4500＜8x+3600．
解得x＞150．
∴购买A种奖品超过150个时，方案二支付费用少；
答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少．
【点评】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式．
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