2026中考数学二轮复习考点相交线与平行线专项训练（含解析）

2026年中考数学解密之相交线与平行线
一．选择题（共10小题）
1．（2025 芜湖三模）在凸五边形ABCDE中，点P在BC边上，点Q在AD的延长线上，AQ与BC平行且相等，不能推出PA与CD一定平行的是（　　）
A．PB＝QD B．PA＝CD C．∠BAP＝∠DCQ D．∠APB＝∠CDQ
2．（2025 慈利县一模）关于如图中各角的说法不正确的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角
C．∠3与∠5是对顶角 D．∠2与∠3是邻补角
3．（2025 旌阳区二模）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，体现了中国人民的智慧和创造力，它是中华传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化内涵．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知AB∥CD，∠A＝75°，∠ECD＝105°，则∠E的度数为（　　）
A．30° B．20° C．50° D．40°
4．（2025 郑州二模）从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若AD∥BC，BE∥DC，BF平分∠EBC，交AD于点G．若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．（2025 湖北模拟）如图，直线m∥n，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线m、n上，若∠2＝60°，则∠1的度数是（　　）
A．35° B．25° C．15° D．5°
6．（2025 湖北模拟）如图，将一对三角板按如图方式摆放，若AB∥CE，则∠1的度数是（　　）
A．60° B．75° C．85° D．90°
7．（2025 运城校级模拟）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯AB和折臂的底座CD都与地面MN垂直，同时上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝78°，下折臂与底座CD的夹角∠CDE＝120°，那么上折臂AE与路灯AB的夹角∠BAE的度数为（　　）
A．32° B．42° C．55° D．60°
8．（2025 随州模拟）如图，AB∥EF，，，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（　　）
A．58° B．60° C．62° D．64°
9．（2025 凤城市二模）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．50° D．60°
10．（2025 海南一模）如图，AB∥CD，BC为∠ACD的角平分线，∠1＝155°，则∠2为（　　）
A．155° B．130° C．150° D．135°
二．填空题（共10小题）
11．（2025 威海一模）图1是某品牌自行车放置在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝55°，若AM∥BC，则∠MAC＝　 　 度．
12．（2025 天元区校级模拟）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠2＝68°，则∠1＝　 　 °．
13．（2025 安州区模拟）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝43°，则∠2的度数为　 　 ．
14．（2025 岳阳楼区二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，点B在直线b上，若∠ACD＝55°，则∠1＝　 　 °．
15．（2025 海陵区校级三模）光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，MN∥EF，光线AB从空气中射入水中时发生了折射，沿BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线．已知∠1＝58°，∠2＝43°，则∠DBC的大小为　 　 °．
16．（2025 吉林一模）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝54°，则∠2＝ 　 　 °．
17．（2025 南岸区校级二模）一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．若斜面的坡角α的度数为40°，则支持力F与重力G方向的夹角β的度数为　 　 ．
18．（2025 徐州校级模拟）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝40°，则∠2的度数是 　 　 ．
19．（2025 钱塘区三模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O．若∠1＝40°，则∠2＝ 　 　 ．
20．（2025 萍乡校级二模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线．若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠DGF的度数是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 洞口县校级模拟）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
22．（2025 巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠D的度数．
23．（2025 武汉三模）已知A﹣B﹣E﹣C﹣D是一条折线段，且AB∥CD，E为平行线间的一点．
（1）如图1，若∠ABE＝130°，∠ECD＝25°，求∠BEC的度数；
（2）如图2，作∠ABC的平分线交直线CD于点F，若BE⊥CE，∠BFC＝60°，∠CBE＝30°，求证：CE∥BF；
（3）如图3，作∠ABE的平分线交直线CD于点F，射线BE交直线CD于点M，且∠BMF＝60°，P为射线MF上一动点，连接EP，∠EPF的平分线交直线BF于点Q．设∠BEP＝α，∠FQP＝β，请直接写出α与β的数量关系．
24．（2025 武威校级模拟）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠1＝65°，∠2＝75°，求∠F的度数．
（2）求证：∠E+2∠F＝360°．
（3）如图2，若∠E＝m°，∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，求∠P的度数（用m，n的代数式表示）．
25．（2025 长安区校级模拟）已知∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE＝∠BEA．
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE＝3∠CDE，∠AED＝60°，求∠CED的度数．
2026年中考数学解密之相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B C B B B C B
一．选择题（共10小题）
1．（2025 芜湖三模）在凸五边形ABCDE中，点P在BC边上，点Q在AD的延长线上，AQ与BC平行且相等，不能推出PA与CD一定平行的是（　　）
A．PB＝QD B．PA＝CD C．∠BAP＝∠DCQ D．∠APB＝∠CDQ
【考点】平行线的判定与性质．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意画出示意图，由各选项条件判定四边形APCD是否是平行四边形，即可解答．
【解答】解：如图，
∵AQ＝BC，AQ∥BC，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
∴AB∥CQ，
∴∠BAQ+∠Q＝∠Q+∠BCQ＝180°，即∠BAQ＝∠BCQ（两直线平行，同旁内角互补），
A、∵PB＝QD，
∴AQ﹣DQ＝BC﹣BP，即AD＝CP，
∵AQ∥BC，
∴四边形APCD是平行四边形，
∴PA∥CD，故选项A正确，不符合题意；
B、∵PA＝CD，如图：
四边形APCD可能是等腰梯形，
∴不能推出PA与CD一定平行，故选项B错误，符合题意；
C、∵∠BAP＝∠DCQ，
∴∠BAQ﹣∠BAP＝∠BCQ﹣∠DCQ，即∠PAQ＝∠BCD，
∵AQ∥BC，
∴∠PAQ+∠APC＝∠BCD+∠ADC＝180°，即∠APC＝∠ADC（，
∴∠PAQ+∠ADC＝180°，
∴PA∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故选项C正确，不符合题意；
D、∵∠APB＝∠CDQ，
∴∠APC＝∠ADC，
同理C选项，得∠PAQ+∠ADC＝180°，
∴PA∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，关键是平行线判定定理和性质的熟练掌握．
2．（2025 慈利县一模）关于如图中各角的说法不正确的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角
C．∠3与∠5是对顶角 D．∠2与∠3是邻补角
【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】B
【分析】根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解．
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠4不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意；
C、∠3与∠5是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、∠2与∠3是邻补角，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查同位角、内错角、对顶角和邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握三线八角的定义及其区分．
3．（2025 旌阳区二模）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，体现了中国人民的智慧和创造力，它是中华传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化内涵．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知AB∥CD，∠A＝75°，∠ECD＝105°，则∠E的度数为（　　）
A．30° B．20° C．50° D．40°
【考点】平行线的性质．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】如图，延长DC交AE于H，先证明∠CHE＝∠A＝75°，再利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：如图，延长DC交AE于H，
∵AB∥CD，∠A＝75°，
∴∠CHE＝∠A＝75°（两直线平行，同位角相等），
∵∠ECD＝105°，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EHC＝105°﹣75°＝30°，
即∠E的度数为30°，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
4．（2025 郑州二模）从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若AD∥BC，BE∥DC，BF平分∠EBC，交AD于点G．若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠1＝70°，∠2＝∠CBG，由角平分线定义求出∠CBG∠EBC＝35°，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵BE∥DC，
∴∠ABC＝∠1＝70°，
∵BF平分∠EBC，
∴∠CBG∠EBC＝35°，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠CBG＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC＝∠1，∠2＝∠CBG．
5．（2025 湖北模拟）如图，直线m∥n，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线m、n上，若∠2＝60°，则∠1的度数是（　　）
A．35° B．25° C．15° D．5°
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可知∠ABC＝∠ACB＝45°，根据两直线平行，内错角相等，可知∠ABD＝∠2＝60°，根据角之间的关系求出∠1的度数即可．
【解答】解：如图所示，
∵△ABC是等腰直角三角板，
∴根据等腰直角三角形的性质得，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵直线m∥n，∠2＝60°，
∴∠ABD＝∠2＝60°（两直线平行，内错角相等），
∴∠1＝∠ABD﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°．
则∠1的度数为15°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
6．（2025 湖北模拟）如图，将一对三角板按如图方式摆放，若AB∥CE，则∠1的度数是（　　）
A．60° B．75° C．85° D．90°
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】平行线的性质求出∠2＝∠E＝30°，再根据三角形的外角，得到∠1＝∠A+∠2，即可．
【解答】解：由题意，得：∠E＝30°，∠A＝45°，
∵AB∥CE，
∴∠2＝∠E＝30°（两直线平行，内错角相等），
∴∠1＝∠A+∠2＝45°+30°＝75°；
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，关键是相关性子的熟练掌握．
7．（2025 运城校级模拟）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯AB和折臂的底座CD都与地面MN垂直，同时上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝78°，下折臂与底座CD的夹角∠CDE＝120°，那么上折臂AE与路灯AB的夹角∠BAE的度数为（　　）
A．32° B．42° C．55° D．60°
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】过点E作EF∥MN交AB于点F，过点D作DH∥MN，由平行线的性质求出∠DEF＝∠EDH＝30°，进而求得∠AEF＝48°，进而可得答案．
【解答】解：如图，过点E作EF∥MN交AB于点F，过点D作DH∥MN，
∵CD⊥MN，
∴CD⊥HD，
∴∠HDC＝90°，
∵下折臂与底座CD的夹角∠CDE＝120°，
∴∠EDH＝∠CDE﹣∠HDC＝120°﹣90°＝30°，
∵EF∥MN，DH∥MN，
∴EF∥DH，
∴∠DEF＝∠EDH＝30°，
∵上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝78°，
∴∠AEF＝∠AED﹣∠DEF＝78°﹣30°＝48°，
∵AB⊥MN，EF∥MN，
∴EF⊥MN，∠AFE＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEF＝90°﹣48°＝42°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题意作出平行线，利用平行线的性质解答是解题的关键．
8．（2025 随州模拟）如图，AB∥EF，，，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（　　）
A．58° B．60° C．62° D．64°
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】过C作CQ∥AB，利用平行线的判定与性质进行解答即可．
【解答】解：过C作CQ∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CQ，
∴∠ABC+∠BCQ＝180°，∠EFC+∠FCQ＝180°，
∴∠ABC+∠BCF+∠EFC＝360°，
∵∠FCD＝60°，
∴∠BCF＝120°，
∴∠ABC+∠EFC＝360°﹣120°＝240°，
∵，，
∴∠ABP+∠PFE＝60°，
∴∠P＝60°．
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是平行线性质定理的应用．
9．（2025 凤城市二模）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．50° D．60°
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】首先求出∠ABP和∠CDP，再根据平行线的性质求出∠BPN和∠DPN即可．
【解答】解：∵∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，
∴∠ABP＝180°﹣∠ABE＝30°，∠CDP＝180°﹣∠CDF＝20°，
∵AB∥CD∥MN，
∴∠BPN＝∠ABP＝30°，∠DPN＝∠CDP＝20°，
∴∠EPF＝∠BPN+∠DPN＝30°+20°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
10．（2025 海南一模）如图，AB∥CD，BC为∠ACD的角平分线，∠1＝155°，则∠2为（　　）
A．155° B．130° C．150° D．135°
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠DCB，进而利用角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCB＝180°﹣∠1＝180°﹣155°＝25°，
∵BC为∠ACD的角平分线，
∴∠DCA＝2∠DCB＝50°，
∴∠2＝180°﹣50°＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 威海一模）图1是某品牌自行车放置在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝55°，若AM∥BC，则∠MAC＝　65　 度．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形．
【答案】65．
【分析】根据题意得到AB∥CD，得出∠ABC＝∠BCD＝60°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝65°，由AM∥BC得到∠MAC＝∠ACB＝65°，即可得到答案．
【解答】解：∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°，
∵∠BAC＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝65°，
∴AM∥BC，
∴∠MAC＝∠ACB＝65°，
故答案为：65．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练知识相关知识点是解题的关键．
12．（2025 天元区校级模拟）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠2＝68°，则∠1＝　112　 °．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】112．
【分析】利用平行线的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
∵AC∥BD，
∴∠ACD＝∠2＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝180°﹣∠ACD＝112°，
故答案为：112．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（2025 安州区模拟）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝43°，则∠2的度数为　133°　 ．
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【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
【解答】解：∵∠1＝43°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣43°＝47°，
∴∠4＝180°﹣47°＝133°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝133°．
故答案为：133°．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，准确识图是解题的关键．
14．（2025 岳阳楼区二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，点B在直线b上，若∠ACD＝55°，则∠1＝　35　 °．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】35．
【分析】根据题意可得∠BCD＝90°﹣55°＝35°，再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：由条件可知∠BCD＝90°﹣55°＝35°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠BCD＝35°；
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
15．（2025 海陵区校级三模）光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，MN∥EF，光线AB从空气中射入水中时发生了折射，沿BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线．已知∠1＝58°，∠2＝43°，则∠DBC的大小为　15　 °．
【考点】平行线的性质．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】15．
【分析】通过射线BD与EF的交点H，利用平行线性质和三角形外角性质来计算∠DBC的大小．
【解答】解：设射线BD交EF于点H．
∵MN∥EF，∠2＝43°，
∴∠2＝∠BHC＝43°（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1是△BHC的外角，
∴∠1＝∠DBC+∠BHC．
∵∠1＝58°，
∴58°＝∠DBC+43°，
∴∠DBC＝58°﹣43°＝15°．
则∠DBC的大小为15°．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16．（2025 吉林一模）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝54°，则∠2＝ 　36　 °．
【考点】平行线的性质；垂线．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】36．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠2+90°＝180°，进而解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，AD⊥AC，
∴∠1+∠2+90°＝180°，
∵∠1＝54°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣54°＝36°，
即∠2的度数为36．
故答案为：36．
【点评】此题考查平行线的性质，垂线，关键是平行线性质的熟练掌握．
17．（2025 南岸区校级二模）一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．若斜面的坡角α的度数为40°，则支持力F与重力G方向的夹角β的度数为　140°　 ．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用垂直的定义得到∠1＝90°﹣∠α＝50°，然后利用平行线的性质得到∠2＝∠1＝50°，即可得∠β的度数．
【解答】解：如图，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠1＝90°﹣∠α＝50°，
∵摩擦力f的方向与斜面平行．
∵∠1＝∠2＝50°，
∵支持力F的方向与斜面垂直，
∴∠β＝50°+90°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了平行线的性质，正确利用平行线的性质是解决问题的关键．
18．（2025 徐州校级模拟）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝40°，则∠2的度数是 　70°　 ．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】70°．
【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEF的度数，又由EG平分∠BEF，根据角平分线的定义，即可求得∠BEG的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠BEF＝180°，
∵∠1＝40°，
∴∠BEF＝140°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG∠BEF＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝70°．
故答案为：70°．
【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理以及数形结合思想的应用．
19．（2025 钱塘区三模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O．若∠1＝40°，则∠2＝ 　50°　 ．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】50°．
【分析】先根据已知条件和垂直定义求出∠BOE，再根据∠1+∠BOE+∠AOC＝180°和已知条件，求出∠AOC，最后根据对顶角相等求出∠2即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠1+∠BOE+∠AOC＝180°，∠1＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∴∠2＝∠AOC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了对顶角和邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角的性质和垂直定义．
20．（2025 萍乡校级二模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线．若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠DGF的度数是　122°　 ．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】122°．
【分析】由平行线的性质推出∠AFG＝∠DGF，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠DGF＝∠AFG＝180°﹣（∠1+∠2）．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠AFG＝∠DGF（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠1+∠AFG＝180°，
∴∠DGF＝∠AFG＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（42°+16°）＝122°．
则∠DGF的度数为122°．
故答案为：122°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 洞口县校级模拟）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由∠BED＝∠C，得到DE∥AC，由角平分线定义得到∠1＝∠GAH，又∠1+∠2＝90°，因此∠2+∠GAH＝90°，得到GH⊥AC，即可证明HF⊥DE；
（2）由角平分线定义得到∠GAH∠BAC＝34°，即可求出∠2的度数，由条件可以证明DF∥AG，得到∠DFH＝∠2．
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠C，
∴DE∥AC，
∵AG平分∠BAC，
∴∠1＝∠GAH，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠GAH＝90°，
∴GH⊥AC，
∴HF⊥DE；
（2）解：∵AG平分∠BAC，
∴∠GAH∠BAC＝34°，
∴∠2＝90°﹣34°＝56°，
∵DE∥AC，
∴∠3＝∠GAH，
∵∠1＝∠GAH，
∴∠1＝∠3，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴DF∥AG，
∴∠DFH＝∠2＝56°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，垂线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
22．（2025 巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠D的度数．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∵AB⊥AC，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．
又∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC；
（2）50°．
【分析】（1）先求出∠ACB的度数，再结合平行线的判定即可解决问题；
（2）根据题意，得出四边形ABCD是平行四边形，据此可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB⊥AC，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．
又∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC；
（2）解：∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键．
23．（2025 武汉三模）已知A﹣B﹣E﹣C﹣D是一条折线段，且AB∥CD，E为平行线间的一点．
（1）如图1，若∠ABE＝130°，∠ECD＝25°，求∠BEC的度数；
（2）如图2，作∠ABC的平分线交直线CD于点F，若BE⊥CE，∠BFC＝60°，∠CBE＝30°，求证：CE∥BF；
（3）如图3，作∠ABE的平分线交直线CD于点F，射线BE交直线CD于点M，且∠BMF＝60°，P为射线MF上一动点，连接EP，∠EPF的平分线交直线BF于点Q．设∠BEP＝α，∠FQP＝β，请直接写出α与β的数量关系．
【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）75°；
（2）证明见解答；
（3）α＝180°﹣2β或α＝2β．
【分析】（1）过点E作AB的平行线EH，利用平行线的判定和性质即可解答；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠FGC＝60°，根据三角形内角和求得∠BCE＝60°，即可解答；
（3）分类讨论：分点P在点F左边或右边，画出图形，分别进行解答即可．
【解答】（1）解：如图，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，AB∥EF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝50°，CD∥EF，
∴∠FEC＝∠ECD＝25°，
∴∠BEC＝∠BEF+∠FEC＝75°；
（2）证明：∵AB∥FD，
∴∠ABF＝∠BFC＝60°，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠FBC＝60°，
∵BE⊥CE，∠CBE＝30°，
∴∠BCF＝60°＝∠FBC，
∴EC∥BF；
（3）解：当点P在点F左边时，如图，
∴∠BMF＝60°，BF平分∠ABM，
∴∠ABM＝120°，
∵BF平分∠ABM，
∴∠ABF＝∠FBE＝60°，
∴∠BFM＝60°，
∴∠QPF＝60°﹣β，
∵PQ平分∠EPF，
∴∠EPM＝2∠QPF＝120°﹣2β，
∴∠BEP＝∠EPM+∠EMP，
即α＝120°﹣2β+60°＝180°﹣2β；
当点P在点F右边时，如图，
∴∠QPF＝180°﹣∠QFP﹣∠FQP＝120°﹣β，
∵PQ平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠QPF＝240°﹣2β，
∴∠EPM＝180°﹣∠EPF＝2β﹣60°，
∴∠BEP＝∠EPM+∠EMP，
即α＝2β﹣60°+60°＝2β，
综上，α＝180°﹣2β或α＝2β．
【点评】本题考查了利用平行线的性质和角平分线的定义判断角度的关系，三角形内角和定理和外角的性质，熟练利用分类讨论思想是解题的关键．
24．（2025 武威校级模拟）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠1＝65°，∠2＝75°，求∠F的度数．
（2）求证：∠E+2∠F＝360°．
（3）如图2，若∠E＝m°，∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，求∠P的度数（用m，n的代数式表示）．
【考点】平行线的性质；列代数式；角平分线的定义；平行公理及推论．网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）140°；
（2）证明见解答；
（3）∠P．
【分析】（1）过点F作直线FG∥AB，根据平行线的性质及平行线公理即可解答；
（2）过点E作直线EH∥AB，根据平行线的性质，角平分线的定义及平行线公理即可得证；
（3）根据角的等量代换表示出∠E，进而表示出∠ABP+∠CDP，过点P作直线PJ∥AB，根据平行线的性质及平行线公理即可解答．
【解答】（1）解：过点F作直线FG∥AB，如图，
∵FG∥AB，
∴∠BFG＝∠1＝65°，
∵FG∥AB，AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠DFG＝∠2＝75°，
∴∠F＝∠BFG+∠DFG＝65°+75°＝140°；
（2）证明：过点E作直线EH∥AB，如图，
∵EH∥AB，
∴∠ABE+∠BEH＝180°，
∵EH∥AB，AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠CDE+∠HED＝180°，
∴∠ABE+∠BEH+∠HED+∠CDE＝360°，
∵BF平分∠ABE，FD平分∠CDE，
∴∠ABE＝2∠1，∠CDE＝2∠2，
∴∠E+2∠1+2∠2＝360°，
由（1）得，∠F＝∠1+∠2，
∴∠E+2∠F＝360°．
（3）解：∵∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，
∴∠ABF＝（n+1）∠ABP，∠CDF＝（n+1）∠CDP，
由（1）得∠F＝∠ABF+∠CDF＝（n+1）（∠ABP+∠CDP），
由（2）得，∠E+2∠F＝360°，
∴∠E＝360°﹣2（n+1）（∠ABP+∠CDP）＝m°，
∴∠ABP+∠CDP，
过点P作直线PJ∥AB，如图，
∵PJ∥AB，
∴∠BPJ＝∠ABP，
∵PJ∥AB，AB∥CD
∴PJ∥CD，
∴∠DPJ＝∠CDP，
∴∠P＝∠ABP+∠CDP．
【点评】本题考查平行线的性质，平行线公理，角平分线的定义，列代数式，掌握平行线的性质，平行线公理，角平分线的定义是解题的关键．
25．（2025 长安区校级模拟）已知∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE＝∠BEA．
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE＝3∠CDE，∠AED＝60°，求∠CED的度数．
【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B+∠C＝180°，推出∠C+∠D＝180°，根据平行线的判定得出AD∥BC，求出∠DAE＝∠BEA即可；
（2）根据∠ADE＝3∠CDE，设∠CDE＝x°，∠ADE＝3x°，∠ADC＝2x°，根据平行线的性质得出方程90﹣x+60+3x＝180，求出x即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA；
（2）解：∵∠ADE＝3∠CDE，设∠CDE＝x°，
∴∠ADE＝3x°，∠ADC＝2x°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣2x°，
由（1）可知：∠DAE＝∠BAE＝∠BEA＝90°﹣x°，
∵AD∥BC，
∴∠BED+∠ADE＝180°，
∵∠AED＝60°，
即90﹣x+60+3x＝180，
∴∠CDE＝x°＝15°，∠ADE＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠CED＝180°﹣∠ADE＝135°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，用了方程的思想，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．