(共8张PPT)
第二十章 勾股定理
小专题（四） 勾股定理与折叠问题
类型一 勾股定理与三角形折叠问题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6.将△ABC折叠，使点C与AB 的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为 .
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2. （2024·常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE. 将△CDE沿DE翻折，使点C落在BD上的点F处，则CE的长为 .
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类型二 勾股定理与四边形折叠问题
3. （2025·内江）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在点F处.若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为 （－1.5，5） .
（－1.5，5）
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4. （2024·威海）将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点C落在AB上的点C'处，折痕交BC于点M，交AD于点N，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E. 若BM＝3，BC'＝4，AC'＝3，则DN的长为 .
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5. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点B落在点B'处，折痕EF分别与AB，DC交于点E，F.
（1） 求证：△ADF≌△AB'E；
第5题
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是长方形，∴ ∠D＝∠C＝∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC. ∴ ∠DAF＋∠EAF＝90°.由折叠，得∠FAB'＝∠C＝90°，∠B'＝∠B＝90°，AB'＝CB. ∴ AD＝AB'，∠D＝∠B'，∠B'AE＋∠EAF＝90°.∴ ∠DAF＝∠B'AE. 在△ADF和△AB'E中，
∴ △ADF≌△AB'E
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（2） 若AD＝12，DC＝18，求△AEF的面积.
解：（2） 由折叠，得AF＝CF. 设AF＝CF＝x，则DF＝DC－CF＝18－x.在Rt△ADF中，AD2＋DF2＝AF2，∴ 122＋（18－x）2＝x2，解得x＝13.∴ AF＝13.∵ △ADF≌△AB'E，∴ AF＝AE＝13.∴ S△AEF＝ AE·AD＝ ×13×12＝78
第5题
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5(共15张PPT)
第二十章 勾股定理
小专题（三） 勾股定理与面积问题
类型一 利用面积求高
1. 若一直角三角形的两条直角边的长分别为9cm和12cm，则该直角三角形斜边上的高为（ D ）
A. 6cm B. 8cm C. cm D. cm
D
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类型二 利用乘法公式巧求面积或长度
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AC＋BC＝14cm，AB＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ A ）
A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2
A
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3. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b.若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，求小正方形的边长.
第3题
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解：由题意，可知小正方形的边长为a－b，每个直角三角形的面积为 ab.
∴ 4× ab＋（a－b）2＝13，即2ab＋a2－2ab＋b2＝13.∴ a2＋b2＝13.∵ （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝21，∴ ab＝4.∴ （a－b）2＝a2－2ab＋b2＝13－8＝5.∴ a－b＝ （负值舍去），即小正方形的边长为
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4. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间是一个小正方形.它是美丽的弦图，其中直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c.
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（1） 求证：a2＋b2＝c2.
解：（1） ∵ S小正方形＝（b－a）2＝b2－2ab＋a2，S小正方形＝c2－4× ab＝c2－2ab，∴ b2－2ab＋a2＝c2－2ab.∴ a2＋b2＝c2
（2） 将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到如图②所示的图形.若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积.
解：（2） 由题意，得OB＝OH＝3，AB＋BC＝24÷4＝6.设AH＝BC＝x，则AB＝6－x.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB2＋OA2＝AB2，即32＋（3＋x）2＝（6－x）2，解得x＝1.∴ 该图形的面积为 ×3×（3＋1）×4＝24
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（3） 如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3＝18，则S2＝ 6 .
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类型三 利用“勾股树”求面积
5. 如图所示为用三张正方形纸片以顶点相接的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三张（可重复选取）按图中的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三张纸片的面积分别是（ B ）
A. 1，4，5 B. 2，3，5
C. 3，4，5 D. 2，2，4
B
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6. 如图，所有的涂色四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.如果正方形A，B，C的面积分别为3，9，6，那么正方形D的面积为 18 .
18
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7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6，正方形A的面积是4，正方形B的面积是9，正方形C的面积是7，则正方形D的面积是 16 .
16
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类型四 利用割补法求面积
8. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝10，CD＝6.求四边形ABCD的面积.
第8题
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解：延长AD，BC交于点E. 由题意，得∠E＝30°，∠CDE＝90°.∴ CE＝2CD＝12.在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝ ＝6 .在Rt△ABE中，AE＝2AB＝20，∴ 由勾股定理，得BE＝ ＝10 .∴ S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝ AB·BE－ CD·DE＝50 －18 ＝32 ，即四边形ABCD的面积为32
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9. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°，AD＝2 ，CD＝4.求：
（1） ∠BCD的度数；
解：（1） 连接AC. ∵ AB＝BC＝2，∠B＝60°，∴ △ABC是等边三角形.∴ AC＝2，∠ACB＝60°.∵ AD＝2 ，CD＝4，∴ 易得AC2＋CD2＝AD2.∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.∴ ∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝150°
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（2） 四边形ABCD的面积.
解：（2） 过点A作AE⊥BC于点E. 由（1），知△ABC为等边三角形，∴ BE＝ BC＝1.∴ 在Rt△ABE中，AE＝ ＝ .∴ S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ BC·AE＋ AC·CD＝ ×2× ＋ ×2×4＝4＋
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9(共9张PPT)
第二十章 勾股定理
小专题（五） 利用勾股定理求最短路径
类型一 平面上的最短路径
1. 如图，在边长为6的等边三角形ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，点F在AC上，连接CE，EF. 若AF＝2，则CE＋EF的最小值为（ B ）
A. B. 2 C. 2 D. 2
B
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2. （2024·成都）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，0），（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为 5 .
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3. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E是线段BD上一点，F是线段BC上一点.求CE＋EF的最小值.
第3题答案
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解：如图，在AB上取一点F'，使BF'＝BF，连接EF'，CF'，过点C作CH⊥AB于点H. ∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠EBF'＝∠EBF. 又∵ BE＝BE，
∴ △EBF'≌△EBF. ∴ EF'＝EF. ∴ CE＋EF＝CE＋EF'≥CF'≥CH. ∴ CE＋EF的最小值为CH的长.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴ 由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝5.∵ S△ABC＝ AB·CH＝ AC·BC，∴ CH＝ ＝ ＝ .∴ CE＋EF的最小值为
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类型二 立体图形上的最短路径
4. 小乐同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面（如图），他根据学过的数学知识计算出从点A攀爬到点B的最短路径的长为（ B ）
A. 16米 B. 8 米 C. 米 D. 米
B
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5. 如图所示为一个三级台阶，它的每一级台阶的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面（不包含侧面）爬到点B处的最短路径的长是（ D ）
A. 20 dm B. 25 dm C. 20dm D. 25dm
D
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6. 如图，一只蚂蚁沿着一个长方体的表面从点A出发，经过3个面爬到点B处.已知长方体的底面是边长为2的正方形，高为8，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为 10 .
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7. 如图，一个圆桶的底面直径为16cm，高为18cm，一只小虫从点A处沿圆桶外侧面爬到与点A相对的点B处，则小虫所爬的最短路径的长是 30 cm（π取3）.
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7(共15张PPT)
第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第2课时 利用勾股定理的逆定理解决一些实际问题
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 张伯伯家的三角形菜地的三边长分别为7m，24m，25m，则这块菜地的面积为（ D ）
A. 87.5m2 B. 300m2 C. 168m2 D. 84m2
2. 木工师傅测量了一块等腰三角形木板的腰、底边和底边上的高，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮助他找出来，这组数据是（ C ）
A. 13，12，12 B. 12，12，8
C. 13，10，12 D. 5，8，4
D
C
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3. 现有四根铁管，它们的长度依次是 m， m，4m， m，从中选取三根，焊接成一个直角三角形（不计损耗），则舍弃的铁管的长度是 4m .
4. 如图，点A，B，C，D在格点上，每个小正方形的边长都是1.若线段EF能与线段AB，CD组成一个直角三角形，则线段EF的长是 2 或2 .
4m
2 或2
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5. 如图，供电所的小王师傅要安装一根电线杆，按要求电线杆要与地面垂直.因此，小王师傅从电线杆上离地面8m高的点C处向地面拉一根长10m的钢绳，现测得地面钢绳的固定点A到电线杆底部点B的距离为6m，则该电线杆的安装是否符合要求？请说明理由.
第5题
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解：符合要求 理由：由题意，得AB＝6m，BC＝8m，AC＝10m.∵ 62＋82＝102，∴ AB2＋BC2＝AC2.∴ △ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，即电线杆与地面垂直.∴ 该电线杆的安装符合要求.
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6. 如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处.已知C处与公路上的停靠站A间的距离为15km，与公路上另一停靠站B间的距离为20km，停靠站A，B之间的距离为25km，且CD⊥AB.
（1） 求公路CD的长；
解：（1） 由题意，得AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km.∵ 152＋202＝252，即AC2＋BC2＝AB2，∴ △ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°.∵ CD⊥AB，∴ S△ACB＝ AC·BC＝ AB·CD. ∴ CD＝ ＝ ＝12（km）.∴ 公路CD的长是12km
第6题
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（2） 若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D处到B处的路程是多少？
解：（2） 在Rt△BDC中，BD＝ ＝16km，
∴ CD＋BD＝12＋16＝28（km）.∴ 一辆货车从C处经过D处到B处的路程是28km
第6题
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7. 如图所示为一块三角形土地ABC，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出.若AB＝130m，AD＝120m，BD＝50m，AC＝150m，则BC的长为（ C ）
A. 90m B. 120m
C. 140m D. 150m
C
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8. （教材变式）如图，在某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以18节（1节＝1海里/时）的速度航行，2号舰以24节的速度航行，离开港口1小时后它们分别到达A，B两点，且相距30海里，则2号舰的航行方向是（ D ）
D
A. 北偏西30° B. 南偏西30°
C. 南偏东60° D. 南偏西60°
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9. 一名同学仿照教材中古埃及人的方法，计划用一根绳子围一个直角三角形，为使这个直角三角形的两条较长边的长度分别为60cm，61cm，则这根绳子的长度至少为 132cm .
10. 从一根长为112cm的铁丝的一端起，顺次截下长为14cm和48cm的两根铁丝，用这两根铁丝和剩下的铁丝围成的三角形的面积是 336 cm2.
11. 如图，在一块三角形土地ABC上，准备规划出一部分作为绿地（阴影部分）.若∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，AB＝13，BC＝12，则绿地的面积为 24 .
132cm
336
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12. （2024·海安期中）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块如图所示的四边形空地ABCD，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地.经学校课外实践活动小组测量，∠BAD＝90°，AD＝3m，AB＝4m，BC＝13m，CD＝12m.求：
（1） 四边形ABCD的面积；
解：（1） 如图，连接BD. ∵ ∠BAD＝90°，AD＝3m，AB＝4m，∴ BD＝ ＝ ＝5（m）.∵ 52＋122＝132，∴ BD2＋CD2＝BC2.∴ △BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.∴ S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝ AB·AD＋ BD·CD＝ ×（4×3＋5×12）＝36（m2）.∴ 四边形ABCD的面积为36m2
第12题答案
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（2） 点D到BC的距离.
解：（2） 如图，过点D作DE⊥BC于点E. 由（1）可知，△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.∴ S△BDC＝ BC·DE＝ BD·CD. ∴ DE＝ ＝ ＝ （m）.
∴ 点D到BC的距离为 m
第12题答案
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13. 在学校组织的研学活动中，某小组合作搭建帐篷.如图所示为他们搭建帐篷的支架示意图.在△ABC中，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE＝BE，测得BD＝1.6m，AD＝1.2m，AC＝1.5m.根据测量结果，解答下面的问题：
（1） 求AE的长.
解：（1） 设AE＝xm，则BE＝AE＝xm.∴ ED＝BD－BE＝（1.6－x）m.∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ADE中，AD2＋ED2＝AE2，∴ 1.22＋（1.6－x）2＝x2，解得x＝ .∴ AE的长为 m
第13题
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（2） 按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角为直角时，帐篷最为稳定.请通过计算说明该小组搭建的帐篷是否是最稳定的.
解：（2） 在Rt△ABD中，∵ BD＝1.6m，AD＝1.2m，
∴ AB＝ ＝ ＝2（m）.在Rt△ADC中，∵ AD＝1.2m，AC＝1.5m，∴ CD＝ ＝ ＝0.9（m）.∴ BC＝BD＋CD＝2.5m.∵ AB2＋AC2＝22＋1.52＝6.25（m2），BC2＝2.52＝6.25（m2），∴ AB2＋AC2＝BC2.∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.∴ 该小组搭建的帐篷是最稳定的
第13题
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13(共16张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材变式）如图，为了测量湖两岸A，B两点之间的距离，观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为一个直角三角形（∠ABC＝90°），通过测量得到AC的长为15千米，BC的长为12千米，那么A，B两点之间的距离为（ B ）
A. 8千米 B. 9千米 C. 10千米 D. 11千米
B
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2. （2024·启东期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支铅笔的长度可能是（ D ）
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
D
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3. 如图，某人要横渡一条宽480m的河，从点A处出发，由于受水流的影响，实际上岸地点C与想要到达的地点B相距200m，则他在河中实际游了 520 m.
520
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4. 如图，在笔直的公路旁边有A，B两个村庄，村庄A到公路的距离AC＝8km，村庄B到公路的距离BD＝14km，测得C，D两点之间的距离为20km.现要在C，D两点之间建一个服务区E，使得A，B两个村庄到服务区E的距离相等，求CE的长.
第4题
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解：设CE＝xkm，则DE＝（20－x）km.在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE2＝AC2＋CE2；在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2＝BD2＋DE2.由题意，得AE＝BE，∴ AC2＋CE2＝BD2＋DE2.∴ 82＋x2＝142＋（20－x）2，解得x＝13.3.∴ CE的长为13.3km
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5. （新考向·数学文化）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问：折者高几何？”大意如下：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC与AB的长度之和为1丈，BC＝3尺，求AC的长（1丈＝10尺）.在这个问题中，AC的长为（ C ）
A. 4尺 B. 尺 C. 尺 D. 5尺
第5题
C
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6. （2025·如皋期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？其译文如下：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽.问：绳索长是多少？设绳索长为x尺，则可列方程为 （x－3）2＋82＝x2 .
7. 如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.若一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少需要飞 10 m.
（x－3）2＋82＝
x2
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8. 如图，学校内有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 4 步路（假设2步为1m），却踩伤了花草.
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9. （教材变式）如图，一根长为6 m的木棒AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，倾斜角∠ABO为60°.当木棒的端点A沿墙下滑至点A'时，端点B沿地面向右滑行至点B'.
（1） 求OB的长；
解：（1） 根据题意，得AB＝A'B'＝6 m，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°.∴ ∠OAB＝30°.∴ OB＝ AB＝3 m
第9题
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（2） 当AA'＝1m时，求BB'的长.
解：（2） 在Rt△OAB中，由勾股定理，得OA＝ ＝9m.∵ AA'＝1m，∴ OA'＝OA－AA'＝8m.在Rt△A'OB'中，由勾股定理，得OB'＝ ＝2 m.∴ BB'＝OB'－OB＝（2 －3 ）m
第9题
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10. 某小区内有一块如图所示的三角形空地ABC，现计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境.预计花园每平方米的造价为25元，则该小区修建这个花园大约需要多少元？
第10题
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解：过点A作AD⊥BC于点D. 设BD＝x米，则CD＝（14－x）米.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2；在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2－CD2，∴ AB2－BD2＝AC2－CD2，即132－x2＝152－（14－x）2，解得x＝5.∴ BD＝5米.∴ AD＝ ＝ ＝12（米）.
∴ 该小区修建这个花园大约需要25×（ ×14×12）＝2100（元）
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11. 如图，某斜拉桥的主梁AD垂直桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB，AC的长分别为13m，20m.
（1） 若拉索AB⊥AC，求固定点B，C之间的距离；
解：（1） ∵ AB⊥AC，∴ ∠BAC＝90°.∵ AB＝13m，AC＝20m，∴ 在Rt△ABC中，BC＝ ＝ m.∴ 固定点B，C之间的距离为 m
第11题
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（2） 若固定点B，C之间的距离为21m，求主梁AD的高度.
解：（2） 根据题意，设BD＝xm，则CD＝（21－x）m.∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2；在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2－CD2，∴ AB2－BD2＝AC2－CD2，即132－x2＝202－（21－x）2，解得x＝5.∴ BD＝5m.∴ AD＝ ＝ ＝12（m）.∴ 主梁AD的高度为12m
第11题
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11(共16张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理及其验证
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （易错题）若一个直角三角形的两边长分别为3，4，则该直角三角形的第三边的长为（ D ）
A. 5 B. C. 25 D. 5或
D
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2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个直角三角形的三边长为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.如果S2＋S1－S3＝16，那么涂色部分的面积为（ B ）
A. 6 B. 4 C. 5 D. 8
B
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3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（ D ）
A. 1.2 B. 1.6 C. 2.4 D. 4.8
D
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4. （教材变式）如图，求图中各直角三角形的未知边长x.
（1） 图①中，x＝ 3 ； （2） 图②中，x＝ 12 ； （3） 图③中，x＝ 7 .
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5. （1） 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，则AB2＋BC2＋AC2＝ 18 ；
（2） （教材变式）在平面直角坐标系中，点P（－2，3）到原点的距离是 ；
（3） 在平面直角坐标系中，点M在第二象限内，OM＝2.5，且点M到y轴的距离为1.5，则点M的坐标为 （－1.5，2） .
18
（－1.5，2）
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6. 如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠BAC＝105°.若AC＝2cm，求BC的长.
第6题答案
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解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝∠AHC＝90°.在Rt△AHC中，∵ ∠C＝30°，∠AHC＝90°，AC＝2cm，∴ AH＝1cm.在Rt△AHC中，由勾股定理，得AH2＋HC2＝AC2，∴ HC＝ cm（负值舍去）.在△ABC中，∵ ∠BAC＝105°，∠C＝30°，∴ ∠B＝180°－∠BAC－∠C＝45°.在Rt△ABH中，∵ ∠AHB＝90°，∠B＝45°，∴ ∠BAH＝45°＝∠B. ∴ BH＝AH＝1cm.∴ BC＝HC＋BH＝（ ＋1）cm
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7. （2024·南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边的长分别为m，n（m＞n）.若小正方形的面积为5，（m＋n）2＝21，则大正方形的面积为（ B ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
第7题
B
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8. （易错题）在△ABC中，AB＝10，AC＝3 ，高AD＝6，则BC的长为 11或5 .
9. 已知直角三角形的两条直角边的长之和为6cm，面积为 cm2，则这个直角三角形的斜边长为 cm.
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE. 若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1＋S2＝ .
11或5
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11. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，求AB的长.
第11题
解：在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD2＝BC2－DB2＝152－92＝144.∴ 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝202－144＝256.∴ AD＝16（负值舍去）.∴ AB＝AD＋DB＝16＋9＝25
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12. （数形结合思想）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一.勾股定理其实有很多种证明方法.如图所示为证明勾股定理所用的图形，以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形按如图所示的方式摆放，使C，B，D三点在同一条直线上，连接AE.
（1） 求证：∠ABE＝90°；
第12题
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解：（1） 由题意，易知Rt△ABC≌Rt△BED，∠C＝∠D＝90°.∴ ∠ABC＝∠BED. ∴ ∠ABC＋∠EBD＝∠BED＋∠EBD＝180°－∠D＝90°.∴ ∠ABE＝180°－（∠ABC＋∠EBD）＝90°
（2） 请你利用这个图形证明勾股定理（即求证：a2＋b2＝c2）.
解：（2） 由题意，得S梯形ACDE＝ （a＋b）（a＋b）＝ c2＋2× ab.∴ a2＋b2＝c2
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13. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交BC于点F，连接EF. 若AE＝4，FC＝3，求EF的长.
第13题
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解：连接BD. ∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，∴ AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BDC＝90°.∴ CD＝BD＝AD. 又∵ DE⊥DF，∴ ∠EDF＝90°.∴ ∠EDB＋∠BDF＝∠BDF＋∠FDC＝90°.∴ ∠FDC＝∠EDB. 在△FCD和△EBD中，∵ ∠FDC＝∠EDB，CD＝BD，∠C＝∠EBD，∴ △FCD≌△EBD. ∴ FC＝EB＝3.∴ AB＝AE＋EB＝7.
∴ BC＝7.∴ BF＝BC－FC＝4.在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF2＝EB2＋BF2＝32＋42＝25.∴ EF＝5（负值舍去）
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第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2024·海安期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ B ）
A. 2，3，4 B. 3，4，5
C. 1，1，2 D. 4，6，7
2. 如果△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）2＋ ＋｜c－3 ｜＝0，那么△ABC是（ D ）
A. 等边三角形 B. 钝角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
B
D
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3. （新考向·数学文化）（2025·扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了我国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：① 3，4，5；② 5，12，13；③ 7，24，25；④ 9，40，41；….根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 11，60，61 .
11，60，61
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4. 如图，在由小正方形组成的3×2的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D，M，N均在格点上.A，B，C，D四个点中，能与点M，N构成直角三角形的是点 C .
C
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5. 如图，点A，B，C在格点上，若小正方形的边长均为1，试判断△ABC的形状，并说明理由.
第5题
解：△ABC是直角三角形 理由：由题意，可知AB2＝42＋62＝52，AC2＝22＋32＝13，BC2＝12＋82＝65.∵ 52＋13＝65，∴ AB2＋AC2＝BC2.∴ △ABC是直角三角形.
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6. （2025·海安期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AC，AB于点E，D.
（1） 求证：△ABC是直角三角形；
解：（1） ∵ AB＝13，AC＝12，BC＝5，∴ AC2＋BC2＝122＋52＝144＋25＝169，AB2＝132＝169，即AC2＋BC2＝AB2.
∴ △ABC是直角三角形
第6题答案
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（2） 求CE的长.
解：（2） 如图，连接BE. ∵ DE是AB的垂直平分线，∴ AE＝BE. 由（1），可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.设CE＝x，则AE＝AC－CE＝12－x，BE＝AE＝12－x.在Rt△BCE中，CE2＋CB2＝BE2，∴ x2＋52＝（12－x）2，解得x＝ .∴ CE的长为
第6题答案
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7. 若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a－b）（a2＋b2－c2）＝0，则△ABC是（ C ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
D. 等腰直角三角形
C
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8. 已知a，b，c分别为△ABC的三条边长，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ A ）
A. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B. c2－a2＝b2
C. ∠C－∠B＝∠A D. a∶b∶c＝2.5∶6∶6.5
A
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9. 已知一个三角形的三边长分别为 ， 和2，则这个三角形的面积为 .
10. 在如图所示的3×2的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，线段AB，CD交于点O，则∠BOD的度数为 45° .
45°
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11. 在△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，在△ABC内有一点P，点P到各边的距离相等，则这个距离为 3 .
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（1） 求证：∠BAC＝90°；
解：（1） ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，AD＝4，BD＝2，∴ AB2＝AD2＋BD2＝20.在Rt△ACD中，CD＝8，AD＝4，∴ AC2＝CD2＋AD2＝80.
∵ BC＝CD＋BD＝10，∴ BC2＝100.∵ 20＋80＝100，∴ AB2＋AC2＝BC2.∴ △ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°
第12题
（2） 若P为边BC上一点，连接AP，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求BP的长.
解：（2） 由（1），易得AB＝ ＝2 .分两种情况：① 当BP＝AB时，BP＝AB＝2 .② 当AP＝AB时，∵ AD⊥BC，∴ BD＝DP. ∴ BP＝2BD＝4.综上所述，BP的长为2 或4
12. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8.
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13. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，边BC上的中线AD＝2，延长AD到点E，使ED＝AD，连接CE.
（1） 求证：CE⊥AE；
解：（1） ∵ AD是△ABC的边BC上的中线，∴ BD＝CD＝ BC. 又∵ ∠ADB＝∠EDC，AD＝ED＝2，
∴ △ABD≌△ECD. ∴ BA＝CE＝3.∵ AE＝AD＋ED＝4，∴ AE2＝16.又∵ CE2＝9，AC2＝25，且9＋16＝25，∴ CE2＋AE2＝AC2.∴ △AEC为直角三角形，且∠E＝90°，即CE⊥AE
第13题
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（2） 求BC的长.
解：（2） 在Rt△CED中，由勾股定理，得CD＝ ＝ .∴ BC＝2CD＝2
第13题
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14. （新考向·数学文化）阅读：能够成为直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数通解公式为 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.
应用：当n＝1时，求有一边的长为5的直角三角形的另外两条边的长.
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解：当n＝1时，a＝ （m2－1），b＝m，c＝ （m2＋1）.当a＝5时， （m2－1）＝5，解得m＝± （不合题意，舍去）.当b＝5时，m＝5，∴ a＝12，c＝13.当c＝5时， （m2＋1）＝5，解得m＝±3.∵ m＞0，∴ m＝3.∴ a＝4，b＝3.综上所述，当n＝1时，有一边的长为5的直角三角形的另外两条边的长分别为12，13或3，4
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14(共19张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第3课时 利用勾股定理画图、计算
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材变式）（2025·海安期中）如图，长方形ABCD的边AD的长为2，AB的长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以点A为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是（ B ）
A. － ＋1 B. －1 C. ＋1 D.
B
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2. 如图，在4×1的网格中，每个小正方形的边长均为1，则下列线段中，长度为 的是（ B ）
A. OA B. OB C. OC D. OD
B
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3. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（ A ）
A. －4与－3之间 B. －5与－4之间
C. －6与－5之间 D. －3与－2之间
A
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4. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，A，B，E均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交网格线于点D，那么ED的长为 .
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5. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是－2，AC＝BC＝BD＝1.若以点A为圆心，AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A的右侧），则点E表示的数为 －2 .
－2
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6. （教材变式）如图，在数轴上找出表示－ 和 的点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
解：作法不唯一，如图所示
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7. 如图，长方体的长、宽、高分别为3cm，1cm，6cm.如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ A ）
A. 5cm B. 4 cm
C. 6cm D. 7cm
第7题
A
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8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到边BC的距离为 .
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9. 如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝ S长方形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和（PA＋PB）的最小值为 .
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10. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点.
（1） 请在网格中画出格点三角形ABC，使AB＝2 ，BC＝ ，AC＝ ；
解：（1） 如图，△ABC即为所求
第10题答案
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（2） 求△ABC的面积.
解：（2） S△ABC＝3×4－ ×2×2－ ×2×3－ ×1×4＝5
第10题答案
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11. 如图所示为一个圆柱形无盖油罐，它的底面圆的周长为24m，高为6m.一只老鼠从距底面1m的点A处沿油罐侧面爬行到对面的点B处吃油，则它爬行的最短路程为多少米？
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解：如答案图，将圆柱的侧面展开成长方形，则长方形的长为圆柱的底面圆的周长，即为24m，记点A正下方的顶点为C，正上方的顶点为E. 由题意，得EC＝6m，AC＝1m，EB＝ ＝12（m）.∴ AE＝5m.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝ ＝13m.∴ 它爬行的最短路程为13m
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12. （分类讨论思想）叶老师在与学生进行“蚂蚁怎样爬路程最短”的课题研究时，设计了以下两个问题，请分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）.
（1） 如图①，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点C1处；
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解：（1） 如答案图①，将正方体的“前面”和“右面”展开在同一平面上，连接AC1，最短路程就是线段AC1的长.由题意，得AB＝BC＝CC1＝5cm.∴ AC＝10cm.在Rt△ACC1中，由勾股定理，得AC1＝ ＝5 cm.∴ 蚂蚁需要爬行的最短路程为5 cm
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（2） 如图②，长方体的长和宽都为5cm，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点C1处.
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解：（2） 情况一：如答案图②，将长方体的“前面”和“右面”展开在同一平面上，连接AC1.由题意，得AB＝BC＝5cm，CC1＝6cm.∴ AC＝10cm.在Rt△ACC1中，由勾股定理，得AC1＝ ＝2 cm.情况二：如答案图③，将长方体的“前面”和“上面”展开在同一平面上，连接AC1.由题意，得A1D1＝C1D1＝5cm，AA1＝6cm.∴ AD1＝11cm.在Rt△AC1D1中，由勾股定理，得AC1＝ ＝ cm.情况三：如答案图④，将长方体的“下面”和“右面”展开在同一平面上，连接AC1.由题意，得B1B＝6cm，B1C1＝AB＝5cm.∴ AB1＝11cm.在Rt△AB1C1中，由勾股定理，得AC1＝ ＝ cm.∵ 2 ＜ ，∴ 蚂蚁需要爬行的最短路程为2 cm
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12(共29张PPT)
第二十章 勾股定理
第二十章整合提升
01
考点突破
02
素养提升
目
录
考点一 勾股定理及其应用
1. 如图，学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）构成一个大正方形，乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b、宽为a的两个长方形构成一个大正方形.甲、乙两名同学给出的构图方案，可证明勾股定理的是（ A ）
A. 甲 B. 乙
C. 甲、乙都可以 D. 甲、乙都不可以
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2. 如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ A ）
A. B. 2 C. 3 D.
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3. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，在高线AD所在的直线上任取一点P（不与点A，D重合），连接PB，PC，则PB2－PC2的值为（ C ）
A. 6 B. 18 C. 36 D. 72
C
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4. 如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（ D ）
A. 9 B. 3 C. D.
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5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等于 18π .
18π
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6. 如图，把一块含45°角的三角板放入网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示－1的点重合，则数轴上点A所表示的数为 2 －1 .
2 －1
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7. 如图，某村庄A与公路l之间有一池塘，村民出行都走AB这条村级公路.在美丽乡村建设过程中，为了便于村民出行，村委会治理了池塘并在村庄A到公路l之间架桥，新修了一条公路AC，且AC⊥l，测得CB＝2 km，AB＝4 km.
（1） 求新修的公路AC的长；
解：（1） ∵ AC⊥l，∴ ∠ACB＝90°.∴ 在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ＝2 （km）
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（2） 在后期的建设中，村委会在B，C两点之间修建了一个观光亭D，使得观光亭D到点C的距离与观光亭D到点B的距离相等，求观光亭D到村庄A的距离.
解：（2） 如图，连接AD. ∵ 观光亭D到点C的距离与观光亭D到点B的距离相等，∴ D为BC的中点.∴ CD＝ CB＝ ×2 ＝ （km）.∴ 在Rt△ACD中，AD＝ ＝ ＝ （km）.∴ 观光亭D到村庄A的距离为 km
第7题答案
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考点二 勾股定理的逆定理
8. （2025·如皋期末）下列由线段a，b，c组成的三角形中，属于直角三角形的是（ D ）
A. a＝40，b＝50，c＝60 B. a＝2，b＝3，c＝4
C. a＝b＝c＝2 D. a＝b＝1，c＝
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9. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（ D ）
A. ∠A符合要求 B. ∠BDC符合要求
C. ∠A和∠BDC都符合要求 D. ∠A和∠BDC都不符合要求
D
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10. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝ ，则AC＝ 2 .
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11. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在边BC上，BD＝ ，连接AD. 求证：AD⊥AC.
第11题
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解：过点A作AE⊥BC于点E. ∵ AB＝AC＝10，BC＝16，∴ BE＝ BC＝8.
∵ BD＝ ，∴ DE＝BE－BD＝ ，DC＝BC－BD＝ .在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝ ＝6.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＝AE2＋DE2＝ .∵ 在△ADC中，DC2＝ ，AC2＝100，∴ 易得AC2＋AD2＝DC2.∴ △ADC为直角三角形，且∠DAC＝90°.∴ AD⊥AC
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12. 如图，a，b，c是3×3的正方形网格中的3条线段，它们的端点都在格点上，则a，b，c的大小关系是（ B ）
A. b＜a＜c
B. a＜b＜c
C. a＜c＜b
D. b＜c＜a
第12题
B
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13. （2025·海门期中）如果m表示大于1的整数，设a＝2m，b＝m2－1，c＝2m2＋2m，d＝m2＋1，那么在其中任选三个数能构成勾股数的为（ B ）
A. a，b，c B. a，b，d
C. a，c，d D. b，c，d
14. 小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿垂直插到离岸1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，他再把竹竿的顶端拉到岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ A ）
A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m
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15. （新考向·数学文化）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图①）.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图②中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3＝27，则S2的值是 （ B ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
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16. 如图，在△ABC中，BC＝2，AD⊥BC，垂足为D，P为直线BC上方的一个动点，过点P作PE⊥BC，垂足为E. 若PE＝ BC，则PB＋PC的最小值为（ D ）
A. 4 B. 2 C. 3 D. 2
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17. （2024·如皋期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高.若AB＝4，AC＝2，则CD的长为 .
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18. 如图，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝13，BC＝5，AD＝16，则BD的长为 20 .
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19. 我国古代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的.如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c.若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 96 .
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20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝5 ，则BD的长为 .
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21. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”.
（1） 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”.
解：（1） 如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ ∠ADB＝90°，BD＝ BC＝2.∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝ ＝4.∴ AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”
第21题答案
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（2） 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 .若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长.
解：（2） 分别作边AC，BC上的中线BD，AE. 当边AC上的中线BD的长等于AC的长时，BD＝AC＝4 ，CD＝ AC＝2 .∴ 在Rt△BDC中，BC＝ ＝6.当边BC上的中线AE的长等于BC的长时，AE＝BC，CE＝ BC. ∴ 在Rt△ACE中，AE2－CE2＝AC2，即BC2－ ＝（4 ）2.∴ BC＝8.综上所述，BC的长是6或8
第21题答案
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22. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AB＝12，AD＝5，BC＝10.若E是CD的中点，求AE的长.
第22题
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解：延长AE交BC于点F. ∵ AB⊥BC，AB⊥AD，∴ ∠ABC＝∠BAD＝90°.
∴ AD∥BC. ∴ ∠D＝∠C. ∵ E是CD的中点，∴ DE＝CE. 又∵ ∠AED＝∠FEC，
∴ △EAD≌△EFC. ∴ AE＝FE＝ AF，AD＝FC＝5.∴ BF＝BC－FC＝10－5＝5.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝ ＝ ＝13.∴ AE＝ AF＝
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23. （新情境·日常生活）某台风的风力影响半径为250km（即以台风中心为圆心、250km为半径的圆形区域都会受台风影响）.如图，线段BC是该台风的中心从C市移动到B市的大致路线，点A处是某个大型农场，且AB⊥AC. 已知点A，C之间相距300km，点A，B之间相距400km.
（1） 判断在台风移动的过程中，农场A是否会受到台风的影响，并说明理由；
解：（1） 农场A会受到台风的影响 理由：如图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵ AB⊥AC，∴ ∠BAC＝90°.∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝500（km）.∵ S△ABC＝ BC·AH＝ AB·AC，∴ AH＝ ＝ ＝240（km）.∵ 240＜250，∴ 在台风移动的过程中，农场A会受到台风的影响.
第23题答案
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（2） 若台风中心的移动速度为20km/h，求台风影响该农场的时长.
解：（2） 如图，设台风中心移动到点M处开始影响该农场，到点N处结束影响该农场.连接AN，AM，则AM＝AN＝250km.
∵ AM＝AN，AH⊥BC，∴ MH＝NH. 在Rt△AHM中，由勾股定理，得MH＝ ＝70（km），∴ MN＝2×70＝140（km）.∵ 台风中心的移动速度为20km/h，∴ 台风影响该农场的时长为140÷20＝7（h）
第23题答案
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