(共13张PPT)
第15章 分 式
15.4 零指数幂与负整数指数幂
15.4.1 零指数幂与负整数指数幂
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列各式中，计算结果为2的是（ A ）
A. ｜－2｜ B. －｜2｜ C. 2－1 D. （－2）0
2. 下列各式中，计算结果最小的是（ A ）
A. －31 B. （－3）0 C. －3－1 D. （－3）2
3. （教材变式）下列计算中，正确的是（ D ）
A. ＝ B. －10－3＝
C. －2a0＝0 D. （－0.1）－2＝100
A
A
D
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4. 计算 ＋（－1）3－（π－1）0－2－2的结果是（ D ）
A. B. C. D. －
5. 下列计算中，正确的是（ A ）
A. a－1·a3＝a2 B. （2a）－2 ＝4a2
C. （a－2）3＝a－1 D. a3÷a－1＝a－4
6. －（3.14－π）0＝ 63 .
7. 3.2×10－6用小数表示为 0.0000032 .
D
A
63
0.0000032
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8. 如果a＝（－2026）0，b＝（－0.1）－1，c＝ ，那么a、b、c三个数的大小关系为 b＜c＜a （用“＜”连接）.
9. 若（x＋4）0＝1，则x应满足的条件是 x≠－4 .
10. 计算：
（1） ｜－7｜－（1－π）0＋ ；
解：原式＝7－1＋3＝9
（2） －22＋ ＋（π－ ）0＋ .
解：原式＝－4＋9＋1－5＝1
b＜c＜a
x≠－4
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11. （教材变式）计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式.
（1） （a2b－3）－2·（a－2b3）2；
解：原式＝a－4b6·a－4b6＝a－8b12＝
（2） （x5y2z－3）－2；
解：原式＝x－10y－4z6＝
（3） a－2b2·（－2a2b－2）－2÷（a－4b2）；
解：原式＝a－2b2· a－4b4·a4b－2＝ a－2b4＝
（4） ·（2a2b－1c－1）3.
解：原式＝ ＝ a3b－12c3＝
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12. 若（x－1）0＋（2x－3）－2有意义，则x的取值范围是（ D ）
A. x≠0 B. x≠1
C. x≠ D. x≠1且x≠
13. 下列计算中，正确的是（ B ）
A. a－2÷b－2＝
B. （－a－b）－2＝
C. a－2－b－2＝（a－b）－2
D. （－2a）－2＝ a2
D
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14. （新考法·新定义题）对于实数a、b，定义运算★：a★b＝ 例如，2★3＝2－3＝ .计算：[2★（－4）]×[（－4）★（－2）]＝ 1 .
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（1） －4×（－1）2026－｜－23｜＋（π－5）0－2－1；
解：原式＝9－4－8＋1－ ＝－
（2） （1.2×10－4）2×（5×102）2÷（3×10－2）2.
解：原式＝（1.44×10－8）×（25×104）÷（9×10－4）＝（1.44×25÷9）×（10－8×104÷10－4）＝4×1＝4
15. 计算：
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16. 计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式.
（1） （3xy3）－2·（x－3y－2）－2；
解：原式＝ x－2y－6·x6y4＝ x4y－2＝
（2） a－3b2·（a2b－2）－4÷（a－2b－1）2.
解：原式＝a－3b2·a－8b8÷（a－4b－2）＝a－11b10·a4b2＝a－7b12＝
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17. （1） 已知a＝2－44444，b＝3－33333，c＝5－22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，并说明理由；
解：（1） b＜c＜a 理由：a＝（2－4）11111＝ ＝ ，b＝（3－3）11111＝ ＝ ，c＝（5－2）11111＝ ＝ .∵ ＜ ＜ ， ＜ ＜ ，即b＜c＜a.
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（2） （易错题）请探索使得等式（2x＋3）x＋2026＝1成立的x的值.
解：（2） 当x＋2026＝0，即x＝－2026时，2x＋3＝－4049≠0.∴ （－4049）0＝1，符合题意.当2x＋3＝1，即x＝－1时，x＋2026＝2025.∴ 12025＝1，符合题意.当2x＋3＝－1，即x＝－2时，x＋2026＝2024.∴ （－1）2024＝1，符合题意.综上所述，x的值为－2026或－1或－2
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18. （新考法·过程性学习）比较2025－2026与2026－2025的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：
（1） 通过计算比较下列各式中两数的大小（填“＞”“＜”或“＝”）：
① 1－2 ＞ 2－1；② 2－3 ＞ 3－2；③ 3－4 ＜ 4－3；④ 4－5 ＜ 5－4.
（2） 由（1），可以猜想n－（n＋1）与（n＋1）－n（n为正整数）的大小关系：当n ≤2 时，n－（n＋1）＞（n＋1）－n；当n ＞2 时，n－（n＋1）＜（n＋1）－n.
（3） 根据上面的猜想，可知2025－2026 ＜ 2026－2025（填“＞”“＜”或“＝”）.
＞
＞
＜
＜
≤2
＞2
＜
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18(共13张PPT)
第15章 分 式
15.3 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时 分式方程的应用
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3.若设原计划人数为x，则下列方程正确的是（ A ）
A. － ＝3 B. － ＝3
C. ＝2× D. ＝2×
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2. （2024·鹤壁期末）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球的单价比足球贵25元.根据题意可列方程 ＝ －25，则方程中x表示（ A ）
A. 篮球的数量 B. 足球的数量
C. 篮球的单价 D. 足球的单价
3. 某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的便宜16元.若该学校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的数量等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的数量，则A商家每张餐桌的售价为（ A ）
A. 144元 B. 145元 C. 146元 D. 147元
A
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4. （2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每100千米的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每100千米的耗电费.设纯电汽车每100千米的耗电费为x元，则可列分式方程为 ＝ .
5. （教材变式）甲、乙两车同时从A地出发，匀速开往相距200km的B地.甲、乙两车的速度之比是4∶5，且乙车比甲车早30min到达B地，则甲车的速度为 80 km/h.
＝
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6. （2025·长春南关段考）长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风景线，它的设计和造型每年都有变化.在2025年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取720吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰块时的工作效率比原计划提高了20％，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？
解：设该公司原计划每天取冰块m吨，则实际每天取冰块（1＋20％）m吨.根据题意，得 － ＝1，解得m＝120.经检验，m＝120是原方程的解，且符合题意.∴ 该公司原计划每天取冰块120吨
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7. （教材变式）（2024·泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两组共35名工人，甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍.甲、乙两组各有多少名工人？
解：设甲组有x名工人，则乙组有（35－x）名工人.由题意，得 ＝ ×1.2，解得x＝20.经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意.∴ 35－x＝15.
∴ 甲组有20名工人，乙组有15名工人
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8. 2025年5月12日是我国第17个全国防灾减灾日.某校组织防灾减灾教育活动，八年级同学进行了两次地震应急演练，在改进撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次多20％，结果360名同学全部撤离的时间比第一次节省了30秒，则第一次平均每秒撤离的人数为（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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9. 某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作，则10天可以完成；若甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天，则也可以完成.甲工程队单独完成此项工程需要 15 天.
10. （2024·海口琼山段考）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，很快售完.超市又用9000元购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20％，购进干果的数量是第一次的2倍多300千克，超市此时按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的8折售完.
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（1） 该种干果第一次的进价是每千克多少元？
解：（1） 设该种干果第一次的进价是每千克x元，则该种干果第二次的进价是每千克（1＋20％）x元.由题意，得 ×2＋300＝ ，解得x＝5.经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意.∴ 该种干果第一次的进价是每千克5元
（2） 该超市第二次出售该种干果盈利了多少元？
解：（2） ×9＋100×9×0.8－9000＝4320（元）.∴ 该超市第二次出售该种干果盈利了4320元
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11. （新情境·日常生活）某工厂有新、旧两台机器，上半年，新机器平均每天比旧机器多生产50件产品，新机器生产600件产品所用的时间与旧机器生产450件产品所用的时间相同.
（1） 分别求上半年新、旧机器平均每天生产的产品数量.
解：（1） 设上半年新机器平均每天生产x件产品，则旧机器平均每天生产（x－50）件产品.由题意，得 ＝ ，解得x＝200.经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意.∴ x－50＝150.∴ 上半年新机器平均每天生产200件产品，旧机器平均每天生产150件产品
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（2） 下半年，新机器提高了生产效率，而旧机器由于不断耗损，生产效率降低.经测算，新机器平均每天生产的产品数量提高的百分率是旧机器平均每天生产的产品数量降低的百分率的2倍，结果新机器生产960件产品所用的时间与旧机器生产540件产品所用的时间相同.求下半年新机器平均每天比旧机器多生产的产品数量.
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解：（2） 设下半年旧机器平均每天生产的产品数量降低的百分率为a，则新机器平均每天生产的产品数量提高的百分率为2a.由题意，得 ＝ ，解得a＝10％.经检验，a＝10％是原方程的解，且符合题意.
∴ 200×（1＋20％）－150×（1－10％）＝105（件）.∴ 下半年新机器平均每天比旧机器多生产105件产品
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11(共13张PPT)
第15章 分 式
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
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基础过关
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能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 计算3ab÷ 的结果是（ D ）
A. b2 B. 18a C. 9a D. 9a2
2. （2024·开封兰考一模）计算 · 的结果为（ C ）
A. a－1 B. a＋1
C. D.
D
C
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3. （2024·洛阳伊川期中）如图，王老师设计了一款接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.接力过程中，自己负责的一步出现错误的是（ D ）
A. 只有乙 B. 甲和丁
C. 乙和丙 D. 乙和丁
D
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4. 下列各式中，计算结果正确的是（ C ）
A. · ＝x
B. 8a2b2÷ ＝－6a2b
C. ＝
D. ·6m＝－
C
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5. （教材变式）计算：
（1） · ＝ ；
（2） ÷ ＝ .
6. 如果 与一个代数式的商是－ ，那么这个代数式为 .
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（1） · ；
解：原式＝ ＝－
（2） ÷ ；
解：原式＝ · ＝ · ＝
7. （教材变式）计算：
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（3） （2025·衡阳衡山期中） ÷ × ；
解：原式＝－ × × ＝－
（4） · ÷ .
解：原式＝ · · ＝
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8. 化简下列各式，结果不是整式的为（ C ）
A. ·
B. ÷
C. ÷
D. ÷
C
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9. 计算 ÷ · 的结果是（ D ）
A. B. C. D.
10. 计算： · ÷ ＝ － .
D
－
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（1） ÷ · ；
解：原式＝ · · ＝－
（2） （易错题） ÷ · .
解：原式＝ · · ＝a＋1
11. 计算：
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12. 已知a＝b＋2026，求 · ÷ 的值.
解：原式＝ · ·（a－b）（a＋b）＝2（a－b）.∵ a＝b＋2026，即a－b＝2026，∴ 原式＝2×2026＝4052
13. 一条船往返于相距10 km的A、B两地，已知水流的速度为3 km/h，船在静水中的速度为x km/h，求这条船在往返过程中逆水航行与顺水航行的时间比.
解：这条船逆水航行时所需的时间为 h，顺水航行时所需的时间为 h.∴ 这条船在往返过程中逆水航行与顺水航行的时间比为 ÷ ＝ · ＝
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14. （新情境·日常生活）某水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨有（m－2）2千克，西瓜有（m2－4）千克，其中m＞2，售完后，两种水果都卖了540元.
（1） 请用含m的代数式分别表示这两种水果的单价；
解：（1） 由题意，得凤梨的单价为 元，西瓜的单价为 元
（2） 凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？
解：（2） 由题意，得凤梨的单价是西瓜单价的 ÷ ＝ · ＝ 倍
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14(共23张PPT)
第15章 分 式
第15章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
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录
考点一 分式有意义、无意义、值为0的条件
1. （2024·长春德惠段考）若式子 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ C ）
A. x＜3 B. x＞3
C. x≠3 D. x＝3
2. （2025·海口期中）如果分式 的值为0，那么m的值为（ A ）
A. 1 B. －1
C. －1或1 D. 1或0
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3. （2025·长春南关段考）当x＝－3时，分式 没有意义，则b的值为 .
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考点二 分式的基本性质（含约分、通分）
4. 如果把分式 中的x、y都缩小到原来的 ，那么分式的值（ A ）
A. 不变 B. 扩大2倍
C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的
5. 化简 的结果为 ，这是一个 整式 （填“整式”或“分式”）.
6. 分式 ， ， 的最简公分母是 12x2y（x－y） .
A
整式
12x2y（x－y）
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考点三 分式的运算
7. （2025·河南）化简 － 的结果是（ A ）
A. x＋1 B. x
C. x－1 D. x－2
8. （2024·临汾段考）计算 ÷ 的结果是（ B ）
A. B. C. D.
9. （2024·绥化）计算 ÷ 的结果是 .
A
B
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（1） （2024·镇江） ÷ ；
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝
（2） （2025·泸州）化简： ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝ · ＝
10. 计算：
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11. 先化简，再求值：（x2－1） ，其中x＝2.
解：原式＝（x＋1）（x－1） ＝（x＋1）（x－1）· ＝（x－1）（x＋2）＝x2＋x－2.当x＝2时，原式＝4＋2－2＝4.
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12. （2025·凉山）先化简，再求值：1－ ÷ ，求值时请在－2≤x≤2内取一个使原式有意义的x（x为整数）.
解：原式＝1－ · ＝1－ ＝ ＝－ .∵ x≠0且x＋2≠0且x－2≠0，∴ x≠0且x≠±2.又∵ －2≤x≤2，x为整数，∴ 可取x＝1.当x＝1时，原式＝－ ＝4（答案不唯一）
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考点四 分式方程的解法及应用
13. （2025·海口模拟）方程 ＝ 的解为（ C ）
A. x＝1 B. x＝2
C. x＝3 D. x＝4
14. （2025·绥化）用A、B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（ C ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
C
C
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15. （2025·长春朝阳段考）若关于x的分式方程 － ＝3有增根，则a的值为 －1 .
16. （2025·临汾永和三模）解方程： ＝ ＋1.
解：方程两边同乘以x（x＋3），得2x＝（3－x）·（3＋x）＋x（x＋3），解得x＝－9.检验：把x＝－9代入x＋3，得－9＋3≠0.∴ x（x＋3）≠0.∴ x＝－9是原方程的解
－1
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17. （2025·山西）我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一支工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116千米钢轨比一支工作队人工更换80千米钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x千米.根据题意，得 － ＝22，解得x＝2.经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意.∴ 一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2千米
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考点五 零指数幂与负整数指数幂
18. （2024·大庆）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米.数据0.00000156用科学记数法表示为（ C ）
A. 1.56×10－5 B. 0.156×10－5
C. 1.56×10－6 D. 15.6×10－7
19. （2024·长春榆树期末）（π－3.14）0－ ＝ －8 .
20. 计算：a－2b2·（a2b－2）－3＝ .
C
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21. 下列关于分式 的说法中，正确的是（ D ）
A. 当x＝－2时，分式有意义
B. 当x＝±2时，分式的值为0
C. 当x＝0时，分式无意义
D. 当x＝2时，分式的值为0
D
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22. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ A ）
A. ＝
B. ＝
C. － ＝
D. 1＋ ＝
A
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23. 如果m＋n＝1，那么代数式 ·（m2－n2）的值为（ D ）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
24. 甲打字员计划用若干小时完成文稿的录入工作，2h后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员录入文稿的速度是甲打字员的1.5倍，结果提前6h完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（ B ）
A. 17h B. 12h C. 14h D. 10h
D
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25. 人体血液中，白细胞的直径约为1.0×10－3cm，红细胞的直径约是白细胞直径的77％，则红细胞的直径用科学记数法表示为 7.7×10－4 cm.
26. 已知 － ＝2，则分式 的值为 .
27. （2024·眉山）已知a1＝x＋1（x≠0且x≠－1），a2＝ ，a3＝ ，…，an＝ ，则a2024的值为 － .
28. 若分式方程 ＝3－ 的解为正整数，则整数m的值为 －1 .
7.7×10－4
－
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29. 先化简，再求值： ÷ ，其中x是不等式组 的整数解.
解： ÷ ＝ ÷ ＝ · ＝ .解不等式2（x－1）＜x＋1，得x＜3；解不等式5x＋3≥2x，得x≥－1，
∴ 不等式组的解集为－1≤x＜3.∵ x为整数，∴ x的值为－1或0或1或2.∵ x≠0且（x＋1）（x－1）≠0，∴ x≠0且x≠±1.∴ x只能取2.当x＝2时，原式＝ ＝
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30. 已知y＝ ÷ － ，则当x为何值时，y的值为 ？
解：y＝ ÷ － ＝ · － ＝ － ＝－ .由题意，得－ ＝ ，解得x＝－4.经检验，x＝－4是原方程的解.∴ 当x＝－4时，y的值为
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31. 如图①，“优选1号”水稻的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分；如图②，“优选2号”水稻的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的水稻都收了600kg.
（1） 哪种水稻单位面积的产量更高？
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解：（1） 由题意，得“优选1号”水稻单位面积的产量为 kg/m2，“优选2号”水稻单位面积的产量为 kg/m2.∵ － ＝600· ＝600· ＜0，
∴ ＜ ，即“优选2号”水稻单位面积的产量更高
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（2） “优选2号”水稻单位面积的产量是“优选1号”水稻单位面积的产量的多少倍？
解：（2） 由题意，得 ÷ ＝ · ＝ .∴ “优选2号”水稻单位面积的产量是“优选1号”水稻单位面积的产量的 倍
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第15章 分 式
小专题（二） 巧用分式方程的解求字母的
值或取值范围
类型一 构建分式方程求字母的值
1. 若分式 与 的值相等，则x的值为 5 .
2. （2025·临汾段考）对于实数a、b，定义一种新运算“ ”：a b＝ ，这里等式右边是实数运算，例如：1 3＝ ＝－ .则方程x （－2）＝ －1的解是 x＝5 .
3. 若分式 的值比分式 的值小1，求x的值.
解：由题意，得 ＋1＝ .方程两边同乘以（x＋2）（x－1），得2（x－1）＋（x＋2）（x－1）＝x（x＋2），解得x＝4.检验：把x＝4代入（x＋2）·（x－1），得6×3≠0.∴ x＝4是原方程的解.∴ x的值是4
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x＝5
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类型二 由分式方程的解求原方程中的未知字母的值
4. 已知关于x的分式方程 －1＝ 的解与方程3（x＋2）＝9的解相同，求a的值.
解：解方程3（x＋2）＝9，得x＝1.将x＝1代入 －1＝ ，得 －1＝ ，即 －1＝3.∴ ＝4.方程两边同乘以（a＋1），得2＝4（a＋1），解得a＝－ .经检验，a＝－ 是原方程的解.∴ a的值是－
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类型三 由分式方程的特殊解确定字母的值或取值范围
5. 已知关于x的方程 ＝1的解为正数，求a的取值范围.
解：方程两边同乘以（x－1），得2x－a＝x－1，解得x＝a－1.∵ 关于x的方程 ＝1的解为正数，∴ a－1＞0且a－1≠1，解得a＞1且a≠2.∴ a的取值范围是a＞1且a≠2
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6. 若关于x的分式方程 ＝ 的解为负数，求负整数a的值.
解：方程两边同乘以x（x＋2），得（x＋1）（x＋2）＝x（x－a），解得x＝－ .∵ 关于x的分式方程 ＝ 的解为负数，∴ － ＜0且－ ＋2≠0，解得a＞－3且a≠－2.∵ a是负整数，∴ a＝－1
7. 已知关于x的分式方程 ＝2－ 的解大于1，求m的取值范围.
解：方程两边同乘以最简公分母（x－4）2，得m＝2（x－4）2－（2x－1）（x－4）.去括号，得m＝2x2－16x＋32－2x2＋8x＋x－4.解得x＝ .由题意，得 ＞1且 ≠4，∴ m＜21且m≠0.∴ m的取值范围是m＜21且m≠0
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类型四 由增根或无解确定字母的值或取值范围
8. （2025·衡阳期中）如果方程 ＋ ＝ 会产生增根，那么k的值是 5 .
9. 解关于x的分式方程 ＋1＝ 时不会产生增根，求m的取值范围.
解：方程两边同乘以（x－1），得1＋x－1＝－m，解得x＝－m. 当x－1＝0时，分式方程有增根，此时x＝1.把x＝1代入x＝－m，得m＝－1.∵ 分式方程不会产生增根，∴ m≠－1
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10. （易错题）已知关于x的分式方程 ＋ ＝ .
（1） 若方程的增根为x＝1，求m的值；
（1） ∵ x＝1是分式方程的增根，∴ m＋1＝－5，解得m＝－6
（2） 若方程有增根，求m的值；
（2） ∵ 原分式方程有增根，∴ （x＋2）（x－1）＝0. ∴ x＝－2或x＝1.当x＝－2时，m＝ ；当x＝1时，m＝－6.综上所述，m的值为 或－6
解：方程两边同乘以（x－1）（x＋2），得2（x＋2）＋mx＝x－1.整理，得（m＋1）x＝－5
解：方程两边同乘以（x－1）（x＋2），得2（x＋2）＋mx＝x－1.整理，得（m＋1）x＝－5
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（3） 若方程无解，求m的值.
解：方程两边同乘以（x－1）（x＋2），得2（x＋2）＋mx＝x－1.整理，得（m＋1）x＝－5
（3） 当m＋1＝0，即m＝－1时，原分式方程无解.当m＋1≠0时，要使原分式方程无解，即原分式方程有增根.由（2），得m＝ 或－6.综上所述，m的值为－1或 或－6
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类型五 与不等式组的解集结合确定字母的值或取值范围
11. 已知关于x的分式方程1＋ ＝ 的解也是不等式组 的一个解，求m的取值范围.
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解：方程两边同乘以（x＋2）（x－2），得（x＋2）·（x－2）－x（x＋2）＝2m，解得x＝－m－2.∵ （x＋2）（x－2）≠0，∴ x≠±2.∴ m≠－4且m≠0.∴ 方程的解为x＝－m－2，其中m≠－4且m≠0.解不等式 ＞x－2，得x＜ ；解不等式2（x－3）≤x－5，得x≤1.∴ 该不等式组的解集为x≤1.∴
－m－2≤1，解得m≥－3.∴ m的取值范围是m≥－3且m≠0
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12. 已知关于x的分式方程 － ＝1的解为整数，关于y的不等式组 有解且至多有2个整数解，求符合条件的整数m的和.
解：方程两边同乘以（2－2x），得m＋4＝2－2x，解得x＝－ －1.∵ 2－2x≠0，∴ x≠1.∴ m≠－4.解不等式m＋4y＜3，得y＜ ；解不等式3y＋2＞－y＋3，得y＞ .∴ 该不等式组的解集为 ＜y＜ .∵ 该不等式组有解且至多有2个整数解，∴ ＜ ≤3，即－9≤m＜2.∵ x＝－ －1为整数，∴ 符合条件的整数m的值为－8、－6、－2、0.∴ 符合条件的整数m的和为－8－6－2＋0＝－16
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12(共14张PPT)
第15章 分 式
小专题（一） 分式运算与求值的方法技巧
类型一 约分运算法
1. 计算：
（1） ＋ ；
解：原式＝ ＋ ＝ － ＝ ＝－1
（2） （易错题） ÷ .
解：原式＝ · ＝（ － ）· ＝ · ＝
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类型二 整体通分法
2. （2025·长春二道模拟）先化简，再求值： （a＋2），其中a＝3.
解：原式＝ ·（a＋2）＝4＋a2－4＝a2.当a＝3时，原式＝32＝9
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类型三 整体代入法
3. 若m－n＝2，则代数式 · 的值是（ D ）
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
4. 如果m＋n＝2，那么代数式 · 的值是（ B ）
A. 2 B. 1 C. D. －1
5. 若abc＝1，则 ＋ ＋ 的值是（ A ）
A. 1 B. 0 C. －1 D. －2
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6. （2025·长春德惠模拟）先化简，再求值： ÷ ，其中a满足a2＋3a－2＝0.
解：原式＝ · ＝ · ＝ · ＝ ＝ .∵ a2＋3a－2＝0，∴ a2＋3a＝2.∴ 原式＝1
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类型四 两头凑法
7. 已知 ＋ ＝ ，则 ＋ 的值为（ B ）
A. 1 B. －1 C. 0 D. 2
8. 已知x2－3x－4＝0，求 的值.
解：∵ x2－3x－4＝0，∴ x2－4＝3x.∴ ＝ ＝ ＝
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类型五 设参数求值法
9. 已知 ＝ ＝ ≠0，则 的值为（ A ）
A. B. C. D. 1
10. 已知非零实数a、b、c满足 ＝ ＝ ，求 的值.
解：设 ＝ ＝ ＝k，则a＝2k①，b－c＝3k②，a＋c＝5k③.由①＋②＋③，得2a＋b＝10k.∴ ＝ ＝
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类型六 消元法
11. 已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求 的值.
解：∵ 4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，∴ 解关于x、y的二元一次方程组，得 ∴ 原式＝ ＝ ＝－13
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类型七 裂项相消法
12. 已知下列等式：1× ＝1－ ； × ＝ － ； × ＝ － ； × ＝ － ；….
（1） 请你按这些等式的结构特征写出它的一般性等式（用含n的式子表示，n为正整数）；
解：（1） 由题意，可知它的一般性等式为 · ＝ －
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（2） 验证（1）中的等式是否成立；
解：（2） ∵ － ＝ － ＝ ＝ · ，∴ （1）中的等式成立
（3） 利用（1）中的等式计算： ＋ ＋ ＋ .
解：（3） 原式＝ － ＋ － ＋ － ＋ － ＝ － ＝ － ＝
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类型八 倒数求值法
13. （新考法·阅读理解题）阅读下面的解题过程：
已知 ＝ ，求 的值.
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解：由 ＝ ，得x≠0.
∴ ＝3，即x＋ ＝3.
∴ ＝x2＋ ＝ －2＝32－2＝7.
∴ 的值为7的倒数，即 .
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”.请你利用“倒数法”解决下面的问题：
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（1） 已知 ＝ ，求 的值；
解：（1） 由 ＝ ，得x≠0.∴ ＝x＋ －1＝7，即x＋ ＝8.
∴ ＝x2＋ ＋1＝ －1＝82－1＝63.∴ 的值为63的倒数，即
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（2） 已知 ＝2， ＝ ， ＝ ，求 的值.
解：（2） 由 ＝2，得xy≠0.∴ ＝ ＋ ＝ .同理，可得 ＝ ＋ ＝ ， ＝ ＋ ＝ .∵ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，∴ 2 ＝2，即 ＋ ＋ ＝1.∴ ＝ ＋ ＋ ＝1.∴ 的值为1的倒数，即1
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第15章 分 式
15.4 零指数幂与负整数指数幂
15.4.2 科学记数法
01
基础过关
02
能力进阶
目
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1. （教材变式）（2025·衡阳石鼓期中）目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米.将数据0.000001125用科学记数法可表示为（ B ）
A. 0.1125×10－5 B. 1.125×10－6
C. 1.125×10－7 D. 11.25×10－7
B
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2. （2024·威海）据报道，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.“百万分之一”用科学记数法表示为（ B ）
A. 1×10－5 B. 1×10－6
C. 1×10－7 D. 1×10－8
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3. 用科学记数法表示：0.00021＝ 2.1×10－4 ；用小数表示：3.57×10－6＝
0.00000357 .
4. 用科学记数法表示下面的结果.
（1） 肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0008 mm，换算成以“m”为单位是多少？
解：（1） 0.0008mm＝0.0000008m＝8×10－7m
（2） 蚕丝是天然纤维，它的截面可以近似地看成圆，其直径约为10 μm，以“cm2”为单位表示蚕丝截面的面积（1 μm＝0.001 mm，π取3.14）.
解：（2） ∵ 10μm＝0.01mm＝0.001cm＝1×10－3cm，∴ 蚕丝截面的面积为3.14× ＝7.85×10－7（cm2）
2.1×10－4
0.00000357
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5. 某计算机完成一次基本运算所用的时间约为1 ns（纳秒），已知1 ns＝0.000 000 001s，则该计算机完成15次基本运算所用的时间用科学记数法表示为（ C ）
A. 1.5×10－9 s B. 15×10－9 s
C. 1.5×10－8 s D. 15×10－8 s
6. 乐乐通过查阅资料了解到某种病毒的直径约为110nm＝0.0…011m（1nm＝1×10－9m，省略号代表省略了x个0），另一种病毒的直径约为0.000000075m＝7.5×10－ym，则x＋y的值为（ C ）
A. 2 B. 3 C. 12 D. 13
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7. 一个数－0.0…06 25用科学记数法表示为－6.25×10－9，则原数中省略的“0”的个数为 6 .
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8. 一个正方体纸箱的棱长为0.4 m.
（1） 这个纸箱的体积为多少立方米（用科学记数法表示）？
解：（1） ∵ 一个正方体纸箱的棱长为0.4 m，∴ 这个纸箱的体积为0.4×0.4×0.4＝6.4×10－2（m3）
（2） 若一个小立方块的棱长为1×10－3 m，则需要多少个这样的小立方块才能将该纸箱装满（用科学记数法表示）？
解：（2） ∵ 一个小立方块的棱长为1×10－3 m，6.4×10－2÷（1×10－3）3＝6.4×107（个），∴ 需要6.4×107个这样的小立方块才能将该纸箱装满
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第15章 分 式
15.1 分式及其基本性质
15.1.2 分式的基本性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
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1. （2025·长春朝阳段考）下列各式从左到右变形正确的是（ D ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
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2. 下列约分中，正确的是（ D ）
A. ＝0
B. ＝
C. ＝
D. ＝
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3. （2024·长春九台期末）分式 可变形为（ A ）
A. － B. －
C. D.
4. （2025·衡阳期中）下列分式中，属于最简分式的是（ A ）
A. B.
C. D.
A
A
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5. 在 ， ， 的通分过程中，不正确的是（ D ）
A. 最简公分母是（x－2）（x＋3）2
B. ＝
C. ＝
D. ＝
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6. 在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立.
（1） ＝ ；
（2） ＝ .
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7. （教材变式）（2025·海口琼山段考）约分：
（1） ；
解：原式＝－ ＝－
（2） .
解：原式＝ ＝2（x－y）＝2x－2y
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8. （教材变式）通分：
（1） ， ；
解：∵ 最简公分母是12x3y2，∴ ＝ ＝ ； ＝ ＝
（2） ， ， .
解：∵ 最简公分母是2（a－2）2，∴ ＝ ＝ ； ＝ ； ＝ ＝
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9. 有下列分式：① ；② ；③ ；④ .其中，最简分式有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 下列化简错误的是（ C ）
A. ＝ B. ＝－
C. ＝a－b D. ＝
B
C
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11. （易错题）若把分式 中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ C ）
A. 扩大2倍 B. 不变
C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
C
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12. 若将分式 与 通分后，分式 的分母变为2（x－y）（x＋y），则分式 的分子应变为 6x2 .
13. 当m ≠ 时， ＝ 成立.
14. 已知a－b－3ab＝0（ab≠0），则代数式 的值为 － .
6x2
≠
－
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15. 有这样一道题：“先化简，再求值： ，其中x＝2026.”小明把“x＝2026”错抄成了“x＝2062”，但他的计算结果是正确的，请你解释其中的原因.
解：原式＝ ＝1.由此可知，只要x的值不取－1、0、1，得到的结果都是1.∴ 小明虽然抄错了x的值，但他的计算结果是正确的
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16. （新考法·阅读理解题）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如 ＝1＋ .在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式.例如：像 ， ……这样的分式是假分式；像 ， ……这样的分式是真分式.类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
＝ ＝ ＋ ＝1＋ ；
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＝ ＝ ＝x＋2＋ .
根据上述信息解答下列问题.
（1） 分式 是 真 分式（填“真”或“假”）；
（2） 将分式 化为整式与真分式的和的形式；
解：（2） 原式＝ ＝1＋
真
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（3） 若分式 的值为整数，求x的整数值.
解：（3） 原式＝ ＝ ＝2（x＋1）＋ .∵ 该分式的值为整数，x为整数，∴ x－1＝±1.∴ x＝0或x＝2
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第15章 分 式
15.3 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 分式方程及其解法
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基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
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1. （2024·开封期末）下列方程中，属于分式方程的为（ C ）
A. －2x＝1 B. 2x2＝x－3
C. ＝2 D. ＝2
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2. （2025·衡阳段考）解方程 －2＝ 去分母时，两边同乘以（x－1）后得（ B ）
A. 1－2＝－3x
B. 1－2（x－1）＝－3x
C. 1－2（1－x）＝－3x
D. 1－2（x－1）＝3x
B
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3. 分式方程 ＋ ＝0的解为（ B ）
A. x＝ B. x＝
C. x＝－ D. x＝－
4. （2025·长春宽城段考）若关于x的方程 ＝1有增根，则m的值是（ A ）
A. － B. 1
C. － 或1 D. 0或1
B
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5. （2025·宜宾）分式方程 ＋ ＝0的解为 x＝1 .
6. 当x＝ 时，分式 与 的值互为相反数.
7. 若关于x的分式方程 ＋ ＝0的根为x＝4，则a的值为 10 .
x＝1
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（1） （2024·广州） ＝ ；
解：方程两边同乘以x（2x－5），得x＝3（2x－5），解得x＝3.检验：把x＝3代入x（2x－5），得3×（2×3－5）≠0.∴ x＝3是原方程的解
（2） － ＝0；
解：方程两边同乘以x（x＋1）（x－1），得4（x－1）－3（x＋1）＝0，解得x＝7.检验：把x＝7代入x（x＋1）·（x－1），得7×（7＋1）×（7－1）≠0.∴ x＝7是原方程的解
8. （教材变式）解方程：
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（3） （2025·衡阳段考） －1＝ ；
解：方程两边同乘以（x＋2）（x－2），得x（x＋2）－（x＋2）·（x－2）＝3，即x2＋2x－x2＋4＝3，解得x＝－ .检验：把x＝－ 代入（x＋2）（x－2），得 × ≠0.∴ x＝－ 是原方程的解
（4） （易错题） －1＝ .
解：方程两边同乘以（x－1）（x＋2），得x（x＋2）－（x－1）·（x＋2）＝3，解得x＝1.检验：把x＝1代入（x－1）（x＋2），得0×3＝0.∴ x＝1是原方程的增根.∴ 原方程无解
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9. （新考法·新定义题）运算符号 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 ＝ad－bc.请你根据上述规定，求出 ＝1中x的值.
解：由题意，得 － ＝1，变形为 ＋ ＝1.方程两边同乘以（x－1），得2＋1＝x－1，解得x＝4.检验：把x＝4代入x－1，得4－1≠0.∴ x＝4是原方程的解.∴ x的值是4
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10. 解分式方程 ＋ ＝ ，下列四个步骤中，错误的是（ D ）
A. 确定方程两边分式的最简公分母是x2－1
B. 方程两边同乘以（x2－1），得整式方程2（x－1）＋3（x＋1）＝6
C. 解这个整式方程，得x＝1
D. 经检验，原方程的根为x＝1
11. （2025·海口琼山段考）若关于x的分式方程 －3＝ 有增根，则m的值是（ C ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
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12. 当a＝ －3 时，关于x的分式方程 － ＝1与 ＝3的解相同.
13. （易错题）已知关于x的分式方程 －2＝ 的解为正数，则k的取值范围是 k＞－2且k≠－1 .
14. 解方程：
（1） － ＝ ；
解：方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得x＋1－2（x－1）＝4，解得x＝－1.检验：把x＝－1代入（x＋1）（x－1），得0×（－2）＝0.∴ x＝－1是原方程的增根.∴ 原方程无解
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k＞－2且k≠－1
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（2） － ＝ .
解：方程两边同乘以（x－1）（x－3），得－6x－2（x－3）＝－5（x－1），解得x＝ .检验：把x＝ 代入（x－1）（x－3），得 × ≠0.∴ x＝ 是原方程的解
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15. （新考法·阅读理解题）阅读某同学解分式方程的具体过程.
解方程： ＋ ＝ ＋ .
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解： － ＝ － ①，
＝ ②，
＝ ③，
∴ x2－6x＋8＝x2－4x＋3 ④.
∴ x＝ .
经检验，x＝ 是原方程的解.
请解答下列问题：
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（1） 得到①式的做法是 移项 ；得到②式的具体做法是 方程两边的分式先分别通分，再相减 ；得到③式的具体做法是 方程两边都除以（－2x＋10） ；得到④式的根据是 分式的值相等，分子相等（不为0），则分母相等 .
（2） 上述解答正确吗？如果不正确，那么从哪一步开始出现错误？错误的原因是什么？
解：（2） 不正确 从②式推得③式的过程出现错误 错误的原因是没有考虑－2x＋10的值可能为0的情况
移项
方程两边的分式
先分别通分，再相减
方程两边都除以（－2x＋
10）
分式的值相等，分子相等（不为0），则分母相
等
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（3） 请给出正确的解答.
解：（3） 原方程可化为 － ＝ － ，即 ＝ .当－2x＋10＝0时，x＝5.经检验，x＝5是原方程的解.当－2x＋10≠0时， ＝ ，即x2－6x＋8＝x2－4x＋3，解得x＝ .经检验，x＝ 是原方程的解.∴ 原方程的解为x＝5或x＝
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15(共12张PPT)
第15章 分 式
15.1 分式及其基本性质
15.1.1 分 式
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基础过关
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能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材变式）（2025·长春南关期中）下列式子中，属于分式的为（ B ）
A. B.
C. － D.
2. （2025·衡阳期中）要使分式 有意义，x的取值范围是（ A ）
A. x≠3 B. x＞3
C. x＜3 D. x＝3
B
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3. 下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（ D ）
A. B.
C. D.
4. 若x＝－2，则下列分式中，值为0的是（ D ）
A. B.
C. D.
D
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5. 已知一款衣服的价格上涨x％后是a元，则这款衣服原来的价格是（ D ）
A. 元 B. a 元
C. 元 D. 元
6. 如果分式 无意义，那么x的值为 ±5 .
7. （易错题）（2025·长春南关段考）若分式 的值为0，则x＝ －4 .
D
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8. 某工厂原计划x天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产 件产品（用含x的式子表示）.当x＝5时，现在每天要生产 15 件产品.
9. （教材变式）当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） ；
解：要使 有意义，得x≠0，即当x≠0时， 有意义
（2） ；
解：要使 有意义，得x2＋1≠0，即当x为任意实数时， 有意义
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（3） .
解：要使 有意义，得｜x｜－4≠0，解得x≠±4，即当x≠±4时， 有意义
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10. 已知分式 .
（1） 当x＝1时，分式的值为0，求2x＋y的值；
解：（1） 由题意，得 解得y＝－1.∴ 2x＋y＝2＋（－1）＝1
（2） 若｜x－y＋4｜＋（x＋y－2）2＝0，求分式的值.
解：（2） ∵ ｜x－y＋4｜≥0，（x＋y－2）2≥0，｜x－y＋4｜＋（x＋y－2）2＝0，∴ 解得 ∴ ＝ ＝－
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11. 根据表格中的信息，y可能为（ C ）
x … －2 －1 0 1 2 …
y … * 无意义 * －1 * …
A. B.
C. D.
12. 若分式 的值为正整数，则整数x的值的个数是（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
C
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13. 若a、b是实数，且 ＝0，则3a＋b的值为（ A ）
A. 10 B. 10或2
C. 2 D. 以上都不对
14. （教材变式）某船在静水中航行的速度是x千米/时，水流的速度是y千米/时（x＞y）.若该船从甲地顺流去乙地需a小时，则从乙地返回甲地需 小时（用含x、y、a的式子表示）.
15. 已知分式 ，当x＝2时，分式的值为0；当x＝－2时，分式无意义.求a＋b的值.
解：由题意，得 解得 ∴ a＋b＝6
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16. （新考法·阅读理解题）仔细阅读下面的材料并解答问题.
例：当x取何值时，分式 的值为正数？
解：由题意，得 ＞0，则有① 或② 解不等式组①，得 ＜x＜1；解不等式组②，得该不等式组无解.∴ 当 ＜x＜1时，分式 的值为正数.
按照上面的方法，求当x取何值时，分式 的值为负数.
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解：原式＝ ＝ .由题意，得 ＜0，则有① 或② 解不等式组①，得0＜x＜3且x≠1；解不等式组②，得该不等式组无解.∴ 当0＜x＜3且x≠1时，分式 的值为负数
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16(共14张PPT)
第15章 分 式
15.2 分式的运算
15.2.2 分式的加减
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·新疆生产建设兵团）计算 － 的结果是（ A ）
A. 1 B. x－2y C. D.
2. （2025·天津）计算 ＋ 的结果是（ A ）
A. B. C. D. 1
3. （2024·临汾蒲县期末）计算[＋ ]÷ 的结果是（ C ）
A. B. C. D.
A
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4. 计算：
（1） （2025·达州） － ＝ ；
（2） · ＝ x－1 .
5. 已知 － ＝ ，则A＝ 4 ，B＝ －2 .
6. 若xy＝1，则 ＋ 的值为 1 .
x－1
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解： －
＝ － ……①
＝（m＋1）－2……②
＝m－1……③
该同学的解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.
解：从第②步开始出现错误
原式＝ － ＝ ＝ ＝
7. （2024·连云港）下面是某同学计算 － 的解题过程：
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8. 计算：
（1） （2025·宜宾）计算： · ；
解：原式＝ · ＝ · ＝1
（2） （教材变式） ＋ － ；
解：原式＝ ＋ － ＝ ＝ ＝－
（3） （2024·泰安） ÷ .
解：原式＝ · ＝ · ＝
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9. （2025·苏州）先化简，再求值： · ，其中x＝－2.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .当x＝－2时，原式＝ ＝2
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10. 下列计算中，错误的是（ D ）
A. － ＝
B. ＋ ＝－
C. ＋ ＝
D. － ＝
D
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11. 有一个正确的等式 ÷ ＝ 被小颖不小心滴上了墨汁，则被墨汁遮住部分的有理式为（ A ）
A. B. C. D.
12. （整体思想）如果a－b＝4，且a≠0，b≠0，那么代数式 ÷ 的值是（ B ）
A. －4 B. 4 C. 2 D. －2
13. 当x＝－5时， ÷ ＝ － .
A
B
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14. （2025·衡阳祁东期中）先化简，再求值： ÷ ，其中x＝2.
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ ＝ .当x＝2时，原式＝ ＝ ＝－10
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15. （易错题）（2024·达州）先化简[－ ]÷ ，再从－2、－1、0、1、2中选择一个合适的数代入求值.
解：原式＝ · ＝ · ＝ · ＝ .要使分式有意义，x－2≠0且x＋2≠0且x≠0且x＋1≠0，∴ x≠2且x≠－2且x≠0且x≠－1.∴ 当x＝1时，原式＝ ＝2
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16. （新情境·日常生活）甲、乙两名采购员两次去同一家饲料公司购买同种饲料.两次购买的饲料单价不同，两名采购员的购买方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元.设两次购买的饲料的单价分别是m元和n元（m、n是正数，且m≠n）.
（1） 甲、乙两名采购员两次购买的饲料的平均单价各是多少（平均单价＝花的总钱数÷购买的总质量）？
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解：（1） ∵ 两次购买的饲料的单价分别是m元和n元（m、n是正数，且m≠n），∴ 甲两次购买的饲料的平均单价是 ＝ （元），乙两次购买的饲料的平均单价是 ＝ （元）
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（2） 谁的购买方式更合算？
解：（2） 甲、乙两名采购员两次购买的饲料的平均单价的差是 － ＝ － ＝ ＝ （元）.∵ m、n是正数，且m≠n，∴ ＞0，即 － ＞0.∴ ＞ .∴ 乙的购买方式更合算
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16(共13张PPT)
第15章 分 式
阶段训练（15.1～15.2）
一、 选择题
1. 下列式子中，属于分式的为（ C ）
A. x B. － C. D. － ＋y
2. 使分式 有意义的条件为（ C ）
A. x≠0 B. y≠0
C. x≠0或y≠0 D. x≠0且y≠0
C
C
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3. （2025·长春朝阳段考）若将分式 （a、b均为正数）字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ C ）
A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的
C. 不变 D. 缩小为原来的
4. 若a≠b，则下列分式化简正确的是（ D ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
C
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5. 下列计算中，正确的是（ C ）
A. · ＝－
B. ÷ ＝
C. ÷（a2－ab）＝
D. ÷6xy＝
C
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6. 下列计算中，不正确的是（ D ）
A. ＝
B. ＝
C. ＋ ＝2
D. ＋ ＝1
7. 若m＋n＝1，则代数式 ·（m2－n2）的值为（ D ）
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
D
D
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二、 填空题
8. 若分式 的值为负数，则x的取值范围是 x＞4 .
9. 当x＝3时，分式 的值为0；当x＝1时，分式 无意义，则a＋b的值为 －6 .
x＞4
－6
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10. 分式 与 的最简公分母是 m2（m－1） .
11. 有下列分式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中，属于最简分式的有 ①③ （填序号）.
12. 妈妈到超市买了a千克香蕉，用了m元；又买了a千克草莓，用了（m＋7）元，则每千克草莓比每千克香蕉贵 元.
13. （整体思想）若a、b互为倒数，则代数式 ÷ 的值为 1 .
m2（m－1）
①③
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三、 解答题
14. 先从a2－1，a2－a，a2－2a＋1这三个式子中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式，再任选一个合适的数代入求值.
解：答案不唯一，如把a2－1作为分子，a2－a作为分母，可得 ＝ ＝ .当a＝2时，原式＝ ＝
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（1） ；
（2） .
解：
＝
＝
解：
＝
＝
15. 不改变分式的值，将下面分式的分子、分母中各项的系数都化为整数，且结果为最简分式.
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16. 计算：
（1） ÷ ；
解：原式＝ · ＝ · ＝a－b
（2） · ÷ ；
解：原式＝ · ÷ ＝－ · · ＝－ ＝－
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（3） － ；
解：原式＝ － ＝
＝
（4） （2025·陕西） ÷ .
解：原式＝ · ＝ · ＝x＋2
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17. 工程队计划修建一段长1 200米的公路，采取新的施工方式后，实际每天修建公路的长度比原计划增加15米，从而缩短了工期，设原计划每天修建公路x米.
（1） 原计划修建这段公路需要多少天？实际修建这段公路用了多少天？
解：（1） 原计划每天修建公路x米，实际每天修建公路（x＋15）米，则原计划修建这段公路需要 天，实际修建这段公路用了 天
（2） 实际修建这段公路的工期比原计划缩短了几天（结果要化简）？
解：（2） 实际修建这段公路的工期比原计划缩短了 － ＝ － ＝ （天）
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18. （整体思想）先化简，再求值： ÷ ＋ ，其中a2－2a－6＝0.
解：原式＝ ÷ ＋ ＝ · ＋ ＝ ＋ ＝ .∵ a2－2a－6＝0，∴ a2＝2a＋6.∴ 原式＝ ＝ ＝2
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