(共16张PPT)
第16章 函数及其图象
16.5 实践与探索
第2课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则关于x的方程kx＋b＝5的解为（ A ）
A. x＝3 B. x＝5
C. x＝0 D. x＝b
A
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2. （教材变式）（2024·新乡卫辉期末）如图，一次函数y＝x＋b的图象经过点（－2，3），则不等式x＋b＞3的解集是（ A ）
A. x＞－2 B. x＞3
C. x＜－2 D. x＜3
A
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3. （2025·长春朝阳期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若直线y＝kx与直线y＝ax－3交于点（2，－1），则关于x的不等式kx＜ax－3的解集为（ A ）
A. x＞2 B. x＞－1
C. x＜2 D. x＞3
A
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4. 如图，直线y＝x＋b和y＝kx＋2与x轴分别交于点A（－2，0）、B（3，0），则关于x的不等式组 的解集为（ D ）
A. x＜－2 B. x＞3
C. x＜－2或x＞3 D. －2＜x＜3
D
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5. （数形结合思想）如图，直线y＝kx＋b与直线y＝mx＋n相交于点P（1，2），则当x＞1时，kx＋b ＞ mx＋n（填“＞”“＜”或“＝”）.
＞
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6. 画出一次函数y＝2x－4的图象，并根据图象解决下列问题：
（1） ∵ 函数y＝2x－4中，k＝2＞0，∴ y随x的增大而增大.当x＝－2时，y＝－8；当x＝4时，y＝4.∴ 当－2≤x≤4时，y的取值范围是－8≤y≤4
（2） 当x分别取什么值时，y＜0，y＝0，y＞0？
（2） 由函数图象，可得当x＜2时，y＜0；当x＝2时，y＝0；当x＞2时，y＞0
解：由题意，易得直线y＝2x－4与x轴的交点坐标为（2，0），与y轴的交点坐标为（0，－4），函数图象如图所示
（1） 当－2≤x≤4时，求y的取值范围.
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（3） ∵ k＝2＞0，∴ y随x的增大而增大.当y＝－4时，x＝0；当y＝2时，x＝3.∴ 当－4＜y＜2时，x的取值范围是0＜x＜3
（3） 当－4＜y＜2时，求x的取值范围.
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7. （易错题）如图，直线y＝kx＋b经过点A（－1，m）、B（－2，0），直线y＝2x经过点A，则不等式kx＋b＜2x＜0的解集为（ D ）
A. x＜－2 B. －2＜x＜0
C. x＜－1 D. －1＜x＜0
D
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8. 一次函数y1＝kx－1与y2＝－x＋2的图象如图所示，当x＜1时，y1＜y2，则满足条件的k的取值范围是 －1≤k≤2且k≠0 .
－1≤k≤2且k≠0
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（1） 求点A的坐标.
解：（1） 联立方程组 解得 ∴ 点A的坐标为（3，4）
第9题
9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋7的图象与正比例函数y＝ x的图象交于点A，与x轴交于点B.
（2） 直接写出不等式 x≤－x＋7的解集.
解：（2） x≤3
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（3） 在x轴上是否存在点P，使得S△AOP＝2S△AOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3） 存在 设点P的坐标为（m，0）.对于y＝－x＋7，令y＝0，得－x＋7＝0，解得x＝7.∴ 点B的坐标为（7，0）.∴ OB＝7.∵ S△AOP＝2S△AOB，即 OP·｜yA｜＝2× OB·｜yA｜，∴ OP＝2OB. ∴ ｜m｜＝2×7＝14，解得m＝±14.∴ 点P的坐标为（14，0）或（－14，0）
第9题
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10. （新情境·日常生活）某学校计划到甲、乙两家体育用品专卖店购买一批新的体育用品，两家体育用品专卖店的优惠活动如下.
甲：所有商品按原价的8.5折出售.
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价出售，超过300元的部分打7折.
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲体育用品专卖店购买实付y甲元，去乙体育用品专卖店购买实付y乙元，其函数图象如图所示.
第10题
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（1） 分别求y甲、y乙关于x的函数表达式；
解：（1） 由题意，得y甲＝0.85x.当0≤x≤300时，y乙＝x；当x＞300时，y乙＝300＋（x－300）×0.7＝0.7x＋90.∴ y乙＝
第10题
（2） 两图象交于点A，求点A的坐标；
解：（2） 令0.85x＝0.7x＋90，解得x＝600.∴ 0.85x＝0.85×600＝510，即点A的坐标为（600，510）
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（3） 根据函数图象，直接写出去哪家体育用品专卖店购买体育用品更合算.
解：（3） 由函数图象，得当0＜x＜600时，去甲体育用品专卖店购买体育用品更合算；当x＝600时，去甲、乙两家体育用品专卖店购买体育用品一样合算；当x＞600时，去乙体育用品专卖店购买体育用品更合算
第10题
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10(共15张PPT)
第16章 函数及其图象
16.2 函数的图象
16.2.2 函数的图象
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列各点在函数y＝2x－1的图象上的是（ D ）
A. （－1，3） B. （0，1）
C. （1，－1） D. （2，3）
2. 下列各点中，不在函数y＝ 的图象上的是（ D ）
A. （2，3） B. （3，2）
C. （－1，－6） D. （6，－1）
D
D
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3. （教材变式）（2025·长春绿园段考）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下列能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分）之间关系的大致图象是（ B ）
B
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4. 给出下列函数：① y＝ ；② y＝5x＋1；③ y＝－3x2＋5；④ y＝2－x；⑤ y＝－x.其中，图象经过原点的是 ⑤ （填序号）.
5. 已知函数y＝ 的图象经过点（1，2），则k的值为 1 .
⑤
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6. （教材变式）在甲骑自行车和乙驾驶汽车沿相同的路线行驶90km（由A地到B地）的过程中，行驶的路程y（km）与经过的时间x（h）之间的函数关系如图所示，则乙出发 0.5 h后与甲相遇，甲的速度为 18 km/h，乙的速度为 90 km/h，乙比甲早 2 h到达B地.
0.5
18
90
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7. 已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0，下表是y与x的几组对应值.
x … 1 2 3 5 7 9 …
y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 …
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究.以下是小腾的探究过程，请补充完整：
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（2） 根据画出的函数图象，当x＝4时，函数值y约为 2（合理即可） .
解：（1） 如图所示
2（合理即可）
（1） 如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
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8. 有下列四个点：P（1，－1）、Q（－2，－4）、M（1，2）、N .其中，在函数y＝ 的图象上的是（ B ）
A. 点M B. 点N
C. 点P D. 点Q
B
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9. （2025·海口期中）某市马拉松大赛开跑，甲、乙两名选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象如图所示.下列说法中，错误的是（ C ）
A. 起跑后1小时内，甲在乙的前面
B. 1小时时，两人都跑了20千米
C. 甲比乙先到达终点
D. 两人都跑了42千米
C
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10. 已知函数y＝ax2＋b（a≠0）.
（1） 若点P（2，7）在该函数的图象上，且当x＝－3时，y＝17，则a＝ 2 ，b＝ －1 ；
（2） 在（1）的条件下，若点M 、N（n，7）都在该函数的图象上，则m＋n的值为 或－ .
2
－1
或－
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11. （教材变式）周日，小艾从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后，又走到文具店去买笔，然后走回家，如图所示为小艾离家的距离（km）与离家的时间（min）之间的关系图象.
根据图象回答下列问题：
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（1） 图象表示了 离家的距离 和 离家的时间 两个变量之间的关系.
（2） 小艾在文具店逗留了多长时间？
解：（2） 由图，可知小艾在文具店逗留的时间是65－45＝20（min）
（3） 小艾从文具店走回家的速度是多少？
解：（3） 小艾从文具店走回家的速度是 ＝ （km/min）
离家的距离
离家的时间
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12. （数形结合思想）小明根据学习函数的经验，对函数y＝｜x－1｜的图象与性质进行了探究.下列是小明的探究过程，请补充完整：
（1） 函数y＝｜x－1｜的自变量x的取值范围是 全体实数 .
（2） 列表，找出y与x的几组对应值.
x … －1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
其中，b的值为 2 .
全体实数
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（3） 如图，在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象.
（4） 函数y＝｜x－1｜的最小值为 0 .
解：（3） 如图所示
0
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第16章 函数及其图象
阶段训练（16.3）
一、 选择题
1. （2025·长春南关期中）下列函数中，一定是一次函数的是（ B ）
A. y＝kx＋b（k、b是常数）
B. y＝
C. y＝ ＋4
D. y＝2x2－1
2. 若y＝（m－1）x｜m｜＋2是关于x的一次函数，则其图象不经过（ C ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
C
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3. （2024·海口龙华期中）把函数y＝－2x－1的图象向上平移3个单位长度，则下列各坐标所表示的点中，在平移后的直线上的是（ C ）
A. （2，2） B. （2，3）
C. （2，－2） D. （2，5）
4. （2025·长春朝阳模拟）已知一次函数y＝kx－1（k≠0）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P不可能在（ B ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
B
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5. （新趋势·跨学科）某生物小组观察一植物的生长情况，得到植物高度y（厘米）与观察时间x（天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）.下列说法中，错误的是（ C ）
A. AC所在直线对应的函数表达式为y＝ x＋6
B. 该植物的高度最高为16厘米
C. 从开始观察时算起，60天后该植物停止长高
D. 第40天该植物的高度为14厘米
C
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二、 填空题
6. 飞机从1200米的高空开始下降，每秒下降150米，则飞机离地面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数表达式为 h＝－150t＋1200（0≤t≤8） .
7. （2025·衡阳期中）若直线y＝2x＋5向下平移4个单位长度后，经过点
A（－1，b），则b的值是 －1 .
8. （2024·长春二道期末）函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＞x2时，y1＜y2，写出一个满足条件的函数表达式： 答案不唯一，如y＝－2x＋1 .
9. （2024·新乡期末）已知点A（m，y1）、B（m＋1，y2）均在一次函数y＝x＋b的图象上，则y1与y2的大小关系是 y1＜y2 （用“＜”连接）.
h＝－150t＋1200（0≤t≤8）
－1
答
案不唯一，如y＝－2x＋1
y1＜y2
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10. （2025·长春朝阳一模）在一次函数y＝kx＋b中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为 1 .
x … m－1 m m＋2 …
y … n 2 4 …
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11. 如图，直线y＝ x＋2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角三角形ABC，且∠BAC＝90°，则过B、C两点的直线对应的函数表达式为 y＝－ x＋2 .
y＝－ x＋2
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三、 解答题
12. （2025·衡阳期中）已知一次函数y＝（2－k）x－2k＋6.
（1） k满足何条件时，y随x的增大而减小？
解：（1） 由题意，得2－k＜0，解得k＞2
（2） k满足何条件时，图象经过第一、二、四象限？
解：（2） 由题意，得2－k＜0，且－2k＋6＞0，解得2＜k＜3
（3） k满足何条件时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方？
解：（3） 由题意，得－2k＋6＞0且2－k≠0，解得k＜3且k≠2
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13. 经验表明，树在一定的生长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3 m处的直径）越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是其胸径x（m）的一次函数.当胸径为0.2 m时，树高为20 m；当胸径为0.28 m时，树高为22 m.
（1） 求y与x之间的函数表达式；
解：（1） 设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.根据题意，得 解得 ∴ y与x之间的函数表达式为y＝25x＋15
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（2） 当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为多少？
解：（2） 当x＝0.3时，y＝25×0.3＋15＝22.5，∴ 当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为22.5 m
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14. （新情境·日常生活）A、B两地之间有一条长为440km的高速公路，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行.甲车先以100km/h的速度行驶200km后与乙车相遇，再以另一速度继续行驶4h到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的距离y（km）与各自的行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示.
（1） 填空：m＝ 2 ，n＝ 6 ；
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第14题
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（2） 求两车相遇后，甲车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数表达式；
解：（2） 设两车相遇后，甲车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.将（2，200）、（6，440）代入，得 解得 ∴ y＝60x＋80（2＜x≤6）
第14题
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（3） 当乙车到达A地时，求甲车距A地的距离.
解：（3） 由题意，得乙车的速度为（440－200）÷2＝120（km/h）.∴ 乙车到达A地所需时间为440÷120＝ （h）.∵ ＞2，∴ 当x＝ 时，y＝60× ＋80＝300，即当乙车到达A地时，甲车距A地的距离为300km
第14题
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14(共14张PPT)
第16章 函数及其图象
16.1 变量与函数
第2课时 确定函数表达式及自变量的取值范围
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 一个正方形的边长为5cm，它的各边边长同时减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm，则y与x之间的函数表达式为（ A ）
A. y＝20－4x B. y＝4x－20
C. y＝20－x D. 以上都不对
2. （2025·云南）函数y＝ 的自变量x的取值范围是（ D ）
A. x≠4 B. x≠3
C. x≠2 D. x≠1
A
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3. 某地的温度T（℃）与海拔d（m）之间的关系可以近似地用T＝10－ 来表示.根据这个关系式，当T的值是5时，相应的d的值是（ C ）
A. 450 B. 600 C. 750 D. 900
4. 下列函数表达式中，当自变量x＝－1时，函数值y＝6的是（ B ）
A. y＝3x＋3 B. y＝－3x＋3
C. y＝3x－3 D. y＝－3x－3
C
B
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5. 已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如下表，则这个函数的表达式可能为（ A ）
x … －1 0 1 2 …
y … －2 0 2 4 …
A. y＝2x B. y＝x－1
C. y＝ D. y＝x2
A
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6. （2025·长春德惠期末）在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s＝5t2＋2t，则当t＝4时，该物体运动的路程为 88米 .
7. 嘉嘉买6支笔花了9元，琪琪买了同样单价的x支笔，还买了两副单价为5元的三角尺.若用y（元）表示琪琪买笔和三角尺花的总钱数，则y与x之间的函数表达式为 y＝1.5x＋10 .
8. （教材变式）如果一个等腰三角形的周长是20cm，那么它的底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数表达式为 y＝20－2x ，自变量x的取值范围是 5＜x＜10 .当x＝8时，底边长为 4cm .
88米
y＝1.5x＋10
y＝20－2x
5＜x＜10
4cm
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（1） y＝ ；
（2） y＝ .
解：当x＝－5时，
y＝11；当x＝3时，
y＝－1
解：当x＝－5时，
y＝ ；当x＝3时，
y＝
9. （教材变式）当x＝－5和x＝3时，分别求出下面函数的函数值：
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10. （易错题）如图，在靠墙（墙长18m）的地方建一个长方形养鸡场（长大于宽），另外三边用篱笆围成，篱笆的长为35m.
（1） 求养鸡场的长y（m）与宽x（m）之间的函数表达式；
解：（1） y＝35－2x
第10题
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（2） 直接写出自变量x的取值范围；
解：（2） ≤x＜
第10题
（3） 当宽为10m时，养鸡场的长为多少？
解：（3） 当x＝10时，y＝35－2×10＝15，即养鸡场的长为15m
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11. 根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为3或－3时，输出y的值相等，则输入x的值为5时，输出y的值为（ C ）
A. －9 B. －3 C. 9 D. 3
C
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12. 如图，在△ABC中，边BC的长是10，边BC上的高是6，点D在边BC上运动（点D不与点B、C重合）.设BD的长为x，则△ACD的面积y与x之间的函数表达式为 y＝－3x＋30 ，自变量x的取值范围是 0＜x＜10 .
y＝－3x＋30
0＜x＜10
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13. （新情境·日常生活）拖拉机开始工作时，油箱中有40L油，已知拖拉机工作时每小时耗油4L. 设油箱中的剩余油量为QL，工作时间为th.
（1） 写出Q与t之间的函数表达式.
解：（1） Q＝40－4t
（2） 分别计算当t＝5和t＝10时的Q的值，并说明它们表示的意义.
解：（2） 当t＝5时，Q＝40－4×5＝20，表示工作5h后油箱中的剩余油量为20L；当t＝10时，Q＝40－4×10＝0，表示工作10h后油箱中的剩余油量为0L
（3） 拖拉机能工作12h吗？为什么？
解：（3） 不能 ∵ 拖拉机工作10h后，油箱中的剩余油量为0L，∴ 拖拉机最多只能工作10h，不能工作12h
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14. （教材变式）如图，在长方形MNPQ中，MN＝6，PN＝4，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M的方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y.
（1） 分别求当0＜x＜4、4≤x≤10、10＜x＜14时，y与x之间的函数表达式；
（2） 当y＝6时，x＝ 2或12 .
第14题
2或12
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解：（1） 当0＜x＜4时，动点R在NP上运动，y＝ MN·RN＝ ×6·x＝3x；当4≤x≤10时，动点R在PQ上运动，y＝ MN·PN＝ ×6×4＝12；当10＜x＜14时，动点R在QM上运动，y＝ MN·RM＝ ×6×[4－（x－4－6）]＝42－3x
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第16章 函数及其图象
16.5 实践与探索
第3课时 建立函数模型
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （新趋势·跨学科）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，整理数据如下表：
体积x/mL 100 80 60 40 20
压强y/kPa 60 75 100 150 300
则能反映y与x之间关系的式子为（ D ）
A. y＝3000x B. y＝6000x
C. y＝ D. y＝
D
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2. 一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了4个时间点观光船到码头的距离，其中t（min）表示时间，y（m）表示观光船到码头的距离.
t/min 0 3 6 9
y/m 675 600 525 450
如果观光船保持这样的行进速度继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为150 m时，所用的时间为（ B ）
A. 25min B. 21min C. 13min D. 12min
B
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3. （新趋势·跨学科）在一定范围内，弹簧的受力大小和伸长长度成正比.某次数学试验中，同学们记录了同一根弹簧的长度y（cm）和所挂物体质量x（kg）（0≤x≤12）的部分对应数据如下表所示.
x/kg 0 1 2 3 4 …
y/cm 10.5 11 11.5 12 …
下列说法中，正确的是（ D ）
D
A. x、y都是变量，y是x的正比例函数
B. 当所挂物体的质量为10kg时，弹簧的长度为19cm
C. 当所挂物体质量由4kg增加到7kg时，弹簧的长度增加1cm
D. 弹簧不挂物体时的长度为10cm
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4. （新趋势·跨学科）声音在空气中的传播速度v（m/s）与温度T（℃）的关系如下表：
T/℃ 0 5 10 15 20
v/（m/s） 331 334 337 340 343
当T＝30时，声音在空气中的传播速度为 349 m/s.
349
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5. 如图，在一块直角边长为4米的等腰直角三角形地内的每一个正方形网格的格点（横、纵直线的交点）及三角形顶点上都种植同种农作物，根据以往种植经验发现，每株农作物的产量y（千克）受到与它周围直线距离不超过1米的同种农作物的数量x（株）的影响，将情况统计如下表：
x/株 1 2 3 4
y/千克 21 18 15 12
通过观察上表，猜测y与x之间存在哪种函数关系，求出函数表达式并加以验证.
第5题
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解：通过观察题表，猜测y与x之间存在一次函数关系.设y＝kx＋b（k≠0）.把x＝1，y＝21和x＝2，y＝18代入，得 解得 ∴ y＝－3x＋24.验证：当x＝3时，y＝－3×3＋24＝15；当x＝4时，y＝－3×4＋24＝12.∴ y＝－3x＋24是符合条件的函数表达式
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6. （易错题）小明参加100m短跑训练，2025年1～4月的训练成绩如下表：
月 份 1 2 3 4
成绩/s 15.6 15.4 15.2 15
体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你预测小明5年（60个月）后100m短跑的成绩为（提示：目前100m短跑的世界纪录为9.58s）（ D ）
A. 14.8s B. 3.8s
C. 3s D. 预测结果不可靠
D
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7. 如图所示为一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm.经测量，得到表中数据.
双层部分的长度x/cm 2 8 14 20
单层部分的长度y/cm 148 136 124 112
第7题
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（1） 根据表中数据规律，求出y关于x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
解：（1） 由表中的数据，可知x每增加6cm，y相应减少12cm，∴ y与x之间是一次函数的关系.设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.将表中两组较简单的对应数据（x＝2，y＝148；x＝8，y＝136）代入，得 解得 ∴ y关于x的函数表达式为y＝－2x＋152
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（2） 按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长，请计算此时双层部分的长度；
解：（2） 根据题意，得 解得 ∴ 此时双层部分的长度为22cm
（3） 设背带的长度为Lcm，求L的取值范围.
解：（3） 在y＝－2x＋152中，当x＝0时，y＝152；当y＝0时，x＝76.∴ 背带的长度L的取值范围是76≤L≤152
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8. 汛期到来，下表记录了某水库20h内水位的变化情况，其中x（h）表示时间，y（m）表示水位.当x＝8时，达到警戒水位，开始开闸放水.
x/h 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
y/m 14 15 16 17 18 14.4 12 10.3 9 8 7.2
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（1） 如图，在平面直角坐标系中，根据表格中的数据画出水位的变化图象，当水位高出16 m时，x的取值范围是 4＜x＜9 ；
解：（1） 画图象如图所示
4＜x＜9
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（2） 请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数表达式；
解：（2） 观察图象，可知当0≤x≤8时，y与x之间的关系符合一次函数关系.设y＝kx＋b（k≠0）.把（0，14）、（8，18）代入，得 解得 ∴ y＝ x＋14（0≤x≤8）.观察图象，可知当x＞8时，y与x之间的关系不是一次函数关系.通过观察数据，发现8×18＝10×14.4＝12×12＝16×9＝18×8＝20×7.2＝144.因此，开闸放水后y与x之间的关系最符合反比例函数关系，其表达式为y＝ （x＞8）
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（3） 据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律会持续一段时间，预测何时水位变为6 m.
解：（3） 当y＝6时，6＝ ，解得x＝24，即预测24h时水位变为6 m
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8(共9张PPT)
第16章 函数及其图象
16.1 变量与函数
第1课时 变量与函数
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. （2025·长春朝阳期中）小明同学到超市购买矿泉水，如图所示为收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（ C ）
A. 商品名称 B. 数量
C. 单价 D. 金额
C
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2. （教材变式）（2025·广西）生态学家高斯通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y（个）随时间t（天）的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是（ B ）
A. 第5天的种群数量为300个
B. 前3天种群数量持续增长
C. 第3天的种群数量达到最大
D. 每天增加的种群数量相同
B
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3. （教材变式）一个圆柱的体积是60cm3，则圆柱的底面积S（cm2）是高h（cm）的函数，其函数表达式为 S＝ ，其中 h 是自变量，自变量的取值范围是 h＞0 .
4. 某工厂有一个容积为280立方米的水池，现用3台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时抽水15立方米.
（1） 若抽水2小时，则水池中还有 190 立方米的水.
（2） 在这一变化过程中，哪些是变量？哪些是常量？
解：在这一变化过程中，抽水的时间和水池中的水的体积是变量；水池的容积、抽水机的台数和每台抽水机每小时抽水的体积是常量
S＝
h
h＞0
190
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5. 下列所描述的四个变化过程中，两个变量之间的关系不能看成函数关系的是（ D ）
A. 三角形的一个外角度数与和它相邻的内角度数之间的关系
B. 树的高度为60cm，每个月长高3cm，x个月后树的高度为ycm，x与y之间的关系
C. 正方形的面积y与它的边长x之间的关系
D. 一个正数x的平方根是y，y随着这个正数x的变化而变化，y与x之间的关系
D
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6. （易错题）下列关于变量x、y的关系式：① 3x－2y＝5；② y＝｜x｜；③ 2x－y2＝10.其中，y是x的函数的是 ①② .
7. 已知△ABC的底边BC的长为10cm，当边BC上的高h（cm）从小到大变化时，△ABC的面积S（cm2）也随之变化.
①②
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（1） 在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
解：（1） 在这个变化过程中，边BC上的高h是自变量，△ABC的面积S是因变量
（2） 求S与h之间的函数表达式.
解：（2） S＝ BC·h＝ ×10·h＝5h，即S与h之间的函数表达式为S＝5h
（3） 用表格表示当h由4变到10时（每次增加1），S的相应值.
解：（3） 列表如下：
h/cm 4 5 6 7 8 9 10
S/cm2 20 25 30 35 40 45 50
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（4） 当h每增加1时，S如何变化？
解：（4） 由（3），可知当h每增加1时，S增加5
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7(共17张PPT)
第16章 函数及其图象
小专题（三） 一次函数中字母系数与图象的关系
类型一 系数k决定两条直线的位置关系
1. 在同一平面直角坐标系中，有下列函数：① y＝－x－1；② y＝x＋1；③ y＝1－x；④ y＝－2（x＋1）.其中，函数图象互相平行的是（ B ）
A. ①和② B. ①和③
C. ②和④ D. ②和③
2. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x的图象与函数y＝kx－3的图象互相平行，下列各点中，在函数y＝kx－3的图象上的是（ C ）
A. 点（－2，1） B. 点（1，－2）
C. 点（3，3） D. 点（5，13）
B
C
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3. 过点P（2，1）作与直线y＝2x＋1平行的直线y＝kx＋b，则k、b的值分别为（ B ）
A. k＝2，b＝3 B. k＝2，b＝－3
C. k＝2，b＝－1 D. k＝－2，b＝－3
B
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4. 如图，一次函数y＝2x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB沿y轴向上平移4个单位长度，与x轴、y轴分别交于点C、D. 求线段AC的长.
第4题
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解：把直线AB沿y轴向上平移4个单位长度，得到直线CD，∴ 直线CD对应的函数表达式为y＝2x＋1＋4＝2x＋5.在y＝2x＋1中，令y＝0，则x＝－ ，
∴ A .在y＝2x＋5中，令y＝0，则x＝－ ，∴ C .∴ AC＝－ － ＝2
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类型二 常数项b决定一次函数图象与y轴
交点的位置
5. 无论a为何值，关于x的函数y＝－3x＋a2＋1的图象都不经过（ C ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如果直线y＝kx＋（2m－6）（k≠0）与y轴的交点在x轴的下方，那么m的取值范围是 m＜3 .
C
m＜3
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类型三 根据图象判断系数的取值范围
7. （数形结合思想）四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx＋1，y＝dx－3的图象如图所示，则a、b、c、d之间的大小关系是（ B ）
A. b＞a＞d＞c
B. a＞b＞c＞d
C. a＞b＞d＞c
D. b＞a＞c＞d
第7题
B
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8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象分别为直线l1、l2.下列结论正确的是（ A ）
A. b1＋b2＞0 B. b1b2＞0
C. k1＋k2＜0 D. k1k2＜0
A
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9. 如图所示为关于x的一次函数y＝（1－k）x＋k的图象，则k的取值范围是 0＜k＜1 .
0＜k＜1
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类型四 根据字母系数的取值确定图象的位置
10. （2025·长春德惠段考）若点（a，b）在第二象限，则函数y＝ax＋b的图象大致是（ D ）
D
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11. 若m＜－2，则一次函数y＝（m＋1）x＋1－m的图象可能是（ D ）
D
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12. 一次函数y1＝kx－k与y2＝－x在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ C ）
C
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13. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax＋b和y2＝－bx＋a的图象可能是（ D ）
D
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类型五 综合运用一次函数的图象与性质求系数的值或范围
14. 已知关于x的一次函数y＝（2m＋4）x＋3－m.
（1） 当y随x的增大而增大时，求m的取值范围；
解：（1） 根据题意，得2m＋4＞0，解得m＞－2
（2） 若该函数的图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围；
解：（2） 根据题意，得 解得－2＜m＜3
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（3） 若m＝1，当－1≤x≤2时，求y的取值范围.
解：（3） 将m＝1代入y＝（2m＋4）x＋3－m，得y＝6x＋2.当x＝－1时，y＝－4；当x＝2时，y＝14.∵ k＝6＞0，∴ y随x的增大而增大.∴ y的取值范围是－4≤y≤14
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15. 已知关于x的一次函数y＝mx＋4m－2.
（1） 若该函数的图象经过原点，求m的值.
解：（1） ∵ 该函数的图象经过原点，∴ 当x＝0时，y＝0.∴ 4m－2＝0，解得m＝
（2） 若该函数的图象不经过第四象限，则y随x的增大如何变化？求m的取值范围.
解：（2） ∵ 该函数的图象不经过第四象限，则y随x的增大而增大，且 解得m≥
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（3） 不论m取何值，该函数的图象都经过一个定点，求这个定点的坐标.
解：（3） 一次函数y＝mx＋4m－2可变形为m（x＋4）＝y＋2.∵ 不论m取何值，该函数的图象都经过一个定点，∴ x＋4＝0，y＋2＝0，解得x＝－4，y＝－2.∴ 这个定点的坐标为（－4，－2）
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第16章 函数及其图象
小专题（五） 一次函数与面积问题
类型一 直接利用面积公式求面积——三角形的边在坐标轴上或与坐标轴平行
1. 如图，一次函数y1＝－x－2与y2＝x－4的图象相交于点A，与x轴分别相交于点B、C，则△ABC的面积为 9 .
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2. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝－x＋b的图象相交于点A（4，3），一次函数y＝－x＋b的图象与y轴交于点D. 过点P（0，4）作x轴的平行线，分别交y＝kx与y＝－x＋b的图象于点B、C，连结OC. 求：
（1） 这两个函数的表达式；
解：（1） ∵ 正比例函数y＝kx与一次函数y＝－x＋b的图象相交于点A（4，3），∴ 3＝4k，3＝－4＋b，解得k＝ ，b＝7.∴ 正比例函数的表达式为y＝ x，一次函数的表达式为y＝－x＋7
第2题
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（2） △BOC的面积.
解：（2） ∵ PC∥x轴，P（0，4），∴ 把y＝4代入y＝ x，解得x＝ .∴ B .把y＝4代入y＝－x＋7，解得x＝3.∴ C（3，4）.∴ BC＝ －3＝ .又∵ 点P的坐标为（0，4），∴ OP＝4.∴ S△OBC＝ BC·OP＝ × ×4＝
第2题
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类型二 利用和差法求面积
3. 如图，一次函数y＝2x＋4与y＝－x－2的图象都经过点A，且与y轴分别交于点B、C，若点D（m，2）在一次函数y＝2x＋4的图象上，则△ACD的面积为（ A ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
A
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4. 如图，一次函数y＝x＋1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx＋b的图象经过点B（0，－1），并且与x轴以及一次函数y＝x＋1的图象分别交于点C、D，点D的横坐标为1.求：
（1） 一次函数y＝kx＋b的表达式；
解：（1） 把x＝1代入y＝x＋1，得y＝1＋1＝2，∴ D（1，2）.∵ 一次函数y＝kx＋b的图象经过点B（0，－1）、D（1，2），∴ 解得 ∴ 一次函数的表达式为y＝3x－1
第4题
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4
（2） 四边形AOCD的面积（即图中涂色部分的面积）.
解：（2） 连结OD. 由y＝x＋1，当x＝0时，y＝1，∴ A（0，1）.由y＝3x－1，当y＝0时，3x－1＝0，解得x＝ .
∴ C . 由（1）得，D（1，2），∴ S四边形AOCD＝S△AOD＋S△COD＝ ×1×1＋ × ×2＝
第4题
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4(共13张PPT)
第16章 函数及其图象
小专题（七） 一次函数与反比例函数的综合
类型一 反比例函数与一次函数图象的位置判断
1. （2025·长春二道期中）反比例函数y＝ 与一次函数y＝mx－m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ C ）
C
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类型二 反比例函数与一次函数的图象和性质
2. 如图，直线y＝kx＋1与双曲线y＝ 在第一象限内交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于点A、B，则下列结论错误的是（ D ）
A. t＝2
B. △AOB是等腰直角三角形
C. k＝1
D. 当x＞1时， ＞kx＋1
D
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7
3. 函数y＝x（x≥0）和y＝ （x＞0）的图象如图所示.有下列结论：① 两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；② 当x＞2时， ＞x；③ 直线x＝1分别与两函数图象相交于B、C两点，则S△OBC＝ ；④ 函数y＝x（x≥0）的值随x的增大而增大，函数y＝ （x＞0）的值随x的增大而减小.其中，正确的是 ①③④ （填序号）.
①③
④
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类型三 与面积有关的双图象问题
4. （2025·扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A（－1，6）、B（m，－2）.求：
（1） 反比例函数、一次函数的表达式；
解：（1） 将点A（－1，6）代入y＝ ，得6＝ ，解得k＝－6.
∴ 反比例函数的表达式为y＝－ .将点B（m，－2）代入y＝－ ，得－2＝－ ，解得m＝3.∴ B（3，－2）.将点A（－1，6）、B（3，－2）代入y＝ax＋b，得 解得
∴ 一次函数的表达式为y＝－2x＋4
第4题
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（2） △OAB的面积.
解：（2） 设一次函数的图象与x轴的交点为C. 由y＝－2x＋4，当y＝0时，－2x＋4＝0，解得x＝2.∴ C（2，0）.∴ OC＝2.由（1）得，A（－1，6）、B（3，－2），∴ △AOC的边OC上的高为6，△BOC的边OC上的高为2.∴ △OAB的面积为S△AOC＋S△BOC＝ ×2×6＋ ×2×2＝8
第4题
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5. （2025·达州）如图，直线y＝kx＋b（k≠0）与双曲线y＝ （m≠0）交于点A（2，2）、B（－4，a）.
（1） 求一次函数与反比例函数的表达式；
解：（1） ∵ 双曲线y＝ （m≠0）经过点A（2，2）、B（－4，a），∴ m＝2×2＝4＝－4a.∴ a＝－1.∴ B（－4，－1），反比例函数的表达式为y＝ .∵ 直线y＝kx＋b（k≠0）经过点A（2，2）、B（－4，－1），∴ 解得 ∴ 一次函数的表达式为y＝ x＋1
第5题
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（2） 若点P在x轴上，且S△AOP＝3，求点P的坐标.
解：（2） ∵ 点P在x轴上，S△AOP＝3，∴ OP×yA＝3.∴ OP×2＝3.∴ OP＝3.∴ 点P的坐标为（3，0）或（－3，0）
第5题
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类型四 反比例函数与一次函数中的最值问题
6. 如图，正比例函数y＝ x的图象与反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为M，△OAM的面积为1，B为该反比例函数图象上的一点（点B不与点A重合），且点B的横坐标为1.若点P在x轴上，则当PA＋PB的值最小时，点P的坐标为 .
第6题
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类型五 反比例函数与一次函数的实际应用
7. （新趋势·跨学科）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业所排污水进行检测，结果显示所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1 mg/L. 环保局要求该企业立即整改，在15天内（含第15天）排污达标.在整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示.其中，线段AC表示前3天的变化规律，第3天所排污水中硫化物的浓度降为4.5 mg/L. 从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）满足下表中的关系.
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时间x/天 3 5 6 9 …
硫化物的浓度y/（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …
（1） 在整改过程中，求当0≤x＜3时，y与x之间的函数表达式.
解：（1） 设线段AC所在直线对应的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.将（0，12）、（3，4.5）代入，得 解得 ∴ y＝－2.5x＋12（0≤x＜3）
第7题
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7
（2） 在整改过程中，求当x≥3时，y与x之间的函数表达式.
解：（2） ∵ 3×4.5＝5×2.7＝6×2.25＝9×1.5＝13.5，∴ 当x≥3时，y是x的反比例函数.∴ 易得函数表达式为y＝ （x≥3）
第7题
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7
（3） 该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天内达标？为什么？
解：（3） 能 当x＝15时，y＝ ＝0.9.∵ 0.9＜1，∴ 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天内达标
第7题
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第16章 函数及其图象
小专题（六） 函数图象信息题
类型一 整理信息，识别图象
1. 某学校要种植一块面积为200 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于10 m，则草坪的一边长y（m）随另一边长x（m）的变化而变化的图象可能是（ C ）
C
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2. 小明和小英一起去上学.小明觉得要迟到了，就跑步上学，跑了一会跑累了，便停下来走路去学校；小英开始是走路去学校，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明.在如图所示的四幅图象中，第 ② 幅能大致刻画小明的行为（填序号）.
②
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类型二 观察图象，获取信息
3. （2025·长春绿园三模）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示.这个容器的形状可能是（ B ）
B
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4. （2024·长春绿园段考）小红星期天从家骑车去舅舅家做客，当她骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图所示为小红离家的距离（米）与时间（分）之间的函数图象.
根据图象回答下列问题：
（1） 该情境中的自变量是 时间 ，
因变量是 离家的距离 .
时间
离家的距离
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（2） 小红途中折回给表弟买礼物比直接去舅舅家多骑多少米？
解：（2） 小红途中折回给表弟买礼物比直接去舅舅家多骑（1200－600）×2＝1200（米）
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（3） 小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是多少？
解：（3） 小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是（1500－600）÷（14－12）＝450（米/分）
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（4） 当小红骑车距离商店300米时，直接写出时间.
解：（4） 1分钟、3分钟、6分钟、12 分钟
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类型三 利用函数图象解决实际问题
5. （2025·长春期中）某市为了倡导居民节约用水，生活用水按阶梯式水价计费.如图所示为居民每户每月的水费y（元）与所用的水量x（吨）之间的函数图象.根据图象提供的信息，解答下面的问题：
（1） 当17≤x≤30时，求y与x之间的函数表达式；
解：（1） 当17≤x≤30时，设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）.将（20，66）和（30，116）分别代入，得 解得
∴ 17≤x≤30时，y与x之间的函数表达式为y＝5x－34（17≤x≤30）
第5题
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（2） 当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费.
解：（2） 当x＝17时，y＝5×17－34＝51，∴ 当0≤x≤17时，设y与x之间的函数表达式为y＝mx.将（17，51）代入，得51＝17m，解得m＝3.∴ 当0≤x≤17时，y与x之间的函数表达式为y＝3x.当x＝15时，y＝3×15＝45，∴ 这户居民这个月的水费是45元
第5题
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类型四 分析图象，判断结论
6. （数形结合思想）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度）.如图，线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系.有下列说法：① 两车同时到达乙地；② 轿车行驶过程中进行了提速；③ 货车出发3.9小时后，轿车追上货车；④ 两车在前80千米的速度相等.其中，正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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类型五 动点问题
7. （分类讨论思想）已知动点P以3cm/s的速度沿如图①所示的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动，记△ABP的面积为y（cm2），y与运动时间t（s）之间的关系如图②所示.若AB＝9cm，请解答下列问题：
（1） 图①中BC的长为 12 cm，CD的长为 6 cm，DE的长为 9 cm；
（2） 求图①中图形的面积；
解：（2） ∵ AB＝9cm，CD＝6cm，∴ 易得EF＝3cm.∴ 图①中图形的面积为12×9＋9×3＝135（cm2）
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（3） 求图②中m、n的值；
解：（3） 由图，可知m＝ ×9×12＝54，n＝（12＋6＋9＋3＋12＋9）÷3＝17
（4） 分别求出当动点P在BC上运动和在DE上运动时，y与t之间的函数表达式，并写出t的取值范围.
解：（4） 当动点P在BC上运动，即0≤t≤4时，y＝ ×9×3t＝ t.当动点P在DE上运动，即6≤t≤9时，y＝ ×9×[12＋3（t－6）]＝ t－27
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第16章 函数及其图象
16.3 一次函数
16.3.2 一次函数的图象
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基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
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1. （2025·长春绿园段考）当k＜0时，一次函数y＝kx－1的图象大致是（ A ）
A
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2. 关于函数y＝－kx（k＜0），下列说法中错误的是（ D ）
A. 它是正比例函数
B. 图象经过点（1，－k）
C. 图象经过第一、三象限
D. 它的图象不经过原点
3. （2025·长春二道期末）点P（a，b）在一次函数y＝3x－2的图象上，则代数式6a－2b＋1的值为（ D ）
A. －1 B. －3
C. 3 D. 5
D
D
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4. （教材变式）（2025·长春朝阳期中）将直线y＝3x＋4向下平移3个单位长度，得到的直线对应的函数表达式为（ D ）
A. y＝3x＋7 B. y＝3x－5
C. y＝3x＋13 D. y＝3x＋1
D
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5. （教材变式）在同一平面直角坐标系中，有下列函数：① y＝x＋1；② y＝2x；③ y＝2x－1；④ y＝2x＋b.关于它们的图象的关系，下列说法中不正确的是（ C ）
A. ②的图象可由③的图象平移得到
B. ②和④的图象可能互相平行
C. ①的图象可由②的图象平移得到
D. ③和④的图象可能互相平行
C
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6. 在平面直角坐标系中，请写出直线y＝2x上的一个点的坐标： 答案不唯一，如（1，2） .
7. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x＋a的图象经过点（0，－4），则a的值为 －4 ，图象与x轴的交点坐标是 .
8. （2024·开封期末）把直线y＝3x＋2向下平移4个单位长度后，得到的直线与y轴的交点坐标是 （0，－2） .
9. （易错题）（2025·长春朝阳段考）若直线y＝ax＋b不经过第一象限，则ab ≥ 0.
答案不唯
一，如（1，2）
－4
（0，－2）
≥
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（1） 求点B的坐标；
解：（1） 在y＝ x＋4中，令x＝0，得y＝4.∴ 点B的坐标为（0，4）
10. （教材变式）一次函数y＝ x＋4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点.
（2） 请在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
解：（2） 在y＝ x＋4中，令y＝0，得x＝－6.∴ 点A的坐标为（－6，0）.画出该函数的图象如图所示
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（3） 若C是该函数图象上的动点，当△OBC的面积为6时，求点C的坐标.
解：（3） 设点C的坐标为 ，则点C到y轴的距离为｜a｜.∵ 点B的坐标为（0，4），∴ OB＝4.∵ △OBC的面积为6，∴ OB·｜a｜＝6，即 ×4×｜a｜＝6，解得a＝±3.∴ 点C的坐标为（3，6）或（－3，2）
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11. 若m为常数且m＜5，则一次函数y＝（m－6）x＋7－m的图象可能是（ B ）
B
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12. 在平面直角坐标系中，将函数y＝3x－1的图象向上平移7个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ B ）
A. （2，0） B. （－2，0）
C. （6，0） D. （－6，0）
B
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13. （新考法·开放题）请写出一个一次函数的表达式，使其图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交： 答案不唯一，如y＝x＋1 .
14. （2025·长春南关期中）若直线y＝－2x＋1向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点（1，－3），则m的值为 2 .
15. 已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，且点P'在直线y＝kx＋3上，把直线y＝kx＋3向上平移2个单位长度，求所得直线对应的函数表达式.
解：∵ 点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，∴ 点P'的坐标为（1，－2）.将P'（1，－2）代入y＝kx＋3，得k＋3＝－2，解得k＝－5.∴ y＝－5x＋3.∴ 把直线y＝－5x＋3向上平移2个单位长度，所得直线对应的函数表达式为y＝－5x＋5
答案不唯一，如y＝x＋1
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16. （数形结合思想）一次函数y＝x－1的图象是一条直线，函数y＝｜x｜－1的图象具有怎样的形状呢？根据绝对值的意义，可知当x≥0时，｜x｜＝x，则y＝x－1；当x＜0时，｜x｜＝－x，则y＝－x－1.因此，我们可以作出y＝－x－1在y轴左侧的部分图象，同时作出y＝x－1在y轴及其右侧的部分图象，这两条射线结合起来即函数y＝｜x｜－1的图象，如图①所示.
（1） 这个图象有什么特点（写出两条即可）？
解：（1） 答案不唯一，如这个图象由两条射线组成，且这两条射线关于y轴对称；图象有最低点（0，－1）
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（2） 通过对直线y＝x－1进行怎样的变换可得到函数y＝｜x｜－1的图象？
解：（2） 把直线y＝x－1在y轴左侧的部分关于直线y＝－1对称，y轴及其右侧的部分不变，这样可得到函数y＝｜x｜－1的图象
（3） 根据（1）（2）中得到的启发，请你在图②中作出函数y＝－2｜x｜＋1的图象.
解：（3） 如图②所示
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第16章 函数及其图象
16.2 函数的图象
16.2.1 平面直角坐标系
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·长春绿园段考）在平面直角坐标系中，点P（－2，3）位于（ B ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. （2025·长春南关期末）在平面直角坐标系中，点A（－4，3）到y轴的距离是（ A ）
A. 4 B. 3
C. －4 D. －3
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3. （2025·衡阳衡南期中）在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ B ）
A. （2，1） B. （－2，1）
C. （2，－1） D. （－2，－1）
4. （2025·长春二道期中）在平面直角坐标系中，点A到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，且在第四象限，则点A的坐标是（ D ）
A. （1，－3） B. （－1，－3）
C. （－3，－1） D. （3，－1）
B
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5. 在平面直角坐标系中，点P（m－2，m＋1）在第二象限，则m的取值范围是（ C ）
A. m＜－1 B. m＞2
C. －1＜m＜2 D. m＞－1
6. 已知点P（－2，3）、Q（－2，－6），则直线PQ与x轴、y轴的位置关系分别为（ C ）
A. 相交、相交 B. 平行、平行
C. 垂直、平行 D. 平行、垂直
C
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7. （2024·长春二道段考）在平面直角坐标系中，点P（－1，m2＋1）在第 二 象限.
8. 已知a为正整数，点P（4，2－a）在第一象限，则a的值为 1 .
9. （2025·衡阳期中）若点P（m＋3，m＋1）在x轴上，则点P的坐标为 （2，0） .
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解：（1） 点A、B、C、D如图所示
10. （教材变式）如图所示为一个平面直角坐标系.
（1） 请在图中标出下列各点的位置：A（2，3）、B（－1，2）、C（4，－3）、D（－3，－3）.
（2） 在图中作出点A关于x轴的对称点E，并写出点E的坐标，它与点A的坐标有什么关系？
解：（2） 点E如图所示 点E的坐标为（2，－3），它与点A的横坐标相同，纵坐标互为相反数
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（3） 在图中作出点B关于y轴的对称点F，并写出点F的坐标，它与点B的坐标有什么关系？
解：（3） 点F如图所示 点F的坐标为（1，2），它与点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同
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11. 下列说法中，不正确的是（ D ）
A. 点A（－a2－1，｜b｜＋1）一定在第二象限
B. 点P（－2，3）到y轴的距离为2
C. 若y＝0，则点P（x，y）在x轴上
D. 若xy＝0，则点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上
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12. 已知点A（7，－3）与点B（x，y）在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为4，则点B的坐标为（ A ）
A. （7，－4）或（7，4）
B. （7，4）或（－7，4）
C. （7，－4）或（－7，－4）
D. （7，－4）或（－7，4）
A
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13. 已知点P（a，1－3a）在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为5，则点P的坐标为 （－1，4） .
14. （易错题）已知点A（1，0）、B（0，2），点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为 （6，0）或（－4，0） .
（－1，4）
（6，0）或（－4，0）
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（1） A、B两点关于y轴对称；
解：（1） ∵ 点A（a，－5）、B（8，b）关于y轴对称，∴ a＝－8，b＝－5
（2） A、B两点关于x轴对称；
解：（2） ∵ 点A（a，－5）、B（8，b）关于x轴对称，∴ a＝8，b＝5
（3） AB∥y轴；
解：（3） ∵ AB∥y轴，∴ a＝8，b为不等于－5的任意实数
（4） A、B两点在第二、四象限的角平分线上.
解：（4） ∵ A、B两点在第二、四象限的角平分线上，∴ a＝5，b＝－8
15. 已知点A（a，－5）、B（8，b），根据下列要求确定a、b的值.
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16. （新考法·新定义题）对于平面直角坐标系中的任意一点P（x，y），给出如下定义：若a＝2x－y，b＝x＋y，则将M（a，b）、N（b，a）称为点P的一对“关联点”.例如，点P（2，3）的一对“关联点”是（1，5）、（5，1）.
（1） 点Q（4，3）的一对“关联点”是 （5，7） 与 （7，5） ；
（2） 若点A（x，8）的一对“关联点”重合，求x的值；
解：（2） 由题意，得2x－8＝x＋8，解得x＝16
（5，7）
（7，5）
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（3） 若点B的一个“关联点”的坐标是（－1，7），求点B的坐标.
解：（3） 设点B的坐标为（m，n）.由题意，得 或 解得 或 ∴ 点B的坐标为（2，5）或（2，－3）
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第16章 函数及其图象
16.3 一次函数
16.3.1 一次函数
01
基础过关
02
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03
思维拓展
目
录
1. （2025·上海）下列函数中，属于正比例函数的是（ D ）
A. y＝3x＋1 B. y＝3x2
C. y＝ D. y＝
2. 有下列函数：① y＝ ＋3；② y＝3（3－x）；③ y＝－x2＋x；④ y＝－ ；⑤ y＝5.其中，是一次函数的为（ B ）
A. ①②④ B. ②④
C. ①③⑤ D. ②④⑤
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3. （2024·海口琼山段考）为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学老师购买了5包卡通橡皮和x包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费y元，则y关于x的函数表达式为（ D ）
A. y＝5x＋6 B. y＝12x＋30
C. y＝8x＋12 D. y＝30x＋60
4. 下列说法中，正确的是（ A ）
A. 正比例函数是一次函数
B. 不是正比例函数就不是一次函数
C. 正比例函数不是一次函数
D. 一次函数是正比例函数
D
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5. （易错题）（2025·海口琼山段考）函数y＝（m－2） ＋6是y关于x的一次函数，则m＝ －2 .
6. 某人购进一批苹果到农贸市场零售.已知卖出的苹果数量x（千克）与收入y（元）之间的关系如下表：
x/千克 1 2 3 4 …
y/元 2＋0.1 4＋0.2 6＋0.3 8＋0.4 …
则y与x之间的函数表达式为 y＝2.1x ，该函数 是 一次函数， 是 正比例函数（填“是”或“不是”）.
－2
y＝2.1x
是
是
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7. 某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，现在每桶水的销售价格为8元，如果用x（桶）表示每天的销售数量，用y（元）表示每天的利润（利润＝总销售额－售出水的成本－固定成本）.
（1） 试写出y与x之间的函数表达式；
解：（1） y与x之间的函数表达式为y＝8x－5x－200＝3x－200
（2） 若现在固定成本增加了5％，每桶水的进价增加了1元，试写出此时y与x之间的函数表达式.
解：（2） y与x之间的函数表达式为y＝8x－（5＋1）x－200×（1＋5％）＝2x－210
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8. （教材变式）某自行车保管站在某个星期日接收自行车共550辆，其中电动自行车的保管费是每辆1.5元，普通自行车的保管费是每辆1元.
（1） 设普通自行车的数量为x辆，总保管费为y元，试写出y与x之间的函数表达式，并判断其是否为一次函数或正比例函数；
解：（1） 由题意，得y＝1×x＋1.5×（550－x）＝－0.5x＋825（0≤x≤550）.∴ y关于x的函数是一次函数
（2） 若总保管费为650元，则电动自行车和普通自行车各有多少辆？
解：（2） 当y＝650时，－0.5x＋825＝650，解得x＝350.∴ 550－350＝200（辆），即电动自行车有200辆，普通自行车有350辆
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9. 有下列函数：① y＝ ；② y＝－ ；③ y＝3－ x；④ y＝3x2－2；⑤ y＝x2－（x－3）（x＋2）；⑥ y＝6x.其中，是一次函数的有（ C ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
10. 某工人生产一种零件，完成定额20个，每天收入28元，若超额生产1个零件，则收入增加1.5元.写出该工人每天的收入y（元）关于他生产的零件数量x（个）（x≥20）的函数表达式： y＝1.5x－2 ，该函数是 一次 函数.
C
y＝1.5x－2
一次
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（1） 当m ≠3 时，y＝（m－3）x＋｜m｜－3是一次函数；
（2） 当m ＝－3 时，y＝（m－3）x＋｜m｜－3是正比例函数.
≠3
＝－3
11. 已知y＝（m－3）x＋｜m｜－3.
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12. （新情境·日常生活）某村组织村民加工板栗并进行销售，根据现有的原材料，预计可以加工相同规格的普通和精品两种板栗共5000袋，每袋的售价和成本如下表：
售价/（元/袋） 成本/（元/袋）
普通板栗 15 10
精品板栗 25 15
设加工普通板栗x袋，销售这两种板栗所获得的总利润为y元.
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（1） 求y与x之间的函数表达式；
解：（1） 根据题意，得y＝（15－10）x＋（25－15）·（5000－x）＝－5x＋50000（0≤x≤5000）
（2） 若这5000袋板栗的成本为61000元，则此时的销售总利润为多少？
解：（2） 根据题意，得10x＋15·（5000－x）＝61000，解得x＝2800.∴ y＝－5×2800＋50000＝36000，即此时的销售总利润为36000元
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13. 某校准备组织师生共60人从甲地乘动车前往乙地参加夏令营活动，动车票的价格如下表（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）：
运行区间 成人票价/（元/张） 学生票价/（元/张）
出发站 终点站 一等座 二等座 二等座
甲地 乙地 26 22 16
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若师生均购买二等座票，则共需要1020元.
（1） 参加活动的教师有 10 人，学生有 50 人.
（2） 由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票.设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票的全部费用为y元.
① 求y关于x的函数表达式；
10
50
② 若购买一、二等座票全部费用不多于1 032元，则提早前往的教师最多有多少人？
解：① 根据题意，得y＝26x＋22（10－x）＋16×50＝4x＋1 020
② 根据题意，得4x＋1 020≤1 032，解得x≤3.∴ 提早前往的教师最多有3人
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第16章 函数及其图象
16.4 反比例函数
16.4.1 反比例函数
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思维拓展
目
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1. （2025·衡阳石鼓期中）下列函数中，是反比例函数的为（ B ）
A. y＝ x B. y＝
C. y＝x2 D. y＝x＋
2. （易错题）已知关于x的函数y＝（m－2）·x｜m｜－3是反比例函数，则m的值是（ C ）
A. ±2 B. 2 C. －2 D. ±1
B
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3. 如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，那么y与x之间的函数表达式为（ C ）
A. y＝ B. y＝
C. y＝ D. y＝
4. 某工程队计划铺轨l千米，铺轨时间为t（天），每天铺轨量为s（千米）.有下列结论：① 当l一定时，t是s的反比例函数；② 当t一定时，l是s的反比例函数；③ 当s一定时，l是t的反比例函数.其中，正确的是（ A ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①②③
C
A
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5. 有下列函数：① y＝ x；② y＝ ；③ y＝－ ；④ y＝ （k≠0，k为常数）.其中，属于反比例函数的是 ②③ （填序号），反比例函数的系数分别为 π、－1 .
6. （1） 已知函数y＝ 是反比例函数，则m的值为 －1 ；
（2） 已知反比例函数的表达式为y＝ ，则a的取值范围是 a≠±2 .
②③
π、－1
－1
a≠±2
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7. 已知反比例函数y＝ .
（1） 写出这个函数的比例系数和自变量的取值范围；
解：（1） 比例系数是8，自变量的取值范围是x≠0
（2） 当x＝－ 时，求函数y的值；
解：（2） 当x＝－ 时，y＝－16
（3） 当y＝－3 时，求自变量x的值.
解：（3） 当y＝－3时，x＝－
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8. （教材变式）用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数.
（1） 长100 m的绳子剪下x m后，还剩y m；
解：（1） 由题意，得y＝100－x，不是反比例函数
（2） 买单价为8元的笔记本x本，共用了y元；
解：（2） 由题意，得y＝8x，不是反比例函数
（3） 以x L/min的速度向容积为20 L的水池中注水，注满水池需y min.
解：（3） 由题意，得y＝ ，是反比例函数
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9. 有下列函数：① xy＝1；② y＝ ；③ y＝kx－1（k≠0）；④ y＝3－x.其中，y是x的反比例函数的有（ A ）
A. ①②③ B. ②③④
C. ①③④ D. ①②④
A
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10. 下列两个量为反比例函数关系的是（ D ）
A. 正方形的面积S与边长a
B. 正方形的周长L与边长a
C. 长方形的长为a，宽为20，其面积S与a
D. 长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b
11. 某农家计划利用已有的一堵长为8米的墙，围成一个面积为12平方米的长方形菜园.现有可用的篱笆总长为10.5米，若要使菜园的长、宽都是整米数，则围法一共有（ A ）
A. 2种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
D
A
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12. 某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将整池水全部排空.现在平均排水量为每小时Q立方米，将整池水排空所需要的时间为t小时，则t与Q之间的函数表达式为 t＝ ，该函数为 反比例 函数.
t＝
反比例
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（1） 当m、n为何值时，该函数为一次函数？
解：（1） 由题意，得2－n＝1，5m－3≠0，解得n＝1，m≠
（2） 当m、n为何值时，该函数为正比例函数？
解：（2） 由题意，得 解得
（3） 当m、n为何值时，该函数为反比例函数？
解：（3） 由题意，得 解得
13. 已知关于x的函数 y＝（5m－3）x2－n＋（m＋n）.
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14. （新情境·日常生活）李叔叔驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶路程为480 km.设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程速度限定为不超过120 km/h.
（1） 求v关于t的函数表达式.
解：（1） ∵ vt＝480，且全程速度限定为不超过120 km/h，∴ v关于t的函数表达式为v＝ （t≥4）
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① 李叔叔需在当天12：48至14：00（含12：48和14：00）间到达B地，求v的取值范围.
（2） 李叔叔上午8：00驾驶小汽车从A地出发.
解：（2） ① 8：00至12：48间的时长为 h，8：00至14：00间的时长为6 h.将t＝6代入v＝ ，得v＝80；将t＝ 代入v＝ ，得v＝100.∴ v的取值范围是80≤v≤100
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② 李叔叔能否在当天11：30前到达B地？请说明理由.
解：② 李叔叔不能在当天11：30前到达B地 理由：8：00至11：30间的时长为 h.将t＝ 代入v＝ ，得v＝ .∵ ＞120，超速了，∴ 李叔叔不能在当天11：30前到达B地.
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第16章 函数及其图象
16.3 一次函数
16.3.3 一次函数的性质
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02
能力进阶
03
思维拓展
目
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1. （2024·新疆生产建设兵团）若一次函数y＝kx＋3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ D ）
A. －2 B. －1 C. 0 D. 1
2. （2025·长春期末）下列关于直线y＝－3x＋1的结论中，正确的是（ C ）
A. 图象必经过点（1，－4）
B. 图象经过第一、二、三象限
C. 当x＞1时，y＜－2
D. y随x的增大而增大
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3. 在正比例函数y＝kx（k≠0）中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx－k的大致图象是（ A ）
A
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4. （2025·临汾永和三模）若点A（－2，y1）、B（3，y2）、C（1，y3）在一次函数y＝2025x＋m（m是常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ C ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3
C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y2＞y1
C
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5. （新考法·开放题）已知直线y＝kx＋b经过第一象限，且y随x的增大而减小，请写出这样的一条直线对应的函数表达式： 答案不唯一，如y＝－x＋1 .
6. （2025·临汾曲沃期中）一次函数y＝（m－1）x＋m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m＝ 2 .
7. 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）均在一次函数y＝（a－2）x＋1的图象上，且当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是 a＜2 .
答案不唯一，如y＝－x＋
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（1） 在这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎么变化？
（1） 随着自变量x的增大，函数值y增大，它的图象从左到右上升
（2） 当x在什么取值范围内时，y＞0？
（2） 当x＞－3时，y＞0
（3） 当x在什么取值范围内时，y≤0？
解：如图所示
8. （教材变式）画出函数y＝ x＋ 的图象，并结合图象回答问题.
（3） 当x≤－3时，y≤0
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9. 已知一次函数y＝k（x－3）（k≠0）.
（1） 求证：点（3，0）在该函数的图象上.
解：（1） 在y＝k（x－3）中，令x＝3，得y＝0，∴ 点（3，0）在该函数的图象上
（2） 若k＜0，点A（x1，y1）、B（x2，y2）均在该函数的图象上，且y1＜y2，判断x1－x2＜0是否成立？请说明理由.
解：（2） x1－x2＜0不成立 理由：∵ y＝k（x－3）＝kx－3k，若k＜0，则y随x的增大而减小.∵ 点A（x1，y1）、B（x2，y2）均在该函数的图象上，且y1＜y2，∴ x1＞x2.∴ x1－x2＞0.∴ x1－x2＜0不成立.
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10. 下列关于函数y＝kx＋b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（ D ）
A. 图象经过第一、二、四象限
B. y随x的增大而减小
C. 图象与y轴交于点（0，b）
D. 当x＞－ 时，y＞0
D
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11. （易错题）若一次函数y＝kx＋b（b≥0）的图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），满足（x1－x2）（y1－y2）＜0，则该一次函数的图象一定不经过（ C ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
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12. （教材变式）若（－1，m）、 是直线y＝（k2－1）x＋b（0＜k＜1）上的两点，则m、n之间的大小关系为 m＞n （用“＞”连接）.
13. 若关于x的一次函数y＝－2mx－（｜m｜－2）的图象经过原点，且y随x的增大而增大，则m的值为 －2 .
m＞n
－2
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（1） 求m的值；
解：（1） ∵ 一次函数y＝（3－m）x＋2m－9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，∴ 解得3＜m＜4.5.又∵ m为整数，∴ m＝4
（2） 当－1≤x≤2时，求y的取值范围.
解：（2） 由（1），知m＝4，则该一次函数的表达式为y＝－x－1.∵ －1≤x≤2，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝－3，∴ y的取值范围是－3≤y≤0
14. （教材变式）已知一次函数y＝（3－m）x＋2m－9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数.
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15. （数形结合思想）已知函数y＝（1－m）x｜m－3｜－1＋m－7是一次函数.
（1） 求出m的值，写出函数表达式，并画出该函数的图象.
解：（1） 根据题意，得 解得m＝5.∴ 函数表达式为y＝－4x－2.该函数的图象如图所示
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解：（2） ① 随着自变量x的增大，函数值y减小，它的图象从左到右下降
② 当x＝－ 时，y＝0；当x＜－ 时，y＞0；当x＞－ 时，y＜0
（2） 结合图象回答下面的问题：
① 在这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y增大还是减小？它的图象从左到右怎么变化？
② 当x满足什么条件时，y＝0，y＞0，y＜0？
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15(共15张PPT)
第16章 函数及其图象
16.4 反比例函数
16.4.2 反比例函数的图象和性质
01
能力进阶
02
思维拓展
目
录
1. 反比例函数y＝－ 的图象一定经过的点是（ D ）
A. （2，6） B. （－4，－3）
C. （－3，－4） D. （6，－2）
D
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2. （易错题）（2025·浙江）已知反比例函数y＝ ，下列结论正确的是（ C ）
A. 函数图象在第一、三象限
B. y随x的增大而减小
C. 函数图象在第二、四象限
D. y随x的增大而增大
C
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3. （2024·衡阳珠晖期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ 和y＝kx＋2的大致图象是（ C ）
C
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4. （2025·衡阳期中）如果点A（－2，y1）、B（－1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是（ D ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2
C. y3＜y2＜y1 D. y3＜y1＜y2
D
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5. 已知y是关于x的反比例函数，且当x＝2时，y＝－2；当x＝m时，y＝1，则m的值为 －4 .
6. （2025·长春公主岭段考）已知反比例函数y＝ ，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＞－1 .
7. 如图，点A在双曲线y＝ 上，AB⊥x轴于点B，且S△AOB＝3，则k的值为 －6 .
－4
k＞－1
－6
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8. （教材变式）已知反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象经过点A .
（1） 求这个函数的表达式；
解：（1） 将A 代入y＝ ，可得k＝－3.∴ 这个函数的表达式为y＝－
（2） 画出函数的图象；
解：（2） 如图所示
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（3） 判断点B（－3，－1）、C 是否在该函数的图象上；
解：（3） 令x＝－3，则y＝1≠－1.∴ 点B不在该函数的图象上.令x＝5，则y＝－ .∴ 点C在该函数的图象上
（4） 当1＜x≤3时，根据图象直接写出y的取值范围.
解：（4） －3＜y≤－1
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9. （2025·长春德惠二模）已知点A（m，y1）和B（n，y2）均在反比例函数y＝－ 的图象上，且m＜0＜n，则下列结论正确的是（ C ）
A. y1＋y2＜0 B. y1y2＞0
C. y1y2＜0 D. y1＋y2＞0
C
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10. 如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝ （x＞0）和y＝ （x＞0）的图象交于P、Q两点.若S△POQ＝15，则k的值为（ D ）
A. 38
B. 22
C. －7
D. －22
第10题
D
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11. 已知点（2a－1，y1）、（a，y2）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上.若0＜y1＜y2，则a的取值范围是 a＞1 .
a＞1
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（1） 若y随x的增大而增大，求k的取值范围；
解：（1） ∵ y随x的增大而增大，∴ k＜0.∵ k＞－2，且k≠0，∴ －2＜k＜0
（2） 若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值.
解：（2） 当－2＜k＜0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，∴ －k＝1，解得k＝－2（不合题意，舍去）.当k＞0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，∴ k－ ＝1，解得k＝2.综上所述，若该函数的最大值与最小值的差是1，则k的值为2
12. 已知反比例函数y＝ ，其中k＞－2，且k≠0，1≤x≤2.
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解：（1） ∵ 点A（－1，2）在反比例函数y＝ （n≠0）的图象上，∴ 2＝ ，解得n＝－2.∴ 反比例函数的表达式为y＝－ .∵ 点B（m，－1）在反比例函数的图象上，∴ －1＝－ ，解得m＝2.∴ B（2，－1）.∵ A（－1，2）、B（2，－1）两点在一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上，∴ 解得 ∴ 一次函数的表达式为y＝－x＋1
13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ （n≠0）的图象交于A（－1，2）、B（m，－1）两点.
（1） 求反比例函数和一次函数的表达式.
第13题
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（2） 过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥直线l于点D，C是直线l上一点.若DC＝2DA，求点C的坐标.
解：（2） ∵ 直线l∥y轴，AD⊥直线l，∴ 易得D（2，2）.
∴ DA＝3.∵ DC＝2DA，∴ DC＝6.∵ C是直线l上一点，∴ 易得点C的坐标为（2，8）或（2，－4）
第13题
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13(共29张PPT)
第16章 函数及其图象
第16章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 变量与函数
1. （2024·宜宾段考）一本笔记本的售价为6元.若小青买x本这样的笔记本共付y元，则x和6分别是（ B ）
A. 常量，变量 B. 变量，常量
C. 常量，常量 D. 变量，变量
B
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2. （2025·衡阳段考）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象中，能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t之间的函数关系的是（ C ）
C
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3. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一条直线上），如图所示为小明离家的距离（km）与时间（min）的关系.下列说法正确的是（ C ）
A. 小明家到体育馆的距离为2km
B. 小明在体育馆锻炼的时间为45min
C. 小明家到书店的距离为1km
D. 小明从书店步行回家的时间为40min
C
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4. （2024·临汾尧都段考）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 x≠－6 .
x≠－6
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考点二 平面直角坐标系
5. （2025·成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（－2，a2＋1）所在的象限是（ B ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
6. （2025·长春南关期中）若点A（m－1，3）与点B（2，n＋3）关于y轴对称，则m＋n的值为 －1 .
B
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考点三 一次函数
7. （2025·海口琼山段考）下列有关一次函数y＝2025x－2026的说法中，正确的是（ C ）
A. y的值随着x值的增大而减小
B. 函数图象与y轴的交点坐标为（0，2026）
C. 当x＜0时，y＜－2026
D. 函数图象经过第一、二、四象限
C
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8. （2025·长春段考）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在正比例函数y＝（2m－1）x的图象上，且当x1＞x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ D ）
A. m＜0 B. m＞0
C. m＜ D. m＞
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9. （2025·衡阳期中）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx＋3沿y轴向下平移2个单位长度后与x轴交于（－2，0），则k的值为 .
10. 如图，函数y＝－3x和y＝kx＋b的图象相交于点A（m，6），则关于x的不等式kx＋b≤－3x的解集为 x≤－2 .
x≤－2
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11. 某物流公司的一辆货车甲从B地出发运送货物至A地，1h后，该物流公司的另一辆货车乙从A地出发运送货物至B地.货车甲、乙距A地的路程y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示.
（1） 求货车乙距A地的路程y（km）与时间x（h）之间的函数表达式；
解：（1） 设货车乙距A地的路程y（km）与时间x（h）之间的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.根据题意，得 解得 ∴ 货车乙距A地的路程y（km）与时间x（h）之间的函数表达式为y＝60x－60（1≤x≤5）
第11题
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（2） 货车乙到达B地后，货车甲还需多长时间到达A地？
解：（2） 当x＝3时，y＝60×3－60＝120.∴ 货车甲的速度为（240－120）÷3＝40（km/h）.∴ 货车甲到达A地所需时间为240÷40＝6（h）.∵ 6－5＝1（h），∴ 货车乙到达B地后，货车甲还需1h到达A地
第11题
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考点四 反比例函数
12. （2025·湖南）对于反比例函数y＝ ，下列结论正确的是（ D ）
A. 点（2，2）在该函数的图象上
B. 该函数的图象分别位于第二、四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而增大
D. 当x＞0时，y随x的增大而减小
D
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13. （2025·湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（ A ）
A. 3A B. 4A C. 5A D. 6A
A
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14. （2025·甘肃）已知点A（2，y1）、B（6，y2）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝ 6（答案不唯一） （请写出一个符合条件的k值）.
15. （2024·南阳桐柏期末）如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ 的图象交于（－1，m）、（－5，n）两点，则不等式kx＋b－ ＞0的解集为 x＜－5或－1＜x＜0 .
6（答案不唯一）
x＜－5或－1＜x＜0
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考点五 实践与探索
16. （新考向·数学文化）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），数据记录如下表：
供水时间x/h 0 2 4 6 8
箭尺读数y/cm 6 18 30 42 54
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（1） 如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x（h），纵轴表示箭尺读数y（cm），描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；
解：（1） 描点并连线如图②所示
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（2） 请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式（写过程）；
解：（2） ∵ 各点连线是一条直线，∴ y是x的一次函数.设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）.将（0，6）和（2，18）分别代入，得 解得 ∴ y＝6x＋6.当y＝120时，得6x＋6＝120，解得x＝19.∴ 0≤x≤19.∴ y与x之间的函数表达式为y＝6x＋6（0≤x≤19）
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（3） 应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90cm时是几点钟？
解：（3） 当y＝90时，得6x＋6＝90，解得x＝14.∵ 上午8：00经过14h后是晚上10：00，∴ 如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90cm时是晚上10：00
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17. 如果点A（a＋1，b－2）在第二象限，那么点B（－a，1－b）在（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
18. 已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且y随x的增大而减小，则下列结论正确的是（ A ）
A. k＜2，m＞0 B. k＜2，m＜0
C. k＞2，m＞0 D. k＞2，m＜0
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19. 如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝ （a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，连结CD. 若S△BCD＝5，则a的值为（ D ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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20. 如图，直线y＝ax＋1与直线y＝－x＋4交于点E，A、B、C、D分别是两条直线与坐标轴的交点.有下列结论：① a＞0；② 点B的坐标是（0，1）；③ S△BDE＝3；④ 当x＞2时，ax＋1＜－x＋4.其中，正确的是 ①②③ （填序号）.
①②③
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21. （2025·甘肃）如图，一次函数y＝x＋4的图象交x轴于点A，交反比例函数y＝ （k≠0，x＜0）的图象于点B（－1，a）.将一次函数y＝x＋4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C.
（1） 求反比例函数的表达式；
解：（1） 由题意，得－1＋4＝a，解得a＝3.∴ 点B的坐标为（－1，3）.将B（－1，3）代入反比例函数y＝ ，得k＝－3，∴ 反比例函数的表达式为y＝－
第21题
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22
（2） 当△ABC的面积为3时，求m的值.
解：（2） ∵ 一次函数y＝x＋4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度，∴ 平移后的一次函数的表达式为y＝x＋4－m.令y＝0，得x＋4－m＝0，解得x＝m－4.∴ 点C的坐标为（m－4，0）.∵ 一次函数y＝x＋4的图象交x轴于点A，∴ 点A的坐标为（－4，0）.∴ AC＝m.∵ 点B的坐标为（－1，3），∴ S△ABC＝ m·3＝3.∴ m＝2
第21题
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22. （新情境·日常生活）某超市购进甲、乙两种水果，进价分别为10元/千克、15元/千克，乙种水果在销售30千克后进行降价销售，这个价格保持到销售完这批水果.这两种水果的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系如图所示.
（1） 甲种水果每千克的售价为 20 元；
20
第22题
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（2） 求乙种水果的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
第22题
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解：（2） 观察图，可知当0≤x≤30时，乙种水果的销售额y（元）与销售量x（千克）之间符合正比例函数关系.设函数表达式为y＝mx（m≠0）.将（30，750）代入，得30m＝750，解得m＝25.∴ y＝25x.当30＜x≤120时，乙种水果的销售额y（元）与销售量x（千克）之间符合一次函数关系.设函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.将（30，750）、（120，2100）代入，得 解得 ∴ y＝15x＋300.∴ 乙种水果的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式为y＝
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（3） 当两种水果的销售额和销售量均相同，且销售额大于0时，销售这两种水果的总利润为多少？
解：（3） 由（1）知，甲种水果每千克的售价为20元.∴ 甲种水果的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式为y＝20x.由两种水果的销售额和销售量均相同，且销售额大于0，得20x＝15x＋300，解得x＝60.∴ 甲种水果的销售额为20×60＝1200（元），乙种水果的销售额为15×60＋300＝1200（元）.∴ 甲种水果的销售利润为1200－10×60＝600（元），乙种水果的销售利润为1200－15×60＝300（元）.∴ 销售这两种水果的总利润为600＋300＝900（元）
第22题
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22(共16张PPT)
第16章 函数及其图象
16.5 实践与探索
第1课时 一次函数与二元一次方程（组）
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·长春绿园期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b和y＝mx＋n的图象相交于点（2，－1），则关于x、y的方程组 的解是（ D ）
A. B.
C. D.
D
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2. 直线y＝2x＋4与直线y＝ x的交点坐标是（ C ）
A. B.
C. D.
C
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3. 小军用图象法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了两个一次函数的图象l1、l2如图所示，则这个方程组是（ D ）
A. B.
C. D.
D
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4. （2024·衡阳期末）已知二元一次方程组 的解为 则函数y＝ax＋b和y＝kx的图象的交点坐标为 （4，－2） .
5. （教材变式）如图所示为甲、乙两家商店销售同一种产品的销售单价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象.有下列说法：① 当买2件时，甲、乙两家商店的销售单价一样；② 当买1件时，到乙商店买更合算；③ 当买3件时，到甲商店买更合算；④ 当买1件时，乙商店的销售单价为3元.其中，正确的是 ①②③ （填序号）.
（4，－2）
①②③
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6. 如图，直线l1：y＝x＋5分别交y轴、x轴于A、B两点，直线l2：y＝－ x－1分别交y轴、x轴于C、D两点，直线l1、l2相交于点P.
（1） 方程组 的解是 ；
（2） 直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积是 ；
第6题
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（3） 过点P的直线把△PAC的面积两等分，求这条直线对应的函数表达式.
第6题
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解：把x＝0分别代入y＝x＋5和y＝－ x－1，得y＝5和y＝－1.∴ A（0，5），C（0，－1）.∴ 易得AC的中点的坐标为（0，2）.设过点P且把△PAC的面积两等分的直线对应的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.把（－4，1）、（0，2）代入，得 解得 ∴ 这条直线对应的函数表达式为y＝ x＋2
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7. 如图，一次函数y＝ x＋ 的图象与y＝kx＋b的图象相交于点P（－2，n），则关于x、y的方程组 的解是（ B ）
A. B.
C. D.
B
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8. 若直线y＝－2x－4与直线y＝4x＋b的交点在第三象限，则b的取值范围是 －4＜b＜8 .
9. 点A、B、C、D的坐标如图所示，求直线AB与直线CD的交点坐标.
第9题
－4＜b＜8
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解：设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.将A（－3，0）、B（0，6）代入，得 解得 ∴ 直线AB对应的函数表达式为y＝2x＋6.同理，可得直线CD对应的函数表达式为y＝－ x＋1.联立方程组 解得 ∴ 直线AB与直线CD的交点坐标为（－2，2）
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10. （新情境·日常生活）为响应绿色出行的号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行.已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图所示为两种支付方式支付的金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数图象.根据图象，解答下列问题：
（1） 求手机支付金额y（元）关于骑行时间x（时）的函数表达式.
第10题
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解：（1） 当0≤x＜0.5时，y＝0.当x≥0.5时，设手机支付金额y（元）关于骑行时间x（时）的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.将（0.5，0）、（1，0.5）代入，得 解得 ∴ y＝x－0.5.∴ 手机支付金额y（元）关于骑行时间x（时）的函数表达式为y＝
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（2） 当骑行时间为多久时，两种支付方式支付的金额相同？
解：（2） 设会员卡支付金额y（元）关于骑行时间x（时）的函数表达式为y＝ax（a≠0）.将（1，0.75）代入，得a×1＝0.75，解得a＝0.75.∴ 会员卡支付金额y（元）关于骑行时间x（时）的函数表达式为y＝0.75x.根据题意，得0.75x＝x－0.5，解得x＝2.∴ 当骑行时间为2小时时，两种支付方式支付的金额相同
第10题
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（3） 如果李老师经常骑共享单车，且每次骑行约2.5小时，那么选择哪种支付方式比较合算？
解：（3） 当x＝2.5时，用会员卡支付需0.75×2.5＝1.875（元）；用手机支付需2.5－0.5＝2（元）.
∵ 1.875＜2，∴ 选择会员卡支付比较合算
第10题
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10(共9张PPT)
第16章 函数及其图象
小专题（四） 反比例函数中k的几何意义
类型一 根据k的几何意义求面积
1. （2024·长春南关段考）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，B是OA的中点，连结PB，则△PAB的面积为（ C ）
A. 6 B. 12 C. 3 D. 4
C
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2. （2025·长春公主岭段考）如图，两个反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象分别是C1和C2.若点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ D ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
D
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3. 如图，点A、B都在反比例函数y＝ 的图象上，且原点O在线段AB上，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连结BC，则△OBC的面积为 2.5 .
2.5
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4. 如图，A、B、C为反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象上三个点，AG、BM、CN分别与x轴垂直，垂足分别为G、M、N；AP、BE、CH分别与y轴垂直，垂足分别为P、E、H，且点A、B、C的横坐标依次为1、3、6.若S1＝4，则S2的值为 3 .
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7
类型二 根据面积求比例系数k
5. （2025·衡阳衡南期中）如图，A是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，C是x轴上任意一点，S△ABC＝2，则k的值为（ A ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
A
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7
6. 如图，点A在反比例函数y＝ （m≠0，x＜0）的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且OC＝OB，△ABC的面积为4，则m的值为 －4 .
－4
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7. 如图，A、B两点在反比例函数y＝ （k1≠0）的图象上，C、D两点在反比例函数y＝ （k2≠0）的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝ .求k2－k1的值.
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解：如图，连结OA、OC、OD、OB. 由图，可知k1＜0，k2＞0.∵ S△AOC＝S△AOE＋S△COE，∴ AC·OE＝ ＋ ＝ .又∵ AC＝2，∴ ×2×OE＝ ，即OE＝ .∵ S△BOD＝S△DOF＋S△BOF，∴ BD·OF＝ ＋ ＝ .又∵ BD＝3，∴ ×3×OF＝ ，即OF＝ .∵ OE＋OF＝EF＝ ，∴ ＋ ＝ .∴ k2－k1＝4
第7题答案
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7(共15张PPT)
第16章 函数及其图象
16.3 一次函数
16.3.4 求一次函数的表达式
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 已知一个正比例函数的图象经过点（2，－1），则它的表达式为（ C ）
A. y＝－2x B. y＝2x
C. y＝－ x D. y＝ x
C
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2. （教材变式）如图，四边形OABC是长方形，O是平面直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标是（－3，4），则直线AC对应的函数表达式为（ B ）
A. y＝ x＋3
B. y＝ x＋4
C. y＝－ x＋4
D. y＝ x＋3
第2题
B
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3. 已知某种产品的购买量y（吨）与每吨的价格x（元）之间满足一次函数关系.若购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，则y与x之间的函数表达式为（ C ）
A. y＝10x＋9 000 B. y＝100x＋900
C. y＝－10x＋9 000 D. y＝－100x＋900
4. 若点（1，4）、（2，7）、（a，10）在同一条直线上，则a的值为（ C ）
A. －1 B. 0 C. 3 D. 4
5. 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（1，3）和（－1，2），则k2－b2＝ －6 .
C
C
－6
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6. 某种商品的销售额y（万元）与广告投入x（万元）满足一次函数关系，当广告投入10万元时，销售额为1000万元；当广告投入90万元时，销售额为5000万元.当广告投入80万元时，销售额为 4500 万元.
4500
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（1） 求这个正比例函数的表达式；
解：（1） 设这个正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0）.∵ 正比例函数的图象经过点（－3，6），∴ 将（－3，6）代入，得－3k＝6，解得k＝－2.∴ 这个正比例函数的表达式为y＝－2x
（2） 若这个函数的图象还经过点A（a，8），求点A的坐标.
解：（2） ∵ 这个函数的图象还经过点A（a，8），∴ 将A（a，8）代入y＝－2x，得－2a＝8，解得a＝－4.∴ 点A的坐标是（－4，8）
7. （2024·长春绿园段考）已知正比例函数的图象经过点（－3，6）.
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8. （2024·陕西）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80kW·h，行驶了240km后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（kW·h）与行驶里程x（km）之间的关系如图所示.
（1） 求y与x之间的函数表达式；
解：（1） 设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b（0≤x≤240）.将（0，80）、（150，50）代入，得 解得 ∴ y与x之间的函数表达式为y＝－ x＋80
第8题
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（2） 已知这辆车的“满电量”为100kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
解：（2） 令x＝240，则y＝32. ×100％＝32％.∴ 该车的剩余电量占“满电量”的32％
第8题
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9. （2025·福州期中）下表是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的信息，则m＋n的值为（ D ）
x … 0 1 2 …
y … m 2 n …
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
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10. （教材变式）研究发现，一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强p（kPa）随温度t（℃）变化的函数表达式为p＝kt＋b（k≠0），其图象如图所示.当压强为170 kPa时，该气体的温度是 150 ℃.
150
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11. （新情境·日常生活）某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应缴水费y（元）是用水量x（立方米）的函数，其图象如图所示.
（1） 若小明家某月的用水量为18立方米，则应缴水费多少元？
解：（1） 由图，可知用水量为18立方米时，应缴水费45元
第11题
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（2） 求当x＞18时，y关于x的函数表达式.若小敏家某月缴水费81元，则她家该月的用水量为多少立方米？
解：（2） 设用水量超过18立方米时的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0，x＞18）.由图，可知函数图象经过点（18，45）、（28，75），∴ 解得 ∴ 函数表达式为y＝3x－9（x＞18）.∵ 81＞45，∴ 该月用水量超过18立方米.当y＝81时，3x－9＝81，解得x＝30.∴ 她家该月的用水量为30立方米
第11题
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12. 如图，一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，M（1，m）是直线AB上一点，直线MC交x轴于点C .
（1） 求直线MC对应的函数表达式.
第12题
解：（1） 由题意，可知直线AB对应的函数表达式为y＝x＋2.∵ M（1，m）是直线AB上一点，∴ 将M（1，m）代入y＝x＋2，得1＋2＝m.∴ m＝3.∴ M（1，3）.设直线MC对应的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.将M（1，3）、C 代入y＝kx＋b，得 解得 ∴ 直线MC对应的函数表达式为y＝－2x＋5
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（2） P是线段AC上一点（不与点A、C重合），连结BP、MP. 若△ABP的面积是△MPC面积的2倍，求点P的坐标.
解：（2） 设点P的坐标为（a，0）.∵ 一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，∴ 易得A（－2，0）、B（0，2）.∴ AP＝a＋2，PC＝ －a.∴ ＝ AP·OB＝ ×（a＋2）×2＝a＋2， ＝ PC·yM＝ × ×3＝ － a.∵ △ABP的面积是△MPC面积的2倍，∴ a＋2＝2× ，解得a＝ .∴ 点P的坐标为
第12题
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