(共17张PPT)
第17章 平行四边形
17.2 平行四边形的判定
第4课时 三角形的中位线
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形的花坛.已知AB＝12m，BC＝16m，AC＝14m，且四边形BCFE的顶点E、F分别是边AB、AC的中点，则四边形花坛BCFE的周长是（ C ）
A. 20m B. 30m
C. 37m D. 42m
C
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2. 如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（ B ）
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
B
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3. 如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（ B ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
B
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4. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE. 若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，则∠1＝ 50° .
50°
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5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D、E、F分别是边BC、AB、AC的中点，则△DEF的周长是 12 .
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6. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，过点D作DH⊥BC于点H，连结EH. 若BC＝8，DH＝3，求EH的长.
第6题
解：∵ 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∴ DE∥BC，DE＝ BC＝4.∴ ∠EDH＝∠DHB. ∵ DH⊥BC，∴ ∠DHB＝90°.∴ ∠EDH＝90°.在Rt△DEH中，由勾股定理得，EH＝ ＝ ＝5
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7. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连结BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F. 若EF＝3，求DE的长.
第7题
解：∵ D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴ DE∥BC，DE＝ BC.
∴ EF∥BC. ∵ CF∥BE，∴ 四边形BCFE是平行四边形.∴ BC＝EF＝3.∴ DE＝ BC＝
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8. （新考法·探究题）如图，在四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点.当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是（ C ）
A. 线段EF的长逐渐增大
B. 线段EF的长逐渐减少
C. 线段EF的长不变
D. 线段EF的长与点P的位置有关
C
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9. 如图，E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝7，CE＝1.5，连结DE并延长至点F，使得EF＝DE，连结BF，则BF的长为 4 .
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10. （教材变式）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点.求四边形EFGH的周长.
第10题
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解：∵ BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴ BC＝ ＝ ＝5.∵ E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴ EH＝FG＝ BC，EF＝GH＝ AD. ∴ 四边形EFGH的周长＝EH＋GH＋FG＋EF＝AD＋BC.
又∵ AD＝7，∴ 四边形EFGH的周长＝7＋5＝12
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11. 如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，
（1） 求证：∠BME＝∠CNE.
解：（1） 如图①，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF. ∵ E、F、H分别是BC、AD、BD的中点，∴ FH∥BM，FH＝ AB，EH∥CN，EH＝ CD. ∴ ∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF. ∵ AB＝CD，∴ FH＝EH. ∴ ∠HFE＝∠HEF. ∴ ∠BME＝∠CNE
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（2） 如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状并证明.
解：（2） △OMN是等腰三角形 如图②，取BD的中点P，连结PE、PF.
∵ E、F、P分别是BC、AD、BD的中点，∴ PE∥CD，PE＝ CD，PF∥AB，PF＝ AB. ∴ ∠PEF＝∠OMN，∠PFE＝∠ONM. ∵ AB＝CD，∴ PE＝PF. ∴ ∠PEF＝∠PFE. ∴ ∠OMN＝∠ONM. ∴ OM＝ON. ∴ △OMN是等腰三角形
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（3） 如图③，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G. 若∠EFC＝60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明.
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解：（3） △AGD是直角三角形 如图③，连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE. ∵ F、H分别是AD、BD的中点，∴ HF∥AB，HF＝ AB. 同理，可得HE∥CD，HE＝ CD. ∵ AB＝CD，∴ HF＝HE. ∵ ∠EFC＝60°，
∴ ∠HEF＝60°.∴ ∠HFE＝∠HEF＝60°.∴ ∠AGF＝∠HFE＝60°.∵ ∠AFG＝∠EFC＝60°，∴ △AGF是等边三角形.∴ AF＝GF. ∵ F是AD的中点，即AF＝FD，∴ GF＝FD. ∴ ∠FGD＝∠FDG＝ ∠EFC＝30°.∴ ∠AGD＝90°.
∴ △AGD是直角三角形
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第17章 平行四边形
17.1 平行四边形的性质
第3课时 平行四边形的性质的综合应用
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 将∠ABC及 EFGH按如图所示的方式摆放，点H、G在边AB上，点F在边BC上.若∠ABC＝50°，∠HEF＝110°，则∠BFG的度数为（ C ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
C
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2. （易错题）在 ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交边AD于点E，点E将AD分为1∶3的两部分，则AD的长为（ A ）
A. 8或24 B. 8
C. 24 D. 9或24
A
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3. （2024·海口琼山段考）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BC， ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长度为（ C ）
A. 13 B. 12 C. 8 D. 6
C
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4. （2025·临汾尧都期末）如图，在 ABCD中，点E在边BC上，AB＝BE，过点D作DF⊥AE于点F. 若∠ADF＝54°，则∠B的度数为 108 °.
108
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5. 如图，在 ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC之间的距离为 10 .
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6. 如图，在 ABCD中，DE＝CE，连结AE并延长，交BC的延长线于点F.
（1） 求证：△ADE≌△FCE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠D＝∠ECF. 在△ADE和△FCE中， ∴ △ADE≌△FCE
第6题
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（2） 若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数.
解：（2） 由（1），得△ADE≌△FCE. ∴ AD＝FC. ∵ AD＝BC，AB＝2BC，∴ 易得AB＝FB. ∴ ∠BAF＝∠F＝36°.∴ ∠B＝180°－2×36°＝108°
第6题
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7. 如图， ABCD的顶点A、C和 EBFD的顶点E、F在同一条直线上.求证：AE＝CF.
解：如图，连结BD交AC于点O. ∵ 四边形ABCD和EBFD是平行四边形，
∴ OA＝OC，OE＝OF. ∴ OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF
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8. 如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F. 若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为（ B ）
A. 4 B. 3 C. D. 2
B
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9. （教材变式）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝3，△AOB的周长比△BOC的周长小1，则 ABCD的周长是 14 .
10. 如图，在 ABCD中，分别以BC、CD为边作等腰三角形BCF和等腰三角形CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连结AE、AF.
（1） 求证：△ABF≌△EDA；
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC. ∵ BC＝BF，CD＝DE，∴ BF＝AD，AB＝DE. ∵ ∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDA＋∠ADC＋∠CDE＝360°，∠CBF＝∠CDE，∴ ∠ABF＝∠EDA. 在△ABF和△EDA中， ∴ △ABF≌△EDA
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（2） 延长AB，与CF相交于点G，若AF⊥AE，求证：FB⊥BC.
解：（2） 如图，延长FB交AD于点H. ∵ AF⊥AE，∴ ∠EAF＝90°.由（1），得△ABF≌△EDA，∴ ∠AFB＝∠EAD.
∵ ∠EAD＋∠FAH＝90°，∴ ∠AFB＋∠FAH＝90°.∴ ∠AHF＝90°，即FH⊥AD. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.
∴ FB⊥BC
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11. （新考法·探究题）问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB、∠ABC的平分线AE、BF分别与直线CD相交于点E、F，求EF的长.
答案：EF＝2.
探究：
（1） 把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变.
第11题
① 当点E与点F重合时，求AB的长；
② 当点E与点C重合时，求EF的长.
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解：（1） ① 如图①，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD. ∴ ∠DEA＝∠BAE. ∵ AE平分∠DAB，∴ ∠DAE＝∠BAE. ∴ ∠DEA＝∠DAE. ∴ DE＝AD＝5.同理，可得CF＝BC＝5.∵ 点E与点F重合，∴ AB＝CD＝DE＋CF＝10
② 如图②，∵ 点E与点C重合，∴ 易得DE＝AD＝5，CF＝BC＝5.∴ 点F与点D重合.∴ EF＝CD＝5
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（2） 把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变.当点C、D、E、F中相邻两点间的距离相等时，求 的值.
第11题
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解：（2） 分三种情况讨论：① 如图③，由（1），可得AD＝DE. ∵ 点C、D、E、F中相邻两点间的距离相等，∴ AD＝DE＝EF＝CF. ∴ 易得 ＝ .② 如图④，由（1），可得AD＝DE＝CF. ∵ DF＝EF＝CE，∴ 易得 ＝ .③ 如图⑤，由（1），可得AD＝DE＝CF. ∵ DF＝CD＝CE，∴ 易得 ＝2.综上所述， 的值为 或 或2
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第17章 平行四边形
17.2 平行四边形的判定
第3课时 平行四边形性质与判定的综合应用
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
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1. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为（ C ）
A. ∠A＝∠C，∠B＝∠D
B. ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
C. ∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°
D. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶2∶3
C
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2. 如图，在 ABCD中，EF∥AD，AH＝BN，则图中平行四边形共有（ A ）
A. 9个 B. 8个
C. 6个 D. 4个
A
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3. （教材变式）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边BC、AB、AC上的点，连结FD并延长至点G，连结AD、AG、DE、EG. 若FG∥AB，则添加下列条件，可以使线段AG、DE互相平分的是（ D ）
A. AD＝EG B. DF＝DG
C. DE∥AC D. DG＝AE
D
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4. 如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上.有下列条件：① BF＝DE；② ∠AFC＝∠AEC；③∠BAF＝∠DCE；④ AF＝CE. 从中任选一个，不能判定四边形AFCE是平行四边形的为 ④ （填序号）.
④
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5. 如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，∠EAC＝∠FCA，AE＝CF，BE＝DF. 求证：CB AD.
第5题
解：∵ ∠EAC＝∠FCA，∴ AE∥CF. 又∵ AE＝CF，∴ 四边形AFCE是平行四边形.∴ OA＝OC，OE＝OF. 又∵ BE＝DF，∴ BE＋OE＝DF＋OF，即OB＝OD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ CB AD
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6. 如图，在 ABCD中，分别以AD、BC为边向 ABCD内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连结BE、DF. 求证：四边形BEDF是平行四边形.
第6题
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解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD. ∵ △ADE和△BCF都是等边三角形，∴ 易得DE＝BF，AE＝CF，∠DAE＝∠BCF＝60°.∵ ∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，
∴ ∠DCF＝∠BAE. 在△DCF和△BAE中，
∴ △DCF≌△BAE. ∴ DF＝BE. 又∵ DE＝BF，∴ 四边形BEDF是平行四边形
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7. （教材变式）如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，G、H是对角线BD上的两点，且BH＝DG. 下列结论中，不一定正确的是（ D ）
A. GF＝EH
B. EG＝FH
C. EF与AC互相平分
D. EF＝AB
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8. 如图，在 ABCD中，AB＝1，连结BD，作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，且CF＝1，则EF的长为 .
9. 如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，AD⊥AF于点A，在EF上取一点B，连结AB、BC、CD、BD，且AB＝FC，AD＝BC. 求证：AC与BD互相平分.
第9题
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解：∵ FE⊥AC，∴ ∠FEA＝∠FEC＝90°.又∵ ∠FAC＝45°，∴ ∠AFE＝∠FAE＝45°.∴ FE＝AE. 在Rt△AEB和Rt△FEC中，
∴ Rt△AEB≌Rt△FEC. ∴ BE＝CE. ∴ ∠CBE＝∠BCE＝45°.∵ AD⊥AF，
∴ ∠FAD＝90°.∴ ∠CAD＝90°－45°＝45°.∴ ∠BCE＝∠CAD. ∴ BC∥AD.
又∵ BC＝AD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AC与BD互相平分
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10. 如图，在以BC为底的等腰三角形ABC中，点D、E、G分别在BC、AB、AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使BE＝BF.
（1） 求证：四边形BDEF是平行四边形；
解：（1） ∵ △ABC是以BC为底的等腰三角形，∴ AB＝AC. ∴ ∠ABC＝∠C. ∵ EG∥BC，DE∥AC，∴ ∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形.∴ ∠DEG＝∠C. ∴ ∠AEG＝∠DEG. ∵ BE＝BF，∴ ∠BEF＝∠F＝∠AEG. ∴ ∠F＝∠DEG. ∴ BF∥DE. 又∵ EF∥BD，∴ 四边形BDEF是平行四边形
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（2） 当∠C＝45°，BD＝2时，求D、F两点间的距离.
解：（2） 由（1），得∠BEF＝∠BFE＝∠C，四边形BDEF是平行四边形.∴ EF＝BD＝2.∵ ∠C＝45°，
∴ ∠BEF＝∠BFE＝45°.∴ ∠EBF＝90°.∴ 在Rt△EFB中，由勾股定理，得BF2＋BE2＝EF2＝4.∵ BE＝BF，
∴ BF2＝2.如图，过点F作FM⊥DB，交DB的延长线于点M，连结DF，则易得△BFM是等腰直角三角形，且FM＝BM. ∴ 在Rt△BMF中，由勾股定理，得FM2＋BM2＝BF2＝2.∴ 易得FM＝BM＝1.∴ DM＝BM＋BD＝3.∴ 在Rt△DFM中，由勾股定理，得DF＝ ＝ ，即D、F两点间的距离为
第10题答案
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第17章 平行四边形
17.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
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1. （2024·长春宽城段考）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ C ）
A. AB∥DC，AB＝DC
B. AB＝DC，AD＝BC
C. AB∥DC，AD＝BC
D. OA＝OC，OB＝OD
第1题
C
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2. 已知△ABC（如图①），按如图②③所示的尺规作图痕迹（不需要借助三角形全等）能推出四边形ABCD是平行四边形的依据为（ B ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B
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3. 如图，将两根木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，依据是 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
对角线互相平分的四边形是平行四边形
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4. 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与BE互相平分，EC与DF互相平分，则图中有 6 个平行四边形.
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5. （教材变式）如图，AC、BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E、F分别是OB、OD的中点.求证：四边形AFCE是平行四边形.
第5题
解：∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ E、F分别是OB、OD的中点，∴ OE＝ OB，OF＝ OD. ∴ OE＝OF. ∴ 四边形AFCE是平行四边形
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6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在线段OA、OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF. 求证：
（1） △BEO≌△DFO；
解：（1） 在△BEO和△DFO中，
∴ △BEO≌△DFO
第6题
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（2） 四边形ABCD是平行四边形.
解：（2） 由（1），得△BEO≌△DFO. ∴ OE＝OF. ∵ AE＝CF，∴ AE＋OE＝CF＋OF，即OA＝OC. ∵ OB＝OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形
第6题
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7. （易错题）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O. 有下列条件：① AD∥BC；② AD＝BC；③ OA＝OC；④ OB＝OD. 从中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的有（ B ）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
B
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8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为 24 .
24
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9. 如图，G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH，交AB于点E，HF∥BG，交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连结AD、BD、DC，且AC和BD相交于点O. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
第9题
解：∵ GE∥BH，HF∥BG，∴ 四边形GBHD是平行四边形.∴ OG＝OH，OB＝OD. ∵ G、H是△ABC的边AC的三等分点，∴ AG＝HC. ∴ AG＋OG＝HC＋OH，即OA＝OC. 又∵ OB＝OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形
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10. 如图①，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD、BC分别相交于点E、F，GH过点O，与AB、CD分别相交于点G、H，连结EG、FG、FH、EH.
（1） 求证：四边形EGFH是平行四边形；
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，AD∥BC. ∴ ∠EAO＝∠FCO. 在△OAE和△OCF中， ∴ △OAE≌△OCF. ∴ OE＝OF. 同理，得OG＝OH. ∴ 四边形EGFH是平行四边形
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（2） 如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD本身除外）.
解：（2） 与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有 GBCH、 ABFE、 EFCD、 EGFH
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第17章 平行四边形
17.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC. 添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的为（ C ）
A. AD＝BC
B. AB∥DC
C. AB＝DC
D. ∠A＝∠C
第1题
C
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2. 如图，将△ABC绕边AC的中点O按顺时针方向旋转180°，小淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证小淇的推理更严谨，想在方框中“∵ CB＝AD，”和“∴ 四边形……”之间作补充，下列正确的是（ B ）
B
A. 小淇推理严谨，不必补充
B. 应补充“AB＝CD，”
C. 应补充“AB∥CD，”
D. 应补充“OA＝OC，”
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3. 如图，以△ABC的顶点A为圆心、BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心、AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连结AD、CD. 若∠B＝65°，则∠ADC的度数为 65° .
65°
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4. 如图，在四边形ABFD中，E、C为BF上的两点.若∠BAE＝∠CDF，AE＝DF，∠AEB＝∠F，则图中的平行四边形是 四边形ABCD、四边形AEFD .
四边形ABCD、四边形AEFD
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5. 如图，∠ABC＝∠DCB，∠A＝∠D，作△BDC关于BC的轴对称图形△BEC. 求证：四边形ABEC是平行四边形.
第5题
解：在△ABC和△DCB中， ∴ △ABC≌△DCB. ∴ AB＝DC，AC＝DB. ∵ △BDC与△BEC关于BC轴对称，∴ CE＝CD，BE＝BD. ∴ AC＝BE，AB＝CE. ∴ 四边形ABEC是平行四边形
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6. （教材变式）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E、F，使AE＝CF，连结BE、DF. 若BE＝DF，求证：四边形ABCD是平行四边形.
第6题
解：在△BEA和△DFC中， ∴ △BEA≌△DFC. ∴ ∠EAB＝∠FCD. ∵ ∠BAC＝180°－∠EAB，∠DCA＝180°－∠FCD，∴ ∠BAC＝∠DCA. ∴ AB∥DC. 又∵ AB＝DC，∴ 四边形ABCD是平行四边形
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7. 如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结DE、EF、BF，则图中平行四边形的个数是（ B ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
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8. （易错题）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动.若点E、F同时出发，设运动时间为t s，则当t的值为 2或6 时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
2或6
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9. 如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，对角线AC分别交BE、DF于点G、H. 求证：
（1） 四边形BEDF是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∵ E、F分别是AD、BC的中点，∴ DE＝ AD，BF＝ BC. ∴ DE＝BF. 又∵ DE∥BF. ∴ 四边形BEDF是平行四边形
第9题
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（2） AG＝CH.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.
∴ ∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH. 由（1），得四边形BEDF是平行四边形.∴ BE∥DF. ∴ ∠AEG＝∠ADF. ∴ ∠AEG＝∠CFH. ∵ E、F分别是AD、BC的中点，AD＝BC，
∴ 易得AE＝CF. 在△AEG和△CFH中， ∴ △AEG≌△CFH. ∴ AG＝CH
第9题
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10. （新考法·探究题）在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿线段BA运动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线运动，当点P运动到点A时，点P、Q随即停止运动.若点P、Q运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
（1） 如图①，当点P从点B出发在线段BA上运动时，过点P作AC的平行线交BC于点F，连结PC、FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论；
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解：（1） 四边形PFQC是平行四边形 由题意，得PB＝CQ. ∵ AB＝AC，
∴ ∠B＝∠ACB. ∵ PF∥AQ，∴ ∠PFB＝∠ACB. ∴ ∠B＝∠PFB. ∴ PB＝PF. ∴ PF＝CQ. 又∵ PF∥CQ，∴ 四边形PFQC是平行四边形
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（2） 如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明在点P、Q的运动过程中，DE的长度保持不变.
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解：（2） 如图②，过点P作PM∥AC交BC于点M. 由（1），得PB＝PM.
∵ PE⊥BC，∴ BE＝EM. ∵ 易得△PMD≌△QCD，∴ MD＝CD. ∴ DE＝EM＋MD＝ BM＋ MC＝ （BM＋MC）＝ BC＝ ×6＝3，即DE的长度保持不变
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10(共17张PPT)
第17章 平行四边形
小专题（八） 平行四边形性质与判定的常见应用
类型一 利用平行四边形的性质计算
1. （2025·长春期末）如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（ A ）
A. 15 B. 11
C. 20 D. 52
A
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2. （2025·临汾曲沃期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠ABC＝75°，则∠EAF的度数为（ D ）
A. 60° B. 65°
C. 70° D. 75°
D
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3. 如图，AC为 ABCD的对角线，AC⊥BC，点E在AB上，连结CE并延长，交DA的延长线于点F. 若CE＝EF＝4，则CD的长为 8 .
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4. 如图，E是 ABCD的对角线BD上一点，连结CE. 若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，且∠DCE＝66°，则∠ADB的度数为 24° .
24°
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5. 如图， ABCD内有一点P，若△APB、△BPC、△CPD的面积分别为4、3、1，则△APD的面积为 2 .
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6. 如图，在 ABCD中，BD⊥AD，AD＝4cm， ABCD的面积为24cm2.求BD、AC的长.
第6题
解：∵ ABCD的面积为24cm2，AD＝4cm，BD⊥AD，∴ BD＝24÷4＝6（cm）.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝ AC，OD＝ BD＝3cm.在Rt△ADO中，由勾股定理得，OA＝ ＝5cm.∴ AC＝2OA＝10cm
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类型二 利用平行四边形的判定方法判定平行四边形
7. 如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交DC于点G，若AD∥BC，AE＝CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
第7题
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解：∵ DE⊥AC，BF⊥AC，∴ ∠DEA＝∠BFC＝90°.∵ AD∥BC，∴ ∠DAE＝∠BCF. 在△DAE和△BCF中， ∴ △DAE≌△BCF. ∴ AD＝CB. ∵ AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形
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类型三 在平行四边形的基础上判定新的平行四边形
8. 如图，在 ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA、DC的延长线上，且AG＝CH，连结GE、EH、HF、FG. 求证：四边形GEHF是平行四边形.
第8题
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解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠GBE＝∠HDF. ∵ AG＝CH，∴ AB＋AG＝CD＋CH，即BG＝DH. 在△GBE和△HDF中， ∴ △GBE≌△HDF. ∴ GE＝HF，∠GEB＝∠HFD. ∵ ∠GEF＝180°－∠GEB，∠HFE＝180°－∠HFD，∴ ∠GEF＝∠HFE. ∴ GE∥HF.
∴ 四边形GEHF是平行四边形
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9. 如图，BD是 ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分线，AM交BE于点M，CN交DF于点N，连结AN、CM. 求证：四边形AMCN是平行四边形.
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解：如图，连结AC交BD于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠ABM＝∠CDN. ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°.∴ ∠ABM＋∠BAE＝90°，∠CDN＋∠DCF＝90°.∴ ∠BAE＝∠DCF. ∵ AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分线，∴ ∠BAM＝∠DCN. 在△ABM和△CDN中，
∴ △ABM≌△CDN. ∴ BM＝DN. ∴ OB－BM＝OD－DN，即OM＝ON.
又∵ OA＝OC，∴ 四边形AMCN是平行四边形
第9题答案
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类型四 先判定平行四边形，再根据平行四边形的性质证明线段间的关系
10. 如图，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，G、H分别为AD、BC的中点，连结GH交BD于点O. 求证：EF与GH互相平分.
第10题
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解：连结BG、DH. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC. ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF.
∴ BE＝DF. ∵ G、H分别为AD、BC的中点，∴ BH＝ BC，GD＝ AD. ∵ AD＝BC，AD∥BC，∴ BH＝GD，BH∥GD. ∴ 四边形BHDG是平行四边形.∴ OB＝OD，OG＝OH. ∴ OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF. ∴ EF与GH互相平分
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类型五 探究动点问题
11. （新考法·探究题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC 且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度从点C向点B运动，当点Q运动到点B时，点P、Q随即停止运动.经过几秒，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
第11题
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解：设点P、Q运动的时间为ts（0≤t≤3）.由题意，得CQ＝2tcm，BQ＝（6－2t）cm，AP＝tcm，PD＝（9－t）cm.① 当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形，即6－2t＝t，解得t＝2.② 当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即2t＝9－t，解得t＝3.综上所述，经过2s或3s，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形
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11(共21张PPT)
第17章 平行四边形
第17章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 平行四边形的性质
1. （2025·衡阳珠晖段考）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，延长BA至点E，延长DA至点F，连结EF，则∠E＋∠F的度数为（ D ）
A. 120° B. 30° C. 50° D. 60°
D
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2. （2024·重庆万州期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝3cm，BC＝5cm，AO＝2cm.有下列结论：① △AOB的周长是8cm；② △ACD是直角三角形；③ AD＝4cm；④ ABCD的面积是12cm2.其中，正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在直线AB、CD上，则图中一定与△ABF面积相等的三角形是 △CDE .
第3题
△CDE
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4. 如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交CD的延长线于点E，过点C作CF⊥BE，交BE于点F.
（1） 求证：BF＝EF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD.
∴ ∠ABE＝∠E. ∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE. ∴ ∠CBE＝∠E. ∴ BC＝CE. ∵ CF⊥BE，∴ BF＝EF
第4题
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（2） 若AB＝8，DE＝4，求 ABCD的周长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB＝8.
∴ CE＝CD＋DE＝8＋4＝12.由（1），得BC＝CE＝12.
∴ ABCD 的周长为2（AB＋BC）＝2×（8＋12）＝40
第4题
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考点二 平行四边形的判定
5. （2024·南阳卧龙段考）依据所标数据，下列四边形中，一定是平行四边形的为（ D ）
D
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6. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
第6题
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解：∵ BE⊥AC，DF⊥AC，∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°.∵ AF＝CE，∴ AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF. 在△ABE和△CDF中，
∴ △ABE≌△CDF. ∴ AB＝CD. ∵ ∠BAC＝∠DCA，∴ AB∥CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形
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考点三 平行四边形性质与判定的综合应用
7. 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. 若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（ C ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
C
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8. 如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F是BD上的两点，且AE∥CF. 若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF的度数为 80° .
80°
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9. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，点E在AC上，BE∥DF，BE＝DF，DF交AC于点G，连结EF. 求证：AG＝EG.
解：如图，连结DE、AF. ∵ BE∥DF，BE＝DF，∴ 四边形DBEF是平行四边形.∴ BD∥EF，BD＝EF. ∴ AD∥EF. ∵ D是AB的中点，∴ AD＝BD. ∴ AD＝EF. ∴ 四边形ADEF是平行四边形.∴ AG＝EG
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考点四 三角形的中位线
10. （2025·山西）如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，E是边AD的中点，连结OE. 下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ C ）
A. OE＝ AD B. OE＝ BC
C. OE＝ AB D. OE＝ AC
C
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11. 如图，四边形ABCD和四边形AEFC都是平行四边形，点B在EF上.若 ABCD和 AEFC的面积分别是S1、S2，则它们的大小关系是（ D ）
A. S1＞S2
B. 2S1＜S2
C. S1＜S2
D. S1＝S2
第11题
D
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12. （2025·长春南关段考）如图， ABCD的周长为8，对角线AC、BD交于点M，延长AB到点E，使BE＝BC，BN⊥EC于点N，连结MN，则MN＝ 2 .
13. 如图，在正六边形ABCDEF中，M、N是对角线BE上的两点，有下列条件：① BM＝EN；② ∠FAN＝∠CDM；③ AM＝DN；④ ∠AMB＝∠DNE. 从中任选一个，能使四边形AMDN是平行四边形的为 ①②④ （填序号）.
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①②④
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第14题
解：∵ AB＝AE，∴ ∠ABE＝∠AEB. ∵ CD＝DE，∴ ∠DCE＝∠DEC.
∵ AE∥CD，∴ ∠AEB＝∠DCE. ∴ ∠ABE＝∠DEC. ∴ AB∥DE. ∴ ∠BAF＝∠AED. 在△ABF和△EAD中， ∴ △ABF≌△EAD. ∴ AF＝ED＝CD. 又∵ AE∥CD，即AF∥CD，∴ 四边形ADCF是平行四边形.∴ AC与DF互相平分
14. 如图，在四边形ABCD中，E为BC上一点，AB＝AE，CD＝DE，且AE∥CD，F是AE上一点，∠ABF＝∠EAD，连结CF、AC、DF. 求证：AC与DF互相平分.
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15. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
（1） 若AC＝12，BD＝14，求AD的取值范围.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝14，∴ OA＝ AC＝6，OD＝ BD＝7.在△AOD中，由三角形的三边关系，得OD－OA＜AD＜OD＋OA，即7－6＜AD＜7＋6.∴ 1＜AD＜13
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（2） 若∠ACB＝40°，AC＝BC，求∠ADC的度数.
解：（2） ∵ AC＝BC，∠ACB＝40°，∴ ∠BAC＝∠ABC＝ （180°－∠ACB）＝70°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠ADC＝∠ABC＝70°
第15题
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（3） 点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点G、H均在线段BD上，且BG＝DH，连结EG、GF、FH、HE. 求证：四边形EGFH是平行四边形.
解：（3） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ AE＝CF，BG＝DH，∴ 易得OE＝OF，OG＝OH. ∴ 四边形EGFH是平行四边形
第15题
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第17章 平行四边形
17.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·长春南关段考）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列结论中一定成立的是（ B ）
A. AC⊥BD B. OA＝OC
C. AC＝AB D. OA＝OB
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2. （教材变式）（2025·长春德惠期中）如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，若AB＝8cm，AD＝10cm，△AOD与△AOB的周长差为（ C ）
A. 4cm B. 3cm
C. 2cm D. 1cm
3. 在 ABCD中，AB＝7，AC＝6，则对角线BD的取值范围是（ A ）
A. 8＜BD＜20 B. 6＜BD＜7
C. 4＜BD＜10 D. 1＜BD＜13
C
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4. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的线段（不包括线段OA本身）有 2 条.
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5. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N. 若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为 6 .
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6. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长及 ABCD的面积.
第6题
解：∵ BD⊥AD，∴ ∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝6.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝ BD＝3，S ABCD＝AD·BD＝8×6＝48
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7. （2025·晋城陵川期中）如图，在 ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，AE平分∠BAO，AE与BD交于点E，CF平分∠DCO，CF与BD交于点F. 求证：OE＝OF.
第7题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，AB∥CD. ∴ ∠BAC＝∠DCA. ∵ AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，∴ ∠EAO＝ ∠BAO＝ ∠DCO＝∠FCO. 又∵ ∠AOE＝∠COF，∴ △AOE≌△COF. ∴ OE＝OF
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8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O. 若AC＝2AB，∠BAO＝94°，则∠AOD的度数为（ C ）
A. 157° B. 147° C. 137° D. 127°
C
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9. 如图，在 ABCD中，AC⊥BC，AD＝AC＝2，则BD的长为 2 .
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10. 如图，O是 ABCD对角线的交点，E是CD的中点，AE交BD于点F，连结OE. 若S△AOE＝4，则S△AOB＝ 8 .
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11. 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连结EC.
（1） 求证：BE＝DF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD，AB∥CD. ∴ ∠EBO＝∠FDO. 在△BEO和△DFO中， ∴ △BEO≌△DFO. ∴ BE＝DF
第11题
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（2） 若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC. ∵ EF⊥AC，∴ AE＝CE. ∵ △BEC的周长是10，∴ BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10.
∴ ABCD的周长为2（BC＋AB）＝20
第11题
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12. 如图①所示为 ABCD.
（1） 试用三种不同的方法用一条直线MN将 ABCD分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）.
解：（1） 答案不唯一，如图①所示
（2） 由上述方法，你能得到什么结论？
解：（2） 过平行四边形对角线交点的任意一条直线都将该平行四边形分成面积相等的两部分
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（3） （新考法·操作实践题）如图②，若兄弟两人共同承包了一块平行四边形田地ABCD，现要拉一条直线将田地进行平均划分，在这块田地里有一口井P，为了兄弟两人都能方便使用这口井，请你帮他们解决这个问题（保留作图痕迹，不写作法）.
解：（3） 如图②所示
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12(共16张PPT)
第17章 平行四边形
17.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论一定正确的是（ B ）
A. AB⊥BC B. ∠A＋∠B＝180°
C. AB＝AD D. ∠A≠∠C
2. （教材变式）已知 ABCD的周长为10cm，AB＝3cm，则BC的长为（ A ）
A. 2cm B. 3cm
C. 4cm D. 7cm
B
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3. 如图，在 ABCD中，DE⊥BC，垂足为E. 如果∠A＝72°，那么∠CDE的度数为（ A ）
A. 18° B. 20° C. 22° D. 28°
A
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4. 如图，在 ABCD中，P是边AB上一动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（ C ）
A. 向左移动变小 B. 向右移动变小
C. 始终不变 D. 无法确定
C
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5. （1） 若 ABCD的面积为20，BC＝5，则边AD与BC间的距离为 4 ；
（2） 如图， ABCD的周长为10cm，△ABC的周长为8cm，则AC的长为 3cm .
4
3cm
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6. 如图，在 ABCD中，点M、N分别在边AB、CD上，且AM＝CN. 求证：DM＝BN.
第6题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A＝∠C，AD＝BC. ∵ AM＝CN，
∴ △AMD≌△CNB. ∴ DM＝BN
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7. （2025·长春南关期末）如图，在 ABCD中，E、F是BD上的两点，且BE＝DF，连结AE、CF. 求证：∠AED＝∠CFB.
第7题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝CB，AD∥CB. ∴ ∠ADE＝∠CBF. ∵ BE＝DF，∴ DF＋EF＝BE＋EF. ∴ DE＝BF. 在△ADE和△CBF中， ∴ △ADE≌△CBF. ∴ ∠AED＝∠CFB
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8. 如图，在 ABCD中，E、F是对角线BD上的两点.若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ C ）
A. BE＝DF
B. BF＝DE
C. AE＝CF
D. ∠1＝∠2
第8题
C
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9. 如图，l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法错误的是（ C ）
A. l1与l2之间的距离是线段FG的长
B. CE＝FG
C. 线段CD的长就是l1与l2之间的距离
D. AC＝BD
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10. （教材变式）（2025·长春朝阳段考）如图，在 ABCD中，AB＝12，PC＝4，AP是∠DAB的平分线，则 ABCD的周长为 40 .
40
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11. 如图，E是 ABCD的边CD的中点，延长AE，交BC的延长线于点F.
（1） 求证：DA＝CF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.
∴ ∠D＝∠DCF. ∵ E是边CD的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE中，
∴ △ADE≌△FCE. ∴ DA＝CF
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（2） 若∠BAF＝90°，BC＝10，EF＝6，求CD的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ DA＝BC，AB∥CD. ∴ ∠CEF＝∠BAF＝90°.∴ △CEF是直角三角形.∵ DA＝BC，DA＝CF，BC＝10，∴ CF＝BC＝10.在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE＝ ＝ ＝8.∴ DE＝CE＝8.∴ CD＝CE＋DE＝16
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12. 如图，在 ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G.
（1） 求证：DG∥BE，DG＝BE.
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC. ∴ ∠DAC＝∠BCA. ∵ BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，∴ 易得∠CBE＝∠ADG. 在△ADG和△CBE中， ∴ △ADG≌△CBE. ∴ DG＝BE，∠AGD＝∠CEB. ∵ ∠DGE＝180°－∠AGD，∠BEG＝180°－∠CEB，∴ ∠DGE＝∠BEG. ∴ DG∥BE
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（2） 过点E作EF⊥AB，垂足为F. 若 ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积.
解：（2） 如图，过点E作EH⊥BC于点H. ∵ BE平分∠ABC，EF⊥AB，∴ EH＝EF＝6.∵ ABCD的周长为56，
∴ AB＋BC＝28.∴ S△ABC＝ AB·EF＋ BC·EH＝ EF·（AB＋BC）＝ ×6×28＝84
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