(共9张PPT)
第18章 矩形、菱形与正方形
18.2 菱 形
18.2.2 菱形的判定
第2课时 菱形的判定定理2
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O. 下列条件中，不能使四边形ABCD成为菱形的是（ D ）
A. ∠ADB＝∠CBD B. AD∥BC
C. OB＝OD D. OA＝OB
D
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2. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点，AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为 24 .
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3. 如图，四边形ABCD是菱形，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连结BF、FD、DE、EB. 求证：四边形DEBF是菱形.
第3题
解：连结BD，交AC于点O. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ BD⊥AC，OA＝OC，OD＝OB. ∵ AE＝CF，∴ OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. ∴ 四边形DEBF是平行四边形.∵ BD⊥EF，∴ 四边形DEBF是菱形
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4. 如图，在 ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，点G、H在AC上，且AH＝CG. 若添加一个条件使四边形EGFH是菱形，则下列可以添加的条件是（ D ）
A. AB＝AD B. AB⊥AD
C. AB＝AC D. AB⊥AC
D
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5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作 CDEB，当AD＝ ， CDEB为菱形.
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6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连结DE并延长交AF于点F，连结FC. 求证：四边形ADCF是菱形.
第6题
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解：∵ AF∥BC，∴ ∠AFE＝∠CDE. ∵ E是AC的中点，∴ AE＝CE＝ AC. ∵ AC＝2AB，∴ AE＝AB. 在△AEF和△CED中，
∴ △AEF≌△CED. ∴ AF＝CD. ∵ AF∥CD，∴ 四边形ADCF是平行四边形.∵ AD是∠BAC的平分线，∴ ∠EAD＝∠BAD. 在△AED和△ABD中， ∴ △AED≌△ABD. ∴ ∠AED＝∠B＝90°，即DF⊥AC.
∴ 四边形ADCF是菱形
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6(共10张PPT)
第18章 矩形、菱形与正方形
18.2 菱 形
18.2.2 菱形的判定
第1课时 菱形的判定定理1
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. 如图，B、C分别是∠A两边上的点，AB＝AC. 分别以点B、C为圆心、AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连结BD、CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ D ）
A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B. 对角线平分一组对角的四边形是菱形
C. 一组邻边相等的四边形是菱形
D. 四条边都相等的四边形是菱形
D
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2. 如图，在由小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上.若每个小正方形的边长均为1，则四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD的长都是 ，从而可知四边形ABCD 的形状是 菱形 .
菱形
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3. 如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E. 求证：四边形BCED'是菱形.
第3题
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解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ DC∥AB. ∴ ∠DEA＝∠EAD'.由折叠，可知∠DAE＝∠EAD'，∴ ∠DAE＝∠DEA. ∴ DE＝DA＝1.由折叠，可知AD'＝AD＝1，ED'＝ED＝1.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ DC＝AB＝2，BC＝AD＝1.∴ BD'＝AB－AD'＝2－1＝1，EC＝DC－DE＝2－1＝1.∴ EC＝BC＝BD'＝ED'＝1.∴ 四边形BCED'是菱形
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4. 如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线，围成四边形EFGH. 如果要判定四边形EFGH是菱形，那么四边形ABCD必定是（ D ）
A. 菱形
B. 平行四边形
C. 一组对边平行的四边形
D. 对角线相等的四边形
D
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5. 如图，将两张宽度都为1的纸条重叠在一起，使∠ABC＝45°，则四边形ABCD的面积为 .
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6. 如图，在 ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连结AP、BQ、PQ.
（1） 求证：△APD≌△BQC；
解：（1） 如图，∵ CQ∥BD，∴ ∠2＝∠3.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠1＝∠2.∴ ∠1＝∠3.在△APD和△BQC中， ∴ △APD≌△BQC
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（2） 若∠ABP＋∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形.
解：（2） ∵ △APD≌△BQC，∴ AP＝BQ，∠APD＝∠BQC. 又∵ ∠ABP＋∠BQC＝180°，∴ ∠ABP＋∠APD＝180°.
∵ ∠APB＋∠APD＝180°，∴ ∠ABP＝∠APB. ∴ AB＝AP.
∵ CQ∥DB，CQ＝DP，∴ 四边形CDPQ是平行四边形.∴ CD＝PQ. 在 ABCD中，AB＝CD，∴ AB＝AP＝PQ＝BQ. ∴ 四边形ABQP为菱形
第6题答案
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第18章 矩形、菱形与正方形
18.1 矩 形
18.1.2 矩形的判定
第1课时 矩形的判定
01
基础过关
02
能力进阶
目
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1. （2024·衡阳衡山段考）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，添加的条件不能是（ A ）
A. AC⊥BD
B. AB⊥BC
C. ∠BCD＝90°
D. AC＝BD
第1题
A
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2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°.若再添加一个条件，就能判定四边形ABCD是矩形，则添加的条件是 答案不唯一，如∠A＝90° （写出一种即可）.
答案不唯一，如∠A＝90°
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3. （教材变式）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
（1） 求证：四边形ABCD是矩形；
解：（1） ∵ OA＝OC，OB＝OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ ∠AOB＝∠OAD＋∠ODA＝2∠OAD，∴ ∠OAD＝∠ODA. ∴ OA＝OD. ∴ AC＝BD. ∴ 四边形ABCD是矩形
第3题
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（2） 若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAD＝90°，OA＝OB，AB∥CD. ∴ ∠BAO＝∠ABO，∠ABO＝∠ODC. ∴ ∠BAO＝∠ODC. 又∵ ∠AOB∶∠ODC＝4∶3，∴ ∠BAO∶∠AOB∶∠ABO＝3∶4∶3.∴ ∠ABO＝180°× ＝54°.又∵ ∠BAD＝90°，
∴ ∠ADO＝90°－54°＝36°
第3题
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4. （2025·衡阳衡山期末）学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一张四边形纸片是否为矩形.嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（ C ）
A. 嘉嘉能，淇淇不能 B. 淇淇能，嘉嘉不能
C. 他俩都能 D. 他俩都不能
C
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5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以1cm/s的速度向点B运动， 3 s后四边形ABPD是矩形.
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6. 如图，在 ABCD中，F是边DC的中点，过点F作FE∥AD，交AB于点E. 连结ED、EC，作CG∥DE，交EF的延长线于点G，连结DG.
（1） 求证：四边形DECG是平行四边形；
解：（1） ∵ F是边DC的中点，∴ DF＝CF. ∵ CG∥DE，
∴ ∠DEF＝∠CGF. 又∵ ∠DFE＝∠CFG，∴ △DEF≌△CGF.
∴ DE＝CG. ∵ CG∥DE，∴ 四边形DECG是平行四边形
第6题
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（2） 若DE平分∠ADC，求证：四边形DECG是矩形.
解：（2） ∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADE＝∠EDF. ∵ EF∥AD，
∴ ∠ADE＝∠DEF. ∴ ∠DEF＝∠EDF. ∴ EF＝DF. ∵ 四边形DECG是平行四边形，∴ DF＝CF，EF＝GF. ∴ CD＝EG.
∴ 四边形DECG是矩形
第6题
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6(共31张PPT)
第18章 矩形、菱形与正方形
第18章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 矩形的判定与性质
1. （2025·长春朝阳期末）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，DE⊥AC于点E. 若∠BOC＝50°，则∠ADE的度数为（ B ）
A. 40° B. 25° C. 20° D. 15°
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2. 在四边形ABCD中，如果AD∥BC，AB＝CD，那么下列条件中，能使四边形ABCD为矩形的是（ C ）
A. AB∥CD B. AD＝BC
C. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D
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3. （2025·扬州）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，则DF的长是 6 .
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4. （2025·长春期末）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，点E在AD上，DE＝2.若EC平分∠BED，则BC的长为 10 .
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5. （2025·北京）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC，连结CG.
（1） 求证：四边形DFCG是矩形；
解：（1） ∵ D、E分别为AB、AC的中点，∴ DE是△ABC的中位线.∴ DE∥BC. ∵ DG＝FC，∴ 四边形DFCG是平行四边形.又∵ DF⊥BC，∴ ∠DFC＝90°.∴ 四边形DFCG是矩形
第5题
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（2） 若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
解：（2） ∵ DF⊥BC，∴ ∠DFB＝90°.∵ ∠B＝45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形.∴ BF＝DF＝3.∵ FC＝DG＝5，
∴ BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形.∴ DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°.∴ EG＝DG－DE＝5－4＝1.∴ CE＝ ＝ ＝ .∵ E为AC的中点，∴ AC＝2CE＝2
第5题
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考点二 菱形的判定与性质
6. （2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（ C ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
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7. 如图，点E、F分别在 ABCD的边AB、BC上，AE＝CF，连结DE、DF. 下列条件中，不能使 ABCD为菱形的是（ B ）
A. ∠1＝∠2 B. DE＝DF
C. ∠3＝∠4 D. AD＝CD
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8. 如图，在菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBC＝84°，则∠ACB＝ 24° .
24°
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9. （2025·长春一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE. 求证：四边形ABED是菱形.
第9题
解：∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE＝∠DAE. 在△BAE和△DAE中，
∵ ∴ △BAE≌△DAE. ∴ BE＝DE. ∵ AD∥BC，∴ ∠DAE＝∠AEB. ∴ ∠BAE＝∠AEB. ∴ AB＝BE. ∴ AB＝BE＝DE＝AD. ∴ 四边形ABED是菱形
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考点三 正方形的判定与性质
10. （2024·晋城阳城期末）如图，E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连结AE，交BD于点F，连结CF. 若∠CDE＝40°，则∠DCF的度数为（ C ）
A. 23°
B. 24°
C. 25°
D. 26°
第10题
C
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11. 如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O. 小嘉作DP∥OC，CP∥OD，在正方形ABCD外，DP、CP相交于点P；小淇作DP＝OC，CP＝OD，在正方形ABCD外，DP、CP相交于点P. 两人的作法中，能使四边形DOCP为正方形的是（ C ）
A. 只有小嘉
B. 只有小淇
C. 小嘉和小淇
D. 两人作法均不可以
第11题
C
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12. 如图①，四边形ABCD是正方形，E是BC上一点，连结AE，以AE为一边作正方形AEFG，连结DG.
（1） 求证：∠ADG＝90°；
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解：（1） ∵ 四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴ AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠B＝∠EAG＝90°.∴ ∠EAD＋∠DAG＝90°，∠BAE＋∠EAD＝90°.∴ ∠BAE＝∠DAG. 在△BAE和△DAG中， ∴ △BAE≌△DAG.
∴ ∠ADG＝∠B＝90°
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（2） 如图②，连结AF交CD于点H，连结EH，请探究EH、BE、DH三条线段之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） BE＋DH＝EH 理由：
∵ △BAE≌△DAG，∴ BE＝DG，AE＝AG.
∵ 四边形AEFG是正方形，∴ ∠EAH＝∠GAH＝45°.在△EAH和△GAH中， ∴ △EAH≌△GAH. ∴ EH＝GH. ∵ DG＋DH＝GH，∴ BE＋DH＝EH.
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13. 如图，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上的一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠E. 若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数为（ C ）
A. 7° B. 21° C. 23° D. 24°
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14. 如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的对角线BD的长为（ D ）
A. 10cm B. 13cm C. 12cm D. 24cm
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15. 如图，两块含有30°角的全等的三角尺ABC、DEF沿直线l滑动，下列说法中，错误的是（ B ）
A. 四边形ACDF是平行四边形
B. 当E为BC的中点时，四边形ACDF是矩形
C. 当点B、E重合时，四边形ACDF是菱形
D. 四边形ACDF不可能是正方形
B
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16. 如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，连结AE. 若△ABE的周长为14，AB＝6，则OD的长是 5 .
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17. （2024·南阳邓州期末）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F是对角线AC上一动点，则EF＋BF的最小值为 .
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18. 如图，O是线段AB上一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠BOC，CF⊥OF于点F.
（1） 求证：四边形CDOF是矩形.
解：（1） ∵ OD平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴ ∠AOC＝2∠COD，∠BOC＝2∠COF. ∵ ∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴ 2∠COD＋2∠COF＝180°.∴ ∠COD＋∠COF＝90°，即∠DOF＝90°.∵ OA＝OC，OD平分∠AOC，
∴ OD⊥AC，AD＝DC. ∴ ∠CDO＝90°.∵ CF⊥OF，
∴ ∠CFO＝90°.∴ 四边形CDOF是矩形
第18题
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（2） 当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？请说明理由.
解：（2） 当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形 理由：由（1），知AD＝DC，四边形CDOF是矩形.
∵ ∠AOC＝90°，OA＝OC，∴ OD＝ AC＝DC. ∴ 四边形CDOF是正方形.
第18题
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19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝ BC，分别以点B、D为圆心、大于 BD的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连结BD、DE.
（1） 求证：四边形ABED是菱形；
解：（1） 设AE交BD于点F，连结BM、DM. 由题意，得BM＝DM. ∵ AB＝AD，∴ AM垂直平分BD. ∴ BE＝DE，∠BAE＝∠DAE. ∵ AD∥BC，∴ ∠DAE＝∠BEA.
∴ ∠BAE＝∠BEA. ∴ AB＝BE. ∴ AB＝AD＝BE＝DE. ∴ 四边形ABED是菱形
第19题
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（2） 若CE＝1，求BD的长.
解：（2） 由（1），得BE＝AD＝CD＝ BC. ∴ CE＝BE＝AD＝CD＝1.∴ BC＝CE＋BE＝2.∵ AD∥CE，AD＝CE，∴ 四边形AECD是平行四边形.∴ CD∥AE. 由（1）知，四边形ABED是菱形.∴ AE⊥BD. ∴ ∠BDC＝∠BFE＝90°.∴ BD＝ ＝ ＝
第19题
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20. 如图，正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，连结EF. G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF，连结AG.
（1） 求证：△ABG≌△ADF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝90°.∴ ∠ABG＝90°＝∠D. 在△ABG和△ADF中， ∴ △ABG≌△ADF
第20题
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（2） 求证：AG⊥AF.
解：（2） ∵ △ABG≌△ADF，∴ ∠GAB＝∠FAD. ∴ ∠GAF＝∠GAB＋∠BAF＝∠FAD＋∠BAF＝∠BAD＝90°.
∴ AG⊥AF
第20题
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解：（3） ① ∵ △ABG≌△ADF，∴ AG＝AF. ∵ EF＝BE＋DF，BG＝DF，∴ EF＝BE＋BG＝EG. 在△AEG和△AEF中， ∴ △AEG≌△AEF. ∴ ∠EAG＝∠EAF. 由（2），知∠GAF＝90°.∴ ∠EAF＝ ∠GAF＝45°，即m＝45
第20题
（3） 当EF＝BE＋DF时.
① 求m的值；
② 若F是CD的中点，求BE的长.
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② 由题意，得BC＝CD＝2.∵ F是CD的中点，∴ DF＝CF＝ CD＝1.∴ BG＝DF＝1.设BE＝x，则CE＝2－x，EF＝EG＝1＋x.在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE2＋CF2＝EF2.∴ （2－x）2＋12＝（1＋x）2，解得x＝ .∴ BE的长为
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第18章 矩形、菱形与正方形
小专题（十一） 利用特殊四边形的性质解决动点问题
类型一 矩形与动点
1. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，P是AC上一个动点（点P不与点A、C重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连结EF，则EF的最小值为 .
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2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从点A、C同时出发，相向而行，速度均为2 cm/s，运动时间为t s（0≤t≤5，且t≠2.5），G、H分别是AB、DC的中点.当t的值是多少时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形？
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解：如图，连结GH. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠B＝90°，AB＝CD，AB∥CD. ∴ AC＝ ＝10cm，∠GAF＝∠HCE. ∵ G、H分别是AB、DC的中点，∴ 易得AG＝CH. ∵ E、F是对角线AC上的两个动点，分别从点A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，∴ AE＝CF. ∴ AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 在△AFG和△CEH中，
∴ △AFG≌△CEH. ∴ GF＝HE.
第2题答案
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在△AGE和△CHF中，
∴ △AGE≌△CHF. ∴ GE＝HF. ∴ 四边形EGFH是平行四边形.由题意，易得GH＝BC＝8cm.∴ 当EF＝GH＝8cm时，四边形EGFH是矩形.分两种情况讨论：① 当0≤t＜2.5时，EF＝（10－4t）cm，即10－4t＝8，解得t＝0.5；② 当2.5＜t≤5时，EF＝（4t－10）cm，即4t－10＝8，解得t＝4.5. 综上所述，当t＝0.5或4.5时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形
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类型二 菱形与动点
3. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线B—C—D运动，运动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ C ）
A. 直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B. 直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C. 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D. 等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
C
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4. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F分别同时从A、C两点出发，沿AB、CB方向向点B匀速运动（当任一点到达点B时，两点均停止运动），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过ts，△DEF是等边三角形.求t的值.
第4题
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解：连结BD. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ BC＝AB＝5 cm，∠ABC＝∠ADC＝120°.∴ 易得∠ADB＝∠DBF＝60°.∴ △ABD是等边三角形.∴ ∠A＝60°，AD＝BD. ∴ ∠A＝∠DBF. ∵ △DEF是等边三角形，∴ ∠EDF＝60°.∵ ∠ADB＝∠EDF＝60°，∴ 易得∠ADE＝∠BDF. 在△ADE和△BDF中， ∴ △ADE≌△BDF. ∴ AE＝BF. 由题意，可得AE＝tcm，CF＝2tcm，∴ BF＝BC－CF＝（5－2t）cm.∴ t＝5－2t.∴ t＝
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5. 如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P是底边BC上一动点，PD∥AC，PE∥AB.
（1） 用含a的式子表示四边形ADPE的周长为 2a .
2a
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（2） 当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？请说明理由.
解：（2） 当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形 理由：如答案图，连结AP.
∵ PD∥AC，PE∥AB，∴ 四边形ADPE是平行四边形.∵ AB＝AC，P为BC的中点，∴ ∠PAD＝∠PAE. ∵ PE∥AB，∴ ∠APE＝∠PAD. ∴ ∠PAE＝∠APE. ∴ AE＝PE. ∴ 四边形ADPE是菱形.
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（3） 如果△ABC不是等腰三角形，如图②，其他条件不变，当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形（不必说明理由）？
解：（3） 当点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱形
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类型三 正方形与动点
6. （新考法·探究题）在正方形ABCD中，AB＝6，E、F分别是边BC、AB上的动点，以DF、EF为边作 EFDG.
（1） 如图①，连结AE，若AF＝BE，试写出AE与EG之间的关系，并说明理由.
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解：（1） AE＝EG且AE⊥EG 理由：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°.在△ADF和△BAE中，
∴ △ADF≌△BAE. ∴ DF＝AE，∠ADF＝∠BAE. ∵ ∠ADF＋∠AFD＝90°，
∴ ∠BAE＋∠AFD＝90°.∴ AE⊥DF. ∵ 四边形EFDG是平行四边形，∴ DF＝EG，DF∥EG. ∴ AE＝EG，AE⊥EG.
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（2） 如图②，若E为BC的中点，则点F在边AB上是否存在某个位置，使得四边形EFDG为菱形？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由.
解：（2） 存在 ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝6.∵ E为BC的中点，∴ BE＝ BC＝3.若四边形EFDG为菱形，则EF＝DF.
∴ EF2＝DF2.在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF2＝BE2＋BF2；在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF2＝AF2＋AD2.∴ BE2＋BF2＝AF2＋AD2，即32＋（6－AF）2＝AF2＋62.∴ AF＝ .∴ 当AF＝ 时，四边形EFDG为菱形
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6(共19张PPT)
第18章 矩形、菱形与正方形
18.1 矩 形
18.1.1 矩形的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 关于矩形的性质，下列说法不正确的是（ C ）
A. 四个角都是直角
B. 既是轴对称图形，也是中心对称图形
C. 对角线互相垂直
D. 对角线互相平分且相等
C
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2. （教材变式）（2024·衡阳蒸湘期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O. 若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（ B ）
A. 3 B. 4
C. 4 D. 5
B
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3. 如图，在△AEG中，GA＝GE，∠G＝40°，将△AEG的顶点E摆放在矩形ABCD的一边BC上，使得AB＝BE，其中EG与AD交于点F，则∠DFG的度数为（ C ）
A. 85° B. 75°
C. 65° D. 45°
C
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4. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，BE平分∠ABD. 若∠BDC＝50°，则∠AEB的度数为 65° .
65°
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5. 如图，BC为等腰三角形ABC的底，矩形ADBE的对角线AB、DE相交于点O. 若OD＝2，则AC的长为 4 .
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6. 如图，在矩形ABCD中，E、F为边BC上的两点，且BE＝CF，连结AF、DE，交于点O. 求证：
（1） △ABF≌△DCE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠B＝∠C＝90°，AB＝DC. ∵ BE＝CF，∴ BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. 在△ABF和△DCE中， ∴ △ABF≌△DCE
第6题
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（2） △AOD是等腰三角形.
解：（2） ∵ △ABF≌△DCE，∴ ∠BAF＝∠CDE. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAD＝∠CDA＝90°.∵ ∠DAF＝90°－∠BAF，∠ADE＝90°－∠CDE，∴ ∠DAF＝∠ADE. ∴ AO＝DO. ∴ △AOD是等腰三角形
第6题
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7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝CF，连结OE、OF. 求证：OE＝OF.
第7题
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解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ADC＝∠BCD＝90°，BD＝AC，OD＝ BD，OC＝ AC. ∴ OD＝OC. ∴ ∠ODC＝∠OCD. ∴ ∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO. 在△ODE和△OCF中，
∴ △ODE≌△OCF. ∴ OE＝OF
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8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的平分线交BC于点E. 若∠AOB＝α，则用含α的式子表示∠OAE的度数为（ B ）
A. B. 45°－
C. 45°－α D. 90°－α
B
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9. （2025·衡阳模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在边BC的中点M处.若AB＝4，BC＝6，则FC＝ .
10. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且∠CDF＝∠BAE.
（1） 求证：四边形AEFD是平行四边形；
第10题
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC，BC＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，AD∥BC. ∴ ∠DCF＝180°－∠BCD＝90°.∴ ∠B＝∠DCF. 在△ABE和△DCF中， ∴ △ABE≌△DCF. ∴ BE＝CF. ∴ BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF. ∵ BC＝AD，
∴ EF＝AD. 又∵ EF∥AD，∴ 四边形AEFD是平行四边形
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（2） 若DF＝3，DE＝4，AD＝5，求CD的长.
解：（2） 由（1），知EF＝AD＝5.在△EFD中，
∵ DF＝3，DE＝4，EF＝5，∴ DE2＋DF2＝EF2.
∴ △EFD是直角三角形，且∠EDF＝90°.又∵ ∠BCD＝90°，∴ DE·DF＝ EF·CD. ∴ CD＝
第10题
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11. （新考法·操作实践题）某学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块三角尺的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），M、N分别为三角尺的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点.
（1） 该学习小组中一名成员发现：在图①（三角尺的一直角边与OD重合）中，BN2＝CD2＋CN2；在图③（三角尺的一直角边与OC重合）中，BN、CN、CD之间的数量关系为 CN2＝CD2＋BN2 .
CN2＝CD2＋BN2
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（2） 试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由.
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解：（2） BN2＋DM2＝CM2＋CN2 理由：如图②，延长NO交AD于点P，连结PM、MN. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ OD＝OB，AD∥BC. ∴ ∠DPO＝∠BNO，∠PDO＝∠NBO. 在△BON和△DOP中，
∴ △BON≌△DOP. ∴ ON＝OP，BN＝DP. ∵ ∠MON＝90°，∴ PM＝MN.
∵ ∠ADC＝∠BCD＝90°，∴ 在Rt△PDM中，由勾股定理，得PM2＝DP2＋DM2；在Rt△MNC中，由勾股定理，得MN2＝CM2＋CN2.∴ DP2＋DM2＝CM2＋CN2.∴ BN2＋DM2＝CM2＋CN2.
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（3） 若AB＝8，BC＝10，则是否存在某一旋转位置，使得CM＋CN的值为 ？若存在，请直接写出此时DM的长；若不存在，请说明理由.
解：（3） 存在 DM＝5
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第18章 矩形、菱形与正方形
18.1 矩 形
18.1.2 矩形的判定
第2课时 矩形判定的应用（1）
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. （易错题）如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（ A ）
A. 甲是矩形 B. 乙是矩形
C. 甲、乙均是矩形 D. 甲、乙都不是矩形
A
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2. 如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形 一定是 （填“一定是”或“不一定是”）矩形.
3. 如图，在Rt△ABC中，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是 12 .
一定是
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4. 如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，且BE＝CF. 求证：四边形ABCD是矩形.
第4题
解：∵ BE⊥AC，CF⊥BD，∴ ∠BEO＝∠CFO＝90°.在△BOE和△COF中， ∴ △BOE≌△COF. ∴ OB＝OC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BD＝2OB，AC＝2OC. ∴ BD＝AC. ∴ 四边形ABCD是矩形
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5. 如图，在 ABCD中，M、N是BD上的两点，BM＝DN，连结AM、MC、CN、NA. 添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件可能是（ A ）
A. OM＝ AC B. BD⊥AC
C. MB＝MO D. ∠AMB＝∠CND
A
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6. （2024·西安模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝6，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的面积是 12 .
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7. 如图，在 ABCD中，E为边BC的中点，连结AE并延长，交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连结DE、DG、FG.
（1） 求证：△ABE≌△FCE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD. ∴ ∠EAB＝∠EFC. ∵ E为边BC的中点，∴ EB＝EC. 在△ABE和△FCE中， ∴ △ABE≌△FCE
第7题
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（2） 若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形.
解：（2） ∵ △ABE≌△FCE，∴ AB＝FC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD. ∴ DC＝FC. 又∵ CG＝CE，∴ 四边形DEFG是平行四边形.∵ EB＝EC，CG＝CE，
∴ 易得BC＝EG. 又∵ AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD＋CF＝2CD＝2AB，∴ DF＝EG. ∴ 四边形DEFG是矩形
第7题
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7(共17张PPT)
第18章 矩形、菱形与正方形
18.2 菱 形
18.2.1 菱形的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材变式）（2024·衡阳衡山期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（ B ）
A. 23 B. 20
C. 15 D. 10
B
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2. （2025·长春二道期中）如图，在菱形ABCD中，连结AC、BD. 若∠1＝20°，则∠2的度数为（ C ）
A. 20° B. 60°
C. 70° D. 80°
C
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3. （教材变式）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为CD的中点.若AO＝3，OE＝2.5，则菱形ABCD的面积为（ A ）
A. 24 B. 30
C. 48 D. 75
A
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4. （2024·内江期末）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF. 若∠B＝55°，则∠AEF的度数为（ D ）
A. 55° B. 57.5°
C. 60° D. 62.5°
D
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5. 已知周长为8cm的菱形，有一个内角为60°，则这个菱形的面积是 2 cm2.
6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E. 若∠ADC＝120°，求∠AOE的度数.
2
第6题
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB∥CD，∠BAO＝∠DAO. ∴ ∠BAD＝180°－∠ADC＝60°.∴ ∠BAO＝ ∠BAD＝30°.∵ OE⊥AB，∴ ∠AOE＝90°－∠BAO＝60°
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7. 如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A、C重合），连结DE并延长，交射线AB于点F，连结BE. 求证：
（1） △DCE≌△BCE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD为菱形，∴ CD＝CB，∠DCE＝∠BCE. ∵ CE＝CE，∴ △DCE≌△BCE
第7题
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（2） ∠F＝∠EBC.
解：（2） ∵ 四边形ABCD为菱形，∴ DC∥AF. ∴ ∠CDE＝∠F. ∵ △DCE≌△BCE，∴ ∠CDE＝∠EBC. ∴ ∠F＝∠EBC
第7题
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8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E. 下列结论中，不一定正确的是（ D ）
A. OB＝ CE B. ∠ACE＝90°
C. BC＝ AE D. BE＝CE
D
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9. （2025·长春南关期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连结OF. 若OA＝4，OF＝ ，则DE的长为 .
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10. 如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，BE＝BF，DE、DF分别与AC交于点M、N. 求证：
（1） △ADE≌△CDF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝BC. ∵ BE＝BF，∴ 易得AE＝CF. 在△ADE和△CDF中，
∴ △ADE≌△CDF
第10题
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（2） ME＝NF.
解：（2） 由（1），知△ADE≌△CDF. ∴ ∠ADE＝∠CDF，DE＝DF. ∵ DA＝DC，∴ ∠DAM＝∠DCN. ∴ 易得∠DMA＝∠DNC. ∵ ∠DMN＝180°－∠DMA，∠DNM＝180°－∠DNC，∴ ∠DMN＝∠DNM. ∴ DM＝DN. ∴ DE－DM＝DF－DN，即ME＝NF
第10题
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11. （新考法·探究题）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，把一块含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺60°角的顶点与点A重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1） 如图①，三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F. 求证：CE＋CF＝AB.
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解：（1） 如图①，连结AC. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°.∴ △ABC、△ACD都是等边三角形.∴ AB＝AC，∠BAC＝∠ACD＝∠B＝60°.∵ ∠EAF＝60°，∴ ∠BAC＝∠EAF. ∴ ∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，即∠BAE＝∠CAF. 在△BAE和△CAF中， ∴ △BAE≌△CAF. ∴ BE＝CF. ∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC，即CE＋CF＝AB
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（2） 如图②，三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F. 写出此时CE、CF、AB之间的数量关系，并说明理由.
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解：（2） CF－CE＝AB 理由：如图②，连结AC. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ∠B＝∠ADC＝60°，AB＝BC＝CD＝DA. ∴ △ABC、△ACD都是等边三角形.∴ AD＝AC，∠ACB＝∠ADC＝∠CAD＝60°.∴ 易得∠ACE＝∠ADF＝120°.∵ ∠EAF＝60°，∴ ∠CAD＝∠EAF. ∴ 易得∠CAE＝∠DAF. 在△ACE和△ADF中， ∴ △ACE≌△ADF. ∴ CE＝DF. ∴ CF－CE＝CF－DF＝CD，即CF－CE＝AB.
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11(共18张PPT)
第18章 矩形、菱形与正方形
18.3 正 方 形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （新考向·传统文化）图①的杜岭二号方鼎现藏于河南博物院，方鼎的口呈正方形（如图②），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（ B ）
A. AC⊥BD B. AD＝AO
C. DO＝CO D. ∠DAO＝∠BAC
B
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2. （2025·衡阳祁东期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结AC、BE相交于点F，则∠BFC的度数为（ C ）
A. 45° B. 55° C. 60° D. 75°
C
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3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判定四边形ABCD是正方形的条件为（ A ）
A. AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
B. AB＝BC＝CD＝DA
C. AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
D. AB＝BC，CD⊥DA
A
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4. 如图，正方形ABCD的边长为1，点E在BC的延长线上，连结BD、DE. 如果BE＝BD，那么CE的长为 －1 .
－1
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5. 如图，四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F. 求证：DF＝BE＋EF.
第5题
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解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BC＝CD，∠BCD＝90°.∴ ∠BCE＋∠DCF＝90°.∵ CE⊥BG，DF⊥CE，∴ ∠BEC＝∠CFD＝90°.∴ ∠BCE＋∠CBE＝90°.∴ ∠CBE＝∠DCF. 在△CBE和△DCF中，
∴ △CBE≌△DCF. ∴ BE＝CF，CE＝DF. ∵ CE＝CF＋EF，∴ DF＝BE＋EF
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6. 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
第6题
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解：∵ BF∥CE，CF∥BE，∴ 四边形BECF是平行四边形.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝∠DCB＝90°.∵ BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴ 易得∠EBC＝∠ECB＝45°.∴ ∠BEC＝90°，BE＝CE. ∴ 四边形BECF是正方形
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7. 如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、PBEF. 设∠CBE＝α，则∠AFP的度数为（ B ）
A. 2α B. 90°－α
C. 45°＋α D. 90°－ α
B
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8. （2025·南阳一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CE＝DF＝1，DE、AF交于点G，H为AE的中点，连结GH，则GH的长为 2.5 .
2.5
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9. 如图，在 ABCD中，延长BC至点E，使CE＝BC，连结AE交CD于点O.
（1） 求证：CO＝DO.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∴ ∠DAE＝∠E. ∵ CE＝BC，∴ CE＝AD. 在△EOC和△AOD中， ∴ △EOC≌△AOD. ∴ CO＝DO
第9题
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（2） 取AB的中点F，连结CF，当△COE满足什么条件时，四边形AFCO是正方形？请说明理由.
解：（2） 当CO＝EO且∠COE＝90°时，四边形AFCO是正方形 理由：∵ CO＝DO，∴ CO＝ CD. 又∵ F是AB的中点，∴ AF＝ AB. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ AF＝CO，AF∥CO. ∴ 四边形AFCO是平行四边形.由（1），知△EOC≌△AOD，∴ AO＝EO. ∵ CO＝EO，
∴ AO＝CO. ∴ 四边形AFCO是菱形.∵ ∠COE＝90°，∴ ∠AOC＝90°.∴ 四边形AFCO是正方形.
第9题
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10. （新考法·探究题）如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.
（1） 求证：OE＝OF.
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA.
∴ ∠AFO＋∠MAE＝90°.∵ AM⊥BE，
∴ ∠AME＝90°.∴ ∠MEA＋∠MAE＝90°.
∴ ∠MEA＝∠AFO. 在△BOE和△AOF中， ∴ △BOE≌△AOF. ∴ OE＝OF
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（2） 如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE交EB的延长线于点M，延长AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.
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解：（2） 成立 ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA. ∴ ∠E＋∠OBE＝90°.∵ AM⊥BE，∴ ∠AME＝90°.∴ ∠F＋∠MBF＝90°.又∵ ∠OBE＝∠MBF，∴ ∠E＝∠F. 在△BOE和△AOF中， ∴ △BOE≌△AOF.
∴ OE＝OF
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10(共17张PPT)
第18章 矩形、菱形与正方形
小专题（十） 利用特殊四边形的性质解决折叠问题
类型一 矩形中的折叠问题
1. （2025·晋城陵川段考）如图，矩形ABCD沿着EF进行折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处，∠BFE＝55°，则∠DB'F的度数为（ B ）
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
B
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2. 如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为DF. 若矩形ABCD的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC的长为（ C ）
A. B.
C. D.
C
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3. （2025·长春朝阳期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF. 若AB＝4，AD＝6，则AE的长为 .
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4. （2024·威海）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E. 若BM＝3，BC'＝4，AC'＝3，则DN＝ .
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5. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将矩形ABCD分别沿AE、CF折叠，使点B落在AC上的点M处，点D落在AC上的点N处.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
第5题
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°.∴ ∠FAN＝∠ECM. 由折叠，知AM＝AB，CN＝CD，EM＝BE，∠AME＝∠B＝90°，∠CNF＝∠D＝90°.∴ AM＝CN，∠ANF＝∠CME＝90°.∵ AN＝AM－MN，CM＝CN－MN，∴ AN＝CM. 在△ANF和△CME中， ∴ △ANF≌△CME. ∴ AF＝CE.
又∵ AF∥CE，∴ 四边形AECF是平行四边形
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（2） 若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积.
解：（2） 在Rt△ABC中，∵ AB＝6，AC＝10，∴ 由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝8.设CE＝x，则EM＝BE＝8－x，CM＝AC－AM＝AC－AB＝10－6＝4.在Rt△CME中，由勾股定理，得EM2＋CM2＝CE2，即（8－x）2＋42＝x2，解得x＝5.∴ CE＝5.∴ S四边形AECF＝CE·AB＝5×6＝30
第5题
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6. 如图所示为一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，使点B落在对角线AC上，记为点F.
（1） 若AB＝4，BC＝3，求AE的长；
解：（1） 在矩形纸片ABCD中，∠B＝90°.∵ AB＝4，BC＝3，∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝5.由折叠，知FC＝BC＝3，∠EFC＝∠B＝90°，BE＝FE. ∴ ∠AFE＝90°，AF＝AC－FC＝5－3＝2.设AE＝x，则FE＝BE＝4－x.在Rt△AFE中，由勾股定理，得AF2＋FE2＝AE2，即22＋（4－x）2＝x2，解得x＝ .∴ AE的长为
第6题
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（2） 连结DF，若点D、F、E在同一条直线上，且DF＝2，求AE的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ AD＝BC，DC∥AB.
∴ ∠DCE＝∠BEC. 由折叠，知FC＝BC，∠BEC＝∠FEC.
∴ FC＝AD，∠DCE＝∠FEC. 又∵ 点D、F、E在同一条直线上，∴ CD＝DE. ∵ ∠EFC＝∠B＝90°，∴ ∠DFC＝90°.
∴ ∠DFC＝∠DAE＝90°.在Rt△CDF和Rt△DEA中， ∴ Rt△CDF≌Rt△DEA. ∴ FD＝AE. ∵ DF＝2，∴ AE＝2
第6题
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类型二 菱形中的折叠问题
7. 如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE. 若∠D＝70°，则∠AEF的度数为（ C ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
C
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8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，延长EO交BC于点F. 将该菱形沿EF折叠，点A、B的对应点分别为A'、B'.若AE＝4，则B'F的长为 6 .
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9. 如图，将菱形ABCD沿着EF、GH折叠后，点B、D均落在对角线BD上的点M处.求证：四边形AEMG是平行四边形.
第9题
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解：由折叠，知EM＝EB. ∴ ∠EMB＝∠EBM. ∴ ∠AEM＝∠EMB＋∠EBM＝2∠EBM. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ∠EBF＝2∠EBM，AD∥BC. ∴ ∠AEM＝∠EBF. ∴ EM∥BF. 又∵ AG∥BF，∴ AG∥EM. 同理，可得AE∥MG. ∴ 四边形AEMG是平行四边形
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类型三 正方形中的折叠问题
10. 如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE＝2，CE＝4，将正方形沿AE折叠，使点B落在点F处，延长EF交DC于点G，连结AG、FC.
（1） 求∠EAG的度数；
第10题
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝90°.由折叠，可知AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，∠BAE＝∠EAF. ∴ ∠AFG＝∠ADG＝90°，AF＝AD. 在Rt△AGF和Rt△AGD中，
∴ Rt△AGF≌Rt△AGD. ∴ ∠GAF＝∠GAD. ∴ ∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝ （∠BAF＋∠DAF）＝ ∠BAD＝45°
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（2） 判断CF与AG之间的位置关系，并说明理由.
解：（2） CF∥AG 理由：连结DF. 设GD＝x.由（1），知Rt△AGF≌Rt△AGD. ∴ GF＝GD＝x.由题意，知EF＝BE＝2，CD＝BC＝BE＋CE＝2＋4＝6.∴ CG＝CD－GD＝6－x，EG＝EF＋GF＝2＋x.在Rt△ECG中，由勾股定理，得EG2＝EC2＋CG2，∴ （2＋x）2＝42＋（6－x）2，解得x＝3.
∴ GF＝GD＝3.∴ CG＝3.∴ GF＝GD＝CG. ∴ ∠GFC＝∠GCF，∠GDF＝∠GFD. ∴ 易得∠DFC＝90°.∴ CF⊥DF. 由（1），知AD＝AF. 又∵ GD＝GF，∴ 易得AG⊥DF. ∴ CF∥AG.
第10题
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10(共17张PPT)
第18章 矩形、菱形与正方形
阶段训练（18.1～18.2）
一、 选择题
1. （2024·衡阳衡山段考）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ C ）
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对边相等且平行
C
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2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则OC的长为（ B ）
A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3
B
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3. 在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC. 请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，则添加的条件不能是（ A ）
A. AC⊥BD
B. ∠BAD＝90°
C. ∠BCD＝∠ADC
D. AC＝BD
A
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4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边CD上，且BD＝BE. 若∠EBC＝12°，则∠BDC的度数为（ B ）
A. 66° B. 64°
C. 56° D. 52°
B
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5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， BCDE的顶点E在边AB上，连结CE、AD. 下列条件中，可以使四边形ADCE成为菱形的是（ C ）
A. CE⊥AB B. CD⊥AD
C. CD＝CE D. AC＝DE
C
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二、 填空题
6. 如图，菱形ABCD的面积为96，对角线AC＝12，则菱形ABCD的周长为 40 .
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7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠B＝30°，点E在BC上，且CE＝AC，则∠CDE的度数为 75° .
75°
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8. 如图，将△ABC沿着射线BC的方向平移得到△DEF，连结AD，只添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 答案不唯一，如AB＝AD （写出一个即可）.
答案不唯一，如AB＝
AD
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9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD于点E. 若∠BCE＝4∠DCE，则∠COE的度数为 36° .
36°
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10. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G. 若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是 22 .
22
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三、 解答题
11. 如图，四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角.
（1） 求证：AD⊥BF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形，∴ AB＝AD，AD＝AF. ∴ AB＝AF. ∵ ∠BAD＝∠FAD，∴ AD⊥BF
第11题
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（2） 若BF＝BC，求∠ADC的度数.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，AB∥CD. ∴ ∠BAD＋∠ADC＝180°.∵ BF＝BC，∴ BF＝AB. ∵ AB＝AF，∴ BF＝AB＝AF. ∴ △ABF是等边三角形.∴ ∠BAF＝60°.∵ ∠BAD＝∠FAD，∴ ∠BAD＝ ∠BAF＝30°.∴ ∠ADC＝180°－∠BAD＝150°
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第11题
12. 如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连结DF、AF、DE，AF与DE交于点O.
（1） 求证：四边形AEFD为矩形；
解：（1） ∵ BE＝CF，∴ BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF. ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC.
∴ AD＝EF. 又∵ AD∥EF，∴ 四边形AEFD为平行四边形.
∵ AE⊥BC，∴ ∠AEF＝90°.∴ 四边形AEFD为矩形
第12题
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（2） 若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长.
解：（2） 由（1），知四边形AEFD为矩形.∴ DF＝AE，AF＝DE＝2OE＝4.∵ AB＝3，AF＝4，BF＝5，∴ AB2＋AF2＝BF2.∴ △BAF为直角三角形，且∠BAF＝90°.∴ S△ABF＝ AB×AF＝ BF×AE. ∴ AB×AF＝BF×AE，即3×4＝5AE. ∴ AE＝ .∴ DF＝AE＝
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第12题
13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（不与点A重合），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连结QE.
（1） 求证：四边形AEPQ为菱形.
解：（1） ∵ EF∥AB，PQ∥AC，∴ 四边形AEPQ为平行四边形，∠BAD＝∠EPA. ∵ AD平分∠BAC，∴ ∠CAD＝∠BAD.
∴ ∠CAD＝∠EPA. ∴ EA＝EP. ∴ 四边形AEPQ为菱形
第13题
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（2） 当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？请说明理由.
解：（2） 当P为EF的中点时，S菱形AEPQ＝ S四边形EFBQ
理由：∵ 四边形AEPQ为菱形，∴ AD⊥EQ. ∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC. ∴ EQ∥BC. 又∵ EF∥AB，∴ 四边形EFBQ为平行四边形.过点E作EN⊥AB于点N. ∵ P为EF的中点，∴ EP＝ EF. ∴ S菱形AEPQ＝EP·EN＝ EF·EN＝ S四边形EFBQ.
第13题
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13(共17张PPT)
第18章 矩形、菱形与正方形
小专题（九） 与正方形有关的常考模型
类型一 十字模型
解：（1） 这两条路等长 理由：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°.∵ DE＝CF，∴ AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF. 在△BAE和△ADF中， ∴ △BAE≌△ADF. ∴ BE＝AF，即这两条路等长.
1. 已知四边形ABCD是一个正方形花园.
（1） 如图①，点E、F是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？并说明理由.
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（2） 如图②，在正方形四边上的点E、F、G、H处各开一个门，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，这两条路等长吗？并说明理由.
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解：（2） 这两条路等长 理由：如图②，过点E作EM⊥BC于点M，交HF于点P，过点H作HN⊥CD于点N，交EM于点Q. ∴ ∠EMG＝∠EMC＝90°，∠HNF＝∠HND＝90°.
∴ ∠EMG＝∠HNF. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A＝∠C＝∠D＝90°，AD＝CD. ∴ ∠A＝∠HND＝∠D＝90°，∠EMC＝∠C＝∠D＝90°.∴ 四边形AHND、EMCD都是矩形.
∴ EM∥CD，HN＝AD，EM＝CD. ∴ ∠HQP＝∠HNF＝90°，HN＝EM.
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∴ ∠NHF＋∠HPQ＝90°.∵ EG⊥FH，∴ ∠MEG＋∠HPQ＝90°.
∴ ∠MEG＝∠NHF. 在△EMG和△HNF中， ∴ △EMG≌△HNF. ∴ EG＝HF，即这两条路等长.
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类型二 手拉手模型
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解：（1） ∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴ BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°.∴ ∠BCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG，即∠BCG＝∠DCE. 在△BCG和△DCE中， ∴ △BCG≌△DCE. ∴ BG＝DE
第2题
2. 如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连结BG、DE. 求证：
（1） BG＝DE；
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（2） BG⊥DE.
解：（2） 设DC与BG的交点为O，DE与BG的交点为H. 由（1），知△BCG≌△DCE. ∴ ∠GBC＝∠EDC. ∵ ∠BCD＝90°，∴ ∠GBC＋∠BOC＝90°.∵ ∠BOC＝∠DOG，
∴ ∠EDC＋∠DOG＝90°.∴ ∠DHB＝90°，即BG⊥DE
第2题
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类型三 一线三垂直模型
① △ABE≌△EFG；② BE FG CF.
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3. （2025·长春朝阳段考）如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D、B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F. 若DE＝8，BF＝6，则EF的长是 14 .
第3题
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4. 如图，E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BC，交BC的延长线于点H.
（1） 求证：BE＝CH；
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠B＝90°，AB＝BC. ∴ ∠AEB＋∠BAE＝90°.∵ ∠AEF＝90°，∴ ∠AEB＋∠HEF＝90°.∴ ∠BAE＝∠HEF. ∵ FH⊥BC，∴ ∠H＝90°.
∴ ∠B＝∠H. 在△ABE和△EHF中，
∴ △ABE≌△EHF. ∴ BE＝HF，AB＝EH. ∴ AB＝BC＝EH. ∴ BC－EC＝EH－EC，即BE＝CH
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（2） 若AB＝3，BE＝x，连结DF，用x表示以DF为边长的正方形的面积.
解：（2） 如图，过点F作FP⊥CD于点P. ∵ ∠FPC＝∠PCH＝∠H＝90°，BE＝CH＝HF，∴ 四边形PCHF是正方形.
∴ PF＝PC＝CH＝BE＝x，PD＝CD－PC＝AB－PC＝3－x.在Rt△DPF中，由勾股定理，得DF2＝PD2＋PF2，即DF2＝（3－x）2＋x2＝2x2－6x＋9.∴ 以DF为边长的正方形的面积为DF2＝2x2－6x＋9
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类型四 半角模型
① △AEF≌△AEG；② EF BE DF；③ △CEF的周长为2AB.
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解：（1） 如图，延长CB至点G，使BG＝DN，连结AG. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°.∴ ∠ABG＝90°.∴ ∠D＝∠ABG. 在△ADN和△ABG中， ∴ △ADN≌△ABG. ∴ AN＝AG，∠DAN＝∠BAG. ∴ ∠MAG＝∠MAB＋∠BAG＝∠MAB＋∠DAN＝90°－∠MAN＝90°－45°＝45°.∴ ∠MAG＝∠MAN. 在△MAN和△MAG中， ∴ △MAN≌△MAG. ∴ MN＝MG＝BM＋BG＝BM＋DN
5. 如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，∠MAN＝45°.
（1） 求证：MN＝BM＋DN；
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（2） 当AB＝6，MN＝5时，求△CMN的面积.
解：（2） 由（1），知△MAN≌△MAG. ∴ MG＝MN＝5.∴ S△MAN＝S△MAG＝ MG·AB＝ ×5×6＝15.又∵ S△MAG＝S△ABG＋S△ABM＝S△ADN＋S△ABM，∴ S△CMN＝S正方形ABCD－S△ADN－S△ABM－S△MAN＝S正方形ABCD－2S△MAN＝6×6－2×15＝6
第5题答案
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5(共10张PPT)
第18章 矩形、菱形与正方形
18.1 矩 形
18.1.2 矩形的判定
第3课时 矩形判定的应用（2）
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. 如图，小逸同学利用刻度尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B、C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点.若∠BAC＝90°，则AD的长为（ B ）
A. 2cm B. 3cm C. 4.5cm D. 5cm
B
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2. （2025·陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（ C ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
C
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3. 如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为AC的中点，F为AD的中点，AC＝2DE. 若AB＝10，AD＝6，BC＝12，则EF的长为 2 .
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4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连结AE、BE. 若AE⊥BE，求∠ACE的度数.
第4题
解：∵ AE⊥BE，∴ ∠AEB＝90°.∵ CD是△ABC的中线，∴ D是AB的中点.
∴ ED＝AD. ∵ ∠DAC＝90°，E是CD的中点，∴ AE＝DE. ∴ AD＝DE＝AE.
∴ △ADE是等边三角形.∴ ∠ADE＝60°.∴ ∠ACE＝90°－∠ADC＝30°
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5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于点F，且AD＝DB. 若∠B＝20°，则∠DFE的度数为（ D ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
D
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6. 如图，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，F是边AB的中点，则DF的长为（ A ）
A. B. C. 2 D. 1
A
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7. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为AD边上一点，连结BE，F为BE的中点，连结OF、AF. 若△BED的周长为8，则△AOF的周长为 4 .
第7题
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8. 如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°.求证：四边形ABCD是矩形.
第8题
解：连结EO. ∵ O是AC、BD的中点，∴ AO＝CO，BO＝DO. ∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ 在Rt△EBD中，∠BED＝90°，O为BD的中点，∴ EO＝ BD. 同理，EO＝ AC. ∴ AC＝BD. ∴ 四边形ABCD是矩形
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