8.1 平行四边形 同步练 （4个课时,含答案）2025-2026学年数学苏科版八年级下册

8.1　平行四边形
第1课时　平行四边形的概念与性质(1)
1. 理解并掌握平行四边形的概念．
2. 理解并能利用平行四边形的对边相等、对角相等的性质进行计算与证明．
建议用时：15分钟
1 (2025镇江扬中模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，DC＝3，以B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点E，则CE的长为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
(第1题) (第4题) (第5题)
2 (教材P62练习T2变式)在 ABCD中，若∠B＝100°，则∠A，∠D的大小分别是(　　)
A. ∠A＝100°，∠D＝80° B. ∠A＝80°，∠D＝100°
C. ∠B＝80°，∠D＝80° D. ∠A＝100°，∠D＝100°
3 (2025南通海安期中)在平行四边形ABCD中，若∠B＋∠D＝160°，∠C＝________．
4 (2025南通海安期中)如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，DE＝4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB的长为________．
5 如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，E为边BC的中点，AD＝6，则AE的长为________．
6 (教材P61例1变式)如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，AE＝CF，EF交BD于点O.求证：OB＝OD.
7 如图，在 ABCD中，AB＝4 cm，AD＝7 cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．
建议用时：25＋5分钟
8 (2025南通启东月考)如图，在 ABCD中，E为边BC延长线上一点，连接AE，DE.若△ADE的面积为2，则 ABCD的面积为(　　)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
(第8题) (第9题) (第10题) (第11题)
9 (2025镇江丹阳月考)如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，则EF的长为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对
10 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角的大小等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′，若∠ADC＝60°，∠ADA′＝45°，则∠DA′E′＝________．
11 (2025南通启月考)如图，E是平行四边形ABCD内一点，△BCE是正三角形，连接AE，DE，若AE⊥AD，DE⊥EC，且AE＝1，∠ADE＝30°，则AB的长是________．
12 (2025南通如皋期中)如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1) 若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
(2) 求证：BE＝DF.
13 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边AB上一点，过点A作AH⊥BC于点H，以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接CE，交AH于点G，过点D作DF∥CE，交BA的延长线于点F，连接FG.
(1) 若G是线段EC的中点，AF＝7，CD＝16，BC＝20，求线段AG的长；
(2) 若AE＝AC，用等式表示BC，AG，FG的数量关系，并说明理由．
第2课时　平行四边形的概念与性质(2)
1. 理解平行四边形的对角线互相平分这一性质，并能进行计算与证明．
2. 了解平行四边形的中心对称性．
建议用时：15分钟
1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论中一定正确的是(　　)
A. AB＝AD B. OB＝OD C. AC⊥BD D. ∠ABD＝∠CBD
(第1题) 　(第3题) (第4题) (第5题)
2 已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝7，AC＝10，△ABO周长为16，则对角线BD的长为(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
3 如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，S ABCD＝60，则图中阴影部分的面积为(　　)
A. 15 B. 20 C. 30 D. 60
4 (教材P63例2变式)如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，若CD＝5，BD＝9，AC＝13，则△AOB的周长为________．
5 (2025青岛期末)如图，在 ABCD中，AB＝9，AD＝10，对角线AC，BD相交于点O，OM⊥AC，交BC于点M，则△ABM的周长为________．
6 (2025南通启东月考)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F.求证：OE＝OF.
7 (2025连云港海州月考)如图， ABCD的周长为26 cm，AC，BD相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小3 cm，求AB，BC的长．
建议用时：25＋5分钟
8 (2025南通启东月考)如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是(　　)
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
(第8题) (第9题) (第10题)
9 如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，BD＝2CD，F为AD的中点，E为OC的中点．若 BC＝18，则EF的长为(　　)
A. 9 B. 9.5 C. 10 D. 6
10 (教材P64练习T3变式)如图， ABCD的对角线相交于坐标原点O.若点A的坐标为(－，1)，点B的坐标为(－1，－1)，则BC＝________．
11 (2025 扬州广陵期末)已知四边形ABCD是平行四边形，点E在AD上，请仅用无刻度直尺按要求作图(保留作图痕迹，不写作法).
(1) 在图1中，过点E作直线EF将四边形ABCD的面积平分；
(2) 如图2，若CB＝CD，E为AD上的一点，请在CB上截取一点M，使得AE＝CM，并说明理由．
图1 图2
　
12 (2025无锡经济开发区月考)如图，四边形OABC是平行四边形，且点A的坐标是(5，0)，点O的坐标是(0，0)，点C的坐标是(2，3).
(1) 请直接写出点B的坐标为________；
(2) 已知D是线段CB上一个动点，若△OAD是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标；
(3) 已知直线：y＝kx＋b正好将 OABC分成面积相等的两部分，请求出k与b之间的函数关系式．
　备用图
第3课时　平行四边形的判定(1)
1. 理解平行四边形的判定定理1和2，并能进行计算与证明．
2. 感悟线段的平移变换与平行四边形间的内在联系．
建议用时：15分钟
1 下列四边形中，一定为平行四边形的是(　　)
A B C D
2 (2025南通海安期中)下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A. ∠A＝∠C，AB∥CD B. AB∥CD，AB＝CD
C. AB＝CD，AD∥BC D. AB∥CD，AD∥BC
3 (2025南通启东月考)下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是(　　)
A. 两个等腰三角形 B. 两个全等三角形
C. 两个锐角三角形 D. 两个直角三角形
4 (2025徐州沛县月考)在四边形ABCD中，AD∥BC，下列四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③AD＝BC；④∠B＝∠C，其中能使四边形ABCD为平行四边形的是________．(填序号)
5 (2025无锡滨湖期末)在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝55°，则∠C＝________．
6 (2025南通月考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点E在边BA的延长线上，过点C作CF∥BE，AD平分∠CAE交CF于点D，若AD＝6，求四边形ABCD的周长．
7 (2025南通如皋月考)如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF.求证：四边形ABDF是平行四边形．
建议用时：25＋5分钟
8 (2025南通如皋期末)如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B的大小为(　　)
A. 54° B. 60° C. 66° D. 72°
(第8题) (第10题)
9 (2025南京秦淮月考)对于四边形ABCD，给出下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④BC＝AD；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D，从中任取两个条件，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有(　　)
A. 9种 B. 11种 C. 13种 D. 15种
10 如图，在 ABCD中，AB⊥AC，E，F分别在边BC和AD上，EF∥AB，交AC于点P.若 CD＝6，AC＝8，CE＝7，则AF的长为________．
11 (教材P66例3变式)如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN.
(1) 求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2) 若AB＝12，EM＝EN＝5，求四边形ABCD的面积．
12 (2025 常州期末)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q，设点P的运动时间为t s.
(1) 求BQ的长(用含t的代数式表示)；
(2) 当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；
(3) 当点O在线段CQ的垂直平分线上时，求t的值．
第4课时　平行四边形的判定(2)
1. 理解平行四边形的判定定理3，并能进行计算与证明．
2. 会用平行四边形的性质和判定方法进行简单的证明．
建议用时：15分钟
1 (2025扬州宝应期末)下列四边形中，不一定是平行四边形的是(　　)
A B C D
2 (2025南通通州期末)如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A. AB∥DC，AD∥BC B. AB＝DC，AD＝BC
C. AO＝CO，BO＝DO D. AB∥DC，AD＝BC
(第2题) (第3题) (第5题)
3 (2025南京鼓楼期末)如图，在 ABCD中，对角线相交于点O，点E，F在直线AC上(不同于点A，C)，当E，F的位置满足____________的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
4 (2025南通启东月考)若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14 cm，则当OA＝________ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
5 (2025南通海门月考)如图，在四边形ABCD中，AD＝12，DO＝BO＝5，AC＝26，O为AC的中点，则∠DBC＝________．
6 (2025泰州靖江月考)如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF.求证：四边形AFCD是平行四边形．
7 (2025常州天宁期末)如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接DE，BF.
(1) 求证：AE＝CF.
(2) 连接BD交AC于点O，若BE＝4，EF＝6，试说明四边形BEDF是平行四边形，并求BD的长．
建议用时：25＋5分钟
8 (2025泰州兴化期中)如图，E是 ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是(　　)
A. ∠ABD＝∠DCE B. DF＝CF C. ∠AEB＝∠BCD D. ∠AEC＝∠CBD
(第8题)　 (第9题) 　(第10题)　 (第12题)
9 如图，在△ABC中，小美同学按如下步骤尺规作图：①分别以点A，C为圆心，以大于 AC 为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF，交AC于点O，交BC于点G；③作射线BO，在射线BO上截取OD(点B与D不重合)，使得OD＝OB；④作直线AD.若OA＝OG＝BG，则∠ADO的度数是(　　)
A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 37.5°
10 (2025南通海门期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ交AC于点O，则PQ的最小值是(　　)
A. B. C. D.
11 在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(0，1)，C(3，1)，若线段AC与BD互相平分，则点D的坐标为________．
12 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE，S△AEF＝7，图中有________个平行四边形，四边形BCFD的面积为________．
13 (2025泰州期末)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现在，小智、小慧两个同学给出了两种不同的方案如下：
小智的方案：分别取AO，CO的中点E，F；
小慧的方案：过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F.
(1) 请你在两个方案中任选一个证明四边形BEDF为平行四边形；
(2) 请你给出一种和他们不同的方案，用文字表达你的方案，并在图中标记字母．
小智的方案 小慧的方案 你的方案
14 (2025苏州相城期末)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点(点E，F始终在 ABCD的外面)，连接AE，CE，CF，AF.
(1) 若DE＝OD，BF＝OB.
①求证：四边形AFCE为平行四边形；
②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求AE的长；
(2) 若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由；
(3) 若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．
微专题2　平行四边形中的折叠与动点问题
类型一：平行四边形中的折叠问题
1 (2025泰州高港模拟)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1＝56°，∠2＝40°，则∠A的度数为(　　)
A. 68° B. 70° C. 110° D. 112°
(第1题) (第2题) 　(第3题) (第4题)
2 (2025常州新北月考)如图，在 ABCD中，∠BAD＝110°，E，F分别为AB，CD的中点，将 ABCD沿直线EF折叠，点C落在边AD上的点G处，则∠GFD的度数为(　　)
A. 70° B. 55° C. 50° D. 40°
3 如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点A′落在CD的延长线上，若∠A′BC＝90°，则AE的长是(　　)
A. B. C. 1 D.
4 (2025常州月考)如图，将一张平行四边形ABCD纸片沿着AE折叠，点B的对应点F恰好落在AD上，连接EF，若∠C＝120°，CD＝2，则图中阴影部分的面积是(　　)
A. 4 B. C. D. 2
5 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，将平行四边形ABCD沿着EF折叠，点B，C分别落在直线AD上的点B′，C′处，若∠C′FD＝66°，则∠A的度数为________．
(第5题) 　(第6题)
6 (2025南通如皋月考)如图，在 ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是________．
7 如图，在 ABCD中，E，F是边AB，CD上的点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝2，AB＝4，求BE的长．
8 (2025苏州姑苏期中)如图1，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE.
(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；
(2) 如图2，将 ABCD沿直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，AD于点H，M.
①求证：ME＝FG；
②如图3，连接MG，求证：MG∥EF.
图1 图2 图3
类型二：平行四边形中的动点问题
9 如图1， ABCD边上有一动点P，从点A出发，沿A→B→C→D方向，以每秒2 cm的速度运动，设点P的运动时间是t s，△DAP的面积为S cm2，S与t之间的函数关系图象如图2 所示．
(1) 点G表示的横坐标为________；
(2) 点D到边BC的距离是________cm.
图1 图2
(第9题) (第10题)　　
10 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6 cm，BC＝10 cm，M是BC上一点，且BM＝4 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t s，当t为________s时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
11 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8 cm.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4 cm/s；同时点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为 1 cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t(单位：s，0＜t＜2.5)，当t为________s时，以P，Q，D，M为顶点的四边形是平行四边形．
12 (2025南京高淳期末)如图，在 ABCD中，AB＝BC＝4 cm，AE是∠BAD的平分线，点P从点E出发，沿EC方向以1 cm/s的速度向点C运动，点Q从点D出发，以5 cm/s的运动速度，沿射线DA方向运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动时间为t s.
(1) 求BE的长；
(2) 是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3) 当t取何值时，线段PQ将 ABCD分成面积相等的两部分？
8．1　平行四边形
第1课时　平行四边形的概念与性质(1)
1. A　2. B　3. 100°　4. 6　5. 3
6. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，且AD＝BC，
所以∠ODE＝∠OBF.
又因为AE＝FC，
所以AD－DE＝BC－FC，即DE＝BF.
在△ODE和△OBF中，
所以△ODE≌△OBF(AAS)，
所以OD＝OB.
7. 解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，BC＝AD＝7 cm，CD＝AB＝4 cm，
所以∠ABE＝∠F.
因为BF平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE，
所以∠F＝∠CBE，即FC＝BC＝7 cm，
所以DF＝FC－CD＝7－4＝3(cm).
8. B　9. B　10. 165°　11.
12. (1) 解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，所以∠ABC＋∠BCD＝180°.
因为CF平分∠DCB，所以∠BCD＝2∠BCF.
因为∠BCF＝60°，所以∠BCD＝120°，
所以∠ABC＝180°－120°＝60°.
(2) 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
所以∠ABE＝∠CDF .
因为AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
所以∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，
所以∠BAE＝∠DCF，
所以△ABE≌△CDF(ASA)，
所以BE＝DF.
13. 解：(1) 因为四边形ABCD是平行四边形，CD＝16，
所以AB＝CD＝16，AB∥CD.
因为∠BAC＝90°，BC＝20，
所以AC＝＝＝12.
因为DF∥CE，AB∥CD，
所以四边形CDFE是平行四边形，
所以EF＝CD＝16.
因为AF＝7，所以AE＝EF－AF＝9.
又∠BAC＝90°，
所以CE＝＝＝15.
因为G是线段EC的中点，
所以AG＝CE＝.
(2) BC＝AG＋FG，理由如下：
如图，在AD上取点K，使AK＝AG，连接CK.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
所以∠ACD＝∠BAC＝90°.
因为AH⊥BC，AH⊥AD，
所以∠HAK＝∠BAC＝90°，
所以∠HAK－∠CAH＝∠BAC－∠CAH，即∠CAK＝∠EAG.
在△ACK和△AEG中，
所以△ACK≌△AEG(SAS)，
所以∠ACK＝∠AEG，CK＝EG，AK＝AG.
因为AE＝AC，∠BAC＝90°，
所以△ACE是等腰直角三角形，
所以∠AEC＝45°，所以∠ACK＝45°，
所以∠DCK＝∠ACD－∠ACK＝45°，
所以∠FEG＝∠DCK.
因为四边形CDFE是平行四边形，
所以 CD＝EF.
在△EFG和△CDK中，
所以△EFG≌△CDK(SAS)，所以FG＝DK.
因为AD＝AK＋DK，
所以BC＝AG＋FG.
第2课时　平行四边形的概念与性质(2)
1. B　2. D　3. C　4. 16　5. 19
6. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，OA＝OC，
所以∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
所以△AOE≌△COF(ASA)，
所以OE＝OF.
7. 解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.
因为△AOB的周长比△BOC的周长多3 cm，
所以(OA＋OB＋AB)－(OB＋OC＋BC)＝3(cm)，
即AB－BC＝3(cm).
因为 ABCD的周长为26 cm，
所以AB＋BC＝13(cm)，
所以AB＝8 cm，BC＝5 cm.
8. A　9. A　10. ＋1
11. 解：(1) 如图1，直线EF即为所求．
(2) 如图2，点M即为所求．理由如下：
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，OA＝OC，
所以∠AEO＝∠CMO.
因为∠AOE＝∠COM，
所以△AEO≌△CMO(AAS)，
所以AE＝CM.
图1 图2
12. 解：(1) (7，3)
(2) 因为D是线段CB上一个动点，
所以设D(m，3)，且2≤m≤7.
①当OD＝OA＝5时，△OAD是等腰三角形，
由勾股定理，得OD＝＝5，
所以m＝4(负值舍去)，
所以点D的坐标为(4，3)；
②当OD＝AD时，△OAD是等腰三角形，
则点D在OA的垂直平分线上，
所以点D的坐标为(2.5，3)；
③当OA＝AD＝5时，
由勾股定理，得AD＝＝5，
所以m＝9>7(不符合题意，舍去)，m＝1<2(不符合题意，舍去).
综上，点D的坐标为(4，3)或(2.5，3).
(3) 连接AC，OB相交于点E.
因为四边形OABC是平行四边形，
所以AE＝CE.
因为点A的坐标为(5，0)，点C的坐标为(2，3)，
所以点E的坐标为.
因为y＝kx＋b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两部分，
所以直线y＝kx＋b过点E，
所以＝k＋b，所以k＝，
即k与b之间的函数关系式为k＝－b＋.
第3课时　平行四边形的判定(1)
1. C　2. C　3. B　4. ①③　5. 55°
6. 解：如图，因为AB＝AC＝5，
所以∠1＝∠2.
因为AD平分∠CAE交CF于点D，
所以∠3＝∠4＝∠CAE.
因为∠1＋∠2＝∠CAE，
所以∠1＋∠2＝∠3＋∠4，即∠2＝∠4，
所以BC∥AD.
因为CF∥BE，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以CD＝AB＝5，BC＝AD＝6，
即四边形ABCD的周长是(5＋6)×2＝22.
7. 证明：因为AB平分∠CAE，
所以∠CAB＝∠BAE.
因为AB∥DF，所以∠BAE＝∠DFE，
所以∠CAB＝∠EFD.
在△CAB和△EFD中，
所以△CAB≌△EFD(ASA)，
所以AB＝FD.
又因为AB∥FD，
所以四边形ABDF是平行四边形．
8. D　9. A　10. 3
11. (1) 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝DC，AB∥DC.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以BE＝AB，DF＝DC，所以BE＝DF.
因为BE∥DF，
所以四边形BFDE是平行四边形．
(2) 解：连接EF.
因为四边形BFDE是平行四边形，
所以DE＝BF.
因为M，N分别是BF，DE的中点，
所以EN＝DN＝BM＝FM＝BF.
因为EM＝EN＝5，所以EM＝BF，
所以∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10.
因为AB＝12，所以BE＝6，
所以EF＝＝＝8，
所以四边形ABCD的面积为AB·EF＝12×8＝96.
12. 解：(1) 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，AD∥BC，
所以∠PAO＝∠QCO.
因为∠AOP＝∠COQ，
所以△APO≌△CQO(ASA)，
所以AP＝CQ＝t.
因为BC＝10，所以BQ＝10－t.
(2) 因为AP∥BQ，
所以当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t＝10－t，解得t＝5，
所以当t＝5时，四边形ABQP是平行四边形．
(3) 如图，过点O作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F.
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10，
所以AC＝＝8，AO＝CO＝AC＝4，
所以S△ABC＝AB·AC＝BC·EF，
即6×8＝10EF，所以EF＝，
所以OF＝EF＝.
因为OF是CQ的垂直平分线，
所以CF＝QC＝t，∠CFO＝90°.
由勾股定理，得CF2＋OF2＝CO2，
所以＋＝42，
解得t＝或t＝－(舍去)，
所以当t＝时，点O在线段CQ的垂直平分线上.
第4课时　平行四边形的判定(2)
1. B　2. D　3. AE＝CF(答案不唯一)　4. 7　5. 90°
6. 证明：因为CD∥AB，所以∠AFE＝∠CDE.
因为E是AC的中点，所以AE＝CE.
在△AEF和△CED中，
所以△AEF≌△CED(AAS)，
所以FE＝DE，
所以四边形AFCD是平行四边形．
7. (1) 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD，
所以∠BAE＝∠DCF.
因为BE⊥AC，DF⊥AC，
所以BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE和△CDF中，
所以△ABE≌△CDF(AAS)，
所以AE＝CF.
(2) 解：在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
且AE＝CF，则OE＝OF，
所以四边形BEDF为平行四边形，
所以OE＝OF＝EF＝3，
在Rt△EBO中，OB＝＝＝5，
所以BD＝2OB＝10.
8. C　9. B　10. B　11. (5，3)　12. 2　28
13. (1) 证明：若选小智的方案，连接BD.
因为在 ABCD中，O是对角线AC的中点，
所以AO＝CO，BO＝DO.
因为E，F分别为AO，CO的中点，
所以EO＝FO，
所以四边形BEDF为平行四边形．
若选小慧的方案，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC，AD∥CB，
所以∠EAD＝∠FCB.
因为BE⊥AC，DF⊥AC，
所以BE∥DF，∠BEF＝∠AFD＝90°.
在△ADF和△CBE中，
所以△ADF≌△CBE(AAS)，
所以BE＝DF.
因为BE∥DF，
所以四边形BEDF为平行四边形．
(2) 解：如图，在AC上取AE＝CF，即可得到四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
连接BD.
因为在 ABCD中，O是对角线AC的中点，
所以AO＝CO，BO＝DO.
因为AE＝CF，所以AO－AE＝CO－CF，
即EO＝FO，
所以四边形BEDF为平行四边形．
14. (1) ①证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，OB＝OD.
因为DE＝OD，BF＝OB，
所以DE＝BF，所以OE＝OF，
所以四边形AFCE为平行四边形．
②解：在 ABCD中，AD∥BC，
所以∠DAC＝∠BCA.
因为CA平分∠BCD，所以∠BCA＝∠DCA，
所以∠DCA＝∠DAC，所以AD＝CD.
因为OA＝OC，所以OE⊥AC，
所以OE是AC的垂直平分线，所以AE＝CE.
因为∠AEC＝60°，所以△ACE是等边三角形，
所以AE＝AC＝2OA＝10(cm).
(2) 解：若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE是平行四边形，理由如下：
因为DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB，
所以DE＝BF，
所以OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE.
因为OA＝OC，
所以四边形AFCE为平行四边形．
(3) 解：若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE为平行四边形，理由如下：
因为DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB，
所以DE＝BF，
所以OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE.
因为OA＝OC，
所以四边形AFCE为平行四边形．
微专题2　平行四边形中的折叠与动点问题
1. D　2. D　3. B　4. C　5. 57°　6.
7. 解：如图，过点C作CH⊥AB于点H.
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC.
因为∠A＝60°，所以∠CBH＝∠A＝60°，
所以∠BCH＝30°.
因为BC＝AD＝2，所以BH＝BC＝1.
由勾股定理，得CH＝＝.
设BE＝x，所以AE＝4－x，
由折叠，得CE＝AE＝4－x，
在Rt△CEH中，由勾股定理，得(1＋x)2＋()2＝(4－x)2，
解得x＝，所以BE＝.
8. 证明：(1) 因为在 ABCD中，AD∥BC，AO＝OC，
所以∠DAC＝∠BCA.
在△AOE和△COF中，
所以△AOE≌△COF(ASA)，
所以AE＝CF.
又AD∥BC，
所以四边形AECF是平行四边形．
(2) ①如图1，延长A1E，CB交于点T.
由(1)可得AE＝CF.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，∠A＝∠C，
所以∠1＝∠2，
由折叠可知∠A＝∠A1，A1E∥B1F，AE＝A1E，
所以∠2＝∠3，A1E＝CF，∠A1＝∠C，
所以∠1＝∠3，
所以△A1EM≌△CFG(ASA)，
所以EM＝FG.
②如图2，过点G作GK∥EM，交EF于点K，
所以∠DEF＝∠GKF.
因为将 ABCD沿直线EF折叠，
所以∠BFE＝∠GFE.
因为AD∥BC，所以∠BFE＝∠DEF，
所以∠DEF＝∠GFE，所以∠GFK＝∠GKF，
所以GK＝GF.
又因为GF＝ME，所以GK＝ME，
所以四边形EKGM是平行四边形，
所以MG∥EF.
图1 图2
9. (1) 8　(2) 5.5　10. 4或　11. 或2
12. 解：(1) 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，所以∠AEB＝∠DAE.
因为AE是∠BAD的角平分线，
所以∠BAE＝∠DAE，
所以∠BAE＝∠AEB，
所以BE＝AB＝4 cm.
(2) 由(1)知，BE＝4 cm.
因为AB＝BC＝4 cm，
所以BC＝8 cm，
所以CE＝BC－BE＝4 cm.
由题意知，EP＝t cm，DQ＝5t cm(0≤t≤4).
因为AD∥BC，要使以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只要EP＝AQ.
①当点Q在边AD上时，
因为AD＝BC＝8 cm，
所以AQ＝AD－DQ＝(8－5t) cm，
所以t＝8－5t，解得t＝.
②当点Q在边DA的延长线上时，AQ＝DQ－AD＝5t－8，
所以t＝5t－8，解得t＝2.
综上，当t＝ s或t＝2 s时，以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
(3) 如图，连接AC，交PQ于点O.
因为线段PQ将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，
所以PQ经过AC的中点，
所以OA＝OC.
因为AD∥BC，所以∠PCO＝∠QAO.
在△POC和△QOA中，
所以△POC≌△QOA(ASA)，
所以PC＝QA.
因为EP＝t cm，DQ＝5t cm，
所以PC＝(4－t)cm，AQ＝(8－5t)cm，
所以4－t＝8－5t，解得t＝1，
所以当t＝1 s时，线段PQ将平行四边形 ABCD 分成面积相等的两部分．