8.2 特殊的平行四边形 同步练（5个课时,含答案）2025-2026学年数学苏科版八年级下册

8.2　特殊的平行四边形
第1课时　矩形的概念与性质
1. 了解矩形的概念．
2. 理解矩形的性质定理，并能运用矩形的性质定理解决问题．
建议用时：15分钟
1 (2025泰州靖江月考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论中一定正确的是(　　)
A. OA⊥OB B. ∠BAC＝∠ACB C. OA＝OB D. AD＝AB
(第1题) 　(第2题) (第3题)　 (第4题)
2 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的度数为(　　)
A. 55° B. 40° C. 35° D. 20°
3 笛卡尔在《几何》一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标是(－1，2)，则AC的长为________．
4 (2025南通海安月考)如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D1，C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EGB＝128°，则∠EFG＝________．
5 (2025南通海门月考)如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AD上，且AE＝DF，求证：BF＝CE.
6 (2025南通启东月考)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在边OC上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在边BC上的点E处，求D，E两点的坐标．
建议用时：25＋5分钟
7 (2025无锡期中)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数是(　　)
A. 45° B. 30° C. 20° D. 15°
(第7题) (第8题) (第9题) (第10题)
8 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E是射线BC上的动点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E，连接B′D，当△AB′D是直角三角形时，BE的长为(　　)
A. 18 B. 2 C. 3或4 D. 2或18
9 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，AE平分∠BAD，则DE的长为________．
10 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，E是边AB上的动点，过点E分别作AC，BC的垂线段，垂足分别为F，G，连接FG，则FG的最小值为________.
11 (2025苏州模拟)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F.过点C作CG⊥AF于点G，连接DG，BG.
(1) 求证：BG＝DG；
(2) 连接BD，求∠BDG的度数．
12 (2025南通海门月考)如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB′E，延长AB′与直线CD交于点M.
(1) 求证：AM＝MF；
(2) 如图2，当E是边BC的中点时，求CM的长；
(3) 当CF＝4时，求CM的长．
图1 图2 备用图
第2课时　矩形的判定
1. 掌握矩形的判定方法，灵活选择矩形的判定定理，判定一个四边形是矩形．
2. 了解两条平行线间距离的定义，会用两条平行线间的距离来解决问题．
建议用时：15分钟
1 (2025南通海门月考)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　)
A. AB＝CD B. AD＝BC C. AC＝BD D. AB＝BC
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题)
2 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　)
A. AB＝BE B. CE⊥DE C. ∠ADB＝90° D. BE⊥AB
3 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是____________．(填一个条件即可)
4 如图，AB∥CD，AD∥BC，AD＝2，BE＝5，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为________．
5 (2025常州金坛期末)如图，在 ABCD中，O是边AB的中点，且∠ODC＝∠OCD，求证：四边形ABCD是矩形．
6 (2025苏州相城月考)如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F.
(1) 求证：四边形ABEC是平行四边形；
(2) 连接AC，BE，当∠AFC与∠D满足什么数量关系时，四边形ABEC是矩形，并说明理由．
建议用时：25＋5分钟
7 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是(　　)
A. 甲量得窗框两组对边分别相等
B. 乙量得窗框的对角线相等
C. 丙量得窗框的一组邻边相等
D. 丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
8 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若AB＝4，BE＝5，则CE的长为________．
9 (2025泰州泰兴月考)如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当____________时，四边形ACBD为矩形．
10 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF.
(1) 求证：四边形ABCD是矩形．
(2) 若∠BAE＝∠EAD，求∠AOE的度数．
11 (2025南京江宁期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G，H分别是AD，BC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，始终保持AE＝CF，连接EH，HF，FG，GE.
(1) 求证：△AGE≌△CHF；
(2) 求证：四边形EGFH是平行四边形；
(3) 已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t(0≤t≤10)s，若四边形EGFH为矩形，求t的值．
第3课时　菱形的概念与性质
1. 掌握菱形的概念与性质定理．
2. 能运用菱形的性质定理解决有关问题．
建议用时：15分钟
1 (2025南通海门期中)如图，菱形ABCD的对角线AC＝5，BD＝10，则该菱形的面积为(　　)
A. 50 B. 25 C. D. 12.5
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题)
2 (2025南通海安月考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，菱形ABCD的周长为40，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E，F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是(　　)
A. 30 B. 25 C. 20 D. 15
3 如图，在菱形ABCD中，E为边AB的中点，OE＝3，则菱形ABCD的周长为________．
4 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝80°，E是线段AO上一点，且BC＝CE，则∠OBE的度数是________．
5 (2025盐城东台月考)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE＝DF，连接CE，CF.求证：△BEC≌△DFC.
6 (2025无锡江阴期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E.
(1) 求证：四边形CODE是矩形；
(2) 若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．
建议用时：25＋5分钟
7 如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为(　　)
A. 24 B. 20 C. 16 D. 12
(第7题) (第8题) (第9题) (第10题)
8 (2025南通海门月考)如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，P是边BC上的一动点，则AP的最小值为(　　)
A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 5.5
9 (2025南通海安月考)如图，菱形ABCD的周长为32，面积为36，P是对角线BD上一点，分别作点P到直线AB，AD的垂线段PE，PF，则PE＋PF的值为________．
10 (盐城东台期中)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为________．
11 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1) 求证：△ABE≌△ADF；
(2) 若∠B＝60°，求证：△AEF为等边三角形．
12 (2025南通海门期末)如图，E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且∠DAB＝∠EAG，连接EB，GD.
(1) 求证：EB＝GD；
(2) 若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长；
(3) 连接DE，BG，若∠GAB＝90°，BG2＝10，DE2＝10＋4，求△AEB的面积．
第4课时　菱形的判定
1. 掌握并熟练运用菱形的判定定理．
2. 综合运用菱形的性质定理和判定定理解决问题．
建议用时：15分钟
1 如图，四边形ABCD是平行四边形，则下列条件中，能判定 ABCD为菱形的是(　　)
A. ∠DAB＝90° B. ∠ABC＝∠BCD C. AC⊥BD D. AC＝BD
(第1题) (第2题)　 (第3题) (第4题)
2 (2025南通海安月考)如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB，分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为6 cm2，则OC的长为(　　)
A. 3 cm B. 12 cm C. 6 cm D. 8 cm
3 (教材P81练习T1变式)如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC.请你再添加一个适当的条件：________________，使四边形AFDE为菱形．
4 如图，以点A为圆心，5为半径画弧，再以点B为圆心，5为半径画弧，两弧相交于M，N两点，已知AB＝6，则以A，B，M，N四点为顶点的四边形的面积是________．
5 (2025苏州高新区期末)在同一平面内，将两个完全相同，含有30°角的直角三角板，按如图所示的位置摆放，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠CAB＝∠EDF＝30°，点A，E，B，D依次在同一直线上，且E是AB的中点，连接BF，CE.求证：四边形BCEF是菱形．
6 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD.
(1) 求证：四边形ABCD是菱形；
(2) 过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝3，BD＝6，求OE的长．
建议用时：25＋5分钟
7 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列 4组条件：①AB＝BC＝CD＝AD；②∠ABC＝∠BCD，∠CDA＝∠DAB；③OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD；④∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，其中能得到“四边形ABCD是菱形”的条件有(　　)
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
(第7题) 　(第8题) (第9题)　 (第10题)
8 (2025镇江期中)如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则点A到BC的距离为________.
9 (2025常州新北模拟)如图，四边形ABCD为平行四边形，且BD平分∠ABC，作DE⊥BC，垂足为E.若BD＝24，AC＝10，则DE＝________．
10 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上的一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形．
11 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.
(1) 求证：四边形OCED为菱形；
(2) 连接BE，交AC于点F，求证：AC平分BE.
12 (2025南通通州期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＞60°，点P在边AB上(不与点A，B重合)，连接CP，平移线段CP，使点C与点B重合，得到线段BQ，连接PQ.
(1) 根据题意补全图形，若∠A＝2∠Q，求∠BCP＋∠BPQ的度数；
(2) 连接AQ，若AB平分∠CAQ，求证：四边形BCPQ是菱形；
(3) 在(2)的条件下，设∠BCP＝x，∠CAQ＝y，试用等式表示y与x之间的数量关系，并说明理由．
　备用图
第5课时　正方形的性质与判定
1. 理解正方形的性质定理和判定定理，并会用来解决相关问题．
2. 理解平行四边形、矩形、菱形与正方形间的内在联系，理解特殊与一般的关系．
建议用时：15分钟
1 (2025淮安期中)在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，则这个条件可以是(　　)
A. ∠D＝90° B. AB＝CD C. AC＝BD D. BC＝CD
2 (2025南通启东期中)如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E在边BC上，以点D为圆心，DC长为半径画弧，交线段DE于点F.若EF＝EB，则CE的长为(　　)
A. 2 B. C. D.
(第2题) 　(第3题)　 (第4题)
3 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，则∠AED的度数是________．
4 如图，P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PE⊥AD于点E，连接CP，AP.若AE＝1，PC＝，则PE＝________．
5 (2025南通启东月考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE交于点F，求∠BFC的度数．
6 (2025苏州期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形AEDF是正方形．
建议用时：25＋5分钟
7 (2025南通海门期中)如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，若AB＝4，则△DEC的面积是(　　)
A. 4 B. 6 C. 2 D. 4
(第7题) (第8题) 　(第9题)
8 (2025南通海门联考)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝8，DE＝AF＝2，则GF的长为________．
9 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，DE＝1，作EF∥BC，分别交AC，AB于点G，F，且M，N分别是AG，BE的中点，则MN的长是________．
10 (2025南通启东期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1) 求证：四边形ABCD是菱形；
(2) 若BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
11 (2025南通海门期中)在正方形ABCD中，G是射线AC上一动点(不与点A，C重合)，连接BG，作BH⊥BG，且使BH＝BG，连接GH，CH.
(1) 如图1，若点G在线段AC上．
①图中与△ABG全等的三角形是____________；
②线段AG，CG，GH之间的数量关系是______________；
(2) 如图2，若G在AC的延长线上，则线段AG，CG，BG之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
图1 图2
　
微专题3　正方形中的常见模型
类型一：“十字架”模型
1 (2025苏州吴中期末)如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别是边BC，CD上的点，连接AF，作EH⊥AF于点H，延长EH交边AD于点G.
(1) 判断∠AFD与∠GEC的数量关系，并说明理由；
(2) 如图2，若CE＝CF，连接CH，判断线段EH，FH，CH的数量关系，并说明理由；
(3) 在(2)的条件下，若AG＝2，DG＝1，则CH的长为________．
图1 图2 备用图
类型二：“半角”模型
2 (2025南京六合期中)如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．
(1) 【思路梳理】把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，请根据以上思路推导出EF，BE，DF之间的数量关系；
(2) 【类比引申】如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°.连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．
(3) 【联想拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°.若BD＝1，EC＝2，则DE的长为________．
图1 图2 图3
类型三：三垂直模型
3 (2025南通崇川期中)如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF.延长AE交CF于点G，连接DE.
(1) 试判断四边形BEGF的形状，并说明理由；
(2) 若BE＝3，CG＝1，求DE的长．
4 已知四边形ABCD是正方形．
(1) 如图1，若G是边CD上任意一点(不与点C，D重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，作DE⊥AG于点E，求证：△ABF≌△DAE；
(2) 如图2，若G是线段CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，判断线段EF与AF，BF的数量关系，并说明理由；
(3) 若G是直线BC上任意一点(不与点B，C重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，探究线段EF与AF，BF的数量关系．(请画图，直接写答案)
图1 图2
微专题4　特殊平行四边形中的折叠问题
类型一：矩形的折叠
1 (2025南通海门月考)如图，对折矩形ABCD的纸片，使AB与DC重合，得到折痕EF，将△ADH再对折到△GDH，使得点A落在EF上，且与点G重合，则∠HDG的度数为(　　)
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
(第1题) (第2题) 　(第3题) 　(第4题)
2 (2025盐城亭湖期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则AF的长为(　　)
A. 4 B. 8 C. 6 D. 10
3 如图，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在边DC上的点F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．
4 (2025南京建邺期中)如图，将矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在边AD上的点B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是________．
5 【阅读理解】在矩形纸片ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠至△FDE，延长DF与直线BC交于点G.
(1) 【操作尝试】若AB＝12，AE＝6且点F落在边DC上，则矩形ABCD的面积为________；
(2) 【理解探究】若AB＝12，AE＝6且点F落在矩形内部，点G在边BC上，如图，BG＝4，求矩形ABCD的面积；
(3) 【探究拓展】若AB＝12，AE＝4且BG＝4，直接写出矩形ABCD的面积．
类型二：菱形的折叠
6 (2025 镇江京口月考)如图，将一张菱形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EF＝4，EH＝3，则AB＝________．
7 在菱形纸片ABCD中，∠BCD＝60°.
(1) 如图1，连接AC，折叠菱形纸片ABCD，使点A落在对角线AC上的点P处，折痕分别交AB，AD于点F，E.判断四边形AFPE的形状，并说明理由；
(2) 将菱形纸片ABCD沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为P，折痕交AD于点E，EP交CD于点G.判断DG和PG的数量关系，并说明理由．
图1 图2
　
类型三：正方形的折叠
8 (2025扬州邗江模拟)如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△CBE沿BE折叠，得到△FBE，延长EF交AD于点G.若正方形ABCD的边长为4，则AG的长为________．
(第8题) (第9题) 　(第10题)
9 (2025苏州太仓期末)如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在点C′处，若AB＝5，AD′＝2，则折痕MN的长为________．
10 (2025南通海门期中) 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，则△BEG的周长为________．
11 如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E在边AB上，AE＝，F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，将△EBF沿EF折叠，点B落在点B′处．若△CDB′为等腰三角形，求DB′的长．
微专题5　特殊平行四边形中的最值问题
类型一：利用轴对称求最值
1 如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，且BE∶AE＝1∶4，若P是对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．
2 如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，若P为BD上一点，求△PCE周长的最小值．
3 (2025扬州江都月考)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到边AB上的点D′处，折痕交边CD于点E.
(1) 求证：四边形BCED′是菱形；
(2) 若P是直线l上的一个动点，请作出使PD′＋PB为最小值的点P，并求出PD′＋PB的最小值．
类型二：利用垂线段最短求最值
4 (2025南通通州月考)如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为边BC，CD上一点，且OE⊥OF，连接EF.若AB＝2，则EF的最小值是(　　)
A. B. 1 C. D.
(第4题) (第5题) (第6题)
5 (2025南通启东期中)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，BC＝2，E，F分别是边AD，BC上的两个动点，连接AF，EF，若FA平分∠BFE，则AE的最小值为________．
6 (2025 无锡锡山期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为边AB上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝2，∠BAD＝60°，则EF的最小值为________．
类型三：利用三角形三边关系，三点共线求最值
7 (2025南京建邺模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝8，E是边AB的中点，F是射线BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则B′D的最小值是________．
8 (2025宿迁宿城期中)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，连接EF，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH.若AB＝12，AD＝9，EF＝6，求GH的最小值．
类型四：利用全等转换线段求最值
9 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，E是AB上一点，且BE＝3 cm，P是对角线AC上一动点，求PB＋PE的最小值．
10 如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边三角形EFG，连接CG，求CG的最小值．
8．2　特殊的平行四边形
第1课时　矩形的概念与性质
1. C　2. C　3. 　4. 64°
5. 证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A＝∠D＝90°，AB＝DC.
因为AE＝DF，所以AF＝DE.
在△ABF和△DCE中，
所以△ABF≌△DCE(SAS)，
所以BF＝CE.
6. 解：由题意可知折痕AD是四边形OAED的对称轴，
所以在Rt△ABE中，AE＝AO＝10，AB＝8，
所以BE＝＝＝6，
所以CE＝4，所以点E的坐标为(4，8).
在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.
又因为DE＝OD，
所以(8－OD)2＋42＝OD2，所以OD＝5，
所以点D的坐标为(0，5).
综上，点D的坐标为(0，5)，点E的坐标为(4，8).
7. C　8. D　9. 5　10.
11. (1) 证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以BC＝DA，BC∥DA，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
所以∠BCF＝∠BCD＝90°.
因为AF平分∠BAD，
所以∠DAF＝∠BAF＝45°，
所以∠F＝∠DAF＝45°，
所以DF＝DA，所以BC＝DF.
因为CG⊥AF于点G，
所以∠CGF＝90°，
所以∠GCF＝∠F＝45°，
所以∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG.
在△BCG和△DFG中，
所以△BCG≌△DFG(SAS)，
所以BG＝DG.
(2) 解：因为△BCG≌△DFG，所以BG＝DG，∠CBG＝∠FDG，
所以∠GBD＋∠BDG＝∠CBD＋∠CBG＋∠BDG＝∠CBD＋∠FDG＋∠BDG＝∠CBD＋∠CDB＝90°，即∠BGD＝90°.
因为BG＝DG，所以∠BDG＝45°.
12. (1) 证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以AB∥CD，所以∠MFA＝∠BAF.
由折叠的性质可得∠BAF＝∠MAF，
所以∠MFA＝∠MAF，所以AM＝MF.
(2) 解：因为E是边BC的中点，
所以BE＝CE＝BC＝4.
因为四边形ABCD是矩形，BC＝8，
所以AB∥CD，∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝8，
所以∠AFC＝∠BAF.
因为∠AEB＝∠FEC，
所以△AEB≌△FEC(AAS)，
所以AB＝FC＝6.
设CM＝x，所以AM＝MF＝x＋6，DM＝6－x.
在Rt△ADM中，AM2＝AD2＋DM2，
所以(x＋6)2＝82＋(6－x)2，解得x＝，
所以CM的长为.
(3) 解：当CF＝4时，设CM＝y.
①如图1，当点E在线段BC上时，
AM＝MF＝y＋4，DM＝6－y.
在Rt△ADM中，AM2＝AD2＋DM2，
所以(y＋4)2＝82＋(6－y)2，解得y＝，
此时CM的长为；
②如图2，当点E在线段BC的延长线上时，
AM＝MF＝y－4，DM＝y－6.
在Rt△ADM中，AM2＝AD2＋DM2，
所以(y－4)2＝82＋(y－6)2，
解得y＝21，
此时CM的长为21.
综上，当CF＝4时，CM的长为或21.
图1 图2
第2课时　矩形的判定
1. C　2. D　3. ∠BED＝90°(答案不唯一)　4. 8
5. 证明：在 ABCD中， AD∥CB，DC∥AB.
因为DC∥AB，
所以∠CDO＝∠AOD，∠OCD＝∠BOC.
因为∠ODC＝∠OCD，
所以∠AOD＝∠BOC，OD＝OC.
因为O为AB的中点，所以OA＝OB.
在△AOD和△BOC中，
所以△AOD≌△BOC(SAS)，
所以∠A＝∠B.
因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°，
所以∠A＝∠B＝90°，
即平行四边形ABCD是矩形．
6. (1) 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD.
因为CE＝DC，
所以AB＝EC，AB∥EC，
所以四边形ABEC是平行四边形．
(2) 解：当∠AFC＝2∠D，四边形ABEC是矩形，理由如下：
因为四边形ABEC是平行四边形，
所以FA＝FE，FB＝FC.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠ABC＝∠D.
又因为∠AFC＝2∠D，所以∠AFC＝2∠ABC.
因为∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，
所以∠ABC＝∠BAF，所以FA＝FB，
所以FA＝FE＝FB＝FC，
即AE＝BC，
所以四边形ABEC是矩形．
7. D　8. 3　9. OA＝OB(答案不唯一)
10. (1) 证明：因为AE⊥BD，DF⊥AC，
所以∠AEO＝∠DFO＝90°.
在△AEO和△DFO中，
所以△AEO≌△DFO(AAS)，
所以AO＝DO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AO＝CO＝DO＝BO，即AC＝BD，
所以四边形ABCD是矩形．
(2) 解：由(1)，得四边形ABCD是矩形，
所以∠BAD＝90°.
又因为∠BAE＝∠EAD，所以∠BAE＝90°×＝30°，AO＝BO，
所以∠OAB＝∠ABE.
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－∠BAE＝60°＝∠OAB，
所以∠AOE＝180°－∠OAB－∠ABE＝60°.
11. (1) 证明：因为在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
所以AD＝BC＝8，AD∥BC，
所以∠GAE＝∠HCF.
因为G，H分别是AD，BC的中点，
所以AG＝DG＝AD＝4，CH＝BH＝BC＝4，
所以AG＝CH.
在△AGE和△CHF中，
所以△AGE≌△CHF(SAS).
(2) 证明：由(1)可知△AGE≌△CHF，
所以GE＝HF，∠AEG＝∠CFH.
因为∠GEF＝180°－∠AEG，∠EFH＝180°－∠CFH，
所以∠GEF＝∠EFH，即GE∥FH，
所以四边形GEHF是平行四边形．
(3) 解：如图1，连接GH.
因为AG＝BH＝4，AG∥BH，∠B＝90°，
所以四边形ABHG是矩形，所以GH＝AB＝6.
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，
由勾股定理，得AC＝＝10.
①当点E，F相遇前，
因为四边形EGFH是矩形，
所以EF＝GH＝6.
因为AE＝CF＝t，
所以EF＝10－2t＝6，解得t＝2；
②如图2，当点E，F相遇后，
因为四边形EGFH是矩形，且EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
所以EF＝t＋t－10＝2t－10＝6，解得t＝8.
综上，当四边形EGFH为矩形时，t的值为2或8.
图1 图2
第3课时　菱形的概念与性质
1. B　2. A　3. 24　4. 25°
5. 证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以∠B＝∠D，BC＝CD.
在△BEC和△DFC中，
所以△BEC≌△DFC(SAS).
6. (1) 证明：因为CE∥BD，DE∥AC，
所以四边形CODE为平行四边形．
因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，所以∠COD＝90°，
所以平行四边形CODE是矩形．
(2) 解：因为四边形ABCD为菱形，
所以AO＝OC＝AC＝×6＝3，OD＝OB，∠AOB＝90°.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得BO2＝AB2－AO2，
所以BO＝＝4，
所以DO＝BO＝4，
所以四边形CODE的周长为2×(3＋4)＝14.
7. A　8. B　9. 　10.
11. 证明：(1) 因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝AD，∠B＝∠D.
又因为AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
所以∠AEB＝∠AFD＝90°.
在△ABE与△ADF中，
所以△ABE≌△ADF(AAS).
(2) 因为△ABE≌△ADF，
所以AE＝AF.
因为四边形ABCD是菱形，
所以AD∥BC，
所以∠B＋∠BAD＝180°.
因为∠B＝60°，所以∠BAD＝120°.
又∠AEB＝90°，∠B＝60°，
所以∠BAE＝30°.
由(1)可知△ABE≌△ADF，
所以∠BAE＝∠DAF＝30°，
所以∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.
又AE＝AF，所以△AEF是等边三角形．
12. (1) 证明：因为∠EAG＝∠BAD，
所以∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，
即∠EAB＝∠GAD.
因为四边形AEFG是菱形，四边形ABCD是菱形，
所以AE＝AG，AB＝AD，
所以△AEB≌△AGD(SAS)，
所以EB＝GD.
(2) 解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC.
因为在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
所以∠PAB＝30°，所以BP＝AB＝1，
所以AP＝＝.
因为在菱形AEFG中，AE＝AG＝，
所以EP＝2，
所以EB＝＝＝，
所以GD＝EB＝.
(3) 解：设AE＝AG＝x，AD＝AB＝y.
因为∠GAB＝90°，所以AG2＋AB2＝BG2，
所以x2＋y2＝10.
因为四边形ABCD是菱形，
所以∠DAP＝∠CAB＝∠DAB＝∠EAG，AC⊥DB，DP＝BP.
因为∠EAG＋∠GAB＋∠CAB＝180°，
所以2∠DAP＋90°＋∠DAP＝180°，
解得∠DAP＝30°，所以DP＝AD＝y，
所以在Rt△APD中，AP＝y.
因为DE2＝DP2＋EP2，
所以10＋4＝2＋2，
所以x2＋y2＋xy＝10＋4，且x2＋y2＝10，
所以xy＝4，
所以S△AEB＝AE·BP＝x·y＝xy＝1.
第4课时　菱形的判定
1. C　2. C　3. AE＝AF(答案不唯一)　4. 24
5. 证明：因为两个三角板完全相同，
所以BC＝EF，AC＝DF，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF＝60°，
所以BC∥EF，
所以四边形BCEF是平行四边形．
因为E是AB的中点，∠ACB＝90°，
所以CE＝AE＝BE＝AB，且∠ABC＝60°，
所以△BCE是等边三角形，
所以CB＝CE，
所以平行四边形BCEF是菱形．
6. (1) 证明：因为AB∥CD，
所以∠CAB＝∠DCA.
因为AC为∠DAB的平分线，
所以∠CAB＝∠DAC，
所以∠DCA＝∠DAC，
所以CD＝AD，
所以CD＝AB.
因为AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形．
又因为AD＝AB，
所以四边形ABCD是菱形．
(2) 解：因为四边形ABCD是菱形，BD＝6，
所以OA＝OC，BD⊥AC，OB＝BD＝3.
因为CE⊥AB，
所以∠AEC＝90°，
所以OE＝AC＝OA＝OC.
在Rt△AOB中，AB＝3，OB＝3，
所以OA＝＝＝6，
所以OE＝OA＝6.
7. B　8. 　9. 　10.
11. 证明：(1) 因为DE∥AC，CE∥BD，
所以四边形DOCE是平行四边形．
因为矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
所以OC＝AC＝BD＝OD，
所以四边形OCED为菱形．
(2) 因为四边形OCED为菱形，
所以OD＝CE，OD∥CE，
所以∠OBF＝∠CEF.
因为四边形ABCD是矩形，
所以BO＝OD，所以OB＝CE.
在△BOF与△ECF中
所以△BOF≌△ECF(AAS)，
所以BF＝EF，即AC平分BE.
12. (1) 解：补全图形如图1所示．
过点A作AM⊥BC于点M，交CP于点N，则∠AMC＝90°.
因为AB＝AC，所以∠BAC＝2∠BAM.
因为∠BAC＝2∠Q，所以∠BAM＝∠Q.
因为CP平移得到BQ，所以CP∥BQ，CP＝BQ，
所以四边形BCPQ是平行四边形，
所以∠Q＝∠BCP，PQ∥BC，
所以∠BAM＝∠BCP，∠CPQ＋∠BCP＝180°.
因为∠ANP＝∠CNM，所以∠APC＝∠AMC＝90°，
所以∠BPC＝90°，所以∠BCP＋∠BPQ＝90°.
(2) 证明：如图2，连接CQ交BP于点O，延长AO交延长线于点H，使OA＝OH，连接CH.
由(1)可知四边形BCPQ是平行四边形，
所以OQ＝OC.
因为∠AOQ＝∠HOC，
所以△AOQ≌△HOC(SAS)，
所以∠OAQ＝∠OHC.
因为AB平分∠CAQ，所以∠BAQ＝∠BAC，
所以∠BAC＝∠OHC，所以CA＝CH.
因为OA＝OH，所以CO⊥AH，即CQ⊥BP.
因为四边形BCPQ是平行四边形，
所以四边形BCPQ是菱形．
(3) 解：y＝2x，理由如下：
由(2)可知四边形BCPQ是菱形，
所以BC＝CP，所以∠BPC＝∠CBP.
在△BCP中，∠BCP＋2∠CBP＝180°，
在△ABC中，∠BAC＋2∠ABC＝180°，
所以∠BAC＝∠BCP＝x.
因为AB平分∠CAQ，
所以∠CAQ＝2∠BAC，即y＝2x.
图1 图2
第5课时　正方形的性质与判定
1. D　2. D　3. 15°　4. 3
5. 解：因为四边形ABCD为正方形，
所以AB＝AD，∠BAC＝45°，∠BAD＝90°.
因为△ADE是等边三角形，
所以AE＝AD，∠DAE＝60°，
所以AB＝AE，∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝150°，
所以∠ABF＝(180°－∠BAE)＝15°，
所以∠BFC＝∠ABF＋∠BAC＝60°，
即∠BFC的度数为60°.
6. 证明：因为在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，
所以∠DAE＝∠BAC＝45°.
因为DE⊥AB，所以△ADE是等腰直角三角形，
所以AE＝DE，
同理可得AF＝DF.
因为AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB，
所以DE＝DF，所以DE＝DF＝AE＝AF，
所以四边形AEDF是菱形．
又因为∠BAC＝90°，
所以菱形AEDF是正方形．
7. D　8. 　9. 2.5
10. 证明：(1) 在△ADE与△CDE中，
所以△ADE≌△CDE(SSS)，
所以∠ADE＝∠CDE.
因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠CBD，
所以∠CDE＝∠CBD，所以BC＝CD.
因为AD＝CD，所以BC＝AD，
所以四边形ABCD为平行四边形．
因为AD＝CD，所以平行四边形ABCD是菱形．
(2) 因为BE＝BC，所以∠BCE＝∠BEC.
因为∠CBE∶∠BCE＝2∶3，
所以∠CBE＝180°×＝45°.
因为四边形ABCD是菱形，
所以∠ABE＝45°，所以∠ABC＝90°，
所以菱形ABCD是正方形．
11. 解：(1) ①△CBH　②AG2＋CG2＝GH2
(2) AG2＋CG2＝2BG2，理由如下：
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠ABC＝90°，AB＝BC.
因为∠GBH＝90°，
所以∠ABC＋∠GBC＝∠GBH＋∠GBC，
即∠ABG＝∠CBH.
又因为BG＝BH，
所以△ABG≌△CBH(SAS)，
所以AG＝CH，∠BCH＝∠BAG＝45°，
所以∠ACH＝∠ACB＋∠BCH＝45°＋45°＝90°，
所以∠GCH＝180°－∠ACH＝90°.
在Rt△GCH中，由勾股定理，得CH2＋CG2＝GH2，
所以AG2＋CG2＝GH2.
因为∠GBH＝90°，BG＝BH，
所以GH2＝BG2＋BH2＝2BG2，
所以AG2＋CG2＝2BG2.
微专题3　正方形中的常见模型
1. 解：(1) ∠AFD＝∠GEC，理由如下：
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠C＝90°.
因为EH⊥AF于点H，
所以∠EHF＝∠FHG＝90°，
所以∠GEC＋∠CFH＝360°－∠C－∠EHF＝180°.
因为∠AFD＋∠CFH＝180°，
所以∠AFD＝∠GEC.
(2) EH＋FH＝CH，理由如下：
如图，过点C作CI⊥EG于点I，CL⊥AF交AF的延长线于点L，则∠CIE＝∠L＝90°.
因为∠AFD＝∠CEI，∠AFD＝∠CFL，
所以∠CEI＝∠CFL.
在△CEI和△CFL中，
所以△CEI≌△CFL(AAS)，
所以EI＝FL，CI＝CL.
因为∠CIH＝∠IHL＝∠L＝90°，
所以四边形CIHL是矩形．
因为CI＝CL，
所以矩形CIHL是正方形，
所以HI＝HL＝CL，
所以EH＋FH＝HI＋EI＋FH＝HI＋FL＋FH＝HI＋HL＝2HL.
因为CH＝＝＝HL，
所以HL＝CH，
所以2HL＝2×CH＝CH，
所以EH＋FH＝CH.
(3)
2. 解：(1) 因为把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，且四边形ABCD为正方形，∠ADF＝∠B＝∠ADG＝90°，AB＝AD，
所以∠FDG＝∠ADG＋∠ADF＝180°，
所以点F，D，G共线．
因为△ADG≌△ABE，
所以∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
所以∠FAG＝∠FAD＋∠GAD＝∠FAD＋∠BAE＝90°－45°＝45°＝∠EAF，
即∠EAF＝∠FAG.
在△AFG和△AFE中，
所以△AFG≌△AFE(SAS)，
所以EF＝FG，
所以EF＝DF＋DG＝DF＋BE，即EF＝BE＋DF.
(2) DF＝EF＋BE.理由如下：
如图，因为AB＝AD，
所以把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合．
因为∠ADC＝∠ABE＝90°，
所以点C，D，G在同一条直线上．
因为△AEB≌△AGD，
所以EB＝GD，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD.
又因为∠BAG＋∠GAD＝90°，
所以∠EAG＝∠EAB＋∠BAG＝∠GAD＋∠BAG＝90°，
所以∠EAG＝∠BAD＝90°.
因为∠EAF＝45°，
所以∠FAG＝∠EAG－∠EAF＝90°－45°＝45°，
所以∠EAF＝∠GAF.
在△EAF和△GAF中，
所以△EAF≌△GAF(SAS).所以EF＝GF.
因为FD＝FG＋GD，所以DF＝EF＋BE.
(3)
3. 解：(1) 四边形BEGF是正方形，理由如下：
因为∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF，
所以∠F＝∠AEB＝90°，∠EBF＝90°，BF＝BE.
因为延长AE，交CF于点G，
所以∠BEG＝90°.
因为∠F＝∠EBF＝∠BEG＝90°，
所以四边形BEGF是矩形．
因为BF＝BE，
所以四边形BEGF是正方形．
(2) 如图，过点E作EP⊥AB于点P，EQ⊥AD于点Q，则∠APE＝∠AQE＝∠DQE＝90°.
因为四边形BEGF是正方形，BE＝3，CG＝1，
所以FG＝BE＝3，
所以AE＝CF＝CG＋FG＝1＋3＝4，
所以AB＝＝＝5.
因为S△ABE＝×5EP＝×3×4，
所以EP＝，
所以AP＝＝＝.
因为四边形ABCD是正方形，
所以AD＝AB＝5，∠PAQ＝90°.
因为∠PAQ＝∠APE＝∠AQE＝90°，
所以四边形APEQ是矩形，
所以AQ＝EP＝，EQ＝AP＝，
所以DQ＝AD－AQ＝5－＝，
所以DE＝＝＝，
所以DE的长为.
4. (1) 证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB＝AD，∠DAB＝90°，
所以∠DAE＋∠BAE＝90°.
因为DE⊥AG，BF⊥AG，
所以∠AED＝∠AFB＝90°，
所以∠EAD＋∠ADE＝90°，
所以∠ADE＝∠BAF.
在△ABF和△DAE中，
所以△ABF≌△DAE(AAS).
(2) 解：EF＝AF＋BF，理由如下：
因为四边形ABCD是正方形，
所以AB＝AD，∠DAB＝90°，
所以∠DAE＋∠BAF＝180°－90°＝90°.
因为DE⊥AG，BF⊥AG，
所以∠AED＝∠AFB＝90°，
所以∠EAD＋∠ADE＝90°，
所以∠ADE＝∠BAF.
在△ABF和△DAE中，
所以△ABF≌△DAE(AAS)，
所以AE＝BF，
所以EF＝AE＋AF＝AF＋BF.
(3) ①如图1，EF＝BF－AF；
②如图2，EF＝AF－BF；
③如图3，EF＝AF＋BF.
图1 图2 图3
微专题4　特殊平行四边形中的折叠问题
1. A　2. D　3. 12　4. 16
5. 解：(1) 72
(2) 如图，连接EG.
因为AB＝12，AE＝6，所以BE＝6.
因为EF＝AE＝6，所以BE＝EF.
因为EG＝EG，所以Rt△EBG≌Rt△EFG(HL)，
所以FG＝BG＝4.
设AD＝x，则CG＝x－4.
在Rt△CDG中，由勾股定理，得DG2＝CG2＋DC2，
所以(x＋4)2＝(x－4)2＋122，解得x＝9，
所以AD＝9，
所以矩形ABCD的面积为AB·AD＝12×9＝108.
(3) 48或144
6. 5
7. 解：(1) 四边形AFPE是菱形．理由如下：
因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝CB，AD∥BC，
所以∠BAC＝∠BCA，∠BCA＝∠CAD，
所以∠BAC＝∠CAD.
记AP与EF交于点O.
根据折叠的性质可得AP⊥EF，
所以∠AOF＝∠AOE＝90°.
因为AO＝AO，所以△AFO≌△AEO(ASA)，
所以AF＝AE，
由折叠的性质可得AF＝PF，AE＝PE，
所以AF＝PF＝AE＝PE，
所以四边形AFPE是菱形．
(2) DG＝PG，理由如下：
如图，连接BD，DP.
因为四边形ABCD是菱形，
所以∠A＝∠C＝60°，AB＝AD，
所以△ABD是等边三角形，所以BA＝BD.
由折叠的性质可得BA＝BP，∠A＝∠BPE＝60°，
所以BP＝BD，所以∠BDP＝∠BPD.
同理可得△BCD是等边三角形，
所以∠BDC＝60°，
所以∠BDG＝∠BPG＝60°，
所以∠BDP－∠BDG＝∠BPD－∠BPG，
即∠GDP＝∠GPD，所以DG＝PG.
8. 　9. 　10. 24
11. 解：①如图，当B′D＝B′C时，过点B′作GH∥AD，
则∠B′GE＝90°，AG＝DH＝DC＝2.
因为AE＝，AB＝4，
所以BE＝AB－AE＝4－＝.
由翻折的性质，得B′E＝BE＝，
所以EG＝AG－AE＝2－＝，
所以由勾股定理可得B′G＝＝3，
所以B′H＝GH－B′G＝4－3＝1，
所以DB′＝＝；
②当DB′＝CD时，则DB′＝4；
③当CB′＝CD时，
因为EB＝EB′，CB＝CB′，
所以点E，C在BB′的垂直平分线上，
所以EC垂直平分BB′.
由折叠的性质可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上，DB′的长为4或.
微专题5　特殊平行四边形中的最值问题
1.
2. 解：因为四边形ABCD是菱形，
所以点A与点C关于BD对称．
如图，连接AE，交BD于点P，连接PC，
则PE＋PC＝PA＋PE＝AE，
所以△PCE的周长为PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小．
因为E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，
所以BE＝1，AB＝2.
过点E作EG⊥AB，交AB延长线于点G.
因为∠BAD＝60°，所以∠ABC＝120°，
所以∠EBG＝60°，
所以BG＝，EG＝.
在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，
所以AE＝＝，
此时△PCE的周长为AE＋CE＝＋1，
即△PCE周长的最小值为＋1.
3. (1) 证明：由折叠的性质，得∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E，AD＝AD′＝1，DE＝ED′.
因为DE∥AD′，所以∠DEA＝∠EAD′，
所以∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，
所以∠DAD′＝∠DED′，
所以AD′＝ED′＝1，
所以DE＝AD＝ED′＝AD′＝1，
所以AD＝AD′＝BD′＝CE＝BC＝ED′＝1，
所以四边形BCED′是菱形．
(2) 解：因为DE＝AD＝ED′＝AD′＝1，
所以四边形DAD′E是菱形，
所以点D与点D′关于AE对称．
连接BD，交AE于点P，则BD的长为PD′＋PB的最小值．
如图，过点D作DG⊥BA交BA的延长线于点G.
因为CD∥AB，
所以∠DAG＝∠CDA＝60°.
因为AD＝1，
所以AG＝，DG＝，
所以BG＝，
所以BD＝＝＝，
即PD′＋PB的最小值为.
4. D　5. 3　6. 　7. 4
8. 解：如图，连接AP，CP，AC.
由题意可得BC＝AD＝9，DC＝AB＝12，∠B＝∠D＝∠BCD＝∠DAB＝90°，
所以AC＝＝15.
因为P是线段EF的中点，EF＝6，
所以AP＝EF＝3.
因为PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，
所以∠PHC＝∠PGC＝90°＝∠BCD，
所以四边形PGCH是矩形，所以HG＝PC.
当A，P，C三点共线时，PC最小，
此时，PC＝AC－AP＝15－3＝12，
所以GH的最小值是12.
9. 解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接DP.
在正方形ABCD中，BC＝DC, ∠PCB＝∠PCD
所以△PCB≌△PCD，所以PB＝PD，
所以PB＋PE＝PD＋PE≥DE，
即当点P和点P′重合时，PB＋PE最小，最小值为DE的长．
因为正方形ABCD的边长为4 cm，且BE＝3 cm，
所以AE＝AB－BE＝4－3＝1(cm)，
所以DE＝＝＝(cm)，
即PB＋PE的最小值为 cm.
10. 解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，连接FH，过点H作HN⊥BC于点N，HM⊥AB于点M.
因为∠ABC＝90°，
所以四边形MHNB是矩形，
所以MH＝BN.
因为BE＝2，所以EC＝3.
因为△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
所以EC＝EH＝3，EN＝NC＝1.5，∠HEC＝60°，
所以BN＝3.5＝MH.
因为△FGE是等边三角形，
所以FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC，
所以∠FEH＝∠GEC.
在△FEH和△GEC中，
所以△FEH≌△GEC(SAS)，
所以FH＝GC，
所以当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
此时点F与点M重合时，CG＝FH＝HM＝3.5.