8.4 梯形 同步练（含答案）2025-2026学年数学苏科版八年级下册

8.4　梯　　形
了解梯形的有关概念，并探究梯形与三角形、平行四边形的关系．
建议用时：15分钟
1 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D的度数为(　　)
A. 120° B. 135° C. 145° D. 155°
(第1题) (第3题) (第4题) 　(第5题)
2 在梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比不可能是(　　)
A. 3∶7∶5∶5 B. 5∶4∶5∶4 C. 4∶5∶6∶3 D. 8∶1∶4∶5
3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BD平分∠ABC.若∠A＝α，则∠BDC的大小为(　　)
A. 90°－α B. α C. 180°－α D. α－90°
4 (教材P93练习T2变式)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上一点，DE∥AB，AD＝1，BC＝2，则CE＝________．
5 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BD＝BC，若∠C＝50°，则∠ABD的度数是________．
6 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE.求证：四边形ABED是菱形．
7 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝90°，BC＝BD，在AB上截取BE，使BE＝BC，过点B作BF⊥AB，交CD于点F，连接CE，交BD于点H，交BF于点G.
(1) 求证：EH＝CG；
(2) 已知AD＝3，BC＝2，求AB的长．
建议用时：25＋5分钟
8 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，连接BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(第8题) (第9题) (第10题)　 (第11题)
9 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6，则CE的长为(　　)
A. 2 B. 2.3 C. 2.5 D. 2－1
10 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，且AB＝AD，连接BD，过点A作BD的垂线，交BC于点E.若EC＝3 cm，CD＝4 cm，则梯形ABCD的周长是________cm.
11 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝12，BD＝5，则梯形的高DE 长为________．
12 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝6 cm，BD⊥CD于点D，∠C＝60°.
(1) 求∠DBC的度数；
(2) 求AD的长．
13 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD的中点，EF∥AB，交BC于点F.
(1) 求证：BF＝AD＋CF；
(2) 若AD＝1，BC＝7，且BE平分∠ABC，求EF的长．
微专题7　中点四边形问题的探究
类型一：探究中点四边形的形状
1 (2025常州武进期中)如图，在 ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接EF，FG，GH，EH，则下列说法中不正确的是(　　)
A. 四边形EFGH为平行四边形
B. 若四边形EFGH为矩形，则 ABCD为菱形
C. 若四边形EFGH为菱形，则 ABCD为菱形
D. 若四边形EFGH正方形，则 ABCD为正方形
2 (2025南通海安月考)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝70°，则∠GEF的度数为(　　)
A. 25° B. 30° C. 20° D. 35°
3 如图，P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 猜想中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2) 若∠APB＝∠CPD＝90°，直接写出中点四边形EFGH的形状．
类型二：探究中点四边形中线段的长
4 (2025镇江丹阳月考)如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求EG2＋FH2的值．
5 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE.
(1) 求证：四边形EFGH是矩形；
(2) 若AB＝10，AC＝16，求EH的长．
类型三：探究中点四边形的周长与面积
6 (2025无锡江阴期中)如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，CD＝3，DA＝4，其中E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，则四边形EHFG的周长为(　　)
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
(第6题) 　(第7题) (第8题)
7 (2025扬州江都期中)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是(　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
8 (2025宿迁宿城期中)如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE.若EH＝4，EF＝2，则菱形ABCD的面积为________．
9 如图1，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10.
(1) 试判断四边形A1B1C1D1的形状，并说明理由；
(2) 如图2，依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3，…，以此类推，取An－1Bn－1，Bn－1Cn－1，Cn－1Dn－1，Dn－1An－1的中点An，Bn，Cn，Dn，根据信息填空：
①四边形A1B1C1D1的面积为________；
②若四边形AnBnCnDn的面积为，则n＝________；
③试用n表示四边形AnBnCnDn的面积为________．
图1 图2
　
8．4　梯　　形
1. B　2. B　3. B　4. 1　5. 20°
6. 证明：因为AE平分∠BAD，
所以∠BAE＝∠DAE.
在△BAE和△DAE中，
所以△BAE≌△DAE(SAS)，
所以BE＝DE.
因为AD∥BC，
所以∠DAE＝∠AEB，
所以∠BAE＝∠AEB，
所以AB＝BE，
所以AB＝BE＝DE＝AD，
所以四边形ABED是菱形．
7. (1) 证明：因为BF⊥AB，∠DBC＝90°，
所以∠DBC＝∠ABF＝90°，
所以∠DBC－∠DBF＝∠ABF－∠DBF，
即∠EBH＝∠CBG.
因为BE＝BC，
所以∠BEH＝∠BCG，
所以△EBH≌△CBG(ASA)，
所以EH＝CG.
(2) 解：因为AD∥BC，
所以∠ADB＝∠DBC＝90°，BD＝BC＝2.
因为AB2＝AD2＋BD2，
所以AB＝＝.
8. A　9. B　10. 22　11.
12. 解：(1) 因为BD⊥CD于点D，
所以∠BDC＝90°.
因为∠C＝60°，
所以∠DBC＝180°－90°－60°＝30°.
(2) 如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E.
因为AD∥BC，
所以四边形ABED是平行四边形，
所以AD＝BE，AB＝DE.
因为AB＝DC，所以DC＝DE.
因为∠C＝60°，所以△CDE是等边三角形，
所以CE＝DC＝6 cm.
在Rt△BCD中，因为∠DBC＝30°，DC＝6 cm，
所以BC＝2DC＝2×6＝12(cm)，
所以BE＝BC－CE＝12－6＝6(cm)，
所以AD的长为6 cm.
13. (1) 证明：如图1，延长AD交FE的延长线于点N.
因为AD∥BC，∠C＝90°，
所以∠NDE＝∠FCE＝90°.
又因为E为CD的中点，
所以DE＝EC.
因为∠DEN＝∠CEF，
在△NDE和△FCE中，
所以△NDE≌△FCE(ASA)，
所以DN＝CF.
因为AB∥FN，AN∥BF，
所以四边形ABFN是平行四边形，
所以BF＝AN＝AD＋DN＝AD＋CF.
(2) 解：如图2，过点D作DM∥AB，交BC于点M.
因为AB∥EF，
所以∠1＝∠BEF.
因为∠1＝∠2，
所以∠BEF＝∠2，
所以EF＝BF.
因为BF＝AD＋CF，
所以EF＝BF＝AD＋CF＝AD＋BC－BF＝1＋7－BF，
所以2BF＝8，
所以BF＝EF＝4.
图1 图2
微专题7　中点四边形问题的探究
1. C　2. C
3. 解：(1) 四边形EFGH是菱形，理由如下：
连接AC，BD.
因为∠APB＝∠CPD，
所以∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠APC＝∠BPD.
在△APC和△BPD中，
所以△APC≌△BPD(SAS)，
所以AC＝BD.
因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF＝AC，FG＝BD，EH＝BD，GH＝AC，
所以EF＝FG＝GH＝EH，
所以四边形EFGH是菱形．
(2) 四边形EFGH是正方形．
4. 解：如图，连接EF，FG，GH，EH.
因为E，H分别是AB，DA的中点，
所以EH是△ABD的中位线，
所以EH＝BD＝3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
所以EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3，
所以EH＝EF＝GH＝FG＝3，
所以四边形EFGH为菱形，
所以EG⊥HF，且垂足为O，
所以EG＝2OE，FH＝2OH.
在Rt△OEH中，由勾股定理，得OE2＋OH2＝EH2＝9，
等式两边同时乘以4，得4OE2＋4OH2＝9×4＝36，
所以(2OE)2＋(2OH)2＝36，
即EG2＋FH2＝36.
5. (1) 证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD.
因为E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF，FG，GH，HE分别为△ABC，△BCD，△CDA，△ABD的中位线，
所以EF＝AC，EF∥AC，HG＝AC，HG∥AC，HE∥BD，
所以EF＝HG，EF∥HG，EF⊥EH，
所以四边形EFGH是矩形．
(2) 解：因为四边形ABCD为菱形，AC＝16，
所以AC⊥BD，AO＝AC＝8，
所以OB＝＝＝6，
所以BD＝2OB＝12.
因为E，H分别是边AB，DA的中点，
所以EH为△ABD的中位线，
所以EH＝BD＝6.
6. A　7. C　8. 16
9. 解：(1) 四边形A1B1C1D1是矩形，理由如下：
因为A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，
所以A1B1∥AC，C1D1∥AC，
所以A1B1∥C1D1，
同理可得A1D1∥C1B1，
所以四边形A1B1C1D1是平行四边形，
又因为AC⊥BD，
易得A1B1⊥B1C1，
所以四边形A1B1C1D1是矩形．
(2) ①15　②5　③