9.3 公式法 同步练（3个课时,含答案）2025-2026学年数学苏科版八年级下册

9.3　公　式　法
第1课时　用平方差公式分解因式
1.了解公式法的概念．
2. 能熟练地运用平方差公式分解因式．
建议用时：15分钟
1 (2025泰州泰兴二模)下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是(　　)
A. －a2－b2 B. a2＋b2 C. a2－b2 D. a2－b2－1
2 (2025南京玄武模拟)关于多项式9x2－，下列选项中因式分解正确的是(　　)
A. (3x－)2 B. (3x－)2
C. (3x－)(3x＋) D. (3x－)(3x＋)
3 如图，在边长为2x的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，则长方形的一组邻边长分别是(　　)
A. 2x＋3和2x－3 B. 2x＋9和2x－3
C. 4x＋3和4x－3 D. 4x＋9和4x－9
4 (2025常州)分解因式：x2－9y2＝________．
5 (2025连云港赣榆月考)用合适的式子填空：·________＝x2－4y2.
6 若a＋b＝3，a－b＝7，则b2－a2的值为________．
7 把下列各式分解因式：
(1) 16－； (2) 0.49p2－144；
(3) 9a2－4(a＋b)2; (4) (3a－b)2－4(a－b)2.
8 (教材P111例3变式)设k是正整数，求证：(2k＋2)2－(2k)2是4的倍数．
建议用时：25＋5分钟
9 (2025南通启东月考)已知ax2＋by2＝(3x＋4y)(3x－4y)，则a＋b的值为(　　)
A. 7 B. －1 C. 25 D. －7
10 (2025 常州新北期中)已知a－b＝5，则a2－b2－10b的值为(　　)
A. 5 B. 10 C. 15 D. 25
11 已知A＝2x＋y，B＝2x－y，则A2－B2＝________．
12 (2025南通田家炳中学月考)在平面直角坐标系xOy中，点P(m，n)在函数y＝－x＋5的图象上，且m－n＝2，则代数式m2－n2的值为________．
13 已知两个正方形的边长的和是10 cm，若它们面积的差是40 cm2，则它们面积的和是________cm2.
14 用简便方法计算：
(1) 3×852－3×152; (2) 2 0252－2 026×2 024;
(3) 4 0372－8 072×2 019; (4) (1－)(1－)(1－)…(1－).
15 【观察】(2＋3)2－22＝(2＋3＋2)(2＋3－2)＝7×3，
(4＋3)2－42＝(4＋3＋4)(4＋3－4)＝11×3，
(6＋3)2－62＝(6＋3＋6)(6＋3－6)＝15×3，……
【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除．
【验证】(1) 若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除；
(2) 若设这个偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能否被3整除；
【延伸】(3) 试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除．
第2课时　用完全平方公式分解因式
能熟练地运用完全平方公式分解因式．
建议用时：15分钟
1 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A. x2＋2x－1 B. x2＋x＋ C. x2＋2x＋4 D. x2－6x＋9
2 (2025镇江扬中期末)对多项式x2－2xy＋y2进行因式分解，下列等式中正确的是(　　)
A. x2－2xy＋y2＝x(x－2y)＋y2 B. x2－2xy＋y2＝(x＋y)2
C. x2－2xy＋y2＝(x－2y)2 D. x2－2xy＋y2＝(x－y)2
3 (2025 无锡新吴期末)若多项式x2＋1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是(　　)
A. 2x B. －2x C. x4 D. －x4
4 (2025甘肃)分解因式：x2－6x＋9＝________．
5 (2025南通如东期末)分解因式：4x2－4x＋1＝________．
6 (2025苏州太仓月考)分解因式：m2－mn＋n2＝________．
7 分解因式：(m＋n)2－4(m＋n)＋4＝________．
8 把下列各式分解因式：
(1) 4a2＋25b2＋20ab; (2) 9－2b＋；
(3) (m－n)2－6(n－m)＋9; (4) 4－12(x－y)＋9(x－y)2 ;
(5) a2＋2a(a＋1)＋(a＋1)2; (6) (a＋b)2－4(a＋b－1).
建议用时：25＋5分钟
9 (2025苏州张家港月考)下列多项式中，能用公式法分解因式的有(　　)
①x2＋y2；②－x2＋y2；③x2＋2xy－y2；④－x2＋4xy－4y2.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10 (2025 南通港闸月考)若非零实数a，b满足4a2＋b2＝4ab，则的值为(　　)
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
11 (2025安徽合肥)已知a，b，c是互不相等的实数，且a＝b2－b＋1，c＝－a2＋5a－4，则a，b，c中最大的数为(　　)
A. a B. b C. c D. 不能确定
12 若多项式4x2－mxy＋9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是________．
13 (教材P113练习T3变式)若M＝2x2－12x＋15，N＝x2－8x＋11，则M与N的大小关系为________．
14 已知(a＋b)(a＋b－6)＋9＝0，且a2b2－4ab＋4＝0，求a－b的值 .
15 (1) 【问题情景】将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2＋6x＋9＝________；x2－2x＋1＝________；4y2－20y＋25＝________；
(2) 【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：62＝4×1×9；(－2)2＝4×1×1；(－20)2＝4×4×25.
【归纳猜想】若多项式ax2＋bx＋c(a>0，c>0)是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式是什么？
(3) 【验证结论】请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；
(4) 【解决问题】若多项式x2－(n＋6)x＋(10＋3n)是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
第3课时　因式分解方法的综合应用
能综合运用提公因式法和公式法分解因式．
建议用时：15分钟
1 (2025南京秦淮模拟)多项式a3－ab2因式分解的结果为(　　)
A. a(a2－b2) B. a2(a－b2) C. ab(a－b) D. a(a＋b)(a－b)
2 (2025 连云港海州期末)下列各等式中，因式分解正确的是(　　)
A. m2n－2mn＋n＝n(m－1)2 B. a3－2a2＋a＝a2(a－2)
C. －2y2＋4y＝－2y(y＋2) D. x2－1＝(x－1)2
3 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：将x2－9因式分解的结果为(x－3)(x＋3)，取个人年龄作为x的值，当x＝13时，x－3＝10，x＋3＝16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将x3－x因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是(　　)
A. 151416 B. 151515 C. 141514 D. 131415
4 (2025南通海安期末)分解因式：ac2－4ab2＝________．
5 (2025南通海门期末)分解因式：3mx2－6mxy＋3my2＝________．
6 (2025扬州邗江模拟)用简便方法计算：101×1022－101×982＝________．
7 把下列各式分解因式：
(1) a3b2－4a; (2) 2x2－4x＋2；
(3) (x－y)3－9(x－y); (4) x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2(x＋y).
8 (教材P111例2变式)如图，在半径为R的圆形纸片上，剪去4个半径均为r的圆形．当R＝8.5，r＝1.75时，利用因式分解的知识，计算剩余部分的面积．(用含π的式子表示)
建议用时：25＋5分钟
9 (2025苏州昆山月考)已知x－y＝－4，则多项式x2－xy＋y2的值为(　　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
10 (2025南通海门期末)已知m表示大于1的整数，设a＝2m，b＝m2－1，c＝2m2＋2m，d＝m2＋1，其中选三个数一定能构成勾股数的为(　　)
A. a，b，c B. a，b，d C. a，c，d D. b，c，d
11 (2025南通崇川月考)分解因式：3x4－48＝________．
12 (2025南通海门期末)已知多项式x2－2 024x－2 025，当x＝a时，该多项式的值为b，当x＝b时，该多项式的值为a.若a≠b，则a＋b的值为________．
13 对于二次三项式x2＋2ax－3a2不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：x2＋2ax－3a2＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2＝(x2＋2ax＋a2)－4a2＝(x＋a)2－(2a)2＝(x＋a＋2a)(x＋a－2a)＝(x＋3a)(x－a).像这样把二次三项式分解因式的方法叫作配方法．
(1) 请用以上方法分解因式：①x2＋2ax－8a2；②x4＋x2＋1；
(2) 能否根据以上方法确定式子y2＋2y＋3有最小(或最大)值，若能，请求出这个值．
14 第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到a(m＋n)＋b(m＋n).这时，由于a(m＋n)＋b(m＋n)中又有公因式m＋n，于是可提出m＋n，从而得到(m＋n)(a＋b)，因此有am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b).这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
(1) ab－ac＋bc－b2＝(ab－ac)＋(bc－b2)＝a(b－c)－b(b－c)＝________；
第三步：应用知识，解决问题．
(2) 分解因式：x2y－4y－2x2＋8；
第四步：提炼思想，拓展应用．
(3) 已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足2a2＋b2＋c2＝2a(b＋c)，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
微专题8　因式分解的常见方法及应用
类型一：提公因式法
1 (2025浙江期中)将多项式－4a3＋16a2＋12a分解因式，应提取的公因式是(　　)
A. 4a3 B. 4a2 C. －4a2 D. －4a
2 (2025苏州相城期末)已知xy＝－3，x＋y＝2，则代数式x2y＋xy2的值是(　　)
A. －6 B. 6 C. －5 D. －1
3 (2025南京玄武期末)如图，已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为(　　)
A. 60 B. 30 C. 24 D. 15
4 (2025镇江句容期末)已知(2x－8)(3x－4)－(3x－4)(x－13)可因式分解为(3x＋a)(x＋b)，则a＋2b的值是________．
5 (2025无锡月考)若m＝2x＋1，n＝4x＋2x，用含m的代数式表示n，则n＝________．
6 利用因式分解，解答下列各题：
(1) 当x＝，y＝－时，求代数式2x(x＋2y)2－(2y＋x)2(x－2y)的值；
(2) 求证：32 025－4×32 024＋10×32 023能被7整除．
类型二：公式法
7 (2025泰州姜堰期末)多项式x2－9与多项式x2＋6x＋9的公因式是(　　)
A. x＋3 B. x－3 C. (x＋3)2 D. (x－3)2
8 (2025南通通州月考)下列因式分解中，不正确的是(　　)
A. 3a2b－6ab＋3b＝3b(a－1)2
B. －4b2＋36a2＝4(3a＋b)(3a－b)
C. x2(a－b)－4(b－a)＝(a－b)(x＋2)(x－2)
D. (a2＋1)2－4a2＝(a＋1)2(a－1)2
9 (2025南京模拟)分解因式：－x3＋x＝________．
10 已知a＋2b＝6，ab＝3，则4(a＋b)2－3a2的值为________．
11 (2025盐城东台期末)已知a＋b＝，ab＝－，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
类型三：分组分解法
12 用分组分解法将x2－xy＋2y－2x分解因式，下列分组中不恰当的是(　　)
A. (x2－2x)＋(2y－xy) B. (x2－xy)＋(2y－2x)
C. (x2＋2y)＋(－xy－2x) D. (x2－2x)－(xy－2y)
13 分解因式：a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c2a2＝________．
14 (2025南通期末)若x，y是自然数且满足x2＋y2＝4x＋4y－7，则x＋y＝________．
类型四：十字相乘法
15 阅读材料：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足 p＝m＋n且q＝mn，则可以把x2＋px＋q因式分解成(x＋m)(x＋n).例如分解x2＋3x＋2时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在如图所示的十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2).利用材料中的十字相乘法，分解因式：x2＋2x－15＝________．
16 (2025南通海门模拟)因式分解：x2－x－6＝________．
类型五：因式分解的应用
17 (2025南通如皋期末)对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A(边长为2和x)和长方形B，并拼成图2.由面积相等，得x(4－x)＝22－(2－x)2，所以当x＝2时，长方形面积取得最大值为4.据此可得，代数式(x＋2)(8－x)的最大值为________．
图1 图2
18 (2025苏州调研)我们定义：一个整数能表示成a2＋b2(a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22＋12，所以5是“完美数”．
(1) 解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成a2＋b2(a，b是整数)的形式：________；
(2) 探究问题：已知S＝2x2＋y2＋2xy＋12x＋k(x，y是整数，k是常数)，要使S恒为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
(3) 拓展结论：已知x，y满足－x2＋3x＋y－5＝0，求x＋y的最小值．
9．3　公　式　法
第1课时　用平方差公式分解因式
1. C　2. D　3. A　4. (x－3y)(x＋3y)　
5. 　6. －21　
7. (1)
(2)
(3) (5a＋2b)(a－2b)
(4) (5a－3b)(a＋b)
8. 证明：由题意，得(2k＋2)2－(2k)2＝[(2k＋2)＋(2k)][(2k＋2)－(2k)]＝(2k＋2＋2k)(2k＋2－2k)＝4(2k＋1).
因为k为正整数，所以2k＋1为正整数，
所以4(2k＋1)是4的倍数，
所以(2k＋2)2－(2k)2是4的倍数．
9. D　10. D　11. 8xy　12. 10　13. 58
14. 解：(1) 原式＝3×(852－152)＝3×(85＋15)×(85－15)＝3×100×70＝21 000.
(2) 原式＝2 0252－(2 025＋1)×(2 025－1)＝2 0252－(2 0252－1)＝1.
(3) 原式＝4 0372－2×4 036×2 019＝4 0372－4 036×4 038＝4 0372－(4 037－1)×(4 037＋1)＝4 0372－(4 0372－1)＝1.
(4) 原式＝××××××…××＝×＝.
15. 解：(1) 由题意，得132－102＝(13＋10)(13－10)＝69.因为69÷3＝23，所以能被3整除．
(2) 因为(2n＋3)2－(2n)2＝(2n＋3＋2n)(2n＋3－2n)＝3(4n＋3)，所以能被3整除．
(3) 设这个数为n，比n大9的数为n＋9.
因为(n＋9)2－n2＝(n＋9＋n)(n＋9－n)＝9(2n＋9)，所以能被9整除．
第2课时　用完全平方公式分解因式
1. D　2. D　3. D　4. (x－3)2　5. (2x－1)2　
6. 　7. (m＋n－2)2
8. (1) (2a＋5b)2　(2)
(3) (m－n＋3)2　(4) (2－3x＋3y)2
(5) (2a＋1)2　(6) (a＋b－2)2
9. B　10. A　11. A　12. ±12　13. M≥N
14. 解：由(a＋b)(a＋b－6)＋9＝0，得(a＋b)2－2×3(a＋b)＋32＝0，
则(a＋b－3)2＝0，解得a＋b＝3.
由a2b2－4ab＋4＝0，得(ab)2－2×2ab＋22＝0，
即(ab－2)2＝0，解得ab＝2，
所以(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝a2＋2ab＋b2－4ab＝(a＋b)2－4ab＝32－4×2＝1，
所以a－b＝±1.
15. 解：(1) (x＋3)2　(x－1)2　(2y－5)2
(2) b2＝4ac.
(3) 可用x2＋4x＋4，验证如下：
因为b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，
所以b2＝4ac.
(4) 因为多项式x2－(n＋6)x＋(10＋3n)是一个完全平方式，
所以[－(n＋6)]2＝4×1×(10＋3n)，
所以n2＋12n＋36＝40＋12n，
即n2＝4，解得 n＝±2.
第3课时　因式分解方法的综合应用
1. D　2. A　3. A　4. a(c＋2b)(c－2b)
5. 3m(x－y)2　6. 80 800
7. (1) a(ab＋2)(ab－2)
(2) 2(x－1)2
(3) (x－y)(x－y＋3)(x－y－3)
(4) (x＋y)3
8. 解：因为R＝8.5，r＝1.75，
所以πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)＝π(8.5＋1.75×2)×(8.5－1.75×2)＝π×12×5＝60π.
故剩余部分的面积是60π.
9. C　10. B　11. 3(x2＋4)(x＋2)(x－2)　
12. 2 023
13. 解：(1) ①x2＋2ax－8a2＝x2＋2ax＋a2－a2－8a2＝(x＋a)2－9a2＝(x＋a)2－(3a)2＝(x＋a＋3a)(x＋a－3a)＝(x＋4a)(x－2a).
②x4＋x2＋1＝(x2)2＋2x2＋1－x2＝(x2＋1)2－x2＝(x2＋x＋1)(x2－x＋1).
(2) 由题意，得y2＋2y＋3＝y2＋2y＋1－1＋3＝(y＋1)2＋2.
因为(y＋1)2≥0，所以(y＋1)2＋2≥2，
所以y2＋2y＋3有最小值，最小值为2.
14. 解：(1)
(2) x2y－4y－2x2＋8＝(x2y－4y)－(2x2－8)＝y(x2－4)－2(x2－4)＝(y－2)(x2－4)＝(y－2)(x＋2)(x－2).
(3) 这个三角形为等边三角形．理由如下：
因为2a2＋b2＋c2＝2a(b＋c)，
所以2a2＋b2＋c2－2ab－2ac＝0，
所以a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＝0，
即(a－b)2＋(a－c)2＝0.
因为(a－b)2≥0，(a－c)2≥0，
所以a－b＝0，a－c＝0，
所以a＝b＝c.
故这个三角形是等边三角形．
微专题8　因式分解的常见方法及应用
1. D　2. A　3. B　4. 6　5. m2－m
6. (1) 解：原式＝(x＋2y)2(2x－x＋2y)＝(x＋2y)3，
当x＝，y＝－时，
原式＝[＋2×]3＝＝－.
(2) 证明：因为32 025－4×32 024＋10×32 023＝32 023×(32－4×3＋10)＝32 023×7，
所以32 025－4×32 024＋10×32 023能被7整除．
7. A　8. C　9. －x　10. 48
11. 解：a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2，
当a＋b＝，ab＝－时，
原式＝－×()2＝－，
所以代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值是－.
12. C
13. (a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)
14. 5或3　15. (x－3)(x＋5)
16. (x＋2)(x－3)　17. 18
18. 解：(1) 22＋52
(2) 因为x，y是整数，k是常数，S＝2x2＋y2＋2xy＋12x＋k＝(x2＋y2＋2xy)＋(x2＋12x＋k)＝(x＋y)2＋(x2＋12x＋k)，
要使S恒为“完美数”，则x2＋12x＋k是完全平方数，
所以k＝36时，x2＋12x＋k＝x2＋12x＋36＝(x＋6)2，
此时S＝(x＋y)2＋(x＋6)2.
所以符合条件的k的值是36.
(3) 因为x，y满足－x2＋3x＋y－5＝0，
所以x，y满足y＝x2－3x＋5，
所以x＋y＝x＋x2－3x＋5＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，
因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋4≥4，
所以当x＝1时，x＋y有最小值是4.