10.5　分式方程 同步练 （3课时，含答案）2025-2026学年数学苏科版八年级下册

10.5　分 式 方 程
第1课时　分式方程的概念
了解分式方程的概念， 会解可化为一元一次方程的分式方程．
建议用时：15分钟
1 (2025扬州江都月考)下列关于x的方程中，属于分式方程的是(　　)
A. 3x＝ B. ＝ C. ＝2 D. x－3y＝4
2 (2025南通海安月考)将分式方程＝化为整式方程时，方程两边可以同时乘(　　)
A. x－3 B. x C. 3(x－3) D. x(x－3)
3 (2025南通如皋月考)若分式方程＋＝2的解为x＝2，则a的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 在解分式方程＝时，第一步去分母，方程两边同时乘最简公分母，乘的最简公分母是____________．
5 (2025徐州)分式方程＝的解为________．
6 (2025盐城东台一模)若分式方程＝2的解是x＝3，则a＝________．
7 解分式方程：
(1) (2025连云港)＝； (2) (2025浙江)－＝0；
(3) ＋1＝； (4) ＝＋1.
建议用时：25＋5分钟
8 定义ab＝2a＋，则方程3x＝42的解为(　　)
A. x＝ B. x＝ C. x＝ D. x＝
9 (2025苏州太仓月考)若代数式和2－的值相等，则x的值为(　　)
A. 1 B. 3 C. －3 D. －2
10 如图，点A，B在数轴上所对应的数分别为－2和，且点A，B到原点的距离相等，则x的值是________．
11 若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m的值为________．
12 (2025南通月考)关于x的方程＝3的解是负数，则m的取值范围是________．
13 当x为何值时，分式的值比分式的值大2
14 已知分式方程－＝■有解，其中“■”表示一个数．嘉淇回忆说：“由于抄题时等号右边的数值抄错了，导致找不到原题目了，但可以肯定的是‘■’是－1，0这两个数中的一个．”请你帮助嘉淇确定“■”表示的数，并求原分式方程的解．
15 阅读材料，并解答下列问题．
方程x＋＝3＋的解是x1＝3，x2＝；
方程x＋＝4＋的解是x1＝4，x2＝；
方程x＋＝5＋的解是x1＝5，x2＝.
(1) 观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程x＋＝m＋(m≠0)的解是________；
(2) 利用你猜想的结论，解关于x的方程＝m＋.
第2课时　分式方程的增根
1. 了解增根的概念，弄清分式方程产生增根的原因．
2. 会判断所求的根是不是分式方程的增根．
建议用时：15分钟
1 (2025南京秦淮期中)关于x的分式方程＋3＝有增根，则增根为(　　)
A. x＝7 B. x＝－7 C. x＝－2 D. x＝2
2 数学课上，李老师在黑板上写了关于a的分式方程＝1，让同学们讨论该分式方程的解，A同学说：当m>－4时，方程的解为正数；B同学说：当m<－4时，方程的解为负数，则下列说法中，正确的是(　　)
A. 只有A同学答对 B. 只有B同学答对
C. A，B同学都答对 D. A，B同学都答错
3 (2025甘肃)方程＝1的解是x＝________．
4 (2025镇江京口期中)若关于x的方程＋＝2有增根x＝－1，则a的值为________．
5 (2025泰州海陵期末)若关于x的方程＝2＋无解，则a＝________．
6 (2025南通期末)若关于x的分式方程＝2的解为负数，则m的取值范围为________．
7 解方程：
(1) ＝； (2) －＝－2；
(3) －＝－1; (4) －1＝.
8 (2025常州新北月考)若关于x的分式方程＋＝1的解为非负数，求m的取值范围．
建议用时：25＋5分钟
9 (2025南通海安月考)若a满足关于x的分式方程＝1的解为负数，且同时满足关于y的不等式组无解，则满足条件的整数a的个数是(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10 (2025苏州吴江月考)若方程＋＝2－有增根，则a的值是(　　)
A. 0 B. －1 C. 3 D. 0或－1
11 (2025南通如东期末)若关于x的分式方程－＝1的解是负数，则k的取值范围是________．
12 已知关于x的分式方程＋＝.
(1) 若方程的增根为x＝1，求m的值；
(2) 若方程有增根，求m的值；
(3) 若方程无解，求m的值．
13 当a为何值时，关于x的分式方程－＝无解．
14 已知分式A＝＋.
(1) 当x＝2t＋6，y＝2－2t(t≠－1)时，求分式A的值；
(2) 当x＝3y，且分式A的值等于2时，求x以及y的值；
(3) 若x，y均为正整数，求使分式A的值等于2的所有x以及y的值．
第3课时　用分式方程解决问题
能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，求解分式方程，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理．
建议用时：15分钟
1 (2025南通期末)甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做5个，甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个？设乙每小时做x个，则可列方程为(　　)
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
2 若分数的分子、分母减去同一个数后，分数的值是，则减去的这个数是________．
3 (2025南通期末)小华计划购买A，B两种型号的笔记本．已知A，B两种型号笔记本的单价比是3∶2，用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，求A，B两种笔记本的单价．
4 (2025南通海门期末)开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2 800元和2 500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150 kg，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．
5 (2025南通海安紫石中学月考)一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3 km，且甲队单独修复60 km公路所需要的时间与乙队单独修复90 km公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米？
建议用时：25＋5分钟
6 (2025南通海安期末)“某学校改造过程中整修门口1 500 m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程－＝10，则题目中用“…”表示的条件应是(　　)
A. 每天比原计划多修5 m，结果延期10天完成
B. 每天比原计划多修5 m，结果提前10天完成
C. 每天比原计划少修5 m，结果延期10天完成
D. 每天比原计划少修5 m，结果提前10天完成
7 (2025南通如东期末)两个小组同时开始攀登一座450 m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15 min到达顶峰．
(1) 求第二组的攀登速度；
(2) 第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案：①前一半路程速度为 p m/min，后一半路程速度为q m/min；②返回速度始终保持为 m/min，其中p≠q，且p，q均为正数，两种方案中哪种平均速度更快？
8 (2025南通海门月考)在某市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的.
(1) 求乙队单独完成这项工程需要多少天？
(2) 为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2)，若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
微专题10　分式方程中的参数问题
类型一：直接代入方程的解求参数的值
1 (2025南通海门月考)已知关于x的分式方程＋＝3的解为x＝2，则m的值为________．
2 (2025镇江扬中期末)已知关于x的分式方程－＝1.
(1) 若分式方程的解是x＝5，求a的值；
(2) 若a＝5，求分式方程的解．
3 (2025常州新北月考)已知关于x的分式方程－4＝.
(1) 若方程的解为x＝－1，求m的值；
(2) 若方程的解为非负数，求m的取值范围．
类型二：利用分式方程有解求参数的取值范围
4 (2025眉山)若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程＝2－的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为(　　)
A. 8 B. 14 C. 18 D. 38
5 (2025南通张謇一中期末)若关于x的分式方程－3＝的解为正数，则m的取值范围是________．
6 若关于x的分式方程＋＝的解大于1，求m的取值范围．
7 (2025扬州邗江期末)若关于x的不等式组有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程－＝3有整数解，则求所有满足条件的整数a的值之和．
类型三：利用分式方程的增根求参数的值
8 (2025礼泉期末)若关于x的分式方程＝有增根，则m的值为(　　)
A. 1 B. －4 C. －5 D. －3
9 (2025宿迁宿城期末)若关于x的分式方程－＝5有增根，求m的值．
10 (2025南京江宁期中)已知关于x的方程－＝2有增根．
(1) 求m的值；
(2) 若＝＋，求4A－B的值．
类型四：利用分式方程无解求参数的值
11 (2025遂宁)若关于x的分式方程＝－1无解，则a的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 0或2 D. －1或3
12 (2025凉山州)若关于x的分式方程＋＝3无解，则m＝________．
13 (2025镇江宜城中学月考)若关于x的方程＋1＝无解，求n的值．
10．5　分 式 方 程
第1课时　分式方程的概念
1. C　2. D　3. C　4. (2x＋3)(2x－3)　5. x＝9
6. －1
7. (1) x＝－3　(2) x＝2　(3) x＝3　(4) x＝－
8. B　9. B　10. －6　11. 3或4　12. m<3且m≠2
13. 解：由题意，得－＝2，解得x＝－，
经检验，x＝－是分式方程的解．
14. 解：若“■”是－1，则有－＝－1，无解；
若“■”是0，则有－＝0，解得x＝3，
经检验x＝3是原分式分程的解．
故“■”表示的数为0，原分式方程的解为x＝3.
15. 解：(1) x1＝m，x2＝
(2) 因为＝m＋，
所以＝m＋，
所以x＋＝m＋，
所以x－1＋＝m－1＋，
所以x－1＝m－1或x－1＝，
解得x1＝m，x2＝.
第2课时　分式方程的增根
1. D　2. B　3. －1　4. －3　5. 1
6. m＜－2且m≠－3
7. (1) x＝－3　(2) 无解　(3) x＝1　(4) 无解
8. 解：去分母，得4x－m－3＝x－2，
解得x＝.
因为分式方程的解为非负数，
所以≥0且≠2，
解得m≥－1且m≠5.
9. C　10. C　11. k＞1且k≠2
12. 解：原方程整理，得(m＋1)x＝－5.
(1) 因为x＝1是分式方程的增根，
所以m＋1＝－5，解得m＝－6.
(2) 因为分式方程有增根，
所以(x＋2)(x－1)＝0，
解得x＝－2或x＝1.
当x＝－2时，－2(m＋1)＝－5，解得m＝1.5；
当x＝1时，m＋1＝－5，解得m＝－6.
综上，m的值为1.5或－6.
(3) 当m＋1＝0，即m＝－1时，方程无解；
当m＋1≠0时，要使原方程无解，
由(2)，得m＝－6或m＝1.5.
综上，m的值为－1或－6或1.5.
13. 解：原方程整理，得(1＋a)x＝3a＋4，
所以当1＋a＝0，即a＝－1时，方程无解；
当x＝1时，由1＋a＝3a＋4，得a＝－，方程无解；
当x＝2时，由2(1＋a)＝3a＋4，得a＝－2，方程无解．
综上，当a＝－1或a＝－或a＝－2时，方程无解．
14. 解：(1) 由题意，得A＝＋＝－＝＝2.
(2) 由题意，得2＝＋，解得y＝2，
经检验y＝2是原方程的解，所以x＝3y＝6.
(3) 因为A的值为2，
所以＋＝2，
可得x＋y＝8，且x≠4，y≠4.
又x，y均为正整数，
故所有x，y的值分别为x＝1，y＝7或x＝2，y＝6或x＝3，y＝5或x＝5，y＝3或x＝6，y＝2或x＝7，y＝1.
第3课时　用分式方程解决问题
1. B　2. 3
3. 解：设A种笔记本的单价为3x元，则B种笔记本的单价为2x元．
由题意，得＝－2，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
所以3x＝30，2x＝20.
故A种笔记本的单价为30元，B种笔记本的单价为20元．
4. 解：设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元．
由题意，得－＝150，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
故橘子每千克的价格为10元．
5. 解：设甲队平均每天修复公路x km，则乙队平均每天修复公路(x＋3) km，
由题意，得＝，
解得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
所以x＋3＝9.
故甲队平均每天修复公路6 km，乙队平均每天修复公路9 km.
6. B
7. 解：(1) 设第二组的攀登速度为x m/min，则第一组的攀登速度为1.2x m/min，
由题意，得＋15＝，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意．
故第二组的攀登速度为5 m/min.
(2) 由题意，得方案①的平均速度为＝，
所以－＝＝.
因为p≠q，且p，q均为正数，
所以(p－q)2＞0，2(p＋q)＞0，
所以＞0，
所以＞，
所以方案②平均速度更快．
8. 解：(1) 设乙队单独完成这项工程需要x天，
由题意，得×(30＋15)＋·15＝，
解得x＝450，
经检验，x＝450是原方程的解，且符合题意．
故乙队单独完成这项工程需要450天．
(2) 由题意，得·40＝，
所以a＝60m＋60.
因为60＞0，所以a随m的增大而增大，
所以当m＝1时，最大，
所以＝，所以÷＝.
故乙队的最大工作效率是原来的倍．
微专题10　分式方程中的参数问题
1. 10
2. 解：(1) 当x＝5时，－＝1，
解得a＝1.
(2) 把a＝5代入分式方程，得－＝1，
去分母，得x(x＋5)－5(x－2)＝x(x－2)，
整理，得x2＋5x－5x＋10＝x2－2x，
解得x＝－5，
把x＝－5代入，得x(x－2)≠0，
所以分式方程的解为x＝－5.
3. 解：(1) 当x＝－1时，－4＝，
解得m＝－7.
(2) 原方程去分母，得x－4(x－1)＝－m，
解得x＝.
因为分式方程的解为非负数，且x≠1，
所以≥0，且≠1，
解得m≥－4且m≠－1.
4. B　5. m＞－3且m≠－2
6. 解：因为＋＝，
所以方程两边同乘(x＋2)(x－2)，
得(x＋2)＋2(x－2)＝x＋2m，
去括号，得x＋2＋2x－4＝x＋2m，
解方程，得x＝m＋1，
当m＋1≠2且m＋1≠－2，即m≠1且m≠－3时，
x＝m＋1是原分式方程的解．
由题意可得m＋1＞1，
所以m＞0且m≠1.
故m的取值范围为m＞0且m≠1.
7. 解：不等式组整理，得
因为不等式组有且仅有五个整数解，
所以－1≤＜0，
解得－4≤a＜3，即整数a的值为－4，－3，－2，－1，0，1，2.
分式方程去分母，得x＋a－2＝3x－3，
解得x＝.
又x为整数且x≠1，
所以当a的值为－4，－2，0，1，2时不符合题意．
当a＝－3时，x＝－1；
当a＝－1时，x＝0，
则满足题意a的值之和为－3－1＝－4.
8. C
9. 解：因为－＝5，
所以2m－1－7x＝5(x－1)，
解得x＝.
因为分式方程有增根，所以x－1＝0，
所以x＝1，
把x＝1代入x＝，得1＝，解得m＝4.
故m的值为4.
10. 解：(1) 方程两边同乘x－3，得x－4＋m＝2(x－3)，
解得x＝2＋m.
因为方程有增根，所以x＝3，
把x＝3代入x＝2＋m，得3＝2＋m，
解得 m＝1，
所以m的值为1.
(2) 由(1)，得m＝1，
则等式为＝＋，
两边同乘(x－1)(x－2)，得3x－4＝A(x－2)＋B(x－1)，
所以3x－4＝(A＋B)x－2A－B，
可得解得
所以4A－B＝2.
11. D　12. －1
13. 解：原分式方程变形，得＋＝，即＝，
所以－x＝－nx＋2，则(n－1)x＝2，
当整式方程无解时，n－1＝0，解得n＝1，
当方程有增根，即x＝3时，3(n－1)＝2，解得 n＝，
所以当方程无解时，n的值为1或.