11.3　二次根式的加减 同步练（2个课时,含答案）2025-2026学年数学苏科版八年级下册

11.3　二次根式的加减
第1课时　二次根式的加减运算
了解同类二次根式的概念，掌握二次根式的加减运算．
建议用时：15分钟
1 (2025常州金坛期中)计算＋2的结果为(　　)
A. 3 B. C. 3 D. 2
2 (2025南通海安期末)下列二次根式化简后，能与合并的是(　　)
A. B. C. D.
3 (2025镇江丹阳期末)若和最简根式是同类二次根式，则a的值是(　　)
A. B. C. 1 D.
4 计算：(1) －3＝________； (2) －＝________；
(3) －＝________； (4) －3＝________．
5 等腰三角形的两边长分别为2和3，则其周长为________．
6 (教材P169练习T1变式)计算：
(1) －3＋； (2) －＋1＋；
(3) －＋＋； (4) ＋2－－.
7 已知长方形的长为a，宽为b，且a＝，b＝.
(1) 求长方形的周长；
(2) 当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．
建议用时：25＋5分钟
8 估计5－的值应在(　　)
A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间
9 (2025无锡新吴一模)已知m，n是两个连续的偶数(0＜m＜n)，且a＝m－2，b＝n＋2，c＝＋，则下列关于c的说法中正确的是(　　)
A. 总是奇数 B. 总是偶数
C. 总是无理数 D. 可能是有理数可能是无理数
10 若最简二次根式2与－是同类二次根式，则这两个二次根式的和为________．
11 (2025河北模拟)已知＋＝3＋2＝c，则a＋b－c＝________．
12 (2025南通通州月考)已知A＝2，B＝，C＝，其中A，B都是最简二次根式，且A与B可合并为C，分别求出a和x的值．
13 A为数轴上的任意一点，若将点A表示的数乘以－1，再把所得数对应的点向右平移2个单位长度，得到点A的对应点A′.
(1) 若点A表示的数是－2，则点A′表示的数x＝________；若点A′表示的数是＋2，则点A 表示的数y＝________；
(2) 在(1)的条件下，求代数式－的值．
14 (2025镇江丹阳期中)(1) 计算并化简(结果保留根号)：
①|1－|＝________；②|－|＝________；
③|－2|＝________；④|2－|＝________；
(2) 计算：|－|＋|－2|＋|2－|＋…＋|－|(结果保留根号).
第2课时　二次根式的混合运算
熟练掌握二次根式的四则运算法则，并能正确进行二次根式的混合运算．
建议用时：15分钟
1 计算×－的结果为(　　)
A. 7 B. 6 C. 7 D. 2
2 (2025南通海安十三校期中)下列计算中，正确的是(　　)
A. ＋＝ B. 2－＝2 C. ＝2 D. ×＝2
3 (2025南通海门期末)下列计算中，正确的是(　　)
A. (3－)2＝11－6 B. (x2y)2＝x4y2
C. ＋＝ D. 6÷×＝3
4 (2025淮安一模)计算：(＋)(－)＝________．
5 (2025南通海门期末)已知x＝＋1，y＝－1，则x2－y2＝________．
6 计算：
(1) －×； (2) ÷－×＋；
(3) (2－3)÷； (4) 2(－)－2|－|.
7 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝＋，BC＝－. 求：
(1) Rt△ABC的面积；
(2) 斜边AB的长．
建议用时：25＋5分钟
8 (2025镇江扬中期中)化简(－)2 025(＋)2 024的结果为(　　)
A. ＋ B. － C. 1 D. －1
9 (2025徐州新沂期末)如图，点A，B，C，D在数轴上，则可以近似表示×－÷2的运算结果的点是(　　)
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
10 若x＝－1，则x2＋x＝________．
11 (2025苏州吴江期中)若m满足关系式＋＝·，则m＝________．
12 已知a＝＋1，b＝－1.求：
(1) a2＋b2的值； (2) ＋的值.
13 (2025南通期末)已知(x－a)(x－b)＝x2－mx＋n(ab≠0).
(1) 若a＝＋，b＝－.
①直接写出n的值为________；
②求＋的值；
③求＋的值；
(2) 若n＝，求a2－＋b2－的最小值．
微专题11　二次根式化简求值的常用方法
类型一：乘法公式法
1 (2025常州武进期中)已知0＜x＜1，且x＋＝7，则－的值为(　　)
A. － B. － C. D.
2 已知＋＝2，求＋的值．
3 已知a＋＝3，求a2＋＋＋的值．
类型二：因式分解法
4 (2025镇江丹阳期末)若a＝1＋，b＝1－，则代数式的值为(　　)
A. 3 B. ±3 C. 5 D. 9
5 (2025南通启东月考)已知a＝3＋2，b＝3－2，则a2b－ab2＝________．
6 (2025湖北二模)已知a＝－1，则a2＋2a＋6的值为________．
7 (2025绵阳北川期末)若x＝＋1，y＝－1，则x2－y2＝________．
8 (2025南通如东月考)已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值．
(1) x2＋2xy＋y2; (2) x2＋y2.
9 (2025淄博淄川期末)已知x＝2＋，y＝2－，求的值．
类型三：整体代换法
10 (2025苏州吴中月考)已知a＋b＝－6，ab＝7，则代数式a＋b的值为(　　)
A. － B. C. D. －
11 (2025南通通州月考)已知x＋y＝－5，xy＝6，求＋的值．
12 已知a－b＝＋，b－c＝－.求：
(1) a－c的值；
(2) (a－b)(a－c)的值；
(3) (a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2的值．
类型四：巧构常值代入法
13 已知x＝2－，求代数式(7＋4)x2＋(2＋)x＋的值．
14 已知－＝2，求＋的值．
微专题12　巧用二次根式的有关概念求代数的值或取值范围
类型一：利用二次根式的概念求字母的值或取值范围
1 (2025盐城东台期中)若代数式有意义，则实数x的取值范围是(　　)
A. x≠2 B. x<2 C. x>2 D. x≥2
2 (2025无锡梁溪期末)若代数式有意义，则x的取值范围是(　　)
A. x＞5 B. x≥5 C. x≠5 D. x＜5
3 (2025四川绵阳月考)函数y＝－自变量x的取值范围在数轴上表示为(　　)
A B C D
类型二：利用二次根式的非负性求代数式的值
4 (2025恩施州期末)已知点(m，n)在第一象限，m，n均为整数，且满足n＝－，则 m＋n的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5 (2025扬州高邮月考)(1) 当a为________时，＋1的值最小为________；
(2) 当a为________时，的值最大为________．
6 (2025十堰期末)已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足a＝5－4＋3，则此三角形的周长为________．
7 (2025池州期末)已知＋＝·.求(x＋y)m－n的值．
类型三：利用二次根式的性质求字母的值或取值范围
8 (2025泰州海陵期末)若＝4－3x，则x的取值范围是________．
9 (2025盐城大丰模拟)使等式＝－x成立的x的取值范围是________．
10 (2025无锡惠山月考)若化简|1－x|－的结果是2x－5，则x的取值范围是________．
11 若式子与的和为2，求a的取值范围．
类型四：利用二次根式值的特殊性确定字母的值
12 (2025南通港闸月考)若是一个正整数，则整数a的最小值是(　　)
A. －4 B. －2 C. 2 D. 8
13 (2025南京浦口月考)已知a为整数，且满足<5<，则a的值为________．
14 若属于真分数，任意写出一个符合条件的m的值为________．
15 若是整数，则整数n的所有可能的值为________．
16 (2025南通海安期末模拟)小明在解方程－＝2时，采用了下面的方法：因为(－)(＋)＝()2－()2＝(24－x)－(8－x)＝16，且－＝2，所以＋＝8，两式相加可得将＝5两边平方可解得x＝－1，经检验x＝－1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解答下列问题：
(1) 方程＋＝16的解是________；
(2) 解方程：＋＝4x.
11．3　二次根式的加减
第1课时　二次根式的加减运算
1. C　2. D　3. C　4. (1) 0　(2) 3　(3) 　(4) 　5. 4＋3或2＋6
6. (1) 4　(2) 5－　(3) 　(4) －
7. 解：由题意，得a＝2，b＝.
(1) 长方形的周长为2(a＋b)＝6.
(2) 设正方形的边长为x，则x2＝ab，
所以x＝＝2，
所以正方形的周长是4x＝8.
8. C　9. B　10. 　11. 10
12. 解：因为A，B都是最简二次根式，且A与B可合并为C，所以A和B是同类二次根式，
所以a＋3＝3a－1，解得a＝2，
所以A＝2，B＝，
所以A＋B＝3.
因为A＋B＝C，
所以＝3，
所以5(x＋1)＝45，解得x＝8.
13. 解：(1) 4　－
(2) 当x＝4，y＝－时，原式＝－(－＋)＝＋－＝.
14. 解：(1) ①－1　②－　③2－　④－2
(2) 原式＝－＋2－＋－2＋…＋－＝－＝45－.
第2课时　二次根式的混合运算
1. B　2. D　3. A　4. 9　5. 4
6. (1) 　(2) 6－3　(3) 8－　
(4) 4－4
7. 解：(1) 由题意，得面积为×(－)×(＋)＝，即Rt△ABC的面积为.
(2) 因为AB2＝AC2＋BC2＝(＋)2＋(－)2＝10，所以AB＝.
8. B　9. C　10. 2－　11. 3
12. 解：因为a＝＋1，b＝－1，
所以a＋b＝2，ab＝1.
(1) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(2)2－2＝6.
(2) 因为a＞0，b＞0，
所以原式＝＋＝＋＝·＝×＝2.
13. 解：因为(x－a)(x－b)＝x2－mx＋n(ab≠0)，
所以m＝a＋b，n＝ab.
(1) 因为a＝＋，b＝－，
所以ab＝(＋)(－)＝1，a＋b＝＋＋－＝2.
①1
②原式＝＝＝＝＝1.
③＋＝
＝
＝
＝2 025.
(2) 因为m＝a＋b，n＝ab，
所以n＝，n＝|m|，即ab＝|m|，
所以a2－＋b2－＝a2＋b2－
＝(a＋b)2－2ab－
＝m2－2|m|－，
当m＞0时，原式＝m2－2m－1＝(m－1)2－2，
此时最小值是－2；
当m＜0时，原式＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2，
此时最小值是0.
因为ab≠0，所以最小值不为0，
所以a2－＋b2－的最小值是－2.
微专题11　二次根式化简求值的常用方法
1. B
2. 解：由题意，得2＝22，
整理，得x＋＝2，
所以原式＝＋＝＋＝＋1.
3. 解：因为a＋＝3，
所以2＝a2＋2＋＝32＝9，a>0，
所以a2＋＝7.
因为2＝a＋2＋＝3＋2＝5，
所以＋＝，
所以a2＋＋＋＝7＋.
4. A　5. 4　6. 7　7. 4
8. 解：因为x＝＋1，y＝－1，
所以x＋y＝2，xy＝2－1＝1.
(1) x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(2)2＝8.
(2) x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝8－2×1＝6.
9. 解：因为x＝2＋，y＝2－，
所以xy＝(2＋)·(2－)＝4－3＝1，x＋y＝2＋＋2－＝4，
所以＝＝＝.
10. A
11. 解：因为x＋y＝－5，xy＝6，
所以x＜0，y＜0，
所以＋＝－－＝－，
当x＋y＝－5，xy＝6时，原式＝－×＝.
12. 解：(1) 因为a－b＝＋，b－c＝－，
所以a－c＝a－b＋b－c＝＋＋－＝2.
(2) (a－b)(a－c)＝2(＋)＝6＋2.
(3) (a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝(＋)2＋(－)2＋(2)2＝5＋2＋5－2＋12＝22.
13. 解：因为x＝2－，
所以x2＝(2－)2＝7－4，
所以(7＋4)x2＋(2＋)x＋＝(7＋4)×(7－4)＋(2＋)(2－)＋＝1＋1＋＝2＋.
14. 解：因为(－)(＋)＝()2－()2＝2 025＋x－(1＋x)＝2 024，
所以＋＝＝＝1 012.
微专题12　巧用二次根式的有关概念
求代数的值或取值范围
1. B　2. B　3. A　4. D　5. (1) －　1　(2) －2　2　6. 15
7. 解：由题意，得
所以(m－n)－2 025＝0，即m－n＝2 025，
所以＋＝0.
所以即
整理，得x＋y＝－1，
所以(x＋y)m－n＝(－1)2 025＝－1.
8. x≤　9. －1≤x≤0　10. 1≤x≤4
11. 解：由题意，得＋＝＋＝|a－2|＋|a－4|，
当a＞4时，原式＝a－2＋a－4＝2a－6，不符合题意；
当2≤a≤4时，原式＝a－2＋4－a＝2，符合题意；
当a＜2时，原式＝2－a＋4－a＝6－2a，不符合题意，
所以a的取值范围为2≤a≤4.
12. A　13. 25　14. 25(答案不唯一)
15. 1，4，9，36
16. 解：(1) x＝±
(2) 因为(＋)·(－)＝()2－()2＝(4x2＋6x－5)－(4x2－2x－5)＝8x，
且＋＝4x，
所以－＝2，
所以
因为()2＝(2x＋1)2，
所以4x2＋6x－5＝4x2＋4x＋1，
所以2x＝6，解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，
所以方程＋＝4x的解是x＝3.