(共13张PPT)
小专题（六） 几何图形与勾股定理
第18章 勾股定理及其逆定理
类型一 利用勾股定理求边长
1. （2024 合肥庐阳期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾
股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正
方形拼成的，设直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b.
若（a＋b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为
（ D ）
A. B. 2
C. D. 2
第1题
D
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2. （新考向 数学文化）清代数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中
运用“出入相补”原理证明了勾股定理.如图，∠ACB＝90°，四边形
ABDE、四边形ACFG、四边形BCHI均为正方形.若四边形ABDE和四
边形BCHI的面积分别为21和12，则DI的长为 .
第2题
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10
类型二 利用勾股定理求图形的面积
3. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直
角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为5，6，20，则正方形B的
面积是（ B ）
A. 15 B. 9 C. 10 D. 21
第3题
B
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4. 已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为
边作三个正方形，如图，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，设
三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则S1与S2
的大小关系是（ C ）
A. S1＞S2
B. S1＜S2
C. S1＝S2
D. 无法确定
第4题
C
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5. （2025 合肥模拟）公元3世纪，我国数学家赵爽注解《周髀算经》
时，创造了“赵爽弦图”.如图，弦为25，股为20，则小正方形的面积
为 .
第5题
25
第6题
6. 如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方
形，面积分别记为S1，S2，S3.若S1＝10，S3＝24，则图中涂色部分的
面积为 .
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10
类型三 利用几何图形证明勾股定理
7. 证明勾股定理时，甲、乙两名同学给出了如图所示的两种方案，则
下列说法正确的是（ A ）
A. 甲同学对 B. 乙同学对
C. 两名同学都对 D. 两名同学都不对
第7题
A
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7
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8. 课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理.同学们经过讨
论，给出了如图①②所示的两种图形，能证明勾股定理的是（ A ）
第8题
A. ① B. ② C. ①和② D. ①和②都不能
A
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9. “面积法”是证明勾股定理的常用方法.如图，将两个全等的直角三
角形按如图所示的方式摆放，并连接BE，其中∠DAB＝90°.求证：a2
＋b2＝c2.
第9题 第9题答案
解：如图，连接BD，过点B作BF⊥DE，
交DE的延长线于点F. ∴ BF＝b－a.
由图易得S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝
ab＋ b2＋ ab，S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE
＝ ab＋ c2＋ a（b－a），
∴ ab＋ b2＋ ab＝ ab＋ c2＋ a（b－a）.∴ a2＋b2＝c2
第9题答案
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10
10. （新考向 数学文化）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间
一个小正方形拼成的大正方形.赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来
证明代数式之间的恒等关系.验明勾股定理为中国古代以形证数、形数
统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.
（1） 如图①所示为小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板.
第10题
1
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10
① 设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图①，求证：a2＋b2＝c2；
解：（1） ① ∵ 中间小正方形的边长为b－a，∴ 小正方形的面积为
（b－a）2.又∵ 四个直角三角形的面积为4× ab＝2ab，∴ 大正方形
的面积为（b－a）2＋2ab＝a2＋b2.又∵ 大正方形的边长为c，∴ 大正
方形的面积还可以表示为c2.∴ a2＋b2＝c2
第10题
1
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10
② 若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角
三角形两直角边长之和.
解： ② 由①可知，a2＋b2＝c2＝132＝169.∵ b－a＝7，
∴ （b－a）2＝a2＋b2－2ab＝49.∴ 2ab＝120.
∴ （a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝169＋120＝289.
∴ a＋b＝17（负值舍去），
即直角三角形两直角边长之和为17
第10题
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6
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10
（2） 如图②，小昊把四块全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知
外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积.
解：（2） 设AO＝CO＝GO＝EO＝m.∵ OB＝OH＝OD＝OF＝6，
∴ AH＝CB＝DE＝FG＝m－6.∵ 外围轮廓（实线）的周长为48，
∴ 4（AB＋m－6）＝48，则AB＝18－m.
在Rt△ABO中，由勾股定理，
得62＋m2＝（18－m）2，解得m＝8，
即AO＝8.∴ S＝4× ×6×8＝96
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10(共9张PPT)
小专题（四） 利用勾股定理解决最短路径问题
第18章 勾股定理及其逆定理
类型一 直接求
1. 如图，某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.2 km
后，再向北飞行0.9 km抵达社区配送点，由于中央区域有信号障碍，无
人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线飞
行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路程为（ B ）
A. 1.0 km B. 1.5 km
C. 1.8 km D. 2.1 km
第1题
B
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2. 如图，A，B，C为三个村庄，A，B两村庄沿河而建且相距17千
米，A，C两村庄相距5 千米，B，C两村庄相距13千米，C村庄需
要从河边修建一条引水渠到村庄，每千米造价为1.5万元，则费用最低
为（ D ）
A. 6万元 B. 万元
C. 4.5万元 D. 7.5万元
第2题
D
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7
类型二 结合轴对称求
3. 如图，球员A向边线CD传球，传球落点在边线CD上任何位置都能
被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形
ABCD为直角梯形，AD＝5，AB＝BC＝10，∠B＝60°，则两次传球
中球飞过的最短路径长为（ B ）
A. 15 B. 10 C. 20 D. 20
第3题
B
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7
4. 如图，一个牧童在小河的正南方向4 km的A处牧马，且他正位于他的
小屋B的正西方向8 km、正北方向7 km处，他想把他的马牵到小河边去
饮水，然后回家，则他走过的最短路径长是 km.
第4题
17
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7
类型三 借助展开图求
5. 如图所示为一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为24 dm，
3 dm，3 dm，M，N是这个台阶上两个相对的端点，点M处有一只蚂
蚁，想到点N处去吃食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程为
（ C ）
A. 10 dm B. 20 dm C. 30 dm D. 36 dm
第5题
C
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7
6. （2025 阜阳界首期中）如图所示为一个长方体盒子，其长、宽、高
分别为4，1，7，用一根细线绕4个侧面绑在点M，N处（不计线头），
则细线的最短长度为 .
第6题
1
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4
5
6
7
7. 如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为15 cm，底面周
长为16 cm，在容器内壁离容器底部6 cm的点A处有一饭粒，此时一只蚂
蚁正好在与点A处相对的容器外壁，且距离容器顶部1 cm的点B处，则
蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长度是多少厘米？
第7题
1
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7
解：圆柱形容器的侧面展开图的一半如图所示，由题意，知AE＝15－6
＝9（cm），BF＝1 cm，EF＝16÷2＝8（cm）.作点A关于EF的对称
点A′，连接A′B，则A′B即为最短路径.过点A′作
A′D⊥BF，交BF的延长线于点D，则∠D＝90°.
∵ 易得DF＝A′E＝AE＝9 cm，A′D＝EF＝8 cm，
∴ BD＝DF＋BF＝10 cm.∴ 在Rt△A′BD中，
由勾股定理，得A′B＝ ＝ ＝
2 （cm）.∴ 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长度是2 cm
第7题答案
1
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6
7(共8张PPT)
小专题（五） 利用勾股定理解决折叠问题
第18章 勾股定理及其逆定理
类型一 求折叠中的线段长
1. （2025 合肥蜀山期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝
4，BC＝6，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕
交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的长为（ D ）
A. 2 B. 3 C. D.
第1题
D
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6
2. 如图，现有一张长方形纸片ABCD，AB＝6 cm，BC＝8 cm，将长方
形纸片沿直线EF翻折，使点B与点D重合，折痕分别交边BC，AD于
点E，F，点A的对应点为A′，则线段DE的长是 cm.
第2题
1
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6
3. （方程思想）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝
3 cm，D为AC上的一点，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上
的点E处，求AD的长.
第3题
解：∵ ∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，∴ 在Rt△ABC中，由勾
股定理，得AC＝ ＝4 cm.
∵ 将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的点E处，
∴ BE＝BC＝3 cm，DE＝DC，∠BED＝∠C＝90°.
∴ AE＝AB－BE＝2 cm.设AD＝x cm，
则CD＝DE＝（4－x）cm.在Rt△ADE中，
由勾股定理，得AD2＝AE2＋DE2，
即x2＝22＋（4－x）2，解得x＝ .∴ AD＝ cm
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类型二 求折叠中的图形面积
4. 如图，在长方形ABCD中，AB＝9，AD＝27，将长方形折叠，使点
D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ A ）
A. 54 B. 90 C. 108 D. 216
第4题
A
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5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，BC＝8，AD＝
8，E为AC上一点，将△ABC沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重
合，折痕交AD于点H，连接CH，则S△AHC＝ .
第5题
10
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5
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6. 如图，直线AB：y＝－ x＋4与x轴、y轴分别相交于点A和点B，
M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，则点B恰好落在x轴上的点
B′处.求：
第6题
（1） 点A，B的坐标；
解：（1） 在y＝－ x＋4中，当x＝0时，
y＝4；当y＝0时，x＝3，∴ A（3，0），B（0，4）
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（2） △ABM的面积.
解：（2） ∵ A（3，0），B（0，4），
∴ OA＝3，OB＝4，AB＝ ＝5.
∴ AB′＝AB＝5，S△AB′M＝S△ABM.
∴ AB′ OM＝ BM OA.
设M（0，m），则OM＝m，BM＝OB－OM＝4－m.
∴ ×5m＝ ×（4－m）×3，
解得m＝ .∴ S△ABM＝ × ×3＝
第6题
1
2
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5
6(共17张PPT)
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
第18章 勾股定理及其逆定理
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的 等于斜边的 .
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，
b，c，那么勾股定理可表示为 .
平方和
平方
a2＋b2＝c2
1. （2025 合肥庐阳期末）已知一直角三角形两直角边的长分别为9，
12，则它的斜边长为（ A ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 25
A
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12
2. （2025 安庆太湖期中）如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴
上，以点O为圆心、对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则
这个点表示的实数是（ D ）
A. 1 B. 1.5 C. D.
第2题
D
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12
3. 如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，分别记它们的面积为
S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝120，则S1的值为（ B ）
A. 80 B. 60 C. 40 D. 20
第3题
B
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12
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是AC上的一
点，连接BD，当∠BDC＝60°，CD＝2时，AB的长为（ C ）
A. 6 B. 4 C. 4 D. 10
第4题
C
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5. （新考向 数学文化）（2025 安庆怀宁期中）勾股定理在《九章算
术》中的表述：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦.”用字母表示为c
＝ （a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，
则“弦”最接近的整数是 .
4
6. （新考法 新定义题）定义：对角线互相垂直的四边形叫作“垂
美四边形”.现有如图所示的“垂美四边形”ABCD，对角线AC，
BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，则AD2＋BC2＝ .
61
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12
7. （教材变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
第6题
（1） 若a∶b＝3∶4，c＝75，求a，b的长；
解：（1） ∵ a∶b＝3∶4，∴ 设a＝3k（k＞0），
则b＝4k.在Rt△ABC中，由勾股定理，
得c＝ ＝ ＝5k.
∵ c＝75，∴ 5k＝75，解得k＝15.∴ a＝45，b＝60
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第6题
（2） 若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积.
解：（2） ∵ a∶c＝15∶17，∴ 设a＝15m（m＞0），则c＝17m.在
Rt△ABC中，由勾股定理，得b＝ ＝
＝8m.∵ b＝24，∴ 8m＝24，解得m＝3.∴ a
＝45.∵ ∠C＝90，∴ S△ABC＝ ab＝ ×45×24＝540
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12
8. （2024 眉山）如图①所示为我国古代数学家赵爽的“弦图”，它是
由四个全等的直角三角形拼成的.若图①中大正方形的面积为24，小正
方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形
的面积为（ D ）
第8题
D
A. 24 B. 36 C. 40 D. 44
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11
12
9. （教材变式）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，
点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ D ）
A. B. C. D.
第9题
D
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11
12
10. （新考向 数学文化）（2023 扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股
定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由
4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.如图，直角三角形的直角
边长分别为a，b，斜边长为c.若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角
形的面积为 .
第10题
96
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12
11. （新考向 规律探究题）（教材变式）细心观察如图所示的图形，认
真分析所给各式，然后解答问题.
＝1＋（ ）2，S1＝ ；
O ＝1＋（ ）2，S2＝ ；
O ＝1＋（ ）2，S3＝ ……
第11题
（1） OA10＝ ；
（2） 用含n（n是正整数）的式子表示：O ＝ ，Sn＝ ；
n
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11
12
（3） 若一个三角形的面积是 ，则该三角形是第 个三角形；
（4） 求 ＋ ＋ ＋…＋ 的值.
解： ＋ ＋ ＋…＋ ＝2＋2＋2＋…＋2＝ （1
＋2＋3＋…＋n）＝ × ＝
20
第11题
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12
12. （1） 以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与
Rt△FCD拼成如图①所示的图形，使B，E，F，C四点在同一条直线
上（此时点E，F重合），可知Rt△ABE≌Rt△FCD，AE⊥DF. 求
证：a2＋b2＝c2.
解：（1） 如图①，连接AD. 根据题意，得四边形ABCD是直角梯形.
∴ S四边形ABCD＝ （a＋b）（a＋b）＝ （a＋b）2.
又∵ S四边形ABCD＝S△ABE＋S△FCD＋S△ADE＝
ab＋ ab＋ c2＝ab＋ c2，
∴ （a＋b）2＝ab＋ c2.
整理，得（a＋b）2＝2ab＋c2.∴ a2＋b2＝c2
第12题答案
1
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11
12
解： （2） 如图②，连接AD，DE，
设AE与DF相交于点G.
∴ S四边形ABCD＝ a（a＋b）.∵ AE⊥DF，
∴ S四边形ABCD＝S△ABE＋S△ADE＋S△DCE＝
AE BG＋ AE DG＋ CD EC＝ AE
（BG＋DG）＋ CD EC＝ c2＋ b（a－b）.∴ a（a＋b）＝ c2＋ b（a－b）.整理，得a2＋ab＝c2＋ab－b2.∴ a2＋b2＝c2
（2） 在（1）的条件下，固定△FCD，再将△ABE沿着BC方向平移到
如图②所示的位置（此时点B，F重合）.请你重新证明：a2＋b2＝c2.
1
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11
12(共28张PPT)
第18章总结提升
第18章 勾股定理及其逆定理
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 利用勾股定理求线段长
1. （2025 合肥庐江段考）如图，网格中每个小正方形的边长为1，以点
A为圆心、AB长为半径画弧，交网格线于点D，则ED的长为（ A ）
A. B.
C. 2 D. 2
第1题
A
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16
17
2. （2023 滁州凤阳期末）如图①所示为第七届国际数学教育大会的会
徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图
②所示的四边形OABC. 若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长
为（ D ）
第2题
D
A. 2 B. 2
C. 4 D. 2
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15
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17
考点二 利用勾股定理解决实际问题
3. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝2
米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.5米的
学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该
感应器的感应长度AD为（ B ）
A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米
第3题
B
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17
4. （新考向 数学文化）《九章算术》中有一个问题：今有池方一丈，
葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？其
大意如下：如图，有一个池塘，水面是一个边长为1丈的正方形，有一
棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面的部分为1尺，若把芦
苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，则芦苇的长度为 尺（1丈＝10尺）.
第4题
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17
5. （新考法 综合实践题）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组
的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完
成了实践调查，并形成了活动报告.请根据下面的活动报告完成各题.
报 告 测量风筝的垂直高度EF
成 员 组长： 组员： 、 、
工 具 风筝、皮尺等
1
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17
示意图
方 案 如图，先测量水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出
风筝线长BF，最后测量放风筝的同学的身高AB.
数 据 BD＝16米，BF＝20米，AB＝1.7米
评 价
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17
（1） 求此时风筝的垂直高度EF；
解：（1） 由题意，得AB＝DE＝1.7米.在Rt△BDF中，由勾股定理，
得DF＝ ＝ ＝12（米），∴ EF＝DF＋DE＝
12＋1.7＝13.7（米）
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17
（2） 若人站在点A不动，想把风筝沿DC方向从点F的位置上升18米至
点C的位置，则还需放出风筝线多少米？
解： （2） 由题意，得CF＝18米，∵ DF＝12米，∴ CD＝18＋12＝30
（米）.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC＝ ＝
＝34（米）.∴ BC－BF＝34－20＝14（米）.
∴ 还需放出风筝线14米
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考点三 勾股定理逆定理的应用
6. 一辆汽车从点A出发先沿正东方向行驶30 km到达点B，然后转向行
驶40 km到达点C，最后从点C沿CA方向直接回到出发点A. 如果汽车
从出发到返回共行驶了120 km，那么BC的方向是（ D ）
A. 正东或正西 B. 正南
C. 正北 D. 正南或正北
7. 若三角形的三边长满足关系式｜a－3｜＋（a＋b－7）2＋ ＝
0，则这个三角形的面积为 .
D
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8. （1） 如图，在网格中画出格点三角形ABC，AB，BC，AC三边的
长分别为 ，2 ， ；
第8题 第8题答案
解：（1） 如图，△ABC即为所求
第8题答案
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（2） 求边AC上的高h.
解：（2） ∵ AB＝ ，BC＝2 ，AC＝ ，∴ AB2＋BC2＝AC2.
∴ △ABC是直角三角形，且∠B＝90°.∵ S△ABC＝ AC h＝
AB BC，∴ h＝ ＝ ＝
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考点四 勾股数的识别
9. （2025 合肥庐阳期末）下列各组数中，是勾股数的为（ C ）
A. 0.3，0.4，0.5 B. 1， ，
C. 8，15，17 D. 5，10，13
C
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10. （2025 安庆怀宁期末）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且
a＋c＝2b，c－a＝ b，则△ABC是（ A ）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
A
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11. （2025 蚌埠期末）如图，一块含有45°角的直角三角板ABC，其直
角边BC在数轴上，若点B与数轴上表示－1的点重合，点C与数轴上表
示0的点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右
侧），则点D表示的数为（ C ）
A. B. －
C. －1 D. － －1
第11题
C
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12. （2024 安徽）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的
延长线上，且CD＝AB，则BD的长是（ B ）
A. －
B. －
C. 2 －2
D. 2 －
第12题
B
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13. 如图，在离水面点A高度为8 m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠
岸，开始时绳子BC的长为17 m，此人以1 m/s的速度收绳（绳子始终笔
直），7 s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（ A ）
A. 9 m B. 8 m C. 7 m D. 6 m
第13题
A
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14. （2023 苏州）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3 ，过点C作
CD⊥BC，延长CB到点E，使BE＝ CD，连接AE，ED. 若ED＝
2AE，则BE＝ （结果保留根号）.
第14题
1＋
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15. 如图，在由相同的小正方形组成的网格图中，每个小正方形的边长
都为1，四边形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上.求：
第15题
（1） BC的长；
解：（1） 如图.根据题意，得BE＝4，CE＝2.
在Rt△BEC中，由勾股定理，
得BC＝ ＝ ＝2 .
∴ BC的长为2
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（2） ∠BCD的度数.
解：（2） 如图，连接BD. 根据题意，得BC2＝（2 ）2＝20，
CD2＝22＋12＝5，BD2＝32＋42＝25.∴ BC2＋CD2＝BD2.
∴ △BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°
第15题
第15题答案
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16. 如图，上午9时50分，码头A的正东方向有一艘货轮C油量不足，正
在以13海里/时的速度向正西方向航行，正在MN线（南北方向）上巡逻
的救援艇B收到求救信号后立即测算，码头A与货轮C之间的距离是13
海里，码头A与救援艇B之间的距离是5海里，救援艇B与货轮C之间的
距离是12海里.若货轮C的速度不变，救援艇B向正北方向继续航行，
正好可以在货轮C抵达MN线时进行救援，则货轮C可在什么时间得到
救援 ？
第16题
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解：设MN交AC于点E，则∠BEC＝90°.
∵ AB2＋BC2＝52＋122＝132（平方海里）＝AC2，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°.
又∵ MN⊥CE，∴ ∠BEA＝∠BEC＝90°.
∴ BE2＝AB2－（AC－CE）2，BE2＝BC2－CE2.
∴ BC2－CE2＝AB2－（AC－CE）2.
∴ CE＝ 海里.∴ ÷13＝ ≈0.85（时），0.85×60＝51（分）.
∵ 9时50分＋51分＝10时41分，
∴ 货轮C可在10时41分得到救援
第16题
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17. （易错题）如图所示为两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为
15 cm的正方形，高为20 cm.现有彩带若干（足够用），数学组的小明
和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美
贴合长方体礼品盒）.
（1） 如图①，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周
到达点B，求所用彩带的长度；
第17题
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解：（1） 如图①，将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的中点
M，AB的中点N，连接AM，NB′，则AM＋NB′＝2AM即为所求
的彩带长.在Rt△AA′M中，由勾股定理，得AM＝ ＝
＝10 （cm），∴ AM＋NB′＝2AM＝20
cm.∴ 所用彩带的长度是20 cm
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（2） 如图②，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E
的距离是5 cm，则小刚所需要的彩带最短是多少厘米？
（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）
第17题
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解：（2） 当上面的面与前面的面展开成一个平面时，如图②，此时CD＝ ＝5 （cm）.当右边的面与前面的面展开成一个平面时，如图③，此时CD＝ ＝20 （cm）.当上面的面与左边的面展开成一个平面时，如图④，此时CD＝ ＝25
（cm）.∵ 20 ＜5 ＜25 ，∴ 小刚所需要的彩带最短是20 cm
第17题答案
1
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17(共15张PPT)
18.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
第18章 勾股定理及其逆定理
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
运用勾股定理解应用题的一般步骤：在实际问题中抽象出数学模型，将所求问题转化为求解直角三角形的边的问题，然后运用 定理
进行解题.
勾股
1. （2025 六安金安期末）如图，一竖直的木杆在离地面4米处被折断，
木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，则木杆被折断之前的高度为
（ C ）
A. 7米 B. 8米 C. 9米 D. 12米
第1题
C
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9
2. （方程思想）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之
一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的
纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而
使人入迷.如图所示为秋千荡至半空时的示意图，秋千静止时，踏板离
地的垂直高度BE＝1 m，将它往前推6 m至点C处时（即水平距离CD＝
6 m），踏板离地的垂直高度CF＝4 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC
的长是（ B ）
A. m B. m
C. 8 m D. m
第2题
B
1
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9
3. （2025 连云港）如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙的
水平距离为1.8 m，则梯子顶端离地面的高度h为 m.
第3题
2.4
1
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5
6
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9
4. （新考向 数学文化）《算法统宗》记载古人丈量田地的方法：“昨
日丈量田地回，记得长步整三十.广斜相并五十步，不知几亩及分厘.”
其大意如下：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和
对角线之和为50步.不知该田有几亩？请你帮他算一算，该田有 亩
（步为古代的长度单位，1亩＝240平方步）.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5. 为迎接安徽省第六届全民健身运动会，倡导全民运动，健康成长，
某中学计划翻修学校体育馆.如图，有一条从体育馆顶部垂下的绳子，
绳子顶端A固定在顶部，绳子自然垂下至地面还余2米，当绳子的下端
从点C拉开6米至点B时，发现绳子下端刚好接触地面.求体育馆的楼高
AC.
第5题
解：设体育馆的楼高AC为x米，则绳子AB的长为（x＋2）米.在
Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2.
∴ （x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8.
∴ 体育馆的楼高 AC为8米
1
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7
8
9
6. 机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50 cm×40 cm×20 cm
的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画
卷：① 38 cm；② 40 cm；③ 60 cm；④ 68 cm.这位旅客可以购买的尺寸
是（ B ）
A. ①② B. ①②③
C. ①②③④ D. ①
B
1
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7
8
9
7. 在一次综合实践活动中，老师让同学们测量如图所示的公园里凉亭
A，B之间的距离（A，B之间有水池，无法直接测量）.智慧小组的同
学们在公园里选了凉亭C，D，测得AD＝CD＝10 m，∠D＝90°，
BC＝40 m，∠DCB＝135°，则凉亭A，B之间的距离为 m.
第7题
30
1
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4
5
6
7
8
9
8. （教材变式）如图，某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，将一
架梯子斜靠在左墙EF上，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7 m，梯子
顶端D到地面的距离DE为2.4 m.
第8题
（1） 求AD的长.
解：（1） 在Rt△ADE中，由勾股定理，
得AD＝ ＝ ＝2.5（m）
1
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9
（2） 若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BG上，则梯子顶端C
到地面的距离CB为1.5 m.这两面直立的墙壁之间的安全通道的宽BE为
多少米？
解：（2） 根据题意，得AC＝AD＝2.5 m.
在Rt△ABC中，由勾股定理，
得AB＝ ＝ ＝2（m）.
∴ BE＝AE＋AB＝0.7＋2＝2.7（m）.
∴ 安全通道的宽BE为2.7 m
第8题
1
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5
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7
8
9
9. （2024 马鞍山和县模拟）如图，某校数学兴趣小组开展“几何现场
实践活动”，他们在操场上设立A，B，C，D四个点，并给出以下信
息：点A在点B的西北方向上，点D在点B的北偏西15°方向上，点D
在点A的东北方向上，∠BCD＝90°，CD＝30米，AD＝25米.
第9题
1
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7
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9
（1） 求BC的长；
解：（1） 如图，添上相关点.由题意，得∠NAB＝∠ABF＝45°，
∠DBF＝15°，∠MAD＝45°，∴ ∠DAB＝180°－∠MAD－
∠NAB＝90°，∠ABD＝∠ABF－∠DBF＝30°.∵ AD＝25米，
∴ BD＝2AD＝50米.∵ ∠BCD＝90°，CD＝30米，∴ 在Rt△BCD
中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝40（米）
第9题
第9题答案
1
2
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5
6
7
8
9
（2） 若小明和小亮从点B同时出发，分别沿B→A→D和B→C→D到
达点D，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达，并说明理由
（参考数据： ≈1.73， ≈1.41）.
解：（2） 小明先到达 理由：由（1），得∠DAB＝90°，AD＝25米，BD＝50米，BC＝40米，∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB＝
＝ ＝25 （米）.
∴ 小明行走的总路程为25 ＋25≈68.25（米），
小亮行走的总路程为30＋40＝70（米）.
∵ 68.25＜70，两人速度相同，∴ 小明先到达.
第9题
1
2
3
4
5
6
7
8
9(共16张PPT)
18.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理逆定理的应用
第18章 勾股定理及其逆定理
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
运用勾股定理逆定理解应用题的一般步骤：在实际问题中抽象出数
学模型，利用勾股定理逆定理先判断三角形是 三角形，进
而解决问题.
直角
1. 如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长30 m，40 m和50 m，
已知40 m长的边线为南北向，则30 m长的边线的方向为（ A ）
A. 东西向
B. 东北向
C. 东南向
D. 西北向
第1题
A
1
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5
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8
9
10
11
12
2. （新考向 数学文化）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九
章》里记载这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意如下：有一块三角形沙
田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田的面积有多大？根
据题意，这块沙田的面积为（里为一种长度单位）（ A ）
A. 30平方里 B. 32.5平方里
C. 60平方里 D. 65平方里
A
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12
3. 如图，在P港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时
8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2
小时后甲船到A岛，乙船到B岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向
是（ A ）
A. 南偏东30°
B. 南偏东40°
C. 南偏东50°
D. 南偏东60°
第3题
A
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8
9
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11
12
4. 木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为1.2 m，
0.9 m，1.5 m，则这块木板 （填“合格”或“不合格”）.
5. 如图，电工黄师傅为了确定新建的电线杆与地面是否垂直，他从电
线杆上离地面2.5 m处向地面拉一条长6.5 m的缆绳，当黄师傅量得这条
缆绳在地面的固定点到电线杆底部的距离为 m时，这根电线杆便
与地面垂直了.
第5题
合格
6
1
2
3
4
5
6
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8
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10
11
12
6. （2024 池州贵池模拟）如图所示为某推车的简化结构示意图.现测得
BC＝2 dm，CD＝8 dm，AD＝16 dm，AB＝18 dm，其中AD与BD之
间由一个固定∠ADB为90°的零件连接，按照设计要求需满足
BC⊥CD，请判断该推车是否符合设计要求，并说明理由.
第6题
解：该推车符合设计要求 理由：∵ ∠ADB＝90°，
AD＝16 dm，AB＝18 dm，∴ 在Rt△ADB中，
由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝
2 （dm）.∵ BC＝2 dm，CD＝8 dm，∴ BC2＋
CD2＝22＋82＝68（dm2）＝BD2.∴ △BCD是直角三角形，
且∠BCD＝90°.∴ BC⊥CD. ∴ 该推车符合设计要求.
1
2
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11
12
7. （教材变式）甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速
度都是40 m/min，甲客轮用30 min到达点A，乙客轮用40 min到达点B.
若A，B两点的距离为2 000 m，甲客轮沿北偏西60°的方向航行，则乙
客轮的航行方向可能是（ A ）
A. 南偏西30° B. 北偏东60°
C. 南偏东30° D. 南偏西60°
A
1
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10
11
12
8. 如图，某校在校园围墙的边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得
AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，∠ABC＝90°，则这块
菜地的面积是（ B ）
A. 48 m2 B. 114 m2 C. 122 m2 D. 158 m2
第8题
B
1
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5
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8
9
10
11
12
9. 如图，笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中
AB＝AC，由于周边施工，由点C到点A的路现在不通，为方便游客，
在河边新建一个漂流点H（点A，H，B在同一条直线上），并新修一
条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米，则原路线AC
的长为 千米.
第9题
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10. 小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示的四边形材料是飞机垂
直尾翼.小明测量发现AB＝13 cm，AD＝5 cm，∠DBC＝90°，BC＝
16 cm，CD＝20 cm.根据设计要求需保证AD∥BC，请判断该尾翼是否
符合设计要求，并说明理由.
第10题
解：符合设计要求 理由：∵ ∠DBC＝90°，
BC＝16 cm，CD＝20 cm，∴ 在Rt△BCD中，
由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝12
（cm）.在△ABD中，AB＝13 cm，BD＝12 cm，AD
＝5 cm，∴ AD2＋BD2＝AB2.∴ △ABD是直角三角形，
且∠ADB＝90°.∴ ∠ADB＝∠DBC. ∴ AD∥BC.
∴ 该尾翼符合设计要求.
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11. （2025 阜阳期末）如图，某乡村有一块三角形空地ABC，计划将这
块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别种植梨树和桃树两种
不同的果树，经测量，∠EDC＝90°，DC＝30米，CE＝50米，BD＝
70米，AB＝80米，AE＝10米，求四边形ABDE的面积.
第11题
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解：如图，连接BE. 在Rt△DCE中，由勾股定理，得DE＝
＝ ＝40（米），在Rt△BDE中，由勾股定
理，得BE2＝BD2＋DE2＝702＋402＝6 500（平方米）.在△ABE中，
∵ AB2＋AE2＝802＋102＝6 500（平方米）＝BE2，∴ △ABE是直角三
角形，且∠A＝90°.∴ 四边形ABDE的面积＝S△ABE＋S△BDE＝
×80×10＋ ×70×40＝1 800（平方米）
第11题答案
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12. 如图，南北方向上的PQ以东为我国的领海，以西为公海，某日晚
上，我国边防反偷渡巡逻艇101号在A处发现其正西方向的C处有一可
疑船只正向我国领海靠近，便立即通知正在PQ（PQ⊥AC）上B处巡
逻的103号艇注意其动向.经观测发现，A，C两处之间的距离为10 n
mile，A，B两处之间的距离为6 n mile，B，C两处之间的距离为8 n
mile.若该可疑船只的速度为12.8 n mile/h，则该可疑船只最早在多长时
间后进入我国领海？
第12题
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解：设PQ与AC交于点D，则BD⊥AC. ∵ AB＝6 n mile，BC＝8 n
mile，AC＝10 n mile，∴ AB2＋BC2＝AC2.∴ △ABC是直角三角形，
且∠ABC＝90°.∵ BD⊥AC，∴ 可疑船只进入我国领海的最短距离
为CD的长.又 ∵ S△ABC＝ AB BC＝ AC BD，∴ ×6×8＝
×10BD. ∴ BD＝4.8 n mile.在 Rt△BCD中，由勾股定理，得CD＝
＝ ＝6.4（n mile）.∴ 该可疑船只从C处到D
处所需的最短时间为6.4÷12.8＝0.5（h）.∴ 该可疑船只最早在0.5 h后
进入我国领海
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12(共17张PPT)
18.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
第18章 勾股定理及其逆定理
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是 三角形.
2. 能够成为直角三角形三条边长度的三个 称为勾股数.
直角
正整数
1. （2025 亳州利辛期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是
（ C ）
A. 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，4，5 D. 4，5，6
2. （2025 合肥肥东期末）下列各组数为勾股数的是（ D ）
A. 6，12，13 B. 3，4，6
C. 8，15，16 D. 5，12，13
C
D
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3. （2024 合肥庐江期中）一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，
那么以ak，bk，ck（k＞0）为三边长的三角形是（ A ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
A
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4. （教材变式）（2025 亳州期末）如图，在6×7的正方形网格中，
A，B，C都是网格线的交点，则∠CAB的度数是（ B ）
A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
第4题
B
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5. 若边长为a的正方形的面积等于长为b＋c、宽为b－c的长方形的面
积，则以a，b，c为三边长的三角形是 三角形（填“锐角”
“直角”或“钝角”）.
直角
6. 有一根长为24 cm的绳子，折成三边长分别为三个连续偶数的三角
形，则三边长分别为 ，此三角形的形状是
三角形.
6 cm，8 cm，10 cm
直
角
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7. 如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝
15，则△ABC的面积为 .
第7题
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8. （教材变式）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，根据以下条
件，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是
直角.
（1） a＝2.5，b＝1.5，c＝2；
解：（1） ∵ b2＋c2＝2.25＋4＝6.25＝a2，∴ △ABC是直角三角形，最
大边a所对的角是直角
（2） a∶b∶c＝5∶13∶12.
解：（2） 设a＝5x，则b＝13x，c＝12x.∵ a2＋c2＝25x2＋144x2＝
169x2＝b2，∴ △ABC是直角三角形，最大边b所对的角是直角
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9. 如图，在4×4的方格中，作以AB（点A，B在格点上）为一边的
Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ D ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个
第9题
D
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10. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平
分线交BC于点E，M，N为垂足，若BD＝ ，DE＝2，EC＝ ，则
AC的长为（ D ）
A. B.
C. D.
第10题
D
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11. （2025 芜湖期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是
a，b，c，且满足（a－b）2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，则△ABC是
三角形.
12. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P是线段BC上的
一点，连接AP，则线段AP长的最小值为 .
第12题
等
腰直角
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13. 如图，在3×3的网格中，有A（1，1），B（3，0），C三个格
点，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标可以是
.
第13题
（1，0）或（3， 1）
或（2，3）
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14. 我们把满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为“勾股数”.若
a，b，c（a＜b＜c）是一组勾股数，n为正整数：
（1） 当b＝n＋7，c＝n＋8时，请用含n的代数式表示a2＝
.当n＝ 时，a为满足题意的最小整数.
2n＋
15
5
（2） 当b＝2n2＋2n，c＝b＋1时，用含n的代数式表示a2＝
，再完成勾股数表格.
a b c
9 40 41
11 60 61
（2n
＋1）2
41
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15. 阅读材料：
设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以
利用a，b，c之间的关系来判断这个三角形的形状：① 若a2＝b2＋
c2，则该三角形是直角三角形；② 若a2＞b2＋c2，则该三角形是钝角三
角形；③ 若a2＜b2＋c2，则该三角形是锐角三角形.例如：若一个三角
形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42＋52，由③，可
知该三角形是锐角三角形.
根据材料，解答下列问题：
（1） 若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是
三角形；
锐角
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（2） （分类讨论思想）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这
个三角形是直角三角形，求x2的值；
解：（2） 当x为斜边时，由勾股定理，得52＋122＝x2，∴ x2＝169.当
12是斜边时，由勾股定理，得52＋x2＝122，∴ x2＝119.∴ x2的值为169
或119
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（3） 当a＝2，b＝4时，求△ABC分别为钝角三角形、直角三角形和
锐角三角形时对应的c2的取值范围.
解： （3） ∵ a＝2，b＝4，∴ 4－2＜c＜4＋2.∴ 4＜c2＜36.若△ABC是钝角三角形，则a2＋b2＜c2或a2＋c2＜b2，解得c2＞20或c2＜12，∴ 20＜c2＜36或4＜c2＜12.若△ABC是直角三角形，则a2＋b2＝c2或a2＋c2＝b2，解得c2＝20或c2＝12.若△ABC是锐角三角形，则a2＋b2＞c2或a2＋c2＞b2，解得c2＜20或c2＞12，∴ 12＜c2＜20
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