(共17张PPT)
19.2 平行四边形
第2课时 两条平行线间的距离
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 叫作
这两条平行线之间的距离.
2. 夹在两条平行线之间的平行线段 .
距离
相等
1. 如图，直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三
点，若AB＝3，AC＝7，则平行线b，c之间的距离是（ B ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第1题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 如图，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，l1∥l2，
CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3 cm，则BD的长为（ C ）
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 4 cm
第2题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. 如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如
果AB＝10 cm，BC＝6 cm，那么平行线a，b之间的距离为（ B ）
A. 10 cm B. 8 cm
C. 6 cm D. 不能确定
第3题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. 如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，
△PCD的面积（ C ）
A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 无法确定
第4题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 如图，PQ∥MN，AD∥BF，AB⊥MN于点B，CD⊥PQ于点C，
两条平行线PQ与MN之间的距离可以是线段 或 的长.
第5题
AB
CD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 如图，直线l1∥l2.
（1） △ABC的面积与△DBC的面积相等吗？如果相等，请说明理由.
解：（1） 相等 理由：∵直线 l1∥l2，∴ l1，l2之间的距离处处相等.
∴ △ABC和△DBC的BC边上的高相等.∴ △ABC的面积与△DBC的
面积相等.
第6题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 不添加辅助线，在图中你还能得到哪些面积相等的三角形？
解： （2） 在图中面积相等的三角形还有△BAD和△CDA，△AOB和
△DOC
第6题
（3） 你还能在平行线l1，l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形
吗？这样的三角形能画出多少个？
解：（3） 能
如图，在直线l1上任取一点E，连接EB，EC，
△EBC即为所求作（画法不唯一）.
这样的三角形能画出无数个
第6题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 已知AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝
10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD之间的距离是（ D ）
A. 5 B. 6 C. 3 D. 5
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 如图，AB∥CD，O为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC
于点E，若OE＝3，则AB与CD两平行线之间的距离是（ C ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
第8题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. （新考向 跨学科）如图，语文中汉语拼音书写用到的四线三格是由
等距离、等长度的四条平行线组成，已知每相邻两条平行线间的距离都
是1，正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的
面积为（ D ）
A. B. C. 3 D. 5
第9题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 如图，在 ABCD中，BC＝8，BD＝6，AB＝10，则平行线AB，
CD之间的距离是 .
第10题
4.8
11. （易错题）已知一点到两条平行线的距离分别是2 cm，3 cm，则这
两条平行线之间距离为 cm.
1或5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程
中，通过隔离带的空隙O刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核
心价值观标语，其具体信息如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行
线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D. 已知
AB＝15米，请根据上述信息求标语CD的长度.
第12题
解：∵ OD⊥CD，∴ ∠ODC＝90°.∵ AB∥CD，
∴ ∠OBA＝∠ODC＝90°.∴ OB⊥AB.
∵ 相邻两平行线间的距离相等，∴ OD＝OB.
在△ABO和△CDO中，∵
∴ △ABO≌△CDO. ∴ CD＝AB＝15米
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相
互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的
距离为2，过点A作AE⊥l3于点E，求AC的长.
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解：如图，过点C作CD⊥l3于点D，则∠BDC＝90°.∵ ∠ABC＝
90°，∴ ∠ABE＋∠CBD＝90°.又∵ AE⊥l3，∴ ∠AEB＝90°.
∴ ∠BAE＋∠ABE＝90°.∴ ∠BAE＝∠CBD. 在△ABE与△BCD
中，∵ ∴ △ABE≌△BCD. ∴ BD＝AE. 由题意，
得AE＝2，CD＝1＋2＝3，∴ BD＝2.
在Rt△BCD中，根据勾股定理，
得BC＝ ＝ .∴ AB＝BC＝ .
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
得AC＝ ＝ ＝
第13题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共16张PPT)
19.2 平行四边形
第4课时 平行四边形的判定
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 定理1：一组对边 的四边形是平行四边形.
2. 定理2：两组对边分别 的四边形是平行四边形.
3. 定理3：对角线 的四边形是平行四边形.
平行且相等
相等
互相平分
1. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四
边形还需要的条件是（ C ）
A. AB＝DC
B. ∠1＝∠2
C. AD＝BC
D. ∠D＋∠BCD＝180°
第1题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. （易错题）嘉淇不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四
块，为配到一块与原来完全相同的平行四边形玻璃，则她需要带的两块
碎玻璃的编号是（ D ）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
第2题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. （2025 六安期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列条
件不能判定四边形ABCD是平行四边形的为（ B ）
A. OA＝OC，OB＝OD
B. AB＝CD，AO＝CO
C. AB＝CD，AD＝BC
D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
第3题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. 如图，木匠通常取两根木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形
是平行四边形，判断的依据是 .
第4题
对角线互相平分的四边形是平行四边形
5. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝CD，请添
加一个条件： ，使四边形ABCD为平行
四边形.
第5题
AB∥CD（答案不唯一）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 如图，四边形AEFD和四边形EBCF都是平行四边形，则四边形
ABCD的形状是 .
第6题
平行四边形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. （2025 安庆太湖期末）如图，在 ABCD中，BE＝DF. 求证：四
边形AECF是平行四边形.
第7题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥CB. ∵ BE＝
DF，∴ AD－DF＝BC－BE，即AF＝CE. 又∵ AF∥CE，∴ 四边
形AECF是平行四边形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. （教材变式）如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，有下
列条件：① DE＝BF；② ∠ADE＝∠CBF；③ AF＝CE；④ ∠AEB＝
∠CFD. 从这些条件中选一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可
选的条件是（ D ）
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
第8题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. 在平面直角坐标系中，点O，B，D的坐标分别是（0，0），（5，
0），（2，3），如果存在点C，使得以O，B，D，C为顶点的四边形
是平行四边形，那么下列给出的点C的坐标中，错误的是（ C ）
A. （3，－3） B. （－3，3）
C. （3，5） D. （7，3）
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 如图，在由相同的小正方形组成的网格图中，每个小正方形的边长
均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点处，AD与BC相交于点
O，则DO的长为 .
第10题
11. 已知一个四边形的边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，
且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则此四边形为 四边形.
3
平行
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5 cm，BC＝9 cm，M
是CD的中点，P是BC边上的一动点（点P与点B，C不重合），连接
PM并延长，交AD的延长线于点Q.
第12题
（1） 求证：△PCM≌△QDM.
解：（1） ∵ AD∥BC，∴ ∠QDM＝∠PCM.
∵ M是CD的中点，
∴ DM＝CM. 在△PCM和△QDM中，
∵
∴ △PCM≌△QDM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 当点P在点B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行
四边形？并说明理由.
解：（2） 当PC＝2 cm时，四边形ABPQ是平行四边形
理由：∵ PC＝2 cm，∴ BP＝BC－PC＝7 cm.∵ △PCM≌△QDM，∴ PC＝QD＝2 cm.∴ AQ＝AD＋QD＝7 cm.∴ BP＝AQ. 又∵ AD∥BC，∴ 四边形ABPQ是平行四边形.
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. 在 ABCD中，AB＞AD，∠ABC为锐角，O是对角线BD的中点.
某数学学习小组要在BD上找两点E，F，使四边形AECF为平行四边
形，现总结出甲、乙两种方案如图所示.
请回答下面的问题：
（1） 以上方案能得到四边形AECF为平行四边形的是 ；
第13题
甲、乙
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 请将（1）中方案的证明过程写下来（如果有多种只写一种即
可）.
解：答案不唯一，如甲方案，连接AC. ∵ 四边形ABCD是平行四边
形，O为BD的中点，∴ AC经过点O. ∴ BO＝DO，AO＝CO. ∵ E，
F分别为DO，BO的中点，∴ EO＝ DO，FO＝ BO. ∴ EO＝FO.
∴ 四边形AECF为平行四边形
第13题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共17张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第3课时 菱形的性质
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 有一组邻边相等的 叫作菱形.
2. 菱形的性质1：菱形的 条边相等.
3. 菱形的性质2：菱形的对角线 ，并且每一条对角线
一组对角.
平行四边形
四
互相垂直
平
分
1. （2025 安庆潜山期末）在菱形ABCD中，若∠A＝60°，则∠B的度
数是（ C ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
2. （2025 合肥庐阳期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角
线BD＝8，则菱形ABCD的周长为（ B ）
24 B. 32
C. 32 D. 16
第2题
C
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. （2025 常州）如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，相交于
点O，AB＝5.若∠ABD＝30°，则AC的长是（ B ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 10
第3题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. （教材变式）（2025 云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线
AC，BD相交于点O. 若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积
是 .
第4题
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. （2025 马鞍山和县期中）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，
BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则
∠DHO的度数是 .
第5题
25°
6. 如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.
若PE＝5，则点P到AD的距离为 .
第6题
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. （2025 泸州）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上
的点，且AE＝CF，连接AF， CE. 求证：AF＝CE.
第7题
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC. ∵ AE＝CF，∴ AB－AE
＝BC－CF，即BE＝BF. 在△ABF和△CBE中，∵
∴ △ABF≌△CBE. ∴ AF＝CE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. （2024 绥化）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于
点O，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ A ）
A. B. 6 C. D. 12
第8题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. （2024 临夏）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负
半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（ C ）
A. （－4，2） B. （－ ，4）
C. （－2，4） D. （－4， ）
第9题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. （易错题）如图，P是边长为1的菱形ABCD的对角线AC上的动
点，M，N分别是边AB，BC上的中点，则MP＋NP的最小值是
（ B ）
A. B. 1 C. D. 2
第10题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. （2025 宣城期末）如图，菱形ABCD的面积为12，E是AB的中
点，F是BC上的点，且BF＝2FC，则图中涂色部分的面积是 .
第11题
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD的中
点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF.
第12题
（1） 求证：△AOE≌△DFE；
解：（1） ∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE. ∵ DF∥AC，∴ ∠OAE＝
∠FDE. 在△AOE和△DFE中，∵
∴ △AOE≌△DFE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 判定四边形AODF的形状并说明理由.
解：（2） 四边形AODF是矩形 理由：∵ 由（1）知，
△AOE≌△DFE，∴ AO＝DF. 又∵ DF∥AC，∴ 四边形AODF是
平行四边形.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，即∠AOD＝
90°.∴ 四边形AODF是矩形.
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
第13题
13. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，交BD于点M.
（1） 若∠ABE＝60°，AE＝6，求菱形ABCD的周长；
解：（1） ∵ AE⊥BC，∴ ∠AEB＝90°.
∴ ∠BAE＝90°－∠ABE＝30°.
∴ AB＝2BE. 在Rt△ABE中，由勾股定理，
得AB2＝BE2＋AE2，即（2BE）2＝BE2＋62，
解得BE＝2 （负值舍去）.∴ AB＝2BE＝4 .∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC＝AD＝CD. ∴ 菱形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 若CE＝6，BE＝4，四边形CDME和△ADM的面积分别为S1和
S2，求S1－S2的值.
解：（2） 如图，连接CM. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ∠ADM＝∠CDM. 在△ADM和△CDM中，∵
∴ △ADM≌△CDM. ∴ AM＝CM，S△ADM＝S△CDM＝S2.
第13题
第13题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
∵ S四边形CDME－S△CDM＝S△CEM，∴ S1－S2＝S△CEM. ∵ AB＝BC＝CE＋BE＝6＋4＝10，AE⊥BC，∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝2 .设EM＝x，则CM＝AM＝AE－EM＝2 －x.∵ AE⊥BC，∴ 在Rt△CEM中，由勾股定理，得EM2＋CE2＝CM2，即x2＋62＝（2 －x）2，解得x＝ .∴ EM＝ .∴ S1－S2＝S△CEM＝ CE EM＝ ×6× ＝
第13题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共9张PPT)
19.1 多 边 形
第1课时 多边形的概念及内角和
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
1. 在平面内，由若干条不在 的线段首尾顺次相接组
成的封闭图形叫作多边形.
2. 一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得
直线的 ，这样的多边形就是凸多边形.
同一条直线上
同侧
3. n边形（n为不小于3的整数）的内角和定理：n边形的内角和等
于 .
（n－2） 180°
1. 下列多边形中，不是凸多边形的为（ C ）
A B C D
2. （2025 亳州期末）五边形的内角和为（ A ）
A. 540° B. 720°
C. 900° D. 1 080°
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2025 北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为
（ C ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
4. （2024 乐山）下列多边形中，内角和最小的是（ A ）
A B C D
5. 如果一个n边形的内角和是1 260°，那么n＝ .
C
A
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 从十边形的一个顶点出发可以引 条对角线，将这个十边形分成
了 个三角形，十边形的内角和为 .
7. （2025 扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数
为 .
7
8
1 440°
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （易错题）如果一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的
内角和为1 080°，那么原多边形的边数为（ D ）
A. 7 B. 7或8
C. 8或9 D. 7或8或9
9. 如果将一张长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多
边形的内角度数之和不可能是（ D ）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
D
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. （教材变式）在四边形ABCD中，四个内角的度数之比是
2∶4∶5∶7，则这个四边形中最大内角的度数是 .
11. （方程思想）（2025 合肥期中）已知两个多边形的内角总和为
1 080°，且边数之比为2∶3，则这两个多边形的边数分别是 .
140°
4，6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 在一个凸多边形中，除其中一个内角外，其余内角之和为1 205°.
求这个多边形的边数及它的内角和.
解：设除去的内角为α，多边形的边数为n.根据题意，得（n－2）
180°＝1 205°＋α，即（n－2） 180°＝6×180°＋（125°＋
α）.∵ 等式的左边是180°的整数倍，∴ 等式的右边也是180°的整数
倍.又∵ 该多边形是凸多边形，∴ 0°＜α＜180°.∴ 125°＋α＝
180°，解得α＝55°.∴ （n－2） 180°＝1 205°＋55°＝1 260°，
解得n＝9.∴ 这个多边形的边数是9，内角和为1 260°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共29张PPT)
第19章总结提升
第19章 四 边 形
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 多边形
1. 一个多边形所有内角与外角的和为1 440°，则这个多边形的边数是
（ B ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2. 如果一个多边形的边数变为原来的2倍后，其内角和增加了1 260°，
那么这个多边形的边数为 .
B
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
考点二 平行四边形的性质与判定
3. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件
中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为（ A ）
A. AB∥DC，AD＝BC
B. AB∥DC，AD∥BC
C. AB＝DC，AD＝BC
D. OA＝OC，OB＝OD
第3题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
4. （2023 成都）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
则下列结论一定正确的是（ B ）
A. AC＝BD
B. OA＝OC
C. AC⊥BD
D. ∠ADC＝∠BCD
第4题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，E是边BC上一
点，且DE＝DC. 求证：四边形ABED是平行四边形.
第5题
解：∵ DE＝DC，∴ ∠DEC＝∠C. ∵ ∠B＝∠C，∴ ∠B＝
∠DEC. ∴ AB∥DE. ∵ AD∥BC，∴ 四边形ABED是平行四边形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
考点三 三角形的中位线
6. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∠ACB的平分
线交DE于点F. 若AC＝4，BC＝8，则DF的长为 .
第6题
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
考点四 矩形的性质与判定
7. （2024 甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ C ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
第7题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
8. （2025 芜湖期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，且OA＝OD，∠OAD＝40°，则∠OAB的度数是 °.
第8题
50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
考点五 直角三角形斜边上中线的性质
9. （2025 阜阳颍州段考）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中
线，E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE. 若CD＝3，AE＝4，则
DE的长为 .
第9题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
考点六 菱形的性质与判定
10. 如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接
OE. 若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（ C ）
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
第10题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
11. （2024 六安舒城模拟）下列是4名同学所画的菱形，根据所标数
据，不一定为菱形的是（ B ）
A B C D
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
考点七 正方形的性质与判定
12. 已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列条件中，能
判定它是正方形的为（ D ）
A. AO＝CO，BO＝DO
B. AO＝CO＝BO＝DO
C. AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
D. AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
13. （2023 宁夏）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，
连接EB，EC，则涂色部分的面积为 .
第13题
2
14. 如图，E为正方形ABCD外一点，ED＝CD，AE与BD相交于点
F，连接CF. 若∠CDE＝52°，则∠DCF＝ .
第14题
19°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
15. （2024 赤峰）如图所示为正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n
边形两条边的一部分.若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n
的值是（ B ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
第15题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
16. （2024 宣城期末）如果一个正多边形的每个内角都等于相邻外角的
5倍，那么这个多边形是（ C ）
A. 正五边形 B. 正十边形
C. 正十二边形 D. 不存在
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
17. （2024 六安金寨期末）如图，P是矩形ABCD的对角线AC上一
点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.
若AE＝2，PF＝6，则图中涂色部分的面积为（ B ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
第17题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
18. 如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连
接OE. 若AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（ C ）
A. 3 B. C. 5 D. 6
第18题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
19. （2024 六安金安模拟）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作
∠BAD的平分线AG交BC于点E，以点A为圆心、AB长为半径画弧，
交AD于点F. 若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（ A ）
A. 16 B. 15
C. 14 D. 13
第19题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
20. 如图，E是正方形ABCD的对角线AC上一点，过点E作EF∥AD交
CD于点F，连接BE. 若BE＝5，DF＝4，则AC的长为（ D ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第20题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
21. （2023 常德）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，E，F分别为AO，DO上的点，且EF∥AD，连接AF，DE. 如
果∠FAC＝15°，那么∠AED的度数为（ C ）
A. 80° B. 90° C. 105° D. 115°
第21题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
22. （2023 凉山）如图，若 ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是
（0，0），（3，0），（1，2），则顶点B的坐标是 .
第22题
（4，2）
23. （2024 广安）如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝
30°，M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为 .
第23题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
24. （2024 马鞍山期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点
E在边BC上（点E不与点B，C重合），连接AE，把△ABE沿直线AE
折叠，点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时，△CEB′的周长
为 .
第24题
8＋2 或12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25. （2024 雅安）如图，O是 ABCD对角线BD的中点，过点O的直
线分别交AD，BC于点E，F.
第25题
（1） 求证：△ODE≌△OBF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥CB. ∴ ∠OED＝
∠OFB. ∵ O是 ABCD对角线BD的中点，∴ OD＝OB. 在△ODE和
△OBF中，
∵ ∴ △ODE≌△OBF
25
26
（2） 当EF⊥BD时，DE＝15 cm，分别连接BE，DF. 求此时四边形
BEDF的周长.
解：（2） 由（1），得△ODE≌△OBF，∴ DE＝BF. ∵ DE∥BF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形.∵ EF⊥BD，∴ 四边形BEDF是菱形.
∴ DF＝BF＝BE＝DE＝15 cm.
∴ DF＋BF＋BE＋DE＝4DE＝4×15＝60（cm）.
∴ 四边形BEDF的周长为60 cm
第25题
25
26
26. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为OA的中点，连
接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AF，BF.
第26题
（1） 求证：四边形AFBO为平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD. ∵ EF＝DE，
∴ OE是△BDF的中位线.∴ OE∥BF，BF＝2OE. ∵ E为OA的中
点，∴ OA＝2OE. ∴ BF＝OA. ∴ 四边形AFBO为平行四边形
25
26
（2） 若∠BDA＝∠BDC，求证：四边形AFBO为矩形.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠BDA＝
∠DBC. ∵ ∠BDA＝∠BDC，∴ ∠DBC＝∠BDC. ∴ CD＝CB. ∴ 四
边形ABCD是菱形.∴ AC⊥BD. ∴ ∠AOB＝90°.由（1），知四边形
AFBO为平行四边形，∴ 四边形AFBO为矩形
第26题
25
26(共17张PPT)
19.2 平行四边形
第5课时 三角形的中位线
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相
等，那么在其他直线上截得的线段也 .
2. 推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必 第三边.
3. 连接三角形 的线段叫作三角形的中位线.
4. 三角形中位线定理：三角形两边中点连线 于第三边，并且
等于第三边的 .
相等
平分
两边中点
平行
一半
1. 如图，D，E分别是AC，BC的中点，测得DE＝15 m，则池塘两端
A，B的距离为（ B ）
A. 45 m B. 30 m
C. 22.5 m D. 7.5 m
第1题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，AD∥BE∥FC，若AC＝10，DE＝EF＝4，则AB的值为
（ C ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
第2题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2025 广东）如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，若
∠A＝70°，则∠EDF的度数为（ C ）
A. 20° B. 40°
C. 70° D. 110°
第3题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，在△ABC中，D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，则
AE EC（填“＞”“＜”或“＝”）.
第4题
＝
5. （2025 亳州期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，
D，E分别是AB，AC的中点，则DE＝ .
第5题
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，P为△ABC外一点，连
接AP，BP，M，N分别为AP，BP的中点，若MN＝2，则BC的长
为 .
第6题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，F，G，E分别是DC，
AC，AB的中点，连接GF，GE，EF. 求证：∠GFE＝∠GEF.
第7题
解：∵ F，G分别是CD，AC的中点，∴ GF是△ADC的中位线.∴ GF
＝ AD. 同理，可得GE是△ABC的中位线，∴ GE＝ BC. 又∵ AD＝
BC，∴ GF＝GE. ∴ ∠GFE＝∠GEF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 如图，D为△ABC（AB＞AC）的边AB的中点，过点D作DE∥BC
交边AC于点E. 若点F在边BC上，使△DEF和△DEA全等，则这样的
点F有（ C ）
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
第8题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. （2024 合肥包河期末）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝11，D
是AC的中点，DE∥BC. 若∠AEB＝90°，则DE的长为 .
第9题
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. （2023 阜阳期中）如图，在△ABC中，AC＝3 ，BC＝9，AB
＝6 ，N是边BC上一点，M为边AB上的动点，D，E分别为CN，
MN的中点，则∠B＝ °，DE长的最小值是 .
第10题
30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 如图，在△ABC中，E是边AC上一点，连接BE，∠BAC的平分线
垂直于BE，垂足为D，M为边BC的中点，连接DM.
（1） 求证：DM＝ CE；
第11题
解：∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD＝∠EAD. ∵ AD⊥BE，∴ ∠ADB
＝∠ADE＝90°.在△ADB和△ADE中，∵
∴ △ADB≌△ADE. ∴ AB＝AE，BD＝ED.
（1） ∵ BD＝ED，∴ D为BE的中点.
又∵ M为边BC的中点，∴ DM是△BCE的中位线.
∴ DM＝ CE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长.
解：（2） ∵ ∠ADB＝90°，∴ 在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝10.∴ AE＝AB＝10.∵ DM＝ CE，∴ CE＝2DM＝4.∴ AC＝CE＋AE＝14
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 如图，在四边形ABDC中，AD与BC相交于点E，∠1＝∠2＝
∠3，BD＝CD，∠ADB＝90°，CH⊥AB于点H，CH交AD于点F.
（1） 求证：CD∥AB；
第12题
解：（1） ∵ BD＝CD，∴ ∠1＝∠BCD. ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠BCD＝
∠2.∴ CD∥AB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 求证：△BDE≌△ACE；
第12题
解：（2） ∵ CD∥AB，∴ ∠CDA＝∠3.∵ ∠BCD＝∠2＝∠3，
∴ BE＝AE，∠CDA＝∠BCD. ∴ DE＝CE. 在△BDE和△ACE中，
∵
∴ △BDE≌△ACE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3） 若O为AB的中点，连接OF，求证：OF＝ BE.
（3） ∵ △BDE≌△ACE，∴ ∠1＝∠4，∠BDE＝∠ACE＝90°.
∴ ∠ACH＋∠BCH＝90°.∵ CH⊥AB，∴ ∠2＋∠BCH＝90°.
∴ ∠ACH＝∠2.∵ ∠2＝∠1，∠4＝∠1，∴ ∠ACH＝∠4.∴ AF＝
CF. ∵ ∠ACE＝90°，∴ ∠AEC＝90°－∠4，∠ECF＝90°－
∠ACH. ∴ ∠AEC＝∠ECF. ∴ EF＝CF. ∴ AF＝EF，即F为AE的
中点.∵ O为AB的中点，∴ OF为△ABE的中位线.∴ OF＝ BE
第12题
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12(共18张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形的性质
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 有一个角是直角的 叫作矩形.
2. 矩形的性质1：矩形的四个角都是 .
3. 矩形的性质2：矩形的对角线 .
4. 推论：直角三角形斜边上的 等于斜边的一半.
平行四边形
直角
相等
中线
1. （2024 辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等
边三角形时，∠AEB的度数为（ C ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 120°
第1题
C
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2. （2025 阜阳期中）如图，在一竖直墙面上斜靠着一梯子，C为梯子
的中点.在梯子下滑过程中，OC长的变化情况是（ C ）
A. 先变长后变短
B. 逐渐变短
C. 不变
D. 逐渐变长
第2题
C
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3. （2025 合肥瑶海二模）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点
O，AD＝12，DC＝5，则△AOB的周长是（ D ）
A. 13 B. 15 C. 17 D. 18
第3题
D
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4. （2025 福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁
AB，AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为 m.
第4题
4
5. （2025 阜阳界首期末）如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，BC
＝EC，∠ABE＝15°，如果AB＝4 cm，那么BC＝ cm.
第5题
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6. （教材变式）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相
交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且AE平分∠BAC，则AB的长
为 .
第6题
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7. （2023 宿迁）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足
分别为E，F. 求证：AF＝CE.
第7题
解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠BAE＝
∠DCF. ∵ BE⊥AC，DF⊥AC，∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°.在
△ABE和△CDF中，∵
∴ △ABE≌△CDF. ∴ AE＝CF.
∴ AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE
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8. （2023 兰州）如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上一点，连接
CE，F为CE的中点，以点B为圆心、BF长为半径的圆弧过AD与CE
的交点G，连接BG. 若AB＝4，CE＝10，则AG的长为（ C ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
第8题
C
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9. （易错题）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，P是BC边上
一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对
称点M，连接CM，则线段CM长的最小值为（ D ）
A. B. C. 7 D. 8
第9题
D
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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线
MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD. 若CE＝ AE＝1，则CD
＝ .
第10题
11. （分类讨论思想）（2024 牡丹江）矩形ABCD的面积是90，对角线
AC，BD交于点O，E是边BC的三等分点，连接DE，P是DE的中
点，连接OP，OP＝3，连接CP，则PC＋PE的值为 .
13或
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12. （易错题）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，E为CD的
中点，取AE的中点F，连接BE，BF，当△BEF为直角三角形时，a的
值为 .
第12题
或
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13. 如图，在矩形ABCD中，BE是∠ABC的平分线，过点D作
DF⊥BE，交BE的延长线于点F，连接AF，CF.
第13题
（1） 求证：AB＝AE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC＝90°，AD∥BC. ∴ ∠AEB＝∠CBE.
∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE＝
∠ABC＝45°.∴ ∠AEB＝45°.∴ ∠ABE＝∠AEB.
∴ AB＝AE
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（2） 求证：AF⊥CF；
（2） 如图，连接AC，BD交于点O，连接OF.
∵ 四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴ ∠ADC＝90°，OB＝OD＝OA＝OC. ∵ DF⊥BE，
∴ ∠BFD＝90°.∴ OF＝ BD. ∴ OF＝OB. ∴ OF＝OA＝OC.
∴ ∠OFA＝∠OAF，∠OFC＝∠OCF. ∴ ∠OFA＋∠OFC＝
∠OAF＋∠OCF. ∵ ∠OFA＋∠OAF＋∠OFC＋∠OCF
＝180°，∴ ∠OFA＋∠OFC＝90°，即∠AFC＝90°.∴ AF⊥CF
（3） 若AB＝6，BC＝8，则CF＝ .
5
第13题
第13题答案
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14. 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是边AB，BC上的
点，连接DE，DF，EF.
（1） 如图①，当CF＝2BE＝2时，求证：△DEF是直角三角形；
第14题
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解：（1） ∵ CF＝2BE＝2，∴ BE＝1.∴ AE＝AB－BE＝7，BF＝
BC－CF＝4.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝90°，
DC＝AB＝8，AD＝BC＝6.在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2＝
AE2＋AD2＝72＋62＝85；在Rt△DCF中，由勾股定理，得DF2＝DC2
＋CF2＝82＋22＝68；在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF2＝BE2＋
BF2＝12＋42＝17.∴ DF2＋EF2＝DE2.
∴ △DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°
第14题
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（2） 如图②，若E是边AB的中点，DE平分∠ADF，则BF＝ .
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14(共16张PPT)
阶段训练（19.1～19.2）
第19章 四 边 形
一、 选择题
1. （2025 六安金安期末）若过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则
这个多边形的边数是（ B ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. （2025 合肥瑶海期末）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边
形的内角和是（ C ）
A. 360° B. 1 260° C. 1 080° D. 720°
B
C
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3. 如图，在 ABCD中，∠A＋∠C＝120°，则∠D的度数是
（ D ）
A. 60° B. 70° C. 110° D. 120°
第3题
D
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4. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E，F分别是AC，AD的
中点，连接EF. 已知BC＝12，则EF的长为（ A ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第4题
A
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5. （2024 贵州）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下
列结论一定正确的是（ B ）
A. AB＝BC B. AD＝BC
C. OA＝OB D. AC⊥BD
第5题
B
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6. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE＝5，CE∥BD.
若AC＝6，BD＝10，则四边形OCED的周长为（ C ）
A. 8 B. 11 C. 16 D. 20
第6题
C
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二、 填空题
7. （2025 阜阳阜南期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，
则这个多边形的边数是 .
8. 已知一个三角形的三条中位线的长分别为5 cm，7 cm，9 cm，则这个
三角形的周长是 cm.
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9. （新考向 跨学科）《红楼梦》是我国四大名著之一.文学社团的同学
在搜集相关资料时发现一张如图①所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪
念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边
的两个正八边形（如图②），则∠1的度数是 .
第9题
90°
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10. （2023 长春）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E
重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，
点B的对应点为B′，折痕为AF，则∠AFB′的度数为 .
第10题
45°
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11. 如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于
点F. 若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则
ABCD的周长为 .
第11题
4a＋2b
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三、 解答题
12. 小进说：“一个多边形的内角和为1 125°.”小晨说：“不对，你
少加了一个内角.”求这个多边形的边数和少加的内角的度数.
解：设少加的这个内角的度数为x，这个多边形的边数为n.根据题意，
得1 125°＋x＝（n－2） 180°，∴ x＝（n－2） 180°－1 125°.
∵ 0°＜x＜180°，∴ 0°＜（n－2） 180°－1 125°＜180°.∵ n为
整数，∴ n＝9，x＝（9－2）×180°－1 125°＝135°.∴ 这个多边形
的边数为9，少加的这个内角的度数为135°
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13. （2023 无锡）如图，在△ABC 中，D，E分别为AB，AC的中点，
延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF. 求证：
（1） △CEF≌△AED；
第13题
解：（1） ∵ E是AC的中点，∴ AE＝CE. 在△CEF和△AED中，
∵
∴ △CEF≌△AED
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（2） 四边形DBCF是平行四边形.
解：（2） 由（1），得△CEF≌△AED，∴ ∠FCE＝∠A.
∴ CF∥BD. ∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线.∴ DF∥BC. ∴ 四边形DBCF是平行四边形
第13题
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14. （2024 武汉）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD
上，连接AE，FC，AF＝CE.
第14题
（1） 求证：△ABE≌△CDF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC，
∠B＝∠D. ∵ AF＝CE，∴ AD－AF＝BC－CE. ∴ DF＝BE. 在
△ABE和△CDF中，∵ ∴ △ABE≌△CDF
（2） 连接EF. 请添加一个与线段相关的条件，使四
边形ABEF是平行四边形（不需要说明理由）.
解：（2） 答案不唯一，如BE＝CE
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15. （2024 湖南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB
上， .
第15题
请从“① ∠B＝∠AED；② AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选
一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解答问题：
答案不唯一，如①
（1） 求证：四边形BCDE为平行四边形；
解：（1） ∵ ∠B＝∠AED，
∴ BC∥DE. ∵ AB∥CD，
∴ 四边形BCDE为平行四边形
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15
（2） 若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
解：（2） 由（1），可知四边形BCDE为平行四边形，
∴ DE＝BC＝10.∵ AD⊥AB，∴ ∠A＝90°.
∴ 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝6，即线段AE的长为6
第15题
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15(共14张PPT)
小专题（八） 与正方形有关的常见模型
第19章 四 边 形
类型一 十字架模型
1. （1） 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，
且AE⊥BF，垂足为M，那么AE与BF相等吗？请说明理由.
第1题
解：（1） AE＝BF 理由：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC.
∴ ∠ABM＋∠CBF＝90°.∵ AE⊥BF，
∴ ∠AMB＝90°.∴ ∠BAE＋∠ABM＝90°.
∴ ∠CBF＝∠BAE. ∴ △ABE≌△BCF. ∴ AE＝BF.
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2
3
4
（2） 如图②，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边BC，CD和
DA上，且GE⊥BF，垂足为M，那么GE与BF相等吗？请说明理由.
解：（2） GE＝BF 理由：如图②，过点A作AH∥EG，
交BC于点H. ∵ GE⊥BF，∴ AH⊥BF. 由（1），
易得△ABH≌△BCF，∴ AH＝BF. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD∥BC. ∴ 四边形AHEG是平行四边形.∴ GE＝AH. ∴ GE＝BF.
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类型二 手拉手模型
2. （2025 阜阳期末）如图，在正方形ABCD中，G是对角线CA的延长线上的点，以线段AG为边作正方形AEFG，连接BE，与边AD交于点P，连接DG，与BE交于点H.
第2题
（1） 求证：BE＝DG；
解：（1） ∵ 四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴ AB＝
AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°.∴ ∠BAD＋∠EAD＝
∠EAG＋∠EAD，即∠BAE＝∠DAG. 在△BEA和△DGA中，
∵ ∴ △BEA≌△DGA. ∴ BE＝DG
1
2
3
4
（2） 判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
解： （2） BE⊥DG 理由：由（1），知∠BAD＝90°，
△BEA≌△DGA，∴ ∠ABE＝∠ADG. ∵ ∠DAB＝90°，∴ ∠ABE
＋∠BPA＝90°.∵ ∠BPA＝∠DPH，∴ ∠ADG＋∠DPH＝90°.
∴ ∠DHP＝90°.∴ BE⊥DG.
第2题
1
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3
4
（3） 若AB＝2 ，AG＝2，求DG的长.
解：（3） 如图，过点G作GM⊥DA，
交DA的延长线于点M. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DAC＝45°.∴ ∠GAM＝∠DAC＝45°.
∵ GM⊥DA，∴ ∠AMG＝90°.∴ ∠AGM＝180°－∠AMG－
∠GAM＝180°－90°－45°＝45°＝∠GAM. ∴ AM＝GM.
∴ △AGM是等腰直角三角形.∴ 由勾股定理，得AG2＝AM2＋GM2＝22.
∴ AM＝GM＝ （负值舍去）.∵ AB＝2 ，∴ AD＝AB＝2 .
∴ DM＝AD＋AM＝2 ＋ ＝3 .∴ 在Rt△DGM中，由勾股定理，得DG＝ ＝ ＝2
第2题
第2题答案
1
2
3
4
类型三 一线三垂直模型
3. 在正方形ABCD中，F是BC边上一点，PF⊥AF，且PF＝AF.
（1） 如图①，过点P作PE⊥BC，交BC的延长线于点E，求证：PE
＝CE；
第3题
1
2
3
4
解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AB＝BC，∠ABC＝90°.
∴ ∠BAF＋∠AFB＝90°.∵ PE⊥BC，∴ ∠PEF＝90°.∴ ∠ABF
＝∠FEP＝90°.∵ PF⊥AF，∴ ∠AFP＝90°.∴ ∠AFB＋∠EFP＝
90°.∴ ∠BAF＝∠EFP. 在△BAF和△EFP中，
∵ ∴ △BAF≌△EFP. ∴ BF＝EP，AB＝FE. ∴
BC＝FE. ∴ BC－CF＝FE－CF，即BF＝CE. ∴ PE＝CE
1
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3
4
（2） 如图②，连接BD，AP交于点G，求证：AG＝PG；
解：（2） 如图①，过点P作PE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接GC，PC. 由（1），知PE＝CE，∴ △PCE为等腰直角三角形.∴ ∠PCE＝∠CPE＝45°.∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC. ∴ ∠CBD＝∠PCE＝45°.∴ PC∥BD. ∴ ∠BGC＝∠GCP，∠BGA＝∠CPG. 在△ABG和△CBG中，
∵ ∴ △ABG≌△CBG.
∴ AG＝CG，∠BGA＝∠BGC.
∴ ∠GCP＝∠CPG. ∴ GC＝GP. ∴ AG＝PG
第3题答案
1
2
3
4
（3） 在（2）的条件下，若FC＝6，BG＝5 ，请直接写出AF的长.
解：（3） AF的长为2 解析：如图②，过点G作GM⊥BC于点M，GN⊥AB于点N，连接GF，GC. 由（2），知AG＝CG，AG＝PG. ∵ PF⊥AF，且PF＝AF，∴ △AFP为等腰直角三角形.
∴ FG⊥AP，FG＝AG＝GP＝ AP. ∴ FG＝CG.
∵ GM⊥BC，∴ FM＝CM＝ FC＝ ×6＝3.
∵ ∠ABC＝90°，GM⊥BC，GN⊥AB，
∴ 四边形NBMG为矩形.∵ ∠ABD＝∠CBD＝45°，
GM⊥BC，GN⊥AB，∴ GM＝GN.
1
2
3
4
∴ 四边形NBMG为正方形.∴ 易得BG＝ GM＝5 .∴ GM＝5.∴ 在
Rt△GFM中，由勾股定理，得FG＝ ＝ ＝
.∴ AG＝FG＝ .∴ 在Rt△AFG中，由勾股定理，得AF＝
＝2 .
1
2
3
4
类型四 半角模型
4. （2025 马鞍山和县期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在
边CD，BC上，且∠EAF＝45°.
第4题
（1） 求∠DEA＋∠BFA的度数；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠D＝∠DAB＝∠B＝90°.∵ ∠EAF＝45°，
∴ ∠DAE＋∠BAF＝45°.∴ ∠DEA＋∠BFA＝90°
－∠DAE＋90°－∠BAF＝180°－（∠DAE＋
∠BAF）＝135°
1
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3
4
（2） 求证：EF＝DE＋BF.
解：（2） 如图，延长CB到点H，使得BH＝DE，
连接AH. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，
∠ADE＝∠ABC＝∠BAD＝90°.∴ ∠ABH＝180°
－∠ABC＝90°＝∠ADE. 在△ABH和△ADE中，
∵ ∴ △ABH≌△ADE. ∴ ∠BAH＝∠DAE，AH
＝AE. ∴ ∠BAH＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠HAE＝∠BAD
＝90°.∵ ∠EAF＝45°，∴ ∠HAF＝45°＝∠EAF.
第4题
第4题答案
1
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4
在△AFH和△AFE中，∵ ∴ △AFH≌△AFE. ∴
EF＝HF.
∵ HF＝BH＋BF，∴ EF＝BH＋BF＝DE＋BF
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4(共13张PPT)
阶段训练（19.3）
第19章 四 边 形
一、 选择题
1. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，
∠ADB＝35°，则∠OAE的度数为（ A ）
A. 20° B. 25°
C. 30° D. 35°
第1题
A
2. （2024 泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能
判定 ABCD为矩形的是（ D ）
A. ∠A＝90° B. ∠B＝∠C
C. AC＝BD D. AC⊥BD
D
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3. （2025 安庆期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O，E为AD边的中点，且AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为
（ C ）
A. 3 B. 2.4
C. 2.5 D.
第3题
C
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4. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边上的一点，以AE为边作
矩形AEFG，使GF经过点D，则矩形AEFG的面积为（ A ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第4题
A
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5. 如图，正方形ABCD的边长为4，菱形BEDF的边长为3，则菱形
BEDF的面积为（ D ）
A. 8 B. 8 C. 4 D. 4
第5题
D
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二、 填空题
6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个
条件： ，使得菱形ABCD为正方形.
第6题
答案不唯一，如AC＝BD
7. （2024 合肥肥西模拟）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
M是AD的中点.若AB＝5，AC＝13，则四边形ABOM的周长为 .
第7题
20
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7
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8. （2023 陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边
AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，
P是线段CE上的动点，连接PM，PN. 若PM＋PN＝4，则线段PC的
长为 .
第8题
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9. （2025 六安霍邱期末）如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x
轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线.若BC＝12，BD＝10，则点D
的坐标是 .
第9题
（20，6）
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三、 解答题
10. （2024 六安舒城一模）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O，E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF，延长AE至点
G，使EG＝AE，连接CG. 求证：
第10题
（1） △ABE≌△CDF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC.
∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ E，F分别为OB，OD
的中点，∴ BE＝ OB，DF＝ OD. ∴ BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，∵ ∴ △ABE≌△CDF
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（2） 当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形.
解：（2） ∵ AC＝2OA，AC＝2AB，∴ AB＝OA. ∵ E是OB的中点，
∴ AG⊥OB. ∴ ∠OEG＝90°.同理，CF⊥OD，∠CFE＝90°，
∴ AG∥CF，即EG∥CF. ∵ EG＝AE，OA＝OC，∴ OE是△ACG
的中位线.∴ OE∥CG，即EF∥CG. ∴ 四边形EGCF是平行四边形.
∵ ∠OEG＝90°，∴ 四边形EGCF是矩形
第10题
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11. （2024 池州贵池期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点
D在斜边AB上，过点D向边BC作垂线，垂足为E，延长DE至点F，连
接CF，使得AB∥CF，连接CD，BF.
第11题
（1） 求证：AD＝CF.
解：（1） ∵ DF⊥BC，∴ ∠ACB＝∠BED＝90°.
∴ AC∥DF. ∵ AB∥CF，
∴ 四边形ADFC是平行四边形.∴ AD＝CF
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（2） 当D为AB的中点时，
① 求证：四边形CDBF是菱形；
解：（2） ① ∵ D为AB的中点，∴ AD＝BD. 由（1），得AD＝CF，
∴ BD＝CF. ∵ BD∥CF，∴ 四边形CDBF是平行四边形.
∵ DF⊥BC，∴ 四边形CDBF是菱形
第11题
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② 若∠A＝45°，求证：四边形CDBF是正方形.
解：② ∵ ∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴ ∠ABC＝90°－∠A＝45°＝∠A. ∴ CA＝CB. ∴ △ACB是等腰直角三角形.∵ D为AB的中点，
∴ CD⊥AB. ∴ ∠CDB＝90°.由（2）①，得四边形CDBF是菱形，
∴ 四边形CDBF是正方形
第11题
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11(共19张PPT)
19.2 平行四边形
第3课时 平行四边形对角线的性质
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
平行四边形的性质3：平行四边形对角线 .
互相平分
1. （2025 安庆岳西期中）下列选项中，属于平行四边形的性质的是
（ A ）
A. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等
D. 邻边相等
A
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2. （2025 合肥庐阳期末）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点
O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（ D ）
A. 10 B. 8
C. 7 D. 6
第2题
D
3. （教材变式）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC
＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是（ B ）
A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
第3题
B
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13
4. （2025 阜阳颍上期末）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（ C ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
第4题
C
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7
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13
5. 如图， ABCD的对角线相交于点O，则图中共有 对全等三
角形.
第5题
4
6. 如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，若AB＝8 cm，AD＝
10 cm，则△AOD与△AOB的周长的差为 cm.
第6题
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7. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADB＝90°，OA
＝6，OB＝3，则 ABCD的面积是 .
第7题
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8. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C
作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE.
第8题
（1） 若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
解：（1） ∵ AE⊥BD，∴ ∠AEO＝90°.∵ ∠AOE＝50°，
∴ ∠EAO＝40°.∵ AC平分∠DAE，∴ ∠DAC＝∠EAO＝40°.∵ 四
边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠ACB＝∠DAC＝40°
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（2） 求证：AE＝CF.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC. ∵ AE⊥BD，
CF⊥BD，∴ ∠AEO＝∠CFO＝90°.在△AOE和△COF中，
∵ ∴ △AOE≌△COF. ∴ AE＝CF
第8题
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9. 如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.
给出下列结论：① OE＝OF；② ∠ABC＝∠ADC；③ △AOE≌△COD；④ S四边形ABFE＝S△ABC. 其中，正确的有（ B ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③④
第9题
B
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10. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作
OE⊥AC交AD于点E. 若AE＝2，DE＝1，AB＝ ，则AC的长
为 .
第10题
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11. （2024 合肥肥东模拟）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，点E在AD上，点F在BC上，连接EF使EF恰好经过点O.
第11题
（1） 求证：DE＝BF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OD＝OB，AD∥BC.
∴ ∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO. 在△DEO和△BFO中，
∵ ∴ △DEO≌△BFO.
∴ DE＝BF
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（2） 若AC⊥BD，ED＋CF＝5，AC＝6，求BD的长.
解： （2） 由（1），知BF＝DE，又∵ ED＋CF＝5，∴ BF＋CF＝BC＝5.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OC＝ AC＝ ×6＝3，BD＝2OB. ∵ AC⊥BD，∴ ∠BOC＝90°.∴ 在Rt△BOC中，由勾股定理，得OB＝ ＝ ＝4.
∴ BD＝2×4＝8
第11题
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12. 如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.
第12题
（1） 求证：DE＝BF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝CB，AD∥CB.
∴ ∠ADE＝∠CBF. ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AED＝∠CFB＝
90°.在△ADE和△CBF中，∵
∴ △ADE≌△CBF. ∴ DE＝BF
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（2） 连接AC，设AC交BD于点O. 若∠DOC＝120°，在不添加任何
辅助线的情况下，请直接写出图中长度是OE长度2倍的所有线段.
解：（2） AO，OC，EF
第12题
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13. （2024 六安金寨期末）如图①， ABCD的对角线AC和BD相交于
点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.
第13题
（1） 求证：OE＝OF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ OB＝OD，AB∥CD.
∴ ∠EBO＝∠FDO. 又∵ ∠BOE＝∠DOF，∴ △BOE≌△DOF. ∴
OE＝OF
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（2） 如图②，AD＝1，BD＝2，AC＝2 ，∠DOF＝α.
① 当α为多少度时，EF⊥AC？
解： （2） ① ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ OA＝OC＝ AC＝ ，OD＝ BD＝1.
又∵ AD＝1，∴ AD＝OD，AD2＋OD2＝OA2.
∴ △AOD是等腰直角三角形，且∠ADO＝90°，∠AOD＝∠DAO＝
（180°－∠ADO）＝45°.∵ EF⊥AC，∴ ∠FOA＝90°.
∴ α＝90°－45°＝45°
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② 在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长.
解： ② 由（2）①，得OA＝OC，EF⊥AC，∴ EF垂直平分AC.
∴ AF＝FC. ∵ ∠ADO＝90°，∴ 在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝ .∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD＝AB＝ .∴ △ADF的周长＝AD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FC＝AD＋CD＝1＋
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小专题（十一） 四边形中的数学思想
第19章 四 边 形
类型一 整体思想
1. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交
AD于点F，交BC于点E. 若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中涂色部
分的面积是（ B ）
A. 1.5 B. 3
C. 6 D. 4
第1题
B
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6
类型二 方程思想
2. （2025 安庆一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AD的中
点，连接CE，取CE的中点F，过点F作CE的垂线，交AB于点G，则
AG的长为（ C ）
A. 3 B. 2
C. D. 2
第2题
3. （2025 合肥肥东期末）已知一个n边形的内角和是其外角和的5倍，
则n＝ .
C
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6
类型三 分类讨论思想
4. （2025 六安裕安段考）已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰
好是一元二次方程x2－10x＋24＝0的一个根，则这个菱形的面积是
（ C ）
A. 24 B. 48
C. 24或4 D. 48或8
C
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5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是BC边上一点，连接
AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角
形时，BE的长为 .
第5题
3或
1
2
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4
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6
类型四 转化思想
6. 【模型建立】
（1） 如图①，有△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD. 用等式写出线段AE，DE，CD之间的数量关系，并说明理由.
第6题
解：（1） DE＋CD＝AE 理由：∵ CD⊥BD，AE⊥BD，
AB⊥BC，∴ ∠ABC＝∠D＝∠AEB＝90°.∴ ∠ABE＋∠CBD＝
∠C＋∠CBD＝90°.∴ ∠ABE＝∠C. ∵ AB＝BC，
∴ △ABE≌△BCD. ∴ BE＝CD，AE＝BD. ∴ DE＝BD－BE＝AE
－CD. ∴ DE＋CD＝AE.
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【模型应用】
（2） 如图②，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD
上，AE⊥EF，AE＝EF. 用等式写出线段BE，AD，DF之间的数量
关系，并说明理由.
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解：（2） AD＝ BE＋DF 理由：如图②，分别过点A，F作AG⊥DE于点G，FH⊥DE于点H. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 易得∠ABG＝∠BAG＝∠DAG＝∠ADG＝∠HDF＝45°.
∴ △ABG，△ADG，△DHF都是等腰直角三角形.∴ AG＝BG，易得AD＝ AG，DF＝ HF. 由（1）知，△AEG≌△EFH，∴ AG＝EH，GE＝HF. ∴ GH＋HF＝AG. ∴ AD＝ AG＝ （GH＋HF）＝ GH＋ HF＝ GH＋DF.
∵ AG＝BG＝EH，∴ BE＋EG＝GH＋EG.
∴ BE＝GH. ∴ AD＝ BE＋DF.
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6(共14张PPT)
小专题（七） 平行四边形性质与判定的综合应用
第19章 四 边 形
类型一 求线段的长
1. 如图，在 ABCD中，E是AD的中点，
延长CB到点F，使BC＝2BF，连接BE，AF.
（1） 求证：四边形AFBE是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. 又
∵ E是AD的中点，∴ AE＝ AD. ∵ BC＝2BF，∴ BF＝ BC. ∴ AE
＝BF. ∵ AE∥BF，∴ 四边形AFBE是平行四边形
第1题
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解：（2） 如图，过点A作AG⊥BF于点G，则∠AGB＝∠AGF＝90°.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD. ∴ ∠ABF＝∠C＝60°.
∴ ∠BAG＝90°－∠ABF＝30°.∵ AB＝6，∴ BG＝ AB＝3.∴ 由勾
股定理，得AG＝ ＝3 .
由（1），知AE＝BF＝ AD＝4，
∴ FG＝BF－BG＝4－3＝1.
∵ 四边形AFBE是平行四边形，
∴ BE＝AF＝ ＝2
（2） 若AB＝6，AD＝8，∠C＝60°，求BE的长.
第1题
第1题答案
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类型二 求角的度数
2. 如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF，连
接AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形；
第2题
解：（1） 如图，连接AC，交BD于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边
形，∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ DE＝BF，∴ OD－DE＝OB－BF，
即OE＝OF. 又∵ OA＝OC，∴ 四边形AECF是平行四边形
第2题答案
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（2） 若CF＝AD，∠BFC＝80°，∠DCF＝30°，求∠DAB的度数.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，∠DAB＝∠DCB. ∵ CF＝AD，∴ CF＝BC. ∵ ∠BFC＝80°，∴ ∠BFC＝∠FBC＝80°.∴ ∠BCF＝180°－∠BFC－∠FBC＝180°－80°－80°＝20°.∵ ∠DCF＝30°，∴ ∠DCB＝50°.∴ ∠DAB＝50°
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类型三 证明两角相等
3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC. 求证：∠B＝
∠C.
第3题
解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E. ∴ ∠DEC＝∠B.
∵ AD∥BC，DE∥AB，∴ 四边形ABED是平行四边形.∴ AB＝DE.
又∵ AB＝DC，∴ DE＝DC. ∴ ∠DEC＝∠C. ∴ ∠B＝∠C
第3题答案
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类型四 求周长
4. （2025 马鞍山和县期末）如图，在 ABCD中，点E，F分别在
AB，CD上，且AE＝CF. 连接BD，EF交于点O，连接DE，FB.
（1） 求证：四边形DEBF是平行四边形；
第4题
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD.
∵ AE＝CF，∴ AB－AE＝CD－CF，即EB＝DF. ∵ EB∥DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形
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（2） 若BD⊥EF，△CBF的周长是12，求 ABCD的周长.
解：（2） 由（1），得四边形DEBF是平行四边形，∴ BO＝DO.
∵ BD⊥EF，∴ DF＝BF. ∵ △CBF的周长是12，∴ BF＋CF＋BC
＝DF＋CF＋BC＝CD＋BC＝12.∴ ABCD的周长＝2（CD＋
BC）＝24
第4题
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类型五 求面积
5. 如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，延长AO到点C，使得CO＝
AO. 过点C作CD∥AB交BO的延长线于点D，连接AD，BC.
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形；
第5题
解：（1） ∵ CD∥AB，∴ ∠CDO＝∠ABO. ∵ CO＝AO，∠DOC＝
∠BOA，∴ △CDO≌△ABO. ∴ CD＝AB. ∴ 四边形ABCD是平行四
边形
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（2） 若OA＝3，BC＝10，求四边形ABCD的面积.
解：（2） ∵ OC＝OA＝3，∴ AC＝6.∵ ∠CAB＝90°，BC＝10，
∴ AB＝ ＝ ＝8.∴ ABCD的面积＝AB AC＝8×6＝48
第5题
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8
类型六 证明两线段互相平分
6. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，
AF∥ED，且AF＝ED，延长FD到点G，使DG＝FD，连接AG. 求
证：ED，AG互相平分.
第6题
解：设DE交AG于点H. ∵ AF∥ED，且AF＝ED，∴ 四边形AEDF
是平行四边形.∴ FD＝EA，FD∥EA. ∴ ∠G＝∠HAE. ∵ DG＝FD，∴ DG＝EA. 在△GHD和△AHE中，
∵
∴ △GHD≌△AHE. ∴ GH＝AH，DH＝EH.
∴ ED，AG互相平分
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类型七 证明两线段相等
7. 如图，在 ABCD中，BD是对角线，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD
于点F，连接AF，CE，BE＝EC. 求证：
（1） 四边形AECF是平行四边形；
第7题
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥CB，AD＝CB.
∴ ∠ADE＝∠CBF. ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AED＝∠CFB＝
90°.∴ AE∥CF. 在△ADE和△CBF中，
∵ ∴ △ADE≌△CBF.
∴ AE＝CF. ∵ AE∥CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形
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8
（2） AF＝DF.
解：（2） 由（1），得四边形AECF是平行四边形，∴ EC＝AF.
∵ △ADE≌△CBF，∴ DE＝BF. ∴ DE－EF＝BF－EF，即DF＝
BE. ∵ BE＝EC＝AF，∴ AF＝DF
第7题
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8
类型八 证明两线段平行
8. 如图，在四边形ABCD中，EF交AC于点O，分别交CD，AB于点
E，F. 若OE＝OF，OA＝OC，且DE＝FB，猜想：AD与BC有怎样
的位置关系？并说明理由.
第8题
解：AD∥BC 理由：如图，连接AE，CF.
∵ OE＝OF，OA＝OC，
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
∴ EC＝AF，EC∥AF. ∴ DC∥AB.
又∵ DE＝FB，∴ EC＋DE＝AF＋FB，即DC＝AB.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AD∥BC.
第8题答案
1
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8(共15张PPT)
小专题（九） 特殊四边形中的折叠问题
第19章 四 边 形
类型一 利用折叠求线段的长
1. （方程思想）（2025 淮北濉溪期中）如图，在矩形纸片ABCD中，
AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对
角线BD上的点A′处，则AE的长为（ A ）
A. B. 3 C. 5 D.
第1题
A
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2. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，P是AB上一点，
PB＝4，Q是边CD上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，点A的
对应点为E，连接CE. 当CE的长最小时，CQ的长为 .
第2题
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3. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿
CE折叠，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H.
第3题
（1） 求证：△HCE是等腰三角形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB∥CD. ∴ ∠BEC＝
∠ECD. 由折叠，得∠BEC＝∠GEC，∴ ∠ECD＝∠GEC. ∴ HC＝
HE. ∴ △HCE是等腰三角形
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（2） 若AB＝4，求HD的长.
解：（2） 设HD＝x.∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝4.
∵ E为AB的中点，∴ EB＝ AB＝2.由折叠，
得GC＝BC＝4，EG＝EB＝2，∠CGE＝∠B＝90°.
∴ ∠HGC＝180°－∠CGE＝90°.由（1），得HE＝HC，
∴ HE＝HC＝CD＋HD＝4＋x.
∴ HG＝HE－EG＝4＋x－2＝2＋x.在Rt△HGC中，由勾股定理，
得HC2＝GC2＋HG2，即（4＋x）2＝42＋（2＋x）2，解得x＝1.
∴ HD＝1
第3题
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10
类型二 利用折叠求角的度数
4. （2025 滁州凤阳期末）如图，把矩形ABCD沿EF折叠后使两部分重
合.若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（ B ）
A. 110° B. 115° C. 120° D. 130°
第4题
B
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5. （2024 安庆桐城模拟）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一
点，将△ABE沿AE折叠至△AB′E处，B′E与AC交于点F. 如果
∠EFC＝69°，那么∠CAE的度数为（ B ）
A. 10° B. 12° C. 14° D. 15°
第5题
B
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10
6. 如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处.若∠1＝
58°，∠2＝42°，则∠A的度数为 .
第6题
109°
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7. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使
点C落在DP（P为AB的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕
DE，则∠BEC′的度数为 .
第7题
30°
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类型三 利用折叠求面积
8. 将矩形纸片EGHF按如图所示的方式折叠（BD⊥CD）.
第8题
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形EGHF是矩形，∴ EF∥GH. 又∵ BD⊥CD，
∴ ∠EDB＝∠DBH＝90°.由折叠，
得∠EDA＝∠ADB＝ ∠EDB＝45°，
∠DBC＝∠CBH＝ ∠DBH＝45°.
∴ ∠ADB＝∠DBC. ∴ AD∥BC.
又∵ EF∥GH，即CD∥AB，
∴ 四边形ABCD是平行四边形
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（2） 若矩形纸片的宽为2，求四边形ABCD的面积.
解：（2） ∵ 四边形EGHF是矩形，∴ ∠E＝90°，EF∥GH.
∵ BD⊥CD，∴ ∠BDC＝∠E＝90°.∴ EG∥BD. ∴ 四边形EGBD是
平行四边形.∴ BD＝EG＝2.∵ ∠E＝90°，∴ 四边形EGBD是矩形.
∴ ∠DBA＝90°.又∵ ∠ADB＝45°，
∴ 易得△ABD是等腰直角三角形，
AB＝BD＝2.∴ S四边形ABCD＝AB BD
＝2×2＝4
第8题
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9. 如图，在 ABCD中，AC⊥AB，将△ABC沿对角线AC折叠，得到△AB′C，B′C与AD交于点E，连接B′D.
第9题
（1） 求证：四边形AB′DC是矩形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD. 由
折叠，得AB′＝AB. ∴ AB′＝CD. 又∵ AB∥CD，即AB′∥CD，
∴ 四边形AB′DC是平行四边形.∵ AC⊥AB，∴ 易得∠B′AC＝
90°.∴ 四边形AB′DC是矩形
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第9题
（2） 若四边形ABCD的面积S＝12 cm2，求折叠后重叠的△ACE的
面积.
解：（2） 由折叠，得△ABC≌△AB′C. ∴ S△ABC＝S△AB′C.
∵ 四边形AB′DC是矩形，∴ CE＝B′E. ∴ S△ACE＝S△AB′E＝ S△AB′C＝ S△ABC＝ S，即S△ACE＝ ×12＝3（cm2）
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类型四 利用折叠判断图形的形状
10. 将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一
次折叠，使点A落在EF上的点A′处，并使得折痕经过点B，得到折痕
BG，连接AA′，如图①.
（1） 试判断图①中的△ABA′是什么特殊的三角形，并说明理由；
解：（1） 等边三角形 理由：由折叠，得EF垂直平分AB，AB＝A′B. ∴ AA′＝A′B. ∴ AB＝A′B＝AA′.∴ △ABA′是等边三角形.
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（2） 如图②，在图①的基础上，AA′与BG相交于点N，P是BN的中点，连接AP并延长，交A′B于点Q，求 的值.
第10题
（2） 如图②，取A′Q的中点M，连接MN，则A′M＝QM. 由折
叠，得AN＝A′N. ∴ N是AA′的中点.∴ MN是△AA′Q的中位
线.∴ MN∥AQ. ∵ P为BN的中点，∴ 易知Q为BM的中点.∴ BQ＝
QM. ∴ BQ＝QM＝A′M. ∴ A′B＝BQ＋QM＋A′M＝3BQ.
∴ ＝
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10(共14张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第2课时 矩形的判定
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 定理1：对角线 的平行四边形是矩形.
2. 定理2： 个角是直角的四边形是矩形.
相等
三
1. （2024 池州东至模拟）根据所标数据，下列四边形不一定是矩形的
为（ A ）
A B C D
A
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2. （2025 德阳）如图，要使 ABCD是矩形，需要添加的一个条件是
（ D ）
A. AB∥AD
B. AB＝BC
C. ∠B＝∠D
D. AC＝BD
第2题
D
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3. 如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂
直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度
相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直.数学原理是
.
第3题
对角线相等的
平行四边形是矩形
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4. （教材变式）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AE
是△ABC的外角的平分线，DE∥AB交AE于点E，连接AD，CE，则
四边形ADCE的形状是 .
第4题
矩形
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5. （2025 合肥庐江期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O，∠1＝∠2.求证： ABCD是矩形.
第5题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ ∠1
＝∠2，∴ OA＝OB. ∴ OA＝OB＝OC＝OD，即AC＝BD.
∴ ABCD是矩形
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6. （2024 淮北二模）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不
能判定四边形ABCD为矩形的是（ C ）
A. AD＝BC且AC＝BD
B. AD＝BC且∠A＝∠B
C. AB＝CD且∠A＝∠C
D. AB∥CD且AC2＝AB2＋BC2
C
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7. （2025 安庆桐城段考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是斜
边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
第7题
（1） 四边形AEDF的形状是 ；
（2） 若AB＝3，AC＝4，连接EF，则EF长的最小值为 .
矩形
2.4
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8. （2025 合肥庐阳期末）如图，在矩形ABCD中，E是DC上一点，连
接AE，BE，过点A作BE的平行线，过点B作AE的平行线，两条平行
线交于点F，∠DAE＝∠BEC.
第8题
（1） 求证：四边形AFBE是矩形；
解：（1） ∵ AF∥BE，BF∥AE，∴ 四边形AFBE是平行四边形.
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠D＝90°.∵ ∠DAE＝∠BEC，
∴ ∠AED＋∠BEC＝∠AED＋∠DAE＝90°.
∴ ∠AEB＝180°－（∠AED＋∠BEC）＝90°.
∴ 四边形AFBE是矩形
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（2） 连接EF，若∠DAE＝30°，DE＝1，求EF的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAD＝∠D＝90°＝∠AEB.
∵ ∠DAE＝30°，DE＝1，∴ AE＝2DE＝2，∠ABE＝∠AEB－
∠BAE＝∠BAD－∠BAE＝∠DAE＝30°.∴ AB＝2AE＝4.∵ 四边
形AFBE是矩形，∴ EF＝AB＝4.∴ EF的长为4
第8题
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9. （2024 贵州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
AD∥BC，∠ABC＝90°，有下面的条件：① AB∥CD；② AD＝BC.
第9题
（1） 请从以上条件中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
解：（1） 答案不唯一，如选择① ∵ AD∥BC，AB∥CD，∴ 四边
形ABCD是平行四边形.∵ ∠ABC＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形
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（2） 在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积.
解： （2） ∵ ∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝4.∴ 四边形ABCD的面积＝AB BC＝3×4＝12
第9题
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9(共17张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第4课时 菱形的判定
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 定理1：四边 的四边形是菱形.
2. 定理2：对角线 的平行四边形是菱形.
相等
互相垂直
1. 在数学活动课上，老师和同学们判断教室中的瓷砖是否为菱形，下
列是某小组拟定的4种方案，其中，不正确的是（ B ）
A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角
B. 测量四个内角是否相等
C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分
D. 测量四条边是否相等
B
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2. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD是
菱形，还需添加的一个条件是（ C ）
A. ∠A＝∠C B. AC＝BD
C. AC⊥BD D. AB⊥BC
C
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3. 如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别
是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD
需满足的条件是（ A ）
A. AB＝CD B. AC＝BD
C. AC⊥BD D. AD＝BC
第3题
A
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4. （新考法 条件开放题）（2025 龙东地区）如图，在 ABCD中，对
角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：
，使 ABCD为菱形.
第4题
AC⊥BD（答案不唯
一）
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5. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 给出下列四个条
件：① AB∥CD；② AO＝OC；③ AB＝AD；④ AC平分∠DAB. 若从
中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形，则可以选择的条件
是 （写出所有可能的情况）.
①②③或②③④或①②④或①③④
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6. （2025 长春）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝
5，OA＝4，OB＝3.求证： ABCD是菱形.
第6题
解：∵ AB＝5，OA＝4，OB＝3，∴ AB2＝OA2＋OB2.∴ △AOB是直
角三角形，且∠AOB＝90°，即AC⊥BD. ∴ ABCD是菱形
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7. （2024 通辽）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条
件不能证明 ABCD是菱形的为（ D ）
A. ∠BAC＝∠BCA
B. ∠ABD＝∠CBD
C. OA2＋OB2＝AD2
D. AD2＋OA2＝OD2
第7题
D
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8. （2023 深圳）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水
平向右平移a个单位得到线段EF. 若四边形ECDF为菱形，则a的值为
（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第8题
B
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9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边
AB上一点，以CD，CB为边作 CDEB，当AD＝ 时， CDEB
为菱形.
第9题
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10. （易错题）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（8，
0），C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点.若以A，B，C，
D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 .
第10题
（5，4）或（4 ， 4）
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11. （方程思想）（2025 合肥庐阳期末）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，连接DE，AE平分∠BED，延长CB至点F，使BF＝CE，连接AF.
第11题
（1） 求证：四边形AFED是菱形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC，AD∥BC.
∴ ∠DAE＝∠BEA，AD∥EF. ∵ BF＝CE，∴ BF＋BE＝CE＋
BE，即EF＝BC. ∴ AD＝EF. ∴ 四边形AFED是平行四边形.∵ AE平
分∠BED，∴ ∠DEA＝∠BEA. ∴ ∠DAE＝∠DEA. ∴ AD＝ED. ∴
四边形AFED是菱形
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（2） 若BE＝2，AB＝4，求菱形AFED的面积.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABE＝90°.∴ ∠ABF＝90°.
∵ 四边形AFED是菱形，∴ AF＝EF. 设AF＝EF＝x，则BF＝EF
－BE＝x－2.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2＝AF2，∴ 42
＋（x－2）2＝x2，解得x＝5.∴ EF＝5.∴ S菱形AFED＝EF AB＝5×4＝
20
第11题
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12. （方程思想）如图，在矩形ABCD中，P是线段AD上一动点，O为
BD的中点，PO的延长线交BC于点Q，连接PB，DQ.
第12题
（1） 求证：OP＝OQ.
解：（1） ∵ O为BD的中点，∴ OD＝OB. ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠PDO＝∠QBO.
在△POD和△QOB中，
∵
∴ △POD≌△QOB. ∴ OP＝OQ
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12
（2） 若AD＝8 cm，AB＝6 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点
D运动（不与点D重合）.设点P的运动时间为t s，请用含t的代数式表
示PD的长，并求当t为何值时，四边形PBQD是菱形.
第12题
解：（2） 根据题意，得AP＝t cm.∴ PD＝AD－AP＝（8－t）cm，0≤t＜8.∵ 由（1）知，OD＝OB，OP＝OQ，
∴ 四边形PBQD是平行四边形.∴ 只要当PB＝PD
时，四边形PBQD即为菱形.令PB＝PD＝（8－t）
cm.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A＝90°.在
Rt△ABP中，由勾股定理，得AP2＋AB2＝PB2，
即t2＋62＝（8－t）2，解得t＝ .∴ 当t＝ 时，四边形PBQD是菱形
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12(共7张PPT)
小专题（十） 特殊四边形的动点问题
第19章 四 边 形
类型一 单动点问题
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 ，BC＝6，M，N分别为边
AD，AB上的动点，且MN＝8，P为MN的中点，连接CP，则CP长的
最小值是 .
第1题
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2. （2024 池州贵池期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且
AB＝3，AC＝4，D是斜边BC上的一个动点，过点D作DM⊥AB于点
M，DN⊥AC于点N，连接MN，O为MN的中点，连接AO. 求线段
AO长的最小值.
第2题 第2
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第2题答案
解：如图，连接AD. ∵ ∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，∴ 由勾股
定理，得BC＝ ＝ ＝5.∵ DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ ∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°.∴ 四边形DMAN是矩形.∴ MN
＝AD，AD与MN互相平分.∵ O为MN的中点，∴ O为AD的中点.
∴ A，O，D三点共线.∴ AO＝ AD. 当AD⊥BC时，AD的长最小，
AO的长也最小，此时S△ABC＝ BC AD＝ AB AC，
∴ AD＝ ＝ ＝2.4.∴ 线段AO长的最小值为1.2
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类型二 双动点问题
3. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6 cm，∠A＝60°，点P从点A出发，
以1 cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2 cm/s的
速度沿CB向点B运动.设点P的运动时间为t s，当△PDQ为等边三角
形时，t的值为（ D ）
A. 1 B. 1.3 C. 1.5 D. 2
第3题
D
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5
4. 如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，∠ADB＝30°，E为AD上的
一个动点，P为BD上的动点，连接PA，PE，则PA＋PE的最小值为
（ A ）
A. 6 B. 4 C. D. 3
第4题
A
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5
5. （2024 泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是边
AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，M是DF的
中点，G是边AB上的点，连接OM，FG，AG＝2GB，则OM＋ FG
的最小值为（ B ）
A. 4 B. 5
C. 8 D. 10
第5题
B
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5(共17张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第5课时 正方形的性质与判定
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 有一个角是直角，且有 相等的平行四边形叫作正方形.
2. 正方形的性质1：正方形的 条边都相等， 个角都是
直角.
3. 正方形的性质2：正方形的对角线 、
.
一组邻边
四
四
相等
互相垂直平分并且每
一条对角线平分一组对角
1. （2023 自贡）如图，边长为3的正方形OBCD的两边与坐标轴的正半
轴重合，则点C的坐标是（ C ）
A. （3，－3）
B. （－3，3）
C. （3，3）
D. （－3，－3）
第1题
C
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2. （2024 内蒙古）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相
交于点O，E是边BC上一点，F是边BD上一点，连接DE，EF. 若
△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（ A ）
A. 2 B. 2＋
C. 4－2 D.
第2题
A
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3. （2023 龙东地区）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O，试添加一个条件： ，使得矩形
ABCD为正方形.
第3题
答案不唯一，如AB＝AD
4. （2025 六安裕安段考）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角
形BCE，则∠CDE＝ .
第4题
15°
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5. （2025 合肥庐江段考）如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长
线上，连接BD，AE分别交DC，BD于点F，G，H为EF的中点，连
接CG，CH.
第5题
（1） 若∠DAG＝20°，则∠DCG＝ °；
20
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（2） 求证：GC⊥CH.
解：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ∠DCB＝90°，AD∥BE.
∴ ∠DAG＝∠E. 由（1），知∠DAG＝∠DCG，∴ ∠E＝∠DCG.
∵ ∠FCE＝180°－∠DCB＝90°，H为EF的中点，∴ CH＝HE＝
EF. ∴ ∠HCE＝∠E. ∴ ∠DCG＝∠HCE. ∵ ∠FCH＋∠HCE＝
90°，∴ ∠FCH＋∠DCG＝90°，即∠GCH＝90°.∴ GC⊥CH
第5题
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6. 如图，在四边形ABCD中，O是对角线的交点.下列条件中，能判定
这个四边形是正方形的为（ D ）
A. AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B. AD∥BC，∠BAD＝∠BCD
C. AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
D. AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
第6题
D
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7. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是OA的中
点，F是OD上一点，连接EF. 若∠FEO＝45°，则 的值为 .
第7题
8. （2025 北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，
CF⊥BE，垂足为F，连接AF. 若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF
的面积为 .
第8题
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9. （教材变式）（2025 合肥包河期末）如图，分别在正方形ABCD的
边AB，BC，CD，DA上截取相等的线段AE，BF，CG，DH，连接
EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH.
第9题
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（1） 求证：四边形EFGH是正方形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵ AE＝BF＝CG＝DH，∴ AB－AE＝
BC－BF＝CD－CG＝DA－DH. ∴ BE＝CF＝DG＝AH. 在△AEH
和△BFE和△CGF和△DHG中，∵
∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴ HE＝EF＝FG＝GH，
∠AEH＝∠BFE. ∴ 四边形EFGH是菱形.
∵ ∠BEF＋∠BFE＝90°，
∴ ∠BEF＋∠AEH＝90°.
∴ ∠HEF＝180°－（∠BEF＋∠AEH）＝90°.
∴ 四边形EFGH是正方形
第9题
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（2） 连接EG，若AB＝7，BE＝3，求EG的长.
解：（2） ∵ AB＝7，BE＝3，∴ AE＝AB－BE＝4，AH＝BE＝3.在
Rt△AEH中，由勾股定理，得HE＝ ＝ ＝5.∵ 四
边形EFGH是正方形，∴ HE＝GH＝5，∠EHG＝90°.∴ 在
Rt△EHG中，由勾股定理，得EG＝ ＝ ＝5
第9题
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10. （2023 安庆期末）如图，在Rt△CEF中，∠C＝90°，∠BEF和
∠DFE的平分线EA和FA交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂
线，B，D为垂足.
第10题
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（1） 求∠EAF的度数.
解：（1） 设∠CFE＝α，∠CEF＝β.∵ ∠C＝90°，
∴ ∠CFE＋∠CEF＝α＋β＝90°.由三角形外角定理，
得∠DFE＝∠C＋∠CEF＝90°＋β，
∠BEF＝∠C＋∠CFE＝90°＋α.∵ EA，FA分别为∠BEF
和∠DFE的平分线，∴ ∠AEF＝ ∠BEF＝ （90°＋α），∠AFE
＝ ∠DFE＝ （90°＋β）.∴ ∠AEF＋∠AFE＝ （90°＋α）＋
（90°＋β）＝ （180°＋α＋β）＝ ×（180°＋90°）＝135°.
∴ ∠EAF＝180°－（∠AEF＋∠AFE）＝180°－135°＝45°
第10题
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（2） ① 求证：四边形ABCD是正方形；
解：（2） ① 如图，过点A作AN⊥EF于点N. ∵ ∠C＝90°，
AB⊥BC，AD⊥CD，∴ ∠B＝∠D＝∠C＝90°.∴ 四边形ABCD为
矩形.∵ EA，FA分别为∠BEF和∠DFE的平分线，AB⊥BC，
AD⊥CD，AN⊥EF，∴ AB＝AN，AD＝AN. ∴ AB＝AD. ∴ 矩形
ABCD为正方形，即四边形ABCD是正方形
第10题
第10题答案
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② 若BE＝EC＝4，求DF的长.
解：② 设DF＝x.由（2）①，得AB＝AN，
∠B＝∠ANE＝90°，四边形ABCD是正方形.
在Rt△ABE和Rt△ANE中，∵
∴ Rt△ABE≌Rt△ANE. ∴ BE＝EN＝4.同理，可得DF＝NF＝x.∵
四边形ABCD是正方形，∴ BC＝CD＝BE＋EC＝8.∴ FC＝CD－DF
＝8－x.∵ 在Rt△CEF中，EF＝EN＋NF＝4＋x，∴ 由勾股定理，
得EC2＋FC2＝EF2，即42＋（8－x）2＝（4＋x）2，解得x＝ .
∴ DF＝
第10题
第10题答案
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10(共16张PPT)
19.2 平行四边形
第1课时 平行四边形边和角的性质
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
04
思维拓展
1. 两组对边分别 的四边形叫作平行四边形.
2. 平行四边形的性质1：平行四边形的对边 .
3. 平行四边形的性质2：平行四边形的对角 .
平行
相等
相等
1. 在 ABCD中，∠A＝140°，则∠D的度数为（ A ）
A. 40° B. 70° C. 110° D. 140°
2. （2025 马鞍山含山期中）如图，在 ABCD中，AD＝6，AB＝3，
则 ABCD的周长是（ A ）
A. 18 B. 14 C. 16 D. 20
第2题
A
A
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3. （教材变式）如图，在 ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平
分线BM交边CD于点M，则DM的长为（ B ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第3题
4. 在 ABCD中，∠B＋∠D＝160°，则∠A的度数为（ C ）
A. 130° B. 50° C. 100° D. 65°
B
C
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5. 在 ABCD中，已知AB＋BC＝20，且AD＝8，则CD＝ .
12
6. （2025 合肥庐江期中）在 ABCD中，∠A比∠D大20°，则∠B
＝ °.
7. （2024 广州）如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线
上，BE＝3.若BA平分∠EBC，则DE＝ .
第7题
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15
8. OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.若点A的坐标为（4，
0），点C的坐标为（1，3），则点B的坐标为 .
第8题
（5，3）
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9. （2025 宜宾）如图，E是 ABCD边CD的中点，连接AE并延长交
BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.
第9题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC∥AD，BC＝AD＝5.
∴ ∠D＝∠FCE. ∵ E是CD的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE
中，∵ ∴ △ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD＝5.∴ BF
＝BC＋FC＝5＋5＝10
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10. （2024 眉山）如图，在 ABCD中，O是BD的中点，EF过点O，
有下列结论：① AB∥DC；② EO＝ED；③ ∠A＝∠C；④ S四边形ABOE
＝S四边形CDOF. 其中，正确的个数为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第10题
C
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11. （2024 浙江）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝
2，BD＝2 .过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE的长为x，BC的
长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ C ）
A. x＋y B. x－y
C. xy D. x2＋y2
第11题
C
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15
12. （2025 安庆期末）如图，在 ABCD中，E为边BC上一点，连接
AE，DE，AE＝DE＝BE，∠CDE＝24°，则∠B＝ °.
第12题
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13. 如图，在平面直角坐标系中， AOBC的顶点B在x轴上，点A的坐
标为（1，2），以点O为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA，OB于
点D，E，再分别以点D，E为圆心、大于 DE的长为半径画弧，两弧
在∠AOB内相交于点F，作射线OF交AC于点P，则点P的坐标
是 .
第13题
（1＋ ，2）
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14. （2023 长沙）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点
E，交AB的延长线于点F.
第14题
（1） 求证：AD＝AF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD. ∴ ∠CDE＝
∠F. ∵ DF平分∠ADC，∴ ∠ADE＝∠CDE. ∴ ∠ADF＝∠F.
∴ AD＝AF
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（2） 若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积.
解：（2） ∵ AD＝AF＝6，AB＝3，∴ BF＝AF－AB＝3.过点D作
DH⊥AF交FA的延长线于点H. ∴ ∠AHD＝90°.∵ ∠BAD＝
120°，∴ ∠DAH＝60°.∴ 在Rt△ADH中，∠ADH＝90°－∠DAH
＝30°.∴ AH＝ AD＝3.∴ 由勾股定理，
得DH＝ ＝ ＝3 .
∴ S△ADF＝ AF DH＝ ×6×3 ＝9
第14题
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15. 如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，
∠ADC，交AC于点E，G.
第15题
（1） 求证：BE∥DG，DG＝BE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥CB，AD＝CB，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC.
∴ ∠DAC＝∠BCA. ∵ BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴ ∠CBE＝ ∠ABC，∠ADG＝ ∠ADC. ∴ ∠CBE＝∠ADG.
∵ ∠DGE＝∠DAC＋∠ADG，∠BEG＝∠BCA＋∠CBE，
∴ ∠DGE＝∠BEG. ∴ BE∥DG. 在△ADG和△CBE中，
∵ ∴ △ADG≌△CBE. ∴ DG＝BE
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（2） 过点E作EF⊥AB，垂足为F. 若 ABCD的周长为56，EF＝6，
求△ABC的面积.
解：（2） 如图，过点E作EH⊥BC于点H. ∵ BE平分∠ABC，
EF⊥AB，∴ EH＝EF＝6.∵ ABCD的周长为56，
∴ AB＋BC＝28.∴ S△ABC＝S△ABE＋S△BCE＝
AB EF＋ BC EH＝ EF （AB＋BC）
＝ ×6×28＝84
第15题
第15题答案
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14
15(共10张PPT)
19.1 多 边 形
第2课时 多边形的外角和
第19章 四 边 形
01
新知梳理
02
基础过关
03
能力进阶
目
录
1. n边形（n为不小于3的整数）的外角和定理：n边形的外角和等
于 .
2. 多边形中，如果各条边 ，各个内角 ，这样的
多边形叫作正多边形.
360°
都相等
都相等
1. （新情境 现实生活）如图，学校的电动伸缩校门利用的数学原理是
（ B ）
A. 三角形的稳定性
B. 四边形的不稳定性
C. 两点之间线段最短
D. 三角形两边之和大于第三边
第1题
B
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9
2. 如图所示的1角硬币的外轮廓呈圆形，内部雕刻了正九边形的形状，
则正九边形的外角和为（ A ）
A. 360° B. 1 260°
C. 1 440° D. 1 620°
第2题
A
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9
3. （教材变式）（2025 合肥蜀山期末）若正多边形的一个外角等于
60°，则这个正多边形的边数是 .
4. 一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是 边形.
5. 佩佩在研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1 080°的正多边
形图案，则这个正多边形的每个外角的度数为 .
6
四
45°
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9
6. （2024 宣城期末）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边
形的内角和为（ C ）
A. 180° B. 720°
C. 540° D. 360°
C
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8
9
7. 如图，AB，BC，CD是某正多边形相邻的三条边，延长AB，DC交
于点P，若∠P＝90°，则该正多边形的边数为（ B ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
第7题
B
1
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8
9
8. （易错题）如图，某同学从点A出发，沿直线走10米后向右转18°，
接着沿直线走10米后，再向右转18°……这样下去，第一次回到点A
时，一共走了 米.
第8题
200
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9
9. 已知一个多边形的内角和与外角和的差为1 440°.求：
（1） 这个多边形的边数；
解：（1） 设这个多边形的边数为n.根据题意，得（n－2） 180°－
360°＝1 440°，解得n＝12.∴ 这个多边形的边数为12
（2） 此多边形的对角线的条数.
解：（2） ×12×（12－3）＝54（条）.∴ 此多边形的对角线的条数
为54
1
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7
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