(共18张PPT)
专题（五） 数据的初步分析
期末复习专题
1. 某班共有学生40名，其中10月份生日的学生人数为8，则10月份生日
学生的频数和频率分别为（ C ）
A. 10和25% B. 25%和10
C. 8和20% D. 20%和8
C
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9
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15
2. （2025 合肥瑶海期末）某射击小组有20人，一次射击成绩如下表：
成绩/环 5 6 7 8 9 10
人 数 1 3 6 7 2 1
这次射击成绩的众数和中位数分别是（ D ）
A. 8环，8环 B. 7环，8环
C. 7环，7.5环 D. 8环，7.5环
D
1
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3. （2025 合肥包河期末）某单位男职工人数与女职工人数之比为
5∶3，男、女职工的平均年龄分别为40岁和30岁，则该单位职工的平均
年龄为（ B ）
A. 36岁 B. 36.25岁
C. 36.5岁 D. 37岁
B
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5
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4. （2025 阜阳颍上期末）某次数学测试后，老师抽取部分同学的成绩
（得分为整数），整理绘制成如图所示的频数直方图，下列描述不正确
的是（ B ）
A. 频数直方图中组距是10
B. 本次共抽取了60名同学的成绩
C. 70.5～80.5分这一分数段的频数为18
D. 这次测试的及格（不低于60分）率约为92%
第4题
B
1
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4
5
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15
5. 小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分（单位：分）分别
是7.0，7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10.工作人员根据评委所打的分数
对平均数、方差、众数、中位数进行了统计.如果去掉一个最高分和一
个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ D ）
A. 平均数 B. 方差
C. 众数 D. 中位数
D
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7
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6. （2024 池州二模）一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10
次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中，不正确
的是（ D ）
A. 众数是8环
B. 中位数是8环
C. 平均数是8环
D. 方差是1
第6题
D
7. （2025 乐山）某校举行演讲比赛，5位评委对某选手给出的评分（单
位：分）如下：7.5，7.5，7，7.5，8，则评分的众数为 分.
7.5
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5
6
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8. （2024 兰州）甲、乙两人在相同条件下各射击10次.两人的成绩（单
位：环）如图所示.现有三个推断：① 甲的成绩更稳定；② 乙的平均成
绩更高；③ 每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高.其中，正确的
是 （填序号）.
第8题
①②
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9. 某部电影上映七天票房破45亿元，前七日综合票房（单位：亿元）
分别是4.9，4.8，6.2，7.3，8.1，8.4，8.6，那么前七日综合票房的
中位数是 亿元.
10. 小进家在学校附近，某周星期一至星期五早晨步行到校所花时间
（单位：分）分别为11，10，11，9，x.已知这组数据的平均数为10，
则其方差为 .
11. 某校规定学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩
按3∶3∶4的比计算所得.若某名学生本学期数学的平时、期中和期末成
绩分别是90分、90分和85分，则他本学期数学的综合成绩是 分.
7.3
0.8
88
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12. 如图①②所示分别为甲、乙两人10次射击成绩的条形统计图，则
甲、乙两人成绩比较稳定的是 .
第12题
甲
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13. （新情境 现实生活）（2024 武汉）为加强体育锻炼，增强学
生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生进行定
点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分.随机抽取m名学生
的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下统计表和如图所
示的扇形统计图.
测试成绩频数分布表
成绩/分 4 3 2 1 0
频 数 12 a 15 6 6
第13题
根据已知信息，解答下面的问题：
（1） 直接写出m，n的值和样本的众数；
解：（1） m＝60，n＝10，样本的众数为3分
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（2） 若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学
生人数.
解：（2） 60×35%＝21（人） 900× ＝495（人），
∴ 估计得分超过2分的学生人数为495
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14. （新考法 综合实践题）某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞
赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，
并对成绩进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息.
【收集数据】
甲班10名学生的竞赛成绩（单位：分）：85，78，86，79，72，91，
79，71，70，89；
乙班10名学生的竞赛成绩（单位：分）：85，80，77，85，80，73，
90，74，75，81.
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【整理数据】
成绩x/分 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
甲 班 6 3 1
乙 班 4 5 1
【分析数据】
统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
甲 班 80 a b 51.4
乙 班 80 80 80，85 c
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
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79
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（2） 请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要
说明理由；
解：（2） 乙班成绩比较好 理由：∵ 两个班成绩的平均数相同，乙班
的中位数、众数高于甲班，方差小于甲班（说明乙班成绩比甲班稳
定），∴ 乙班成绩比较好.
统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
甲 班 80 a b 51.4
乙 班 80 80 80，85 c
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（3） 甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80
分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数.
解：（3） 45× ＋40× ＝42（人），∴ 估计这两个班可以获奖的总人数是42
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15. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛.在最近10次的
选拔赛中，他们的射击成绩信息如下：
信息一：
甲队员的射击成绩（单位：环）：10，8，8，10，6，8，6，9，
10，8；
乙队员的射击成绩（单位：环）：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8.
信息二：甲、乙两位队员射击成绩的部分统计量如下表：
队 员 平均数/环 中位数/环 众数/环 方 差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
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根据以上信息，回答下列问题：
（1） 填空：m＝ ，n＝ .
8.5
8
队 员 平均数/环 中位数/环 众数/环 方 差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
（2） 队员在射击选拔赛中发挥更稳定（填“甲”或“乙”）.
（3） 小瑜认为甲、乙两位队员射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员
参赛都可以，你认为她的说法对吗？请说明理由.
解：小瑜的说法不对 理由：两位队员射击成绩的平均数相同，但是甲
队员射击成绩的方差大于乙队员射击成绩的方差，即乙队员发挥更稳
定，故应推荐乙队员参赛（合理即可）.
乙
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15(共12张PPT)
专题（一） 二次根式
期末复习专题
1. （2025 合肥包河期中）下列各式一定是二次根式的为（ B ）
A. B. C. D.
2. （2025 安庆潜山期末）下列不是最简二次根式的为（ D ）
A. B. C. D.
3. （2025 合肥庐阳期中）下列二次根式中，与 是同类二次根式的为
（ D ）
A. B. C. D.
B
D
D
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4. （2024 六安舒城期中）已知 是整数，则非负整数n的最小值是
（ D ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
5. （数形结合思想）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简
－ 的结果是（ C ）
A. 0 B. －2a C. －2b D. 2a－2b
第5题
D
C
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6. （新考法 新定义题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，
规定：m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6.
（－2）※ 的运算结果为（ A ）
A. 3 B. －2 C. 3 D. 2
7. 设6－ 的整数部分是a，小数部分是b，则b2－2a的值是（ A ）
A. 8－6 B. 6 －8
C. 17－8 D. 8 －17
A
A
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8. （2025 北京）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围
是 .
9. （2025 合肥庐江段考）计算 － 的结果是 .
10. 不等式 x＜ －1的解集是 x＜ .
11. （2025 安庆太湖期末）当x＝ ＋1时，式子x2－2x＋2的值
为 .
x≥1
x＜
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12. 某精密仪器的一个零件上有一个矩形孔，其面积为3 cm2，长为
cm，则这个孔的宽为 cm.
13. 已知a＝3 ＋1，b＝3 －1，则 ＋ ＝ .
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14. 计算：
（1） ＋2 ＋｜2－ ｜；
解：原式＝2＋2 ＋ －2＝3
（2） （ ＋ ）（ － ）＋（ －1）2；
解：原式＝5－2＋3－2 ＋1＝7－2
（3） ×（ ＋1）2－（5 －3 ）（3 ＋5 ）－－1.
解：原式＝ ×（3＋2 ＋1）－［（5 ）2－（3 ）2］－ ＝
×（4＋2 ）－（75－45）－ ＝－28
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15. 如果最简二次根式 与 能进行合并，且
a≤x≤2a，化简：｜x－2｜＋ .
解：根据题意，得4a－5＝13－2a，解得a＝3.∴ 3≤x≤6.原式＝｜x
－2｜＋ .∵ x－2＞0，x－6≤0，∴ 原式＝（x－2）－
（x－6）＝x－2－x＋6＝4
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16. （2025 亳州蒙城期中）先化简，再求值：2（a＋ ）（a－ ）
－a（a－6）＋6，其中a＝ －1.
解：原式＝2（a2－3）－（a2－6a）＋6＝2a2－6－a2＋6a＋6＝a2＋
6a.当a＝ －1时，原式＝4 －3
17. 解方程：（ －1）x＋2 ＝ －x.
解：x＝－
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18. （2025 蚌埠段考）已知x＝ ，y＝ ，求下面各式的值：
（1） ＋ ；
解：∵ x＝ ＝ ＝－7－4 ，y＝ ＝
＝－7＋4 ，∴ x＋y＝－14，xy＝1.
（1） ＋ ＝ ＝ ＝ ＝194
（2） ＋ .
解： （2） ＋ ＝ ＝ ＝－14
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19. 有这样一道题目：将 化简，如果你能找到两个数m，n，
使m2＋n2＝a且mn＝ ，则a±2 将变成m2＋n2±2mn，则
变成（m±n）2的开方，从而使得 化简.
例如：∵ 5±2 ＝3＋2±2 ＝（ ）2＋（ ）2±2 ＝
（ ± ）2，∴ ＝ ＝ ± .
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请仿照例子化简下面各式：
（1） ；
解： ＝ ＝ ＝
＝ －
（2） .
解： ＝ ＝ ＝ ＝
＋
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19(共16张PPT)
专题（二） 一元二次方程及其应用
期末复习专题
1. （2025 蚌埠段考）下列方程是一元二次方程的为（ D ）
A. x2＋2xy＝5 B. x2＋ ＝2
C. x2＋y2＝6 D. x2＝5
2. （2025 六安金安期末）一元二次方程x（x－2）＝0的根是
（ D ）
A. x1＝1，x2＝2 B. x＝0
C. x＝2 D. x1＝0，x2＝2
D
D
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3. （2025 合肥包河期末）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＋1＝0
有一个根为x＝－2，则m的值为（ B ）
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4. （2025 兰州）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有两个不相等
的实数根，则a的值可以是（ D ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5. （2025 合肥蜀山期中）已知m，n是一元二次方程2x2＋5x－7＝0的
两个根，则mn－m－n的值为（ C ）
A. 1 B. 6 C. －1 D. －6
B
D
C
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6. （2025 安庆岳西段考）如图所示为一个矩形花园，其宽（短边）为
20 m，现打算将花园扩建，要求长边保持不变，将短边扩大到与长边相
等，使得扩建后的花园是正方形.若扩大后的花园面积比原来增加了
100 m2，设矩形花园的长边为x m，则可列方程为（ A ）
A. x（x－20）＝100
B. x（x＋20）＝100
C. 20x＝100
D. （x＋20）（x－20）＝100
第6题
A
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7. 一件工艺品的进价为100元/件，按130元/件的标价售出，平均每天可
售出100件.根据销售统计，每件工艺品每降价1元出售，则每天可多售
出5件.某店为了减少库存，同时使平均每天获得的利润为3 000元，则每
件工艺品需降价（ B ）
A. 12元 B. 10元 C. 8元 D. 5元
B
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8. （2025 合肥一模）已知方程x2－4x＋k＝0的一个根为x＝5，则方程
的另一个根为 .
9. 若一元二次方程2x2＋x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是
.
10. （2025 池州青阳期末）如果m是方程x2－2x－6＝0的一个根，那么
代数式2m2－4m－7的值为 .
11. 已知关于x的一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2－2＝0的两根为
x1，x2，且（x1－2） （x1－x2）＝0，则k的值是 .
12. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2022年缴
税40万元，2024年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率
是 .
x＝－1
m
＞
5
－2或－
10%
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13. 解方程：
（1） （2025 淮北期中）x（x＋3）－4（x＋3）＝0；
解：x1＝－3，x2＝4
（2） 2x2＋4x－6＝0；
解：x1＝1，x2＝－3
（3） 5x＋2＝3x2；
解：x1＝2，x2＝－
（4） （x＋1）2＋2x＝3（x＋1）.
解：x1＝1，x2＝－2
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14. 有一个两位数，如果个位上的数字比十位上的数字大1，并且十位
上的数字的平方比个位上的数字也大1，求这个两位数.
解：设这个两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为x＋1.根据题
意，得x2－（x＋1）＝1.整理，得x2－x－2＝0.解得x1＝2，x2＝－1
（不合题意，舍去）.∴ x＋1＝3.∴ 这个两位数为23
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15. 某农户1月购买了100只兔子进行养殖，两个月后，该农户养殖的兔
子数量增长至169只.若兔子数量的月平均增长率都相同，则开始养殖一
个月后，该农户养殖的兔子有多少只？
解：设兔子数量的月平均增长率为x.根据题意，得100（1＋x）2＝
169，解得x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3（不合题意，舍去）.∴ 开始养殖
一个月后，该农户养殖的兔子有100×（1＋30%）＝130（只）
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3
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16. （2025 合肥瑶海期末）已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋1）
x＋m2＋m－1＝0.
（1） 求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
解：（1） ∵ Δ＝［－（2m＋1）］2－4×1×（m2＋m－1）＝4m2＋
4m＋1－4m2－4m＋4＝5＞0，∴ 无论m取何值时，方程都有两个不相
等的实数根
（2） 当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值.
解：（2） 设方程的两个实数根分别为x1，x2.根据根与系数的关系，得
x1＋x2＝2m＋1＝0，解得m＝－ ，即m的值为－
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17. （新情境 现实生活）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，
每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在
一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫
的单价降了x元.
（1） 完成下表（用含x的式子表示）.
每天的销售量/件 每件衬衫的利润/元
降价前 20 40
降价后 20＋2x 40－x
20＋2x
40－x
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（2） 当衬衫的单价降多少元时，商场销售这批衬衫每天可盈利1 050
元，且消费者获得更大实惠？
解：（2） 由题意，得（20＋2x）（40－x）＝1 050.整理，得x2－30x
＋125＝0，解得x1＝5，x2＝25.∵ 要让消费者获得更大实惠，∴ x＝
25.∴ 当衬衫的单价降25元时，商场销售这批衬衫每天可盈利1 050元，
且消费者获得更大实惠
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（3） 能否通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利1 500元？
解：（3） 由题意，得（20＋2x）（40－x）＝1 500.整理，得x2－30x＋350＝0.∵ Δ＝b2－4ac＝（－30）2－4×1×350＝－500＜0，
∴ 此方程没有实数根.∴ 不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利1 500元
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18. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两边靠墙（AD位置的墙最
大可用长度为27 m，AB位置的墙最大可用长度为15 m），另两边用栅
栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示
的MN，JK，HG三处各留0.75 m，0.75 m，1.5 m宽的门（门用其他
材料）.建成后栅栏总长45 m.
（1） 若饲养场（矩形ABCD）的一边CD的
长为10 m，则另一边BC的长为 m.
18
第18题
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（2） 若饲养场（矩形ABCD）的面积为165 m2，求边CD的长.
解：（2） 设CD＝x m，则BC＝45－3x＋0.75×2＋1.5＝（48－3x）
m.由题意，得x（48－3x）＝165，解得x1＝5，x2＝11.
∵ ∴ 7≤x≤15.∴ x＝11.∴ 边CD的长为11 m
第18题
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（3） 饲养场的面积能达到195 m2吗？若能达到，求出边CD的长；若不
能达到，请说明理由.
解：（3） 不能 理由：设CD＝a m，则BC＝（48－3a）m.由题意，得a（48－3a）＝195.整理，得a2－16a＋65＝0.∵ Δ＝（－16）2－
4×1×65＝－4＜0，∴ 该方程没有实数根.∴ 饲养场的面积不能达到
195 m2.
第18题
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18(共23张PPT)
专题（四） 四 边 形
期末复习专题
1. （2025 遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边
形的边数为（ A ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
A
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2. （2024 长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个
正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图，则α的度数
为（ D ）
A. 54° B. 60° C. 70° D. 72°
第2题
D
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3. （2025 贵州）如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝
60°，以点A为圆心、AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为
（ D ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
第3题
D
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4. （2025 滁州期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质
是（ B ）
A. 对角线相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线平分一组对角
D. 对角线互相垂直
B
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5. 如图，要使 ABCD是菱形，需要增加的一个条件可以是（ B ）
A. AB∥CD B. AB＝BC
C. ∠B＝∠D D. AC＝BD
第5题
B
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6. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，
AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ B ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
第6题
B
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7. （2024 合肥庐阳期末）如图，在正方形ABCD内作等边三角形
AED，连接BE，CE，则∠BEC的度数为（ A ）
A. 150° B. 175° C. 120° D. 135°
第7题
A
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8. （2025 滁州三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝10，点E，
F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE＝DG，BF＝
DH，则EF＋GF的最小值为（ A ）
A. 5 B. 10 C. 5 D. 10
第8题
A
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9. （2025 合肥庐阳期末）一个正多边形的每个外角都等于36°，则它
是 边形.
10. （2024 上海）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC
＝ °.
11. （2024 六安霍邱模拟）如图，在四边形ACFG中，四边形ABFG为
正方形，∠EDB＝2∠BAC，CD＝BF＝6，BE＝4，则BC＝ .
正十
57
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第11题
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12. （2025 安庆桐城三模）如图，有矩形ABCD和矩形EFGH，矩
形EFGH的顶点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，点G与点D
重合.
第12题
（1） 若∠1＝28°，则∠2＝ ；
62°
（2） 若矩形ABCD与矩形EFGH的面积之差为28 cm2，E是AB的中点，则涂色部分的面积为 cm2.
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13. 已知一个多边形的边数为n，每个内角都相等.
（1） 若这个多边形的内角和的 比外角和多90°，求n的值；
解：（1） 根据题意，得（n－2） 180°× ＝360°＋90°，解得n＝
12.∴ n的值为12
（2） 若这个多边形的一个内角为108°，求n的值.
解：（2） ∵ 这个多边形的每个内角都相等，∴ 这个多边形的每个外
角都相等.∵ 多边形的一个内角为108°，∴ 这个多边形的每个外角为
72°.∵ 多边形的外角和为360°，∴ n＝ ＝5.∴ n的值为5
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14. （2024 泸州）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，
且DE＝BF. 求证：∠1＝∠2.
第14题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝CB，AD∥BC.
∴ ∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中，∵
∴ △ADE≌△CBF. ∴ ∠1＝∠2
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15. （2024 长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是
边AB的中点，∠AOD＝∠BOC. 求证：四边形ABCD是矩形.
第15题
解：∵ O是边AB的中点，∴ OA＝OB. 在
△AOD和△BOC中，∵
∴ △AOD≌△BOC. ∴ DA＝CB. ∵ ∠A＝∠B＝90°，
∴ ∠A＋∠B＝180°.∴ DA∥CB. ∴ 四边形ABCD是平行四边形.
又∵ ∠A＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形
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16. 如图，在矩形ABCD中，E为对角线BD的中点，过点E作
FG⊥BD，交AD于点F，交BC于点G，连接BF，DG.
（1） 试判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
第16题
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解：（1） 四边形BFDG是菱形
理由：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC. ∴ ∠FDE
＝∠GBE，∠DFE＝∠BGE. ∵ E为对角线BD的中
点，∴ DE＝BE. 在△DEF和△BEG中，
∵ ∴ △DEF≌△BEG. ∴ EF＝EG.
∴ 四边形BFDG是平行四边形.又∵ FG⊥BD，
∴ 四边形BFDG是菱形.
第16题
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（2） 若AB＝12，AD＝18，求BG的长.
解：（2） ∵ 四边形BFDG是菱形，∴ DF＝BF＝BG.
∵ 四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝18，∴ ∠A
＝90°，AF＝AD－DF＝18－BF. 在Rt△ABF中，由
勾股定理，得AB2＋AF2＝BF2，∴ 122＋（18－BF）2
＝BF2，解得BF＝13（负值舍去）.∴ BG＝BF＝13
第16题
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17. （2023 长春）将两个完全相同的含有30°角的直角三角尺在同一平
面内按如图所示的位置摆放，点A，E，B，D依次在同一条直线上，
连接AF，CD.
（1） 求证：四边形AFDC是平行四边形；
第17题
解：（1） ∵ △ACB≌△DFE，∴ AC＝DF，∠CAB＝∠FDE.
∴ AC∥DF. ∴ 四边形AFDC是平行四边形
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（2） 已知BC＝6 cm，当四边形AFDC是菱形时，求AD的长.
第17题答案
解：（2） 如图，连接CF交AD于点O. ∵ ∠ACB＝90°，∠CAB＝
30°，BC＝6 cm，∴ AB＝2BC＝12 cm.∴ 由勾股定理，得AC＝
＝ ＝6 （cm）.∵ 四边形AFDC是菱形，
∴ CF⊥AD，AD＝2AO. ∴ ∠AOC＝90°.又∵ ∠CAO＝30°，
∴ 在Rt△COA中，CO＝ AC＝3 cm.
∴ 由勾股定理，得AO＝ ＝
＝9（cm）.
∴ AD＝2AO＝18 cm
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18. （2023 安庆宿松期末）如图，以△ABC中的AB，AC为边分别向
外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC和△AEG
面积之间的关系，并说明理由.
第18题
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解：△ABC和△AEG的面积相等 理由：如图，过点C作CH⊥AB于
点H，过点G作GO⊥EA交EA的延长线于点O，则∠O＝∠CHA＝
90°.∴ ∠EAG＋∠GAO＝180°.∵ 四边形ABDE和四边形ACFG是
正方形，∴ AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°.∴ ∠EAG
＋∠HAC＝360°－90°－90°＝180°.∴ ∠GAO＝∠CAH. 在
△AGO和△ACH中，∵ ∴ △AGO≌△ACH.
∴ GO＝CH. ∵ AE＝AB，S△ABC＝ AB CH，
S△AEG＝ AE GO，
∴ △ABC和△AEG的面积相等.
第18题答案
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19. （2023 十堰）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
（1） 试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
第19题
解：（1） 四边形BPCO为平行四边形 理由：∵ 四边形ABCD为平行
四边形，∴ OC＝OA＝ AC，OB＝OD＝ BD. ∵ 分别以点B，C为
圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴ OC＝BP，OB
＝CP. ∴ 四边形BPCO为平行四边形.
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（2） 请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正
方形.
解：（2） 当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形
∵ AC＝BD，OB＝ BD，OC＝ AC，∴ OB＝OC. 又由（1）知，
四边形BPCO是平行四边形，
∴ 四边形BPCO是菱形.
∵ AC⊥BD，∴ ∠BOC＝90°.
∴ 四边形BPCO是正方形
第19题
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19(共17张PPT)
专题（三） 勾股定理及其逆定理
期末复习专题
1. （2025 滁州全椒期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2
＋BC2＋AC2的值为（ B ）
A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
2. （新考向 数学文化）（2025 滁州凤阳期中）我国是最早了解勾股定
理的国家之一，它被记载于我国古代数学著作《周髀算经》中.下列各
组数中，是“勾股数”的为（ D ）
A. 1，2，3 B. 4，5，6
C. ， ， D. 5，12，13
B
D
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9
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11
12
13
3. （2025 阜阳颍上期中）如图所示为两人某次棋局棋盘上的一部分，
若棋盘中每个小方格的边长为1，则“车”“帅”两棋子所在格点（方
格线的交点）之间的距离为（ D ）
A. 10 B. 2
C. 4 D. 2
第3题
D
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12
13
4. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方
形，这个图形是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人
们称它为“赵爽弦图”.如果图中勾a＝3，弦c＝5，那么小正方形的面
积为（ A ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第4题
A
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13
5. （2025 合肥庐江期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，
BC＝2 ，则AB＝ 3 .
6. （易错题）（2024 安庆期中）一直角三角形的三边长分别为6，8，
x，那么以x为边长的正方形的面积为 .
3
100或28
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13
7. 如图，小明在某次投篮练习中刚好把球打到篮板的点D处后进球.已
知小明与篮板正下方点C的距离BC＝ 米，篮球与地面的距离AB＝
1.7米，篮球与篮板点D处的距离AD＝2.5米，则点D到地面的距离CD
为 米.
2.2
第7题
1
2
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，且满足DA
＝DB＝8.若△DAB的面积为24，则AC的长为 .
第8题
8＋2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. （新考向 数学文化）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章
中有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何？”
大意如下：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛
AB的距离均为1尺（1尺＝10寸），两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门
的宽度（两扇门宽度的和）AB为 寸.
第9题
101
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
10. 如图，网格中的小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格
点上，完成下列问题：
第10题
（1） AB＝ ；BC＝ ；AC＝ .
（2） 求△ABC的面积.
解：（2） △ABC的面积＝3×3－ ×2×3－ ×2×3－ ×1×1＝2.5
（3） 求△ABC的边AB上的高h.
解：（3） △ABC的面积＝2.5＝ AB h，
∴ h＝ ＝
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13
11. 如图①所示为“弦图”，根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正
方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理.现有4个全等
的直角三角形（图②中涂色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为
c，将它们拼合为图②的形状.
（1） 小诚同学在图②中添加了相应的辅助线，从而轻松证明了勾股定
理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
第11题
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
13
解：（1） 题图②中图形的总面积可以表示为以c为边的正方形的面积
＋两个直角三角形的面积，即c2＋2× ab＝c2＋ab，也可以表示为以
a和b为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，即a2＋b2
＋2× ab＝a2＋b2＋ab，∴ c2＋ab＝a2＋b2＋ab，即a2＋b2＝c2
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8
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11
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（2） 当a＝3，b＝4时，求图②中空白部分的面积.
解：（2） 当a＝3，b＝4时，c2＝a2＋b2＝25.由题图可知，空白部分
的面积＝以c为边的正方形的面积－两个直角三角形的面积，即空白部
分的面积为c2－2× ab＝25－3×4＝13
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12. （2025 安庆岳西期末）如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于
点D，AC＝4，BC＝3，DB＝ .
（1） 求CD，AD的长；
解：（1） ∵ CD⊥AB，CB＝3，BD＝ ，∴ 在
Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝ ＝
＝ .∵ CD⊥AB，AC＝4，∴ 在Rt△CAD
中，由勾股定理，得AD＝ ＝
＝
第12题
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（2） 判断△ABC的形状，并说明理由.
解：（2） △ABC为直角三角形 理由：∵ AD＝ ，
BD＝ ，∴ AB＝AD＋BD＝ ＋ ＝5.∵ AC＝4，BC
＝3，∴ AC2＋BC2＝42＋32＝25＝52＝AB2.∴ △ABC为
直角三角形.
第12题
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13. 某中学有一块四边形的空地ABCD（如图），学校计划在空地上种
植草皮.经测量，∠A＝90°，AB＝9米，DA＝12米，BC＝8米，CD
＝17米.
（1） 求出空地ABCD的面积；
第13题
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解：（1） 如图，连接BD. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2
＋AD2＝92＋122＝225（平方米），即BD＝15米.在△CBD中，∵ CD2
＝172＝289（平方米），BC2＝82＝64（平方米），64＋225＝289，
∴BC2＋BD2＝CD2.∴ △CBD是直角三角形，且∠DBC＝90°.
∴ S四边形ABCD＝S△BAD＋S△DBC＝ AD AB＋
DB BC＝ ×12×9＋ ×15×8＝114（平方米）.
∴ 空地ABCD的面积为114平方米
第13题答案
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（2） 若每种植1平方米草皮需要350元，则总共需投入多少元？
解：（2） 114×350＝39 900（元）.∴ 总共需投入39 900元
第13题
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