(共14张PPT)
第二章 不等式与不等式组
2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式及其解法
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列式子是一元一次不等式的为（ C ）
A. x＋y＜0 B. x2＞0
C. ＞3＋x D. ＜0
2. 不等式2x－5≤3x＋1的解集是（ A ）
A. x≥－6 B. x≤－6
C. x≥6 D. x≤6
C
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3. 解不等式 ＞x－1，下列在数轴上表示的解集正确的是（ D ）
4. 已知（m－2）x｜m｜－1＋3＞2是关于x的一元一次不等式，则m的值为 －2 ，不等式的解集为 x＜ .
5. 不等式2x－4＜5（x＋1）的解集是 x＞－3 ；将该解集表示在如图所示的数轴上，则涂色部分盖住的数是 －3 .
D
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x＜
x＞－3
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（1） x＋8＜4x－1；
解：移项，得x－4x＜－1－8.合并同类项，得－3x＜－9.系数化为1，得x＞3.解集在数轴上表示出来如图①所示
（2） 2x＋9≥－3（x＋2）；
解：去括号，得2x＋9≥－3x－6.移项，得2x＋3x≥－6－9.合并同类项，得5x≥－15.系数化为1，得x≥－3.解集在数轴上表示出来如图②所示
（3） ＋1＞2x；
解：去分母，得4x－5＋3＞6x.移项，得4x－6x＞5－3.合并同类项，得－2x＞2.系数化为1，得x＜－1.解集在数轴上表示出来如图③所示
6. 若代数式2a－3的值不小于5a＋3的值，则a的最大值为 －2 .
7. （教材变式）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
－2
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（4） ≤ －1.
解：去分母，得4（2x－1）≤3（3x＋2）－12.去括号，得8x－4≤9x＋6－12.移项、合并同类项，得－x≤－2.系数化为1，得x≥2.解集在数轴上表示出来如图④所示
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8. （易错题）解不等式2－ ＞－ ，并把它的解集在数轴上表示出来，再写出最大负整数解.
解：去分母，得12－3（x－1）＞－2x.去括号，得12－3x＋3＞－2x.移项、合并同类项，得－x＞－15.系数化为1，得x＜15.解集在数轴上表示出来如图所示，不等式的最大负整数解为－1
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9. （教材变式）已知四个连续正奇数的和不大于32，这样的正奇数共有多少组？分别是哪些？
解：设最小的正奇数为x，则另外三个正奇数依次为x＋2，x＋4，x＋6.由题意，得x＋（x＋2）＋（x＋4）＋（x＋6）≤32.去括号，得x＋x＋2＋x＋4＋x＋6≤32.移项、合并同类项，得4x≤20.系数化为1，得x≤5.∴ x可取的值为5或3或1.∴ 这样的正奇数共有3组，分别是5，7，9，11或3，5，7，9或1，3，5，7
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10. 不等式 ＋1＞x－3的正整数解的个数为（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 若代数式 ＋1的值不小于代数式 －1的值，则x的取值范围是（ B ）
A. x＞17 B. x≥17 C. x＜17 D. x≥27
B
B
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12. 若不等式 －1≤2－x的解集中x的每一个值都能使关于x的不等式3（x－1）＋5＞5x＋2（m＋x）成立，则m的取值范围是（ C ）
A. m＞－ B. m＜－
C. m＜－ D. m＞－
C
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13. 若关于x的不等式 －1＜x与1－2（x＋3）＞0的解集相同，则a的值为 － .
14. （2024·烟台）关于x的不等式m－ ≤1－x有正数解，m的值可以是 0 （写出一个即可）.（答案不唯一）
－
0
（答案不唯一）
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（1） 若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围；
解：（1） ∵ x－a－1＝0，∴ x＝a＋1.∵ 该方程的解满足x≤2，∴ a＋1≤2，解得a≤1
（2） 若该方程的解是不等式1－ ＜ 的负整数解，求a的值.
解：（2） 解不等式1－ ＜ ，得x＞－2，∴ 该不等式的负整数解为－1.∵ 该方程的解是不等式1－ ＜ 的负整数解，∴ a＋1＝－1，解得a＝－2
15. 已知关于x的方程x－a－1＝0.
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16. 已知关于x的不等式 ＞ －1.
（1） 当m＝1时，求该不等式的解集.
解：（1） 当m＝1时，不等式为 ＞ －1，解得x＜2
（2） 当m取何值时，该不等式有解？请求出解集.
解：（2） 不等式可化为（m＋1）x＜2（m＋1）.当m≠－1时，该不等式有解.当m＞－1时，不等式的解集为x＜2；当m＜－1时，不等式的解集为x＞2
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17. （新考法·新定义题）我们把 称为二阶行列式，规定 ＝ad－bc.如 ＝2×5－3×4＝－2.如果 的值小于5，求x的正整数值.
解：由题意，得4（2x－1）－3（x＋1）＜5，解得x＜ .∴ x的正整数值为1，2
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17(共14张PPT)
第二章 不等式与不等式组
1 不等式及其基本性质
第2课时 不等式的解集
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列不等式的解集中，不包括－5的是（ C ）
A. x≤5 B. x≥－5
C. x≤－6 D. x≥－6
2. 如图，将不等式x■－2的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是（ D ）
A. ≥ B. ≤
C. ＞ D. ＜
C
D
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3. （教材变式）如图，托盘天平左边物体的质量为xg，右边物体的质量为4g，托盘呈现左低右高的状态，则x的取值范围在数轴上可表示为（ D ）
D
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4. 有下列说法：① 1是3x－5＜4的解；② 不是2x－1＞0的解；③ x＋1＜0的解集是x＜－1；④ x＞4中的任何一个数能使x－1＞0成立，因而x＞4是x－1＞0的解集.其中，正确的是 ①②③ （填序号）.
5. 期中考试结束了，小刚的爸爸问他在班上排第几名，小刚说：“我的名次在数轴上表示如图所示.”小刚在班上的名次是 第1名或第2名 .
①②③
第1名或第2名
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6. （教材变式）下列不等式后面括号内的数是该不等式的解吗？为什么？
（1） 5－x≥3（－4，2）；
解：（1） 把x＝－4代入不等式，左边5－（－4）＝9，能使不等式成立；把x＝2代入不等式，左边5－2＝3，能使不等式成立.∴ －4，2都是该不等式的解
（2） 2x＋5＞3（－1，0）；
解：（2） 把x＝－1代入不等式，左边2×（－1）＋5＝3，不能使不等式成立；把x＝0代入不等式，左边2×0＋5＝5，能使不等式成立.∴ －1不是该不等式的解，0是该不等式的解
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（3） 3x＋5＜2x＋3（－1，1）；
解：（3） 把x＝－1代入不等式，左边3×（－1）＋5＝2，右边2×（－1）＋3＝1，不能使不等式成立；把x＝1代入不等式，左边3×1＋5＝8，右边2×1＋3＝5，不能使不等式成立.∴ －1，1都不是该不等式的解
（4） x＋1＞ （0，3）.
解：（4） 把x＝0代入不等式，左边 ×0＋1＝1，不能使不等式成立；把x＝3代入不等式，左边 ×3＋1＝ ，能使不等式成立.∴ 0不是该不等式的解，3是该不等式的解
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7. （教材变式）写出如图①②③④所示的各数轴上所表示的关于x的不等式的解集：
解：① x＜3 ② x＞ ③ x≥－2 ④ x≤
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8. 2是关于x的不等式x－m＜0的一个解，则m的值不可能是（ A ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
9. 已知｜x－1｜＝1－x，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ D ）
A
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10. 若实数a是不等式2x－1＞5的一个解，但实数b不是不等式2x－1＞5的解，则下列选项中，正确的是（ B ）
A. a＜b B. a＞b
C. a≤b D. a≥b
B
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11. （新考法·新定义题）定义：给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的子集.例如：不等式P：x＞4是不等式Q：x＞2的子集.请写出不等式x＜－2的一个子集： x＜－3 .（答案不唯一）
12. 如图所示为某个表示在数轴（不完整）上的不等式的解集.若x＝m＋6是该不等式的一个解，则m的取值范围是 m＞－5 .
x＜－
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（答案不唯一）
m＞－5
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13. 有下列各数：－ ，－1，0， ，2，4.
（1） x取哪些数能使不等式x－2＜0成立？
解：（1） x取－ ，－1，0， 能使不等式x－2＜0成立
（2） 满足x－2＜0的数有什么特点？
解：（2） 都小于2
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14. 对于问题“求不等式x＋3＜0，x＋3＞0 的解集”，我们可以从相应的方程x＋3＝0入手，方程x＋3＝0的解是x＝－3，大于－3的所有数都能使x＋3＞0成立，小于－3的所有数都能使x＋3＜0成立.∴ x＋3＜0的解集是x＜－3，x＋3＞0的解集是x＞－3.利用数轴能直观地反映它们之间的关系，方程的解可以用数轴上的点A表示（如图①），点A将数轴上的其余点分成两部分：点A左边的点（如图②）表示的数满足x＜－3，它是不等式x＋3＜0的解集；点A右边的点（如图③）表示的数满足x＞－3，它是不等式x＋3＞0的解集.
尝试用上述不等式与方程的关系，研究不等式2x＋1＜5的解集.
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解：从相应的方程2x＋1＝5入手，方程2x＋1＝5的解是x＝2，小于2的所有数都能使2x＋1＜5成立.∴ 2x＋1＜5的解集是x＜2.利用数轴能直观地反映它们之间的关系，方程的解可以用数轴上的点A表示（如答案图①），点A左边的点（如答案图②）表示的数满足x＜2，它是不等式2x＋1＜5的解集
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第二章 不等式与不等式组
2 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用
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能力进阶
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思维拓展
目
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1. 小明要从贵港市民族文化公园到贵港市马草江生态公园，两地相距约3千米，已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过25分的时间内到达，他至少需要跑步多少分？设他要跑步的时间为x分，则列出的不等式为（ B ）
A. 210x＋90（25－x）≥3
B. 210x＋90（25－x）≥3000
C. 210x＋90（25－x）≤3
D. 210x＋90（25－x）≤3000
B
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2. （教材变式）体育课上进行投篮比赛，老师规定投进一球得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次.如果小李要想得分不低于28分，那么他至少要投进的球的个数为（ B ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
3. 小颖家每月水费都不少于23元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费2.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超过部分每立方米收费3元，小颖家每月用水量至少是（ C ）
A. 6立方米 B. 7立方米
C. 8立方米 D. 9立方米
B
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4. （新情境·现实生活）某航空公司规定：旅客乘机时，免费随身携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高最大为 55 cm.
5. （教材变式）某校学生会组织七年级和八年级共60名学生参加义务植树活动，七年级学生平均每人植树5棵，八年级学生平均每人植树8棵.为了保证植树的总数不少于400棵，至少需要多少名八年级学生参加活动？
解：设需要x名八年级学生参加活动，则需要（60－x）名七年级学生参加活动.由题意，得5（60－x）＋8x≥400，解得x≥33 .∵ x为正整数，∴ x的最小值为34.∴ 至少需要34名八年级学生参加活动
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6. （2025·湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种材料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.
（1） 求A种材料和B种材料的单价；
解：（1） 设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x－3）元.由题意，得4x＝6（x－3），解得x＝9.∴ x－3＝6.∴ A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元
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（2） 若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
解：（2） 设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50－m）件.由题意，得9m＋6（50－m）≤360，解得m≤20.∴ 最多能购买A种材料20件
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7. 某校计划组织师生乘坐大、小两种客车去参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是35个，每辆小客车的乘客座位数是18个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满.由于最后参加活动的人数增加了30，在保持租用车辆总数不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保参加活动的师生都有座位，则该校最后所租用小客车辆数的最大值为（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
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8. 已知某种饮料的零售价为每瓶6元，现只要购买2瓶及以上，即可享受如下两种优惠方案中的一种：第一种，一瓶按原价，其余的按原价的七折优惠；第二种，全部按原价的八折优惠.在购买相同数量饮料的情况下，如果要使第一种方案的优惠多，那么至少要购买这种饮料（ B ）
A. 3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶
B
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9. 如图，小明想到A站乘公交车，他发现自己与公交车之间的距离为720m.已知公交车的速度是小明速度的5倍，若要保证小明不会错过这班公交车，则小明与A站之间的距离最大为 120 m.
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10. （2025·烟台）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
（1） 求甲、乙两种路灯的单价；
解：（1） 设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元.根据题意，得 解得 ∴ 甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元
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（2） 该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的 ，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
解：（2） 设购买m盏甲种路灯，则购买（40－m）盏乙种路灯.根据题意，得m≤ （40－m），解得m≤10.∵ 甲种路灯单价低，∴ 购买甲种路灯越多越省钱.∵ m为整数，∴ m的最大值为10.∴ 40－m＝40－10＝30.∴ 当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少
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11. 今年五一期间，某市迎来了一个短期旅游高峰.某热门景点的门票价格规定如下表：
门票的种类 A B C
购票人数 1～50 51～100 100以上
票价/元 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲旅游团人数为51～100，乙旅游团人数为1～50）.在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别购票节省730元.
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（1） 两个旅游团各有多少人？
解：（1） 设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人.由题意，得 解得 ∴ 甲旅游团有58人，乙旅游团有44人
（2） 一个人数不足50的旅游团，当游客人数最少为多少时，购买B种门票比购买A种门票省钱？
解：（2） 设游客人数为m.由题意，得50m＞45×51，解得m＞45.9.又∵ m为正整数，∴ m的最小值为46.∴ 当游客人数最少为46时，购买B种门票比购买A种门票省钱
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第二章 不等式与不等式组
1 不等式及其基本性质
第3课时 不等式的基本性质
01
基础过关
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能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 由3＜5，得3x＞5x，则x的值可能是（ D ）
A. 1 B. 0.5 C. 0 D. －1
2. 下列有关不等式的解法中，错误的是（ C ）
A. x－2≥2，两边都加2，得x≥4
B. x＋6≤0，两边都减6，得x≤－6
C. －x≥－6，两边都乘－1，得x≥6
D. －3x≥－6，两边都除以－3，得x≤2
3. 若关于x的不等式（m－3）x＞3－m的解集是x＜－1，则有（ B ）
A. m＞3 B. m＜3 C. m＝3 D. m≠3
D
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4. （易错题）若将不等式－ ≥ 两边都乘－6，则不等式可变形为 3m≤－2n .
5. （教材变式）用“＞”或“＜”填空：
（1） 若3a＜2a，则a－1 ＜ 0；
（2） 若x＜y，则3x＋1 ＜ 3y＋1；
（3） 若m＜n，则－3m＋2 ＞ －3n＋2.
3m≤－
2n
＜
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6. 完成下面的解题过程，并在括号里填写依据.
已知x＞3y，y＞a，2a－4＞0，求x的取值范围.
解：∵ 2a－4＞0，
∴ 2a＞4（不等式的基本性质1）.
∴ a＞2（ 不等式的基本性质2 ）.
∵ y＞a，∴ y＞2.
∴ 3y＞ 6 （ 不等式的基本性质2 ）.
∵ x＞3y，∴ x＞ 6 （ 不等式的传递性 ）.
不等式的基本性质2
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不等式的基本性质2
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7. （教材变式）根据不等式的基本性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（1） x＋2＞6；
解：不等式的两边都减2，得x＞4，解集在数轴上表示出来如图①所示
（2） 2x－1≥0；
解：不等式的两边都加1，得2x≥1.两边都除以2，得x≥ ，解集在数轴上表示出来如图②所示
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（3） －3x＋1＞4；
解：不等式的两边都减1，得－3x＞3.两边都除以－3，得x＜－1，解集在数轴上表示出来如图③所示
（4） 2x≥3－x.
解：不等式的两边都加x，得3x≥3.两边都除以3，得x≥1，解集在数轴上表示出来如图④所示
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8. （新考法·阅读理解）阅读下面的解题过程，并解答问题.
已知a＞b，试比较－2026a＋1与－2026b＋1的大小.
解：∵ a＞b①，
∴ －2026a＞－2026b②.
∴ －2026a＋1＞－2026b＋1③.
（1） 上述解题过程中，从 ② 开始出现错误（填序号）；
（2） 错误的原因是 不等式的两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变 ；
（3） 请写出正确且完整的解题过程.
解：∵ a＞b，∴ －2026a＜－2026b.∴ －2026a＋1＜－2026b＋1
②
不等式的两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改
变
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9. 实数a，b，c满足a＞b，且ac＞bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ D ）
D
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10. 某农户卖黄金瓜，第一天上午以x元/千克的价格卖了45千克，下午又以y元/千克的价格卖了35千克.第二天他以 元/千克的价格卖了80千克，结果同第一天对比发现自己亏了，其原因是（ B ）
A. x＜y B. x＞y
C. x≤y D. x≥y
B
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11. 某学校组织八年级200名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次.设共搬桌椅x套（一桌一椅为一套），则x应满足不等式 2x＋ x≤200 ，这个不等式的解集为 x≤80 ，从而可知最多可搬 80 套桌椅.
2x＋ x≤200
x≤80
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（1） 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；
解：（1） ∵ a＞b，∴ a＋c＞b＋c.∵ c＞d，∴ b＋c＞b＋d.∴ a＋c＞b＋d
（2） 如果a，b，c，d都是正数，且a＞b，c＞d，那么ac＞bd.
解：（2） ∵ a＞b，c＞0，∴ ac＞bc.∵ c＞d，b＞0，∴ bc＞bd.∴ ac＞bd
12. 初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容.请利用不等式的基本性质说明下面结论的正确性.
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13. （教材变式）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，那么得到的两位数大于原来的两位数，试用不等式的基本性质比较a与b的大小.
解：由题意，得10b＋a＜10a＋b，∴ 9b＜9a.∴ b＜a
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14. （新考法·过程性学习）【提出问题】 已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围.
【分析问题】 先根据已知条件用一个量（如y）去表示另一个量（如x），然后根据题中给出的x的取值范围，构建关于这个量y的不等式，结合题中给出的y的取值范围，从而确定该量y的取值范围，同理再确定另一个量x的取值范围，最后利用不等式的性质即可获解.
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【解决问题】 ∵ x－y＝2，∴ x＝y＋2.
∵ x＞1，∴ y＋2＞1.∴ y＞－1.
又∵ y＜0，∴ －1＜y＜0①.
同理，得1＜x＜2②.
由①＋②，得－1＋1＜y＋x＜0＋2.
∴ x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2.
【尝试应用】 已知x－y＝－3，且x＜－1，y＞1，求x＋y的取值范围.
解：∵ x－y＝－3，∴ x＝y－3.∵ x＜－1，∴ y－3＜－1.∴ y＜2.又∵ y＞1，∴ 1＜y＜2①.同理，得－2＜x＜－1②.由①＋②，得1－2＜y＋x＜2－1.∴ x＋y的取值范围是－1＜x＋y＜1
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第二章 不等式与不等式组
第二章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 不等式的概念、基本性质及解集
1. 有下列式子：① －3＜0；② 2x＋3y≥0；③ x＝1；④ x2－2xy＋y2；⑤ x＋1＞3.其中，不等式有（ B ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
2. 已知a＜b，则一定有6－4a6－4b，“”里应填的符号是（ A ）
A. ＞ B. ＜ C. ≥ D. ＝
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3. 如图，数轴所表示的关于x的不等式的解集为 －2≤x＜3 ，其中整数解有 5 个.
－2≤x＜3
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考点二 解一元一次不等式（组）
4. 不等式3（x＋2）≤5x的解集是（ D ）
A. x≤2 B. x≥2 C. x≤3 D. x≥3
5. 不等式组 的所有整数解的和为 10 .
D
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（1） －1≤ ；
解：去分母，得2（x＋1）－6≤3（2－x）.去括号，得2x＋2－6≤6－3x.移项、合并同类项，得5x≤10.系数化为1，得x≤2.解集在数轴上表示出来如图①所示
3( 1)<4+2 ①，
<2 ②.
（2）
解：解不等式①，得x＜7.解不等式②，得x＞－1.∴ 不等式组的解集为－1＜x＜7.解集在数轴上表示出来如图②所示
6. 解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来.
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考点三 一元一次不等式与一次函数
7. 一次函数y＝mx＋n与y＝ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式mx＋n＞1的解为（ A ）
A. x＜－2 B. x＞－2
C. x＜－3 D. x＞－3
A
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8. 某区四校决定联合购买一批足球运动装备.调查发现，甲、乙两家商场以同样的价格出售同种品牌的队服和足球，已知每套队服比每个足球贵50元，2套队服与3个足球的价格相等.经洽谈，甲商场的优惠方案为每购买10套队服，送1个足球；乙商场的优惠方案为若购买队服超过80套，则购买足球打八折.
（1） 求每套队服和每个足球的价格；
解：（1） 设每套队服x元，每个足球y元.由题意，得 解得 ∴ 每套队服150元，每个足球100元
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（2） 若四校联合购买100套队服和a个足球（a＞10），请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用；
解：（2） 到甲商场购买装备所花费用为150×100＋100（a－100÷10）＝（100a＋14000）元，到乙商场购买装备所花费用为150×100＋100×80％a＝（80a＋15000）元
（3） 在（2）的条件下，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？
解：（3） 当100a＋14000＝80a＋15000时，解得a＝50.∴ 当a＝50时，到甲、乙两家商场购买装备所花费用相同.当100a＋14000＞80a＋15000时，解得a＞50.∴ 当a＞50时，到乙商场购买比较合算.当100a＋14000＜80a＋15000时，解得a＜50.又∵ a＞10，∴ 当10＜a＜50时，到甲商场购买比较合算
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考点四 一元一次不等式的应用
9. 两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm.把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的纸带长度至少是（ B ）
A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm
B
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10. 为迎接六一儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A，B两种玩具，其中购进A种玩具5套和B种玩具4套，需800元；购进A种玩具3套和B种玩具2套，需450元.
（1） 求A，B两种玩具每套进价分别是多少元.
解：（1） 设A种玩具每套进价是x元，B种玩具每套进价是y元.根据题意，得 解得 ∴ A种玩具每套进价是100元，B种玩具每套进价是75元
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（2） 该玩具店购进B种玩具比A种玩具的2倍多4套，若玩具店销售1套A种玩具获利30元，销售1套B种玩具获利20元，且全部售出后所获得利润不少于1200元.问该玩具店至少购进A种玩具多少套？
解：（2） 设购进A种玩具m套，则购进B种玩具（2m＋4）套.由题意，得30m＋20（2m＋4）≥1200，解得m≥16.∴ m的最小值为16.∴ 该玩具店至少购进A种玩具16套
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11. 一次函数y1＝mx＋n（m≠0）和y2＝kx＋b（k≠0）的图象如图所示，有下列结论：① k＜0；② n＞0；③ 方程（k－m）x＝n－b的解是x＝－1；④ 不等式mx＋n＞kx＋b的解集是x＜－1.其中，正确的有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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12. 运行如图所示的程序，若程序操作进行了三次才输出，则x的取值范围是 （ C ）
A. x≥11 B. 11≤x＜23
C. 11＜x≤23 D. x≤23
C
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13. 关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＋y＞2 ，写出a的一个整数值： 6 .（答案不唯一）
14. 已知关于x的不等式组 有5个整数解，则a的取值范围是 － ＜a≤0 .
15. 老师在黑板上留了一道解不等式的题目： ≥ ＋ . 是被一学生擦去的一个数，若其解集为x≤2，则被擦去的数是几？
解：设被擦去的数为a，则 ≥ ＋a，解得x≤8－6a.∵ 不等式的解集为x≤2，∴ 8－6a＝2，解得a＝1.∴ 被擦去的数是1
6
（答案不唯一）
－ ＜a≤0
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16. 如图，一次函数y＝－2x＋3与y＝－ x＋m的图象交于点P（n，－2），一次函数y＝－2x＋3，y＝－ x＋m的图象分别交y轴于点A，B.
（1） 求m，n的值；
解：（1） 把P（n，－2）代入y＝－2x＋3，得－2n＋3＝－2，解得n＝ .∴ P .把P 代入y＝－ x＋m，得－ × ＋m＝－2，解得m＝－ .∴ m的值为－ ，n的值为
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（2） 直接写出不等式－ x＋m＞－2x＋3的解集；
解：（2） 不等式－ x＋m＞－2x＋3的解集为x＞
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（3） 求△ABP的面积.
解：（3） 对于y＝－2x＋3，令x＝0，得y＝3.∴ A（0，3）.对于y＝－ x－ ，令x＝0，得y＝－ .
∴ B .∴ AB＝3－ ＝ .∵ P ，∴ 以AB为底时，△ABP的高为 .∴ S△ABP＝ AB× ＝ × × ＝
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17. 某超市销售A，B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋，则共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋，则共需310元.
（1） A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别为多少元？
解：（1） 设A种盐皮蛋每箱价格为a元，B种盐皮蛋每箱价格为b元.由题意，得 解得 ∴ A种盐皮蛋每箱价格为30元，B种盐皮蛋每箱价格为20元
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（2） 若某公司购买A，B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？总费用最少是多少？
解：（2） 设购买A种盐皮蛋x箱，则购买B种盐皮蛋（30－x）箱，总费用为w元.由题意，得w＝30x＋20（30－x）＝10x＋600.∵ 10＞0，∴ w随x的增大而增大.∵ A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴ 解得17.5≤x≤20.∵ x为正整数，∴ 当x＝18时，w取得最小值，此时w＝780，30－x＝12.∴ 购买18箱A种盐皮蛋，12箱B种盐皮蛋才能使总费用最少，总费用最少是780元
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第二章 不等式与不等式组
阶段训练（1～2）
一、 选择题
1. 有下列各式：① x＜5；② x（x－5）≤5；③ ＜5；④ 2x＋y＞5＋2y；⑤ a－2＜5；⑥ x≥ .其中，一元一次不等式有（ A ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
2. 小明每月攒25元零花钱，他已经攒了50元.若继续攒x个月就能购买一套价值480元的四大名著珍藏版，下列符合题意的不等式为（ A ）
A. 25x＋50≥480 B. 25x－50≥480
C. 25x＋50≤480 D. 25x－50≤480
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3. 已知实数a，b满足a＞b－1，则下列结论正确的是（ C ）
A. a＞b B. a＜b
C. a＋2＞b＋1 D. a＋2＜b＋1
4. 定义新运算：a b＝a－2b.若关于x的不等式x m＞3的解集为x＞－1，则m的值是（ B ）
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
C
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5. 如图，数轴上有A，B两点，分别表示 和1－x，且点A在点B左侧，则下列数值中符合x取值范围的是（ A ）
A. －3 B. －2
C. －1 D. 0
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6. 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方案：① 买一只茶壶送一只茶杯；② 按总价的92％付款.现有一顾客需购买4只茶壶，x只（不少于4只）茶杯，要使方案②比方案①更省钱，则x至少为（ C ）
A. 33 B. 34
C. 35 D. 36
C
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二、 填空题
7. 已知（k＋3）x｜k｜－2＋5＜k－4是关于x的一元一次不等式，则k＝ 3 ，不等式的解集是 x＜－1 .
8. 定义新运算：对于任意实数a，b都有a b＝a（a－b）－1，如：3 2＝3×（3－2）－1＝2，那么不等式2 x≥3 的非负整数解是 0 .
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x＜－1
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他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注，提醒自己注意.
（1） “ ”内应修改的正确答案是 12 ；
（2） “去分母”的依据是 不等式的基本性质2 .
12
不等式的基本性质2
9. 如图所示为小亮求解不等式的过程：
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10. 已知关于x的一元一次不等式 x＋4＜2x－ a的解都是一元一次不等式2x＋1＞－1的解，则a的取值范围是 a≥－8 .
11. 如图所示为由若干个粗细均匀的铁环最大限度地拉伸组成的链条.铁环粗1cm，每个铁环长5cm.若要组成不短于2m长的链条，则至少需要 66 个铁环.
a≥－8
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三、 解答题
12. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（1） 2x－（9x＋4）＜3；
解：去括号，得2x－9x－4＜3.移项、合并同类项，得－7x＜7.系数化为1，得x＞－1.解集在数轴上表示出来如图①所示
（2） ＞1－ ；
解：去分母，得4（1－x）＞12－3（x＋2）.去括号，得4－4x＞12－3x－6.移项、合并同类项，得－x＞2.系数化为1，得x＜－2.解集在数轴上表示出来如图②所示
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（3） － ≤1.
解：去分母，得2（x－3）－（4x－1）≤4.去括号，得2x－6－4x＋1≤4.移项、合并同类项，得－2x≤9.系数化为1，得x≥－ .解集在数轴上表示出来如图③所示
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13. 已知关于x，y的二元一次方程组
（1） 若方程组的解满足x－y＝6，求m的值；
解：（1） 由①＋②，得8x－8y＝4m＋8，即x－y＝ m＋1.∵ x－y＝6，
∴ m＋1＝6，解得m＝10.∴ m的值为10
（2） 若方程组的解满足x＜－y，求m的取值范围.
解：（2） 由②－①，得2x＋2y＝8－4m，即x＋y＝4－2m.∵ x＜－y，
∴ x＋y＜0.∴ 4－2m＜0，解得m＞2.∴ m的取值范围是m＞2
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14. 已知整式3 的值为P.
（1） 当m＝2时，求P的值；
解：（1） 由题意，得P＝3× ＝3× ＝－5
第14题
（2） 若P的取值范围如图所示，求m的负整数值.
解：（2） 由数轴，知P≤7，即3 ≤7，解得m≥－2.∴ m的负整数值为－1，－2
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15. 为了奖励在考试中进步的同学，李老师购买一些钢笔和圆规作为奖品.已知购买4支钢笔和5个圆规需要70元，购买6支钢笔和7个圆规需要100元.
（1） 求购买一支钢笔和一个圆规各需要多少元；
解：（1） 设购买一支钢笔需要x元，一个圆规需要y元.由题意，得 解得 ∴ 购买一支钢笔需要5元，一个圆规需要10元
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（2） 若购买圆规的个数比购买钢笔的支数的一半还少1，要求购买奖品的总价不超过300元，则最多可以购买多少支钢笔？
解：（2） 设可以购买a支钢笔，则购买 个圆规.由题意，得5a＋10 ≤300，解得a≤31.又∵ a－1是整数，∴ a的最大值为30.∴ 最多可以购买30支钢笔
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第二章 不等式与不等式组
1 不等式及其基本性质
第1课时 不 等 式
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 有下列式子：① 3＞0；② 4＋3y＞0；③ x＝3；④ x－1；⑤ x＋2≤3；⑥ 2x＞0.其中，不等式有（ C ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
2. 下列选项中，蕴含不等关系的是（ D ）
A. 老师的年龄是你的年龄的2倍
B. 小军和小红一样高
C. 小明比爸爸小26岁
D. x2－4是负数
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3. 小明购买了一本原价为x元的书，花费金额低于24元，他根据书店促销信息列出不等式为80％（x－10）＜24，关于这本书的促销信息最合适的是（ C ）
A. 原价基础上降价10元
B. 原价基础上先打八折，再降价10元
C. 原价基础上先降价10元，再打八折
D. 原价基础上打八折
C
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4. （新情境·现实生活）小林在水果摊上称了2千克苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的.”如果设苹果的实际质量为x千克，那么用不等式把这个“高高的”的意思表示为 x＞2 .
5. （教材变式）公路上不同的交通标志代表不同的意义.如图，设汽车的质量为xt，速度为ykm/h，高度为hm，宽度为lm，则用不等式表示图①②③④的意义依次为 x≤5.5 ， y≤30 ， h≤3.5 ， l≤2 .
x＞2
x≤5.5
y≤30
h≤3.5
l≤2
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6. （易错题）小乐和妈妈去公园游玩，小乐的身高是1.4米，妈妈的身高是1.6米.小乐登上一处有10级台阶的观景台（每级台阶的高度为a米），开心地说：“妈妈，现在两个你的身高加起来都没我高啦！”由此可得关于a的不等式为 10a＋1.4＞1.6×2 .
10a
＋1.4＞1.6×2
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（1） － ＜ － ；
（2） （－1）2 ＜ （－2）2；
（3） ｜－a｜ ≥ 0；
（4） 4x2＋1 ＞ 0；
（5） －x2 ≤ 0；
（6） 2x2＋3y＋1 ＞ x2＋3y.
＜
＜
≥
＞
≤
＞
7. 在横线上填适当的符号：
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8. 用适当的不等式表示下列关系：
（1） 明天下雨的可能性大于70％；
解：（1） 设明天下雨的可能性为x，则有x＞70％
（2） 一枚炮弹的杀伤半径不小于300m；
解：（2） 设这枚炮弹的杀伤半径为rm，则有r≥300
（3） 3件相同的上衣与4条相同的长裤的总价钱不高于268元；
解：（3） 设每件上衣的价钱为a元，每条长裤的价钱为b元，则有3a＋4b≤268
（4） 小明的体重不比小刚的轻.
解：（4） 设小明的体重为mkg，小刚的体重为nkg，则有m≥n
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9. （新考法·新定义题）在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确.在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多，比如：≮表示不小于，≯表示不大于， 表示远大于， 表示远小于.下列选项中，表达错误的是（ D ）
A. 2≮2 B. －1≯0
C. 100 1 D. －2 －99
D
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10. 下列对情境“一辆中巴车限乘20人（含司机1人），现在车上载有n名旅客，中途又有2名旅客上车，车上还有一些空座”中数量关系描述正确的是（ C ）
A. n＋2≥20－1 B. n－2≥20－1
C. n＋2＜20－1 D. n＋2＞20－1
C
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11. 如图①，一个容量为500mL的杯子中装有200mL的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯子中，结果水没有满，如图②，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为 200＋4x＜500 .
200＋4x＜500
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12. （教材变式）用不等式表示下列不等关系：
（1） a与1的和是正数；
解：（1） a＋1＞0
（2） x的4倍与y的一半的差大于－6；
解：（2） 4x－ y＞－6
（3） a与b两数和的平方小于3；
解：（3） （a＋b）2＜3
（4） 在一场男子100米跑比赛中，某运动员以t秒的成绩，突破9.90秒大关.
解：（4） t＜9.90
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13. （教材变式）请设计不同的实际背景来表示下面的不等式：
（1） a－2b＞4；
解：答案不唯一，如（1） 1千克西瓜的价格为a元，1千克梨的价格为b元，买1千克西瓜比买2千克梨多花的钱超过4元
（2） 10－（3m＋n）≤5.
解：答案不唯一，如（2） 小李早上带10元钱外出买早点，买了3根单价为m元的油条和1个单价为n元的包子，剩余的钱不超过5元
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14. 某乡组织10辆汽车装运A，B两种苹果到外地销售，按规定每辆汽车只装同一种苹果，且必须装满.A，B两种苹果每辆汽车的运载量及每吨苹果获利如下表：
苹果品种 A B
每辆汽车的运载量/吨 3 2
每吨苹果获利/元 500 900
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（1） 要求共运出苹果至少24吨，试写出装运A种苹果的汽车数量x（辆）应满足的不等式；
解：（1） 由题意，得装运B种苹果的汽车有（10－x）辆，则3x＋2（10－x）≥24
（2） 要求共获利不少于15600元，试写出装运A种苹果的汽车数量y（辆）应满足的不等式.
解：（2） 由题意，得装运B种苹果的汽车有（10－y）辆，则500×3y＋900×2（10－y）≥15600
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第二章 不等式与不等式组
小专题（六） 一元一次不等式（组）中的实际问题
类型一 分配问题
1. 一群女生住若干间宿舍，若每间住5人，则剩下2人无宿舍可住.
（1） 若每间住7人，有一间宿舍住不满，则有多少间宿舍？多少名女生？
解：（1） 设有x间宿舍，则有（5x＋2）名女生.由题意，得0＜5x＋2－7（x－1）＜7，解得1＜x＜4.5.∵ x是正整数，∴ x可取的值为2或3或4.∴ 有2间宿舍，12名女生或有3间宿舍，17名女生或有4间宿舍，22名女生
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（2） 若每间住7人，有一间宿舍不足4人，则有多少间宿舍？多少名女生？
解：（2） 设有y间宿舍，则有（5y＋2）名女生.由题意，得0＜5y＋2－7（y－1）＜4，解得2.5＜y＜4.5.∵ y是正整数，∴ y可取的值为3或4.∴ 有3间宿舍，17名女生或有4间宿舍，22名女生
（3） 若每间住7人，有一间宿舍无人住，则有多少间宿舍？多少名女生？
解：（3） 设有z间宿舍，则有（5z＋2）名女生.由题意，得0＜5z＋2－7（z－2）≤7，解得4.5≤z＜8.∵ z是正整数，∴ z可取的值为5或6或7.∴ 有5间宿舍，27名女生或有6间宿舍，32名女生或有7间宿舍，37名女生
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类型二 行程问题
2. 小诚响应“低碳环保，绿色出行”的号召，一直坚持跑步与步行相结合的上学方式.已知小诚家距离学校2200m，他步行的平均速度为80m/min，跑步的平均速度为200m/min.若他要在20min内从家到达学校，则他至少需要跑多长时间？
解：设他需要跑xmin.由题意，得200x＋80（20－x）≥2200，解得x≥5.∴ 他至少需要跑5min
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类型三 销售问题
3. （2024·成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500千克进行销售，其中A种水果收购单价为10元/千克，B种水果收购单价为15元/千克.
（1） 求A，B两种水果各购进多少千克；
解：（1） 设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克.由题意，得 解得 ∴ A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克
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（2） 已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4％，若合作社计划A种水果至少要获得20％的利润，求A种水果的最低销售单价（不计其他费用）.
解：（2） 设A种水果的销售单价为m元/千克.由题意，得1000×（1－4％）m－1000×10≥1000×10×20％，解得m≥12.5.∴ m的最小值为12.5.∴ A种水果的最低销售单价为12.5元/千克
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4. 新华商场购进A品牌台灯400盏，B品牌台灯若干盏，其中每盏A品牌台灯的进价比B品牌台灯多3元.
（1） 若进货款是16200元，且购进B品牌台灯600盏.
① 每盏A，B两种品牌台灯的进价各是多少元？
② 已知每盏A品牌台灯的售价为23元，若使这批台灯全部售完后利润不低于5000元，则每盏B品牌台灯的售价至少是多少元？
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解：（1） ① 设每盏A品牌台灯的进价是a元，每盏B品牌台灯的进价是b元.根据题意，得 解得 ∴ 每盏A品牌台灯的进价是18元，每盏B品牌台灯的进价是15元 ② 设每盏B品牌台灯的售价是x元.根据题意，得400×（23－18）＋600（x－15）≥5000，解得x≥20，∴ x的最小值为20.∴ 每盏B品牌台灯的售价至少是20元
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（2） 若每盏B品牌台灯的进价为20元，第1个月B品牌台灯以每盏24元的价格售出 ，A品牌台灯以每盏25元的价格售出，A品牌台灯售出的数量是B品牌台灯售出数量的一半；第2个月以每盏22元的价格将这批台灯全部售出，最后获利超过3700元，则B品牌台灯至少购进多少盏？
解：（2） 由题意，可得每盏A品牌台灯的进价为23元.设购进B品牌台灯y盏.根据题意，得（24－20）× ＋（25－23）× ＋（22－20）× ＋（22－23） ＞3700，解得y＞1294 .由题意，易得y为6的倍数，∴ y的最小值为1296.∴ B品牌台灯至少购进1296盏
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类型四 方案选择与设计问题
5. 为了响应“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购进A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元.
（1） 求A，B两种品牌足球的单价各是多少元.
解：（1） 设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元.根据题意，得 解得 ∴ A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元
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（2） 根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正逢体育用品商店开展“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折.如果此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，那么有几种购进方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
解：（2） 设购进m个B种品牌的足球，则购进（50－m）个A种品牌的足球.根据题意，得 解得23≤m≤25.
又∵ m为正整数，∴ m可取的值为23，24，25.∴ 共有3种购进方案，方案1：购进27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（50－4）×27＋80×0.8×23＝2714（元）；方案2：购进26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（50－4）×26＋80×0.8×24＝2732（元）；方案3：购进25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（50－4）×25＋80×0.8×25＝2750（元）.∵ 2714＜2732＜2750，∴ 为了节约资金，学校应选择方案1
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6. 治理污水，保护环境.某治污公司决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台.A，B两种型号的设备单价和月处理污水量如下表：
设备类型 A型 B型
单价/（万元/台） a b
处理污水量/（吨/月） 220 100
经调查：购买1台A型设备比购买1台B型设备多4万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少2万元.
（1） 求a，b的值.
解：（1） 由题意，得 解得 ∴ a的值为7，b的值为3
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（2） 经预算，该治污公司购买污水处理设备的资金不超过43万元.若两种设备都要购买，则该治污公司有哪几种购买方案？
解：（2） 设购买A型设备x台，则购买B型设备（10－x）台.由题意，得7x＋3（10－x）≤43，解得x≤3 .∵ x为正整数，∴ x可取的值为1或2或3.∴ 该治污公司有以下3种购买方案：当x＝1时，10－x＝9，即购买A型设备1台，B型设备9台；当x＝2时，10－x＝8，即购买A型设备2台，B型设备8台；当x＝3时，10－x＝7，即购买A型设备3台，B型设备7台
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（3） 在（2）的条件下，若要求每月处理污水量不低于1240吨，则该治污公司怎样购买省钱？
解：（3） 由题意，得220x＋100（10－x）≥1240，解得x≥2.又∵ x≤3 ，
∴ 2≤x≤3 .∵ x为正整数，∴ x可取的值为2或3.当x＝2时，购买资金为2×7＋（10－2）×3＝38（万元）；当x＝3时，购买资金为3×7＋（10－3）×3＝42（万元）.∵ 38＜42，∴ 该治污公司购买A型设备2台，B型设备8台省钱
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第二章 不等式与不等式组
小专题（五） 一元一次不等式（组）中的含参问题
类型一 根据不等式（组）的解集求参数
1. 在实数范围内规定新运算“▲”：a▲b＝－2a＋b，如2▲3＝－2×2＋3＝－1.已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数轴上表示出来如图所示，求k的值.
解：由题意，得－2x＋k≥2，∴ x≤ k－1.由数轴可知，关于x的不等式x▲k≥2的解集为x≤2.∴ k－1＝2，解得k＝6
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2. 若关于x的不等式组 的解集为x＞3，求m的取值范围.
解：解不等式x＋8＜4x－1，得x＞3.∵ 关于x的不等式组 的解集为x＞3，∴ m－2≤3，解得m≤5
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3. 已知不等式组 的解集为－2＜x＜3，求（a＋b）2026的值.
解：解不等式x＋a＞1，得x＞1－a.解不等式2x＋b＜2，得x＜ .∵ 该不等式组的解集为－2＜x＜3，∴ 易得1－a＝－2， ＝3.∴ a＝3，b＝－4.
∴ （a＋b）2026＝（3－4）2026＝（－1）2026＝1
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类型二 根据不等式（组）的有解或无解求参数
4. 如果不等式组 有解，求m的取值范围.
解：解不等式①，得x≤ .解不等式②，得x≥3m－1.∵ 不等式组有解，
∴ 3m－1≤x≤ ，即3m－1≤ ，解得m≤2
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5. 已知不等式组
（1） 当m＝－1时，求出此时不等式组的解集并在数轴上表示出来；
解：（1） 当m＝－1时，不等式组为 解不等式①，得x≥2.解不等式②，得x＜3.∴ 不等式组的解集为2≤x＜3.解集在数轴上表示出来如图所示
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（2） 要使不等式组无解，求m的取值范围.
解：（2） 由题意，得 解不等式①，得x≥2.解不等式②，得x＜2－m.∵ 不等式组无解，∴ 2－m≤2，解得m≥0，即m的取值范围是m≥0
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6. 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖.特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖.例如：不等式x＞2被不等式x＞1覆盖；不等式组 无解，它被其他任意不等式（组）覆盖.若关于x的不等式组 被2≤x≤7覆盖，求a的取值范围.
解：由2a－x＞1，得x＜2a－1.由2x＋5＞3a，得x＞ .∵ 解集被2≤x≤7覆盖，∴ 或2a－1≤ ，解得3≤a≤4或a≤－3
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类型三 根据不等式（组）的特殊解求参数
7. 若3是关于x的不等式3x－m≥2x＋3的一个整数解，而2不是其整数解，求m的取值范围.
解：解不等式3x－m≥2x＋3，得x≥3＋m.∵ 3是关于x的不等式3x－m≥2x＋3的一个整数解，而2不是其整数解，∴ 2＜3＋m≤3，解得－1＜m≤0
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8. 已知关于x的不等式组
（1） ∵ 不等式组的最小整数解为1，∴ 0≤a－1＜1.∴ 1≤a＜2.∴ 整数a的值为1
（2） 若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围.
解：解不等式①，得x＞a－1.解不等式②，得x≤5.
（2） ∵ 不等式组所有整数解的和为14，∴ 整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，－1.∴ 1≤a－1＜2或－2≤a－1＜－1.∴ 2≤a＜3或－1≤a＜0
（1） 若不等式组的最小整数解为1，求整数a的值；
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9. 已知关于x的不等式组
（1） 若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围；
解：（1） 解不等式①，得x＞2.解不等式②，得x＜7－a.∴ 不等式组的解集为2＜x＜7－a.又∵ 不等式组有且只有三个整数解，∴ 5＜7－a≤6，解得1≤a＜2
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（2） 若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，求a的取值范围.
解：（2） 由（1）可得，不等式组的解集为2＜x＜7－a，∵ 不等式组有解，∴ 7－a＞2，解得a＜5.又∵ 它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，∴ 7－a≤5，解得a≥2.∴ a的取值范围是2≤a＜5
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类型四 不等式（组）与方程（组）结合求参数
10. 若关于x的方程2k－7x＝－8的解是非负数，求k的取值范围.
解：由2k－7x＝－8，解得x＝ .∵ 关于x的方程2k－7x＝－8的解是非负数，∴ ≥0，解得k≥－4.∴ k的取值范围是k≥－4
11. 已知不等式 ＜ 的最小整数解是关于x的方程3（x－a）－1＝8的解，求a的值.
解：解不等式 ＜ ，得x＞5.∴ 不等式的最小整数解是6.把x＝6代入方程3（x－a）－1＝8，得3（6－a）－1＝8，解得a＝3
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12. 若关于x，y的方程组 的解满足x－y≤2，求m的取值范围.
解：由②×2－①×3，得y＝4－m.将y＝4－m代入①，得x＝2m－6.∵ x－y≤2，∴ 2m－6－（4－m）≤2，即3m－10≤2，解得m≤4
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第二章 不等式与不等式组
3 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （数形结合思想）如果直线y＝kx＋b（k≠0）经过第一、三、四象限，且与x轴的交点为（6，0），那么当kx＋b＞0时，x的取值范围是（ A ）
A. x＞6 B. x＜6 C. x≥6 D. x≤6
A
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2. （易错题）为了了解关于x的不等式－x＋2＞mx＋n的解集，某同学绘制了y＝－x＋2与y＝mx＋n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ C ）
C
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3. （教材变式）小李新买了一部手机，同时想选择一种新套餐.获悉某通信公司新开发了甲、乙两种手机话费套餐，其每月通话费用与通话时间之间的关系如图所示.若平时小李每月的通话时间大约是120分，则小李选择 乙 种套餐更合适（填“甲”或“乙”）.
乙
4. 已知一次函数y1＝x＋1与y2＝－2x＋b（b为常数），当x＞2时，y1＞y2，则b的取值范围是 b≤7 .
b≤7
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5. 在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象，观察图象并解答下列问题：
（1） 当x满足什么条件时，2x－4＞0？
（1） 当x＞2时，2x－4＞0
（2） 当x满足什么条件时，－2x＋8＞0？
（2） 当x＜4时，－2x＋8＞0
（3） 当x满足什么条件时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？
（3） 当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立
（4） 当x满足什么条件时，2x－4＞－2x＋8？
（4） 当x＞3时，2x－4＞－2x＋8
第5题答案
解：函数图象如图所示
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6. 小明家附近有A，B两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数y1和y2.收费y1（元）和y2（元）与骑行时间x（min）的关系如图所示.小明家到工厂的距离为9km，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300m/min.
（1） 当x≥10时，求B品牌收费方式y2与骑行时间x的函数表达式；
解：（1） 当x≥10时，设y2＝kx＋b.将（10，6），（20，8）代入，得 解得 ∴ 当x≥10时，y2与x的函数表达式为y2＝0.2x＋4
第6题
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（2） 小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？
解：（2） 9km＝9000m 小明从家到工厂所用时间为9000÷300＝30（min）.根据图象，当x＝30时，y1＞y2，∴ 选择B品牌的共享电动车更省钱
第6题
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7. 如图，一次函数y＝kx＋b与y＝－2x＋1的图象相交于点P（a，3），下列说法错误的是（ C ）
A. k＞0，b＞0
B. 关于x的方程kx＋b＝3的解是x＝－1
C. 关于x的不等式kx＋b＜－2x＋1的解集是x＜3
D. 关于x的不等式kx＋b≥3的解集是x≥－1
C
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8. （易错题）如图，函数y1＝｜x｜和y2＝ x＋ 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点.当y1＞y2时，x的取值范围是（ D ）
A. x＜－1 B. x＞2
C. －1＜x＜2 D. x＜－1或x＞2
D
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9. 如图，小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，相交于点P的两条线段l1，l2分别表示小敏、小聪到B地的距离y（km）与已用时间x（h）之间的关系，则小敏行走的速度 ＞ 小聪行走的速度（填“＞”或“＜”）；出发 1.6 h后，小敏到A地的距离大于小聪到A地的距离.
＞
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10. 为促进生产，某公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题：
（1） 直接写出员工生产多少件产品时，两种方案的报酬一样多；
解：（1） 员工生产30件产品时，两种方案的报酬一样多
第10题
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（2） 求方案二中的y（元）关于x（件）的函数表达式；
解：（2） 设y＝kx＋b（k≠0）.将（0，600），（30，1200）代入，得 解得 ∴ 方案二中的y（元）关于x（件）的函数表达式为y＝20x＋600
第10题
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（3） 如果你是劳务服务部门的工作人员，那么你会如何指导员工根据自己的生产能力选择方案？
解：（3） 由两函数图象交于点（30，1200）可知，若0＜x＜30，则选择方案二；若x＝30，则两种方案都可以；若x＞30，则选择方案一
第10题
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11. 如图，水平放置的容器内原来水面高210毫米，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面上升4毫米，每放入一个小球水面上升3毫米（放入容器中的所有球完全浸入且水不溢出）.设水面高为y毫米.
第11题
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（1） 只放入大球，设大球的个数为x，求y关于x的函数表达式（不必写出x的取值范围）.
解：（1） 由题意，得y＝4x＋210.∴ y关于x的函数表达式为y＝4x＋210
第11题
（2） 放入6个大球后，开始放入小球，设小球的个数为m.
① 求y关于m的函数表达式（不必写出m的取值范围）；
② 限定水面高不超过260毫米，则最多能放入几个小球？
解：（2） ① 当x＝6时，y＝4×6＋210＝234.∴ y＝3m＋234.
∴ y关于m的函数表达式为y＝3m＋234 ② 由题意，得3m＋234≤260，解得m≤8 .∵ m为正整数，∴ m的最大值为8.∴ 最多能放入8个小球
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11(共17张PPT)
第二章 不等式与不等式组
4 一元一次不等式组
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
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1. （2025·山西）不等式组 的解集是（ C ）
A. x＜2 B. x≥3
C. 2＜x≤3 D. 无解
C
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2. 不等式组 的解集在数轴上表示为（ A ）
A
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3. 若不等式组只有一个整数解，且其中一个不等式为3x－2＜1，则另一个不等式可能为（ D ）
A. 1－2x≤3 B. 1－x≤2x－2
C. 3（2－x）＜6 D. ＞1
D
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4. 若点M（m＋3，m－1）在第四象限，则m的取值范围是 －3＜m＜1 .
5. （易错题）不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是 m≤3 .
6. 不等式 x－1≤7－ x与5x＋2＞3（x－1）的解集的公共部分是 － ＜x≤4 .
－3＜m＜1
m≤3
－ ＜
x≤4
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（1）
解：解不等式①，得x＜2.解不等式②，得x＞3.∴ 不等式组无解.解集在数轴上表示出来如图①所示
（2） （2025·自贡）
解：解不等式①，得x＞－1.解不等式②，得x＜2.∴ 不等式组的解集为－1＜x＜2.解集在数轴上表示出来如图②所示
7. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
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（3）
解：解不等式①，得x＞2.解不等式②，得x＞1.∴ 不等式组的解集为x＞2. 解集在数轴上表示出来如图③所示
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（4）
解：解不等式①，得x＜ .解不等式②，得x≥－2.∴ 不等式组的解集为－2≤x＜ .解集在数轴上表示出来如图④所示
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8. 解不等式组 将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最小整数解.
解：解不等式①，得x≤3.解不等式②，得x＞－2.∴ 不等式组的解集为－2＜x≤3.解集在数轴上表示如图所示.不等式组的最小整数解为－1
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9. 已知4＜m＜5，则关于x的不等式组 的整数解共有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 若关于x的不等式组 无解，则m的值可能为（ A ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
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11. 已知关于x的不等式组 有以下说法：① 如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4；② 当a＝1时，它无解；③ 如果它有解，那么a≥2；④ 如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5.其中，说法正确的有 ①②④ （填序号）.
12. 如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程.若方程 x－1＝0是关于x的不等式组 的关联方程，则n的取值范围是 1≤n＜3 .
①②④
1≤n＜3
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13. 解不等式组 ≤ ＜ ，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解.
解：根据题意，得 解不等式①，得x≥2.解不等式②，得x＜5.∴ 不等式组的解集为2≤x＜5.解集在数轴上表示出来如图所示.不等式组的整数解为2，3，4
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14. 某县著名传统土特产“豆笋”“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱.已知2件豆笋和3件豆干的进价为240元，3件豆笋和4件豆干的进价为340元.
（1） 分别求出每件豆笋、豆干的进价；
解：（1） 设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元.由题意，得 解得 ∴ 每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元
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（2） 某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的 ，该特产店有哪几种进货方案？
解：（2） 设购进豆笋a件，则购进豆干（200－a）件.由题意，得 解得120≤a≤122.∵ a为正整数，∴ a可取的值为120或121或122.∴ 该特产店有以下3种进货方案：当a＝120时，200－a＝80，即购进豆笋120件，购进豆干80件；当a＝121时，200－a＝79，即购进豆笋121件，购进豆干79件；当a＝122时，200－a＝78，即购进豆笋122件，购进豆干78件
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15. 已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数.
（1） 用含m的式子分别表示x，y；
解：（1） 由①＋②，得2x＝2m－6，解得x＝m－3.由①－②，得2y＝－4m－8，解得y＝－2m－4
（2） 求m的取值范围；
解：（2） ∵ x为非正数，∴ m－3≤0，解得m≤3.∵ y为负数，∴ －2m－4＜0，解得m＞－2.∴ m的取值范围是－2＜m≤3
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（3） 化简｜m－3｜－｜m＋2｜.
解：（3） ∵ －2＜m≤3，∴ ｜m－3｜－｜m＋2｜＝－（m－3）－（m＋2）＝－2m＋1
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第二章 不等式与不等式组
3 一元一次不等式与一次函数
第2课时 一元一次不等式与一次函数的应用
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基础过关
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能力进阶
03
思维拓展
目
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1. 某图书馆阅览室出售会员卡，每张会员卡60元，只限本人使用，凭会员卡入场每次1元，不凭会员卡入场每次3元，要使购买会员卡比不购买会员卡更合算，则（ B ）
A. 入场少于30次 B. 入场多于30次
C. 入场少于20次 D. 入场多于20次
B
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2. 一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用/元 每次游泳收费/元
A类 50 25
B类 200 20
C类 400 15
若一年内在该游泳馆游泳的次数在40和50之间，则最省钱的方式为（ C ）
C
A. 购买A类会员年卡
B. 购买B类会员年卡
C. 购买C类会员年卡
D. 不购买会员年卡
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3. 阳光中学的师生要去外地参加夏令营活动.车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择.第一种方案是老师按原价付款，学生按原价的七五折付款；第二种方案是老师和学生都按原价的八折付款.已知该校有6位老师参加活动，且原票价是每人40元.若参加夏令营的学生有x名，所需票款为y元，则第一种方案中y与x之间的函数表达式为 y＝30x＋240 ，第二种方案中y与x之间的函数表达式为 y＝32x＋192 .当学生人数 大于24 时，第一种方案更合算.
y＝30x＋240
y＝32x＋192
大于24
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4. （教材变式）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的六折售卖；乙超市全部按标价的八折售卖.
（1） 若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购买金额为 300 元，在乙超市的购买金额为 240 元；
300
240
（2） 假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
解：设购买x件这种文化用品.当0＜x≤40时，在甲超市的购买金额为10x元，在乙超市的购买金额为0.8×10x＝8x（元）.∵ 10x＞8x，∴ 选择乙超市支付的费用较少.当x＞40时，在甲超市的购买金额为400＋0.6（10x－400）＝（6x＋160）元，在乙超市的购买金额为0.8×10x＝8x（元）.若6x＋160＞8x，则x＜80；若6x＋160＝8x，则x＝80；若6x＋160＜8x，则x
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＞80.综上所述，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，两家超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少
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5. 某商店举行促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（二选一）.已知小敏在活动前不是该商店的会员，本次商品原总价为x元.
方案一：花费120元购买会员卡，之后若商品总价在800元以内（包括800元），则直接按商品总价的八五折结算；若商品总价超过800元，则直接按商品总价的七五折结算.
方案二：不购买会员卡，一律按商品总价的九五折结算.
（1） 当x＝500时，分别求出两种方案的最终结算价.
解：（1） 当x＝500时，方案一的最终结算价为120＋500×0.85＝545（元），方案二的最终结算价为500×0.95＝475（元）
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（2） 当x≤800时，选择两种方案的最终结算价是否可能相等？并说明理由.
解：（2） 选择两种方案的最终结算价不可能相等 理由：当x≤800时，若选择两种方案的最终结算价相等，则120＋0.85x＝0.95x，解得x＝1200，与x≤800不符，∴ 当x≤800时，选择两种方案的最终结算价不可能相等.
（3） 若采用方案一更合算，直接写出此时x的取值范围.
解：（3） 此时x的取值范围是x＞800
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6. 在全民健身越野赛中，甲、乙两名选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示，有下列说法：① 第1时两人都跑了10千米；② 起跑1时后，甲在乙的后面；③ 在起跑后的0.5～1.5时内，甲比乙跑得慢；④ 乙比甲先到达终点.其中，正确的有（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
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7. 如图，l1反映了甲到A地的距离与乙离开A地的时间之间的关系，l2反映了乙到A地的距离与乙离开A地的时间之间的关系，根据图象填空：
（1） 当时间为2h时，甲离A地 15 km，乙离A地 10 km.
（2） 当t＝ 4 时，甲、乙两人离A地的距离相等.
（3） 当t满足 0＜t＜4 时，甲在乙的前面；当t满足 t＞4 时，乙在甲的前面.
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0＜t＜4
t＞4
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8. （教材变式）直播带货成为当下网络销售主要渠道之一，某服装直播带货平台针对某款防晒衣开展促销活动，该款防晒衣每件售价为100元.小明和几名同学都喜欢这款防晒衣，打算一起购买x件，且x＞3.该服装直播带货平台开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案，方案一：所购防晒衣一律打九折；方案二：所购防晒衣超出三件的，则超出三件以上的部分打八五折.
（1） 若按方案一购买，同学们需付款 90x 元；若按方案二购买，同学们需付款 （85x＋45） 元（用含x的式子表示）.
90x
（85x＋45）
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（2） 请通过计算说明按照哪种方案购买更划算？
解：根据题意，得当90x＞85x＋45时，x＞9；当90x＝85x＋45时，x＝9；当90x＜85x＋45时，x＜9，∴ 当3＜x＜9时，同学们按照方案一购买更划算；当x＝9时，同学们按照方案一和方案二购买费用一样；当x＞9时，同学们按照方案二购买更划算
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9. 某商店销售10台A型电脑和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型电脑和10台B型电脑的利润为3500元.
（1） 求每台A型电脑和每台B型电脑的销售利润.
解：（1） 设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元.由题意，得 解得 ∴ 每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元
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① 求y与x之间的函数表达式；
② 该商店购进A型电脑、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？
解：（2） ① 由题意，得购进B型电脑（100－x）台，则y＝100x＋150（100－x）＝－50x＋15000 ② 由题意，得100－x≤2x，解得x≥33 .∵ －50＜0，∴ y随x的增大而减小.∵ x为正整数，∴ 当x＝34时，y取得最大值，此时100－x＝66.∴ 该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售利润最大
（2） 该商店计划购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为y元.
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（3） 实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（50＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售利润最大的进货方案.
解：（3） 由题意，得y＝（100＋m）x＋150（100－x）＝（m－50）x＋15000.∵ 50＜m＜100，∴ m－50＞0.∴ y随x的增大而增大.∵ 33 ≤x≤70，
∴ 当x＝70时，y取得最大值，此时100－x＝30.∴ 使这100台电脑销售利润最大的进货方案为购进A型电脑70台，B型电脑30台
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