(共10张PPT)
第三章 图形的平移与旋转
1 图形的平移
第1课时 平移的定义与性质
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. 下列运动属于平移的是（ C ）
A. 推开教室的门
B. 正在行驶的汽车后轮
C. 飞机在地面上沿直线滑行
D. 风筝在空中随风运动
C
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2. 下列平移作图错误的是（ C ）
3. （2025·凉山）如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为 24 .
C
24
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4. 如图，在长方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，则△EDC可以看作是由 △OAB 平移得到的，平移的距离是线段 AD 的长.（第二空答案不唯一）
△OAB
AD
（第二空答案不唯一）
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5. （教材变式）如图，在方格内将△ABC经过平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'.
（1） 补全△A'B'C'；
（2） 线段AA'，BB'的关系是 平行且相等 ；
平行且相等
（3） △ABC的面积为 8 .
解：（1） 如图，△A'B'C'即为所求
8
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6. （新考法·操作实践题）如图，通过平移就能到达涂色部分位置的其他图形共有（ A ）
A. 3块 B. 4块 C. 5块 D. 6块
A
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7. （易错题）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H. 已知CH＝2cm，EF＝5cm，则涂色部分的面积为（ B ）
A. 6cm2 B. 8cm2 C. 12cm2 D. 16cm2
B
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8. 如图，在宽为13米、长为24米的长方形地面上修筑同样2米宽的道路（图中涂色部分），其余部分为草坪，则草坪的面积为 242 平方米.
242
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9. （教材变式）如图，把△ABC沿射线AM方向平移，平移的距离与线段AB的长度相等，请你画出△ABC平移后得到的△DEF，保留作图痕迹，并说出你的作图方法.
解：如图，△DEF即为所求
方法如下：① 在射线AM上截取线段AD＝AB；② 作射线BE∥AD，在射线BE上截取BE＝AB；③ 作射线CF∥AD，在射线CF上截取CF＝AB；④ 连接DE，EF，FD，则△DEF即为所求
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第三章 图形的平移与旋转
2 图形的旋转
第1课时 旋转的概念与性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 有以下现象：① 荡秋千；② 雪橇在雪地里滑动；③ 电梯的上升与下降；④ 雨刮器来回摆动.其中，属于旋转的是（ D ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
D
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2. 如图，把一块含30°角的三角尺OAB沿一条直角边OB翻折到△OCB的位置，然后沿斜边OC翻折到△OCD的位置，从△OAB到△OCD，下列说法正确的是（ B ）
A. 将△OAB绕点O按顺时针旋转60°得到
B. 将△OAB绕点O按逆时针旋转60°得到
C. 将△OAB绕点O按顺时针旋转90°得到
D. 将△OAB绕点O按逆时针旋转90°得到
B
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3. 在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则旋转的角度为（ C ）
A. 30° B. 45° C. 90° D. 135°
C
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4. 如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝ .将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A'OB'，连接AA'，则线段AA'的长为 .
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5. 如图，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转100°，得到△DBE，点D恰好落在AC的延长线上，则∠CDE的度数是 80° .
80°
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6. （教材变式）如图，△ABE为等腰直角三角形，按顺时针方向旋转后得到△FDG，其中四边形ABCD为正方形.
（1） 旋转中心为哪个点？旋转角为多少度？
解：（1） 旋转中心为点C，旋转角为90°
第6题
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（2） 指出∠E的对应角及BE的对应边.
解：（2） 由（1），得∠E的对应角为∠G，BE的对应边为DG
第6题
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7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝5cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转至△AB'C'的位置，点B的对应点为B'，点C的对应点为C'.
（1） 求旋转角的度数；
解：（1） ∵ ∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴ ∠BAC＝60°.
∵ 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转至△AB'C'的位置，∴ AB'＝AB，旋转角为∠B'AC'＝∠BAC＝60°
第7题
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（2） 连接BB'，求△ABB'的周长.
解：（2） ∵ ∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝5cm，∴ AB＝2AC＝10cm.由（1），知∠B'AC'＝60°，AB'＝AB，∴ △ABB'是等边三角形.∴ △ABB'的周长是3AB＝30cm
第7题
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8. 如图，△ABC为等边三角形，点D在边BC上，∠BAD＝15°，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转得到△ACE，则旋转角的度数为（ D ）
A. 15° B. 35°
C. 45° D. 60°
D
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9. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A'按逆时针方向旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，则平移的距离为（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
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10. 如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的度数为 56° .
56°
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11. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，将线段AP绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AQ，连接CP，BP，BQ. 若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为 24＋9 .
24＋9
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12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为旋转中心，将线段AD按顺时针方向旋转α得到线段AE，连接BE，DE.
（1） 比较∠BAE与∠CAD的大小，并说明理由；
解：（1） ∠BAE＝∠CAD 理由：由旋转，得∠DAE＝∠BAC＝α，∴ ∠DAE－∠BAD＝∠BAC－∠BAD，即∠BAE＝∠CAD.
第12题
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（2） 用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并给出证明.
解：（2） BM＝BE＋MD 由旋转，得AE＝AD. 在△ABE和△ACD中，∵
∴ △ABE≌△ACD. ∴ BE＝CD. ∵ M为BC的中点，∴ BM＝CM. ∵ CM＝CD＋MD，∴ BM＝BE＋MD
第12题
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13. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上一点，且CE＝ BC，F是BA延长线上一点，且AF＝CE.
（1） △ADF能否通过△CDE旋转得到？若能，请说明理由并写出旋转方法.
解：（1） 能 理由：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD，∠DAB＝∠C＝90°.∴ ∠DAF＝180°－90°＝90°.∴ ∠DAF＝∠C. 在△ADF和△CDE中，
∵ ∴ △ADF≌△CDE. 又∵ D为△ADF和
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第13题
△CDE的公共顶点，∴ △ADF能通过△CDE旋转得到. 旋转方法：以点D为旋转中心，把△CDE按顺时针方向旋转90°，得到△ADF
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（2） 判断△DEF的形状并说明理由.
解：（2） △DEF为等腰直角三角形 理由：由（1），知△ADF≌△CDE，∴ ∠ADF＝∠CDE，DE＝DF.
∵ ∠CDE＋∠EDA＝90°，∴ ∠ADF＋∠EDA＝90°，即∠EDF＝90°.∴ △DEF是等腰直角三角形.
第13题
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（3） 求线段EF的长度.
解：（3） ∵ CE＝ BC，BC＝4，∴ AF＝CE＝1.∴ BE＝3，BF＝5.∴ 由勾股定理，得EF＝ ＝
第13题
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第三章 图形的平移与旋转
小专题（七） 与旋转有关的常见题型
类型一 与旋转有关的角度问题
1. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E，点B恰好在AE边上，且点D在CB的延长线上，连接CE. 若∠ABC＝110°，则∠DAE的度数是（ B ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 70°
B
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2. 如图，△AED绕点E按顺时针方向旋转至△BEC，连接AB. 若∠ABE＝65°，∠BAD＝30°，则∠CBE的度数为 35° .
35°
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类型二 与旋转有关的线段问题
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，点B，C的对应点分别为B'，C'，AB'与BC相交于点D，当B'C'∥AB时，CD的长为 .
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4. 如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D在边BC的延长线上且CD＝1，连接AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转60°得到线段DE，连接AE，则DE的长为 .
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5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为 3 .
3
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类型三 与旋转有关的坐标问题
6. 如图，在Rt△BOC中，OC在y轴上，∠C＝90°，∠COB＝30°，OB＝4，把Rt△BOC绕点O逆时针旋转90°，则点B旋转后的坐标是 （－2 ，2） .
（－2 ，
2）
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7. 如图，△AOB为等腰三角形，AO＝AB，顶点A的坐标（2， ），底边OB在x轴上.先将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上；再将△A'O'B绕点A'按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O″B'，点O'的对应点O″在x轴上，则点B'的坐标为 .
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类型四 与旋转有关的规律问题
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第二象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2025次旋转后，点B的坐标为 （2 ，－6） .
（2 ，－6）
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9. 如图，点A的坐标为（－1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续滚动2024次，点A依次落在点A1，A2，A3，…，A2024的位置，则点A2024的坐标为 （3035，2） .
（3035，2）
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第三章 图形的平移与旋转
3 简单的图案设计
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. 下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是（ D ）
D
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2. 如图，关于下列图片的变换顺序，描述正确的是（ A ）
A. 轴对称，平移，旋转 B. 旋转，轴对称，平移
C. 轴对称，旋转，平移 D. 平移，旋转，轴对称
A
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3. 如图，以图①（以点O为圆心、1个单位长度为半径的半圆）为基本图形，分别经历下列变换：① 向右平移1个单位长度；② 先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度；③ 先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位长度；④ 绕着OB的中点旋转180°.其中，能得到图②的有 ②③④ （填序号）.
②③④
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4. 如图所示为某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕点O按顺时针方向依次旋转90°，180°，270°，并画出每次旋转后得到的图形.
解：如图所示
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5. （教材变式）如图所示的雪花图案是由一个“基本图形”经过旋转得到的，下列四个图形中，不能作为“基本图形”的是（ D ）
D
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6. 下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：（只填序号）
（1） 可以平移但不能旋转的是 ①④ ；
（2） 可以旋转但不能平移的是 ②⑤ ；
（3） 既可以平移，又可以旋转的是 ③ .
①④
②⑤
③
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7. 利用旋转分析如图所示的图案，并设计一些你喜欢的图案.
解：记图①②③的中心为点O. 图①是由基本图形 绕点O按顺时针方向（或按逆时针方向）依次旋转72°，144°，216°，288°得到的；图②是由基本图形 绕点O按顺时针方向（或按逆时针方向）依次旋转90°，180°，270°得到的；图③是由基本图形 绕点O按顺时针方向（或按逆时针方向）依次旋转90°，180°，270°得到的 设计的图案如答案图所示（答案不唯一）
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7(共21张PPT)
第三章 图形的平移与旋转
第三章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 图形的平移与旋转
1. 如图，有下列说法：① △DEF可由△ABC沿AD方向平移一定的距离得到；② △DEF可由△BAC绕点N按顺时针方向旋转一定的角度得到；③ △DEF可由△BCA沿MN所在的直线翻折得到.其中，正确的有（ C ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
第1题
C
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2. 将点M（m，1－n）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，与点N（－2，3）重合，则m＋n的值为（ B ）
A. 0 B. －1 C. －2 D. －3
3. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝40°.将△ABC绕着点B按逆时针方向旋转得△DBE，其中AC∥BD，BF，BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG的度数为 70° .
B
70°
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4. 如图，八边形①是如何平移到八边形②的位置的？把图中的三角形③绕点A按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形.
解：八边形①平移到八边形②的位置，可以先向右平移4格，再向下平移5格（平移方法不唯一） 如图所示
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考点二 中心对称图形与旋转对称图形
5. （2025·福建）下列分别是“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是（ D ）
D
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6. 如图，图①按 顺时针或逆时针 方向至少旋转 90° 可与本身重合，图②按 顺时针或逆时针 方向至少旋转 180° 可与本身重合.
顺时针或逆时针
90°
顺时针或逆时针
180°
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7. 如图，把下列符合要求的图形的序号填入对应的圈内.
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考点三 图形变换作图
8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－3，4），B（－4，2），C（－2，1）.
（1） 若△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标是 （3，－4） ；
解：（1） 如图，△A1B1C1即为所求
（3，－4）
（2） P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点P2的坐标为（a＋3，b＋1），请画出平移后的△A2B2C2.
解：（2） 如图，△A2B2C2即为所求
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9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD⊥BC于点D. △ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是（ B ）
A. 140° B. 130° C. 120° D. 110°
B
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10. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P. 若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为（ A ）
A. （－4，－5） B. （－5，－4）
C. （－3，－4） D. （－4，－3）
A
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11. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴的正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C按逆时针方向旋转90°，再向左平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为 （－2，2） .
（－2，2）
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12. 如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则涂色部分的面积为 16 .
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13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当旋转角α的度数为 40°或20° 时，△ADF是等腰三角形.
40°或20°
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14. 如图①②所示为在4×4的方格纸中设计的两种不同图案的一部分.请将图①中的图案补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，将图②中的图案补成中心对称图形，并在图③中设计一个图案，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形.
解：答案不唯一，如图所示
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15. 小明在玩一副三角尺时发现：含45°角的三角尺的斜边可与含30°角的三角尺的较长直角边完全重合，如图①，即△C'DA'的顶点A'，C'分别与△BAC的顶点A，C重合.现在，他让△C'DA'固定不动，将△BAC通过变换使斜边BC经过△C'DA'的顶点D.
（1） 如图②，将△BAC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），使边BC经过点D，则α＝ 15° .
（2） 如图③，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使边BC经过点D. 求证：BC∥A'C'.
15°
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解：（2） 过点A作AH⊥BC于点H，∴ ∠AHD＝90°.∵ ∠C＝30°，∴ AH＝ AC. 由题意，得AD＝DC'，∠ADC'＝90°，∴ 由勾股定理，得AD2＋DC'2
＝A'C'2，即AD2＋AD2＝2AD2＝A'C'2.∴ AD＝ A'C'＝ AC. ∴ 在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH＝ ＝ AC. ∴ AH＝DH.
∴ ∠HDA＝45°.∴ ∠HDA＝∠DA'C'＝45°.∴ BC∥A'C'
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（3） 如图④，若AB＝ ，将△BAC沿射线A'C'的方向平移 m个单位长度，使边BC经过点D，求m的值.
解：（3） 过点D作DP⊥AC于点P，
∴ ∠DPC＝90°.∵ AB＝ ，∠C＝30°，∴ BC＝2AB＝2 ，DC＝2DP. ∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ .∴ A'C'＝ .
∵ ∠DC'P＝45°，∴ ∠PDC'＝45°.
∴ ∠PDC'＝∠PC'D. ∴ DP＝C'P.
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在△A'DC'中，A'D＝C'D，DP⊥A'C'，∴ PC'＝ A'C'.∴ PC'＝DP＝ A'C'＝ .∴ DC＝2DP＝ .
∴ 在Rt△DCP中，由勾股定理，得PC＝ ＝ .∴ CC'＝PC－PC'＝ ，即m的值为
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第三章 图形的平移与旋转
2 图形的旋转
第2课时 旋转变换与画图
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 在正方形网格中有△ABC，△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的图案应该是（ A ）
A
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2. 如图，将线段AB绕点A旋转，下列各点能落到线段AB上的是（ A ）
A. C B. D C. E D. F
A
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3. 下列图形中，图形 ④ 是由如图①所示的图形绕点P按逆时针方向旋转90°得到的；图形 ② 是由如图①所示的图形绕点P旋转180°得到的（填序号）.
④
②
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4. 在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：
（1） 将△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°得到的△A1B1C1；
解：（1） 如图，△A1B1C1即为所求
（2） 将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2.
解：（2） 如图，△A2B2C2即为所求
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5. 如图，在方格纸中，线段AB绕某个点旋转一定角度得到线段CD，其中点A，B，C，D都在格点上，点A的对应点是C（每个小正方形的边长均表示1）.
（1） 利用直尺、量角器等工具标出旋转中心点O，写出你的方法，保留作图痕迹；
解：（1） 如图，点O即为所求 ∵ 点A的对应点是C，∴ 点B的对应点是D. 方法如下：① 连接AC，作线段AC的垂直平分线a；② 连接BD，作线段BD的垂直平分线b；③ 直线a，b的交点标为O，即旋转中心点O
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（2） 连接OB，OD，判断△BOD的形状，并说明理由.
解：（2） △BOD为等腰直角三角形 理由：如图，记BD的中点为M. ∵ 点O在线段BD的垂直平分线上，∴ OB＝OD，OC平分∠BOD. ∴ ∠BOM＝∠DOM. ∵ OM⊥BD，BM＝OM＝ ＝ ，∴ ∠BOM＝45°.
∴ ∠BOD＝∠BOM＋∠DOM＝2∠BOM＝90°.∴ △BOD为等腰直角三角形.
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6. 如图，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的四边形AEFG可以看成把四边形ABCD以点A为旋转中心（ B ）
A. 按顺时针方向旋转60°得到的
B. 按顺时针方向旋转120°得到的
C. 按逆时针方向旋转60°得到的
D. 按逆时针方向旋转120°得到的
B
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7. 如图，在带有平面直角坐标系的正方形网格中，将格点三角形ABC绕某点按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）得到格点三角形A1B1C1，A与A1，B与B1，C与C1是对应点.找出旋转中心的坐标为 （3，1） ，旋转角α的度数为 90° .
（3，1）
90°
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8. （教材变式）如图，△ABC是等边三角形，D为边BC上一点，且CD＝ BC. 将△ABC绕点D按逆时针方向旋转80°，画出旋转后得到的△EFG（点A的对应点是E，点B的对应点是F，点C的对应点是G），并写出你的画法.
第8题答案
解：如图，△EFG即为所求 画法如下：① 连接DA，以D为顶点，在DA的左侧作∠ADN＝80°，并在射线DN上截取DE＝DA；② 以D为顶点，在DB的下面作∠BDM＝80°，并在射线DM上截取DF＝DB；③ 以D为顶点，在DC的上面作∠CDP＝80°，并在射线DP上截取DG＝DC；④ 顺次连接EF，FG，GE，则△EFG即为△ABC绕点D按逆时针方向旋转80°得到的
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9. 如图，在方格纸中按要求画图，并完成解答.
（1） 画出线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
解：（1） 如图所示
（2） 画出与△AOB关于直线OB成轴对称的图形，点A的对应点是C；
解：（2） 如图所示
（3） 求∠OCB的度数.
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解：（3） ∵ 线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°后得到线段OB，∴ OB＝OA，∠AOB＝90°.∴ ∠OAB＝45°.∵ △COB与△AOB关于直线OB成轴对称，∴ ∠OCB＝∠OAB＝45°
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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，EC＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到线段CF，连接EF.
（1） 将图形补充完整；
解：（1） 如图所示
（2） 若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°.
第10题答案
解：（2） 由旋转，得DC＝FC，∠DCF＝90°.又∵ ∠ACB＝90°，
∴ ∠DCF＝∠ACB. ∴ ∠DCF－∠DCE＝∠ACB－∠DCE，即∠ECF＝∠BCD. ∵ EF∥CD，∴ ∠F＝180°－∠DCF＝
90°.在△BDC和△EFC中，∵ ∴ △BDC≌△EFC. ∴ ∠BDC＝∠F＝90°
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第三章 图形的平移与旋转
2 图形的旋转
第3课时 中心对称
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基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
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1. （新情境·现实生活）（2025·内蒙古）下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ B ）
B
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2. 如图，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N，AN，BC的延长线相交于点P，连接BN. 下列三角形中，与△NCP成中心对称的是（ D ）
A. △NCB B. △BMN
C. △AMN D. △NDA
D
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3. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线c关于点O成中心对称，点A的对应点是A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D. 若OB＝3，OD＝2，则涂色部分的面积之和为 6 .
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4. 当一个图形在旋转中第一次与自身重合时，我们称此图形转过的角度为旋转对称角，如图，将图①②③按旋转对称角从小到大的顺序排列是 ③①② .
③①②
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5. 如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你利用两种不同的方法找到对称中心点O的位置，并写出你的方法.
解：如答案图，点O即为所求 方法不唯一，如方法一：如图①，连接BE，取线段BE的中点O，则点O即为对称中心 方法二：如图②，连接AD，CF，两线段相交于点O，则点O即为对称中心
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6. （新考法·操作实践题）如图，网格中每个小正方形的边长均表示1，请你认真观察图甲中的三个网格中涂色部分构成的图案，解答下面的问题：
（1） 这三个图案都具有以下共同特征：都是 中心 对称图形，都不是 轴 对称图形；
（2） 请在图乙中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图甲中所给出的图案相同.
解：（2） 答案不唯一，如图所示
中心
轴
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7. 如图，涂色部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O成中心对称的图形.若点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），点M的坐标为（a，b），点N的坐标为（c，d），则a＋c的值为（ B ）
A. －3 B. －2 C. 3 D. 5
B
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8. 如图，两个全等的“心形”有一个公共点O，且点C，O，E在同一条直线上，OC＝OE＝OD，有下列说法：① 这两个“心形”关于点O成中心对称；② C，E是以点O为对称中心的一组对称点；③ 这两个“心形”组成的图形是轴对称图形，对称轴是过点O且与直线AB垂直的直线和直线AB；④ 若把这两个“心形”看成一个整体，则它是一个中心对称图形.其中，正确的是 ①②③④ （填序号）.
①②③④
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9. 如图，将△ABC绕其中一个顶点按顺时针方向连续旋转n1°，n2°，n3°后，所得到的三角形和△ABC的对称关系是 关于旋转中心成中心对称 .
关于旋转中心成中心对称
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10. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，2），B（0，5），C（0，2）.
（1） 在方格纸中作△A1B1C，使它与△ABC关于点C成中心对称.
解：（1） 如图，△A1B1C即为所求
（2） 平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为（－4，－6），点B的对应点为B2，点C的对应点为C2，画出平移后对应的△A2B2C2.
解：（2） 如图，△A2B2C2即为所求
（3） △A1B1C与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，找出对称中心；若不成中心对称，请说明理由.
解：（3） 如图，连接A1A2，B1B2，CC2，相交于点P，∴ △A1B1C与△A2B2C2关于点P成中心对称，对称中心为点（－1，－2）
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11. 如图，在△ABC中，以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A'B'C的位置，其中A'，B'分别是点A，B的对应点，且点B'在边AB上，按照上述方法将△A'B'C旋转同样的角度……这样共旋转四次，恰好构成一个旋转对称图形.
（1） 求∠BCB'的度数；
解：（1） 由图，易得∠BCB'＝360°÷5＝72°
第11题
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（2） 判断△BCB'的形状.
解：（2） ∵ △ABC旋转到△A'B'C的位置，∴ CB＝CB'.∴ △BCB'是等腰三角形
第11题
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第三章 图形的平移与旋转
小专题（八） 旋转中的几何模型
类型一 “手拉手”模型
1. 如图，△ABC与△DEC都是等边三角形，直线BE与直线AD交于点M，点D，E不在△ABC的边上.
（1） 如图①，求证：AD＝BE.
解：（1） ∵ △ABC与△CDE都是等边三角形，∴ BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴ ∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，即∠BCE＝∠ACD. 在△BCE和△ACD中，
∵ ∴ △BCE≌△ACD.
∴ BE＝AD
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（2） 若CD＜BC，将△DEC绕着点C逆时针旋转，在这个运动过程中，∠AMB的大小是否发生变化？若不变，在图②的情况下求出∠AMB的度数；若变化，请说明理由.
解：（2） 不变 ∵ △ABC与△CDE都是等边三角形，∴ BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴ ∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，即∠BCE＝∠ACD.
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在△BCE和△ACD中，
∵ ∴ △BCE≌△ACD.
∴ ∠EBC＝∠DAC. ∵ ∠EBC＋∠ABM＝∠ABC＝60°，∴ ∠MAC＋∠ABM＝60°.∴ ∠AMB＝180°－（∠BAC＋∠MAC＋∠ABM）＝60°
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类型二 “半角”模型
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2. 已知在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于点E，F.
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当∠MBN绕点B旋转到AE＝CF时（如图①），易证：AE＋CF＝EF. （不必证明）
（1） 当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，在图②的情况下，求证：AE＋CF＝EF.
解：（1） 略
（2） 当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，在图③的情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明.
解：（2） 不成立 EF＝AE－CF 证明略
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类型三 “对角互补”模型
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3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠EDF＝90°，AC＝BC，AB＝8，D为AB的中点，若∠EDF绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则有下列说法：① AE＝CF；② EC＋CF＝ AD；③ DE＝DF；④ 若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值.其中，正确的有 ①②③④ （填序号）.
①②③④
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4. 已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E.
（1） 如图①，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想OD＋OE与OC的数量关系，并说明理由.
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解：（1） OD＋OE＝ OC 理由：∵ OM是∠AOB的平分线，∴ ∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB＝30°.∵ CD⊥OA，∴ ∠ODC＝90°.∴ ∠OCD＝60°.∴ ∠OCE＝∠DCE－∠OCD＝60°.在Rt△OCD中，设CD＝x，则OC＝2x.由勾股定理得OD＝ x，∴ OD＝ OC. 同理可得OE＝ OC，
∴ OD＋OE＝ OC.
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解：（2） （1）中的结论仍然成立 理由：如图②，过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G. ∴ ∠OFC＝∠OGC＝90°.∵ ∠AOB＝60°，
∴ ∠FCG＝120°.由（1）知，OF＝ OC，OG＝ OC，∴ OF＋OG＝
（2） 当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图②的位置，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.
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（3） 如图③，当∠DCE绕点C旋转到点D位于OA的反向延长线上时，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明.
解：（3） OE－OD＝ OC
OC. ∵ CF⊥OA，CG⊥OB，且C是∠AOB的平分线OM上一点，∴ CF＝CG. ∵ ∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴ ∠FCG－∠DCG＝∠DCE－∠DCG，即∠DCF＝∠ECG. ∴ 易得△CFD≌△CGE. ∴ DF＝EG. ∴ OF＝OD＋DF＝OD＋EG，OG＝OE－EG. ∴ OF＋OG＝OD＋EG＋OE－EG＝OD＋OE. ∴ OD＋OE＝ OC.
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4(共17张PPT)
第三章 图形的平移与旋转
1 图形的平移
第2课时 图形的平移变换与点的坐标变化（1）
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基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·陕西）在平面直角坐标系中，过点（1，0），（0，2）的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ B ）
A. （1，－3） B. （1，3）
C. （－3，2） D. （3，2）
2. 在平面直角坐标系中，已知点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段CD，若点A的对应点C的坐标是（－1，2），则点B的对应点D的坐标是（ A ）
A. （1，2） B. （2，－1）
C. （9，2） D. （2，1）
B
A
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3. 如图，点A，B的坐标分别为（1，2），（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为（ C ）
A. （2，2） B. （4，3）
C. （4，2） D. （3，2）
C
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4. （教材变式）在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比，向 左 平移了 3 个单位长度.
5. （易错题）已知点A（－2，－1），将点A沿y轴方向平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标为 （－2，1）或（－2，－3） .
6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点的坐标分别为A（6，3），B（6，0），O（0，0）.若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE，则点A的对应点C的坐标是 （3，3） .
左
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（－2，1）或（－2，－3）
（3，3）
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7. 如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移得到△ECD. 若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 （4，3） .
（4，3）
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8. 五边形ABCDE在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1） 直接写出五边形ABCDE各顶点的坐标；
解：（1） A（4，5），B（6，6），C（10，6），D（12，5），E（8，2）
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（2） 将五边形ABCDE向上平移2个单位长度，得到五边形A1B1C1D1E1，写出平移后各顶点的坐标；
解：（2） 将五边形ABCDE向上平移2个单位长度，平移后各顶点的纵坐标比原图形各顶点的纵坐标大2，横坐标不变，即A1（4，7），B1（6，8），C1（10，8），D1（12，7），E1（8，4）
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（3） 将五边形A1B1C1D1E1向左平移5个单位长度，得到五边形A2B2C2D2E2，写出平移后各顶点的坐标.
解：（3） 将五边形A1B1C1D1E1向左平移5个单位长度，平移后各顶点的横坐标比原图形各顶点的横坐标小5，纵坐标不变，即A2（－1，7），B2（1，8），C2（5，8），D2（7，7），E2（3，4）
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9. 对于点A（2，m）与点B（2，m－5），下列说法不正确的是（ D ）
A. 将点A向下平移5个单位长度可得到点B
B. A，B两点间的距离为5
C. 点A到y轴的距离为2
D. 直线AB与x轴平行
D
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10. （新考法·操作实践题）如图，在8×12的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫作格点，点A，B，C，O均在格点上，其中O为坐标原点，A（－2，2）.将△ABC向右平移得到△A1B1C1，当A，O，B1三点在同一直线上时，点C1的坐标为 （7，2） .
（7，2）
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11. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，且点A的坐标为（－10，0），AB＝4，△ABC的面积为14.将△ABC沿x轴平移得到△DEF，当D为AB的中点时，点F恰好在y轴上.求：
（1） 点F的坐标；
解：（1） ∵ 点A的坐标为（－10，0），AB＝4，∴ 点B的坐标为（－6，0）.∵ S△ABC＝ AB·｜yC｜＝14，∴ ｜yC｜＝7.∵ 点C在第二象限，∴ yC＝7.∵ △ABC沿x轴平移得到△DEF，点F恰好在y轴上，∴ 点F的坐标为（0，7）
第11题
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（2） △EOF的面积.
解：（2） ∵ A（－10，0），B（－6，0），D为AB的中点，∴ D（－8，0），DB＝BE＝2.∴ E（－4，0）.∴ OE＝4.∴ S△EOF＝ OE·OF＝ ×4×7＝14
第11题
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12. 如图，在平面直角坐标系中，O是原点，四边形ABCD是长方形，点A，B，C的坐标分别是（－3，1），（－3，3），（2，3）.
（1） 点D的坐标为 （2，1） .
（2，1）
（2） 将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向右平移，2秒后所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标各是多少？
解：（2） A1（－1，1），B1（－1，3），C1（4，3），D1（4，1）
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（3） 继续平移（2）中的长方形A1B1C1D1，几秒后，△OB1D1的面积等于长方形ABCD的面积？
解：（3） 设x秒后，△OB1D1的面积等于长方形ABCD的面积.∵ 长方形ABCD向右平移，∴ 各点的纵坐标不变，横坐标加上x.∴ 平移后长方形A1B1C1D1四个顶点的坐标分别是A1（－1＋x，1），B1（－1＋x，3），C1（4＋x，3），D1（4＋x，1）.连接OA1，OB1，OD1，B1D1.作A1E⊥x轴，A1F⊥y轴，垂足分别为E，F.
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∴ A1D1＝｜（－1＋x）－（4＋x）｜＝5，A1B1＝｜3－1｜＝2，A1F＝｜－1＋x｜，A1E＝1.① 当0≤x＜1时， ＝ ＋ － ＝ A1D1·A1E＋ A1B1·A1D1－ A1B1·A1F＝ ×5×1＋ ×2×5－ ×2×｜－1＋x｜＝ －｜－1＋x｜，S长方形ABCD＝AD·AB＝5×2＝10.∵ ＝S长方形ABCD，∴ －｜－1＋x｜＝10.∴ ｜－1＋x｜＝－ ，方程无解.② 当x＝1时，A1B1在y轴上，A1F＝0，此时D1F＝5.∴ ＝ OB1·D1F＝ ×3×5＝ .∴ ≠S长方形ABCD.
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③ 当x＞1时， ＝ ＋ ＋ ＝ A1D1·A1E＋ A1B1·A1F＋ A1B1·A1D1＝ ×5×1＋ ×2×｜－1＋x｜＋ ×2×5＝ ＋｜－1＋x｜，S长方形ABCD＝AD·AB＝5×2＝10.
∵ ＝S长方形ABCD，∴ ＋｜－1＋x｜＝10.∴ ｜－1＋x｜＝ .∴ －1＋x＝± ，解得x1＝－ （不合题意，舍去），x2＝ .∴ 秒后△OB1D1的面积等于长方形ABCD的面积
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第三章 图形的平移与旋转
1 图形的平移
第3课时 图形的平移变换与点的坐标变化（2）
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（ C ）
A. （2，2），（3，4），（1，7）
B. （2，2），（4，3），（1，7）
C. （－2，2），（3，4），（1，7）
D. （2，－2），（4，3），（1，7）
C
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2. 若将点A先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度得到点B（－1，－1），则点A的坐标为（ C ）
A. （－3，1） B. （3，7）
C. （1，3） D. （5，5）
C
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3. （教材变式）如图，A，B两点的坐标分别为A（－4，2），B（2，－1），将线段AB平移得到线段DC. 若点A的对应点是D（－1，4），则点B的对应点C的坐标是（ B ）
A. （5，2） B. （5，1）
C. （4，1） D. （4，2）
B
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4. 在平面直角坐标系中，若将点A向左平移可得到点B（3，1），若将点A向上平移可得到点C（4，2），则点A的坐标为 （4，1） .
5. 在平面直角坐标系中，将点A先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点A的坐标为 （－3，2） .
6. （易错题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），若把x轴向下平移4个单位长度，再把y轴向左平移3个单位长度，则点A在新平面直角坐标系中的坐标为 （5，5） .
（4，1）
（－3，2）
（5，5）
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（2） 若P（x，y）是△ABC内一点，则△A'B'C'内的对应点P'的坐标为 （x－4，y－2） .
第7题
（x
－4，y－2）
7. △ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1） △A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的？
解：（1） 答案不唯一，如△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A'B'C'
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8. 如图，五边形ABCDE各顶点的坐标分别为A（－4，4），B（－5，3），C（－4，1），D（－2，2），E（－2，3），将五边形ABCDE先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新五边形A'B'C'D'E'，点A，B，C，D，E的对应点分别为A'，B'，C'，D'，E'.
（1） 画出平移后的新五边形并标明字母；
解：（1） 如图，五边形A'B'C'D'E'即为所求作
（2） 如果将新五边形A'B'C'D'E'看成是由原五边形ABCDE经过一次平移得到的，请直接写出这次平移的方向和距离.
解：（2） 五边形A'B'C'D'E'是由五边形ABCDE沿AA'的方向平移3 个单位长度得到的
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9. （新考法·探究题）已知点A的坐标为（2，3），其关于x轴的对称点是B，点B关于y轴的对称点是C，则将点A平移到点C经过的变换过程可能是（ B ）
A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度
B. 先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
C. 先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度
D. 先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
B
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10. （分类讨论思想）如图，第一象限内有P（m－3，n），Q（m，n－2）两点，平移线段PQ使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 （0，2）或（－3，0） .
（0，2）或（－3，0）
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11. 如图，△CFG的顶点坐标分别为C ，F ，G .把△CFG平移两次，构成如图所示的图案（其中点B，C，E在同一条平行于x轴的直线上）.
（1） △CFG是怎样平移得到△ABC和△DCE的？
解：（1） 答案不唯一，如由图，可知△CFG先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度可得到△ABC；△CFG先向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度可得到△DCE
第11题
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（2） 写出点A，B，D，E的坐标.
解：（2） 点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，点E的坐标为
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12. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内.
（1） 求点A的坐标；
解：（1） 过点A作AM⊥x轴于点M，则∠OMA＝90°.
∵ 等边三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），∴ OA＝OB＝AB＝2，∠AOB＝60°.∴ ∠OAM＝30°.∴ OM＝ OA＝1.在Rt△OAM中，由勾股定理，得AM＝ ＝ .∴ 点A的坐标为（1， ）
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（2） 若将△OAB沿射线OA的方向平移4个单位长度至△O'A'B'的位置，求点B'的坐标；
解：（2） 由题意，得AA'＝4，OO'＝4.过点O'作O'H⊥x轴于点H，则∠OHO'＝90°.∵ ∠O'OH＝∠AOB＝60°，
∴ ∠OO'H＝30°.∴ OH＝ OO'＝2.在Rt△OO'H中，由勾股定理，得O'H＝ ＝2 .又由平移，得O'B'＝OB＝2，∴ 点B'的横坐标为2＋2＝4，即点B'的坐标为（4，2 ）
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（3） 若将△OAB沿射线OA的方向平移n个单位长度至△O″A″B″的位置，且平移后点B″的横坐标为2 026，求n的值.
解：（3） 由题意，得OO″＝n.过点O″作O″P⊥x轴于点P，则∠O″PO＝90°.∵ ∠O″OP＝∠AOB＝60°，
∴ ∠OO″P＝30°.∴ OP＝ OO″＝ n.∵ 平移后点B″的横坐标为2026，O″B″＝2，∴ n＋2＝2026.∴ n＝4048
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