(共14张PPT)
第四章 因式分解
3 公 式 法
第2课时 利用完全平方公式分解因式
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 有下列多项式：① a2－ a＋ ；② 16x2＋8x＋1；③ 4x2＋4x－1；④ m2x＋6mnx＋9n2x.其中，能利用完全平方公式分解因式的是（ B ）
A. ①③ B. ①②④
C. ②③④ D. ①③④
B
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2. 有下列因式分解：① x3＋2xy＋x＝x（x2＋2y）；② －a2＋a－ ＝－ ；③ x2－2x－8＝x（x－2）；④ －x2＋4xy－4y2＝－（x－2y）2.其中，正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
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3. （2025·成都）多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 4x （写出一个即可）.（答案不唯一）
4. （2025·烟台）因式分解：2x2－12xy＋18y2＝ 2（x－3y）2 .
4x
（答案不唯一）
2（x－3y）2
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（1） 992＋198＋1；
解：10000
（2） 8002－1600×798＋7982；
解：4
（3） 842－28×84＋142；
解：4900
（4） 2.22＋4.4×17.8＋17.82.
解：400
5. 利用因式分解计算：
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6. （教材变式）把下列各式因式分解：
（1） （2025·绥化）2mx2－4mxy＋2my2；
解：2m（x－y）2
（2） 4x2－（x2＋1）2；
解：－（x＋1）2（x－1）2
（3） （y2－1）2＋6（1－y2）＋9；
解：（y＋2）2（y－2）2
（4） x2－10x（y＋1）＋25（y＋1）2.
解：（x－5y－5）2
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7. 已知下列单项式：① 4m2；② 9b2a；③ 6a2b；④ 4n2；⑤ －4n2；⑥ －12ab；⑦ －8mn；⑧ a3.请在以上单项式中选取三个组成一个能够先用提公因式法，再用公式法分解因式的多项式，并将这个多项式因式分解（写两个不同的式子）.
解：4m2＋4n2－8mn＝4（m2＋n2－2mn）＝4（m－n）2，a3＋9b2a＋6a2b＝a（a2＋9b2＋6ab）＝a（a＋3b）2
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8. 如图，将图①中的图形拼成一个正方形（如图②），下列等式中与之相对应的是（ A ）
A. a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
B. a2－2ab＋b2＝（a－b）2
C. a2－b2＝（a＋b）（a－b）
D. a2b2＝（ab）2
9. 如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为（ D ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
A
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10. 一个三角形的三边长分别为a，b，c.若M＝c2，N＝a2＋2ab＋b2，则M－N的值为（ B ）
A. 正数 B. 负数
C. 正数或0 D. 负数或0
B
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11. 若4x2＋（k－2）x＋25是一个完全平方式，则k的值为 22或－18 .
12. 把下列各式因式分解：
（1） （a＋2b）2－8ab；
解：（a－2b）2
（2） （x2－2x＋4）2－9；
解：（x2－2x＋7）（x－1）2
（3） （a＋2b）2＋2（a＋2b－1）＋3.
解：（a＋2b＋1）2
22或－18
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13. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2－2ab＋b2＝ac－bc，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC为等腰三角形 理由：∵ a2－2ab＋b2＝ac－bc，∴ （a－b）2＝c（a－b）.∴ （a－b）2－c（a－b）＝0.∴ （a－b）（a－b－c）＝0.∵ a，b，c是△ABC的三边长，∴ a－b－c≠0.∴ a－b＝0.∴ a＝b.
∴ △ABC为等腰三角形.
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14. 我们已经学过利用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.其实，因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等.
① 分组分解法，如x2－2xy＋y2－4＝（x2－2xy＋y2）－4＝（x－y）2－4＝（x－y＋2）（x－y－2）；
② 拆项法，如x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝（x＋1）2－4＝（x＋3）（x－1）.
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解：（1） ① 4x2＋4x－y2＋1＝（4x2＋4x＋1）－y2＝（2x＋1）2－y2＝（2x＋1＋y）（2x＋1－y） ② x2－6x＋8＝x2－6x＋9－1＝（x－3）2－1＝（x－2）（x－4）
（2） 若a，b，c是△ABC的三条边，且a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，求△ABC的周长.
解：（2） ∵ a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，∴ （a2－4a＋4）＋（b2－4b＋4）＋（c2－6c＋9）＝（a－2）2＋（b－2）2＋（c－3）2＝0.∴ 易得a＝2，b＝2，c＝3.∴ a＋b＋c＝2＋2＋3＝7.∴ △ABC的周长为7
【问题解决】
（1） 选用上述方式对下面的多项式进行因式分解：
① 4x2＋4x－y2＋1；
② x2－6x＋8.
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14(共14张PPT)
第四章 因式分解
2 提公因式法
第1课时 公因式为单项式的因式分解
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列多项式中，可以提取公因式的为（ B ）
A. x2－y2 B. x2＋x
C. x2－y D. x2＋2xy＋y2
2. 多项式12ab2－8a2bc的公因式为（ A ）
A. 4ab B. 4a2b2 C. 2ab D. 2abc
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3. 如图所示为甲、乙两名同学将－x2＋x因式分解的结果，下列判断正确的是（ A ）
A. 甲、乙的结果都正确
B. 甲、乙的结果都不正确
C. 只有甲的结果正确
D. 只有乙的结果正确
4. 因式分解x4＋x3＋x2的结果是（ D ）
A. x2（x2＋x） B. x（x3＋x2＋x）
C. x3（x＋1）＋x2 D. x2（x2＋x＋1）
5. 2xy2与x6的公因式为 x .
A
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x
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6. 多项式3a2y－3ay＋6y的公因式为 3y ，提取公因式后，另一个因式为 a2－a＋2 .
7. 把下面各式因式分解：
（1） （2025·湖南）a2＋13a＝ a（a＋13） ；
（2） 4x3y3＋6x3y－2xy＝ 2xy（2x2y2＋3x2－1） .
3y
a2－a＋2
a（a＋13）
2xy（2x2y2＋3x2－1）
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8. 已知a－b＝6，ab＝2，则2a2b－2ab2＝ 24 .
9. 写出下列多项式中各项的公因式，并进行因式分解.
（1） （2025·上海）a2b＋ab2；
解：ab ab（a＋b）
（2） 2a2b－6bc；
解：2b 2b（a2－3c）
（3） （易错题）－3ax2 ＋6ax＋12a；
解：－3a －3a（x2－2x－4）
（4） 56x3yz＋14x2y2z－21xy2z2.
解：7xyz 7xyz（8x2＋2xy－3yz）
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10. （教材变式）利用因式分解计算：
（1） 234×265－234×65；
解：原式＝234×（265－65）＝234×200＝46 800
（2） 1.992＋1.99×0.01；
解：原式＝1.99×（1.99＋0.01）＝1.99×2＝3.98
（3） 121×0.13＋12.1×0.9－12×1.21；
解：原式＝1.21×13＋1.21×9－1.21×12＝1.21×（13＋9－12）＝1.21×10＝12.1
（4） 20252＋2025－20262.
解：原式＝2025×（2025＋1）－20262＝2025×2026－20262＝2026×（2025－2026）＝－2026
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11. 若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 把－9x3＋6x2－3x因式分解时，提出公因式后，另一个因式为（ D ）
A. 3x2－2x B. 3x2－2x－1
C. －9x2＋6x D. 3x2－2x＋1
C
D
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13. 如图，长为a、宽为b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为（ B ）
A. 24 B. 70
C. 40 D. 140
第13题
B
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14. 给出下列多项式：① 8y3＋24y2＋4y；② 32x3y＋16xy2＋28x3；③ 4x4－12x3＋8x2；④ 8x3＋4x2－24x.其中，公因式与多项式8x3＋24x2＋4x的公因式相同的是 ②④ （填序号）.
15. 课堂上，老师给出了一个只含字母x的多项式，并让同学们描述这个多项式的特征，以下是两名同学的描述：① 这个多项式的公因式为3x2；② 当x＝1时，多项式的值为0.根据这些描述，写出一个符合条件的多项式： 3x3－3x2 .（答案不唯一）
②④
3x3－
3x2
（答案不唯一）
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解：U＝IR1＋IR2＋IR3＝I·（R1＋R2＋R3）.当R1＝34.9，R2＝20.8，R3＝32.3，I＝2.5时，原式＝2.5×（34.9＋20.8＋32.3）＝220.∴ 线路AB两端的电压为220伏
16. 如图，把R1（欧）、R2（欧）、R3（欧）三个电阻串联起来，设线路AB上通过的电流为I（安），线路AB两端的电压为U（伏），则U＝IR1＋IR2＋IR3.当R1＝34.9，R2＝20.8，R3＝32.3，I＝2.5时，求线路AB两端的电压.
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17. 说理题：
（1） 在学习过程中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请说明理由.
解：（1） 不正确 理由：∵ n2－6n＝n（n－6），∴ 当n为大于或等于6的正整数时，n2－6n的值为非负数.∴ 小明的猜想不正确.
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（2） 5个连续整数的平方和是5的倍数吗？请说明理由.
解：（2） 5个连续整数的平方和是5的倍数 理由：设5个连续整数分别是n－2，n－1，n，n＋1，n＋2，则它们的平方和为（n－2）2＋（n－1）2＋n2＋（n＋1）2＋（n＋2）2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10＝5（n2＋2）.∵ n是整数，∴ n2＋2是整数.∴ 5个连续整数的平方和是5的倍数.
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18. 如图所示为一个由边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形组成的四边形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式.请你写出其中三个等式.
第18题
解：答案不唯一，如a（a＋b）＋ab＝a（a＋2b），a（a＋2b）－ab＝a（a＋b），a2＋2ab＝a（a＋2b）
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第四章 因式分解
3 公 式 法
第1课时 利用平方差公式分解因式
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能力进阶
03
思维拓展
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录
1. 课堂上，老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，错了的这道题目是（ C ）
A. 第（1）道 B. 第（2）道
C. 第（3）道 D. 第（4）道
2. 把4x2－（y－z）2因式分解，其中一个因式为（ B ）
A. 2x－y－z B. 2x＋y－z
C. 2x＋y＋z D. 4x－y＋z
C
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3. （新考法·开放题）如果多项式a2＋b2＋□可以运用平方差公式分解因式，那么□可以是 －2b2 .（答案不唯一）
－2b2
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（1） 27×33；
解：891
（2） 5.9×6.1；
解：35.99
（3） 99 ×100 ；
解：9999
（4） 20242－2025×2023.
解：1
4. 利用因式分解计算：
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5. 把下列各式因式分解：
（1） 6m2－6；
解：6（m＋1）（m－1）
（2） a2－4（a＋b）2；
解：－（3a＋2b）（a＋2b）
（3） x2（a－b）－9y2（a－b）；
解：（a－b）（x＋3y）（x－3y）
（4） （1－a）2－（b－1）2.
解：（a－b）（a＋b－2）
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6. 如图，技术员小张在制作某种机器零件时，先要在半径为Rcm的圆形钢板中钻9个半径为rcm的圆形小孔，再将剩余部分涂上油漆.小张已测量出R＝34，r＝2，请你帮他算一下需要涂油漆的部分的面积是多少（油漆只涂一面，结果保留π）.
第6题
解：πR2－9πr2＝π（R＋3r）（R－3r）.当R＝34，r＝2时，原式＝π（34＋3×2）×（34－3×2）＝1120π.∴ 需要涂油漆的部分的面积是1120πcm2
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7. 已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘的积为x2－9，乙与丙相乘的积为x2－3x，则甲与丙相乘的积为（ B ）
A. 3x＋3 B. x2＋3x
C. 3x－3 D. x2－3x
8. 若k为任意整数，则（2k＋3）2－4k2的值总能（ B ）
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
9. 已知长方形的面积为81a2－4b2，其中长为9a＋2b，则宽为 9a－2b .
B
B
9a－2b
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10. 某同学粗心大意，因式分解时，把式子中的2a4－ ＝2（a2－2b）（a2＋2b）的一部分弄脏了，则式子中的 所对应的代数式为 8b2 .
11. 已知代数式x－2y的值为3，则代数式x2－4y2－12y的值为 9 .
8b2
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（1） 求CG的长.
解：（1） CG＝（a－b）cm
第12题
12. 如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB＝acm，DE＝bcm（a＞b）.
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（2） 观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解的公式吗？请将这个公式写出来.
解：（2） 能 a2－b2＝（a＋b）·（a－b）
第12题
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（3） 如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值.
解：（3） 由题意，得a－b＝16①，a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝960，∴ a＋b＝60②.由①②，解得a＝38，b＝22
第12题
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13. 先阅读下面的材料，再解决问题.
已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.
解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4①，
∴ c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2）②.
∴ c2＝a2＋b2③.
∴ △ABC为直角三角形④.
（1） 上述解题过程中，开始出现错误的是 ③ （填序号）；
（2） 错误的原因是 没有考虑a2－b2＝0 ；
③
没有考虑a2－b2＝0
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（3） 请你判断△ABC的形状（写出完整的解题过程）.
解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4，∴ c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2）.∴ （a2＋b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）＝0.∴ （a2＋b2－c2）（a2－b2）＝0.∴ a2＋b2－c2＝0或a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0且a2－b2＝0.当a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2时，∵ a，b，c是△ABC的三边长，∴ △ABC为直角三角形.当a2－b2＝0，即a2＝b2时，∵ a，b，c是△ABC的三边长，∴ a＞0，b＞0.∴ a＝b.∴ △ABC为等腰三角形.当a2＋b2－c2＝0且a2－b2＝0，即a2＋b2＝c2且a2＝b2时，∵ a，b，c是△ABC的三边长，∴ 易得△ABC为等腰直角三角形.综上所述，△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形
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第四章 因式分解
2 提公因式法
第2课时 公因式为多项式的因式分解
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列多项式中，没有公因式的一组为（ D ）
A. mx－my和ny－nx
B. 2a－3b和4a2－6ab
C. （a－b）2和（b－a）2
D. ab－ax和ab－bx
2. 把多项式（m＋1）（m－1）＋（m－1）提取公因式m－1后，另一个因式为（ D ）
A. m＋1 B. 2m C. 2 D. m＋2
D
D
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3. 把2x（a－b）－4y（b－a）因式分解，其结果是（ D ）
A. （a－b）（2x－4y） B. （a－b）（2x＋4y）
C. 2（a－b）（x－2y） D. 2（a－b）（x＋2y）
4. 多项式6（x－y）3－4（y－x）2的公因式为 2（x－y）2 ，因式分解的结果为 2（x－y）2（3x－3y－2） .
5. 已知等式：x（y－1）＋（ ）＝（y－1）（x＋3），若将括号内所填的多项式记为A，则A＝ 3y－3 .
D
2（x－y）2
2（x－y）2（3x－3y－2）
3y－3
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（1） （5a＋2b）（2a－3b）＋5a（5a＋2b）；
解：（5a＋2b）（7a－3b）
（2） x（a－b）＋y（b－a）＋3（a－b）；
解：（a－b）（x－y＋3）
（3） （2x＋1）（3x－2）－（2x＋1）2；
解：（2x＋1）（x－3）
（4） （a－3）2＋2a－6；
解：（a－3）（a－1）
（5） 2a2（b－7）＋7－b；
解：（b－7）（2a2－1）
（6） 5m（m－2n）2＋10（2n－m）2.
解：5（m－2n）2 （m＋2）
6. （教材变式）把下列各式因式分解：
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7. 先因式分解，再求值：
（1） a（x－y）－b（y－x），其中x－y＝2，a＋b＝3；
解：原式＝（a＋b）（x－y）.当x－y＝2，a＋b＝3时，原式＝3×2＝6
（2） （x－5）（x＋7）＋（5－x）2－（x－5）·（2x－3），其中x＝7.
解：原式＝5（x－5）.当x＝7时，原式＝5×（7－5）＝10
8. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形 理由：∵ a＋2ab＝c＋2bc，∴ （a－c）＋2b（a－c）＝0.∴ （a－c）（1＋2b）＝0.∵ a，b，c是△ABC的三边长，
∴ 1＋2b＞0.∴ a－c＝0.∴ a＝c.∴ △ABC是等腰三角形.
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9. 下列因式分解正确的是（ A ）
A. mn（m－n）－m（n－m）＝－m（n－m）（n＋1）
B. 6（p＋q）2－2（p＋q）＝2（p＋q）（3p＋q－1）
C. 3（y－x）2＋2（x－y）＝（y－x）（3y－3x＋2）
D. 3x（x＋y）－（x＋y）2＝（x＋y）（2x＋y）
A
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10. 已知a－b－c＝2，则a（a－b－c）－b（a－b－c）＋c（b－a＋c）＝ 4 .
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（1） （x2＋y－3）2－x2－y＋3；
解：（x2＋y－3）（x2＋y－4）
（2） （2x－y）（x＋3y）－（2x＋3y）（y－2x）；
解：3（2x－y）（x＋2y）
（3） （m－3n）2－5m＋15n；
解：（m－3n）（m－3n－5）
（4） 2st2（s－t）2－8s2t（t－s）.
解：2st（s－t）（st－t2＋4s）
11. 把下列各式因式分解：
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12. 解答下面各题：
（1） 不解方程组 求24y（x－3y）2－4（3y－x）3的值；
解：原式＝4（x－3y）2[6y＋（x－3y）]＝4（x－3y）2（x＋3y）.当x＋3y＝6，x－3y＝1时，原式＝4×12×6＝24
（2） 已知a＋b＝－6，ab＝7，求a2b＋ab2－a－b的值.
解：原式＝ab（a＋b）－（a＋b）＝（a＋b）（ab－1）.当a＋b＝－6，ab＝7时，原式＝（－6）×（7－1）＝－36
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13. 先阅读下面因式分解的过程，再解决问题.
1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＝（1＋x）·[1＋x＋x（x＋1）]＝（1＋x）（1＋x）2＝（1＋x）3.
（1） 上述因式分解的方法是 提公因式法 ，共运用了 2 次；
（2） 若分解1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）2025，则需运用上述方法 2025 次，结果是 （1＋x）2026 ；
（3） 利用因式分解计算：1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n（n为正整数）.
解：原式＝（1＋x）n＋1
提公因式法
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2025
（1＋x）2026
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13(共8张PPT)
第四章 因式分解
1 因式分解
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. （易错题）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ D ）
A. （m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2
B. x2－1＝x
C. 8a2b＝2a·4ab
D. 4my－2y＝2y（2m－1）
2. 若关于x的多项式x2＋ax＋b因式分解的结果为（x＋9）（x－6），则a的值为（ B ）
A. －3 B. 3 C. －54 D. 54
D
B
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3. （教材变式）对于① a2－4＝（a－2）（a＋2），② （m＋6）（m－2）＝m2＋4m－12从左到右的变形，①是 因式分解 ，②是 乘法运算 .（填“乘法运算”或“因式分解”）
4. （教材变式）如图，把图①中的三个小长方形与图②中的正方形拼成一个较大的长方形（在图②中画出）.根据拼图，写出一个多项式的因式分解： x2＋4x＋3＝（x＋3）（x＋1） .
因式分解
乘法运算
x2＋
4x＋3＝（x＋3）（x＋1）
解：如图（拼法不唯一）
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5. （教材变式）请利用a2＋ab＝a（a＋b）解决下面的问题：
（1） 简便运算：7.62＋7.6×2.4；
解：（1） 7.62＋7.6×2.4＝7.6×（7.6＋2.4）＝7.6×10＝76
（2） 判断n2＋n（n为整数）是奇数还是偶数.
解：（2） n2＋n＝n（n＋1）.若n为奇数，则n＋1为偶数；若n为偶数，则n＋1为奇数.∴ n与n＋1始终一奇一偶.∴ n（n＋1）为偶数，即n2＋n是偶数
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6. 若259＋517能被n整除，则n的值可以是（ B ）
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
7. 如图，直径为6的大圆内并排放置三个直径分别为d1，d2，d3的小圆（四个圆的圆心在同一条直线上），则阴影部分的周长为 12π （结果保留π）.
第7题
B
12π
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8. 仔细阅读下面的材料.
已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式为x＋3，求另一个因式及m的值.
解：由题意，可设另一个因式为x＋n，得x2－4x＋m＝（x＋3）（x＋n），则x2－4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n.
∴ 解得
∴ 另一个因式为x－7，m的值为－21.
仿照以上方法解答问题：已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式为2x－5，求另一个因式及k的值.
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解：由题意，可设另一个因式为x＋a，得2x2＋3x－k＝（2x－5）（x＋a），则2x2＋3x－k＝2x2＋（2a－5）x－5a.∴ 解得 ∴ 另一个因式为x＋4，k的值为20
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8(共5张PPT)
第四章 因式分解
小专题（九） 因式分解分类训练
类型一 提公因式法
1. 把下列各式因式分解：
（1） 4x2y3＋8x2y2z－12xy2z；
解：4xy2（xy＋2xz－3z）
（2） x（m＋n）－y（n＋m）＋（m＋n）；
解：（m＋n）（x－y＋1）
（3） 5x（x－2y）3－20y（2y－x）3；
解：5（x－2y）3（x＋4y）
（4） 2（x－2y）2（x＋2y）＋3（2y－x）（x＋2y）2.
解：（2y－x）（x＋2y）（10y＋x）
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类型二 公式法
2. 把下列各式因式分解：
（1） 9x2－12x＋4；
解：（3x－2）2
（2） 25a2－（2b－3a）2；
解：4（a＋b）（4a－b）
（3） （x2－3）2－36；
解：（x2＋3）（x＋3）（x－3）
（4） （x2＋2）2－6（x2＋2）＋9.
解：（x＋1）2（x－1）2
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类型三 先提公因式，再运用公式
3. 把下列各式因式分解：
（1） －2x2＋32x－128；
解：－2（x－8）2
（2） a2（x－y）＋9（y－x）；
解：（x－y）（a＋3）（a－3）
（3） －3（m2＋1）＋6m；
解：－3（m－1）2
（4） x3y－6x2y2＋9xy3.
解：xy（x－3y）2
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类型四 先展开，再因式分解
4. 把下列各式因式分解：
（1） （x－1）2＋2（x－5）；
解：（x＋3）（x－3）
（2） 4a2－3b（4a－3b）；
解：（2a－3b）2
（3） （x＋y）2－4（x＋y－1）.
解：（x＋y－2）2
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4(共20张PPT)
第四章 因式分解
第四章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 因式分解与整式乘法
1. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ C ）
A. x2－1＝（x－1）2
B. a2＋a＋1＝a（a＋1）＋1
C. 2x2－2＝2（x＋1）（x－1）
D. a2＋2a＝a2
2. 若x＋5，x－3都是多项式x2－kx－15的因式，则k＝ －2 .
C
－2
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（1） 请你利用上述方法在图②中验证一个与因式分解有关的恒等式；
解：（1） 把图②看作一个大正方形，得该大正方形的面积为（a＋b＋c）2；把图②看作由3个小正方形和6个小长方形拼成的大正方形，得该大正方形的面积为a2＋ab＋ac＋ab＋b2＋bc＋ac＋bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.∴ a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝（a＋b＋c）2
3. 计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行操作，进而验证利用完全平方公式分解因式，即a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2.
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（2） 试画出面积为2a2＋3ab＋b2的长方形的示意图（标注a，b），并根据画出的图形把多项式2a2＋3ab＋b2因式分解.
解：（2） 如答案图所示 由图，知2a2＋3ab＋b2＝（2a＋b）（a＋b）
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考点二 因式分解的方法
4. 有下列多项式：① x2－y2；② x3＋2；③ x2＋4x；④ x2－10x＋25.其中，能直接运用公式法因式分解的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 下列因式分解中，错误的是（ C ）
A. 2x2－x＝x（2x－1）
B. y2－x2＝（x＋y）（y－x）
C. x2－2x＋4＝（x－2）2
D. x2＋x＋ ＝
B
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6. 多项式mx2－m和x2－2x＋1的公因式为（ A ）
A. x－1 B. x＋1
C. x2－1 D. （x－1）2
7. 把下面各式因式分解：
（1） 4x2y－9y＝ y（2x＋3）（2x－3） ；
（2） x3－2x2y＋2xy2＝ x（x－2y）2 .
A
y（2x＋3）（2x－3）
x（x－2y）2
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8. 以下是把多项式（x－2）2－4x＋8因式分解的过程：
解：原式＝（x－2）2－（4x－8）①
＝（x－2）2－4（x－2）②
＝（x－2）（x－2＋4）③
＝（x－2）（x＋2）④
其中，最开始出现错误的是 ③ （填序号）.
③
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9. 已知A＝3x2－12，B＝5x2y3＋10xy3，C＝（x＋1）（x＋3）＋1，多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由.
解：多项式A，B，C有公因式 ∵ A＝3x2－12＝3（x2－4）＝3（x＋2）（x－2），B＝5x2y3＋10xy3＝5xy3（x＋2），C＝（x＋1）（x＋3）＋1＝x2＋4x＋3＋1＝x2＋4x＋4＝（x＋2）2，∴ 多项式A，B，C的公因式为x＋2
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10. 在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x－1）（x－9），而乙同学因看错了常数项而将其分解为2（x－2）（x－4），请你写出正确的二次三项式，并正确进行因式分解.
解：2（x－1）（x－9）＝2x2－20x＋18，2（x－2）（x－4）＝2x2－12x＋16.∵ 甲同学看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，∴ 正确的二次三项式为2x2－12x＋18.对其进行因式分解为2x2－12x＋18＝2（x－3）2
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考点三 因式分解的应用
11. 若x－2y＝－3，则代数式4y2－12y＋9－x2的值为（ B ）
A. －1 B. 0 C. 2 D. 3
12. 一个正方形的面积是9a2＋6ab＋b2（a＞0，b＞0），则该正方形的边长为 3a＋b .
13. 已知a，b，c为一个三角形的三条边长，则代数式（a－b）2－c2的值一定为 负数 （填“正数”“负数”或“0”）.
B
3a＋b
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（1） 把这三个多项式因式分解.
解：（1） x2－2xy＝x（x－2y），x2－4y2＝（x＋2y）（x－2y），x2－4xy＋4y2＝（x－2y）2
（2） 张老师：“三个等式①＋②＝③，①＋③＝②，②＋③＝①能否同时成立？”
林林：“只有当x＝y＝0时，三个等式能同时成立.”
你认为林林的说法正确吗？请说明理由.
14. 已知多项式：① x2－2xy；② x2－4y2；③ x2－4xy＋4y2.
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解：（2） 不正确 理由：∵ ①＋②＝③，∴ x（x－2y）＋（x＋2y）（x－2y）＝（x－2y）2，即x（x－2y）＋（x＋2y）（x－2y）－（x－2y）2＝0.∴ （x－2y）（x＋4y）＝0.∵ ①＋③＝②，∴ x（x－2y）＋（x－2y）2＝（x＋2y）（x－2y），即x（x－2y）＋（x－2y）2－（x＋2y）（x－2y）＝0.∴ （x－2y）（x－4y）＝0.∵ ②＋③＝①，∴ （x＋2y）（x－2y）＋（x－2y）2＝x（x－2y），即（x＋2y）（x－2y）＋（x－2y）2－x（x－2y）＝0.∴ x（x－2y）＝0.∵ 要使三个等式能同时成立，∴ x－2y＝0或x＋4y＝x－4y＝x＝0，解得x＝2y或x＝y＝0.∴ 林林的说法不正确.
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15. 已知a，b，c是△ABC的三边，且ab－ac＋bc－c2＝0，则△ABC一定是（ A ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 无法确定
16. 一位密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：a－b，x－1，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：国、爱、我、数、学、祖，现将3a（x2－1）－3b（x2－1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ D ）
A. 爱数学 B. 我爱数学
C. 爱祖国 D. 我爱祖国
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17. 已知实数n满足n2－n＋1＝0，则4n3－5n2＋5n＋11的值为（ A ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
18. 规定新运算：a b＝3a－2b，其中a＝x2＋2xy，b＝3xy＋6y2，则把a b因式分解的结果是（ A ）
A. 3（x＋2y）（x－2y）
B. 3（x－2y）2
C. 3（x2－4y2）
D. 3（x＋4y）（x－4y）
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19. 已知实数x，y，z满足（x＋z）2－4（x－y）（y＋z）＝0，则下列式子一定成立的是（ D ）
A. x＋y－z＝0 B. x＋y＋2z＝0
C. y－z－2x＝0 D. －z＋x－2y＝0
D
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20. 分解因式：2（a2＋b2）（a＋b）2－（a2－b2）2＝ （a＋b）4 .
21. 已知x2－2x－1＝0，则3x3－10x2＋5x＋2027的值为 2 023 .
22. 对于a，b，c，d，规定一种运算： ＝ad－bc，例如 ＝1×4－2×3＝－2，则把 因式分解的结果是 （x－3）2 .
23. 设x＋2z＝3y，试判断x2－9y2＋4z2＋4xz的值是不是定值，如果是定值，求出它的值.
解：x2－9y2＋4z2＋4xz＝（x2＋4z2＋4xz）－9y2＝（x＋2z）2－（3y）2＝（x＋2z＋3y）（x＋2z－3y），把x＋2z＝3y代入，得原式＝6y·0＝0.
∴ 其值为定值，是0
（a＋b）4
2 023
（x－3）2
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24. 阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq，得x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）.利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解.例如：将式子x2＋6x＋8因式分解.分析：这个式子的常数项8＝2×4，一次项系数6＝2＋4，所以x2＋6x＋8＝x2＋（2＋4）x＋2×4.解：x2＋6x＋8＝（x＋2）（x＋4）.
请依照上面的方法，解答下列问题：
（1） 因式分解：x2＋7x＋12；
解：（1） x2＋7x＋12＝（x＋3）（x＋4）
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（2） 因式分解：（x2－3）2＋（x2－3）－2；
解：（2） （x2－3）2＋（x2－3）－2＝（x2－3－1）（x2－3＋2）＝（x2－4）（x2－1）＝（x＋2）（x－2）（x＋1）·（x－1）
（3） 若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，请写出整数p的所有可能的值.
解：（3） 由－8＝（－1）×8＝（－2）×4＝（－4）×2＝（－8）×1，知有四种情况：① （x－1）（x＋8）＝x2＋7x－8，则p＝7；② （x－2）（x＋4）＝x2＋2x－8，则p＝2；③ （x－4）（x＋2）＝x2－2x－8，则p＝－2；④ （x－8）（x＋1）＝x2－7x－8，则p＝－7.综上所述，整数p的所有可能的值为7，2，－2，－7
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