(共14张PPT)
第五章 分式与分式方程
3 分式方程
第3课时 分式方程的实际应用
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 某市要铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时 ，实际每天铺设管道多少米？设实际每天铺设管道x米，则可列方程 － ＝15.根据此情景，题中横线上应该补充的条件为（ C ）
A. 每天比原计划多铺设10米，结果延期15天完成
B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期15天完成
C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成
D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成
C
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2. 为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造.为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了20％，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元.根据题意，实际每间教室的改造费用是（ C ）
A. 3万元 B. 4万元
C. 4.8万元 D. 6万元
C
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3. 某商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空，商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元.两次共购进这种太阳伞 600 把.
4. 山西省忻州市宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦具有很高的营养价值.某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为12600kg，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为 168 kg（亩是一种面积单位）.
5. （教材变式）（2025·扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的1.25倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是1.25x元.根据题意，得 － ＝3，解得x＝16.经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意.
∴ 1.25x＝1.25×16＝20.∴ 甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元
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6. “六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍.
（1） A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
解：（1） 设A型玩具的进价是x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个.由题意，得 － ＝20，解得x＝10.经检验，x＝10是原方程的根，且符合题意.∴ 1.5x＝15.∴ A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个
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（2） 若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则最多购进A型玩具多少个？
解：（2） 设购进A型玩具m个，则购进B型玩具（75－m）个.由题意，得（12－10）m＋（20－15）（75－m）≥300，解得m≤25.∴ m的最大值为25.∴ 最多购进A型玩具25个
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7. 学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品.如果每个笔袋的价格比每本笔记本的价格贵3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，那么每个笔袋与每本笔记本的价格分别为（ D ）
A. 4元，1元 B. 5元，2元
C. 6元，3元 D. 7元，4元
D
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8. 已知游客从绵阳某景区乘车到绵阳火车站，有两条路线可供选择，路线一：走直达低速全程是25km，但交通比较拥堵；路线二：走环城高速全程是30km，平均速度是路线一的 倍，因此到达绵阳火车站的时间比走路线一少用7min，则走路线一到达绵阳火车站需要（ A ）
A. 25min B. 26min
C. 27min D. 28min
A
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9. 为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造.现有甲、乙两支工程队有能力承包这项工程，并进行了投标.每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程；方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天；方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成.在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是 方案③ .
方案③
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10. 小王乘客车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比客车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了 ，则客车的平均速度为 60 千米/时，出租车的平均速度为 80 千米/时.
60
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解：方法一：设甲公司人均捐款x元，则乙公司人均捐款（x＋20）元.由题意，得 ＝ ×（1＋20％），解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，且符合题意.∴ x＋20＝120.∴ 甲公司人均捐款100元，乙公司人均捐款120元 方法二：设乙公司有y人，则甲公司有（1＋20％）y人. 由题意，得 － ＝20，解得y＝2500.经检验，y＝2500是原方程的根，且符合题意.∴ （1＋20％）y＝3000.∴ ＝100（元）， ＝120（元）.
∴ 甲公司人均捐款100元，乙公司人均捐款120元
11. 甲、乙两家公司为某学校各捐款300000元.已知甲公司的人数比乙公司的人数多20％，乙公司比甲公司人均多捐款20元，请你用两种不同的列分式方程的方法求甲、乙两家公司人均捐款各多少元.
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12. （2025·广安）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷.已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.
（1） 求A，B两种帐篷的单价各为多少元.
解：（1） 设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为（x＋400）元.由题意，得 ＝ ，解得x＝600.经检验，x＝600是原方程的根，且符合题意.∴ x＋400＝1000.∴ A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元
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（2） 若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种帐篷的数量不少于A种帐篷数量的 ，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
解：（2） 设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷（20－m）顶，总费用为W元.由题意，得20－m≥ m，解得m≤15.又∵ 两种型号的帐篷均需购买，∴ 0＜m≤15.W＝600m＋1000（20－m）＝－400m＋20000.∵ －400＜0，∴ W随m的增大而减小.∴ 当m＝15时，W取最小值，此时W＝－400×15＋20000＝14000.此时20－m＝5.∴ 当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用是14000元
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12(共8张PPT)
第五章 分式与分式方程
1 分式及其基本性质
第1课时 分式的概念
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基础过关
02
能力进阶
目
录
1. 在代数式 ， ，4ab＋c， ， ， 中，属于分式的有（ B ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. （教材变式）当x＝－3时，分式 没有意义，则b的值为（ D ）
A. －3 B. － C. D.
B
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3. 对于分式 ，下列说法中错误的是（ B ）
A. 当x≠3时，分式有意义
B. 当x＝3时，分式的值为0
C. 当x＝1时，分式的值为－1
D. 当x＝5时，分式的值为整数
B
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4. （易错题）若分式 的值为0，则 的值为 1 .
5. 某市对一条全长为1500米的路进行改造.原计划每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修的路比原计划的2倍还多30米.
（1） 修这条路实际用了多少天？
解：（1） 由题意，得实际每天修（2x＋30）米，∴ 修这条路实际用了 天
（2） 若x＝135，则修这条路实际用了多少天？
解：（2） 修这条路实际用了 ＝5（天）
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6. 下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（ A ）
A. B.
C. D.
7. 王老师骑自行车用了mh到达距离家nkm的学校，则王老师的平均速度是 km/h；若乘公共汽车可少用0.2h，则公共汽车的平均速度是 km/h.
A
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8. （新考法·开放题）有下列三个整式：① x＋5；② x－5；③ x2－36.利用其中的两个或三个写出一个分式，使得当x＝5时，分式的值为0，且x＝－6时，分式无意义.这个分式为 .（答案不唯一）
（答案不唯一）
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（1） 求a，b的值；
解：（1） 由题意，得当x＝－2时，x＋a＝0，解得a＝2；当x＝1时，x－b＝0，解得b＝1.∴ a的值为2，b的值为1
（2） 在（1）的条件下，当分式 的值为正整数时，求整数x的值.
解：（2） 当a＝2，b＝1时， ＝ .∵ 分式 的值为正整数，∴ x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝4，解得x＝0或x＝1或x＝3.∴ 整数x的值为0或1或3
9. 当x＝－2时，分式 无意义；当x＝1时，此分式的值为0.
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第五章 分式与分式方程
小专题（十一） 利用分式方程的解求字母的值或
取值范围
类型一 巧用分式方程的根求字母的值
1. 已知x＝3是分式方程 － ＝2的根，则实数k的值为（ D ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 定义：如果一个关于x的分式方程 ＝b的解为x＝ ，我们就说这个方程叫差解方程.比如： ＝ 就是一个差解方程.如果关于x的分式方程 ＝m－2是一个差解方程，那么m的值是 －2 .
3. 关于x的分式方程3－ ＝ ，当m＝ 5 时，这个方程的根为x＝2.
D
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4. 已知关于x的分式方程 ＝ 与分式方程 ＝ 的根相同，求m2－2m的值.
解：解分式方程 ＝ ，得x＝3.经检验，x＝3是原方程的根.把x＝3代入 ＝ ，得 ＝ ，解得m＝ .经检验，m＝ 是 ＝ 的根.∴ m2－2m＝ －2× ＝
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5. 某同学解关于x的分式方程 ＋3＝ ，在去分母时，因漏乘了3这一项，得到的方程的根为x＝5，求a的值，并正确求解原方程.
解：由题意，得x＝5是方程a＋3＝x－1的根.把x＝5代入，得a＝1.把a＝1代入原分式方程，得 ＋3＝ ，解得x＝2.∵ 当x＝2时，x－2＝0，∴ 原方程有增根
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类型二 巧用分式方程有解及根的具体情况求字母的取值范围
6. 已知关于x的分式方程 － ＝3的解为负数，则k的取值范围是（ A ）
A. k＜－4 B. k＞－4
C. k＜4且k≠－ D. k＞－4且k≠－
7. 已知分式方程 － ＋ ＝0有解，则m的取值范围是 m≠5且m≠－3 .
A
m≠5且m≠
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8. 已知关于x的分式方程1＋ ＝ 的根满足不等式组 求m的取值范围.
解：解分式方程，得x＝－m－2.解不等式组，得x≤1.由题意，得－m－2≤1且－m－2≠±2，解得m≥－3且m≠0.∴ m的取值范围是m≥－3且m≠0
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9. 是否存在整数k，使关于x的分式方程 － ＝ 的根大于－2且小于2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
解：存在 解分式方程，得x＝ .∵ 关于x的分式方程的根大于－2且小于2，∴ －2＜ ＜2，且 ≠0，1，－1.∴ －3＜k＜5，且k≠1，－1，3.∵ k为整数，∴ k的值为－2或0或2或4
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10. 若关于x的不等式组 有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程 － ＝3有整数解，求所有满足条件的整数a的值的和.
解：解不等式组，得 ∵ 不等式组有且仅有五个整数解，∴ －1≤ ＜0，解得－4≤a＜3，即整数a可取的值有－4，－3，－2，－1，0，1，2.解分式方程，得x＝ .根据分式方程有解可知，x≠1，即a≠1.又∵ 分式方程有整数解，∴ 当a＝－3时，x＝－1；当a＝－1时，x＝0.∴ 所有满足条件的整数a的值的和为－3－1＝－4
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类型三 巧用分式方程的增根求字母的值
11. 小明在解关于x的分式方程 ＝ －2时，发现墨水不小心把其中一个数污染了，老师告诉他此方程有增根，则被污染的数为（ A ）
A. －1 B. 1 C. 2 D. －2
12. 若关于x的分式方程 ＝ 有增根，则m的值是 ±2 .
13. 若关于x的分式方程 － ＝－ 有增根，求增根和k的值.
解：解分式方程，得x＝－ .∵ 分式方程有增根，∴ 增根为x＝0或x＝1，即－ ＝0或－ ＝1.∴ k＝－ 或k＝－
A
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类型四 巧用分式方程无解求字母的值
14. 若关于x的分式方程 ＋ ＝ 总无解，求m的值.
解：方程两边同时乘（x－2）（x＋2）并整理，得（1－m）x＝10.当1－m＝0，即m＝1时，方程无解.当1－m≠0，即m≠1时，x＝ .∵ 分式方程总无解，∴ x＝2或x＝－2.∴ ＝2或 ＝－2，解得m＝－4或m＝6.经检验，m＝－4或m＝6均是分式方程的根.综上所述，m的值为1或－4或6
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15. 已知关于x的分式方程 ＝2m＋ .
（1） 若分式方程有增根，求m的值；
解：（1） 方程两边同时乘x－1，得x－3＝2m（x－1）＋m.整理，得（1－2m）x＝3－m.∵ 分式方程有增根，∴ x－1＝0，解得x＝1.把x＝1代入（1－2m）x＝3－m，得1－2m＝3－m，解得m＝－2.∴ m的值为－2
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（2） 若分式方程无解，求m的值.
解：（2） 方程两边同时乘x－1，得x－3＝2m（x－1）＋m.整理，得（1－2m）x＝3－m.当1－2m＝0，即m＝ 时，方程无解.当1－2m≠0，即m≠ 时，x＝ .∵ 分式方程无解，∴ 分式方程有增根.由（1），知此时m＝－2.综上所述，m的值为 或－2
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15(共14张PPT)
第五章 分式与分式方程
2 分式的运算
第3课时 异分母分式的加减及通分
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材变式）若将分式 与分式 通分后，分式 的分母变为2（x－y）（x＋y），则分式 的分子应变为（ A ）
A. 6x2 B. x（x＋y）
C. x2 D. 3x2（x＋y）
2. 若分式 ＋ 的值为正整数，则x的取值可以是（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
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3. （2025·武汉）计算 － 的结果是 x .
4. 有甲、乙两个绿化小组，若甲组种x棵树需要a天，乙组种y棵树需要b天，已知x＞y，a＜b，则甲组比乙组每天多种 棵树（用最简分式表示）.
x
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（1） ＋ ；
解：
（2） － ；
解：
（3） ＋ ；
解：
（4） － .
解：
5. （易错题）（教材变式）计算：
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6. （新考法·过程性学习）如图所示为一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程写完整.
解：由题意，得 ＝ ＝ ，则M＝a，∴ － ＝ － ＝ ＝ ＝ .当a＝100时，原式＝ ＝
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7. 观察下列等式： ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ……
（1） 根据上面的规律，归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
解：（1） ＝ ＋
（2） 请运用分式的有关知识，说明这个结论的正确性.
解：（2） ∵ 右边＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ，左边＝ ，∴ 左边＝右边.∴ ＝ ＋
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8. 已知分式P＝ ，Q＝ ，其中n为任意正整数，则P，Q的大小关系为（ C ）
A. P＜Q B. P＝Q
C. P＞Q D. 无法确定
C
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9. 已知 ＋ ＝1，且a≠－b，则 的值为 1 .
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（1） 有以下依据：① 等式的基本性质；② 分式的基本性质；③ 乘法分配律；④ 乘法交换律.其中，甲同学解法的依据是 ② ，乙同学解法的依据是 ③ （填序号）.
②
③
10. （易错题）先化简，再求值： · ，其中－3＜x＜2，且x为整数.如图所示为甲、乙两名同学的部分运算过程：
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（2） 请选择一种解法，写出完整的解答过程.
解：答案不唯一，如选择乙同学的解法 · ＝ · ＋ · ＝ · ＋ · ＝x－1＋x＋1＝2x.∵ －3＜x＜2，且x为整数，∴ x的值可为－2，－1，0，1.又∵ 分式有意义，∴ x≠1，x≠－1，x≠0.∴ x＝－2.当x＝－2时，原式＝2×（－2）＝－4
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11. 某单位全体员工在植树节义务植树260棵，原来每时植树a棵，植树m时后，加快植树速度，每时植树的数量比原来多10棵.
（1） 用含a，m的代数式表示能提前多少时完成植树任务；
解：（1） － ＝（260－am）·（ － ）＝（260－am）· ＝ .∴ 能提前 时完成植树任务
（2） 当a＝80，m＝1时，能提前多少时完成植树任务.
解：（2） 当a＝80，m＝1时，原式＝ ＝0.25.∴ 能提前0.25时完成植树任务
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12. 甲、乙两人一个月内两次同时到一家粮油商店购买大米，两次大米的价格有变化，其中第一次的价格为 x元/千克，第二次的价格为y元/千克.他们两人的购买方式不同：甲每次总是购买相同质量的大米，乙每次只拿出相同的钱来购买大米，则甲、乙两人的购买方式中，哪一种比较划算？
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解：设甲每次购买a千克大米，乙每次拿出b元来购买大米.由题意，得甲两次购买大米的平均价格为 ＝ （元/千克），乙两次购买大米的平均价格为 ＝ （元/千克）.∵ － ＝ － ＝ ，又∵ x，y都是正数，且x≠y，∴ ＞0.∴ ＞ .
∴ 乙的购买方式比较划算
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12(共13张PPT)
第五章 分式与分式方程
2 分式的运算
第4课时 分式的混合运算
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （新情境·游戏活动）某校举办计算接力赛，规则：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算.某组同学的计算过程如图所示，出现错误的是（ D ）
A. 只有甲 B. 乙和丁 C. 丙和丁 D. 甲和乙
D
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2. 试卷上一个正确的式子 · ＝ 被小明同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分 处的代数式为（ B ）
A. B. C. D.
3. 若x和y互为倒数，则 的值是（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. （2025·绥化）计算：1－ ÷ ＝ － .
B
B
－
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5. 化简 ÷ 的结果为 ，当a＋b－1＝0时，其值为 .
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（1） ÷ ；
解：－
（2） ÷ ＋ ；
解：
（3） （2025·泸州） ÷ .
解：
6. 计算：
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7. （教材变式）先化简，再求值：
（1） ÷ ，其中x＝122；
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ .当x＝122时，原式＝ ＝
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（2） ÷ ，其中a＝2b，b≠0.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .当a＝2b时，原式＝ ＝ ＝
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8. 设n＝ ＋ ＋ .若n的值为整数，则x可以取的整数值的个数是（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 计算 － ·（x－1）的结果是（ B ）
A. B.
C. D.
C
B
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10. 若3ab－3b2－2＝0，则代数式 ÷ 的值为 .
11. 如果 ＝ ，那么 ÷ 的值为 3 .
12. （2025·遂宁）先化简，再求值： （a＋1＋ ）÷ ，其中a满足a2－4＝0.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .∵ a2－4＝0，a－2≠0，∴ a＝－2.当a＝－2时，原式＝ ＝
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13. （教材变式）甲、乙两名工人同时开始生产同一种零件，甲每时比乙多生产8个.现要求甲生产168个这种零件，乙生产144个这种零件，试判断他们两人谁先完成任务.
解：设乙每时生产x（x＞0）个零件，则甲每时生产（x＋8）个零件.∴ 乙生产144个这种零件需要 时，甲生产168个这种零件需要 时. － ＝ － ＝ .∵ x＞0，∴ x（x＋8）＞0.∴ 当x＞48时，乙先完成任务；当x＝48时，两人同时完成任务；当x＜48时，甲先完成任务
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14. 先化简，再求值： ÷ ，其中x＝2.
下列是三种不同解法的部分解答过程：
① 原式＝ ÷［ － ］；
② 原式＝ ÷ － ÷ ；
③ 将被除式与除式位置颠倒，即化简 ÷ 并代入求值后，取结果的倒数.
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（1） 以上解法正确的是 ①③ （填序号）；
（2） ①的运算依据是 分式的基本性质 ；
（3） 请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程.
解：答案不唯一，如选择①，原式＝ ÷［ － ］＝ ÷ ＝ ÷ ＝ · ＝ .当x＝2时，原式＝
①③
分式的基本性质
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第五章 分式与分式方程
第五章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 分式的有关概念及性质
1. 下列代数式中，属于分式的是（ C ）
A. B.
C. D.
2. 下列分式中，属于最简分式的是（ A ）
A. B.
C. D.
C
A
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3. 下列式子变形正确的是（ D ）
A. ＝－ B. ＝
C. ＝x－y D. ＝
D
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4. 当x＝ －2 时，分式 无意义；当x＝ －1 时，分式 的值为0.
5. 已知 ＝ ，则括号里应填入 m＋n .
－2
－1
m＋n
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考点二 分式的运算
6. 若化简 ÷ 的结果为 ，则m的值是（ D ）
A. －4 B. 4 C. －2 D. 2
7. 化简 ＋x－2的结果是（ D ）
A. 1 B. C. D.
8. 已知x＝5，则代数式 － 的值为 .
9. 化简 ÷（x－ ）的结果为 .
D
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解：原式＝ ÷a－ ÷ ①
＝ · － · ②
＝ － ③
……
（1） 上面的运算过程中， ① 开始出现了错误（填序号）；
（2） 请你写出正确且完整的解答过程.
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝
①
10. 以下是某同学化简分式 ÷（a－ ）的部分运算过程：
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11. （2025·眉山）先化简，再求值：（ ＋ ）÷ .其中x，y满足（x＋2）2＋｜y－1｜＝0.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .∵ （x＋2）2＋｜y－1｜＝0，∴ x＋2＝0，y－1＝0.∴ x＝－2，y＝1.
∴ 原式＝ ＝－1
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考点三 分式方程及应用
12. 把分式方程 ＝ ＋5化为整式方程，方程两边需同时乘（ C ）
A. 2x B. 2x－4
C. 2x（x－2） D. 2x（2x－4）
13. （2025·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程 ＋ ＝2无解，那么实数m的值是（ C ）
A. m＝1 B. m＝－1
C. m＝1或m＝－1 D. m≠1且m≠－1
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14. 若代数式 的值比代数式 的值大4，则x＝ 2 .
15. 对于非零实数a，b，规定a b＝ － .若（2x－1） 2＝1，则x的值为 .
16. 若关于x的方程 ＋ ＝2－ 有增根x＝－1，则2a－3的值为 3 .
17. 某旅行社组织“深度文化游”与“快速观光游”两种汉文化研学线路，选择“深度文化游”需步行5千米，并在汉画像石馆停留20分；选择“快速观光游”需乘坐电瓶车，全程6千米（无停留）.已知电瓶车速度为步行速度的1.5倍，“快速观光游”比“深度文化游”全程少用30分，求“深度文化游”步行时，每时步行多少千米.
解：设“深度文化游”步行时，每时步行x千米，则“快速观光游”电瓶车的速度为1.5x千米/时.根据题意，得 ＋ － ＝ ，解得x＝6.经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意.∴ “深度文化游”步行时，每时步行6千米
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18. （2024·雅安）已知 ＋ ＝1（a＋b≠0），则 的值为（ C ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
19. 若关于x的方程 －2＝ 的解为正数，则m的取值范围是（ D ）
A. m＞－ B. m＜
C. m＞－ 且m≠0 D. m＜ 且m≠
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20. （2025·眉山）若关于x的不等式组 至少有两个正整数解，且关于x的分式方程 ＝2－ 的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ B ）
A. 8 B. 14 C. 18 D. 38
B
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21. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大的值，如Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max ＝ －2的根为 x＝0 .
22. 某超市第一次用3000元购进某种干果销售，第二次又调拨9000元购进该种干果，但第二次的进价比第一次的进价提高了20％，购进干果的数量比第一次的2倍还多300千克.如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的七折售完.超市两次销售这种干果共获利 5280 元.
x＝0
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解：∵ ＋ ＝ ＝ ，
∴ ＝ .∴ 解得
23. 已知 ＝ ＋ ，求A，B的值.
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24. 已知关于x的分式方程 ＋ ＝ .
（1） 若该方程的增根为x＝2，求m的值；
解：（1） ＋ ＝ ，去分母，得2（x＋3）＋mx＝x－2，即（m＋1）x＝－8.∵ 该方程的增根为x＝2，∴ 2（m＋1）＝－8，解得m＝－5
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（2） 若该方程有增根，求m的值.
解：（2） 若分式方程 ＋ ＝ 有增根，则增根为x＝2或x＝－3.由（1），得（m＋1）x＝－8.当x＝2时，2（m＋1）＝－8，解得m＝－5；当x＝－3时，－3（m＋1）＝－8，解得m＝ .综上所述，m＝－5或m＝
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（3） 若该方程无解，求m的值.
解：（3） 由（2）知，当m＝－5或m＝ 时，方程有增根，则分式方程无解；由（1）可知，（m＋1）x＝－8，当m＋1＝0，即m＝－1时，方程（m＋1）x＝－8无解.综上所述，m＝－5或m＝ 或m＝－1
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25. 麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业.已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同.
（1） 一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
解：（1） 设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦（x＋2）公顷.由题意，得 ＝ ，解得x＝3.经检验，x＝3是原方程的根，且符合题意.∴ x＋2＝5.∴ 一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷
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（2） 该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
解：（2） 设安排m台A型收割机，则安排（12－m）台B型收割机.由题意，得5m＋3（12－m）≥50，解得m≥7.∴ m的最小值为7.∴ 至少要安排7台A型收割机
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26. 小明在长为180m的跑道上训练机器人，从起点出发，机器人匀速行走1min后，提速到原速的1.5倍继续匀速行走，结果比原计划提前40s到达终点.
（1） 求该机器人走完全程所花的时间.
解：（1） 设该机器人的原速为xm/min.根据题意，得 ＝ ＋ ，解得x＝60.经检验，x＝60为原方程的解，且符合题意.∴ 1＋ ＝1＋ ＝ .∴ 该机器人走完全程所花的时间为 min
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（2） 若A机器人一半路程以am/min的速度行走，另一半路程以bm/min的速度行走；B机器人用一半时间以am/min的速度行走，另一半时间以bm/min的速度行走.试比较A，B两机器人行走的时间大小.
解：（2） A机器人所需时间为 ＋ ＝ （min），B机器人所需时间为 ＝ （min）.∴ － ＝ .∴ 当a＝b时，两机器人行走的时间相同；当a≠b时， ＞0，即A机器人行走的时间多
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27. 中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店《孙子算经》的单价是《周髀算经》单价的 ，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多5本.
（1） 两种图书的单价分别为多少？
解：（1） 设《周髀算经》的单价是x元/本，则《孙子算经》的单价是 x元/本.由题意，得 － ＝5，解得x＝40.经检验，x＝40是原方程的根，且符合题意.∴ x＝30.∴ 《孙子算经》的单价是30元/本，《周髀算经》的单价是40元/本
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（2） 为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买《周髀算经》的数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售.两种图书分别购买多少本时，总费用最少？
解：（2） 设购买m本《孙子算经》，则购买（80－m）本《周髀算经》.由题意，得80－m≥ m，解得m≤ .设购买这两种图书的总费用是w元，则w＝30×0.8m＋40×0.8（80－m）＝－8m＋2560.∵ －8＜0，∴ w随m的增大而减小.又∵ m≤ ，且m为正整数，∴ 当m＝53时，w取得最小值，此时80－m＝27.∴ 当购买53本《孙子算经》和27本《周髀算经》时，总费用最少
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27(共15张PPT)
第五章 分式与分式方程
2 分式的运算
第1课时 分式乘除法
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·威海）下列运算正确的是（ D ）
A. b3＋b2＝b5 B. （－2b2）3＝－6a6
C. b÷ · ＝b D. （－b）3÷（－b2）＝b
2. （易错题）计算8m4· 的结果是（ A ）
A. 2m2n6 B. 4m2n6
C. 4m2n3 D. 2m3n6
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3. 若 ÷ 的计算结果是整式，则“ ”中的式子可能是（ C ）
A. B. x2－1
C. x2－x D. x－1
C
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4. （2025·安徽）化简 ÷ 的结果为 ，当x＝3时，其值为 1 .
5. 甲、乙两支工程队合修一条公路.已知甲工程队每天修（a2－4）m，乙工程队每天修（a－2）2m（其中a＞10），则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的 倍.
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（1） x5· ；
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（2） ÷ · ；
解：－
（3） · ；
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（4） ÷ .
解：
6. （教材变式）计算：
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7. 计算：x÷（x－1）· .某同学给出的解答过程如下：
解：x÷（x－1）· ＝x÷ ＝x÷1＝x.
该同学的解答过程是否正确？若不正确，请指出错误，并写出正确且完整的解答过程.
解：该同学的解答过程不正确 没有按照分式乘除混合运算从左到右的顺序进行计算 x÷（x－1）· ＝x· · ＝
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8. （教材变式）已知m米布料能做n件上衣，2m米布料能做3n条裤子，则一件上衣的用料是一条裤子的用料的多少倍？
解：由题意，得一件上衣的用料是 米，一条裤子的用料是 米.∵ ÷ ＝ · ＝ ，∴ 一件上衣的用料是一条裤子的用料的 倍
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9. 分式 ÷ 的值可能为（ B ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
10. 计算 ÷ · 的结果是（ A ）
A. －2 B. 2
C. － D.
B
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11. 有甲、乙两个圆，若甲圆的半径为 （a＞6），乙圆的半径为 ，则甲圆的面积是乙圆面积的（ B ）
A. 倍 B. 倍 C. D.
B
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12. 化简 ÷ 的结果为 m2＋2m ，当m2＋2m－1＝0时，其值为 1 .
m2＋2m
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（1） ÷ · ；
解：
（2） ÷（x＋3）· ；
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（3） · ÷（－ab4）；
解：
（4） · ÷ .
解：
13. 计算：
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14. 若分式 除以 的商是整数，求整数m的值.
解：根据题意，得 ÷ ＝ ÷ ＝ · ＝ .∵ 分式 除以 的商是整数，m为整数，∴ m－1＝1或m－1＝－1.∴ m＝2或m＝0.∵ m2≠0，m2－m≠0，m2－2m＋1≠0，∴ m≠0且m≠1.∴ m＝2
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15. 已知A玉米试验田是边长为a（a＞1）m的正方形地去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，B玉米试验田是边长为（a－1）m的正方形地，两块试验田都收获了500kg玉米.
（1） 哪块玉米试验田的单位面积产量高？
解：（1） 由题意，得A玉米试验田的面积是（a2－1）m2，单位面积产量是 kg；B玉米试验田的面积是（a－1）2m2，单位面积产量是 kg.
∵ a2－1－（a－1）2＝2（a－1），且a＞1，∴ 2（a－1）＞0.∴ a2－1－（a－1）2＞0，即0＜（a－1）2＜a2－1.∴ 0＜ ＜ .∴ B玉米试验田的单位面积产量高
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（2） 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：（2） ∵ ÷ ＝ ，∴ 高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍
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第五章 分式与分式方程
2 分式的运算
第2课时 同分母分式的加减
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基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 计算 － 的结果是（ A ）
A. 3 B. x
C. 3x D.
2. （2025·新疆生产建设兵团）计算 － 的结果为（ A ）
A. 1 B. x－2y
C. D.
A
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3. 化简 － 的结果为 a－2 .
4. 已知x≠y，y＝－x＋8，则代数式 ＋ 的值为 8 .
a－2
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（1） ＋ － ；
解：
（2） － ；
解：x－1
（3） ＋ ；
解：1
（4） ＋ ＋ .
解：
5. （易错题）计算：
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6. （教材变式）先化简，再求值：
（1） － ，其中a＝ ，b＝3；
解：原式＝ － ＝ － ＝ .当a＝ ，b＝3时，原式＝ ＝－
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（2） ＋ ，其中x＝3 .
解：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝2x2.当x＝3 时，原式＝2×（3 ）2＝90
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7. （教材变式）某工程队有原材料m吨，原计划每天用a吨材料，通过科技创新，现在每天比原计划节省一半，这些材料现在比原计划多用多少天？
解： － ＝ － ＝ .∴ 这些材料现在比原计划多用 天
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8. 下列运算正确的是（ B ）
A. ＋ ＝ B. ＋ ＝1
C. 1＋ ＝ D. － ＝0
9. 若 － ＝ ，则横线上应填的分式为（ D ）
A. B.
C. D.
B
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10. （2025·甘肃）化简 ＋ ÷ 的结果是（ D ）
A. B.
C. －1 D. 1
D
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11. 化简 ÷ 的结果为 ，当x＝ ，y＝（－2026）0时，其值为 2 .
12. 超市出售一种茶叶，售价为（a＋2）元/千克，第一天出售茶叶的收入为（b＋1）元，第二天出售茶叶的收入比第一天多（c－2）元，这两天一共出售多少千克茶叶？
解： ＋ ＝ ＋ ＝ .∴ 这两天一共出售 千克茶叶
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13. （新考法·阅读理解）先阅读下面的材料，再解决问题.
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， 是假分式， ， 是真分式.假分式也可以化为带分式，如 ＝ ＝1－ .
（1） 分式 是 真 （填“真”或“假”）分式，假分式 化为带分式为 1－ ；
真
1－
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（2） 如果分式 的值为整数，求所有满足条件的整数x的值.
解： ＝ ＝ ＝2 ＝2＋ .∵ 分式 的值为整数，∴ 2＋ 的值为整数.∴ 的值为整数.又∵ x为整数，∴ x－3＝1或x－3＝－1或x－3＝2或x－3＝－2，解得x＝4或x＝2或x＝5或x＝1.∵ x－3≠0，即x≠3，∴ 所有满足条件的整数x的值为1，2，4，5
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第五章 分式与分式方程
小专题（十） 分式的运算及化简求值
类型一 直接代入求值
1. （2025·德阳）先化简，再求值： · ，其中a＝2.
解：原式＝ · ＝ · ＝ · ＝a（a－3）＝a2－3a.当a＝2时，原式＝22－3×2＝4－6＝－2
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2. 数轴上表示整数x的点（x≠0）与原点之间的距离小于3，请你任取一个你喜欢的x的值，求 · 的值.
解：原式＝ · ＝ .∵ 数轴上表示整数x的点（x≠0）与原点之间的距离小于3，且x2－4≠0，x4－16≠0，∴ x≠±2.∴ x＝1或x＝－1.当x＝1时，原式＝ ＝ ［或当x＝－1时，原式＝ ＝ ］
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3. 先化简 ÷ ，再从不等式组 的整数解中取合适的值代入求值.
解：原式＝ · ＝ · ＝ · ＝ .解不等式组 得1≤x≤3.∴ 不等式组的整数解为1，2，3.∵ x－2≠0且x－3≠0，∴ x≠2且x≠3.∴ x可以取1.当x＝1时，原式＝ ＝－2
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类型二 整体代入求值
4. 先化简，再求值： ÷ ，其中a＋b＝ .
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ · ＝ .
∵ a＋b＝ ，∴ 原式＝ ＝
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5. 先化简，再求值： ÷ － ，其中x2＋2x－13＝0.
解：原式＝ · － ＝ － ＝ － ＝ ＝ .∵ x2＋2x－13＝0，∴ x2＋2x＝13.∴ 原式＝
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类型三 巧用变形求值
6. 若a＋ ＝3，则代数式（ － ）÷ 的值为（ C ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
7. 已知 ＋ ＝5，则 ＝ .
8. 已知a＋b＋c＝0，且a，b，c均不为0，求a ＋b ＋c 的值.
解：∵ a＋b＋c＝0，∴ a＋b＝－c，b＋c＝－a，a＋c＝－b.∴ 原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝－ － － ＝－2－2－2＝－6
C
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9. 已知x，y，z满足 ＋ ＋ ＝1，求代数式 ＋ ＋ 的值.
解：由题意，得 ＝1－ － ，则 ＝x－ － ①.同理，得 ＝y－ － ②， ＝z－ － ③.由①＋②＋③，得 ＋ ＋ ＝（x＋y＋z）－ － － ＝x＋y＋z－y－x－z＝0
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类型四 巧用公式求值
10. 先阅读下面的解答过程，再解决问题.
已知a2－3a＋1＝0，求a2＋ 的值.
解：由a2－3a＋1＝0，知a≠0.
∴ a－3＋ ＝0，即a＋ ＝3.
∴ a2＋ ＝ －2＝7.
参照上面的解答过程，解决下面的问题：
已知y2＋3y－1＝0，求 的值.
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解：由y2＋3y－1＝0，知y≠0.∴ y＋3－ ＝0，即 －y＝3.∴ ＋y2＝ ＋2＝11.∴ ＋y4＝ －2＝119.∴ ＝y4－3＋ ＝116.∴ ＝
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11. 已知m＝n＋5，求 － 的值.
解：原式＝［ ＋ ］·［（m＋n＋ ）－ ］＝（2m＋2n）·2· ＝4（m－n）.∵ m＝n＋5，∴ m－n＝5.∴ 原式＝4×5＝20
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类型五 巧用参数法求值
12. 已知 ＝ ＝ ，求 的值.
解：设 ＝ ＝ ＝k，则b＋c－a＝ka①，a＋c－b＝kb②，a＋b－c＝kc③.由①＋②＋③，得a＋b＋c＝k（a＋b＋c），即（a＋b＋c）（k－1）＝0.∴ a＋b＋c＝0或k＝1.当a＋b＋c＝0时，原式＝ ＝－1；当k＝1时，a＋b＝2c，b＋c＝2a，c＋a＝2b，原式＝ ＝8.综上所述，原式的值为－1或8
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第五章 分式与分式方程
3 分式方程
第2课时 解分式方程
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基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2025·湖南）将分式方程 ＝ 去分母后得到的整式方程为（ A ）
A. x＋1＝2x B. x＋2＝1
C. 1＝2x D. x＝2（x＋1）
2. 若分式 与 的值相等，则x的值为（ A ）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
3. （2025·甘肃）方程 ＝1的解是x＝ －1 .
4. 若关于x的分式方程 － ＝1（m为常数）有增根，则增根是 x＝4 .
A
A
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5. 已知关于x的分式方程 ＋1＝ 的根是非负数，则m的取值范围是 m≤2且m≠－2 .
6. （易错题）（教材变式）解方程：
（1） ＋ ＝1；
解：x＝－
（2） － ＝0.
解：x＝
m≤2且m≠－2
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7. （新考法·过程性学习）小丁和小迪分别解方程 － ＝1，过程如图所示.
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你认为小丁和小迪的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程.
解：小丁和小迪的解法都不正确 方程两边同乘x－2，得x＋x－3＝x－2.移项、合并同类项，得x＝1.经检验，x＝1是分式方程的解，∴ 原分式方程的解是x＝1
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8. （2025·云南）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等.求机器人A，机器人B每时分别搬运多少千克化工原料.
解：设机器人A每时搬运x千克化工原料，则机器人B每时搬运（x＋20）千克化工原料.根据题意，得 ＝ ，解得x＝80.经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意.∴ x＋20＝80＋20＝100.∴ 机器人A每时搬运80千克化工原料，机器人B每时搬运100千克化工原料
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9. 方程 －3＝ 的根为（ D ）
A. x＝ B. x＝－1 C. x＝ D. x＝3
10. 关于x的分式方程 ＋ ＝3有增根，则m＝ －1 .
D
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（1） 若“ ”表示的数为4，求这个分式方程的根；
解：（1） 由题意，得 ＋ ＝4.方程两边同时乘x－1，得2－x＝4x－4.移项、合并同类项，得5x＝6.系数化为1，得x＝ .经检验，x＝ 是原方程的根
11. 已知分式方程 ＋ ＝ 有解，其中“ ”表示一个数.
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（2） 小虎抄题时等号右边的数抄错了，导致找不到原题目，但可以肯定的是“ ”表示的数为－1或0，试确定“ ”表示的数.
解：（2） 当“ ”表示的数为－1时，方程为 ＋ ＝－1.方程两边同时乘x－1，得2－x＝1－x，此时方程无解.当“ ”表示的数为0时，方程为 ＋ ＝0.方程两边同时乘x－1，得2－x＝0，解得x＝2.经检验，x＝2是原方程的根.∴ “ ”表示的数为0
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12. 随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评.某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天制作的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“伽瑶”玩偶摆件？
解：设原计划平均每天制作x个“伽瑶”玩偶摆件，则实际平均每天制作1.5x个“伽瑶”玩偶摆件.由题意，得 － ＝5，解得x＝200.经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意.∴ 原计划平均每天制作200个“伽瑶”玩偶摆件
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13. 请阅读某同学解分式方程的具体过程.
解方程： ＋ ＝ ＋ .
解： － ＝ － ①
＝ ②
＝ ③
x2－6x＋8＝x2－4x＋3④
x＝ ⑤
经检验，x＝ 是原分式方程的根.
请你解答下列问题：
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（1） 得到①的做法是 移项 ；得到②的具体做法是 方程两边的分式先分别通分，再相减 ；得到③的具体做法是 方程两边都除以－2x＋10 ；
得到④的根据是 分式的值相等，分子相等（不为0），则分母相等 .
（2） 上述解答正确吗？如果不正确，从哪里开始出现错误？错误的原因是什么？
解：（2） 不正确 从③开始出现错误 错误的原因是没有考虑－2x＋10的值可能为0的情况
移项
方程两边的分式先分
别通分，再相减
方程两边都除以－2x＋10
分式的值相等，分子相等（不为0），则分母相等
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（3） 请给出正确且完整的解答.
解：（3） 原方程可化为 － ＝ － ，即 ＝ .当－2x＋10＝0时，x＝5.经检验，x＝5是原方程的根.当－2x＋10≠0时， ＝ ，即x2－6x＋8＝x2－4x＋3，解得x＝ .经检验，x＝ 是原方程的根.综上所述，原方程的根为x＝5或x＝
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第五章 分式与分式方程
1 分式及其基本性质
第2课时 分式的基本性质及最简分式
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
1. （2025·湖南）约分 的结果是（ B ）
A. x B. x2 C. xy D. x2y
2. （易错题）下列分式是最简分式的为（ C ）
A. B.
C. D.
B
C
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3. 在分式 中，分子与分母的公因式为 2（a－1） ，约分后的结果为 ，是 整式 （填“整式”或“分式”）.
4. （教材变式）在括号里填入适当的整式.
（1） ＝ ； （2） ＝ .
2（a－1）
整式
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5. （2025·北京）已知a＋b－3＝0，求代数式 的值.
解：原式＝ ＝ ＝ .∵ a＋b－3＝0，∴ a＋b＝3.∴ 当a＋b＝3时，原式＝
6. （新考法·开放题）有下列三个代数式：① a2－2ab＋b2；② 3a－3b；③ a2－b2.从中任意选择两个代数式构成分式，然后进行化简，并求出当a＝6，b＝3时，该分式的值.
解：答案不唯一，如选择①② ＝ .当a＝6，b＝3时，原式＝1
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7. 若m为整数，则能使 也为整数的m的值有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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8. 下列计算错误的是（ B ）
A. ＝
B. ＝a－b
C. ＝－
D. ＝
B
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9. （数形结合思想）如图，若a＝2b，则在数轴上表示 的值的点落在第 ③ 段.
③
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10. 化简分式 ，甲同学的解法： ＝ ＝a－b；乙同学的解法： ＝ ＝ ＝a－b.请根据分式的基本性质，判断甲、乙两名同学的解法是否正确，并说明理由.
解：甲同学的解法正确，乙同学的解法错误 理由：∵ 分式 已隐含了a＋b≠0这一条件，∴ 运用分式的基本性质，可以将分式的分子、分母同时除以（a＋b）.∵ a－b是否为0并不确定，∴ 不能用分式的基本性质将分式的分子、分母同时乘（a－b）或除以（a2－b2）.
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10(共14张PPT)
第五章 分式与分式方程
3 分式方程
第1课时 分式方程
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ D ）
A. －3＝ B. ＝
C. ＋1＝ D. ＝1－
2. 已知x＝5是分式方程 ＝ 的解，则a的值为（ C ）
A. －2 B. －4 C. 2 D. 4
D
C
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3. （2025·绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等.若设B货车每时运输化工原料x吨，则可列方程为（ C ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
C
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4. 某校为满足学生课外活动多样化的需求，准备购买排球和足球若干个.已知足球的单价比排球的单价高60％，用500元购买的排球数量比用720元购买的足球数量多1个，排球和足球的单价各是多少元？小宇根据题意列出方程 － ＝1，则方程中未知数x表示的是（ B ）
A. 足球的单价 B. 排球的单价
C. 足球的数量 D. 排球的数量
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5. （数形结合思想）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施.如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程s（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为 ＝ .
＝
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6. 小辉解下面一道题：在课外跳绳活动中，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下，已知 ，求小群每分跳多少下.其中有一部分被墨水污染了，他查看后面的答案如下：设小林每分跳了x下.根据题意，可列方程为 ＝ .请你根据所列方程把被墨水污染的部分补充出来.
解：由方程，知小林每分跳了x下，小群每分跳了（x＋20）下，∴ 被墨水污染的部分是“小群每分比小林多跳20下”
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7. （教材变式）据统计，某商场服装专柜今年的销售额为850万元，考虑到物价上涨等因素扣除50万元后，还比去年增加了约8％.设该商场服装专柜去年的销售额为x万元，请你列出x满足的方程.你能列出几个形式不同的方程？其中哪一个是分式方程？
解：由题意，可列出三个形式不同的方程，即（1＋8％）x＝850－50，x＝ ， ＝1＋8％ ＝1＋8％是分式方程
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8. （2025·深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少3.若设原计划人数为x，则下列方程正确的是（ A ）
A. － ＝3 B. － ＝3
C. ＝2× D. ＝2×
A
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9. 小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10km的普通道路，路线b为快速通道，全程7km，走路线b比路线a平均速度提高40％，时间节省10min，走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为xkm/h，则根据题意，可列方程为 － ＝ .
－ ＝
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（1） 试判断哪些方程是分式方程；
解：（1） ∵ ①②④的分母中都含有未知数x，且都是关于x的方程，∴ ①②④都是分式方程
（2） 利用方程的根的定义检验哪个分式方程的根是x＝1.
解：（2） 当x＝1时，对于①：左边＝1，右边＝－2，∴ 左边≠右边.∴ x＝1不是①的根.对于②：左边＝ ＝－1，右边＝2，∴ 左边≠右边.∴ x＝1不是②的根.对于④：左边＝ － ＝－ ，右边＝ ＝－ ，∴ 左边＝右边.∴ x＝1是④的根
10. 已知下列关于x的方程：① ＝－2；② ＝2；③ （x＋3）＋2＝ ；④ － ＝ ；⑤ － ＝0；⑥ －2＝ .
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11. 某工程在招标时，接到甲、乙两支工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两支工程队的投标书测算，有如下方案：甲工程队单独做这项工程刚好完成；乙工程队单独做这项工程要比规定时间多6天；若甲、乙两支工程队一起做3天，余下的工程由乙工程队单独做也刚好完成.
（1） 设甲工程队单独完成这项工程需要x天，完成下表：
工程总量 所用时间/天 效 率
甲工程队 1 x
乙工程队 1 x＋6
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x
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x＋6
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（2） 根据题意及表中所得信息，列出方程.
解： ×3＋ ＝1
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12. 某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20％，小方家去年12月的水费是26元，而今年5月的水费是50.4元.已知小方家今年5月的用水量比去年12月多8立方米，求去年居民的用水价格（设恰当的未知数，列出方程即可）.
解：设去年居民的用水价格为每立方米x元.由题意，可列方程为 － ＝8
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