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专题03 统计与概率（7大题型）
统计与概率是中考数学的核心考点之一，该部分内容与实际生活联系紧密，题型以基础题和中档题为主，侧重考查数据的收集、整理、分析以及简单概率的计算。复习时需扎实掌握统计图表的解读、统计量的计算、概率的求解方法，注重审题细节和计算准确性，避免因概念混淆、图表读错导致丢分。
题型一：数据的收集与整理
1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式
B．64的平方根为8
C．若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
【答案】C
【分析】本题考查了普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义．根据普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，故原说法不正确，该选项不符合题意；
B、64的平方根为，故原说法不正确，该选项不符合题意；
C、∵一个正多边形的每一个内角都是，
∴每一个外角都是，
∵多边形的外角和为，
∴这个正多边形的边数为，
即这个多边形是正五边形，故原说法正确，该选项符合题意；
D、甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，
，则甲的成绩较稳定，故原说法不正确，该选项不符合题意；
故选：C．
2．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ）
A．3000 B．4000 C．6000 D．60000
【答案】A
【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本数量除以所求量占样本的比例即可估计总量．
由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用标记的鱼数除以样本中标记鱼的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：（条）；
故选：A．
3．（2024·青海西宁·中考真题）2024年5月9日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕．在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是500
B．本次调查的学生成绩在70~80分之间的人数是10
C．本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分之间
D．估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70
【答案】C
【分析】本题考查了频数分布直方图、样本容量、用样本估计总体等知识，根据样本容量、中位数的定义、用样本估计总体逐一判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】A．本次调查的样本容量是，故选项不符合题意．
B．本次调查的学生成绩在分之间的人数是，故选项不符合题意．
C．把本次调查的学生成绩按从小到大的顺序排列，排在中间的两个数应在之间，所以本次调查的学生成绩的中位数落在之间，故选项符合题意．
D．估计名参赛学生中成绩在分以下的人数是（人），故选项不符合题意．
故选:C．
数据收集的常用方法：①全面调查（普查），适用于调查范围小、调查结果要求准确的情况；②抽样调查，适用于调查范围广、具有破坏性或调查成本高的情况. 抽样调查的关键要求：样本需具有代表性和广泛性，避免抽样偏差. 数据整理的常用步骤：收集数据→分类整理→绘制统计图表（统计表、条形图、折线图等）. 4.易错点：混淆普查和抽样调查的适用场景，误将非代表性样本当作有效样本进行分析.
1．（2025·湖南·中考真题）下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．了解某班同学的跳远成绩 B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．
全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法全面调查的情况．
【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的跳远成绩，适合全面调查，符合题意；
选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符合题意；
选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意；
选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样调查，不符合题意；
故选：A．
2．（2025·江西·中考真题）某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ）
A．随机抽取城区三分之一的学校 B．随机抽取乡村三分之一的学校
C．调查全体学校 D．随机抽取三分之一的学校
【答案】D
【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
【详解】解：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意；
B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意；
C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意；
D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（2025·重庆·中考真题）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
【答案】D
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
题型二： 统计图表的识别与解读
1．（2025年云南省大理州九年级中考模拟）某公司生产A，B，C，D四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：
下列判断正确的是（ ）
A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍
B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍
C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等
D．每天单独生产C型帐篷的数量最多
【答案】C
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可判断各选项，解题关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系．
【详解】解：A．单独生产B型帐篷所需天数为(天)，
单独生产C型帐篷所需天数为 (天)，
∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的4倍，故选项不符合题意；
B．单独生产A型帐篷所需天数为(天)，
∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍，故选项不符合题意；
C．单独生产D型帐篷所需天数为(天)，
∴单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等，故选项符合题意；
D．由条形统计图可得每天单独生产A型帐篷的数量最多，故选项不符合题意；
故选：C．
2．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．
第1次测试 第2次测试 第3次测试
甲 × × ×
乙 ×
注：×表示犯规．
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．
(1)补全条形统计图；
(2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？
【答案】(1)见详解
(2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解
【分析】本题考查了补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据共进行了3次测试，每次各跳远3次，共次测试，用总次数减去犯规次数以及优秀成绩的次数，即可得出甲的一般成绩有次，再补全条形统计图，即可作答．
（2）分析表格，得出乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，
即甲的一般成绩有次，
补全条形统计图，如图所示：
（2）解：乙参加跳远比赛较为合适，
理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，
∴乙参加跳远比赛较为合适．
常见统计图表：条形统计图（直观反映数量多少）、折线统计图（直观反映数量变化趋势）、扇形统计图（直观反映各部分占总体的百分比）、频数分布直方图（反映数据的频数分布情况）. 2.扇形统计图核心公式：某部分圆心角度数 = 该部分所占百分比 ×360°；各部分百分比之和为 1. 频数分布直方图：组距 = 极差 ÷ 组数，频数之和等于数据总数，频率 = 频数 ÷ 数据总数. 4.易错点：解读扇形统计图时忽略 “百分比对应的总体”，读频数分布直方图时混淆组距和频数，未注意图表标注的单位.
1．（2026·浙江·模拟预测）政府制定相关优惠政策鼓励企业提升新质生产力，发展人工智能．某地统计了1-5月各月新增人工智能项目的企业数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图．
则该地1月份新增人工智能项目的企业数量为（ ）
A．5家 B．4家 C．3家 D．2家
【答案】A
【分析】本题考查了折线统计图与扇形统计图的综合运用．利用3月份新增人工智能项目的企业数量及其占比求得1-5月各月新增人工智能项目的企业数量，再减去2-5月各月新增人工智能项目的企业数量，即可求解．
【详解】解：，
，
∴该地1月份新增人工智能项目的企业数量为5家．
故选：A．
2．（2026·山西运城·一模）为研究山西某地的气象变化情况，小宣将2月和3月的第一周中每天的最高气温整理成两组数据制作成如下所示的折线统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．2月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定
B．3月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定
C．2月份的第一周平均日最高气温更高，但3月份的第一周日最高气温更稳定
D．3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定
【答案】D
【分析】根据折线统计图的平缓程度即可得到答案．
【详解】解：观察统计图可知，3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定．
（2026·山西运城·一模）为了丰富学生的课余生活，某校在课后延时服务时间开设了兴趣社团：A．趣味数学；B．生物与健康；C．自然与科学；D．物理小实验；E.诗词鉴赏．该校数学兴趣小组随机选取了部分学生进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整），请认真阅读材料信息，回答下列问题：
调查问卷 请选出你最喜欢的社团，并在后面打“√”（每人只能选择一项） A．趣味数学（ ） B．生物与健康（ ） C．自然与科学（ ） D．物理小实验（ ） E.诗词鉴赏（ ）
(1)本次调查问卷共有______份；扇形统计图中，的值为______．
(2)补全条形统计图．
(3)若该校共有1200名学生，请估计选择“A．趣味数学”的学生人数．
【答案】(1)200；10
(2)见解析
(3)360名
【分析】（1）利用喜欢趣味数学社团的人数除以对应的占比即可求出总调查问卷的份数，再利用部分数除以总数得到占比即可求出m；
（2）先计算出喜欢自然与科学的人数，进而可补充统计图；
（3）根据样本估计总体，利用总人数乘以调查过程中喜欢趣味数学的人数所占比，即可获得答案．
【详解】（1）解：（份），，
故本次调查问卷共有200份；扇形统计图中，的值为10．
（2）解：（人），
故补全条形图如下：
（3）解：．
答：选择“A.趣味数学”的学生人数约为360名．
题型三： 平均数、中位数、众数的计算与应用
1．（2025·四川乐山·中考真题）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（ ）
A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元
【答案】A
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．
【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元），
故选：A．
2．（2025·四川·中考真题）某航模社团开展某小型无人机飞行时长测试，随机抽取5架该型无人机，充满电后首次飞行时长记录如下（单位：分钟）：18，20，22，23，24．这组数据的中位数为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．23
【答案】C
【分析】本题考查了中位数的概念及计算，解题的关键是熟练掌握中位数的定义——将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，中间位置的数即为中位数；若为偶数，则中间两个数的平均数为中位数．
先确认所给数据是否已按从小到大顺序排列，本题数据18，20，22，23，24已有序；再根据数据个数为5（奇数），计算中间位置为，即第3个数据就是这组数据的中位数．
【详解】解：根据中位数的定义，将数据按从小到大排列：18，20，22，23，24；
数据个数为5（奇数），中间位置为第个，第3个数据为22，故这组数据的中位数是22．
故选：C．
3．（2025·湖南长沙·中考真题）2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：．则这组数据的众数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了众数的求解，根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，统计各数值出现的次数即可求解；
【详解】解：∵出现的次数最多（3次），
∴众数为，
故选：B
1.①算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”．②加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数． 2.中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，若数据个数为奇数，中间的数为中位数；若为偶数，中间两个数的平均数为中位数. 3.众数：一组数据中出现次数最多的数，一组数据的众数可以有 1 个、多个或没有. 4.易错点：计算加权平均数时忽略权重，求中位数时未先对数据排序，混淆众数和中位数的实际意义.
1．（2025·江苏镇江·中考真题）一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）
A．82 B．84 C．85 D．87
【答案】B
【分析】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
先将数据从小到大排序，然后根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：从小到大排序为：80，82，82，84，85，87，90，
中间的数为84，
∴中位数为84．
故选：B．
2．（2025·江苏盐城·中考真题）在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】D
【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键．
根据题意，结合众数的意义，即可求解．
【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数，
故选：D．
3．（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7
【答案】C
【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．
【详解】解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为；
在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6，
故选：C．
题型四： 统计图表的综合运用
1．（2026·陕西西安·一模）为丰富同学们的校园生活，检验日常学习成果，某校在学期中开展了学科素养达标测试．测试结束后，教务处从全校学生的测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用分层抽样的方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．
其中D组共有10个成绩，从高到低分别为：69，68，66，65，65，65，64，63，61，60．根据以上信息，解答下列问题：
(1)D组10个成绩的平均数为________；众数为________；
(2)本次被抽取的所有成绩的个数为________，扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为________；
(3)若测试成绩不低于80分为优秀，估计该校3000名学生中成绩优秀的人数是多少？
【答案】(1)分，65分；
(2)
(3)人．
【分析】（1）根据平均数和众数的定义进行解答即可；
（2）根据D组数据的个数及其百分比即可求出被抽取的所有成绩的个数，用乘以B组的百分比即可求出B组对应扇形的圆心角；
（3）利用样本估计总体的思想列式计算即可．
【详解】（1）解：，
∴D组10个成绩的平均数为分，
D组10个成绩中出现次数最多的是65分，
即众数为65分；
（2）由题意可得，本次被抽取的所有成绩的个数为：，
扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为：；
（3）由题意可得，（人）
答：估计该校3000名学生中成绩优秀的人数是人．
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）2025年2月，江苏省教育厅印发《关于在义务教育学校实施“2 15专项行动”的通知》，明确提出“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成五档（A档、B档、C档、D档、E档，单位：），绘制成统计图．其中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
(1)扇形统计图中的值为___________，条形统计图中“B档”成绩的人数为___________；
(2)本次抽测中，立定跳远成绩的中位数落在___________档；
(3)若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数．
【答案】(1)40，12
(2)C
(3)80人
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，求中位数等知识点，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）先由档人数除以占比求出抽取的人数，由档人数除以抽取人数求出占比即可；由抽取人数减去档人数即可求解“B档”成绩的人数；
（2）由中位数的概念即可求解；
（3）根据用样本估计总体的方法 即可．
【详解】（1）解：抽取的学生数为，
∴，
∴；
“B档”成绩的人数为：；
故答案为：40，12；
（2）解：∵抽取60名学生，
∴中位数是第30，31名男生成绩的平均数，
由条形统计图第30，31名男生成绩均在档，
∴中位数落在档，
故答案为：C；
（3）解：（人），
答：估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数为80人．
1.核心考点：结合平均数、中位数、众数、方差、统计图表进行综合分析，解决实际决策问题（如评选优秀、选择方案、分析数据特征等）. 2.解题思路：①从统计图表中提取完整数据信息；②计算所需统计量；③结合问题背景分析统计量的实际意义；④给出合理结论或决策. 3.易错点：仅根据单一统计量下结论，忽略数据的整体特征和问题实际背景，统计量计算错误导致决策偏差.
1.本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：．
为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
信息一：3月份测试成绩如下：
17 33 28 27 35 19 21 22 25 22
25 27 19 27 18 27 28 29 31 32
信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下：
信息三：测试成绩对比表如下：
月份 平均数/个 众数/个 优秀率
3月 a b
6月 29 c
请根据以上信息；完成下面问题：
(1)补全条形图；
(2)表中的 ， ， ；
(3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？
【答案】(1)见解析
(2)27；；；
(3)6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人．
【分析】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，理解题意，结合图形获取相关信息是解题关键．
（1）结合条形统计图和扇形统计图得出合格的人数为：人，然后确定优秀的人数，补全统计图即可；
（2）根据众数得定义即可确定a的值，利用优秀率的计算方法求解即可；
（3）用总人数乘以相应的优秀率，然后相减即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意得，合格的人数为：人，
∴优秀的人数为：人，
补全统计图如下：
（2）根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多，
∴，
∵优秀：；
∴3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人，
∴，，
故答案为：27；；；
（3）6月份达到“优秀”的人数为：人，
3月份达到“优秀”的人数为：人，
∴人，
∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人．
2．（2025·海南·中考真题）2025年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，划分为A、B、C、D、E五个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76，76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94．
数据扇形统计图
数据统计表
分数段 等次 人数
A
B 6
C 6
D
E 2
(1)扇形统计图中 ，统计表中 ；
(2)这20个数据的众数为 ，中位数为 ；
(3)若该校八年级共有400人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有 人；
(4)为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议．
【答案】(1)15；3；
(2)87；78；
(3)60
(4)大课间的活动内容要形式多样、丰富多彩，更好的吸引学生，提高满意程度
【分析】本题主要考查了扇形统计图和统计表，利用样本估计总体，理解题意，根据图象获取相关信息是解题关键．
（1）根据扇形统计图直接确定m的值即可；再用抽取的人数乘以相应比例即可；
（2）根据题意得出▲在D组，★在A组，然后利用众数和中位数的定义求解即可；
（3）用总数乘以相应比例即可；
（4）提出合理建议即可．
【详解】（1）解：，
∴；
∴；
故答案为：15；3；
（2）解：根据题意得：D组人数为：人，
∵20个数据为：54， 57，▲，65，67，71，73，76，76，77，79，82，87， 87，87，88， 89，★，92，94．
∴▲在D组，★在A组，
∵87出现的次数最多为3次，
∴众数为87；
中位数为第10、11位数据77,79的平均数即，
故答案为：87；78；
（3）解：根据题意得：人，
故答案为：60；
（4）解：大课间的活动内容要形式多样、丰富多彩，更好的吸引学生，提高满意程度．
3．（2026·山东滨州·一模）2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参加航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70
八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89
【整理数据】
成绩 年级
七年级 2 a b 4
八年级 1 2 6 6
【描述数据】
七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图
【分析数据】
统计量年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 82 c 87 92.13
八年级 86 87 d 79.73
根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)填空：_______，_______；
(3)若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级；
(4)七年级共有750名学生参加此次竞赛，如果成绩不低于85分可以参加第二轮比赛，请估计七年级能参加第二轮比赛的人数．
【答案】(1)见解析 (2)80；90
(3)48；八 (4)人
【分析】（1）将七年级的数据进行整理，求出a，b的值，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）将乘以八年级成绩在这一组的比例，即可求出相应扇形的圆心角度数．根据方差的比较即可得到本次竞赛成绩更整齐的年级；
（4）将750乘以样本中七年级的成绩不低于85分的比例即可解答．
【详解】（1）解：将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87，92，94，94，98，
数据整理如下：
成绩 年级
七年级 2 5 4 4
八年级 1 2 6 6
即，，
补全频数分布直方图为：
（2）解：对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80，
所以．
对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以．
（3）解：八年级成绩在这一组的有2人，对应的扇形圆心角为．
由于八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，因此本次竞赛成绩更整齐的是八年级．
（4）解：（人）
答：估计七年级能参加第二轮比赛的有350人．
题型五： 随机事件与概率公式的计算
1．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析.
【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；
选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；
选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；
选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；
综上，只有选项B符合不可能事件的定义，
故选：B．
2．（2025·山东东营·中考真题）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查概率的计算，根据成功事件数与总事件数的比值求解．
【详解】解：总共有4张卡片，其中印有“巳”的卡片有2张，
因此，抽取到“巳”的概率为成功事件数除以总事件数，即，
故选：D．
事件的分类：①必然事件，一定发生的事件，概率为 1；②不可能事件，一定不发生的事件，概率为 0；③随机事件，可能发生也可能不发生的事件，概率在 0 和 1 之间. 判断依据：结合生活常识、数学定义和客观事实，判断事件发生的可能性. 3.易错点：将大概率发生的随机事件当作必然事件，将小概率发生的随机事件当作不可能事件. 4.古典概型特征：①试验中所有可能出现的结果是有限的；②每个结果出现的可能性相等. 5.概率公式：P(A) = ．
1．（2026·湖北·模拟预测）下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．件产品中有件次品，从中任意抽取件，至少一件是正品
C．不等式的两边同时乘一个数，结果仍是不等式
D．随意翻一本书的某页，这页的页码一定是偶数
【答案】B
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
依据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，判断各选项即可．
【详解】解：∵平移变换不改变图形的形状和大小，平移后图形与原图形全等，
∴A选项是不可能事件．
∵100件产品中仅有4件次品，从中抽取5件，最多抽到4件次品，至少有1件是正品，
∴B选项是必然事件．
∵当不等式两边同时乘以非零数时，结果仍为不等式，当乘以0时，结果为等式，事件的结果不唯一，
∴C选项是随机事件．
∵书的页码可能是奇数，也可能是偶数，
∴D选项是随机事件．
故选：B．
2．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
【答案】C
【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，
∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球，
A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；
B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；
D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
故选：C．
3．（2026·四川泸州·一模）从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查概率公式和无理数的判断，需准确识别无理数个数，解题的关键是熟练掌握无理数的概念即无限不循环小数．
先找出无理数，再用概率公式求解即可．
【详解】解：这5个数中无理数有和，
∴抽到无理数的概率是，
故选：B．
4．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率．
【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元．
随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种：
1. 10元和20元，和为30元；
2. 10元和30元，和为40元；
3. 20元和30元，和为50元．
其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）．
因此，所求概率为：．
故选：C．
题型六：列举法求概率
1．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．
(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；
(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种，
取出的3个小球上所写数字没有4的概率为．
故答案为：．
（2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种，
取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为．
2．（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
(1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
（1）直接利用概率公式即可解题；
（2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可．
【详解】（1）解：盒子里装有四张卡片，
从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是，
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种，
∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：．
1.列举法求概率常用求解方法：①列举法（直接列举、列表法）；②树状图法，适用于两步或两步以上的试验. 2.易错点：列举结果时重复或遗漏，未判断试验是否满足古典概型的等可能性特征，计算时混淆 “事件 A 的结果数” 和 “总结果数”.
1．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．
(1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________；
(2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同，
∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，
∴两次摸到的球标号均小于3的概率为．
2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．
【答案】(1)
(2)转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列举出所有情况，乙盘指针落在C区域未落在Q区域的情况数，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是．
（2）解：列表如下：
由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种，
∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为．
3．（2025·江苏南通·中考真题）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动．
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：
(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动；
(2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了概率的计算，包括简单事件概率（单一对象选择）和两步事件概率（两人选择），熟练掌握概率公式（，其中是总结果数，是事件发生的结果数 ）以及用列表法列举所有等可能结果是解题的关键．
（1）根据有四个等可能的场所，小明选到南通博物苑是其中一种情况，用南通博物苑这一种情况数除以总场所数即可得概率；
（2）通过列表法列出小华和小丽选择场所的所有等可能结果，再找出两人都选南通美术馆的结果数，用该结果数除以总结果数得到概率 ．
【详解】（1）解：图中社会实践活动分别用①，②，③，④表示，则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为；
（2）解：列表如下：
小华小丽 ① ② ③ ④
① ①① ①② ①③ ①④
② ②① ②② ②③ ②④
③ ③① ③② ③③ ③④
④ ④① ④② ④③ ④④
共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种，所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为．
题型七： 统计与概率的综合应用
1．（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图．
意愿参加课程人数统计表
课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作
人数 10 8 15
(1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人；
(2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？
(3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】(1)，
(2)全校参加科幻画创作的学生有人；
(3)恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
【分析】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率．
（1）用C语言编程的人数除以对应的百分比，即可得抽取的学生人数，减去意愿参加C语言编程、科创小论文、科幻画创作的人数，即可得意愿参加无人机飞行训练的人数；
（2）用全校总人数乘以科幻画创作学生数占总人数的比，即可得全校参加科幻画创作的学生人数；
（3）根据题意画树状图，用一男一女的组合数比总数，即可得恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【详解】（1）解：（人）
（人）
故答案为：，．
（2）解：（人）
答：全校参加科幻画创作的学生有人．
（3）解：画树状图如下：
∴．
答：恰好抽到一名男生一名女生的概率．
2．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
【答案】(1)120；(2)；(3)600人；(4)．
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键；
（1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可；
（2）用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：(1)；
故答案为：120；
(2)喜爱玩偶的人数为，
；
故答案为：；
(3)(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人．
(4)根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即．
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)．
核心考点：结合统计图表、统计量计算求概率，利用概率分析实际问题（如游戏公平性判断、估计总体数量、方案设计与评价等）. 解题思路：①从统计材料中提取数据，计算相关统计量或确定试验的所有结果；②利用概率公式求解事件概率；③结合概率大小分析问题，判断游戏是否公平、设计合理方案. 游戏公平性判断标准：若双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平. 4.易错点：统计数据提取错误导致概率计算偏差，判断游戏公平时仅考虑结果数量未考虑概率相等性，用样本概率估计总体时忽略样本的代表性.
1．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下．
（一）收集与整理
农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：
64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：
62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．
（二）描述与分析
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 a 86 c
城区 84 86 b 118.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________；
（三）迁移与应用
（2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议．
【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析
【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的定义，用列表法或画树状图的方法求概率，利用平均数、中位数、众数、方差作决策等知识．
（1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可．
（2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可．
（3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，数据大小比较，进而提出合理建议即可．
【详解】解：（1），
城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87，
故，
（2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下：
总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种，
∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）．
（3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展；
从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学；
从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平；
从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化．
2．（2025·四川资阳·中考真题）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；
(3)已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率．
【答案】(1)80；条形统计图见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的关联，以及用画树状图或列表法求概率，解题关键是理解题意，能结合两种图形获取有效信息．
（1）已知A项目所占圆心角度数为，可根据，先求出其占总人数的比例，再根据A项目人数为32人，即可求出总人数；进而根据总人数求出 C类人数，即可完成条形统计图；
（2）由（1）中 C类人数，可先求出其占总人数的比例，再用比例与相乘即可求出对应圆心角的度数；
（3）首先画出树状图，由图可得所有等可能的结果数量，以及恰好两名性别相同的学生的结果数量，再根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：由图可知，本次被调查的学生共有：（人）
C项目人数为：（人）， 完整条形统计图如下：
（2）C类对应的圆心角的度数为：．
（3）画出树状图如下所示：
由上图可得，共有12种等可能的结果，其中两名性别相同的学生的结果有4种，
∴恰好两名性别相同的学生的概率为：．
3．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 频数（人数）
1 10
2
3 35
4 25
5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度；
(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)20，10，90
(2)统计图见解析
(3)
【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算：
（1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角；
（2）根据（1）中求出数据即可作图；
（3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可．
【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为，
由扇形统计图可知第5组人数，
则第2组人数，
第4组人数在扇形图中对应的圆心角为，
故答案为：20，10，90；
（2）解：如图：
（3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合：
，
共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种，
故概率为．
1．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
【答案】D
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可．
【详解】解：总销售量为：（册），
∴科技类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售占比为：，
∴其他类图书销售占比：；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故选D．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）下列说法不正确的是（ ）
A．明天下雨是随机事件
B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据相关知识点进行判断即可．
【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意；
B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意；
C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意；
D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意．
故选：B．
3．（2025·四川成都·中考真题）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
人数
元宇宙 16
脑机接口 a
人形机器人 14
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】B
【分析】本题考查统计表和扇形统计图，根据元宇宙的人数以及所占的比例求出总人数，进而求出的值即可．
【详解】解：；
故选B．
4．（2024·山东淄博·中考真题）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10
【答案】D
【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可．
【详解】解：平均数为：（分）；
方差为：；
故选D．
5．（2025·云南·中考真题）某中学为了解全校名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有______名．
【答案】
【分析】本题考查了扇形统计图，利用总人数乘以最喜爱娱乐节目的学生所占比即可求解，熟练掌握扇形统计图的特征是解题的关键．
【详解】解：该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有（名），
故答案为：．
6．（2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分．
【答案】
【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的意义及计算是关键．
按照加权平均数的计算公式计算即可．
【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：（分），
故答案为：．
7．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别 分数 频数 百分比
第1组
第2组 10
第3组 15
第4组 40
第5组
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图．
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；请将频数分布直方图补充完整；
(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；
(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数．
【答案】(1)10%，30%，见解析
(2)4
(3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人
【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体．
（1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数的定义求解即可
（3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为人，
则，
，
，，
补全频数分布直方图如下：
（2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数，
由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人，
前三组人数为人，前四组人数为人，
则中位数处于第4组的分数段内，
故答案为：4；
（3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为，
则全校91分以上的同学约有（人），
答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人．
8．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可；
（2）利用画树状图法或列表法计算概率即可．
本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为，
故答案为：．
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 － （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） － （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） － （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） －
由上表可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
．
9．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．
(1)任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为______；
(2)任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查几何概率，利用列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键；
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为；
故答案为：；
（2）列表如下：
第二次 第一次 红 白 蓝
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，
．
10．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；
(2)补全频数分布直方图；
(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
【答案】(1)105；110
(2)图象见解析
(3)480
【分析】本题考查统计图的分析和统计量的计算，找到题目对应的数据并正确运用统计量的概念求解是解题关键．
（1）根据众数和中位数的概念求解即可；
（2）先计算所给的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个数和这一组的样本个数，得到这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可；
（3）先计算样本中1分钟的跳绳次数不低于120次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对应的人数即可．
【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数；
中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110，
故答案为：105，110；
（2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本，
由（1），可知这一组共有15个样本，
由题意可知，样本总量为50，
故这一组共有个样本，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次，
∴（人）
故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480．
11．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？
(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)60，频数分布直方图见详解
(2)1200人
(3)
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图．
（1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可；
（2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可．
（3）画树状图，共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可；
【详解】（1）解：本次调查的样本容量是：，
则组的人数，
将频数分布直方图补充完整如下：
（2）解：（人），
该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人．
（3）解：画树状图如图：
共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为，
故答案为：．
12．（2025·山东东营·中考真题）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建（烹饪）、（种植）、（陶艺）、（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：
(1)参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整；
(2)请计算扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角；
(3)若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择小组的学生人数．
(4)若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率．
【答案】(1)，补充条形统计图见解析
(2)
(3)估计选择D小组的学生人数为500人
(4)
【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，利用列表法求概率，掌握由样本百分比估算总体数量的方法，圆心角的计算方法，列表法是解题的关键．
（1）根据C组的人数与占比计算求解调查总人数，由此得到B组人数，即可补全条形图；
（2）根据圆心角的计算方法求解即可；
（3）根据样本百分比估算总体数量即可求解；
（4）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：调查总人数为：（人）；
选择B人数为：（人）；
答：参加调查的总人数为180人，
补全条形图如下，
（2）解：，
答：B部分扇形所对应的圆心角为；
（3）解：（人），
答：估计选择D小组的学生人数为500人．
（4）解：由题意，列表如下：
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 统计与概率（7大题型）
统计与概率是中考数学的核心考点之一，该部分内容与实际生活联系紧密，题型以基础题和中档题为主，侧重考查数据的收集、整理、分析以及简单概率的计算。复习时需扎实掌握统计图表的解读、统计量的计算、概率的求解方法，注重审题细节和计算准确性，避免因概念混淆、图表读错导致丢分。
题型一：数据的收集与整理
1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式
B．64的平方根为8
C．若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
2．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ）
A．3000 B．4000 C．6000 D．60000
3．（2024·青海西宁·中考真题）2024年5月9日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕．在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是500
B．本次调查的学生成绩在70~80分之间的人数是10
C．本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分之间
D．估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70
数据收集的常用方法：①全面调查（普查），适用于调查范围小、调查结果要求准确的情况；②抽样调查，适用于调查范围广、具有破坏性或调查成本高的情况. 抽样调查的关键要求：样本需具有代表性和广泛性，避免抽样偏差. 数据整理的常用步骤：收集数据→分类整理→绘制统计图表（统计表、条形图、折线图等）. 4.易错点：混淆普查和抽样调查的适用场景，误将非代表性样本当作有效样本进行分析.
1．（2025·湖南·中考真题）下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．了解某班同学的跳远成绩 B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力
2．（2025·江西·中考真题）某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ）
A．随机抽取城区三分之一的学校 B．随机抽取乡村三分之一的学校
C．调查全体学校 D．随机抽取三分之一的学校
3．（2025·重庆·中考真题）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
题型二： 统计图表的识别与解读
1．（2025年云南省大理州九年级中考模拟）某公司生产A，B，C，D四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：
下列判断正确的是（ ）
A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍
B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍
C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等
D．每天单独生产C型帐篷的数量最多
2．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．
第1次测试 第2次测试 第3次测试
甲 × × ×
乙 ×
注：×表示犯规．
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．
(1)补全条形统计图；
(2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？
常见统计图表：条形统计图（直观反映数量多少）、折线统计图（直观反映数量变化趋势）、扇形统计图（直观反映各部分占总体的百分比）、频数分布直方图（反映数据的频数分布情况）. 2.扇形统计图核心公式：某部分圆心角度数 = 该部分所占百分比 ×360°；各部分百分比之和为 1. 频数分布直方图：组距 = 极差 ÷ 组数，频数之和等于数据总数，频率 = 频数 ÷ 数据总数. 4.易错点：解读扇形统计图时忽略 “百分比对应的总体”，读频数分布直方图时混淆组距和频数，未注意图表标注的单位.
1．（2026·浙江·模拟预测）政府制定相关优惠政策鼓励企业提升新质生产力，发展人工智能．某地统计了1-5月各月新增人工智能项目的企业数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图．
则该地1月份新增人工智能项目的企业数量为（ ）
A．5家 B．4家 C．3家 D．2家
2．（2026·山西运城·一模）为研究山西某地的气象变化情况，小宣将2月和3月的第一周中每天的最高气温整理成两组数据制作成如下所示的折线统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．2月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定
B．3月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定
C．2月份的第一周平均日最高气温更高，但3月份的第一周日最高气温更稳定
D．3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定
（2026·山西运城·一模）为了丰富学生的课余生活，某校在课后延时服务时间开设了兴趣社团：A．趣味数学；B．生物与健康；C．自然与科学；D．物理小实验；E.诗词鉴赏．该校数学兴趣小组随机选取了部分学生进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整），请认真阅读材料信息，回答下列问题：
调查问卷 请选出你最喜欢的社团，并在后面打“√”（每人只能选择一项） A．趣味数学（ ） B．生物与健康（ ） C．自然与科学（ ） D．物理小实验（ ） E.诗词鉴赏（ ）
(1)本次调查问卷共有______份；扇形统计图中，的值为______．
(2)补全条形统计图．
(3)若该校共有1200名学生，请估计选择“A．趣味数学”的学生人数．
题型三： 平均数、中位数、众数的计算与应用
1．（2025·四川乐山·中考真题）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（ ）
A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元
2．（2025·四川·中考真题）某航模社团开展某小型无人机飞行时长测试，随机抽取5架该型无人机，充满电后首次飞行时长记录如下（单位：分钟）：18，20，22，23，24．这组数据的中位数为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．23
3．（2025·湖南长沙·中考真题）2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：．则这组数据的众数是（ ）
A． B． C． D．
1.①算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”．②加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数． 2.中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，若数据个数为奇数，中间的数为中位数；若为偶数，中间两个数的平均数为中位数. 3.众数：一组数据中出现次数最多的数，一组数据的众数可以有 1 个、多个或没有. 4.易错点：计算加权平均数时忽略权重，求中位数时未先对数据排序，混淆众数和中位数的实际意义.
1．（2025·江苏镇江·中考真题）一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）
A．82 B．84 C．85 D．87
2．（2025·江苏盐城·中考真题）在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
3．（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7
题型四： 统计图表的综合运用
1．（2026·陕西西安·一模）为丰富同学们的校园生活，检验日常学习成果，某校在学期中开展了学科素养达标测试．测试结束后，教务处从全校学生的测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用分层抽样的方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．
其中D组共有10个成绩，从高到低分别为：69，68，66，65，65，65，64，63，61，60．根据以上信息，解答下列问题：
(1)D组10个成绩的平均数为________；众数为________；
(2)本次被抽取的所有成绩的个数为________，扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角为________；
(3)若测试成绩不低于80分为优秀，估计该校3000名学生中成绩优秀的人数是多少？
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）2025年2月，江苏省教育厅印发《关于在义务教育学校实施“2 15专项行动”的通知》，明确提出“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成五档（A档、B档、C档、D档、E档，单位：），绘制成统计图．其中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
(1)扇形统计图中的值为___________，条形统计图中“B档”成绩的人数为___________；
(2)本次抽测中，立定跳远成绩的中位数落在___________档；
(3)若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“E档”的男生人数．
1.核心考点：结合平均数、中位数、众数、方差、统计图表进行综合分析，解决实际决策问题（如评选优秀、选择方案、分析数据特征等）. 2.解题思路：①从统计图表中提取完整数据信息；②计算所需统计量；③结合问题背景分析统计量的实际意义；④给出合理结论或决策. 3.易错点：仅根据单一统计量下结论，忽略数据的整体特征和问题实际背景，统计量计算错误导致决策偏差.
1.本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：．
为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
信息一：3月份测试成绩如下：
17 33 28 27 35 19 21 22 25 22
25 27 19 27 18 27 28 29 31 32
信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下：
信息三：测试成绩对比表如下：
月份 平均数/个 众数/个 优秀率
3月 a b
6月 29 c
请根据以上信息；完成下面问题：
(1)补全条形图；
(2)表中的 ， ， ；
(3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？
2．（2025·海南·中考真题）2025年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，划分为A、B、C、D、E五个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76，76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94．
数据扇形统计图
数据统计表
分数段 等次 人数
A
B 6
C 6
D
E 2
(1)扇形统计图中 ，统计表中 ；
(2)这20个数据的众数为 ，中位数为 ；
(3)若该校八年级共有400人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有 人；
(4)为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议．
3．（2026·山东滨州·一模）2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参加航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70
八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89
【整理数据】
成绩 年级
七年级 2 a b 4
八年级 1 2 6 6
【描述数据】
七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图
【分析数据】
统计量年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 82 c 87 92.13
八年级 86 87 d 79.73
根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)填空：_______，_______；
(3)若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级；
(4)七年级共有750名学生参加此次竞赛，如果成绩不低于85分可以参加第二轮比赛，请估计七年级能参加第二轮比赛的人数．
题型五： 随机事件与概率公式的计算
1．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
2．（2025·山东东营·中考真题）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（ ）
A． B． C． D．
事件的分类：①必然事件，一定发生的事件，概率为 1；②不可能事件，一定不发生的事件，概率为 0；③随机事件，可能发生也可能不发生的事件，概率在 0 和 1 之间. 判断依据：结合生活常识、数学定义和客观事实，判断事件发生的可能性. 3.易错点：将大概率发生的随机事件当作必然事件，将小概率发生的随机事件当作不可能事件. 4.古典概型特征：①试验中所有可能出现的结果是有限的；②每个结果出现的可能性相等. 5.概率公式：P(A) = ．
1．（2026·湖北·模拟预测）下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．件产品中有件次品，从中任意抽取件，至少一件是正品
C．不等式的两边同时乘一个数，结果仍是不等式
D．随意翻一本书的某页，这页的页码一定是偶数
2．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
3．（2026·四川泸州·一模）从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型六：列举法求概率
1．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．
(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；
(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
2．（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
(1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
1.列举法求概率常用求解方法：①列举法（直接列举、列表法）；②树状图法，适用于两步或两步以上的试验. 2.易错点：列举结果时重复或遗漏，未判断试验是否满足古典概型的等可能性特征，计算时混淆 “事件 A 的结果数” 和 “总结果数”.
1．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．
(1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________；
(2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．
3．（2025·江苏南通·中考真题）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动．
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：
(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动；
(2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动．
题型七： 统计与概率的综合应用
1．（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图．
意愿参加课程人数统计表
课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作
人数 10 8 15
(1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人；
(2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？
(3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率．
2．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
核心考点：结合统计图表、统计量计算求概率，利用概率分析实际问题（如游戏公平性判断、估计总体数量、方案设计与评价等）. 解题思路：①从统计材料中提取数据，计算相关统计量或确定试验的所有结果；②利用概率公式求解事件概率；③结合概率大小分析问题，判断游戏是否公平、设计合理方案. 游戏公平性判断标准：若双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平. 4.易错点：统计数据提取错误导致概率计算偏差，判断游戏公平时仅考虑结果数量未考虑概率相等性，用样本概率估计总体时忽略样本的代表性.
1．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下．
（一）收集与整理
农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：
64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：
62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．
（二）描述与分析
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 a 86 c
城区 84 86 b 118.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________；
（三）迁移与应用
（2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议．
2．（2025·四川资阳·中考真题）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；
(3)已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率．
3．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 频数（人数）
1 10
2
3 35
4 25
5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度；
(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
1．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
2．（2025·江苏扬州·中考真题）下列说法不正确的是（ ）
A．明天下雨是随机事件
B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据相关知识点进行判断即可．
【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意；
B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意；
C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意；
D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意．
故选：B．
3．（2025·四川成都·中考真题）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表：
人数
元宇宙 16
脑机接口 a
人形机器人 14
根据图表信息，表中a的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
4．（2024·山东淄博·中考真题）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10
5．（2025·云南·中考真题）某中学为了解全校名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有______名．
6．（2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分．
7．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别 分数 频数 百分比
第1组
第2组 10
第3组 15
第4组 40
第5组
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图．
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；请将频数分布直方图补充完整；
(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；
(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数．
8．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
9．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．
(1)任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为______；
(2)任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
10．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；
(2)补全频数分布直方图；
(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
11．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？
(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
12．（2025·山东东营·中考真题）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建（烹饪）、（种植）、（陶艺）、（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：
(1)参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整；
(2)请计算扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角；
(3)若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择小组的学生人数．
(4)若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率．
