2025-2026学年内蒙古呼和浩特实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含简略答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年内蒙古呼和浩特实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含简略答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 332.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-17 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年内蒙古呼和浩特实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在天安门广场上庄严举行，由内蒙古一机集团制造的第四代主战坦克首次公开亮相接受检阅.若某坦克向前行进28m记作+28m,则向后倒退12m应记作（ ）
A. -16m B. -12m C. +12m D. +16m
2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.一元二次方程x2-4x+3=0的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在边AD上，连接CE，CE=AE，F是AE的中点，连接OF，AD=8，DC=4，则线段OF的长为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，分别以点A、B为圆心，以适当的长度为半径画弧，过两对弧的交点作直线，直线交AC于点D，连接BD，再通过尺规作图得射线CE，交BD于点E.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A. AD=BD
B. ∠BCE=∠ACE
C. ∠ECB=∠A
D. ∠CEB=115°
7.反比例函数的图象上有P（t,y1），Q（t+4，y2）两点.下列正确的选项是（ ）
A. 当t＜-4时，y2＜y1＜0 B. 当-4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C. 当-4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D. 当t＞0时，0＜y1＜y2
8.周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程y（km）与小华离家时间x（h）的函数图象.已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（ ）
A. 小华的速度是20km/h
B. 爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式：y=60x-80
C. 爸爸在出发25分钟后与小华相遇
D. 小华家到植物园的距离是28km
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9.内蒙古草原主要由六大核心草原（呼伦贝尔草原、科尔沁草原、锡林郭勒草原、乌兰察布草原、鄂尔多斯草原和乌拉特草原）组成，若从中随机选择一个，则选中“科尔沁草原”的概率是 .
10.港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72km/h和92km/h,若汽车通过海底隧道需要a小时，通过主桥需要b小时，则主桥和海底隧道的长度和用代数式表示为 千米.
11.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA=3，则△ABC外接圆的面积为______.
12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE，若CE=AF，则DE的长为 .
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题10分)
计算：
（1）；
（2）.
14.(本小题10分)
呼和浩特市素有“乳都”之称，为了解学生的日常饮奶情况，呼和浩特某初中组织开展了“初中生日常饮奶习惯”调查.中学生巴特尔作为学生统计员，从全校1000名学生的每日饮奶数据中随机抽取了n名学生的数据.他首先整理了同学们“每日平均饮奶量x（单位：盒，每盒250ml）”的分布情况，绘制了如下频数分布直方图（第一组0≤x＜0.5，第二组0.5≤x＜1，以此类推）.同时，巴特尔统计了同学们最常饮用的牛奶类型，分别是A（纯牛奶），B（酸奶），C（风味奶），D（其它），并绘制了如下扇形统计图.
请根据以上信息及统计图表，解决以下问题：
（1）若每日饮奶盒数小于1的学生占样本的30%，则n=______；扇形统计图中B部分对应的圆心角度数为______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知《中国居民膳食指南》建议青少年每日饮奶量约为500mL（2盒）.根据频数分布直方图，估计该校被调查学生中，达到或超过此建议量的人数，并为该校提升学生“健康饮奶水平”设计一条具体建议.
15.(本小题10分)
2025年是内蒙古博物院里程碑式的一年，全年接待观众272万人次，举办各类活动3500多场，以全新姿态展现了草原文明的多元魅力.博物院在售A，B两种文旅产品，已知每个B种产品的价格是每个A种产品价格的，用300元购买B种产品的数量比用200元购买A种产品的数量多7个.
（1）求每个A种产品的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种产品，且购买B种产品的数量比A种产品的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种产品.
16.(本小题10分)
如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ADC=120°，过A点作AE∥BC交CD的延长线于点E.
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）看一看，想一想，证一证，以下与线段AD、CD、BD有关的三个结论：①AD+CD＜BD，②AD+CD=BD，③AD+CD＞BD，你认为哪个结论正确，请说明理由.
17.(本小题10分)
【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况.在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成.
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数y=ax2+bx图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为（2，-1）且与x轴的另一交点为C.求C点坐标及抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y=x+1与坐标轴交于A，B两点，点C，C1是叶片上的一对对称点，线段CC1交直线AB于点G.证明△AGC是等腰直角三角形并求出线段CC1的长度；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为（4，4）.在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求MN的最大值.
18.(本小题14分)
学习平行四边形后，某数学兴趣小组对有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题展开研究，过程如下：
【探究发现】如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G.小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由.
【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN=BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H.连接FH，GN，如图②.求证：四边形GFHN是平行四边形.
【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形.如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】（72a+92b）
11.【答案】9π
12.【答案】
13.【答案】6
14.【答案】40;54° 补全频数分布直方图如图：
100人；建议：开展“牛奶与健康”主题班会，普及每日饮奶的健康知识；（合理即可）
15.【答案】每个A种产品的价格为25元 该游客最多购买11个A种产品
16.【答案】60° 证明：连接AO并延长交BC于点F，
∵AB=AC，
∴，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC交CD的延长线于点E，
∴AF⊥AE，
∵AO是半径，
∴AE是⊙O切线 ②AD+CD=BD正确．
理由：在BD上截取DF=AD，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，∠DAF=60°，
∴∠DAC=∠FAB，
∴△DAC≌△FAB（SAS），
∴DC=BF，
∴BD=DF+BF=AD+DC．
故②正确
17.【答案】C点坐标为（4，0）， 2
18.【答案】【探究发现】四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，
∴DE=GE，DF=GF，
∵DF=DE，
∴GE=DE=DF=GF，
∴四边形DEGF是菱形；
【探究证明】∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，
∴BN=HN，BM=HM，
∵BN=BM，
∴HN=BN=BM=HM，
∴四边形BMHN是菱形，
∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DE=FG，FG∥AD，
∴FG=DE=BM=HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形；
【探究提升】四边形GFHN能成为轴对称图形；理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，如图3，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，
∵∠A=60°，
∴∠AET=30°，
∴，
设AT=x，则AE=2x，
在直角三角形AET中，由勾股定理得：，
∵E为AD中点，
∴AD=2AE=4x，DE=AE=2x，
∵四边形DEGF是菱形，
∴EG=DE=2x=TK，
∵四边形GFHN是矩形，
∴∠GNH=90°，
∵AD∥NH，∠A=60°，
∴∠HNB=∠A=60°，
∴∠GNK=180°-∠GNH-∠HNB=180°-90°-60°=30°，
∴GN=2GK，
在直角三角形KNG中，由勾股定理得：，
∵，
∴AB=AT+TK+KN+BN=x+2x+3x+2x=8x，
∴；
当四边形GFHN是菱形时，如图4，延长FG交AB于W，
设AD=y，则，
∵四边形GFHN是菱形，
∴，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN=∠A=60°，
∴，，
∴GW=GN，
∴△GWN是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，的值为2或．
第1页，共1页
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在天安门广场上庄严举行，由内蒙古一机集团制造的第四代主战坦克首次公开亮相接受检阅.若某坦克向前行进28m记作+28m,则向后倒退12m应记作（ ）
A. -16m B. -12m C. +12m D. +16m
2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.一元二次方程x2-4x+3=0的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在边AD上，连接CE，CE=AE，F是AE的中点，连接OF，AD=8，DC=4，则线段OF的长为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，分别以点A、B为圆心，以适当的长度为半径画弧，过两对弧的交点作直线，直线交AC于点D，连接BD，再通过尺规作图得射线CE，交BD于点E.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A. AD=BD
B. ∠BCE=∠ACE
C. ∠ECB=∠A
D. ∠CEB=115°
7.反比例函数的图象上有P（t,y1），Q（t+4，y2）两点.下列正确的选项是（ ）
A. 当t＜-4时，y2＜y1＜0 B. 当-4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C. 当-4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D. 当t＞0时，0＜y1＜y2
8.周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程y（km）与小华离家时间x（h）的函数图象.已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（ ）
A. 小华的速度是20km/h
B. 爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式：y=60x-80
C. 爸爸在出发25分钟后与小华相遇
D. 小华家到植物园的距离是28km
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9.内蒙古草原主要由六大核心草原（呼伦贝尔草原、科尔沁草原、锡林郭勒草原、乌兰察布草原、鄂尔多斯草原和乌拉特草原）组成，若从中随机选择一个，则选中“科尔沁草原”的概率是 .
10.港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72km/h和92km/h,若汽车通过海底隧道需要a小时，通过主桥需要b小时，则主桥和海底隧道的长度和用代数式表示为 千米.
11.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA=3，则△ABC外接圆的面积为______.
12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE，若CE=AF，则DE的长为 .
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题10分)
计算：
（1）；
（2）.
14.(本小题10分)
呼和浩特市素有“乳都”之称，为了解学生的日常饮奶情况，呼和浩特某初中组织开展了“初中生日常饮奶习惯”调查.中学生巴特尔作为学生统计员，从全校1000名学生的每日饮奶数据中随机抽取了n名学生的数据.他首先整理了同学们“每日平均饮奶量x（单位：盒，每盒250ml）”的分布情况，绘制了如下频数分布直方图（第一组0≤x＜0.5，第二组0.5≤x＜1，以此类推）.同时，巴特尔统计了同学们最常饮用的牛奶类型，分别是A（纯牛奶），B（酸奶），C（风味奶），D（其它），并绘制了如下扇形统计图.
请根据以上信息及统计图表，解决以下问题：
（1）若每日饮奶盒数小于1的学生占样本的30%，则n=______；扇形统计图中B部分对应的圆心角度数为______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知《中国居民膳食指南》建议青少年每日饮奶量约为500mL（2盒）.根据频数分布直方图，估计该校被调查学生中，达到或超过此建议量的人数，并为该校提升学生“健康饮奶水平”设计一条具体建议.
15.(本小题10分)
2025年是内蒙古博物院里程碑式的一年，全年接待观众272万人次，举办各类活动3500多场，以全新姿态展现了草原文明的多元魅力.博物院在售A，B两种文旅产品，已知每个B种产品的价格是每个A种产品价格的，用300元购买B种产品的数量比用200元购买A种产品的数量多7个.
（1）求每个A种产品的价格；
（2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种产品，且购买B种产品的数量比A种产品的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种产品.
16.(本小题10分)
如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ADC=120°，过A点作AE∥BC交CD的延长线于点E.
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）看一看，想一想，证一证，以下与线段AD、CD、BD有关的三个结论：①AD+CD＜BD，②AD+CD=BD，③AD+CD＞BD，你认为哪个结论正确，请说明理由.
17.(本小题10分)
【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况.在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成.
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数y=ax2+bx图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为（2，-1）且与x轴的另一交点为C.求C点坐标及抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y=x+1与坐标轴交于A，B两点，点C，C1是叶片上的一对对称点，线段CC1交直线AB于点G.证明△AGC是等腰直角三角形并求出线段CC1的长度；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为（4，4）.在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求MN的最大值.
18.(本小题14分)
学习平行四边形后，某数学兴趣小组对有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题展开研究，过程如下：
【探究发现】如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G.小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由.
【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN=BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H.连接FH，GN，如图②.求证：四边形GFHN是平行四边形.
【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形.如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】（72a+92b）
11.【答案】9π
12.【答案】
13.【答案】6
14.【答案】40;54° 补全频数分布直方图如图：
100人；建议：开展“牛奶与健康”主题班会，普及每日饮奶的健康知识；（合理即可）
15.【答案】每个A种产品的价格为25元 该游客最多购买11个A种产品
16.【答案】60° 证明：连接AO并延长交BC于点F，
∵AB=AC，
∴，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC交CD的延长线于点E，
∴AF⊥AE，
∵AO是半径，
∴AE是⊙O切线 ②AD+CD=BD正确．
理由：在BD上截取DF=AD，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，∠DAF=60°，
∴∠DAC=∠FAB，
∴△DAC≌△FAB（SAS），
∴DC=BF，
∴BD=DF+BF=AD+DC．
故②正确
17.【答案】C点坐标为（4，0）， 2
18.【答案】【探究发现】四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，
∴DE=GE，DF=GF，
∵DF=DE，
∴GE=DE=DF=GF，
∴四边形DEGF是菱形；
【探究证明】∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，
∴BN=HN，BM=HM，
∵BN=BM，
∴HN=BN=BM=HM，
∴四边形BMHN是菱形，
∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DE=FG，FG∥AD，
∴FG=DE=BM=HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形；
【探究提升】四边形GFHN能成为轴对称图形；理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，如图3，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，
∵∠A=60°，
∴∠AET=30°，
∴，
设AT=x，则AE=2x，
在直角三角形AET中，由勾股定理得：，
∵E为AD中点，
∴AD=2AE=4x，DE=AE=2x，
∵四边形DEGF是菱形，
∴EG=DE=2x=TK，
∵四边形GFHN是矩形，
∴∠GNH=90°，
∵AD∥NH，∠A=60°，
∴∠HNB=∠A=60°，
∴∠GNK=180°-∠GNH-∠HNB=180°-90°-60°=30°，
∴GN=2GK，
在直角三角形KNG中，由勾股定理得：，
∵，
∴AB=AT+TK+KN+BN=x+2x+3x+2x=8x，
∴；
当四边形GFHN是菱形时，如图4，延长FG交AB于W，
设AD=y，则，
∵四边形GFHN是菱形，
∴，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN=∠A=60°，
∴，，
∴GW=GN，
∴△GWN是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，的值为2或．
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