第六章第二节 万有引力定律
题型1 万有引力定律的内容、推导及适用范围 题型2 引力常量及其测定
题型3 万有引力的基本计算
▉题型1 万有引力定律的内容、推导及适用范围
【知识点的认识】
1.定义：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方程反比。即。
2.对表达式的说明
（1）引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力。
（2）公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两个球心间的距离。
3.的适用条件
（1）万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两个物体间的万有引力。
（2）质量分布均匀的球体间的相互作用力，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体的球心到质点的距离。
4.万有引力的四个特性
1．下列关于万有引力定律说法正确的是（ ）
A．牛顿发现了万有引力定律，伽利略测得了引力常量
B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力
C．根据表达式F＝G可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
D．根据表达式F＝G得G，由此可知引力常量G与F、r、m1、m2有关
【答案】B
【解答】解：A.牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什利用扭秤实验测得了引力常量，故A错误；
B.根据牛顿第三定律可知，两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力，故B正确；
C.万有引力表达式适用于两质点之间的万有引力，当r趋近于零时，两物体已经不能够看为质点，该表达式不适用，可知，当r趋近于零时，不能够认为万有引力趋近于无穷大，故C错误；
D.根据表达式，可以得到，但万有引力是一个常量，该常量与F、r、m1、m2无关，故D错误。
故选：B。
2．在探索宇宙奥秘的历史长河中，下列描述中正确的是（ ）
A．万有引力定律描述的是一种只在大质量天体之间存在的引力
B．天文学家第谷通过观测行星的运动，记录了大量数据并总结出行星运动的定律
C．牛顿通过实验验证了万有引力定律
D．“地心说”认为地球是静止不动的，太阳和其他行星都绕地球运动
【答案】D
【解答】解：A．万有引力定律适用于任意两个物体之间，而不仅仅存在于大质量天体之间，故A错误；
B．天文学家第谷通过观测行星的运动，记录了大量数据，开普勒利用第谷的观测数据总结出行星运动的定律，故B错误；
C．牛顿在前人对天体运动研究的基础上，结合自己提出的运动定律总结推导出了万有引力定律，卡文迪许通过实验验证了万有引力定律，故C错误；
D．“地心说”认为地球是宇宙的中心，且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动，故D正确。
故选：D。
3．关于万有引力和行星运动规律，下列说法中正确的是（ ）
A．开普勒利用自己观测的行星运动数据，发现行星绕太阳做匀速圆周运动
B．牛顿提出了万有引力定律，并计算出了地球的质量
C．“月—地检验”中比较的是月球绕地球公转的向心加速度和赤道上物体随地球自转的向心加速度
D．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动
【答案】D
【解答】解：A、开普勒利用第谷观测的行星运动数据，发现行星绕太阳的轨迹为椭圆，故A错误；
B、牛顿提出了万有引力定律，卡文迪什测出了引力常量，并首次计算出了地球的质量，故B错误；
C、牛顿通过比较月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度和地面重力加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”，故C错误；
D、开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动，故D正确。
故选：D。
4．已知太阳的质量大约是月亮质量的2.7×107倍，太阳到地球的距离大约是月球到地球距离的3.9×102倍，若太阳对地球的引力大小为F1，月亮对地球的引力大小为F2，则约为（ ）
A．130 B．178 C．226 D．274
【答案】B
【解答】解：根据万有引力定律得：
其中M太＝2.7×107M月，r1＝3.9×102r2
代入数据得：，故ACD错误，B正确。
故选：B。
5．关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（ ）
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍
D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则
【答案】D
【解答】解：A．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，宇宙中各物体之间均存在万有引力，故A错误；
B．万有引力公式只适用于两个可以看成质点的物体，r趋近于0时，不能看作质点，万有引力的公式不适用，故B错误；
C．由万有引力公式
当质量均变为原来的2倍，则万有引力会增加为原来的4倍，故C错误；
D．在地面上，有
h处有
联立解得
故D正确。
故选：D。
6．以下关于万有引力的说法正确的是（ ）
A．牛顿发现万有引力并推出万有引力定律与开普勒等科学家的研究无关
B．万有引力只存在于天体之间，地球上的物体之间不存在万有引力
C．万有引力存在于自然界任意两个物体之间
D．行星绕太阳运行的向心力来源于太阳对行星的万有引力，而太阳是中心天体，行星对它无万有引力的作用
【答案】C
【解答】解：A．开普勒等科学家对天体运动的研究为万有引力定律的发现做了准备，万有引力定律是牛顿在开普勒行星运动规律的基础上发现的，故A错误；
BC．所有的物体之间都有万有引力的作用，故B错误，C正确；
D．行星绕太阳运行的向心力来源于太阳对行星的万有引力，根据牛顿第三定律可知，太阳也受到行星对它的万有引力，故D错误。
故选：C。
7．关于万有引力公式，下列说法正确的是（ ）
A．甲物体对乙物体的万有引力与乙物体对甲物体的万有引力大小相等
B．对不同两物体间的万有引力的计算，公式中引力常量G的值是不同的
C．由万有引力公式可知，当两物体紧挨在一起时，两物体间的万有引力无穷大
D．计算太阳与地球之间的万有引力时，万有引力公式中的r指的是太阳的半径
【答案】A
【解答】解：A、根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，甲物体对乙物体的万有引力与乙物体对甲物体的万有引力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，故A正确；
B、对不同两物体间的万有引力的计算，公式中引力常量G的值是相同的，故B错误；
C、当两物体紧挨在一起时，两物体间的万有引力并非无穷大，故C错误；
D、计算太阳与地球之间的万有引力时，万有引力公式中的r指的是太阳和地球质心之间的距离，而不是太阳的半径，故D错误。
故选：A。
8．牛顿发现了万有引力定律，并给出了物体间引力大小表达式F＝G，但没有给出引力常量G的具体取值。如图为人类第一次在实验室测量出万有引力常量的实验示意图，通过此套装置比较精确测量出了万有引力常量数值，引力常量的精确测定对深入研究物体之间相互作用规律更有意义。以下说法正确的是（ ）
A．伽利略首先测量出了万有引力常量数值
B．图示引力常量测量实验中运用了放大法
C．图示实验中的大球对小球引力大于小球对大球引力
D．根据万有引力定律表达式，当r→0时，物体间引力将趋于无穷大
【答案】B
【解答】解：A．卡文迪什首先测量出了万有引力常量数值，故A错误；
B．图示万有引力常量测量实验中运用了放大法，故B正确；
C．根据牛顿第三定律，图示实验中的大球对小球引力等于小球对大球引力，故C错误；
D．根据万有引力定律表达式，当r→0时，万有引力的公式不再适应，不能得出物体间引力趋于无穷大，故D错误。
故选：B。
（多选）9．下列关于万有引力定律的说法中，正确的是（ ）
A．万有引力定律是卡文迪许在实验室中发现的
B．对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律F＝G中的r是两质点间的距离
C．对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离
D．质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力
【答案】BC
【解答】解：A、万有引力定律是牛顿发现的，故A错误；
B、对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律F＝G中的r是两质点间的距离，故B正确；
C、对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离，故C正确；
D、物体之间的万有引力时作用力和反作用力，不论质量大小，两物体之间的万有引力总是大小相等，故D错误。
故选：BC。
10．万有引力定律与开普勒三大定律是研究天体运动的重要物理原理，请回答下列有关问题：
（1）火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中第二小的行星。已知火星的公转周期约为687天，把地球和太阳之间的平均距离计为1天文单位，结合天文常识可知，火星到太阳的平均距离约为 A 。
A．1.5天文单位
B．2天文单位
C．2.5天文单位
D．3天文单位
（2）根据万有引力定律F，万有引力常量G的国际单位为 m3 kg﹣1 s﹣2 。
（3）对于万有引力定律F，吴老师提出了一个问题：如果R无限趋近于0，那是否物体间的引力会接近∞呢？请你回答这个问题并说明理由： 不会，因为此时无法忽略物体体积形状，不能将物体视为质点 。
（4）如图1为一个空球壳，其内部有A点，其质心为O点，吴老师告诉小朱同学，空球壳内任意一点受到空球壳的万有引力为0，小朱同学认为，O点受到上下引力可以平衡，A点距离上下两部分距离不同，故上下万有引力之间一定无法平衡，这是因为她没有认识到 控制变量法 这一物理方法，请写出其错误： A点上下两部分球壳质量也不同 。
（5）下列说法错误的是 ABD 。（多选题）
A．开普勒三大定律是开普勒计算了第谷观测到的大量不同星系的数据总结而成的
B．离天体中心越近，物体受到的万有引力越大
C．行星公转的周期与行星的质量有关
D．万有引力常量G的值由卡文迪什通过扭秤实验测得
（6）如图2所示为地球和月球的相对位置图，则下列说法中正确的是 A 。
A．D点离月球较近，月球对地表水的万有引力较大，形成高潮
B．A点和C点既不是高潮又不是低潮
C．B点离月球较远，月球对地表水的万有引力较小，因而形成低潮
D．B点离月球较远，月球对地表水的万有引力较大，因而形成高潮
【答案】（1）A；（2）kg m3 s﹣2；（3）不会，因为此时无法忽略物体体积形状，不能将物体视为质点；（4）控制变量法，A点上下两部分球壳质量也不同；（5）ABC；（6）A。
【解答】解：（1）根据开普勒第三定律有，代入T火＝687天，T地＝365天，r地＝1天文单位，解得r火＝1.5天文单位，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2）根据万有引力定律F，得G，即11m3 kg﹣1 s﹣2；
（3）如果R无限趋近于0，那是否物体间的引力会接近∞呢？不会，因为此时无法忽略物体体积形状，不能将物体视为质点；
（4）A.开普勒在获得第谷的数据后，花费了多年时间对其进行深入分析和研究。他运用数学方法，不断尝试各种可能的模型和规律，最终找到能够准确描述行星运动的方式，故A错误；
B.物体从较远处开始向天体靠近直到天体表面的过程中，则离天体中心越近，物体受到的万有引力越大，故B错误；
C．行星公转的周期与行星的质量无关，与太阳的质量有关，故C错误；
D．万有引力常量G的值由卡文迪什通过扭秤实验测得，故D正确。
本题选错误的，故选：ABC。
（5）根据月球对海水的吸引产生潮汐的原理可知，在D点的海水离月球最近，万有引力较大，形成高潮，A点和C到月球的距离基本相等，是低潮的状态，B点离月球较远，月球的引力较小，但仍然在此处形成高潮，故A正确，BCD错误。
故选：A。
故答案为：（1）A；（2）kg m3 s﹣2；（3）不会，因为此时无法忽略物体体积形状，不能将物体视为质点；（4）控制变量法，A点上下两部分球壳质量也不同；（5）ABC；（6）A。
▉题型2 引力常量及其测定
【知识点的认识】
1.引力常量是由英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验测定的，其数值为G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。
2.卡文迪什测定引力常量的装置示意图
3.扭秤实验用到的思想是微小量放大法。
11．1798年英国物理学家卡文迪什精确地测出了引力常量G的数值。若用国际单位中的基本单位表示引力常量G的单位，下列选项正确的是（ ）
A．N m/kg2 B．N m2/kg
C．m3/（kg s2） D．m2/（kg s2）
【答案】C
【解答】解：根据可求出，将表示G的表达式各物理量单位代入得m3/（kg s2），故C正确，ABD错误。
故选：C。
12．在物理学的发展过程中，科学家们运用了许多研究方法。以下关于物理研究方法的叙述错误的是（ ）
A．“探究向心力大小的表达式”实验中用到了等效替代法
B．卡文迪什利用扭秤实验测量引力常量运用了放大的思想
C．在研究物体沿曲面运动时重力做功的过程中用到了微元法
D．“探究曲线运动的速度方向”运用了极限的思想
【答案】A
【解答】解：A、“探究向心力大小的表达式”实验中，要探究一个量与多个量的关系，运用了控制变量法，故A错误；
B、卡文迪什利用扭秤实验测量引力常量运用了放大的思想，故B正确；
C、在研究物体沿曲面运动时重力做功的过程中用到了微元法，故C正确；
D、B点逐渐向A点靠近时，观察AB割线的变化，到曲线上的A点割线即为切线，所以“探究曲线运动的速度方向”运用了极限的思想，故D正确。
本题选错误的，故选：A。
13．华中科技大学引力中心团队在引力常量的测量中作出了突出贡献，于2018年得到了当时最精确的引力常量G的值。下列说法正确的是（ ）
A．G值与物体间的距离有关
B．G值是卡文迪什最先测量出来的
C．G值是牛顿最先测出的
D．G值与物体的质量有关
【答案】B
【解答】解：AD．根据万有引力定律知，引力常量G是一个常数，与任何物理量无关，故AD错误；
BC．引力常量G的值是在牛顿发现万有引力定律100多年后，由卡文迪许通过扭秤实验得到的，是卡文迪什最先测量出来的，故B正确，C错误。
故选：B。
14．如图为 卡文迪什 扭秤实验，该实验验证了万有引力定律，在物理量测量中所使用的科学方法是 微小量放大 。
【答案】如图为卡文迪什扭秤实验，该实验验证了万有引力定律，在物理量测量中所使用的科学方法是微小量放大。
【解答】解：万有引力发现100多年以后，英国科学家卡文迪什利用扭秤实验，采用了“微小量放大”的科学方法，验证了万有引力定律，并测出了引力常量G的数值。
15．万有引力定律中的引力常量G是由科学家卡文迪什通过 扭秤 实验测得的。引力常量G的单位用国际单位制中的基本单位表示为 。
【答案】扭秤；
【解答】解：万有引力定律中的引力常量G是由科学家卡文迪什通过扭秤实验测得的。
由万有引力的表达式
得
故引力常量G的单位用国际单位制中的基本单位表示为。
故答案为：扭秤；
▉题型3 万有引力的基本计算
【知识点的认识】
1.万有引力定律的内容和计算公式为：
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方程反比。即
G＝6.67×10﹣11N m2/kg2
2.如果已知两个物体（可视为质点）的质量和距离就可以计算他们之间的万有引力。
16．2024年3月20日，长征八号运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，若长征八号运载火箭在地面时，地球对它的万有引力大小为F，地球可视为球体，则当长征八号运载火箭上升到离地面距离等于地球半径时，地球对它的万有引力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：火箭在地球表面时，地球对它的万有引力大小为F，当长征八号运载火箭上升到离地面距离等于地球半径时，受到的万有引力大小为F′，故C正确，ABD错误。
故选：C。
17．北京时间2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭发射成功，飞船发射后远离地球的过程中，地球对它的万有引力大小（ ）
A．一直减小 B．一直增大
C．不变 D．先增大后不变
【答案】A
【解答】解：根据
当飞船发射后远离地球的过程中，飞船距离地心间距逐渐增大，则地球对它的万有引力大小一直减小，故A正确，BCD错误。
故选：A。
18．某人造地球卫星绕地心做近似圆周运动，轨道距离地面高度约4.7×103km，地球半径约6.4×103km，质量约为6.0×1024kg，引力常量6.67×10﹣11N m2/kg2，则该卫星在70min时间内，在轨道上通过的弧长约（ ）
A．7.7×103km B．2.5×104km C．2.8×103km D．3.3×104km
【答案】B
【解答】解：根据万有引力提供向心力，有
l＝vt
联立解得
l≈2.5×104km，故B正确，ACD错误。
故选：B。
19．我国的二十四节气，对应着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置。北京冬奥会开幕式以二十四节气为倒计时，最后定格于立春，惊艳全球。如图所示，地球绕太阳沿椭圆轨道运动所处的四个位置分别对应四个节气，以下说法正确的是（ ）
A．地球绕太阳运行的方向（面对纸面）是顺时针方向
B．地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
C．地球从夏至至秋分的时间小于地球公转周期的四分之一
D．冬至时地球的公转速率最大
【答案】D
【解答】解：A．二十四节气中，夏至在春分后，秋分在夏至后，地球绕太阳运行方向（面对纸面）是逆时针方向，故A错误；
B．地球绕太阳做椭圆轨道运动，由开普勒第二定律可知，不是匀速率，地球在近日点最快，远日点最慢，故B错误；
C．由开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，可知地球在近地点比远地点转动的快，地球从夏至至秋分的时间大于地球公转周期的四分之一，故C错误；
D．由开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，近地点公转速度最快，即冬至时地球公转速度最大，故D正确。
故选：D。
20．2024年6月4日，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，成功进入预定环月轨道。若上升器的质量为m、离月球表面的高度为h，月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则月球对上升器的万有引力的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据万有引力定律得
故B正确，ACD错误。
故选：B。
21．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（ ）
A．G
B．G
C．G
D．G
【答案】D
【解答】解：两个球的半径大小分别为r1、r2，两球之间的距离为r，所以两球心间的距离为r1+r2+r，根据万有引力定律得两球间的万有引力大小为：
F＝G，故ABC错误，D正确。
故选：D。
22．精确的实验发现，在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在赤道的海平面处g为9.780m/s2，在北极处g为9.832m/s2。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将质量为m的待测物体悬挂在弹簧测力计上，处于静止状态，下列说法正确的是（ ）
A．在北极处，弹簧测力计读数
B．在赤道处，弹簧测力计读数
C．在北极沿地轴方向深d的矿井内，弹簧测力计读数为
D．在轨道半径为R+h的空间站上，弹簧测力计读数为
【答案】C
【解答】解：A.物体在两极时，万有引力等于重力，则有，故A错误；
B.在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力，则有，故B错误；
C.在北极矿井底部称量时，万有引力等于重力，则有，故C正确；
D.在空间站称量时，物体处于完全失重，则有，故D错误。
故选：C。
23．潮汐指海水在天体（例如月球）的作用下所产生的周期性运动，习惯上把海面垂直方向的涨落称为潮汐，把海水在水平方向的流动称为潮流。潮汐现象出现的原因之一是地球上不同位置的海水所受月球的引力不同。当月地关系为如图位置时，在图中a、b、c、d四处中，相同质量的海水所受月球的万有引力最小的位置在（ ）
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
【答案】C
【解答】解：根据万有引力公式可知，题图中c处相同质量的海水所受月球的引力最小，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（多选）24．作为2020夏季奥运会的主办国，日本的“东京8分钟”惊艳亮相里约奥运闭幕式。地理位置上，东京与里约恰好在地球两端，片中，日本首相化身马里奥，通过打穿地球的管道，从东京一跃到达里约现场，带来了名为“东京秀”的表演环节。现代理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质分布均匀的实心球体，O为球心。不考虑空气阻力，关于人在地球管道中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．通过O点前后分别做匀加速和匀减速运动，不需要动力装置和刹车装置
B．通过O点前后分别做加速和减速运动，加速度先变小后变大
C．到达O点时的速度最大，加速度为零
D．在沿管道运动过程中不受引力作用，处于完全失重状态，所以需要动力装置和刹车装置
【答案】BC
【解答】解：通过O点前，人受到的引力指向地心O，故做加速运动，且球壳厚度越来越大，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，中间球体体积越来越小，则人所受引力越来越小，则加速度越来越小，当到达O点时，所受引力为零，则加速度为零，速度达到最大，通过O点后，所受引力越来越大且方向指向O点，故人做减速运动，且加速度变大，故BC正确，AD错误。
故选：BC。
（多选）25．要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法可行的是（ ）
A．使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减少为原来的，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的
【答案】ABC
【解答】解：A.根据万有引力定律公式可知，使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，故A正确；
B.根据万有引力定律公式可知，使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，故B正确；
C.根据万有引力定律公式可知，使两物体间的距离减少为原来的，质量不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，故C正确；
D.根据万有引力定律公式可知，使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的，两物体间的万有引力不变，故不可行，故D错误。
故选：ABC。
26．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入该行星表面的圆形轨道绕行一圈后，着陆在该行星上。飞船上备有以下器材：
A.秒表一只
B.质量为m的物体一个
C.弹簧测力计一个
宇航员在绕行时及着陆后各做一次测量，依据测量数据，可求得该星球的半径R，已知引力常量为G。
（1）绕行时需测量的物理量为周期T，选用的器材是 A （填序号）；
（2）着陆后需测量的物理量为物体在行星表面的重力F，从而得出行星表面的重力加速度，选用的器材是 BC （填序号）；
（3）利用测得的物理量写出半径R＝ 。
【答案】（1）A；（2）BC；（3）
【解答】解：（1）测周期需要秒表，故选A。
（2）测质量为m的物体的重力需要弹簧测力计，故选BC。
（3）绕行时，根据万有引力等于向心力
着陆后，万有引力等于重力
解得
故答案为：（1）A；（2）BC；（3）
27．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，有一质量为M、半径为R、球心为O、密度均匀的球体，距球体表面R处有一质量为m0的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为F0（未知），从球O中挖去一半径为的球体O′后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：。求：
（1）质点Q在距球心2R的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小；
（2）如图所示，若质点Q在空腔中任意一位置P时，它所受球壳A的万有引力大小。
【答案】（1）它受到球壳A的万有引力大小等于；
（2）它所受球壳A的万有引力大小等于。
【解答】解：（1）设球的密度为ρ，则挖去的小球质量为
质点Q受到球壳A的引力为
解得
（2）大球对P点的引力为
小球对P点的引力为
故P点受力为
由三角形法则可知
解得
答：（1）它受到球壳A的万有引力大小等于；
（2）它所受球壳A的万有引力大小等于。
28．今日，我校举行了返校活动，请同学们带着对新学期的展望，继续未来的物理学习！
（1）2022年9月1号，《开学第一课》将课堂“搬到”了中国空间站的问天实验舱，通过AR技术1：1在演播厅现场还原实验舱。三位航天员带领同学们“云”参观了问天实验舱。已知中国“天宫”空间站轨道高度约为400km、地球半径约为6400km、宇航员每24h恰好可以看到16次日出日落。若引力常量G未知的情况下，根据以上数据信息无法求出的是 B 。
A．地球表面重力加速度
B．地球的密度
C．空间站的运行速度
D．地球同步卫星的运行速度
（2）2022年9月1日，《开学第一课》里，中国航天员王亚平向同学们分享了她的宇宙航行故事，给全国的学生上了一堂生动的太空实验课，回温“神舟十三号”的奇幻之旅，假设飞船绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为R，万有引力常量为G，飞船运行周期为T，距离地面高度为h，则下列错误的是 C 。
A．飞船的运行速度为
B．地球的第一宇宙速度为
C．地球的质量为
D．地球表面的重力加速度为
（3）学生开学期间经常遇到搬书的情况，如图所示，某同学水平托着一堆书，沿水平方向运动，由于书的材质不同，书与书之间动摩擦因数介于0.2和0.4之间，要求运动过程中书与书之间不能有相对滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，手与书之间无相对运动，下列说法正确的是 B 。
A．运动的最大加速度为4m/s2
B．匀速前进时，书与书之间没有水平摩擦力
C．加速前进时，手给书的力水平向前
D．把动摩擦因数比较小的书本放在上层更不容易有相对滑动
（4）如图所示，开学第一天同学们组成的跑操方阵排列整齐地匀速率通过圆弧形跑道区域，每个方阵中的每位同学均可视为做匀速圆周运动。则下列说法正确的是 A 。
A．每位同学的角速度相同
B．每位同学所受的合力为零
C．每位同学的速度大小相同
D．每位同学的加速度保持不变
（5）返校结束后，某同学的家长开车来接他回家。家长和该同学都系好安全带后，家长发动汽车，行驶在回家的路上。下列说法正确的是 A 。
A．以家长为参考系，该同学是静止的
B．以汽车为参考系，地面是静止的
C．无论怎么选择参考系，汽车都是运动的
D．无论怎么选择参考系，学校都是静止的
【答案】（1）B；（2）C；（3）B；（4）A；（5）A。
【解答】解：（1）根据题意可知，中国“天宫”空间站的周期为，轨道半径为r＝h+R＝400km+6400km＝6800km
A.根据万有引力提供向心力和地球表面万有引力等于重力有，联立解得，由于T、R和r已知，则可以求出地球表面重力加速度，故A错误；
B.根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力有，解得，则地球的密度为，引力常量G未知，则无法求出地球密度，故B正确；
C.根据题意，由公式可知，由T和r已知，则可以求出空间站的运行速度，故C错误；
D.设地球同步卫星的轨道半径r1，周期T1，由开普勒第三定律有可得，地球同步卫星与空间站的轨道半径之比，根据万有引力提供向心力有，可得，则可求出地球同步卫星与空间站的速度比，由C选项可知，空间站的运行速度，则可求地球同步卫星的运行速度，故D错误。
故选：B。
（2）A.根据线速度的公式有飞船的运行速度为，故A正确；
B.根据，G，联立得，地球的第一宇宙速度为，故B正确；
C.根据，，地球的质量为，故C错误；
D.根据G，，地球表面的重力加速度为，故D正确。
本题选错误的，故选：C。
（3）A.当动摩擦因数为0.2的两本书之间恰好要发生相对滑动时，同学运动的加速度最大，为am＝μ1g ＝0.2×10m/s2＝2m/s2，故A错误；
B.匀速前进时，书与书之间没有相对运动趋势，没有水平摩擦力，故B正确；
C.加速前进时，手给书有支持力和静摩擦力，这两个力的合力方向斜向前方，故C错误；
D.根据整体法可推知，无论将把动摩擦因数比较小的书本放在上层还是下层，只要同学运动的加速度大于最大加速度，都会发生相对滑动，故D错误。
故选：B。
（4）A．整体上类似于共轴转动，则每位同学的角速度相同，故A正确；
B．因为每位同学做匀速圆周运动，则所受的合力提供向心力，不为零，故B错误；
C．因为不同学生做圆周运动的半径不同，则每位同学的速度大小也不相同，故C错误；
D．因为圆周运动的加速度为向心加速度，方向变化，则每位同学的加速度是变化的，故D错误。
故选：A。
（5）A．以家长为参考系，该同学和家长有相同速度，是静止的，故A正确；
B．以汽车为参考系，地面是向后运动的，故B错误；
C．选择驾驶员为参考系，汽车是静止的，故C错误；
D．选择运动的汽车为参考系，学校是运动的，故D错误。
故选：A。
故答案为：（1）B；（2）C；（3）B；（4）A；（5）A。
29．某卫星的发射过程如图所示：该卫星从地面发射后，先成为地球的近地卫星，在半径为R1的近地轨道Ⅰ上做速率为v1的匀速圆周运动，然后从A点经椭圆轨道Ⅱ到达B点，由B点进入半径为R2的预定圆轨道Ⅲ，忽略卫星在发射过程中的质量损失及其它天体的影响。
（1）求该卫星在圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动的速率；
（2）求该卫星从A点经椭圆轨道Ⅱ第一次到达B点所经过的时间t。
【答案】（1）求该卫星在圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动的速率为；
（2）求该卫星从A点经椭圆轨道Ⅱ第一次到达B点所经过的时间t为。
【解答】解：（1）设该卫星在圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动的速率为v2，在近地轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上由万有引力定律和牛顿第二定律得
解得
（2）由题知，椭圆轨道Ⅱ的半长轴为
由开普勒第三定律得
解得
答：（1）求该卫星在圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动的速率为；
（2）求该卫星从A点经椭圆轨道Ⅱ第一次到达B点所经过的时间t为。
30．用弹簧秤称量一个相对地球静止的小物体受到的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。
（1）若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值。（计算结果保留2位有效数字）
（2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。
【答案】（1）的表达式为；h＝1.0%R的情形算出具体数值为0.98；
（2）的表达式为。
【解答】解：（1）在北极，物体受到的重力等于地球的引力。则
在北极上空高出地面h处测量
则
当h＝1.0%R时，将h＝1.0%R代入
则有
（2）在赤道，考虑地球的自转，地球的引力提供重力（大小等于弹簧秤示数）与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有
得
。
答：（1）的表达式为；h＝1.0%R的情形算出具体数值为0.98；
（2）的表达式为。第六章第二节 万有引力定律
题型1 万有引力定律的内容、推导及适用范围 题型2 引力常量及其测定
题型3 万有引力的基本计算
▉题型1 万有引力定律的内容、推导及适用范围
【知识点的认识】
1.定义：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方程反比。即。
2.对表达式的说明
（1）引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力。
（2）公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两个球心间的距离。
3.的适用条件
（1）万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两个物体间的万有引力。
（2）质量分布均匀的球体间的相互作用力，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体的球心到质点的距离。
4.万有引力的四个特性
1．下列关于万有引力定律说法正确的是（ ）
A．牛顿发现了万有引力定律，伽利略测得了引力常量
B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力
C．根据表达式F＝G可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
D．根据表达式F＝G得G，由此可知引力常量G与F、r、m1、m2有关
2．在探索宇宙奥秘的历史长河中，下列描述中正确的是（ ）
A．万有引力定律描述的是一种只在大质量天体之间存在的引力
B．天文学家第谷通过观测行星的运动，记录了大量数据并总结出行星运动的定律
C．牛顿通过实验验证了万有引力定律
D．“地心说”认为地球是静止不动的，太阳和其他行星都绕地球运动
3．关于万有引力和行星运动规律，下列说法中正确的是（ ）
A．开普勒利用自己观测的行星运动数据，发现行星绕太阳做匀速圆周运动
B．牛顿提出了万有引力定律，并计算出了地球的质量
C．“月—地检验”中比较的是月球绕地球公转的向心加速度和赤道上物体随地球自转的向心加速度
D．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动
4．已知太阳的质量大约是月亮质量的2.7×107倍，太阳到地球的距离大约是月球到地球距离的3.9×102倍，若太阳对地球的引力大小为F1，月亮对地球的引力大小为F2，则约为（ ）
A．130 B．178 C．226 D．274
5．关于万有引力及其计算公式，下列说法正确的是（ ）
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．相距较远的两物体质量均增大为原来的2倍，他们之间的万有引力也会增加到原来的2倍
D．地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则
6．以下关于万有引力的说法正确的是（ ）
A．牛顿发现万有引力并推出万有引力定律与开普勒等科学家的研究无关
B．万有引力只存在于天体之间，地球上的物体之间不存在万有引力
C．万有引力存在于自然界任意两个物体之间
D．行星绕太阳运行的向心力来源于太阳对行星的万有引力，而太阳是中心天体，行星对它无万有引力的作用
7．关于万有引力公式，下列说法正确的是（ ）
A．甲物体对乙物体的万有引力与乙物体对甲物体的万有引力大小相等
B．对不同两物体间的万有引力的计算，公式中引力常量G的值是不同的
C．由万有引力公式可知，当两物体紧挨在一起时，两物体间的万有引力无穷大
D．计算太阳与地球之间的万有引力时，万有引力公式中的r指的是太阳的半径
8．牛顿发现了万有引力定律，并给出了物体间引力大小表达式F＝G，但没有给出引力常量G的具体取值。如图为人类第一次在实验室测量出万有引力常量的实验示意图，通过此套装置比较精确测量出了万有引力常量数值，引力常量的精确测定对深入研究物体之间相互作用规律更有意义。以下说法正确的是（ ）
A．伽利略首先测量出了万有引力常量数值
B．图示引力常量测量实验中运用了放大法
C．图示实验中的大球对小球引力大于小球对大球引力
D．根据万有引力定律表达式，当r→0时，物体间引力将趋于无穷大
（多选）9．下列关于万有引力定律的说法中，正确的是（ ）
A．万有引力定律是卡文迪许在实验室中发现的
B．对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律F＝G中的r是两质点间的距离
C．对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离
D．质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力
10．万有引力定律与开普勒三大定律是研究天体运动的重要物理原理，请回答下列有关问题：
（1）火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中第二小的行星。已知火星的公转周期约为687天，把地球和太阳之间的平均距离计为1天文单位，结合天文常识可知，火星到太阳的平均距离约为 。
A．1.5天文单位
B．2天文单位
C．2.5天文单位
D．3天文单位
（2）根据万有引力定律F，万有引力常量G的国际单位为 。
（3）对于万有引力定律F，吴老师提出了一个问题：如果R无限趋近于0，那是否物体间的引力会接近∞呢？请你回答这个问题并说明理由： 。
（4）如图1为一个空球壳，其内部有A点，其质心为O点，吴老师告诉小朱同学，空球壳内任意一点受到空球壳的万有引力为0，小朱同学认为，O点受到上下引力可以平衡，A点距离上下两部分距离不同，故上下万有引力之间一定无法平衡，这是因为她没有认识到 这一物理方法，请写出其错误： 。
（5）下列说法错误的是 。（多选题）
A．开普勒三大定律是开普勒计算了第谷观测到的大量不同星系的数据总结而成的
B．离天体中心越近，物体受到的万有引力越大
C．行星公转的周期与行星的质量有关
D．万有引力常量G的值由卡文迪什通过扭秤实验测得
（6）如图2所示为地球和月球的相对位置图，则下列说法中正确的是 。
A．D点离月球较近，月球对地表水的万有引力较大，形成高潮
B．A点和C点既不是高潮又不是低潮
C．B点离月球较远，月球对地表水的万有引力较小，因而形成低潮
D．B点离月球较远，月球对地表水的万有引力较大，因而形成高潮
▉题型2 引力常量及其测定
【知识点的认识】
1.引力常量是由英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验测定的，其数值为G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。
2.卡文迪什测定引力常量的装置示意图
3.扭秤实验用到的思想是微小量放大法。
11．1798年英国物理学家卡文迪什精确地测出了引力常量G的数值。若用国际单位中的基本单位表示引力常量G的单位，下列选项正确的是（ ）
A．N m/kg2 B．N m2/kg
C．m3/（kg s2） D．m2/（kg s2）
12．在物理学的发展过程中，科学家们运用了许多研究方法。以下关于物理研究方法的叙述错误的是（ ）
A．“探究向心力大小的表达式”实验中用到了等效替代法
B．卡文迪什利用扭秤实验测量引力常量运用了放大的思想
C．在研究物体沿曲面运动时重力做功的过程中用到了微元法
D．“探究曲线运动的速度方向”运用了极限的思想
13．华中科技大学引力中心团队在引力常量的测量中作出了突出贡献，于2018年得到了当时最精确的引力常量G的值。下列说法正确的是（ ）
A．G值与物体间的距离有关
B．G值是卡文迪什最先测量出来的
C．G值是牛顿最先测出的
D．G值与物体的质量有关
14．如图为 扭秤实验，该实验验证了万有引力定律，在物理量测量中所使用的科学方法是 。
15．万有引力定律中的引力常量G是由科学家卡文迪什通过 实验测得的。引力常量G的单位用国际单位制中的基本单位表示为 。
▉题型3 万有引力的基本计算
【知识点的认识】
1.万有引力定律的内容和计算公式为：
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方程反比。即
G＝6.67×10﹣11N m2/kg2
2.如果已知两个物体（可视为质点）的质量和距离就可以计算他们之间的万有引力。
16．2024年3月20日，长征八号运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，若长征八号运载火箭在地面时，地球对它的万有引力大小为F，地球可视为球体，则当长征八号运载火箭上升到离地面距离等于地球半径时，地球对它的万有引力大小为（ ）
A． B． C． D．
17．北京时间2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭发射成功，飞船发射后远离地球的过程中，地球对它的万有引力大小（ ）
A．一直减小 B．一直增大
C．不变 D．先增大后不变
18．某人造地球卫星绕地心做近似圆周运动，轨道距离地面高度约4.7×103km，地球半径约6.4×103km，质量约为6.0×1024kg，引力常量6.67×10﹣11N m2/kg2，则该卫星在70min时间内，在轨道上通过的弧长约（ ）
A．7.7×103km B．2.5×104km C．2.8×103km D．3.3×104km
19．我国的二十四节气，对应着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置。北京冬奥会开幕式以二十四节气为倒计时，最后定格于立春，惊艳全球。如图所示，地球绕太阳沿椭圆轨道运动所处的四个位置分别对应四个节气，以下说法正确的是（ ）
A．地球绕太阳运行的方向（面对纸面）是顺时针方向
B．地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
C．地球从夏至至秋分的时间小于地球公转周期的四分之一
D．冬至时地球的公转速率最大
20．2024年6月4日，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，成功进入预定环月轨道。若上升器的质量为m、离月球表面的高度为h，月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则月球对上升器的万有引力的大小为（ ）
A． B．
C． D．
21．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（ ）
A．G
B．G
C．G
D．G
22．精确的实验发现，在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在赤道的海平面处g为9.780m/s2，在北极处g为9.832m/s2。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将质量为m的待测物体悬挂在弹簧测力计上，处于静止状态，下列说法正确的是（ ）
A．在北极处，弹簧测力计读数
B．在赤道处，弹簧测力计读数
C．在北极沿地轴方向深d的矿井内，弹簧测力计读数为
D．在轨道半径为R+h的空间站上，弹簧测力计读数为
23．潮汐指海水在天体（例如月球）的作用下所产生的周期性运动，习惯上把海面垂直方向的涨落称为潮汐，把海水在水平方向的流动称为潮流。潮汐现象出现的原因之一是地球上不同位置的海水所受月球的引力不同。当月地关系为如图位置时，在图中a、b、c、d四处中，相同质量的海水所受月球的万有引力最小的位置在（ ）
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
（多选）24．作为2020夏季奥运会的主办国，日本的“东京8分钟”惊艳亮相里约奥运闭幕式。地理位置上，东京与里约恰好在地球两端，片中，日本首相化身马里奥，通过打穿地球的管道，从东京一跃到达里约现场，带来了名为“东京秀”的表演环节。现代理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质分布均匀的实心球体，O为球心。不考虑空气阻力，关于人在地球管道中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．通过O点前后分别做匀加速和匀减速运动，不需要动力装置和刹车装置
B．通过O点前后分别做加速和减速运动，加速度先变小后变大
C．到达O点时的速度最大，加速度为零
D．在沿管道运动过程中不受引力作用，处于完全失重状态，所以需要动力装置和刹车装置
（多选）25．要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法可行的是（ ）
A．使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减少为原来的，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的
26．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入该行星表面的圆形轨道绕行一圈后，着陆在该行星上。飞船上备有以下器材：
A.秒表一只
B.质量为m的物体一个
C.弹簧测力计一个
宇航员在绕行时及着陆后各做一次测量，依据测量数据，可求得该星球的半径R，已知引力常量为G。
（1）绕行时需测量的物理量为周期T，选用的器材是 （填序号）；
（2）着陆后需测量的物理量为物体在行星表面的重力F，从而得出行星表面的重力加速度，选用的器材是 （填序号）；
（3）利用测得的物理量写出半径R＝ 。
27．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，有一质量为M、半径为R、球心为O、密度均匀的球体，距球体表面R处有一质量为m0的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为F0（未知），从球O中挖去一半径为的球体O′后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：。求：
（1）质点Q在距球心2R的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小；
（2）如图所示，若质点Q在空腔中任意一位置P时，它所受球壳A的万有引力大小。
28．今日，我校举行了返校活动，请同学们带着对新学期的展望，继续未来的物理学习！
（1）2022年9月1号，《开学第一课》将课堂“搬到”了中国空间站的问天实验舱，通过AR技术1：1在演播厅现场还原实验舱。三位航天员带领同学们“云”参观了问天实验舱。已知中国“天宫”空间站轨道高度约为400km、地球半径约为6400km、宇航员每24h恰好可以看到16次日出日落。若引力常量G未知的情况下，根据以上数据信息无法求出的是 。
A．地球表面重力加速度
B．地球的密度
C．空间站的运行速度
D．地球同步卫星的运行速度
（2）2022年9月1日，《开学第一课》里，中国航天员王亚平向同学们分享了她的宇宙航行故事，给全国的学生上了一堂生动的太空实验课，回温“神舟十三号”的奇幻之旅，假设飞船绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为R，万有引力常量为G，飞船运行周期为T，距离地面高度为h，则下列错误的是 。
A．飞船的运行速度为
B．地球的第一宇宙速度为
C．地球的质量为
D．地球表面的重力加速度为
（3）学生开学期间经常遇到搬书的情况，如图所示，某同学水平托着一堆书，沿水平方向运动，由于书的材质不同，书与书之间动摩擦因数介于0.2和0.4之间，要求运动过程中书与书之间不能有相对滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，手与书之间无相对运动，下列说法正确的是 。
A．运动的最大加速度为4m/s2
B．匀速前进时，书与书之间没有水平摩擦力
C．加速前进时，手给书的力水平向前
D．把动摩擦因数比较小的书本放在上层更不容易有相对滑动
（4）如图所示，开学第一天同学们组成的跑操方阵排列整齐地匀速率通过圆弧形跑道区域，每个方阵中的每位同学均可视为做匀速圆周运动。则下列说法正确的是 。
A．每位同学的角速度相同
B．每位同学所受的合力为零
C．每位同学的速度大小相同
D．每位同学的加速度保持不变
（5）返校结束后，某同学的家长开车来接他回家。家长和该同学都系好安全带后，家长发动汽车，行驶在回家的路上。下列说法正确的是 。
A．以家长为参考系，该同学是静止的
B．以汽车为参考系，地面是静止的
C．无论怎么选择参考系，汽车都是运动的
D．无论怎么选择参考系，学校都是静止的
29．某卫星的发射过程如图所示：该卫星从地面发射后，先成为地球的近地卫星，在半径为R1的近地轨道Ⅰ上做速率为v1的匀速圆周运动，然后从A点经椭圆轨道Ⅱ到达B点，由B点进入半径为R2的预定圆轨道Ⅲ，忽略卫星在发射过程中的质量损失及其它天体的影响。
（1）求该卫星在圆轨道Ⅲ上做匀速圆周运动的速率；
（2）求该卫星从A点经椭圆轨道Ⅱ第一次到达B点所经过的时间t。
30．用弹簧秤称量一个相对地球静止的小物体受到的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。
（1）若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值。（计算结果保留2位有效数字）
（2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。
