第七章第三节 动能定理
题型1 动能的定义、性质、表达式 题型2 用动能的定义式计算物体的动能
题型3 动能变化量的计算 题型4 动能定理的简单应用
题型5 利用动能定理求解变力做功 题型6 利用动能定理求解多过程问题
题型7 利用动能定理求解机车启动问题 题型8 探究功与物体速度变化的关系
题型9 探究动能定理
▉题型1 动能的定义、性质、表达式
【知识点的认识】
1．定义：物体由于运动而具有的能叫动能．
2．公式：Ek＝mv2．单位：焦耳（J）．
3．矢标性：动能是标量，只有正值．
4．动能是状态量．而动能的变化量是过程量．
5．动能具有相对性，动能的大小与参照物的选取有关，中学物理中，一般取地球为参照物．
1．2025年蛇年春晚的舞台上，《秧BOT》节目开场，一群穿着花棉袄的机器人在舞台上扭起了秧歌，引起观众惊叹。其中机器人转手绢的动作，使手绢绕中心点O在竖直面内匀速转动，如图所示，若手绢上有质量不相等的两质点A、B，则（ ）
A．质点A、B的线速度相同
B．质点A、B的角速度不相同
C．质点A、B受到的合外力可能相同
D．质点A、B的动能可能相等
【答案】D
【解答】解：A、因为手绢绕中心点O在竖直面内匀速转动，A、B两质点同轴转动，角速度ω相同。根据
v＝ωr
A、B到O点的距离r不同，所以线速度v不同，故A错误；
B、同轴转动的物体角速度相同，所以质点A、B的角速度相同，故B错误；
C、质点做匀速圆周运动，合外力提供向心力，根据
A、B的质量m不相等，到O点的距离r也不同，所以合外力不同，故C错误；
D、根据
虽然m不同，但当
时，A、B的动能Ek可能相等，故D正确。
故选：D。
▉题型2 用动能的定义式计算物体的动能
【知识点的认识】
1.动能的定义式为：Ek，知道了物体的质量和速度，即可计算物体的动能。
2.计算时要注意，只有质量的单位是kg，速度的单位是m/s时，动能的单位才是J。
2．“嫦娥三号”是我国嫦娥工程中第一个月球软着陆的无人登月探测器。其飞行轨道示意图如图，她由地月转移轨道①顺利进入环月圆轨道②，在该轨道上运行了约4天后，变轨进入椭圆轨道③，最后实现月球软着陆。
（1）当“嫦娥三号”由轨道②变轨，进入轨道③的过程中，需要 B （选择：A．加速，B．减速）；“嫦娥三号”在轨道③由远月点运行至近月点的过程中动能 A （选择：A．增加，B．不变，C．减少）。
（2）（计算）“嫦娥三号”在反推火箭作用下慢慢下降，在距离月球表面h＝4.0m的高度处再次悬停，最后关掉发动机，自由下落到月球表面，实现软着陆。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.6倍，试计算“嫦娥三号”着陆时的速度大小v？（结果取二位有效数字）
【答案】（1）B；A；（2）“嫦娥三号”着陆时的速度大小为3.5 m/s。
【解答】解：（1）当“嫦娥三号”由轨道②变轨，进入轨道③的过程中，需要减速做向心运动，故选B；
“嫦娥三号“在轨道③由远月点运行至近月点的过程中，月球的引力做正功，则其动能增加，故选A。
（2）对于地球表面的重力加速度 g，有
对于月球表面的重力加速度 g月，有
推得
对于“嫦娥三号”自由下落过程，有 v2 ＝ 2g月h
v ＝ m/s ＝ 3.5 m/s
故答案为：（1）B；A；（2）“嫦娥三号”着陆时的速度大小为3.5 m/s。
▉题型3 动能变化量的计算
【知识点的认识】
物体的动能变化量等于末动量减去初动量，即ΔEk＝Ek2﹣Ek1。
3．如图所示，一个物体在恒力F的作用下，沿光滑的水平面运动，F与水平面的夹角为θ，在物体通过距离s的过程中（ ）
A．力F对物体做的功为Fssinθ
B．力F对物体做的功为Fscosθ
C．物体动能的变化量为Fs
D．物体动能的变化量为0
【答案】B
【解答】解：AB、由功的定义式可得：力F对物体做的功W＝Fscosθ，故A错误，B正确；
CD、物体运动过程中只有F做功，故由动能定理可得：物体动能的变化量ΔEk＝W＝Fscosθ，故CD错误；
故选：B。
▉题型4 动能定理的简单应用
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合＝ΔEk＝Ek末﹣Ek初
3.本考点针对简单情况下用动能定理来解题的情况。
4．2022年北京冬奥会期间，在奥运场馆和运动员村之间首次大规模使用氢能源汽车作为主要交通工具。在一次测试中，某款质量为m的氢能源汽车沿平直公路从静止开始做直线运动，经过时间t开始做匀速直线运动，速度为vm。已知该过程中发动机功率恒定为P，汽车所受阻力恒定，关于t时间内汽车的运动，下列说法正确的是（ ）
A．汽车所受牵引力逐渐增大
B．车速为时，汽车的加速度大小为
C．汽车克服阻力做功为Pt
D．汽车的位移大小为
【答案】C
【解答】解：A．设汽车所受牵引力为F，由P＝Fv得：
由公式可知随速度增大，牵引力变小，故A错误；
B．设阻力为f，当牵引力与阻力相等时，速度最大，
P＝Fv
又F＝f
解得：
车速为时，加速度为a，由牛顿第二定律得：
F′﹣f＝ma
P＝F′
联立解得：，故B错误；
C．汽车克服阻力做功为Wf，由动能定理可得：
解得：，故C正确；
D．汽车的位移大小为：
解得：，故D错误。
故选：C。
5．如图所示为一种潮汐发电示意图，左方为陆地和海湾，右侧为大海，中间为水坝，其下有通道，水流经通道即可带动发电机工作。涨潮时开闸蓄水，落潮时开闸放水，均在内外水面高度相同时关闭闸门。设海湾的平均面积为S，每次涨落潮海湾内外水位落差为h，一天涨潮、落潮各一次。水的密度为ρ，重力加速度为g，设一天的时间为t。则（ ）
A．一次落潮时流出海湾的海水质量为2ρSh
B．一次落潮时海水流经通道对发电机做的功为2ρSgh2
C．一天内海水流经通道对发电机做功的功率为
D．一天内海水流经通道对发电机做功的功率为
【答案】C
【解答】解：A、一次落潮时流出海湾的海水质量为m＝ρV＝ρSh，故A错误；
B、一次落潮时海水流经通道对发电机做的功为
mg 0.5h＝ρShg 0.5h＝0.5ρSgh2
故B错误；
CD、一天内海水流经通道两次，故海水对发电机做的总功为W＝ρSgh2，对应海水流经通道对发电机做功的功率为P，故C正确，D错误。
故选：C。
6．如图甲为我国自主研制的全球首款轮式起重机，将120吨的风力发电机组吊至高空，若该起重机由静止开始竖直向上提升机组，加速度和速度的倒数图像如图乙所示，不计其他阻力，g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．重物上升的最大速度vm＝10m/s
B．起重机的额定功率为P＝1.2×107W
C．重物在0 6s内做匀加速直线运动
D．第6s内起重机对重物做的功为W＝1.44×107J
【答案】D
【解答】解：B、当横坐标为0.1s m﹣1时，起重机达到最大功率，对发电机组，由牛顿第二定律得
解得起重机的额定功率为P＝1.44×107W，故B错误；
A、当起重机达到最大速度时，发电机组的加速度为零，由平衡条件有
解得最大速度为vm＝12m/s，故A错误；
C、由图可知，当横坐标为0.1s m﹣1时，起重机达到额定功率，不再做匀加速运动，而是开始做加速度减小的加速运动，直到达到最大速度后做匀速运动，由运动学公式可知，匀加速运动的时间为
，故C错误；
D、起重机在第5s后达到额定功率，以恒功率运行，故第6s内起重机对重物做的功为W＝Pt＝1.44×107×1J＝1.44×107J，故D正确。
故选：D。
7．图甲是小孩在水泥管内踢球的情景，其简化如图乙。固定的圆形轨道半径为R，圆心为O，C点和O点的连线与水平方向的夹角为37°。小孩以的速率将球从最低点A水平向左踢出，球经过C点后恰能通过最高点B，当球再次到达C点时，恰好离开轨道并落入书包内，接球时书包与直径AB的水平距离为0.2R。已知可视为质点的球的质量为m、与轨道间的动摩擦因数处处相等，重力加速度为g，不计空气阻力。则（ ）
A．球从A到B和从B到A的过程中，摩擦力做功相等
B．球从A到B的过程中，摩擦力做的功大小为mgR
C．球第二次到达C点的速度大小为
D．接球时书包离A点的竖直高度为0.8R
【答案】C
【解答】解：A、球从A到B和从B到A过程中，经过同一水平面时，从A到B的速度大于从B到A的速度，θ为CO连线与竖直方向的夹角，根据合外力提供向心力
速度大则轨道弹力FN大，摩擦力f＝μFN也大，且路程相同，所以摩擦力做功不相等，故A错误；
B、球恰能通过最高点B，则根据重力提供向心力有：
得
从A到B，由动能定理
已知，代入可得摩擦力做功大小Wf＝﹣2mgR
即克服摩擦力做功大小为2mgR，故B错误；
C、球第二次到达C时恰好离开轨道，此时与轨道的弹力为零，根据牛顿第二定律得：
mgsinθ
解得球第二次到达C点的速度大小为vC，故C正确；
D、小球由C点离开轨道后做斜抛运动，设水平分速度大小为vx，则有：vx＝vCsinθ
水平方向位移x＝Rcos37°+0.2R＝R
水平方向有：x＝vxt
运动竖直方向位移大小为：y＝﹣vCcosθ tgt2
解得：yR
书包离A点竖直高度为h＝R+Rsinθ﹣y＝0.6RR，故D错误。
故选：C。
8．如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O（滑轮大小可忽略）。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO'＝37°，∠OCO'＝53°，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F的大小为
B．滑块由A到C做匀加速运动
C．滑块由A到C过程中拉力F做的功为
D．滑块在C点的动能为
【答案】D
【解答】解：A、当滑块的合力为零，加速度为零时，速度最大，则在C点，滑块的合力为零，则有mg﹣Fcos53°＝0，解得拉力F的大小为，故A错误；
B、对滑块受力分析如图所示。
竖直方向有mg﹣Fcosθ＝ma，滑块向上滑动时，细绳与竖直方向夹角θ变大，而F不变，则滑块的加速度a变大，故B错误；
CD、滑块从A运动到C过程，由动能定理得：
又
由几何关系得：
解得：，故C错误，D正确。
故选：D。
9．如图甲，某同学用轻绳通过定滑轮提升一重物，运用传感器（未在图中画出）测得此过程中不同时刻被提升重物的速度v与对轻绳的拉力F，并描绘出图像如图乙所示，其中第一个时间段内线段AB与v轴平行，第二个时间段内线段BC的延长线过原点，第三个时间段内拉力F和速度v均与C点对应，大小均保持不变，因此图像上没有反映。实验中测得第二个时间段内所用时间为t。重力加速度为g，滑轮质量、摩擦和其他阻力均可忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．重物的质量为
B．第二阶段重物上升的平均速率为
C．第一阶段重物上升所用的时间为
D．重物在前两个时间段内的总位移
【答案】C
【解答】解：A、第三个时间段内拉力F和速度v均不变，此时拉力大小为F2，由平衡条件得F2＝mg，可得重物的质量为m，故A错误；
B、因为拉力的功率为P＝Fv，由图可知，第二阶段拉力的功率不变，随着速度增大，拉力减小，合力减小，所以重物做加速度减小的变加速运动，则第二阶段重物上升的平均速率不等于，故B错误；
C、由图可知，第一个时间段内重物所受拉力为F1，则重物的加速度大小为
a
第一阶段重物上升所用的时间为t1，故C正确；
D、第一个时间段内的位移为
x1
设第二个时间段内的位移为x2，根据动能定理有
Pt﹣mgx2
又P＝F1v1＝F2v2，解得x2＝v2t
故重物在前两个时间段内的总位移为
x＝x1+x2v2tv2t，故D错误。
故选：C。
（多选）10．如图所示甲为一倾角为θ的斜面固定于水平面上，一可视为质点的小物块从斜面的顶端静止滑下，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ1，物块运动到斜面底端时无能量损失地进入水平面继续运动，其和水平面之间的动摩擦因数为μ2。图乙为物块运动的动能Ek与水平位移x的关系图像，则下列判断正确的是（ ）
A．μ1＞tanθ B．μ1＜tanθ
C．μ1+2μ2＝tanθ D．2μ1+μ2＝tanθ
【答案】BC
【解答】解：AB、物块从顶端由静止滑下，则mgsinθ＞μ1mgcosθ
即μ1＜tanθ
故A错误，B正确；
CD、由乙图可知，物块在水平面上运动的位移为在斜面上运动的水平位移的两倍，对全过程，根据动能定理得（mgsinθ﹣μ1mgcosθ）μ2mg 2x＝0
化简得：μ1+2μ2＝tanθ
故C正确，D错误；
故选：BC。
（多选）11．如图所示，水平传送带保持2m/s的速度运行，两端AB水平距离l＝8m，把一质量m＝2kg的一个物块轻轻放到传送带的A端，物块在传送带的带动下向右运动，若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，重力加速度g＝10m/s2，不计物块的大小。则把物块从A端传送到B端的过程中（ ）
A．摩擦力对物块做的功为4J
B．摩擦力对传送带做的功为16J
C．物块与传送带摩擦生热为4J
D．全过程中摩擦力对物块做功的平均功率为0.8W
【答案】ACD
【解答】解：物块在传送带上先匀加速运动
解得
x物＝2m
用时
解得
t＝2s
有
x带＝vt
解得
x带＝4m
x相＝x带﹣x物
解得
x相＝2m
则摩擦力对物块做的功为
W物＝μmg x物
解得
W物＝4J
摩擦力对传送带做的功为
W带＝﹣μmg x带
解得
W带＝﹣8J
物块与传送带摩擦生热为
Q＝μmg x相
解得
Q＝4J
然后物块在传送带上做匀速运动，用时
t＝3s
全过程的总时间为
t总＝5s
摩擦力对物块做功的平均功率为
解得
P＝0.8W
故ACD正确，B错误。
故选：ACD。
12．北京联合张家口申办2022年冬奥会，其中高山滑雪项目可以在张家口崇礼云顶乐园滑雪场比赛，如图为简化的赛道，比赛运动员可以从R＝18m的四分之一圆弧轨道AB段加速，经水平滑道BC，再在C点飞出水平轨道后做出美丽的空中动作，最后落至D点，一滑雪运动员质量m＝60kg，经过AB段加速滑行后进入BC轨道过程中没有能量损失，BC段运动员的运动时间是0.6s，运动员滑板与轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，运动员可以看质点，g＝10m/s2，结果保留三位有效数字，求：
（1）若在由圆轨道进入水平轨道之前对B点的压力是体重的2.8倍，则AB段运动员克服摩擦力做的功是多少？
（2）若轨道BC比D点高H＝20m，离开C点后不计空气阻力，则落地点D距B的水平距离是多少？
【答案】（1）AB段运动员克服摩擦力的功是1080J；
（2）落地点D距B点的水平距离为39.9m。
【解答】解：（1）运动员经过B点时，对其受力分析，由牛顿第二定律得：
由题意可知，FN＝2.8mg
代入数据联立解得：vB＝18m/s
设在AB段运动员克服摩擦力做功为W，由动能定理得mgR﹣W0
代入数据解得：W＝1080J
（2）运动员从B点到C点，设运动员的加速度大小为a，对其受力分析，由牛顿第二定律得：μmg＝ma
代入数据解得：a＝5m/s2
由速度—时间公式得：vC＝vB﹣at1
代入数据解得：vC＝15m/s
BC间的距离为xBC（vB+vC）t1（18+15）×0.6m＝9.9m
运动员从C点到D点做平抛运动，竖直方向：H
水平方向做匀速直线运动，xCD＝vCt2
代入数据联立解得：xCD＝30m
则D到B的水平距离为xBD＝xBC+xCD＝9.9m+30m＝39.9m
答：（1）AB段运动员克服摩擦力的功是1080J；
（2）落地点D距B点的水平距离为39.9m。
13．如图所示，斜面AB与水平面BC的夹角为θ＝45°，某滑板爱好者从距水平地面高度h＝2m的A点水平向右滑出，从C点落地后瞬间水平方向的速度保持不变，竖直方向的速度变为零，人与滑板从C点继续向右沿水平地面滑行s1＝8m后停止。已知人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小为其重力的0.1倍，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）人与滑板在C点落地后瞬间的速度大小；
（2）A点与C点间的水平距离；
（3）人与滑板从A点运动到C点过程中离斜面的最大距离。
【答案】（1）人与滑板在C点落地后瞬间的速度大小为2m/s；
（2）A点与C点间的水平距离为m；
（3）人与滑板从A点运动到C点过程中离斜面的最大距离为m。
【解答】解：（1）设从A点水平向右滑出的速度为v0。
人与滑板从C点继续向右过程，根据动能定理得
s1＝0
据题有0.1mg
可得v0＝4m/s
人与滑板在C点落地后瞬间竖直分速度大小为
vym/s＝2m/s
故人与滑板在C点落地后瞬间的速度大小为
vm/s＝2m/s
（2）人从A运动到C的过程，有h
A点与C点间的水平距离为x＝v0t
联立解得：xm
（3）人与滑板从A点运动到C点过程中，当人的速度与斜面平行时离斜面的距离最大，此时人沿垂直于斜面方向的分速度减至零，则人与滑板从A点运动到C点过程中离斜面的最大距离为
s
解得：sm
答：（1）人与滑板在C点落地后瞬间的速度大小为2m/s；
（2）A点与C点间的水平距离为m；
（3）人与滑板从A点运动到C点过程中离斜面的最大距离为m。
14．跳台滑雪（图甲）是冬奥会最具观赏性的项目之一。如图乙所示为简化的跳台滑雪的雪道示意图，比赛运动员从圆弧助滑道的最高点A处由静止滑下后，从滑道B处恰好沿水平方向飞出，在着陆坡BC上的P处着陆。在飞行过程中，运动员与BC间距离最大处记为D处（图中未画出）。将运动员和滑雪板整体看成质点，不计空气阻力，BC与水平方向的夹角为α。
（1）关于运动员从B到P的运动过程中，随时间保持不变的物理量是 B 。
A.位置的变化率
B.速度的变化率
C.动能
D.重力的功率
（2）运动员经过D处时的 C 。
A.速度等于零
B.加速度等于零
C.速度与水平面的夹角为α
D.加速度与BC的夹角为α
（3）（计算）网上查询可推知圆弧滑道AB所对的圆心角为53°（圆心位于B点正上方），AB间高度差h＝24m，坡BC倾角α＝37°。一位比赛运动员的质量m＝60kg（包含所有装备的总质量），着陆点P到B的距离s＝73.5m，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝9.8m/s2，试求：
①运动员从B到P的运动时间及从B水平飞出的速度大小；
②运动员在飞离B点前瞬间对轨道的压力大小；
③运动员落到坡上P点前瞬间的重力功率。
【答案】（1）B；
（2）C；
（3）①运动员从B到P的运动时间为3s，从B水平飞出的速度大小为19.6m/s；
②运动员在飞离B点前瞬间对轨道的压力大小为972.16N；
③运动员落着陆坡上的P点前瞬间的重力功率为17287.2W。
【解答】解：（1）A.位置的变化率为速度，运动员从B到P的运动过程中，做平抛运动，速度越来越大，故A错误；
B.速度的变化率是加速度，运动员从B到P的运动过程中，做平抛运动，是匀变速曲线运动，故B正确；
C.结合A选项分析，根据动能公式判断动能发生变化，故C错误；
D.根据平抛竖直方向的运动特点可知，竖直方向上的速度vy变大，由重力功率
P＝mgvy
可知重力的功率变大，
故D错误。
故选：B。
（2）运动员从滑道B处恰好沿水平方向飞出，运动员只受重力作用，加速度为重力加速度，方向竖直向下，运动员做平抛运动，速度越来越大，运动员经过D处时的速度方向与斜面平行，所以速度与水平面的夹角为α，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（3）①运动员从B到P做平抛运动，竖直方向做自由落体运动
解得运动员从B到P的运动时间
t＝3s
运动员从B到P的分位移关系
解得
vB＝19.6m/s
②在B点对运动员由牛顿第二定律可得
又
h＝R（1﹣cos53°）
解得
F＝972.16N
由牛顿第三定律可知运动员在飞离B点前瞬间对轨道的压力大小等于轨道对运动员的支持力
F′＝F＝972.16N
③运动员落着陆坡上的P点前竖直方向的速度为
vy＝gt
解得
vy＝29.4m/s
运动员落着陆坡上的P点前瞬间的重力功率为
P＝mgvy＝60×9.8×29.4W＝17287.2W
答：（1）B；
（2）C；
（3）①运动员从B到P的运动时间为3s，从B水平飞出的速度大小为19.6m/s；
②运动员在飞离B点前瞬间对轨道的压力大小为972.16N；
③运动员落着陆坡上的P点前瞬间的重力功率为17287.2W。
15．利用图像，可以将物理量的变化与关系可视化，在探究物理量关系和研究物理问题时具有重要作用。
（1）在半径为R1的K星球表面竖直向上提起一质量为m1的物体，拉力F与物体加速度a的关系如图线1所示。在半径为R2的T星球表面竖直向上提起一质量为m2的物体，拉力F与物体加速度a的关系如图线2所示。设两星球密度相等，质量分布均匀。则 A 。
A．m1：m2＝3：1，R1：R2＝1：2
B．m1：m2＝3：2，R1：R2＝3：1
C．m1：m2＝3：1，R1：R2＝2：3
D．m1：m2＝3：2，R1：R2＝2：1
（2）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg（），纵轴是lg（）；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是 B 。
（3）（多选题）如图甲所示，物块（可视作质点）以某一初速度从斜面底端O点冲上粗糙斜面，某同学以O点为坐标原点，沿斜面向上的方向为正方向记录了该物块运动的某物理量与位移x图像，根据图中所给数据（国际单位），下列说法正确的是 AD 。
A．图乙纵轴物理量为v2
B．图乙纵轴物理量为t2
C．物块向上运动过程中的初速度为5
D．物块向下运动过程中的加速度大小为2.5m/s2
（4）（多选题）智能手机中安装了加速度感测器APP软件后，可以精确测量手机运动的加速度。一同学将手机轻轻接触弹簧由静止释放，如图甲所示，手机在t3时刻运动到最低点，APP软件记录下此过程中加速度a随时间t变化的图像如图乙所示（不考虑薄板的质量），则 AD 。
A．手机先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动
B．t2时刻，重力等于弹力，手机速度为零
C．t2时刻，手机对薄板的压力为零
D．t2时刻，手机对薄板的压力等于手机重力的2倍
（5）如图甲所示，一滑块从平台上A点以初速度v0向右滑动，从平台上滑离后落到地面上的落地点离平台的水平距离为s。多次改变初速度的大小，重复前面的过程，根据测得的多组v0和s，作出s2图像如图乙所示。滑块与平台间的动摩擦因数为0.3，则平台离地的高度h＝ 1 m；滑块在平台上滑行的距离d＝ 2 m。
【答案】（1）A；（2）B；（3）AD；（4）AD；（5）1；2。
【解答】解：（1）物体在星球表面竖直向上加速，根据牛顿第二定律有：F﹣mg＝ma
故有：F＝mg+ma，则图像F﹣a的斜率表示物体的质量，则有：
m1，m2，所以m1：m2＝3：1，
当加速度a＝0时，拉力等于物体的重力，则有m1g1＝3F0，m2g2＝2F0
则重力加速度之比为：g1：g2＝1：2，
根据在星球表面万有引力等于重力：Gmg
根据星球质量计算公式：M＝ρπR3
联立解得：R，则R1：R2＝g1：g2＝1：2
故BCD错误，A正确，故选：A。
（2）根据开普勒第三定律：T2＝kR3、，两式相除后取对数，得：lglg，整理得：2lg3lg，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（3）AB、物体先沿斜面向上做匀减速直线运动，到最大距离处速度为0，后沿斜面向下做匀加速直线运动，沿斜面向上运动的加速度大于沿斜面向下运动的加速度物体先沿斜面向上做匀减速直线运动，根据x
得位移与时间或者时间的平方的图像过原点，
根据： ＝2ax
得位移与速度的图像为抛物线，图乙纵轴物理量为v2，故A正确，B错误；
C、由图像可得：v＝225m2/s2
物块向上运动过程中的初速度为：v0＝15m/s
故C错误；
D、由图像可知：x＝15m
返回斜面底端时的速度的平方：v2＝75m2/s2
物块向下运动过程中的加速度大小为a'，由：v2＝2a'x
解得：a'＝2.5m/s2，故D正确；
故选：AD。
（4）A、从图像可知，手机的加速度先是向下逐渐减小，t2时刻之后加速度向上，再逐渐增大，而手机的速度方向一直向下，故手机先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，故A正确；
BC、t2时刻手机加速度为零，重力大小等于弹力，手机对薄板的压力大小等于手机重力；但在这之前手机一直在加速，t2时刻速度最大，故B、C错误；
D、根据简谐运动的对称性，可知t3时刻手机的加速度与0时刻加速度相同，而0时刻弹簧处于原长，手机只受重力，加速度为g，所以t3时刻手机的加速度大小为g，方向竖直向上，根据牛顿第二定律FN﹣mg＝mg，得FN＝2mg，根据牛顿第三定律可得t3时刻，手机对薄板的压力等于手机重力的2倍，故D正确；
故选：AD。
（5）设滑块滑到平台边缘时的速度为v，根据动能定理得：
﹣μmgdmv2
滑块离开平台后做平抛运动，则有：h，s＝vt
联立以上三式可得：s24μhd
图像的斜率0.2
解得：h＝1m
当s2＝0时，12，解得：d＝2m
故答案为：（1）A；（2）B；（3）AD；（4）AD；（5）1；2。
▉题型5 利用动能定理求解变力做功
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合＝ΔEk＝Ek末﹣Ek初
3.变力做功无法用公式W＝Fs进行求解，而动能定理因为忽略了运动过程，所以求解变力做功会更方便。
16．建立物理模型对实际问题进行分析，是重要的科学思维方法。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，地球的半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。
（1）试推导第一宇宙速度v的表达式；
（2）如图1所示，假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球南北两极的小洞，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动，不考虑其它星体的作用，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，写出小球所受引力F随x（﹣R≤x≤R）变化的函数并在图2中画出其图像。
（3）在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为ρ0和ρ，木星和地球的半径分别为R0和R，且d R。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式【提示：当x很小时，（1+x）n≈1+nx】。
【答案】（1）第一宇宙速度v的表达式为；
（2）图像如下图所示：
（3）已知木星和地球的密度分别为ρ0和ρ，木星和地球的半径分别为R0和R，且d R。木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式为。
【解答】解：（1）根据万有引力提供向心力有
地球的质量为
联立解得第一宇宙速度为
（2）距离地心为x时，小球受到的万有引力大小为
因为
得
当0＜x≤R时，引力方向指向南方，当﹣R≤x＜0时，引力方向指向北方，故小球所受引力F随x（﹣R≤x≤R）变化的图像如图所示
（3）设木星质量为M0，地球质量M为，地球表面上距离木星最近的地方有一质量为m的物体，地球在木星引力作用下向木星靠近，根据牛顿第二定律，有
m在木星引力和地球引力作用下，有
其中
当a1＞a时，地球将被撕裂；由a1＝a可得
整理得
因为d远大于R，所以很小，则有
可得“洛希极限”的表达式为
答：（1）第一宇宙速度v的表达式为；
（2）图像如下图所示：
（3）已知木星和地球的密度分别为ρ0和ρ，木星和地球的半径分别为R0和R，且d R。木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式为。
▉题型6 利用动能定理求解多过程问题
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合＝ΔEk＝Ek末﹣Ek初
3.动能定理不用考虑物体的运动过程，可以通过对全程列动能定理来简化过程比较多，运动情况比较复杂的问题。
（多选）17．如图，左侧光滑曲面轨道与右侧倾角α＝37°的斜面在底部平滑连接且均固定在水平地面上，质量为m的小滑块从斜面上离斜面底边高为H处由静止释放，滑到斜面底端然后滑上左侧曲面轨道，再从曲面轨道滑上斜面，滑块第一次沿斜面上滑的最大高度为，多次往复运动。不计空气阻力，重力加速度为g，sin37°＝0.6。下列说法正确的是（ ）
A．滑块第一次下滑过程，克服摩擦力做的功为
B．滑块最终会停在斜面底端
C．滑块与斜面间的动摩擦因数为
D．滑块最终在斜面上走过的总路程是15H
【答案】BCD
【解答】解：AC、设滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块从静止释放到第一次沿斜面上滑的最大高度为的全过程，由功能关系有，其中，
联立可得滑块第一次下滑过程，克服摩擦力做的功，滑块与斜面间的动摩擦因数
故A错误，C正确；
B、由于，故滑块最终不停在斜面，左侧为光滑曲面，故滑块最终会停在斜面底端，故B正确；
D、滑块从开始到最终停在斜面底端过程，根据能量守恒定律有mgH＝μmgscosα
解得s＝15H
故D正确。
故选：BCD。
（多选）18．利用现代技术可以高效地辅助物理实验探究。如图（a）所示，轻绳一端连接小球，另一端可绕水平转轴在竖直面内自由转动，在最低点（cosθ＝1）给小球一个初速度v0＝6m/s，使小球能做完整的圆周运动，利用传感器记录绳的拉力大小F，同时记录对应时刻轻绳与竖直方向的夹角θ，将数据输入计算机得到F﹣cosθ图像如图（b）所示。已知g取10m/s2，则下列判断正确的是（ ）
A．小球的质量为0.2kg
B．轻绳长为1m
C．小球在最高点的速度大小为
D．小球在最低点与最高点绳的拉力差随初速度大小v0的增大而增大
【答案】AC
【解答】解：AB、轻绳与竖直方向的夹角为θ，当cosθ＝0时，F1＝8N，拉力提供向心力，由牛顿第二定律得
小球从最低点到该位置的过程中，根据动能定理得
由F﹣cosθ图像可知当cosθ＝0.5时，F2＝11N，由牛顿第二定律得
小球从最低点到该位置的过程中，根据动能定理得
联立解得m＝0.2kg，l＝0.6m，故A正确，B错误；
C、小球从最低点到最高点的过程中，根据动能定理得
解得小球在最高点的速度大小为，故C正确；
D、在最低点，根据牛顿第二定律，得
在最高点，根据牛顿第二定律，得
小球从最低点到最高点的过程中，根据动能定理得
联立解得F1﹣F2＝6mg
故小球在最低点与最高点绳的拉力差保持不变，故D错误。
故选：AC。
19．如图所示，在距地面上方h的光滑水平台面上，质量为m＝2kg的物块左侧压缩一个轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。物块与左侧竖直墙壁用细线拴接，使物块静止在O点。水平台面右侧有一倾角为θ＝37°的光滑斜面，半径分别为R1＝0.5m和R2＝0.2m的两个光滑圆形轨道固定在粗糙的水平地面上，且两圆轨道分别与水平面相切于C、E两点，两圆最高点分别为D、F。现剪断细线，弹簧恢复原长后与物块脱离，脱离时物块的速度v0＝8m/s，物块离开水平台面后恰好无碰撞地从A点落入光滑斜面上，运动至B点后（在B点无能量损失）沿粗糙的水平面从C点进入光滑竖直圆轨道且通过最高点D，已知物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1，AB长度L1＝1m，BC距离L2＝1m，g＝10m/s2，已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）求水平台面的高度h；
（2）求物块经过D点时对圆轨道的压力；
（3）为了让物块能从E点进入圆轨道且中途不脱离轨道，则C、E间的距离应满足什么条件？
【答案】（1）水平台面的高度h为2.4m；
（2）物块经过D点时对圆轨道的压力大小为340N，方向竖直向上；
（3）为了让物块能从E点进入圆轨道且中途不脱离轨道，则C、E间的距离应满足0≤xCE＜50m或53m≤xCE＜55m。
【解答】解：（1）剪断细线，物块离开水平台面后恰好无碰撞地从A点落入光滑斜面上，
则有
解得vAy＝6m/s
则台面到A点的高度为
代入数值得h1＝1.8m
水平台面的高度为h＝h1+L1sin37°
代入数值得h＝2.4m
（2）物块从离开水平台面到经过D点过程，根据动能定理可得
解得
物块经过D点时，根据牛顿第二定律可得
解得FN＝340N
根据牛顿第三定律可知，物块经过D点时对圆轨道的压力大小为340N，方向竖直向上。
（3）设物体刚好能到达E点，从 D到E的过程，根据动能定理可得
解得s1＝55m
设物体经过E点后刚好到达圆心等高处，根据动能定理可得
解得s2＝53m
设物体经过E点后刚好经过最高点F，则有
根据动能定理可得
联立解得s3＝50m
为了让物块能从E点进入圆轨道且不脱离轨道，则C、E间的距离应满足0≤xCE＜50m或53m≤xCE＜55m
答：（1）水平台面的高度h为2.4m；
（2）物块经过D点时对圆轨道的压力大小为340N，方向竖直向上；
（3）为了让物块能从E点进入圆轨道且中途不脱离轨道，则C、E间的距离应满足0≤xCE＜50m或53m≤xCE＜55m。
▉题型7 利用动能定理求解机车启动问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对机车启动问题中需要用到动能定理的情况。
20．如图所示，京张高铁将北京到张家口的通行时间缩短在1小时内，成为2022年北京冬奥会重要的交通保障设施。假设此高铁动车启动后沿平直轨道行驶，发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小恒定。已知动车的质量为m，最高行驶速度vm＝350km/h。则下列说法正确的是（ ）
A．行驶过程中动车受到的阻力大小为Pvm
B．当动车的速度为时，动车的加速度大小为
C．从启动到速度为vm的过程中，动车牵引力所做的功为
D．由题目信息可估算京张铁路的全长为350km
【答案】B
【解答】解：AB、当动车达到最大速度时，动车受到牵引力等于受到的阻力，根据功率和牵引力的关系可知，有P＝Fvm，故行驶过程中动车受到的阻力大小为f＝F；
当动车的速度为时，动车受到的牵引力为F1，则有P＝F1 ，根据牛顿第二定律可得
F1﹣f＝ma
联立整理可得a
故A错误，B正确；
C、从启动到速度为vm的过程中，对动车利用动能定理，可得
WF﹣Wf
故动车牵引力所做的功为WFWf
其中Wf表示该过程中克服阻力做的功，故C错误；
D、由题目信息只知道最高时速，无法估计平均速度，故不可估算京张铁路的全长，故D错误。
故选：B。
21．小明驾驶两轮平衡车在水平路面上以恒定加速度a启动，v﹣t图像如图所示，已知人和平衡车的总质量为m，平衡车动力系统的额定功率为P0，平衡车受到的阻力恒为f，不计人对平衡车做功，则（ ）
A．平衡车匀加速阶段的牵引力为f+ma
B．平衡车能达到的最大行驶速度
C．平衡车做匀加速直线运动过程中能达到的最大速度
D．0～t2时间内，阻力对平衡车做的功为
【答案】A
【解答】解：A、匀加速阶段，由牛顿第二定律得：F﹣f＝ma，可得平衡车匀加速阶段的牵引力为F＝f+ma，故A正确；
B、当平衡车牵引力与阻力平衡时，达到最大速度，由P0＝F'vm＝fvm，可得平衡车能达到的最大行驶速度，故B错误；
C、匀加速直线运动结束时平衡车的功率达到额定功率，由P0＝Fv1，结合F＝f+ma，可得平衡车做匀加速直线运动过程中能达到的最大速度，故C错误；
D、0～t2时间内，由动能定理可得：F P0（t2﹣t1）+Wf
联立可得阻力对平衡车做的功为：，故D错误。
故选：A。
22．“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有三节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F阻＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是（ ）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若三节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若三节动力车厢输出的总功率为，则动车组匀速行驶的速度为
D．若三节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为
【答案】C
【解答】解：A、动车组在匀加速启动过程中，由牛顿第二定律有：F﹣F阻＝ma，即F﹣kv＝ma，速度v增大，加速度a不变，则牵引力增大，故A错误；
B、动车组从静止开始运动，速度v增大，功率P不变，由P＝Fv可知牵引力F减小，
由牛顿第二定律F﹣kv＝ma，可知动车组的加速度a减小，所以动车组不是做匀加速运动，故B错误；
C、每节车厢发动机的额定功率均为P时，则动车组匀速行驶时的牵引力kvm
若三节动力车厢输出的总功率为，则动车组匀速行驶时的牵引力：
代入数据可得：，故C正确；
D、若三节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动到达到最大速度过程，由动能定理有：
则该动车组克服阻力做的功为：，故D错误。
故选：C。
23．我国在人工智能和无人驾驶技术方面已取得较大突破。为早日实现无人驾驶，某公司对汽车性能进行了一项测试，让质量为m的汽车沿一山坡直线行驶。测试中发现，下坡时若只关闭油门，则汽车的速度保持不变；若以恒定功率P上坡，则汽车从静止启动，发生位移x时速度刚好达到最大值vm，假设汽车在上坡和下坡过程中所受路面阻力大小恒定且相等，山坡的倾角为θ，忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
A．关掉油门后的下坡过程，坡面对汽车的支持力等于mgsinθ
B．路面对汽车的阻力大小为
C．上坡过程中，汽车从静止启动到速度刚好增至vm，所用时间为
D．上坡过程中，汽车从静止启动到速度刚好增至vm，所用时间等于
【答案】B
【解答】解：A、根据平衡条件，关掉油门后的下坡过程，坡面对汽车的支持力等于mgcosθ，故A错误；
B、下坡时若只关掉油门，则汽车的速度保持不变，说明汽车受力平衡，则有mgsinθ＝f
以恒定的功率P上坡速度达到最大时加速度为零，则有F＝f+mgsinθ
由功率公式有P＝Fvm
联立解得f，故B正确；
C、上坡过程中，汽车从静止启动到速度刚好增至vm，设所用的时间为t，根据动能定理可得
Pt﹣fx﹣mgxsinθ0，解得t，故C错误；
D、上坡过程中，汽车从静止启动到刚好达到最大速度vm，功率不变，由P＝Fv知，速度增大，牵引力减小，加速度减小，则x，解得t，故D错误。
故选：B。
（多选）24．某人驾驶小型汽车行驶在平直的封闭测试道路上，t＝0时刻开始无动力滑行，一段时间后以恒定功率加速行驶，车速达到最大后保持匀速，v﹣t图像如图所示。汽车总质量为2×103kg，行驶中受到的阻力保持不变，则（ ）
A．汽车行驶中所受阻力大小为2×103N
B．1s～11s内汽车的功率为30kW
C．1s～11s内汽车的位移为75m
D．汽车加速过程中速度为6m/s时的加速度大小为0.5m/s2
【答案】BD
【解答】解：A.由第一段图像的斜率可得，汽车无动力滑行时的加速度大小为a1m/s2＝2m/s2，根据牛顿第二定律，汽车行驶中所受阻力大小为2N＝4×103N，故A错误；
B.根据题意，由图可知，当t＝11s时，汽车达到最大速度7.5m/s，此时汽车的牵引力为F＝f＝4×103N，汽车的功率为P＝Fvm＝4×103×7.5W＝30kW，故B正确；
C.根据题意，设1s～11s内汽车的位移为x，由动能定理有，代入数据解得x＝67.1875m≈67m，故C错误；
D.汽车加速过程中速度为6m/s时，此时牵引力为，由牛顿第二定律有，解得a＝0.5m/s2，故D正确。
故选：BD。
（多选）25．质量m＝200kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18s末汽车的速度恰好达到最大，下列说法正确的是（ ）
A．汽车受到的阻力200N
B．汽车的最大牵引力为600N
C．8～18s过程中汽车牵引力做的功为8×104J
D．汽车在做变加速运动过程中的位移大小为95.5m
【答案】CD
【解答】解：A、当牵引力等于阻力时，速度取到最大值，所以速度达到最大时，故A错误；
B、0～8s内，汽车做匀加速运动的牵引力最大，在8s时，故B错误；
C、8～18s过程中汽车以恒定的功率运动，汽车牵引力做功为，故C正确；
D、8～18s内汽车做变加速直线运动，根据动能定理，
代入数据解得x＝95.5m，故D正确。
故选：CD。
（多选）26．如图甲所示，电动机通过绕过定滑轮的轻细绳，与放在倾角为θ＝30°的足够长斜面上的物体相连，启动电动机后物体沿斜面上升；在0 6s时间内物体运动的v﹣t图像如图乙所示，其中除1s 5s时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线，1s后电动机的输出功率保持不变；已知物体的质量为3kg，不计一切阻力，重力加速度g＝10m/s2，则下列判断正确的是（ ）
A．在0～1s内电动机牵引力大小为15N
B．物体达到的最大速度vm＝12m/s
C．1s后电动机的输出功率恒为150W
D．在0～5s内物体沿斜面向上运动了35m
【答案】CD
【解答】解：A．由物体运动的v﹣t图像可求得0～1s的斜率k＝5，物体的加速度为a＝k＝5m/s2
对物体受力分析，根据牛顿第二定律可得F﹣mgsin30°＝ma
故0～1s内电动机牵引力大小为F＝30N，故A错误；
BC．根据物体运动的v﹣t图像可得1s时，物体的速度为v1＝5m/s，1s后电动机的输出功率保持不变，设输出功率为P，根据P＝Fv1，解得输出功率为150W
5s时，物体速度为vm，根据P＝Fv1＝mgsin30°vm
解得最大速度vm＝10m/s，故B错误，故C正确；
D．0 1s，物体的位移为x1＝2.5m，
1s 5s，根据动能定理
故1s 5s物体的位移为x2＝32.5m
所以物体在0～5s内物体沿斜面向上运动位移x＝x1+x2，解得x＝35m，故D正确。
故选：CD。
27．新能源汽车越来越受市民的喜爱，已被广泛应用于客运领域，目前正被研发应用于货运领域。
在一次研发试验中，汽车发动机的额定牵引功率P＝60kW，汽车的质量m＝2×103kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车的重力的0.1倍，g取10m/s2。汽车保持额定功率在水平路面上从静止启动并开始计时，在t＝20s时汽车已经做匀速运动，求：
（1）汽车匀速运动时的速度大小；
（2）在0～20s时间内汽车牵引力做的功；
（3）在0～20s时间内汽车通过的路程。
【答案】（1）汽车匀速运动时的速度大小为30m/s；
（2）在0～20s时间内汽车牵引力做的功为1.2×106J；
（3）在0～20s时间内汽车通过的路程为150m。
【解答】解：（1）汽车匀速运动时，牵引力等于阻力，即F＝f
由P＝Fv，f＝kmg联立可得
（2）在0～20s时间内汽车牵引力做的功为
W＝Pt＝60×103×20J＝1.2×106J
（3）汽车在0～20s时间内的运动过程，由动能定理得
代入数据解得x＝150m
答：（1）汽车匀速运动时的速度大小为30m/s；
（2）在0～20s时间内汽车牵引力做的功为1.2×106J；
（3）在0～20s时间内汽车通过的路程为150m。
28．中国的新能源汽车市场正迅速壮大。
（1）汽车质检时，将汽车的主动轮压在两个粗细相同的有固定转动轴的滚筒上，如图1所示。车内轮A的半径为RA，车外轮B的半径为RB，滚筒C的半径为RC，车轮与滚筒间不打滑，当车轮以恒定速度运行时，A、B轮边缘的线速度大小之比为 RA：RB ，B、C轮边缘的向心加速度大小之比为 RC：RB 。
（2）如图2所示，新能源汽车沿等螺距车道向下做匀速率运动，该轨道各处弯曲程度相同，在此过程中，该小车 D 。
A．始终处于平衡状态
B．始终处于失重状态
C．始终处于超重状态
D．重力功率始终不变
（3）（多选题）一新款小型电动汽车上市前进行了水平路面直线驾驶性能检测，汽车运动的位移（x）与速度的平方（v2）关系的图像如图3所示，当汽车位移为20m时，电动机功率达到额定功率P0＝50kW，之后保持额定功率运行。已知汽车质量为1.2t，所受阻力恒定，下列说法正确的是 ACD 。
A．汽车运动的最大速度约为25m/s
B．汽车运动过程中所受阻力大小为3×103N
C．汽车启动后先做匀加速直线运动，加速度大小为2.5m/s2
D．位移为20m后，汽车做加速度减小的加速运动后做匀速直线运动
（4）（计算题）一段倾斜角θ＝37°的斜面AB与弧面BC相切于B点。质量为m＝2000kg的汽车从斜面底部A点由静止开始沿着斜面AB起动，如图4甲所示。已知汽车受到斜面的阻力与车对斜面的压力的比值为0.25。汽车在斜面AB上运动的加速度随时间变化如图4乙所示。12.0s时汽车达到额定功率，随后汽车保持额定功率继续运动，汽车到达B点前已经达到最大速度vmax。此后关闭发动机，汽车继续沿着圆弧向上滑行。不计空气阻力，已知g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，汽车可视作质点。求：
①汽车匀加速直线运动过程中的最大速度v1及牵引力F；
②汽车的额定功率；
③汽车在斜面AB上能到达的最大速度vmax；
④为保证汽车不脱离弧面安全行驶至C点，在设计弧面半径时有什么要求，并说明理由。
【答案】（1）RA：RB；RC：RB；（2）D；（3）ACD；（4）①v1＝24m/s；F＝2.0×104N；②4.8×105W；③30m/s；④半径要大一些；理由见解答。
【解答】解：（1）车内轮A与车外轮B同轴转动，两轮的角速度相同，根据v＝ωr，可得A、B轮边缘的线速度大小之比为RA：RB；
车外轮B与滚筒C的边缘的线速度大小相等，根据向心加速度，可得B、C轮边缘的向心加速度大小之比为RC：RB。
（2）A、小车做曲线运动，具有向心加速度，所受合外力不为零，其运动过程中处于非平衡状态，故A错误；
BC、轨道等螺距，且小车的速率不变，所以小车运动过程在竖直方向的速度不变，小车在竖直方向没有加速度，所以小车既不处于超重状态，也不处于失重状态，故BC错误；
D、轨道等螺距，可等效为小车沿倾角为θ的斜面匀速下滑，重力功率为P＝mgvsinθ，可知重力功率始终不变，故D正确。
故选：D。
（3）C、0～20m内，图像的表达式为
结合匀变速直线运动公式可知，汽车做匀加速直线运动，加速度大小为
a＝2.5m/s2
故C正确；
B、由图可知，20m时，汽车速度
v1＝10m/s
根据牛顿第二定律有
可得汽车运动过程中所受阻力为
故B错误；
A、由v1＝at1得，0～20m所用时间为
t1＝4s
62.5m汽车开始匀速运动，速度大小为
故A正确；
D、根据牛顿第二定律有
可得汽车运动过程中的加速度大小为
位移为20m后，汽车功率不变，所以此后汽车以恒定功率继续加速，加速度减小，当加速到最大速度后匀速运动，故D正确。
故选：ACD。
（4）①汽车匀加速直线运动过程中的最大速度
v1＝at12＝2×12.0m/s＝24m/s
汽车受到的阻力为
f＝μmgcosθ＝0.25×2000×10×0.8N＝4000N
根据牛顿第二定律
F﹣f﹣mgsinθ＝ma
解得牵引力为
F＝2.0×104N
②汽车额定功率为
③汽车在斜面AB上能到达的最大速度
④若汽车在B点不脱离弧面，根据牛顿第二定律，在B点应满足
整理得
则，为保证汽车不脱离弧面安全行驶至C点，在设计弧面时半径要大一些。
故答案为：（1）RA：RB；RC：RB；（2）D；（3）ACD；（4）①v1＝24m/s；F＝2.0×104N；②4.8×105W；③30m/s；④半径要大一些；理由见解答。
▉题型8 探究功与物体速度变化的关系
【知识点的认识】
一、实验：探究功与速度变化的关系
1．实验目的：
（1）探究功与物体速度变化的关系。
（2）感悟实验方案的设计和实验数据的处理方法。
2．实验的方法：如图所示，依次用1根、2根、3根…同样的橡皮筋与物体相连接，并且每次将橡皮筋拉伸相同的长度，这样操作，无须计算就可知道橡皮筋对物体所做的功依次为W、2W、3W…
而每次橡皮筋对物体做功后的速度，可用打点计时器测出。
3．实验器材：本实验需要的器材有：打点计时器（含纸带、学生电源、复写纸、连接导线）、同种橡皮条（10根）、小车、长木板、钉子、刻度尺。
4．实验步骤：
（1）按图连接好器材。橡皮筋的一端套在小车上，另一端套在钉子上，第一次用两根橡皮筋。将长木板倾斜一个角度，使重力沿斜面向下的分力平衡小车受到的摩擦力。
（2）将小车拉到靠近打点计时器的位置（在橡皮筋弹性限度内），并标记下此位置；接通电源后松手。
（3）换上纸带，并在纸带上做好标记，每次加接两根橡皮筋，然后将小车拉到同一位置，接通电源后松手。依次再做四次。
（4）根据纸带求橡皮筋对小车做功后的速度。在每条纸带上找出点间间距相等的那部分，它记录的是小车做匀速运动的情况，如图所示的计数点B、E、C部分。用刻度尺量出计数点B、C之间的距离d，设相邻两计数点间的时间间隔为T，那么，橡皮筋对小车做功后的速度：vi。
（5）分析测量数据得出实验结论。根据实验所得数据Wi与vi，猜想Wi与vi的关系，先看它们是否满足最简单的正比关系，即：Wi∝vi．接着再猜想Wi∝？大致成立后，再作Wi图进行验证。
5．实验结论：Wi∝。
6．实验中应注意事项
（1）平衡摩擦力：实验中的小车不可避免地要受到摩擦力的作用，为了保证橡皮筋对物体的功就是合外力的功，必须设法排除摩擦力的影响。可采用将木板一端垫高的方法来实现。将木板一端垫高，让自由小车（不系橡皮筋时）能在木板上匀速运动，使重力沿斜面方向的分力与摩擦力相平衡，就消除了摩擦力的影响。
（2）每次实验所用的每条橡皮筋，其长度、材料和粗细都应是相同的，并且橡皮筋拉伸的长度都保持一致。
（3）打点计时器打出的纸带上相邻各点的间距并不均匀，应选点间间距相等的一段纸带来计算小车的速度，因这一小段是橡皮筋对小车做功完毕时的情形。
29．某同学用图甲所示的实验装置探究恒力做功与小车动能变化的关系。
（1）完成本实验还需要下列哪些实验器材 ACD 。
A.天平
B.秒表
C.刻度尺
D.交流电源
（2）图乙为实验得到的一条清晰的纸带，A、B、C、D、E、F、G是纸带上7个连续的点，SAD＝ 2.10 cm。已知电源频率为50Hz，则打点计时器在打D点时纸带的速度v＝ 0.50 m/s（保留两位有效数字）。
（3）某同学画出了小车动能变化与拉力对小车所做的功的ΔEk—W关系图像（理论线ΔEk＝W＝mgx），由于实验前遗漏了平衡摩擦力这一关键步骤，他得到的实验图线为图丙中实验线，若已知小车与水平木板间的动摩擦因数为μ，小车与砂桶和砂的质量关系满足，则实验线的斜率为 （用μ、k表示）。
【答案】（1）ACD；（2）2.10；0.50；（3）
【解答】解：（1）完成本实验还需要天平测量砂桶和小车的质量，刻度尺测量点迹距离；打点计时器应用交流电源，故ACD正确，B错误；
故选：ACD。
（2）刻度尺的分度值为0.1cm，读数为sAD＝2.10cm；
打点计时器在打D点时纸带的速度v0.01m/s＝0.50m/s
（3）由于实验前遗漏了平衡摩擦力，则
mgx﹣μMgx（M+m）v2（M+m）
由于
则
（1）mgx＝（1+k）[Mv2]
即
（1）W＝（1+k）ΔEk
即
ΔEkW
则实验线的斜率为
故答案为：（1）ACD；（2）2.10；0.50；（3）
▉题型9 探究动能定理
【知识点的认识】
1．实验目的：
（1）探究功与物体速度变化的关系。
（2）感悟实验方案的设计和实验数据的处理方法。
2．实验的方法：如图所示，依次用1根、2根、3根…同样的橡皮筋与物体相连接，并且每次将橡皮筋拉伸相同的长度，这样操作，无须计算就可知道橡皮筋对物体所做的功依次为W、2W、3W…
而每次橡皮筋对物体做功后的速度，可用打点计时器测出。
3．实验器材：本实验需要的器材有：打点计时器（含纸带、学生电源、复写纸、连接导线）、同种橡皮条（10根）、小车、长木板、钉子、刻度尺。
4．实验步骤：
（1）按图连接好器材。橡皮筋的一端套在小车上，另一端套在钉子上，第一次用两根橡皮筋。将长木板倾斜一个角度，使重力沿斜面向下的分力平衡小车受到的摩擦力。
（2）将小车拉到靠近打点计时器的位置（在橡皮筋弹性限度内），并标记下此位置；接通电源后松手。
（3）换上纸带，并在纸带上做好标记，每次加接两根橡皮筋，然后将小车拉到同一位置，接通电源后松手。依次再做四次。
（4）根据纸带求橡皮筋对小车做功后的速度。在每条纸带上找出点间间距相等的那部分，它记录的是小车做匀速运动的情况，如图所示的计数点B、E、C部分。用刻度尺量出计数点B、C之间的距离d，设相邻两计数点间的时间间隔为T，那么，橡皮筋对小车做功后的速度：vi。
（5）分析测量数据得出实验结论。根据实验所得数据Wi与vi，猜想Wi与vi的关系，先看它们是否满足最简单的正比关系，即：Wi∝vi．接着再猜想Wi∝？大致成立后，再作Wi图进行验证。
5．实验结论：Wi∝。
6．实验中应注意事项
（1）平衡摩擦力：实验中的小车不可避免地要受到摩擦力的作用，为了保证橡皮筋对物体的功就是合外力的功，必须设法排除摩擦力的影响。可采用将木板一端垫高的方法来实现。将木板一端垫高，让自由小车（不系橡皮筋时）能在木板上匀速运动，使重力沿斜面方向的分力与摩擦力相平衡，就消除了摩擦力的影响。
（2）每次实验所用的每条橡皮筋，其长度、材料和粗细都应是相同的，并且橡皮筋拉伸的长度都保持一致。
（3）打点计时器打出的纸带上相邻各点的间距并不均匀，应选点间间距相等的一段纸带来计算小车的速度，因这一小段是橡皮筋对小车做功完毕时的情形。
30．用如图甲所示的装置验证动能定理。长木板左端固定在水平桌面上，可调节垫块高度使长木板绕左端转动。在木板右端固定一个定滑轮，在靠近定滑轮处固定一个打点计时器。在木板上放置小车P，固定在小车右端的纸带穿过打点计时器的限位孔，纸带与木板平行。并且小车通过轻质细线绕过定滑轮与小物块Q相连，木板上方的细线与木板平行。重力加速度为g，打点计时器所接交流电频率为f。
实验步骤如下：
第1步，按装置安装好实验器材；
第2步，调整垫块的高度，给小车一个沿木板向下的初速度，直到纸带上打出均匀的点迹为止；
第3步，去掉小物块Q，重新换一条纸带，让小车靠近打点计时器由静止释放，得到一条纸带如图乙所示，最后把实验器材归置好。
请回答下列问题：
（1）为了验证从打下B点到打下E点过程小车的运动是否满足动能定理，需要的实验器材以及测量的物理量有 BC 。
A.天平，测量小车P的质量M；
B.天平，测量小车P的质量M和小物块Q的质量m；
C.刻度尺，测量A、C间的距离xAC，D、F间的距离xDF和B、E间的距离xBE；
D.刻度尺，测量A、C间的距离xAC，C、D间的距离xCD，D、F间的距离xDF，F、G间的距离xFG；
E.秒表，测量从A到B的时间t；
（2）打下E点时小车的瞬时速度大小为 （用上述所选的测量数据和已知物理量的符号表示，下同）。
（3）验证从打下B点到打下E点过程小车的运动是否满足动能定理，只需验证表达式 成立即可。
【答案】（1）BC；（2）；（3）。
【解答】解：（1）由（2）中实验原理可知，还应测重物的质量m；
AB.当小车在木板上匀速下滑时，设摩擦力为f，斜面倾角为θ，根据平衡条件Mgsinθ＝mg+f
摩擦力f＝Mgsinθ﹣mg
去掉小物块Q，从打下B点到打下E点过程，合外力所做的功W＝（Mgsinθ﹣f） xBE＝mgxBE
小车动能的增加量
因此需要用天平测量小车P的质量M和小物块Q的质量m，故A错误，B正确；
CDE.根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度可知，要求解打下B点和打下E点的瞬时速度，需要测量A、C间的距离xAC和D、F间的距离xDF；由于使用了打点计时器，因此不需要秒表测量从A到B的时间t；为了求解系统减小的重力势能，因此需要测量B、E间的距离xBE，故C正确，DE错误。
故选：BC。
（2）相邻计数点的时间间隔
根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，打下E点时小车的瞬时速度大小为
（3）根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，打下B点时小车的瞬时速度大小为
小车动能的增加量
代入数据化简得
结合上述（1），根据动能定理W＝ΔEk
联立解得。
故答案为：（1）BC；（2）；（3）。第七章第三节 动能定理
题型1 动能的定义、性质、表达式 题型2 用动能的定义式计算物体的动能
题型3 动能变化量的计算 题型4 动能定理的简单应用
题型5 利用动能定理求解变力做功 题型6 利用动能定理求解多过程问题
题型7 利用动能定理求解机车启动问题 题型8 探究功与物体速度变化的关系
题型9 探究动能定理
▉题型1 动能的定义、性质、表达式
【知识点的认识】
1．定义：物体由于运动而具有的能叫动能．
2．公式：Ek＝mv2．单位：焦耳（J）．
3．矢标性：动能是标量，只有正值．
4．动能是状态量．而动能的变化量是过程量．
5．动能具有相对性，动能的大小与参照物的选取有关，中学物理中，一般取地球为参照物．
1．2025年蛇年春晚的舞台上，《秧BOT》节目开场，一群穿着花棉袄的机器人在舞台上扭起了秧歌，引起观众惊叹。其中机器人转手绢的动作，使手绢绕中心点O在竖直面内匀速转动，如图所示，若手绢上有质量不相等的两质点A、B，则（ ）
A．质点A、B的线速度相同
B．质点A、B的角速度不相同
C．质点A、B受到的合外力可能相同
D．质点A、B的动能可能相等
▉题型2 用动能的定义式计算物体的动能
【知识点的认识】
1.动能的定义式为：Ek，知道了物体的质量和速度，即可计算物体的动能。
2.计算时要注意，只有质量的单位是kg，速度的单位是m/s时，动能的单位才是J。
2．“嫦娥三号”是我国嫦娥工程中第一个月球软着陆的无人登月探测器。其飞行轨道示意图如图，她由地月转移轨道①顺利进入环月圆轨道②，在该轨道上运行了约4天后，变轨进入椭圆轨道③，最后实现月球软着陆。
（1）当“嫦娥三号”由轨道②变轨，进入轨道③的过程中，需要 （选择：A．加速，B．减速）；“嫦娥三号”在轨道③由远月点运行至近月点的过程中动能 （选择：A．增加，B．不变，C．减少）。
（2）（计算）“嫦娥三号”在反推火箭作用下慢慢下降，在距离月球表面h＝4.0m的高度处再次悬停，最后关掉发动机，自由下落到月球表面，实现软着陆。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.6倍，试计算“嫦娥三号”着陆时的速度大小v？（结果取二位有效数字）
▉题型3 动能变化量的计算
【知识点的认识】
物体的动能变化量等于末动量减去初动量，即ΔEk＝Ek2﹣Ek1。
3．如图所示，一个物体在恒力F的作用下，沿光滑的水平面运动，F与水平面的夹角为θ，在物体通过距离s的过程中（ ）
A．力F对物体做的功为Fssinθ
B．力F对物体做的功为Fscosθ
C．物体动能的变化量为Fs
D．物体动能的变化量为0
▉题型4 动能定理的简单应用
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合＝ΔEk＝Ek末﹣Ek初
3.本考点针对简单情况下用动能定理来解题的情况。
4．2022年北京冬奥会期间，在奥运场馆和运动员村之间首次大规模使用氢能源汽车作为主要交通工具。在一次测试中，某款质量为m的氢能源汽车沿平直公路从静止开始做直线运动，经过时间t开始做匀速直线运动，速度为vm。已知该过程中发动机功率恒定为P，汽车所受阻力恒定，关于t时间内汽车的运动，下列说法正确的是（ ）
A．汽车所受牵引力逐渐增大
B．车速为时，汽车的加速度大小为
C．汽车克服阻力做功为Pt
D．汽车的位移大小为
5．如图所示为一种潮汐发电示意图，左方为陆地和海湾，右侧为大海，中间为水坝，其下有通道，水流经通道即可带动发电机工作。涨潮时开闸蓄水，落潮时开闸放水，均在内外水面高度相同时关闭闸门。设海湾的平均面积为S，每次涨落潮海湾内外水位落差为h，一天涨潮、落潮各一次。水的密度为ρ，重力加速度为g，设一天的时间为t。则（ ）
A．一次落潮时流出海湾的海水质量为2ρSh
B．一次落潮时海水流经通道对发电机做的功为2ρSgh2
C．一天内海水流经通道对发电机做功的功率为
D．一天内海水流经通道对发电机做功的功率为
6．如图甲为我国自主研制的全球首款轮式起重机，将120吨的风力发电机组吊至高空，若该起重机由静止开始竖直向上提升机组，加速度和速度的倒数图像如图乙所示，不计其他阻力，g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．重物上升的最大速度vm＝10m/s
B．起重机的额定功率为P＝1.2×107W
C．重物在0 6s内做匀加速直线运动
D．第6s内起重机对重物做的功为W＝1.44×107J
7．图甲是小孩在水泥管内踢球的情景，其简化如图乙。固定的圆形轨道半径为R，圆心为O，C点和O点的连线与水平方向的夹角为37°。小孩以的速率将球从最低点A水平向左踢出，球经过C点后恰能通过最高点B，当球再次到达C点时，恰好离开轨道并落入书包内，接球时书包与直径AB的水平距离为0.2R。已知可视为质点的球的质量为m、与轨道间的动摩擦因数处处相等，重力加速度为g，不计空气阻力。则（ ）
A．球从A到B和从B到A的过程中，摩擦力做功相等
B．球从A到B的过程中，摩擦力做的功大小为mgR
C．球第二次到达C点的速度大小为
D．接球时书包离A点的竖直高度为0.8R
8．如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O（滑轮大小可忽略）。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO'＝37°，∠OCO'＝53°，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F的大小为
B．滑块由A到C做匀加速运动
C．滑块由A到C过程中拉力F做的功为
D．滑块在C点的动能为
9．如图甲，某同学用轻绳通过定滑轮提升一重物，运用传感器（未在图中画出）测得此过程中不同时刻被提升重物的速度v与对轻绳的拉力F，并描绘出图像如图乙所示，其中第一个时间段内线段AB与v轴平行，第二个时间段内线段BC的延长线过原点，第三个时间段内拉力F和速度v均与C点对应，大小均保持不变，因此图像上没有反映。实验中测得第二个时间段内所用时间为t。重力加速度为g，滑轮质量、摩擦和其他阻力均可忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．重物的质量为
B．第二阶段重物上升的平均速率为
C．第一阶段重物上升所用的时间为
D．重物在前两个时间段内的总位移
（多选）10．如图所示甲为一倾角为θ的斜面固定于水平面上，一可视为质点的小物块从斜面的顶端静止滑下，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ1，物块运动到斜面底端时无能量损失地进入水平面继续运动，其和水平面之间的动摩擦因数为μ2。图乙为物块运动的动能Ek与水平位移x的关系图像，则下列判断正确的是（ ）
A．μ1＞tanθ B．μ1＜tanθ
C．μ1+2μ2＝tanθ D．2μ1+μ2＝tanθ
（多选）11．如图所示，水平传送带保持2m/s的速度运行，两端AB水平距离l＝8m，把一质量m＝2kg的一个物块轻轻放到传送带的A端，物块在传送带的带动下向右运动，若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，重力加速度g＝10m/s2，不计物块的大小。则把物块从A端传送到B端的过程中（ ）
A．摩擦力对物块做的功为4J
B．摩擦力对传送带做的功为16J
C．物块与传送带摩擦生热为4J
D．全过程中摩擦力对物块做功的平均功率为0.8W
12．北京联合张家口申办2022年冬奥会，其中高山滑雪项目可以在张家口崇礼云顶乐园滑雪场比赛，如图为简化的赛道，比赛运动员可以从R＝18m的四分之一圆弧轨道AB段加速，经水平滑道BC，再在C点飞出水平轨道后做出美丽的空中动作，最后落至D点，一滑雪运动员质量m＝60kg，经过AB段加速滑行后进入BC轨道过程中没有能量损失，BC段运动员的运动时间是0.6s，运动员滑板与轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，运动员可以看质点，g＝10m/s2，结果保留三位有效数字，求：
（1）若在由圆轨道进入水平轨道之前对B点的压力是体重的2.8倍，则AB段运动员克服摩擦力做的功是多少？
（2）若轨道BC比D点高H＝20m，离开C点后不计空气阻力，则落地点D距B的水平距离是多少？
13．如图所示，斜面AB与水平面BC的夹角为θ＝45°，某滑板爱好者从距水平地面高度h＝2m的A点水平向右滑出，从C点落地后瞬间水平方向的速度保持不变，竖直方向的速度变为零，人与滑板从C点继续向右沿水平地面滑行s1＝8m后停止。已知人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小为其重力的0.1倍，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）人与滑板在C点落地后瞬间的速度大小；
（2）A点与C点间的水平距离；
（3）人与滑板从A点运动到C点过程中离斜面的最大距离。
14．跳台滑雪（图甲）是冬奥会最具观赏性的项目之一。如图乙所示为简化的跳台滑雪的雪道示意图，比赛运动员从圆弧助滑道的最高点A处由静止滑下后，从滑道B处恰好沿水平方向飞出，在着陆坡BC上的P处着陆。在飞行过程中，运动员与BC间距离最大处记为D处（图中未画出）。将运动员和滑雪板整体看成质点，不计空气阻力，BC与水平方向的夹角为α。
（1）关于运动员从B到P的运动过程中，随时间保持不变的物理量是 。
A.位置的变化率
B.速度的变化率
C.动能
D.重力的功率
（2）运动员经过D处时的 。
A.速度等于零
B.加速度等于零
C.速度与水平面的夹角为α
D.加速度与BC的夹角为α
（3）（计算）网上查询可推知圆弧滑道AB所对的圆心角为53°（圆心位于B点正上方），AB间高度差h＝24m，坡BC倾角α＝37°。一位比赛运动员的质量m＝60kg（包含所有装备的总质量），着陆点P到B的距离s＝73.5m，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝9.8m/s2，试求：
①运动员从B到P的运动时间及从B水平飞出的速度大小；
②运动员在飞离B点前瞬间对轨道的压力大小；
③运动员落到坡上P点前瞬间的重力功率。
15．利用图像，可以将物理量的变化与关系可视化，在探究物理量关系和研究物理问题时具有重要作用。
（1）在半径为R1的K星球表面竖直向上提起一质量为m1的物体，拉力F与物体加速度a的关系如图线1所示。在半径为R2的T星球表面竖直向上提起一质量为m2的物体，拉力F与物体加速度a的关系如图线2所示。设两星球密度相等，质量分布均匀。则 。
A．m1：m2＝3：1，R1：R2＝1：2
B．m1：m2＝3：2，R1：R2＝3：1
C．m1：m2＝3：1，R1：R2＝2：3
D．m1：m2＝3：2，R1：R2＝2：1
（2）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg（），纵轴是lg（）；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是 。
（3）（多选题）如图甲所示，物块（可视作质点）以某一初速度从斜面底端O点冲上粗糙斜面，某同学以O点为坐标原点，沿斜面向上的方向为正方向记录了该物块运动的某物理量与位移x图像，根据图中所给数据（国际单位），下列说法正确的是 。
A．图乙纵轴物理量为v2
B．图乙纵轴物理量为t2
C．物块向上运动过程中的初速度为5
D．物块向下运动过程中的加速度大小为2.5m/s2
（4）（多选题）智能手机中安装了加速度感测器APP软件后，可以精确测量手机运动的加速度。一同学将手机轻轻接触弹簧由静止释放，如图甲所示，手机在t3时刻运动到最低点，APP软件记录下此过程中加速度a随时间t变化的图像如图乙所示（不考虑薄板的质量），则 。
A．手机先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动
B．t2时刻，重力等于弹力，手机速度为零
C．t2时刻，手机对薄板的压力为零
D．t2时刻，手机对薄板的压力等于手机重力的2倍
（5）如图甲所示，一滑块从平台上A点以初速度v0向右滑动，从平台上滑离后落到地面上的落地点离平台的水平距离为s。多次改变初速度的大小，重复前面的过程，根据测得的多组v0和s，作出s2图像如图乙所示。滑块与平台间的动摩擦因数为0.3，则平台离地的高度h＝ m；滑块在平台上滑行的距离d＝ m。
▉题型5 利用动能定理求解变力做功
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合＝ΔEk＝Ek末﹣Ek初
3.变力做功无法用公式W＝Fs进行求解，而动能定理因为忽略了运动过程，所以求解变力做功会更方便。
16．建立物理模型对实际问题进行分析，是重要的科学思维方法。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，地球的半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。
（1）试推导第一宇宙速度v的表达式；
（2）如图1所示，假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球南北两极的小洞，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动，不考虑其它星体的作用，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，写出小球所受引力F随x（﹣R≤x≤R）变化的函数并在图2中画出其图像。
（3）在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在木星的强大引力作用下，加速向木星靠近，当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知，木星和地球的密度分别为ρ0和ρ，木星和地球的半径分别为R0和R，且d R。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式【提示：当x很小时，（1+x）n≈1+nx】。
▉题型6 利用动能定理求解多过程问题
【知识点的认识】
1.动能定理的内容：合外力做的功等于动能的变化量。
2.表达式：W合＝ΔEk＝Ek末﹣Ek初
3.动能定理不用考虑物体的运动过程，可以通过对全程列动能定理来简化过程比较多，运动情况比较复杂的问题。
（多选）17．如图，左侧光滑曲面轨道与右侧倾角α＝37°的斜面在底部平滑连接且均固定在水平地面上，质量为m的小滑块从斜面上离斜面底边高为H处由静止释放，滑到斜面底端然后滑上左侧曲面轨道，再从曲面轨道滑上斜面，滑块第一次沿斜面上滑的最大高度为，多次往复运动。不计空气阻力，重力加速度为g，sin37°＝0.6。下列说法正确的是（ ）
A．滑块第一次下滑过程，克服摩擦力做的功为
B．滑块最终会停在斜面底端
C．滑块与斜面间的动摩擦因数为
D．滑块最终在斜面上走过的总路程是15H
（多选）18．利用现代技术可以高效地辅助物理实验探究。如图（a）所示，轻绳一端连接小球，另一端可绕水平转轴在竖直面内自由转动，在最低点（cosθ＝1）给小球一个初速度v0＝6m/s，使小球能做完整的圆周运动，利用传感器记录绳的拉力大小F，同时记录对应时刻轻绳与竖直方向的夹角θ，将数据输入计算机得到F﹣cosθ图像如图（b）所示。已知g取10m/s2，则下列判断正确的是（ ）
A．小球的质量为0.2kg
B．轻绳长为1m
C．小球在最高点的速度大小为
D．小球在最低点与最高点绳的拉力差随初速度大小v0的增大而增大
19．如图所示，在距地面上方h的光滑水平台面上，质量为m＝2kg的物块左侧压缩一个轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。物块与左侧竖直墙壁用细线拴接，使物块静止在O点。水平台面右侧有一倾角为θ＝37°的光滑斜面，半径分别为R1＝0.5m和R2＝0.2m的两个光滑圆形轨道固定在粗糙的水平地面上，且两圆轨道分别与水平面相切于C、E两点，两圆最高点分别为D、F。现剪断细线，弹簧恢复原长后与物块脱离，脱离时物块的速度v0＝8m/s，物块离开水平台面后恰好无碰撞地从A点落入光滑斜面上，运动至B点后（在B点无能量损失）沿粗糙的水平面从C点进入光滑竖直圆轨道且通过最高点D，已知物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1，AB长度L1＝1m，BC距离L2＝1m，g＝10m/s2，已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）求水平台面的高度h；
（2）求物块经过D点时对圆轨道的压力；
（3）为了让物块能从E点进入圆轨道且中途不脱离轨道，则C、E间的距离应满足什么条件？
▉题型7 利用动能定理求解机车启动问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对机车启动问题中需要用到动能定理的情况。
20．如图所示，京张高铁将北京到张家口的通行时间缩短在1小时内，成为2022年北京冬奥会重要的交通保障设施。假设此高铁动车启动后沿平直轨道行驶，发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小恒定。已知动车的质量为m，最高行驶速度vm＝350km/h。则下列说法正确的是（ ）
A．行驶过程中动车受到的阻力大小为Pvm
B．当动车的速度为时，动车的加速度大小为
C．从启动到速度为vm的过程中，动车牵引力所做的功为
D．由题目信息可估算京张铁路的全长为350km
21．小明驾驶两轮平衡车在水平路面上以恒定加速度a启动，v﹣t图像如图所示，已知人和平衡车的总质量为m，平衡车动力系统的额定功率为P0，平衡车受到的阻力恒为f，不计人对平衡车做功，则（ ）
A．平衡车匀加速阶段的牵引力为f+ma
B．平衡车能达到的最大行驶速度
C．平衡车做匀加速直线运动过程中能达到的最大速度
D．0～t2时间内，阻力对平衡车做的功为
22．“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有三节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F阻＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是（ ）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若三节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若三节动力车厢输出的总功率为，则动车组匀速行驶的速度为
D．若三节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为
23．我国在人工智能和无人驾驶技术方面已取得较大突破。为早日实现无人驾驶，某公司对汽车性能进行了一项测试，让质量为m的汽车沿一山坡直线行驶。测试中发现，下坡时若只关闭油门，则汽车的速度保持不变；若以恒定功率P上坡，则汽车从静止启动，发生位移x时速度刚好达到最大值vm，假设汽车在上坡和下坡过程中所受路面阻力大小恒定且相等，山坡的倾角为θ，忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
A．关掉油门后的下坡过程，坡面对汽车的支持力等于mgsinθ
B．路面对汽车的阻力大小为
C．上坡过程中，汽车从静止启动到速度刚好增至vm，所用时间为
D．上坡过程中，汽车从静止启动到速度刚好增至vm，所用时间等于
（多选）24．某人驾驶小型汽车行驶在平直的封闭测试道路上，t＝0时刻开始无动力滑行，一段时间后以恒定功率加速行驶，车速达到最大后保持匀速，v﹣t图像如图所示。汽车总质量为2×103kg，行驶中受到的阻力保持不变，则（ ）
A．汽车行驶中所受阻力大小为2×103N
B．1s～11s内汽车的功率为30kW
C．1s～11s内汽车的位移为75m
D．汽车加速过程中速度为6m/s时的加速度大小为0.5m/s2
（多选）25．质量m＝200kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18s末汽车的速度恰好达到最大，下列说法正确的是（ ）
A．汽车受到的阻力200N
B．汽车的最大牵引力为600N
C．8～18s过程中汽车牵引力做的功为8×104J
D．汽车在做变加速运动过程中的位移大小为95.5m
（多选）26．如图甲所示，电动机通过绕过定滑轮的轻细绳，与放在倾角为θ＝30°的足够长斜面上的物体相连，启动电动机后物体沿斜面上升；在0 6s时间内物体运动的v﹣t图像如图乙所示，其中除1s 5s时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线，1s后电动机的输出功率保持不变；已知物体的质量为3kg，不计一切阻力，重力加速度g＝10m/s2，则下列判断正确的是（ ）
A．在0～1s内电动机牵引力大小为15N
B．物体达到的最大速度vm＝12m/s
C．1s后电动机的输出功率恒为150W
D．在0～5s内物体沿斜面向上运动了35m
27．新能源汽车越来越受市民的喜爱，已被广泛应用于客运领域，目前正被研发应用于货运领域。
在一次研发试验中，汽车发动机的额定牵引功率P＝60kW，汽车的质量m＝2×103kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车的重力的0.1倍，g取10m/s2。汽车保持额定功率在水平路面上从静止启动并开始计时，在t＝20s时汽车已经做匀速运动，求：
（1）汽车匀速运动时的速度大小；
（2）在0～20s时间内汽车牵引力做的功；
（3）在0～20s时间内汽车通过的路程。
28．中国的新能源汽车市场正迅速壮大。
（1）汽车质检时，将汽车的主动轮压在两个粗细相同的有固定转动轴的滚筒上，如图1所示。车内轮A的半径为RA，车外轮B的半径为RB，滚筒C的半径为RC，车轮与滚筒间不打滑，当车轮以恒定速度运行时，A、B轮边缘的线速度大小之比为 ，B、C轮边缘的向心加速度大小之比为 。
（2）如图2所示，新能源汽车沿等螺距车道向下做匀速率运动，该轨道各处弯曲程度相同，在此过程中，该小车 。
A．始终处于平衡状态
B．始终处于失重状态
C．始终处于超重状态
D．重力功率始终不变
（3）（多选题）一新款小型电动汽车上市前进行了水平路面直线驾驶性能检测，汽车运动的位移（x）与速度的平方（v2）关系的图像如图3所示，当汽车位移为20m时，电动机功率达到额定功率P0＝50kW，之后保持额定功率运行。已知汽车质量为1.2t，所受阻力恒定，下列说法正确的是 。
A．汽车运动的最大速度约为25m/s
B．汽车运动过程中所受阻力大小为3×103N
C．汽车启动后先做匀加速直线运动，加速度大小为2.5m/s2
D．位移为20m后，汽车做加速度减小的加速运动后做匀速直线运动
（4）（计算题）一段倾斜角θ＝37°的斜面AB与弧面BC相切于B点。质量为m＝2000kg的汽车从斜面底部A点由静止开始沿着斜面AB起动，如图4甲所示。已知汽车受到斜面的阻力与车对斜面的压力的比值为0.25。汽车在斜面AB上运动的加速度随时间变化如图4乙所示。12.0s时汽车达到额定功率，随后汽车保持额定功率继续运动，汽车到达B点前已经达到最大速度vmax。此后关闭发动机，汽车继续沿着圆弧向上滑行。不计空气阻力，已知g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，汽车可视作质点。求：
①汽车匀加速直线运动过程中的最大速度v1及牵引力F；
②汽车的额定功率；
③汽车在斜面AB上能到达的最大速度vmax；
④为保证汽车不脱离弧面安全行驶至C点，在设计弧面半径时有什么要求，并说明理由。
▉题型8 探究功与物体速度变化的关系
【知识点的认识】
一、实验：探究功与速度变化的关系
1．实验目的：
（1）探究功与物体速度变化的关系。
（2）感悟实验方案的设计和实验数据的处理方法。
2．实验的方法：如图所示，依次用1根、2根、3根…同样的橡皮筋与物体相连接，并且每次将橡皮筋拉伸相同的长度，这样操作，无须计算就可知道橡皮筋对物体所做的功依次为W、2W、3W…
而每次橡皮筋对物体做功后的速度，可用打点计时器测出。
3．实验器材：本实验需要的器材有：打点计时器（含纸带、学生电源、复写纸、连接导线）、同种橡皮条（10根）、小车、长木板、钉子、刻度尺。
4．实验步骤：
（1）按图连接好器材。橡皮筋的一端套在小车上，另一端套在钉子上，第一次用两根橡皮筋。将长木板倾斜一个角度，使重力沿斜面向下的分力平衡小车受到的摩擦力。
（2）将小车拉到靠近打点计时器的位置（在橡皮筋弹性限度内），并标记下此位置；接通电源后松手。
（3）换上纸带，并在纸带上做好标记，每次加接两根橡皮筋，然后将小车拉到同一位置，接通电源后松手。依次再做四次。
（4）根据纸带求橡皮筋对小车做功后的速度。在每条纸带上找出点间间距相等的那部分，它记录的是小车做匀速运动的情况，如图所示的计数点B、E、C部分。用刻度尺量出计数点B、C之间的距离d，设相邻两计数点间的时间间隔为T，那么，橡皮筋对小车做功后的速度：vi。
（5）分析测量数据得出实验结论。根据实验所得数据Wi与vi，猜想Wi与vi的关系，先看它们是否满足最简单的正比关系，即：Wi∝vi．接着再猜想Wi∝？大致成立后，再作Wi图进行验证。
5．实验结论：Wi∝。
6．实验中应注意事项
（1）平衡摩擦力：实验中的小车不可避免地要受到摩擦力的作用，为了保证橡皮筋对物体的功就是合外力的功，必须设法排除摩擦力的影响。可采用将木板一端垫高的方法来实现。将木板一端垫高，让自由小车（不系橡皮筋时）能在木板上匀速运动，使重力沿斜面方向的分力与摩擦力相平衡，就消除了摩擦力的影响。
（2）每次实验所用的每条橡皮筋，其长度、材料和粗细都应是相同的，并且橡皮筋拉伸的长度都保持一致。
（3）打点计时器打出的纸带上相邻各点的间距并不均匀，应选点间间距相等的一段纸带来计算小车的速度，因这一小段是橡皮筋对小车做功完毕时的情形。
29．某同学用图甲所示的实验装置探究恒力做功与小车动能变化的关系。
（1）完成本实验还需要下列哪些实验器材 。
A.天平
B.秒表
C.刻度尺
D.交流电源
（2）图乙为实验得到的一条清晰的纸带，A、B、C、D、E、F、G是纸带上7个连续的点，SAD＝ cm。已知电源频率为50Hz，则打点计时器在打D点时纸带的速度v＝ m/s（保留两位有效数字）。
（3）某同学画出了小车动能变化与拉力对小车所做的功的ΔEk—W关系图像（理论线ΔEk＝W＝mgx），由于实验前遗漏了平衡摩擦力这一关键步骤，他得到的实验图线为图丙中实验线，若已知小车与水平木板间的动摩擦因数为μ，小车与砂桶和砂的质量关系满足，则实验线的斜率为 （用μ、k表示）。
▉题型9 探究动能定理
【知识点的认识】
1．实验目的：
（1）探究功与物体速度变化的关系。
（2）感悟实验方案的设计和实验数据的处理方法。
2．实验的方法：如图所示，依次用1根、2根、3根…同样的橡皮筋与物体相连接，并且每次将橡皮筋拉伸相同的长度，这样操作，无须计算就可知道橡皮筋对物体所做的功依次为W、2W、3W…
而每次橡皮筋对物体做功后的速度，可用打点计时器测出。
3．实验器材：本实验需要的器材有：打点计时器（含纸带、学生电源、复写纸、连接导线）、同种橡皮条（10根）、小车、长木板、钉子、刻度尺。
4．实验步骤：
（1）按图连接好器材。橡皮筋的一端套在小车上，另一端套在钉子上，第一次用两根橡皮筋。将长木板倾斜一个角度，使重力沿斜面向下的分力平衡小车受到的摩擦力。
（2）将小车拉到靠近打点计时器的位置（在橡皮筋弹性限度内），并标记下此位置；接通电源后松手。
（3）换上纸带，并在纸带上做好标记，每次加接两根橡皮筋，然后将小车拉到同一位置，接通电源后松手。依次再做四次。
（4）根据纸带求橡皮筋对小车做功后的速度。在每条纸带上找出点间间距相等的那部分，它记录的是小车做匀速运动的情况，如图所示的计数点B、E、C部分。用刻度尺量出计数点B、C之间的距离d，设相邻两计数点间的时间间隔为T，那么，橡皮筋对小车做功后的速度：vi。
（5）分析测量数据得出实验结论。根据实验所得数据Wi与vi，猜想Wi与vi的关系，先看它们是否满足最简单的正比关系，即：Wi∝vi．接着再猜想Wi∝？大致成立后，再作Wi图进行验证。
5．实验结论：Wi∝。
6．实验中应注意事项
（1）平衡摩擦力：实验中的小车不可避免地要受到摩擦力的作用，为了保证橡皮筋对物体的功就是合外力的功，必须设法排除摩擦力的影响。可采用将木板一端垫高的方法来实现。将木板一端垫高，让自由小车（不系橡皮筋时）能在木板上匀速运动，使重力沿斜面方向的分力与摩擦力相平衡，就消除了摩擦力的影响。
（2）每次实验所用的每条橡皮筋，其长度、材料和粗细都应是相同的，并且橡皮筋拉伸的长度都保持一致。
（3）打点计时器打出的纸带上相邻各点的间距并不均匀，应选点间间距相等的一段纸带来计算小车的速度，因这一小段是橡皮筋对小车做功完毕时的情形。
30．用如图甲所示的装置验证动能定理。长木板左端固定在水平桌面上，可调节垫块高度使长木板绕左端转动。在木板右端固定一个定滑轮，在靠近定滑轮处固定一个打点计时器。在木板上放置小车P，固定在小车右端的纸带穿过打点计时器的限位孔，纸带与木板平行。并且小车通过轻质细线绕过定滑轮与小物块Q相连，木板上方的细线与木板平行。重力加速度为g，打点计时器所接交流电频率为f。
实验步骤如下：
第1步，按装置安装好实验器材；
第2步，调整垫块的高度，给小车一个沿木板向下的初速度，直到纸带上打出均匀的点迹为止；
第3步，去掉小物块Q，重新换一条纸带，让小车靠近打点计时器由静止释放，得到一条纸带如图乙所示，最后把实验器材归置好。
请回答下列问题：
（1）为了验证从打下B点到打下E点过程小车的运动是否满足动能定理，需要的实验器材以及测量的物理量有 。
A.天平，测量小车P的质量M；
B.天平，测量小车P的质量M和小物块Q的质量m；
C.刻度尺，测量A、C间的距离xAC，D、F间的距离xDF和B、E间的距离xBE；
D.刻度尺，测量A、C间的距离xAC，C、D间的距离xCD，D、F间的距离xDF，F、G间的距离xFG；
E.秒表，测量从A到B的时间t；
（2）打下E点时小车的瞬时速度大小为 （用上述所选的测量数据和已知物理量的符号表示，下同）。
（3）验证从打下B点到打下E点过程小车的运动是否满足动能定理，只需验证表达式 成立即可。
