第五章第五节 圆周运动的应用
题型1 水平转盘上物体的圆周运动 题型2 物体被系在绳上做圆锥摆运动
题型3 物体在圆锥面上做圆周运动 题型4 车辆在道路上的转弯问题
题型5 火车的轨道转弯问题 题型6 绳球类模型及其临界条件
题型7 杆球类模型及其临界条件 题型8 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动
题型9 物体在环形竖直轨道内的圆周运动 题型10 拱桥和凹桥类模型分析
题型11 近心与离心运动的意义与原因 题型12 离心运动的应用和防止
题型13 圆周运动与平抛运动相结合的问题
▉题型1 水平转盘上物体的圆周运动
【知识点的认识】
1.当物体在水平转盘上做圆周运动时，由于转速的变化，物体受到的向心力也会发生变化，经常考查临界与极值问题。
2.可能得情况如下图：
1．在足够大转盘上放置两个质量分别为0.2kg和0.4kg的小物块a和b（均可视为质点）。b放置在转盘中心，a、b之间用原长l＝0.3m、劲度系数k＝10N/m的轻质弹簧拴接，此时弹簧处于原长。已知a、b与转盘间的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。假设物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为保证b不滑动，则转盘匀速转动时角速度ω的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（多选）2．如图所示（俯视图），用自然长度为2l0、劲度系数为k的轻质弹簧，将质量均为m的两个可当作质点的小物块P、Q连接在一起，放置在能绕O点在水平面内转动的圆盘上，物体P、Q和O点恰好组成一个边长为3l0的正三角形。已知小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为2kl0，现使圆盘带动两个物体以不同的角速度做匀速圆周运动，则（ ）
A．当圆盘的角速度为时，圆盘对P的摩擦力最小
B．当圆盘的角速度为时，圆盘对Q的摩擦力大小等于弹簧弹力大小
C．当圆盘对Q的摩擦力最小时，Q所受合力的大小等于弹簧弹力的倍
D．当物块P、Q刚要滑动时，圆盘的角速度
（多选）3．如图所示（俯视图），用自然长度为L0，劲度系数为k的轻质弹簧，将质量均为m的两个小物块P、Q连接在一起，放置于能绕O点在水平面内转动的圆盘上，OP＝OQL0，PQ＝2L0。已知小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为kL0，现使圆盘带动两个物体以不同的角速度做匀速圆周运动，则（ ）
A．当物块P、Q刚要滑动时，圆盘的角速度ω
B．当圆盘的角速度为ω时，圆盘对P的摩擦力最小
C．当圆盘的角速度为ω时，圆盘对Q的摩擦力的大小等于Q所受向心力的大小
D．当圆盘的角速度为ω时，圆盘对Q的摩擦力的大小等于Q所受向心力的大小
4．（1）如图甲所示，旋转秋千中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是 。
A.A的角速度比B的大
B.A与B的向心加速度大小相等
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
（2）如图乙为某型号“魔盘”侧视截面图，MN为中心竖直转轴，圆锥面母线与水平面间夹角为θ。可视为质点的儿童坐在“魔盘”的锥面上，“魔盘”从静止开始转动，转速缓慢增大。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是 。
A.其他条件相同时，儿童的质量越小越容易滑动
B.其他条件相同时，儿童的位置越靠下越容易滑动
C.“魔盘”匀速转动且儿童未发生滑动时，转速越大，儿童受到的摩擦力越小
D.“魔盘”加速转动且儿童未发生滑动时，儿童受到的合外力方向水平指向转轴
（3）摩天轮正在竖直平面内做匀速圆周运动（图丙）。已知座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱的运动周期为 ；某时刻，座舱A与摩天轮圆心在同一高度，此时座舱A受摩天轮的作用力大小为 。
（4）小火车以半径R转弯时，处于倾角为α的斜坡上，重力加速度为g，若恰好不挤压轨道，则转弯速度应为 ；速度略大一点时，将挤压 （选填“内”或“外”）轨道。
（5）随若技术进步，为使宇航员更加适应长期的外太空生活，可以考虑将太空舱建成一个半径足够大的环形结构，绕着中心轴做匀速圆周运动来模拟重力。假定太空舱到中心轴半径为100m，为模拟地球9.8m/s2的重力加速度，太空舱的角速度约为 rad/s（保留3位有效数字）。此时宇航员的脚应站在 （填“内”或“外”）舱壁上。
▉题型2 物体被系在绳上做圆锥摆运动
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对物体被系在绳上做圆锥摆运动的情况，如下图：
2.模型分析：在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小物体，绳子上端固定，设法使小物体在水平圆周上以大小恒定的速度旋转，细绳所掠过的路径为圆锥表面，这就是圆锥摆。
如图所示，小球在水平面内做圆周运动的圆心是О，做圆周运动的半径是Lsinθ，小球所需的向心力实际是绳子拉力FT与重力mg的合力，并有F合＝mg tanθ＝mω2Lsinθ，由此式可得cosθ。
5．如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止。若ω′＞ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时（ ）
A．小球沿PQ杆向上移动
B．弹簧弹力的大小一定变大
C．小球对杆压力的大小可能变大
D．小球所受合力大小一定不变
▉题型3 物体在圆锥面上做圆周运动
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对物体在圆锥面上做圆周运动的情况。
2.常见的情况如下图：
（多选）6．如图所示，将圆锥筒的轴线OO′沿竖直方向固定，其中筒的外壁OA与竖直方向的夹角为60°，AB与竖直方向的夹角为30°，三个完全相同的小球a、b、c在筒内壁绕轴OO′做匀速圆周运动，已知a、b为AB的三等分点且AB＝3AO，c为OA的中点，忽略一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球a与小球c对筒的压力之比为：1
B．小球a与小球c的向心加速度之比为：1
C．小球a与小球b的线速度之比为：
D．小球b与小球c的角速度之比为1：
（多选）7．如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α＝53°和β＝37°（sin37°＝0.6），则（ ）
A．A、B两球所受支持力的大小之比为4：3
B．A、B两球运动的周期之比为
C．A、B两球的线速度之比为
D．A、B两球的角速度之比为
▉题型4 车辆在道路上的转弯问题
【知识点的认识】
汽车转弯问题模型如下
模型分析：一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力。如果转弯速度过大，侧向摩擦力过大，可能会造成汽车翻转等事故。
8．美丽的巴音布鲁克草原是中国最大的高山草原，如果在草原上进行拉力车比赛，驾驶员通过弯道时必须减速，可见赛道的转弯半径较 ，如图是盒马鲜生无人超市的自动传货装置，为了避免商品在停止时拉断绳子，绳子不能太 。（两空均选填“长”或“短”）
9．自行车是一种常见的代步工具，骑车出行不仅环保，还兼具健身作用。如图甲所示为自行车的主要传动部件，链轮和飞轮用链条相连，踏板通过曲柄和链轮固定连接，后轮与飞轮固定连接。当用力蹬踏板时，后轮就会转动，从而使自行车前进。
（1）如图乙所示，一辆自行车在水平路面上，设自行车被骑行时地面对后轮的摩擦力为Ff1，自行车被推行时地面对后轮的摩擦力为Ff2，则 。
A.Ff1向左，Ff2向右
B.Ff1向右，Ff2向左
C.Ff1和Ff2都向右
D.Ff1和Ff2都向左
（2）表中给出了某变速自行车的链轮、飞轮的齿数，通过匹配两者不同的齿数，可以改变踏板转动一周时自行车的行进距离。已知该自行车前后轮的周长均为2m，人脚踩踏板转速1.5r/s恒定。
名称 链轮 飞轮
齿数 48 38 28 16 18 21 24 28
①曲柄长度为170mm，踏板做圆周运动的角速度为 rad/s，线速度为 ___________m/s。（计算结果保留小数点后两位）
②骑行的最大速度与最小速度之比为 。
（3）质量为60kg的人骑着一辆质量为20kg的自行车，以5m/s的速度在笔直的水平马路上匀速行驶，遇红灯后在距停车线10m处开始刹车，假设刹车后自行车做匀减速直线运动。刹车过程中自行车受到的阻力至少应为 N，这一过程中自行车克服阻力做功为 J。
（4）如图丙所示是自行车场地赛中一段半径为R的圆弧赛道（忽略道路宽度），赛道路面与水平面间的夹角为θ，不考虑空气阻力，自行车与骑手总质量为m，两者一起在该路段做速度为v的匀速圆周运动。路面与自行车轮之间的摩擦系数为μ，重力加速度为g，若自行车与赛道之间没有相对滑动，则对于骑手和自行车组成的系统，下列说法中正确的是 。
A.若v，则系统向心力由摩擦力提供
B.若v，则系统受到来自路面的摩擦力沿赛道斜面指向外侧
C.系统的最大速度为v
D.系统的最大速度为v
10．车轮滚滚，是摩擦力的转化，将电能化作归途的动力。车厢平稳，是惯性的平衡，守护着旅途的舒适。高铁飞驰，是电磁力的驱动，缩短了思念的距离。物理定律，编织成回家的路，让年味跨越山海，如期而至。
（1）中国高铁，跑出“中国速度”。北京到上海坐高铁全程1318公里，G1次列车只要4小时29分钟即可到达。下列说法正确的是 。
A．在研究列车车轮转动的快慢时，列车车轮可以被看作质点
B．在研究列车从北京到上海的位移时，列车可以被看作质点
C．列车向前行驶过程中，坐在车中的小明看见窗外的树向后移动，他选择的参考系是地面
D．不论选择什么物体作为参考系，对列车运动情况的判断结果都一样
（2）（多选题）今年春运，“绿皮火车拉高铁”温馨感人，若火车行进过程中，某时间段内功率随时间变化的P﹣t图像如图所示，设火车行驶过程中受到的阻力大小恒定不变，那么描述这段时间内该火车运动情况的图像可能是 。
（3）某次列车加速出站可视为初速度为零的匀加速直线运动，列车每节车厢长为L，共有n节车厢。某观察者站在站台A处，即列车第1节车厢的前端，如图所示。下列说法正确的是 。
A．列车上的人看到这名观察者在做匀减速直线运动
B．列车第1节和第2节车厢通过观察者的时间之比为：1
C．列车第1节和第n节车厢通过观察者的时间之比为1：
D．列车第1节和第n节车厢通过观察者的平均速度大小之比为（）：1
（4）列车沿着水平轨道加速出站过程中（箭头表示列车出站的方向），乘客发现小桌板上的水杯里水面的形状如选项图中的 。
（5）如图，为了安全，弯道处的铁轨总是“外高内低”。已知弯道半径R＝2km，轨道面与水平面间的夹角α＝10°，列车匀速经过弯道，速度v＝80m/s。此时，列车的加速度a＝ m/s2。若不计车轮与轨道间的摩擦，列车过弯道时， （选填“内轨”或“外轨”）将受到车轮的侧向挤压（tan10°＝0.18）。
▉题型5 火车的轨道转弯问题
【知识点的认识】
火车转弯模型如下
与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以某一适当速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。当小于这一速度时，铁轨会对火车产生向外的压力，即火车会挤压内轨。当大于这一速度时。铁轨会对火车产生向内的挤压。即挤压外轨。
11．如图所示，铁路转弯处外轨应略高于内轨，火车必须按规定的速度行驶，则转弯时（ ）
A．火车所需向心力沿水平方向指向弯道内侧
B．弯道半径越大，火车所需向心力越大
C．火车的速度若小于规定速度，火车将做离心运动
D．若路基倾角为α，无论火车是否按规定速度行驶，铁轨对火车的支持力总等于
12．圆周运动是指一种运动轨迹为圆或圆的一部分的平面曲线运动，在诸多领域都有所运用：
【表演艺术】：（1）有一段单人绸吊空中表演，运动员拉住一根长绸带在水平面内做近似圆周运动，如图所示，若运动员重心到悬点距离不变，绸带与竖直方向夹角为θ。忽略空气阻力，则下列说法错误的是 。（多选题）
A．绳子拉力提供运动员做圆周运动的向心力
B．如果θ增大，其他条件不变，运动员转动的周期不变
C．如果有另一名运动员，用长为1.2L的绸带在与正在表演的运动员在同一水平面做圆周运动，则在其中一人停止前，两人的位置相对保持不变。
D．如果L增大，其他条件保持不变，则运动员转动的周期减小。
【交通运输】：（2）火车在弯道转弯时，对于其向心力的分析正确的是 。
A．由于火车本身作用而产生了向心力
B．由于内、外轨的高度差，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力
C．火车拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力
D．火车拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为向心力的一部分
（3）如图甲所示为一辆厢式货车的后视图。如图乙为该路段的限速标志，该厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半径R＝8m，车轮与路面间的最大静摩擦力为车对路面压力的0.8倍。货车内顶部用细线悬挂一个小球P，在悬点O处装有拉力传感器。车沿平直路面做匀速直线运动时，传感器的示数F＝4N，某次在此弯道上转弯时做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数F′＝5N，取重力加速度g＝10m/s2。
①如图甲可知，货车 转弯（选填：A．向左，B．向右）；货车转弯时速度大小为 m/s；
②关于图乙标志，请向交管部门提出一项建议并说明理由： 。
【测定分子速度】：（4）如图所示为蔡特曼和柯氏改进后测定分子速度大小的装置简图。银蒸汽分子以相同速率从小炉O的细缝中逸出沿虚线通过圆筒上的细缝S3进入圆筒C并落在玻璃板G上。已知圆筒C的半径为R，转速为n，银分子在玻璃板G上的落点与b之间的弧长为s，则银分子的最大速率表达式为： 。
【地理科学】：（5）小易同学假期去游玩看到了一条弯曲的河流，图中A、B、C、D为四处河岸，他想根据所学知识分析一下河水对河岸的冲刷程度，你认为冲刷最严重最有可能的是 。
A．A处
B．B处
C．C处
D．D处
▉题型6 绳球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
13．2017年7月23日，在第13届莫斯科航展上“俄罗斯勇士”，飞行表演队完成了倒飞筋斗的动作．现将其简化成如图所示的光滑的板（飞机）和小球（飞行员），让小球在竖直面内始终与板相对静止且做匀速圆周运动。A为圆周的最高点，C为最低点，B，D与圆心O等高，且此时板与水平面成θ角。设小球的质量为m，做圆周运动半径为R，线速度为v，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过C处时向心力与小球通过A处的向心力相同
B．小球在C处受到板的弹力比在A处大5mg
C．在B、D两处板与水平面的倾角与小球的运动速度v应满足
D．小球在B、D两处受到板的弹力为
14．如图所示，长为L的轻质硬杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴上，现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，转动的角速度为ω，某时刻杆对球的作用力水平向左，则此时杆与水平面的夹角θ为（ ）
A． B．sinθ
C． D．
15．如图所示，水平地面上固定有倾角为45°，高为h的斜面。O点位于A点正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小球相连。细绳能够承受的最大拉力为3mg（g为重力加速度）。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并恰好垂直落到斜面上，求：
（1）细绳长度L；
（2）小球做平抛运动的时间t。
16．如图所示为风靡小朋友界的风火轮赛车竞速轨道的部分示意图．一质量为m＝0.5kg的赛车（视为质点）从A处出发，以速率v1＝0.1m/s驶过半径R1＝0.1m的凸形桥B的顶端，经CD段直线加速后进入半径为R2＝0.2m的竖直圆轨道，并以某速度v2驶过圆轨的最高点E，此时赛车对轨道的作用力恰好为零，重力加速度g取10m/s2，试计算：（结果可保留根号）
（1）赛车在B点受到轨道支持力的大小；
（2）赛车经过E点时的速率v2；
（3）若赛车以2v2的速率经过E点，求轨道所受来自赛车的弹力大小和方向。
▉题型7 杆球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
17．如图甲所示，长L＝0.3m的轻杆一端固定在光滑水平转轴O上，另一端固定一质量m＝0.4kg可当作质点的小球，现用外力作用在轻杆上使小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度大小为v＝1.5m/s的匀速圆周运动，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。
（1）小球运动到最高点时，求轻杆对小球的作用力F1大小及方向；
（2）小球运动到水平位置A时，求轻杆对小球的作用力大小F2；
（3）若将轻杆换成轻绳，再将小球提至转轴正上方的B点，将球瞬间以水平速度v0抛出，小球恰好沿圆周运动且抛出后瞬间绳刚好伸直无张力，求水平速度v0的大小。
18．如图所示，一长为L的轻杆一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，装置绕O点的竖直面内转动，不计一切阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球通过最高点速度为时，杆对小球的作用力大小是多少；
（2）小球通过最低点时杆对球的作用力为4mg，小球的速度大小是多少。
▉题型8 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
19．华灯初上，摩天轮在暮色中格外醒目。若摩天轮正绕中间的固定轴做匀速圆周运动，则以下说法正确的是（ ）
A．在相同的时间内，乘客的速度变化量相同
B．乘客在最低点时，他的加速度为零
C．当乘客位于摩天轮的最高点时，他处于失重状态
D．乘客在与转轴等高的位置时，他的加速度就是重力加速度g
20．（1）雨天在野外骑车时，自行车的后轮胎上常会黏附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”。如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就会被甩下来。如图甲所示，图中a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则 。
A.泥巴在图中的a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度
B.泥巴在图中的b、d位置时最容易被甩下来
C.泥巴在图中的c位置时最容易被甩下来
D.泥巴在图中的a位置时最容易被甩下来
（2）某同学以变速自行车的齿轮传动作为研究性课题，他通过查阅相关资料了解变速自行车的变速原理，测得图乙所示后小齿轮组中最小，最大齿轮半径分别为r1、r2，前大齿轮半径为r3、后轮半径为R。若该自行车前大齿轮每秒匀速转动1圈，则后轮的最大线速度为 。
A.
B.
C.
D.
（3）如果自行车后轮半径为R，在自行车车速为v时后轮轮胎上最高点有一块泥巴掉落，它着地的时间为 ，着地点和抛出点之间的距离为 。
（4）如图丙所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1的速度通过轨道最高点B，并以v2v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的弹力大小相差 。
A.3mg
B.4mg
C.5mg
D.6mg
（5）如图丁是某电力机车雨刮器的示意图，雨刮器由刮水片和雨刮臂连接而成，M、N为刮水片的两个端点，P为刮水片与雨刮臂的连接点，雨刮臂绕O轴转动的过程中，刮水片始经保持竖直，下列说法正确的是 。
A.P点的线速度始终不变
B.P点的向心加速度不变
C.M、N两点的线速度相同
D.M、N两点的运动周期不同
（6）某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离d后落地。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g，忽略空气阻力。
①绳能承受的最大拉力是多少？
②保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？
▉题型9 物体在环形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
（多选）21．如图所示，一个竖直的光滑圆形管道固定在水平面上，管道内有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力可能为零
B．小球通过管道最低点时，管道对地的压力可能为零
C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能为零
D．小球通过管道最高点时，管道对地的压力可能为零
▉题型10 拱桥和凹桥类模型分析
【知识点的认识】
1.模型的构建
如下图所示，汽车分别经过凸形桥和凹形桥，设汽车的质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车经过桥面最高点或最低点的速度为v。
2.模型分析
22．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，内外铁轨平面与水平面夹角为θ，当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压（如图甲）；汽车通过凹形桥时速度不能过大，不然易发生交通事故（如图乙），重力加速度为g，以下说法中正确的是（ ）
A．火车过该弯道的运动半径r
B．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
C．汽车通过凹形桥的最低点时，速度越大对桥的压力越大
D．汽车通过凹形桥的最低点时，处于失重状态
23．弯道超速看似炫酷并体现高超车技，其实也蕴含着很大的危险，请回答下列问题：
（1）在F1赛事中，若在弯道上高速行驶的赛车车轮脱落，则脱落的车轮的运动情况是 。
A．仍然沿着赛车的弯道运动
B．沿着弯道的圆心方向运动
C．沿着脱离时轮子前进的切线方向运动，离开弯道
D．以上情况都有可能
（2）火车从M到N做减速运动，下面四个选项中分别画出了火车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是 。
A．
B．
C．
D．
（3）如图1，为了安全，弯道处的铁轨总是“外高内低”。
若不计车轮与轨道间的摩擦，列车过弯道时，如速度过大 （“内轨”或“外轨”）将受到车轮的侧向挤压。
（4）王老师质量M＝60kg，骑一辆质量m＝50kg的电动自行车上下班，若王老师上下班路上保持匀速率行驶，如图2中线路1可以看成半径为5m的圆的一部分，线路2可以看作半径为7m的圆的一部分，电动自行车与地面之间的动摩擦因数为0.5，若王老师上班和下班骑车分别选择的是这两条线路中的一条且上下班骑车线路选择不同，且均安全抵达目的地，王老师上班时骑车速度为20km/h，则王老师下班时选择的线路为 ，下班时骑车速度不应超过 。
（5）清明节假期，王老师骑电动自行车前往家附近的公园游玩。在通过如图3半径为8m的拱桥最高点时车速为4m/s，则人和车整体对桥面的压力大小为 。
▉题型11 近心与离心运动的意义与原因
【知识点的认识】
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。如图所示：
2．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近。如图所示：
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
24．下列关于离心现象的说法正确的是（ ）
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做匀速直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动
25．常用的家用洗衣机分为波轮式洗衣机和滚筒式洗衣机。波轮洗衣机依靠波轮正反旋转搅动水流，带动衣物相互摩擦洗净，结构简单、价格亲民、洗净比高，但衣物易缠绕、磨损稍大。滚筒洗衣机模拟棒槌捶打衣物，通过提升摔打及热水喷淋洗涤，对衣物磨损小、可洗涤多样面料，但价格高、耗时长。
（1）无论是波轮还是滚筒洗衣机，其脱水都是利用 的原理，将衣服放在洗衣机的桶内，当桶高速旋转时，衣服也随之旋转，当水的附着力 （填“大于”、“小于”或“等于”）圆周运动所需要的向心力时，衣服上的水滴就被甩出。
（2）波轮洗衣机洗衣时，波轮转动的角速度周期性变化，在一个周期T内角速度随时间的变化如图所示。则在0～T内波轮转过的角度θ可以表示为 。
（3）波轮洗衣机脱水时，衣服（视为质点）在竖直圆筒的内壁上随圆筒做匀速圆周运动，筒壁到转轴之间的距离为r，重力加速度为g，衣服与筒壁之间的最大静摩擦因数为0.2，若要衣服不沿着筒壁向下滑动，则脱水筒的最小转速可以表示为 。
（4）（计算）滚筒洗衣机洗衣时，需要将衣物提升后撞击滚筒内壁，具体实现方式如图所示。滚筒以恒定角速度转动，衣服（视为质点）附着在滚筒内壁上随滚筒运动，每当衣服运动到A点时，衣服从滚筒内壁上脱落。已知滚筒半径为r，A点距离滚筒底部高度h，重力加速度为g，在此问题中不考虑衣服与滚筒间相对滑动的情形，求此时滚筒的角速度ω为多少？
（5）（计算）滚筒洗衣机脱水时，滚筒高速转动，最大转速n＝1200r/min，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，若有两件衣服，质量分别记为m1和m2，位于滚筒中一条直径的两端，如图所示。洗衣机自身质量M＝70kg，m1＝0.5kg，取滚筒半径r＝25cm，若要保证脱水时洗衣机不会脱离地面，求m2的范围？（保留2位有效数字）
▉题型12 离心运动的应用和防止
【知识点的认识】
离心现象在生活中非常普遍，要对其加以合理的利用和防护。
1.应用举例：
（1）洗衣机脱水：洗衣机利用离心运动将附着在衣物上的水分甩掉，通过高速旋转使衣物上的水分受到离心力作用，从而被甩出，实现脱水效果。
（2）棉花糖机：棉花糖机利用离心运动将熔化的糖汁甩出，形成丝状，冷却后形成棉花糖，这也是离心运动的一个应用。
（3）离心干燥器：离心干燥器利用高速旋转的网笼使湿物料受到离心力作用，从而将水分甩出，达到干燥的目的。
（4）离心机：在某些情况下，如甩体温计的水银柱回玻璃泡内，也是利用离心运动原理实现的。
2.防止举例：
（1）水平公路转弯限速：在水平公路上转弯时，如果速度过大，车辆会因为所需的向心力超过车轮与地面间的最大静摩擦力而做离心运动，容易造成事故。因此，需要限制速度以防止离心运动带来的危害。
（2）高速转动的砂轮防护：高速转动的砂轮如果转速过高，其内部的分子间相互作用力不足以提供所需的向心力时，砂轮会破裂。因此，需要控制砂轮的转速，并使用防护罩来防止砂轮破裂造成的伤害。
这些应用和防止措施展示了离心运动在实际生活中的重要作用，既可以利用其原理服务于日常生活，又需要注意控制条件以避免其带来的潜在风险。
26．如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（ ）
A．汽车通过凹形桥的最低点时，汽车受到的支持力大于重力
B．“水流星”表演中，通过最高点时处于完全失重状态，不受重力作用
C．铁路的转弯处，外轨比内轨高的原因是为了利用轮缘与内轨的侧压力助火车转弯
D．脱水筒的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
（多选）27．关于如图所示的四种圆周运动模型，说法正确的是（ ）
A．图甲：轻质细绳一端系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点所受的合力不可能为零
B．图乙：汽车过拱桥最高点时速度越大，对桥面的压力越小
C．图丙：铁路弯道处的外轨会略高于内轨，当火车的质量改变时，规定的行驶速度也改变
D．图丁：洗衣机脱水过程中，吸附在衣服上的水所受合力大于所需向心力
▉题型13 圆周运动与平抛运动相结合的问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对圆周运动与平抛运动相结合的问题。
（多选）28．如图所示，一位同学玩飞镖游戏．圆盘最下端有一P点，飞镖抛出时与圆盘圆心等高，且距离圆盘为L．当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准圆心O抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动．忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（ ）
A．飞镖击中P点所需的时间为
B．圆盘的半径为
C．圆盘转动角速度的最小值为
D．P点随圆盘转动的线速度可能为
29．是我们童年美好回忆的一部分，是国产动画令人骄傲的作品，请回答下列有关问题：
（1）程老师和他七岁的儿子在逛街的过程中，发现了一个游戏“套圈游戏”，套中啥，就可以拿走那样东西，两元一次，程老师试了一次，套中了一个距离起点水平距离为2m的雕像，他儿子看了，也心痒痒，想把距离起点相等水平距离的雕像也套中。假设他们套圈的时候圈的运动是平抛运动，程老师抛圈的速度为2m/s，试问他女儿要将像套中，则应该 。（如图1）
A．大于2m/s的速度抛出
B．等于2m/s的速度抛出
C．小于2m/s的速度抛出
D．无法判断
（2）正在河对岸盗伐森林，发现后立即驾船渡河前去驱赶。若该河的河岸平直，宽度为60m，船在静水中的速度大小为5m/s，水流的速度大小为3m/s，则下列说法正确的是 （多选题）。
A．船不可能垂直河岸到达对岸
B．船可能垂直河岸到达对岸
C．船渡河的最短时间为20s
D．船渡河的最短时间为12s
（3）追赶盗伐森林的，与沿同一平直道路运动的x﹣t图像分别如图2中的图线A、B所示。下列说法正确的是 。
A．比先开始运动
B．与从同一位置开始运动
C．第5s末，追上
D．与运动的速度大小之比为10：3
（4）如图3所示，一小山由两个斜坡组成，左、右侧斜坡的倾角分别为53°和37°，从山顶将一石块向左水平抛出，从山顶将另一石块向右水平抛出，两石块都落在斜坡上。若、抛出的石块在空中运动的时间之比为5：3，不计空气阻力，则、抛出的石块的初速度大小之比为 。
（5）动画片《》中有这样一个情节：某天和中了设计的陷阱，被挂在了树上（如图4甲），聪明的想出了一个办法，让自己和荡起来使绳断裂从而得救，其过程可简化如图4乙所示，设悬点为O，离地高度为2L，两熊可视为质点且总质量为m，绳长为且保持不变，绳子能承受的最大张力为3mg，不计一切阻力，重力加速度为g，求：
①设和刚好在向右摆到最低点时绳子刚好断裂，则他们的落地点离O点的水平距离为多少；
②改变绳长，且两熊仍然在向右到最低点绳子刚好断裂，则绳长为多长时，他们的落地点离O点的水平距离最大，最大为多少；
③若绳长改为L，两熊在水平面内做圆锥摆运动，如图4丙，且两熊做圆锥摆运动时绳子刚好断裂，则他们落地点离O点的水平距离为多少。
30．如图所示，有一根细线悬挂质量m＝1kg的小球，小球在圆筒内部的水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角θ＝45°，圆筒的半径R＝0.4m，小球离圆筒底的高度为h＝5π2m，小球可看作是质点，筒内壁光滑，g＝10m/s2，求：
（1）当圆筒对小球恰好没有支持力时，小球的角速度大小；
（2）若小球以第（1）问中的角速度做匀速圆周运动，某一时刻突然剪断细线，求小球落到圆筒底面过程中转过的圈数；
（3）若小球以第（1）问中的角速度做匀速圆周运动，某一时刻剪断细线，同时对小球施加F＝20N的水平恒力，水平恒力方向与绳断瞬间小球速度方向垂直。求小球第一次击中圆筒内壁时位移大小。第五章第五节 圆周运动的应用
题型1 水平转盘上物体的圆周运动 题型2 物体被系在绳上做圆锥摆运动
题型3 物体在圆锥面上做圆周运动 题型4 车辆在道路上的转弯问题
题型5 火车的轨道转弯问题 题型6 绳球类模型及其临界条件
题型7 杆球类模型及其临界条件 题型8 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动
题型9 物体在环形竖直轨道内的圆周运动 题型10 拱桥和凹桥类模型分析
题型11 近心与离心运动的意义与原因 题型12 离心运动的应用和防止
题型13 圆周运动与平抛运动相结合的问题
▉题型1 水平转盘上物体的圆周运动
【知识点的认识】
1.当物体在水平转盘上做圆周运动时，由于转速的变化，物体受到的向心力也会发生变化，经常考查临界与极值问题。
2.可能得情况如下图：
1．在足够大转盘上放置两个质量分别为0.2kg和0.4kg的小物块a和b（均可视为质点）。b放置在转盘中心，a、b之间用原长l＝0.3m、劲度系数k＝10N/m的轻质弹簧拴接，此时弹簧处于原长。已知a、b与转盘间的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。假设物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为保证b不滑动，则转盘匀速转动时角速度ω的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：b刚好不滑时，b受到的摩擦力为最大静摩擦力，即fb＝μmbg＝0.5×0.4×10N＝2N，
此时弹簧弹力F弹＝fb＝2N，
由胡克定律可知弹簧形变量xN/m＝0.2N/m，
此时a做匀速圆周运动的半径r＝x+l＝0.2m+0.3m＝0.5m，
而a与转盘之间的最大摩擦力fa＝μmag＝0.5×0.2×10N＝1N，
对a受力分析，根据牛顿第二定律，
解得rad/s，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）2．如图所示（俯视图），用自然长度为2l0、劲度系数为k的轻质弹簧，将质量均为m的两个可当作质点的小物块P、Q连接在一起，放置在能绕O点在水平面内转动的圆盘上，物体P、Q和O点恰好组成一个边长为3l0的正三角形。已知小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为2kl0，现使圆盘带动两个物体以不同的角速度做匀速圆周运动，则（ ）
A．当圆盘的角速度为时，圆盘对P的摩擦力最小
B．当圆盘的角速度为时，圆盘对Q的摩擦力大小等于弹簧弹力大小
C．当圆盘对Q的摩擦力最小时，Q所受合力的大小等于弹簧弹力的倍
D．当物块P、Q刚要滑动时，圆盘的角速度
【答案】ABC
【解答】解：由题意，P、Q相对圆盘静止时，弹簧伸长量为l0，弹簧弹力为kl0。
以小物块P为例，弹簧的弹力与圆盘对它的摩擦力的合力为其提供向心力。
小物块Q的情况也是如此。
对两个小物块受力分析，在转动过程中，向心力大小相等，所以摩擦力大小也相等，如图所示
C．当摩擦力方向与半径方向垂直时，摩擦力最小，此时向心力大小
Q所受合力即为其向心力，故C正确；
A．当摩擦力最小时，根据向心力公式
解得
故A正确；
B．当圆盘的角速度为时，向心力大小
此时圆盘对Q的摩擦力大小也为kl0，与弹簧弹力大小相等，故B正确；
D．当圆盘角速度为时，向心力大小
圆盘对小物块的摩擦力大小为，小于最大静摩擦力2kl0，此时物块P、Q不会发生滑动，故D错误；
故选：ABC。
（多选）3．如图所示（俯视图），用自然长度为L0，劲度系数为k的轻质弹簧，将质量均为m的两个小物块P、Q连接在一起，放置于能绕O点在水平面内转动的圆盘上，OP＝OQL0，PQ＝2L0。已知小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为kL0，现使圆盘带动两个物体以不同的角速度做匀速圆周运动，则（ ）
A．当物块P、Q刚要滑动时，圆盘的角速度ω
B．当圆盘的角速度为ω时，圆盘对P的摩擦力最小
C．当圆盘的角速度为ω时，圆盘对Q的摩擦力的大小等于Q所受向心力的大小
D．当圆盘的角速度为ω时，圆盘对Q的摩擦力的大小等于Q所受向心力的大小
【答案】AC
【解答】解：B.由题意可知OP＝OQL0，PQ＝2L0
则OP、OQ与弹簧连线的夹角均为37°，P、Q相对圆盘静止时，弹簧伸长量为L0，弹簧弹力为kL0。以小物块P为例，在它随圆盘转动的过程中，弹簧的弹力与圆盘对它的摩擦力的合力为其提供向心力。小物块Q的情况也是如此。对两个小物块受力分析可知，在转动过程中，它们所需向心力大小相等，所以其所受摩擦力大小也相等，如图所示
当圆盘对P的摩擦力方向与半径方向垂直时，其值最小，此时向心力大小为F向＝kL0cos37°
根据牛顿第二定律F向＝mω2L0
联立解得
故B错误；
A.当物块P、Q刚要滑动时，所受摩擦力为kL0，弹簧弹力为kL0，结合几何关系知，此时向心力大小为kL0，
根据牛顿第二定律kL0＝mω2L0
解得
故A正确；
CD.弹簧的弹力大小为kL0，OQ与弹簧连线的夹角均为37°，若圆盘对Q的摩擦力的大小等于Q所受向心力的大小，根据数学知识解得
Fn＝fkL0
又Q所受向心力mω2L0kL0
解得此时圆盘的角速度为
故C正确，D错误。
故选：AC。
4．（1）如图甲所示，旋转秋千中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是 D 。
A.A的角速度比B的大
B.A与B的向心加速度大小相等
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
（2）如图乙为某型号“魔盘”侧视截面图，MN为中心竖直转轴，圆锥面母线与水平面间夹角为θ。可视为质点的儿童坐在“魔盘”的锥面上，“魔盘”从静止开始转动，转速缓慢增大。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是 B 。
A.其他条件相同时，儿童的质量越小越容易滑动
B.其他条件相同时，儿童的位置越靠下越容易滑动
C.“魔盘”匀速转动且儿童未发生滑动时，转速越大，儿童受到的摩擦力越小
D.“魔盘”加速转动且儿童未发生滑动时，儿童受到的合外力方向水平指向转轴
（3）摩天轮正在竖直平面内做匀速圆周运动（图丙）。已知座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱的运动周期为 ；某时刻，座舱A与摩天轮圆心在同一高度，此时座舱A受摩天轮的作用力大小为 。
（4）小火车以半径R转弯时，处于倾角为α的斜坡上，重力加速度为g，若恰好不挤压轨道，则转弯速度应为 ；速度略大一点时，将挤压 外 （选填“内”或“外”）轨道。
（5）随若技术进步，为使宇航员更加适应长期的外太空生活，可以考虑将太空舱建成一个半径足够大的环形结构，绕着中心轴做匀速圆周运动来模拟重力。假定太空舱到中心轴半径为100m，为模拟地球9.8m/s2的重力加速度，太空舱的角速度约为 0.313 rad/s（保留3位有效数字）。此时宇航员的脚应站在 外 （填“内”或“外”）舱壁上。
【答案】（1）D；（2）B；（3）；；（4）；外；（5）0.313；外。
【解答】解：（1）A.根据公式：
v＝ω r
A的运动半径小，A的速度就小。故A错误；
B.根据公式：
a＝ω2r
A的运动半径小，A的向心加速度就小，故B错误；
C、如图，对任一座椅，受力如图
由绳子的拉力与重力的合力提供向心力，则得：
mgtanθ＝mω2r
则得
A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向夹角θ较小，故C错误。
D、根据平行四边形定则知
A与竖直方向夹角θ较小，则悬绳A的拉力较小，故D正确。
故选：D。
（2）A.其他条件相同时，由向心力公式
儿童的质量越小需要的向心力越小，越不容易滑动，故A错误；
B.由向心力计算公式
可知，当质量和角速度一定时，转动半径越大，所需的向心力越大，因此其他条件相同时，儿童的位置越靠下转动半径越大，所需向心力越大，越容易滑动，故B正确；
C.“魔盘”匀速转动且儿童未发生滑动时，“魔盘”转速越大，需要的向心力越大，儿童受到的摩擦力越大，故C错误。
D.在“魔盘”静止时，儿童受重力、垂直斜面的支持力和沿斜面向上的摩擦力，由力的平衡条件 可知，儿童受力合力是零，“魔盘”转动时，由垂直斜面的支持力和沿斜面向上的摩擦力在指向转轴方向 的合力提供向心力，“魔盘”加速转动且儿童未发生滑动时，说明“魔盘”速度没有达到最大值，即最大 静摩擦力没有达到滑动摩擦力，则有儿童受到的合外力方向不是水平指向转轴，故D错误；
故选：B。
（3）由题设为条件可知，座舱的运动周期为
座舱做匀速圆周运动，在座舱A与摩天轮圆心在同一高度时，对座舱受力分析，受摩天轮的作用力F，重力mg，如图所示
由牛顿第二定律，可知座舱所受摩天轮的作用力与重力的合力提供向心力，合力大小为
所以此时座舱A受摩天轮的作用力大小为
（4）火车转弯时，重力与支持力的合力提供向心力，设火车质量为m，则有
解得
当火车速度为v时，恰好不挤压轨道，若速度略大一点时，重力与支持力的合力不足以提供向心力，将挤压外轨道。
（5）根据
ω2R＝g
解得
ω＝0.313rad/s
宇航员绕着中心轴做匀速圆周运动来模拟重力，此时由外舱壁对宇航员的弹力提供圆周运动的向心力，即宇航员的脚应站在外舱壁上。
故答案为：（1）D；（2）B；（3）；；（4）；外；（5）0.313；外。
▉题型2 物体被系在绳上做圆锥摆运动
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对物体被系在绳上做圆锥摆运动的情况，如下图：
2.模型分析：在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小物体，绳子上端固定，设法使小物体在水平圆周上以大小恒定的速度旋转，细绳所掠过的路径为圆锥表面，这就是圆锥摆。
如图所示，小球在水平面内做圆周运动的圆心是О，做圆周运动的半径是Lsinθ，小球所需的向心力实际是绳子拉力FT与重力mg的合力，并有F合＝mg tanθ＝mω2Lsinθ，由此式可得cosθ。
5．如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止。若ω′＞ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时（ ）
A．小球沿PQ杆向上移动
B．弹簧弹力的大小一定变大
C．小球对杆压力的大小可能变大
D．小球所受合力大小一定不变
【答案】C
【解答】解：AB．小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，
小球在竖直方向，由平衡条件得：Fcosα＝mg，若ω′＞ω，假设小球上移，α增大，cosα减小，弹簧伸长量减小，F减小，则Fcosα＜mg，
小球在竖直方向不能平衡，不可能；同理，假设小球下移，α减小，也不可能，所以α不变，小球的高度不变，弹簧弹力的大小一定不变，故AB错误；
C、规定杆对小球的弹力方向向右为正，由牛顿第二定律得：Fsinα﹣FN＝mω2r，解得：FN＝Fsinα﹣mω2r，
因为Fsinα是定值，所以当Fsinα＜mω2r时，FN＜0，杆对小球弹力向左，当Fsinα＞mω2r时，FN＞0，杆对小球弹力向右，
因为随着ω的增大，弹力有个反向的过程，所以从ω＝0开始逐渐增大，弹力变化一定是先变小后变；
因为本题中Fsinα和mω2r的关系未知，所以大小关系不确定，因此弹力可能变大、也可能变小，故C正确；
D．小球所受合外力的大小F合＝mω2r，ω变大，其它量不变，F合一定变大，故D错误。
故选：C。
▉题型3 物体在圆锥面上做圆周运动
【知识点的认识】
1.本考点旨在针对物体在圆锥面上做圆周运动的情况。
2.常见的情况如下图：
（多选）6．如图所示，将圆锥筒的轴线OO′沿竖直方向固定，其中筒的外壁OA与竖直方向的夹角为60°，AB与竖直方向的夹角为30°，三个完全相同的小球a、b、c在筒内壁绕轴OO′做匀速圆周运动，已知a、b为AB的三等分点且AB＝3AO，c为OA的中点，忽略一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球a与小球c对筒的压力之比为：1
B．小球a与小球c的向心加速度之比为：1
C．小球a与小球b的线速度之比为：
D．小球b与小球c的角速度之比为1：
【答案】AC
【解答】解：B、小球a、b、c均受重力、支持力的作用，则重力和支持力的合力提供小球做圆周运动的向心力，假设筒壁与竖直方向的夹角为α，由牛顿第二定律得ma，解得：a，
则小球a、小球b、小球c的向心加速度之比为aa：ab：aa：：3：3：1，故B错误；
A、球对筒的压力大小为FN，则小球a与小球c对筒的压力之比为Fa：Fa：1，故A正确；
CD、假设O、A两点的距离为L，则小球c的轨道半径为rcL
由几何关系可知b、a的轨道半径分别为rb＝Lsin60°+Lsin30°L，ra＝Lsin60°+2Lsin30°L，
a、b与竖直方向均为30°，则两者的向心力和向心加速度相等。
由a可知，小球a与小球b的线速度之比为，对小球b与小球a有，则，
对小球b与小球c由公式a＝ω2r可知小球b与小球c的角速度之比为，故C正确，D错误。
故选：AC。
（多选）7．如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α＝53°和β＝37°（sin37°＝0.6），则（ ）
A．A、B两球所受支持力的大小之比为4：3
B．A、B两球运动的周期之比为
C．A、B两球的线速度之比为
D．A、B两球的角速度之比为
【答案】AD
【解答】解：A、由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，根据平行四边形定则得：，，则A、B两球所受的支持力大小之比：，故A正确；
B、根据牛顿第二定律得：mgtanα＝mRsinα，解得：T＝2π，则，故B错误；
C，根据mgtanθ＝m，解得v
则有，故C错误。
D、角速度，因为A、B两球的周期之比为：2，则角速度之比为2：，故D正确；
故选：AD。
▉题型4 车辆在道路上的转弯问题
【知识点的认识】
汽车转弯问题模型如下
模型分析：一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力。如果转弯速度过大，侧向摩擦力过大，可能会造成汽车翻转等事故。
8．美丽的巴音布鲁克草原是中国最大的高山草原，如果在草原上进行拉力车比赛，驾驶员通过弯道时必须减速，可见赛道的转弯半径较 短 ，如图是盒马鲜生无人超市的自动传货装置，为了避免商品在停止时拉断绳子，绳子不能太 短 。（两空均选填“长”或“短”）
【答案】短，短。
【解答】解：在草原上进行拉力车比赛，地面对车轮的径向摩擦力提供向心力，为保证安全，摩擦力应小于或等于最大静摩擦力，根据向心力表达式得，驾驶员通过弯道时必须减速，说明赛道的转弯半径较小；
对商品受力分析，根据牛顿第二定律可得：
解得：
绳子越短，拉力越大，则为了避免商品在停止时拉断绳子，绳子不能太短。
故答案为：短，短。
9．自行车是一种常见的代步工具，骑车出行不仅环保，还兼具健身作用。如图甲所示为自行车的主要传动部件，链轮和飞轮用链条相连，踏板通过曲柄和链轮固定连接，后轮与飞轮固定连接。当用力蹬踏板时，后轮就会转动，从而使自行车前进。
（1）如图乙所示，一辆自行车在水平路面上，设自行车被骑行时地面对后轮的摩擦力为Ff1，自行车被推行时地面对后轮的摩擦力为Ff2，则 B 。
A.Ff1向左，Ff2向右
B.Ff1向右，Ff2向左
C.Ff1和Ff2都向右
D.Ff1和Ff2都向左
（2）表中给出了某变速自行车的链轮、飞轮的齿数，通过匹配两者不同的齿数，可以改变踏板转动一周时自行车的行进距离。已知该自行车前后轮的周长均为2m，人脚踩踏板转速1.5r/s恒定。
名称 链轮 飞轮
齿数 48 38 28 16 18 21 24 28
①曲柄长度为170mm，踏板做圆周运动的角速度为 9.42 rad/s，线速度为 1.60 m/s。（计算结果保留小数点后两位）
②骑行的最大速度与最小速度之比为 3：1 。
（3）质量为60kg的人骑着一辆质量为20kg的自行车，以5m/s的速度在笔直的水平马路上匀速行驶，遇红灯后在距停车线10m处开始刹车，假设刹车后自行车做匀减速直线运动。刹车过程中自行车受到的阻力至少应为 100 N，这一过程中自行车克服阻力做功为 1000 J。
（4）如图丙所示是自行车场地赛中一段半径为R的圆弧赛道（忽略道路宽度），赛道路面与水平面间的夹角为θ，不考虑空气阻力，自行车与骑手总质量为m，两者一起在该路段做速度为v的匀速圆周运动。路面与自行车轮之间的摩擦系数为μ，重力加速度为g，若自行车与赛道之间没有相对滑动，则对于骑手和自行车组成的系统，下列说法中正确的是 D 。
A.若v，则系统向心力由摩擦力提供
B.若v，则系统受到来自路面的摩擦力沿赛道斜面指向外侧
C.系统的最大速度为v
D.系统的最大速度为v
【答案】（1）B；（2）①9.42；1.60；②3：1；（3）100；1000；（4）D。
【解答】解：（1）当自行车被骑行时，后轮是主动轮，受到地面向右的摩擦力；当自行车被推行时，后轮是从动轮，受到地面向左的摩擦力
故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2）①角速度
ω＝2πn＝2×3.14×1.5rad/s＝9.42rad/s
线速度
v＝ωr＝9.42×0.17m/s＝1.60m/s
②设链轮与飞轮的半径分别为r1、r2，齿数分别为z1，z2，转速分别为n1、n2，前后轮的车轮半径为R，前后轮周长为l＝2m，由题意可得
2πn1r1＝2πn2r2
n1＝n＝1.5r/s
车速
v＝2πn2R
由以上各式得
结合表格得最大速度
最小速度
骑行的最大速度与最小速度之比
vmax：vmin＝3：1
（3）由题意可得
解得加速度大小
阻力大小
f＝ma＝（60+20）×1.25N＝100N
由动能定理可得
（4）A.系统向心力由重力与支持力的合力提供，则有
mg tan
解得：
故A错误；
B.若则自行车有向外甩出的趋势，所以系统受到来自路面的摩擦力沿赛道斜面指向内侧，故B错误；
CD.系统即将向外滑动时，速度最大，有
N cosθ＝f sinθ+mg
解得
故C错误，D正确。
故选：D。
故答案为：（1）B；（2）①9.42；1.60；②3：1；（3）100；1000；（4）D。
10．车轮滚滚，是摩擦力的转化，将电能化作归途的动力。车厢平稳，是惯性的平衡，守护着旅途的舒适。高铁飞驰，是电磁力的驱动，缩短了思念的距离。物理定律，编织成回家的路，让年味跨越山海，如期而至。
（1）中国高铁，跑出“中国速度”。北京到上海坐高铁全程1318公里，G1次列车只要4小时29分钟即可到达。下列说法正确的是 B 。
A．在研究列车车轮转动的快慢时，列车车轮可以被看作质点
B．在研究列车从北京到上海的位移时，列车可以被看作质点
C．列车向前行驶过程中，坐在车中的小明看见窗外的树向后移动，他选择的参考系是地面
D．不论选择什么物体作为参考系，对列车运动情况的判断结果都一样
（2）（多选题）今年春运，“绿皮火车拉高铁”温馨感人，若火车行进过程中，某时间段内功率随时间变化的P﹣t图像如图所示，设火车行驶过程中受到的阻力大小恒定不变，那么描述这段时间内该火车运动情况的图像可能是 BD 。
（3）某次列车加速出站可视为初速度为零的匀加速直线运动，列车每节车厢长为L，共有n节车厢。某观察者站在站台A处，即列车第1节车厢的前端，如图所示。下列说法正确的是 D 。
A．列车上的人看到这名观察者在做匀减速直线运动
B．列车第1节和第2节车厢通过观察者的时间之比为：1
C．列车第1节和第n节车厢通过观察者的时间之比为1：
D．列车第1节和第n节车厢通过观察者的平均速度大小之比为（）：1
（4）列车沿着水平轨道加速出站过程中（箭头表示列车出站的方向），乘客发现小桌板上的水杯里水面的形状如选项图中的 B 。
（5）如图，为了安全，弯道处的铁轨总是“外高内低”。已知弯道半径R＝2km，轨道面与水平面间的夹角α＝10°，列车匀速经过弯道，速度v＝80m/s。此时，列车的加速度a＝ 3.2 m/s2。若不计车轮与轨道间的摩擦，列车过弯道时， 外轨 （选填“内轨”或“外轨”）将受到车轮的侧向挤压（tan10°＝0.18）。
【答案】（1）B；（2）BD；（3）D；（4）B；（5）3.2；外轨。
【解答】解：（1）AB、在研究列车车轮转动的快慢时，列车车轮的形状、大小不可以忽略列车车轮不可以被看作质；在研究列车从北京到上海的位移时，列车的形状大小可以忽略，列车可以被看作质点，故A错误，B正确；
C、坐在向前行驶的列车中的小明看见窗外的树向后移动，他选择的参考系是列车，故C错误；
D、选择不同物体作为参考系，对列车运动情况的判断结果可能不同，故D错误；
故选：B。
（2）ABC、根据题意可知，功率保持不变，且：P＝Fv，F﹣f＝ma
若列车在加速行驶，则v增大，F减小，列车加速度逐渐减小，故AC错误，B正确；
D、若行驶过程中速度不变，则F不变，此时F＝f，列车保持匀速运动，故D正确；
故选：BD。
（3）A、由于列车做初速度为零的匀加速运动，以列车为参考系，列车上的人看到这名观察者也在做匀加速直线运动，故A错误；
B、根据x可得列车第1节车厢通过观察者的时间为：
列车第2节车厢通过观察者的时间为：t2
故列车第1节和第2节车厢通过观察者的时间之比为：，故B错误；
C、根据B项分析可知，列车第1节和第n节车厢通过观察者的时间之比为：，故C错误；
D、根据平均速度：，可得列车第1节和第n节车厢通过观察者的平均速度大小之比为：，故D正确。
故选：D。
（4）列车加速出站速度增大，由于惯性水相对窗向后运动，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（5）列车匀速经过弯道，速度v＝80m/s，列车的加速度为：am/s2＝3.2m/s2
设列车转弯角度为v0时，车轮刚好与内、外轨没有侧向挤压，根据列车做圆周运动有：
mgtan10°＝m
解得：v0＝60m/s
由于v＝80m/s＞60m/s，可知外轨将受到车轮的侧向挤压。
故答案为：（1）B；（2）BD；（3）D；（4）B；（5）3.2；外轨。
▉题型5 火车的轨道转弯问题
【知识点的认识】
火车转弯模型如下
与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以某一适当速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。当小于这一速度时，铁轨会对火车产生向外的压力，即火车会挤压内轨。当大于这一速度时。铁轨会对火车产生向内的挤压。即挤压外轨。
11．如图所示，铁路转弯处外轨应略高于内轨，火车必须按规定的速度行驶，则转弯时（ ）
A．火车所需向心力沿水平方向指向弯道内侧
B．弯道半径越大，火车所需向心力越大
C．火车的速度若小于规定速度，火车将做离心运动
D．若路基倾角为α，无论火车是否按规定速度行驶，铁轨对火车的支持力总等于
【答案】A
【解答】解：A、火车在铁轨转弯处做圆周运动，圆周运动平面为水平面，所以，火车所需向心力在水平方向；又有向心力指向圆心，故火车所需向心力沿水平方向指向弯道内侧，故A正确；
B、由向心力公式可知，R越大，F越小，故B错误；
C、由B可知，火车的速度若小于规定速度，向心力比规定速度时小，而火车在转弯处受力不变，即合外力大于向心力，那么火车将做向心运动，故C错误；
D、当火车按规定速度行驶，铁轨对火车的支持力垂直轨道平面向上，且大小为；若速度大于规定速度，则外轨给火车一个沿斜面向内的力；若速度小于规定速度，则内轨给火车一个沿斜面向外的力；所以，只有火车按规定速度行驶，铁轨对火车的支持力才等于；故D错误；
故选：A。
12．圆周运动是指一种运动轨迹为圆或圆的一部分的平面曲线运动，在诸多领域都有所运用：
【表演艺术】：（1）有一段单人绸吊空中表演，运动员拉住一根长绸带在水平面内做近似圆周运动，如图所示，若运动员重心到悬点距离不变，绸带与竖直方向夹角为θ。忽略空气阻力，则下列说法错误的是 ABD 。（多选题）
A．绳子拉力提供运动员做圆周运动的向心力
B．如果θ增大，其他条件不变，运动员转动的周期不变
C．如果有另一名运动员，用长为1.2L的绸带在与正在表演的运动员在同一水平面做圆周运动，则在其中一人停止前，两人的位置相对保持不变。
D．如果L增大，其他条件保持不变，则运动员转动的周期减小。
【交通运输】：（2）火车在弯道转弯时，对于其向心力的分析正确的是 D 。
A．由于火车本身作用而产生了向心力
B．由于内、外轨的高度差，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力
C．火车拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力
D．火车拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为向心力的一部分
（3）如图甲所示为一辆厢式货车的后视图。如图乙为该路段的限速标志，该厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半径R＝8m，车轮与路面间的最大静摩擦力为车对路面压力的0.8倍。货车内顶部用细线悬挂一个小球P，在悬点O处装有拉力传感器。车沿平直路面做匀速直线运动时，传感器的示数F＝4N，某次在此弯道上转弯时做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数F′＝5N，取重力加速度g＝10m/s2。
①如图甲可知，货车 A 转弯（选填：A．向左，B．向右）；货车转弯时速度大小为 2 m/s；
②关于图乙标志，请向交管部门提出一项建议并说明理由： 此处路段限速28.8km/h 。
【测定分子速度】：（4）如图所示为蔡特曼和柯氏改进后测定分子速度大小的装置简图。银蒸汽分子以相同速率从小炉O的细缝中逸出沿虚线通过圆筒上的细缝S3进入圆筒C并落在玻璃板G上。已知圆筒C的半径为R，转速为n，银分子在玻璃板G上的落点与b之间的弧长为s，则银分子的最大速率表达式为： 。
【地理科学】：（5）小易同学假期去游玩看到了一条弯曲的河流，图中A、B、C、D为四处河岸，他想根据所学知识分析一下河水对河岸的冲刷程度，你认为冲刷最严重最有可能的是 C 。
A．A处
B．B处
C．C处
D．D处
【答案】（1）ABD；（2）D；（3）①A，2；②此处路段限速28.8km/h；（4）；（5）C。
【解答】解：（1）A、绳子拉力和运动员重力的合力提供运动员做圆周运动的向心力，故A错误；
B、对运动员，根据牛顿第二定律有mgtanθ＝m（）2Lsinθ，解得T＝2π，
如果θ增大，其他条件不变，运动员转动的周期T减小，如果L增大，其他条件不变，运动员的周期增大，故BD错误；
C、两运动员在同一平面内做圆周运动，运动员到悬点的高度h相等，设绳与竖直方向的夹角为α，
由牛顿第二定律得mgtanα＝mhtanα，解得T＝2π，
由于h相同，两运动员的周期相同，两者相对静止，两人的位置相对保持不变，故C正确。
本题选错误的，故选ABD。
（2）AB、由于内、外轨的高度差，车身略有倾斜，车身所受轨道支持力的水平分力提供向心力，而不是由于火车本身作用而产生了向心力，故AB 错误；
C、火车拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力的水平分力与轨道支持力的水平分力的合力提供向心力，故C错误；
D、火车拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，该压力沿轨道平面斜向下，该侧压力的水平分力与轨道支持力水平分力的合力提供向心力，即侧压力作为向心力的一部分，故D正确。
故选：D。
（3）①由图甲所示可知，小球所受合力向左，向心力向左，说明货车向左转弯，故选A；
车在平直路面做匀速直线运动时，对小球，由平衡条件得mg＝F
货车转弯时，对小球，由牛顿第二定律得m
代入数据解得v＝2m/s
②静摩擦力提供车转弯时需要的向心力，摩擦力为最大静摩擦力时，车的速度最大，
对货车，由牛顿第二定律得kmg＝m
代入数据解得v临＝8m/s＝28.8km/h
建议，限速28.8km/h
（4）设银分子的速度为v，银分子从S3进入圆筒后打到b处，所需要的时间为t，而圆筒从b转动到e时间为，因此则有v。
（5）河水经过弯曲处，河水做圆周运动需要的向心力F＝m，在河水流量及流速一定的情况下，弯曲处的曲率半径越小，所需向心力越大，冲刷越严重，由图可知C处曲率半径最小，则冲刷最严重的是C处；故ABD错误，C正确。
故选：C。
故答案为：（1）ABD；（2）D；（3）①A，2；②此处路段限速28.8km/h；（4）；（5）C。
▉题型6 绳球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
13．2017年7月23日，在第13届莫斯科航展上“俄罗斯勇士”，飞行表演队完成了倒飞筋斗的动作．现将其简化成如图所示的光滑的板（飞机）和小球（飞行员），让小球在竖直面内始终与板相对静止且做匀速圆周运动。A为圆周的最高点，C为最低点，B，D与圆心O等高，且此时板与水平面成θ角。设小球的质量为m，做圆周运动半径为R，线速度为v，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过C处时向心力与小球通过A处的向心力相同
B．小球在C处受到板的弹力比在A处大5mg
C．在B、D两处板与水平面的倾角与小球的运动速度v应满足
D．小球在B、D两处受到板的弹力为
【答案】C
【解答】解：A．小球做匀速圆周运动，通过C处时向心力与小球通过A处的向心力大小相等，但是向心力的方向时刻在变，故向心力的方向不同，即通过C处时向心力与小球通过A处的向心力不相同，故A错误；
B．对小球在A、C处进行受力分析，如图所示：
在A点根据向心力计算公式可得：N1+mg＝m
在C点根据向心力计算公式可得：N2﹣mg＝m
所以可得：N2﹣N1＝2mg，故B错误；
C．在B、D处板与水平面夹角为θ，根据下面的图进行分析：
在B、D处球受到的重力沿水平方向的分力提供向心力，即可得：mgtanθ＝m
所以在B、D两处板的倾角与小球的运动速度v应满足：tanθ，故C正确；
D．如图所示：
根据受力分析可得：
即小球在B、D两处受到板的弹力为：，故D错误。
故选：C。
14．如图所示，长为L的轻质硬杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴上，现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，转动的角速度为ω，某时刻杆对球的作用力水平向左，则此时杆与水平面的夹角θ为（ ）
A． B．sinθ
C． D．
【答案】B
【解答】解：小球所受重力和杆子的作用力的合力提供向心力，受力如图所示；
根据牛顿第二定律有：
mω2L
解得：
故B正确，ACD错误。
故选：B。
15．如图所示，水平地面上固定有倾角为45°，高为h的斜面。O点位于A点正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小球相连。细绳能够承受的最大拉力为3mg（g为重力加速度）。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并恰好垂直落到斜面上，求：
（1）细绳长度L；
（2）小球做平抛运动的时间t。
【答案】（1）细绳长度L为；
（2）小球做平抛运动的时间t为。
【解答】解：细绳断裂后小球平抛的示意图如下
（1）（2）假设小球做平抛运动的水平位移为x，竖直位移为y，绳长为L，根据圆周运动的知识有
之后做平抛运动
x＝vt
将速度方向反向延长经过水平位移中点，有
x＝2y
且L+y+x＝h
代入T＝3mg，解得
答：（1）细绳长度L为；
（2）小球做平抛运动的时间t为。
16．如图所示为风靡小朋友界的风火轮赛车竞速轨道的部分示意图．一质量为m＝0.5kg的赛车（视为质点）从A处出发，以速率v1＝0.1m/s驶过半径R1＝0.1m的凸形桥B的顶端，经CD段直线加速后进入半径为R2＝0.2m的竖直圆轨道，并以某速度v2驶过圆轨的最高点E，此时赛车对轨道的作用力恰好为零，重力加速度g取10m/s2，试计算：（结果可保留根号）
（1）赛车在B点受到轨道支持力的大小；
（2）赛车经过E点时的速率v2；
（3）若赛车以2v2的速率经过E点，求轨道所受来自赛车的弹力大小和方向。
【答案】（1）赛车在B点受到轨道支持力的大小为4.95N；
（2）赛车经过E点时的速率v2为m/s；
（3）若赛车以2v2的速率经过E点，轨道所受来自赛车的弹力大小为15N，方向竖直向上。
【解答】解：（1）赛车经过B点时，根据牛顿第二定律可得mg﹣FN＝m
代入数据解得FN＝4.95N
（2）在竖直面内圆轨道上，赛车经过E点时，根据牛顿第二定律可得mg＝m，解得v2m/s
（3）若赛车以2v2的速率经过E点，根据牛顿第二定律可得mg+F'N＝m，解得F'N＝15N
重力不足以提供向心力，可知赛车受到轨道的弹力竖直向下，根据牛顿第三定律可知轨道所受来自赛车的弹力大小为15N，方向竖直向上。
答：（1）赛车在B点受到轨道支持力的大小为4.95N；
（2）赛车经过E点时的速率v2为m/s；
（3）若赛车以2v2的速率经过E点，轨道所受来自赛车的弹力大小为15N，方向竖直向上。▉题型7 杆球类模型及其临界条件
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
17．如图甲所示，长L＝0.3m的轻杆一端固定在光滑水平转轴O上，另一端固定一质量m＝0.4kg可当作质点的小球，现用外力作用在轻杆上使小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度大小为v＝1.5m/s的匀速圆周运动，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。
（1）小球运动到最高点时，求轻杆对小球的作用力F1大小及方向；
（2）小球运动到水平位置A时，求轻杆对小球的作用力大小F2；
（3）若将轻杆换成轻绳，再将小球提至转轴正上方的B点，将球瞬间以水平速度v0抛出，小球恰好沿圆周运动且抛出后瞬间绳刚好伸直无张力，求水平速度v0的大小。
【答案】（1）小球运动到最高点时，轻杆对小球的作用力F1大小为1N，方向竖直向上；
（2）小球运动到水平位置A时，轻杆对小球的作用力F2大小为5N；
（3）若将轻杆换成轻绳，再将小球提至转轴正上方的B点，将球瞬间以水平速度v0抛出，小球恰好沿圆周运动且抛出后瞬间绳刚好伸直无张力，水平速度v0的大小为。
【解答】解：（1）小球运动到最高点时，假设轻杆对小球的作用力F1的方向竖直向上，对小球有
解得F1＝1N
所以杆对球的作用力F1的大小为1N，方向竖直向上。
（2）小球运动到水平位置A时，杆对球的竖直方向分力Fy＝mg
水平分力
故杆对球的作用力大小
代入数据解得F2＝5N
（3）若将轻杆换成轻绳，小球在B点恰好沿圆周运动且抛出后瞬间绳刚好伸直无张力，则有
解得水平速度
代入数据得
答：（1）小球运动到最高点时，轻杆对小球的作用力F1大小为1N，方向竖直向上；
（2）小球运动到水平位置A时，轻杆对小球的作用力F2大小为5N；
（3）若将轻杆换成轻绳，再将小球提至转轴正上方的B点，将球瞬间以水平速度v0抛出，小球恰好沿圆周运动且抛出后瞬间绳刚好伸直无张力，水平速度v0的大小为。
18．如图所示，一长为L的轻杆一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，装置绕O点的竖直面内转动，不计一切阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球通过最高点速度为时，杆对小球的作用力大小是多少；
（2）小球通过最低点时杆对球的作用力为4mg，小球的速度大小是多少。
【答案】（1）杆对小球的作用力大小是mg；
（2）小球的速度大小是。
【解答】解：（1）设小球在最高点受到杆向下的拉力大小为F，根据牛顿第二定律有F+mg＝m，得F＝mg；
（2）小球通过最低点时，有4mg﹣mg＝m，得小球的速度为v。
答：（1）杆对小球的作用力大小是mg；
（2）小球的速度大小是。
▉题型8 物体在圆形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
19．华灯初上，摩天轮在暮色中格外醒目。若摩天轮正绕中间的固定轴做匀速圆周运动，则以下说法正确的是（ ）
A．在相同的时间内，乘客的速度变化量相同
B．乘客在最低点时，他的加速度为零
C．当乘客位于摩天轮的最高点时，他处于失重状态
D．乘客在与转轴等高的位置时，他的加速度就是重力加速度g
【答案】C
【解答】解：A．因为匀速圆周运动的加速度是变化的，在相同的时间内，乘客的速度变化量Δv不同，故A错误；
B．乘客在最低点时，他的加速度方向竖直向上不为0，故B错误；
C．当乘客位于摩天轮的最高点时，加速度方向竖直向下指向圆心，他处于失重状态，故C正确；
D．乘客在与转轴等高的位置时，他的加速度水平指向圆心，不是重力加速度，故D错误。
故选：C。
20．（1）雨天在野外骑车时，自行车的后轮胎上常会黏附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”。如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就会被甩下来。如图甲所示，图中a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则 C 。
A.泥巴在图中的a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度
B.泥巴在图中的b、d位置时最容易被甩下来
C.泥巴在图中的c位置时最容易被甩下来
D.泥巴在图中的a位置时最容易被甩下来
（2）某同学以变速自行车的齿轮传动作为研究性课题，他通过查阅相关资料了解变速自行车的变速原理，测得图乙所示后小齿轮组中最小，最大齿轮半径分别为r1、r2，前大齿轮半径为r3、后轮半径为R。若该自行车前大齿轮每秒匀速转动1圈，则后轮的最大线速度为 A 。
A.
B.
C.
D.
（3）如果自行车后轮半径为R，在自行车车速为v时后轮轮胎上最高点有一块泥巴掉落，它着地的时间为 ，着地点和抛出点之间的距离为 。
（4）如图丙所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1的速度通过轨道最高点B，并以v2v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的弹力大小相差 D 。
A.3mg
B.4mg
C.5mg
D.6mg
（5）如图丁是某电力机车雨刮器的示意图，雨刮器由刮水片和雨刮臂连接而成，M、N为刮水片的两个端点，P为刮水片与雨刮臂的连接点，雨刮臂绕O轴转动的过程中，刮水片始经保持竖直，下列说法正确的是 C 。
A.P点的线速度始终不变
B.P点的向心加速度不变
C.M、N两点的线速度相同
D.M、N两点的运动周期不同
（6）某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离d后落地。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g，忽略空气阻力。
①绳能承受的最大拉力是多少？
②保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？
【答案】（1）C，（2）A，（3），，（4）D，（5）C，（6）①，②，。
【解答】解：（1）A、泥巴随车轮一起做匀速圆周运动，根据可知，泥巴在a、b、c、d位置时的向心加速度大小均相等，故A错误；
BCD、泥块做圆周运动，由合力提供向心力，根据F＝mω2r知：泥块在车轮上每一个位置的向心力大小相等，当提供的合力小于向心力时做离心运动，所以能提供的合力越小越容易飞出去。最低点，重力向下，附着力向上，合力等于附着力减重力；最高点，重力向下，附着力向下，合力为重力加附着力；在线速度竖直向上或向下时，合力等于附着力。所以在最低点c时合力最小，最容易飞出去，故C正确，BD错误。
故选：C。
（2）链条连接后小齿轮组中半径最小的齿轮时，后轮的线速度最大，由于自行车前大齿轮每秒匀速转动1圈，所以前大齿轮的频率为f＝1Hz，其周期为
根据公式v＝ωr，可得前大齿轮边缘的线速度为
通过链条相连，线速度大小相同，所以后小齿轮组中最小齿轮的线速度为
v1＝v3＝2πr3
则小齿轮组的角速度为
由于后轮与小齿轮组同轴，所以角速度相等，根据公式v＝ωr，可得后轮的线速度为
故A正确，BCD错误。
故选：A。
（3）泥巴掉落后将做平抛运动，则在竖直方向
解得下落时间为
水平方向匀速直线运动，则水平距离为
着地点和抛出点之间的距离为
（4）在A点受重力和向上的支持力，由牛顿运动定律，有
可得
FA＝7mg
在B点受重力和向下的支持力，由牛顿运动定律，有
解得
FB＝mg
则在A、B两点轨道对摩托车的弹力大小相差为
ΔF＝FA﹣FB＝7mg﹣mg＝6mg
故D正确，ABC错误。
故选：D。
（5）AB、线速度与向心加速度均为矢量，在圆周运动过程中线速度和向心加速度的方向一直在发生变化，故AB错误；
CD、由于刮水片是平动，所以刮水片上的点运动状态都一样，MN两点的运动周期以及线速度均相同，故C正确，D错误。
故选：C。
（6）①设绳能承受的最大拉力为Fm，球做圆周运动的半径为
由牛顿第二定律得
球以绳断时的速度水平飞出，做平抛运动，通过水平距离为d，竖直位移为，则有
d＝v1t
可得
即
将v1代入解得绳子承受的最大拉力为
故绳能承受的最大拉力是；
②设绳长为l，绳断时球的速度为v2，有
则可得
解得
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d﹣l，水平位移为x，时间为t2。竖直方向有
则可得
水平方向有
x＝v2t2
得
当l＝d﹣l时，即时，x最大，最大值为
故答案为：（1）C，（2）A，（3），，（4）D，（5）C，（6）①，②，。
▉题型9 物体在环形竖直轨道内的圆周运动
【知识点的认识】
1.模型建立
（1）轻绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳的作用下在竖直平面内做圆周运动，都是轻绳模型，如图所示。
（2）轻杆模型
小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，都是轻杆模型，如图所示。
2.模型分析
（多选）21．如图所示，一个竖直的光滑圆形管道固定在水平面上，管道内有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力可能为零
B．小球通过管道最低点时，管道对地的压力可能为零
C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能为零
D．小球通过管道最高点时，管道对地的压力可能为零
【答案】CD
【解答】解：
A、小球小球通过管道最低点时，具有向上的向心加速度，根据牛顿第二定律得知，合力向上，则管道对小球的支持力向上，由牛顿第三定律得到，小球对管道的压力向下，即小球对管道的压力不可能为零。故A错误；
B、小球小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下，管道本身还受重力，则地面对管道的支持力不可能为零，则管道对地的压力也不可能为零，故B错误；
C、小球通过管道最高点时，若小球的重力刚好提供向心力，则管道对小球的作用力为零，根据牛顿第三定律可知，小球对管道的压力为零，故C正确；
D、小球通过管道最高点时，当小球对管道向上的作用力等于管道的重力时，地面底管道的支持力为零，则管道对地的压力为零，故D正确。
故选：CD。
▉题型10 拱桥和凹桥类模型分析
【知识点的认识】
1.模型的构建
如下图所示，汽车分别经过凸形桥和凹形桥，设汽车的质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车经过桥面最高点或最低点的速度为v。
2.模型分析
22．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，内外铁轨平面与水平面夹角为θ，当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压（如图甲）；汽车通过凹形桥时速度不能过大，不然易发生交通事故（如图乙），重力加速度为g，以下说法中正确的是（ ）
A．火车过该弯道的运动半径r
B．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
C．汽车通过凹形桥的最低点时，速度越大对桥的压力越大
D．汽车通过凹形桥的最低点时，处于失重状态
【答案】C
【解答】解：AB．由题意可得，火车转弯时的向心力由重力和支持力的合力提供，则有
解得
而当火车速率大于v时，则向心力变大，则外轨将会对火车产生一个弹力的作用，即火车将挤压外轨，故AB错误；
C．汽车通过凹形桥的最低点时，设其速度为v1，桥面对汽车的支持力为FN，半径为R，汽车的质量为m1，则由牛顿第二定律可得
则汽车的速度越大，桥面对汽车的支持力FN越大，而根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力也越大，故C正确；
D．汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度竖直向上，所以汽车处于超重状态，故D错误。
故选：C。
23．弯道超速看似炫酷并体现高超车技，其实也蕴含着很大的危险，请回答下列问题：
（1）在F1赛事中，若在弯道上高速行驶的赛车车轮脱落，则脱落的车轮的运动情况是 C 。
A．仍然沿着赛车的弯道运动
B．沿着弯道的圆心方向运动
C．沿着脱离时轮子前进的切线方向运动，离开弯道
D．以上情况都有可能
（2）火车从M到N做减速运动，下面四个选项中分别画出了火车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是 C 。
A．
B．
C．
D．
（3）如图1，为了安全，弯道处的铁轨总是“外高内低”。
若不计车轮与轨道间的摩擦，列车过弯道时，如速度过大 外轨 （“内轨”或“外轨”）将受到车轮的侧向挤压。
（4）王老师质量M＝60kg，骑一辆质量m＝50kg的电动自行车上下班，若王老师上下班路上保持匀速率行驶，如图2中线路1可以看成半径为5m的圆的一部分，线路2可以看作半径为7m的圆的一部分，电动自行车与地面之间的动摩擦因数为0.5，若王老师上班和下班骑车分别选择的是这两条线路中的一条且上下班骑车线路选择不同，且均安全抵达目的地，王老师上班时骑车速度为20km/h，则王老师下班时选择的线路为 线路1 ，下班时骑车速度不应超过 5m/s 。
（5）清明节假期，王老师骑电动自行车前往家附近的公园游玩。在通过如图3半径为8m的拱桥最高点时车速为4m/s，则人和车整体对桥面的压力大小为 880N 。
【答案】（1）C；（2）C；（3）外轨；（4）线路1，5m/s；（5）880N。
【解答】解：（1）在弯道上高速行驶的赛车车轮脱落，则脱落的车轮由于失去了车身提供的指向圆心的作用力而做离心运动，运动方向沿着轮子前进的切线方向，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2）根据物体做曲线运动的受力特点，合外力方向指向曲线凹侧，减速时合外力方向与速度方向（曲线的切线方向即为该点瞬时速度的方向）的夹脚是钝角，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（3）火车在外高内低的轨道上按设计速度转弯时，依靠重力和支持力的合力提供向心力，但是运行速度超过设计速度时，重力和支持力的合力不足以提供向心力时，外轨对外轮缘产生向内的侧压力进行补充，所以外轨将受到车轮的侧向挤压；
（4）根据牛顿第二定律，王老师上班时车速v1＝20km/h＝5.56m/s，安全转弯的半径设为r1，有μ（M+m）g≥（M+m），代入数据解得r1≥6.17m，故王老师上班时选择的路线是线路2，则王老师下班时选择的线路为线路1，下班时骑车速度不应超过v2，有μ（M+m）g≥（M+m），代入r2＝5m，解得v2≤5m/s；
（5）根据牛顿第二定律，（M+m）g﹣FN＝（M+m），代入数据解得FN＝880N，根据牛顿第三定律可知，人和车整体对桥面的压力大小为FN′＝FN＝880N。
故答案为：（1）C；（2）C；（3）外轨；（4）线路1，5m/s；（5）880N。
▉题型11 近心与离心运动的意义与原因
【知识点的认识】
1．离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。如图所示：
2．近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近。如图所示：
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
24．下列关于离心现象的说法正确的是（ ）
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做匀速直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动
【答案】C
【解答】解：A、离心力是不存在的，因为它没有施力物体。所以物体不会受到离心力，故A错误。
BCD中、惯性：当物体不受力或受到的合外力为零时，物体保持静止或匀速直线运动状态。所以做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，由于惯性，物体继续保持该速度做匀速直线运动。故BD错误，C正确。
故选：C。
25．常用的家用洗衣机分为波轮式洗衣机和滚筒式洗衣机。波轮洗衣机依靠波轮正反旋转搅动水流，带动衣物相互摩擦洗净，结构简单、价格亲民、洗净比高，但衣物易缠绕、磨损稍大。滚筒洗衣机模拟棒槌捶打衣物，通过提升摔打及热水喷淋洗涤，对衣物磨损小、可洗涤多样面料，但价格高、耗时长。
（1）无论是波轮还是滚筒洗衣机，其脱水都是利用 离心 的原理，将衣服放在洗衣机的桶内，当桶高速旋转时，衣服也随之旋转，当水的附着力 小于 （填“大于”、“小于”或“等于”）圆周运动所需要的向心力时，衣服上的水滴就被甩出。
（2）波轮洗衣机洗衣时，波轮转动的角速度周期性变化，在一个周期T内角速度随时间的变化如图所示。则在0～T内波轮转过的角度θ可以表示为 。
（3）波轮洗衣机脱水时，衣服（视为质点）在竖直圆筒的内壁上随圆筒做匀速圆周运动，筒壁到转轴之间的距离为r，重力加速度为g，衣服与筒壁之间的最大静摩擦因数为0.2，若要衣服不沿着筒壁向下滑动，则脱水筒的最小转速可以表示为 。
（4）（计算）滚筒洗衣机洗衣时，需要将衣物提升后撞击滚筒内壁，具体实现方式如图所示。滚筒以恒定角速度转动，衣服（视为质点）附着在滚筒内壁上随滚筒运动，每当衣服运动到A点时，衣服从滚筒内壁上脱落。已知滚筒半径为r，A点距离滚筒底部高度h，重力加速度为g，在此问题中不考虑衣服与滚筒间相对滑动的情形，求此时滚筒的角速度ω为多少？
（5）（计算）滚筒洗衣机脱水时，滚筒高速转动，最大转速n＝1200r/min，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，若有两件衣服，质量分别记为m1和m2，位于滚筒中一条直径的两端，如图所示。洗衣机自身质量M＝70kg，m1＝0.5kg，取滚筒半径r＝25cm，若要保证脱水时洗衣机不会脱离地面，求m2的范围？（保留2位有效数字）
【答案】（1）离心，小于；（2）T；（3）滚筒的角速度ω为；（4）ω；（5）m2的范围为0.32kg≤m2≤0.68kg。
【解答】解：（1）无论是波轮还是滚筒洗衣机，其脱水都是利用离心的原理，将衣服放在洗衣机的桶内，当桶高速旋转时，衣服也随之旋转，当水的附着力小于圆周运动所需要的向心力时，衣服上的水滴就被甩出。
（2）ω﹣t图像与坐标轴所围面积表示转过的角度，所以在0～T内波轮转过的角度θ
（3）设衣服的质量为m，根据平衡条件有mg＝f，衣服随圆筒做匀速圆周运动，则有筒壁对衣服的支持力提供向心力，即，设转速为n，则ω＝2πn，其中f＝μFN，联立解得n
（4）设圆筒的半径为R，根据图中几何关系有h＝R（1+cosθ），根据牛顿第二定律，在A点有mgcosθ＝mRω2，联立解得ω
（5）n＝1200r/min＝20r/s
当m1在筒底部时，m2在顶部，m1与洗衣机之间的作用力为F1，m2与洗衣机之间的作用力为F2
对m1：
对m2：
要使洗衣机不离开地面，需满足F2≤Mg+F1
当m1在筒顶部，m2在底部，m1与洗衣机之间的作用力为F'1，m2与洗衣机之间的作用力为F'2
对m1：
对m2：
要使洗衣机不离开地面，需满足F'1≤Mg+F'2
联立解得0.32kg≤m2≤0.68kg
故答案为：（1）离心，小于；（2）T；（3）滚筒的角速度ω为；（4）ω；（5）m2的范围为0.32kg≤m2≤0.68kg。
▉题型12 离心运动的应用和防止
【知识点的认识】
离心现象在生活中非常普遍，要对其加以合理的利用和防护。
1.应用举例：
（1）洗衣机脱水：洗衣机利用离心运动将附着在衣物上的水分甩掉，通过高速旋转使衣物上的水分受到离心力作用，从而被甩出，实现脱水效果。
（2）棉花糖机：棉花糖机利用离心运动将熔化的糖汁甩出，形成丝状，冷却后形成棉花糖，这也是离心运动的一个应用。
（3）离心干燥器：离心干燥器利用高速旋转的网笼使湿物料受到离心力作用，从而将水分甩出，达到干燥的目的。
（4）离心机：在某些情况下，如甩体温计的水银柱回玻璃泡内，也是利用离心运动原理实现的。
2.防止举例：
（1）水平公路转弯限速：在水平公路上转弯时，如果速度过大，车辆会因为所需的向心力超过车轮与地面间的最大静摩擦力而做离心运动，容易造成事故。因此，需要限制速度以防止离心运动带来的危害。
（2）高速转动的砂轮防护：高速转动的砂轮如果转速过高，其内部的分子间相互作用力不足以提供所需的向心力时，砂轮会破裂。因此，需要控制砂轮的转速，并使用防护罩来防止砂轮破裂造成的伤害。
这些应用和防止措施展示了离心运动在实际生活中的重要作用，既可以利用其原理服务于日常生活，又需要注意控制条件以避免其带来的潜在风险。
26．如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（ ）
A．汽车通过凹形桥的最低点时，汽车受到的支持力大于重力
B．“水流星”表演中，通过最高点时处于完全失重状态，不受重力作用
C．铁路的转弯处，外轨比内轨高的原因是为了利用轮缘与内轨的侧压力助火车转弯
D．脱水筒的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
【答案】A
【解答】解：A．汽车通过凹形桥的最低点时，圆心在汽车的正上方，此时重力与支持力的合力提供向心力，即有
可知 FN＞mg，故A正确；
B．演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，受重力和筒底的支持力，加速度向下，处于失重状态，而当“水流星”刚好能通过最高点时，仅受重力，支持力等于零，处于完全失重状态，故B错误；
C．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，当火车按规定速度转弯时，由重力和支持力的合力完全提供向心力，从而避免轮缘对外轨的挤压，故C错误；
D．衣机脱水筒的脱水原理是：是水滴需要提供的向心力较大，水与衣物之间的粘滞力无法提供，所以做离心运动，从而沿切线方向甩出，故D错误；
故选：A。
（多选）27．关于如图所示的四种圆周运动模型，说法正确的是（ ）
A．图甲：轻质细绳一端系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点所受的合力不可能为零
B．图乙：汽车过拱桥最高点时速度越大，对桥面的压力越小
C．图丙：铁路弯道处的外轨会略高于内轨，当火车的质量改变时，规定的行驶速度也改变
D．图丁：洗衣机脱水过程中，吸附在衣服上的水所受合力大于所需向心力
【答案】AB
【解答】解：A、图甲：轻质细绳一端系一小球在竖直面内做圆周运动，因为轻绳不能支撑小球，所以小球在最高点所受的合力必须不为零，否则小球不能够做圆周运动，故A正确；
B、图乙：汽车过拱桥，在最高点，根据牛顿第二定律得，解得，由牛顿第三定律知汽车对桥面的压力大小FN′，可知汽车过凸形桥最高点时速度越大，对桥面的压力越小，故B正确；
C、图丙：火车以规定的速度经过外轨高于内轨的弯道时，受到的重力和轨道的支持力的合力恰好等于向心力时，设倾角为θ，则，解得，当火车的质量改变时，规定的行驶速度不变，故C错误；
D、吸附在衣服上的水所受合力大于所需的向心力时，水仍能随衣物一起做匀速圆周运动，要使水做离心运动，应让吸附在衣服上的水所受合力小于所需要的向心力，故D错误。
故选：AB。
▉题型13 圆周运动与平抛运动相结合的问题
【知识点的认识】
本考点旨在针对圆周运动与平抛运动相结合的问题。
（多选）28．如图所示，一位同学玩飞镖游戏．圆盘最下端有一P点，飞镖抛出时与圆盘圆心等高，且距离圆盘为L．当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准圆心O抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动．忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（ ）
A．飞镖击中P点所需的时间为
B．圆盘的半径为
C．圆盘转动角速度的最小值为
D．P点随圆盘转动的线速度可能为
【答案】AB
【解答】解：A、飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此t，故A正确；
B、飞镖击中P点时，P恰好在最下方，则rgt2，解得圆盘的半径为：r，故B正确；
C、飞镖击中P点，则P点转过的角度满足：θ＝ωt＝2kπ（k＝1、2、3……），故ω，则圆盘转动角速度的最小值为，故C错误；
D、P点随圆盘转动的线速度为：v＝ωr （k＝1、2、3……），所以P点随圆盘转动的线速度不可能为，故D错误；
故选：AB。
29．是我们童年美好回忆的一部分，是国产动画令人骄傲的作品，请回答下列有关问题：
（1）程老师和他七岁的儿子在逛街的过程中，发现了一个游戏“套圈游戏”，套中啥，就可以拿走那样东西，两元一次，程老师试了一次，套中了一个距离起点水平距离为2m的雕像，他儿子看了，也心痒痒，想把距离起点相等水平距离的雕像也套中。假设他们套圈的时候圈的运动是平抛运动，程老师抛圈的速度为2m/s，试问他女儿要将像套中，则应该 A 。（如图1）
A．大于2m/s的速度抛出
B．等于2m/s的速度抛出
C．小于2m/s的速度抛出
D．无法判断
（2）正在河对岸盗伐森林，发现后立即驾船渡河前去驱赶。若该河的河岸平直，宽度为60m，船在静水中的速度大小为5m/s，水流的速度大小为3m/s，则下列说法正确的是 BD （多选题）。
A．船不可能垂直河岸到达对岸
B．船可能垂直河岸到达对岸
C．船渡河的最短时间为20s
D．船渡河的最短时间为12s
（3）追赶盗伐森林的，与沿同一平直道路运动的x﹣t图像分别如图2中的图线A、B所示。下列说法正确的是 ACD 。
A．比先开始运动
B．与从同一位置开始运动
C．第5s末，追上
D．与运动的速度大小之比为10：3
（4）如图3所示，一小山由两个斜坡组成，左、右侧斜坡的倾角分别为53°和37°，从山顶将一石块向左水平抛出，从山顶将另一石块向右水平抛出，两石块都落在斜坡上。若、抛出的石块在空中运动的时间之比为5：3，不计空气阻力，则、抛出的石块的初速度大小之比为 15：16 。
（5）动画片《》中有这样一个情节：某天和中了设计的陷阱，被挂在了树上（如图4甲），聪明的想出了一个办法，让自己和荡起来使绳断裂从而得救，其过程可简化如图4乙所示，设悬点为O，离地高度为2L，两熊可视为质点且总质量为m，绳长为且保持不变，绳子能承受的最大张力为3mg，不计一切阻力，重力加速度为g，求：
①设和刚好在向右摆到最低点时绳子刚好断裂，则他们的落地点离O点的水平距离为多少；
②改变绳长，且两熊仍然在向右到最低点绳子刚好断裂，则绳长为多长时，他们的落地点离O点的水平距离最大，最大为多少；
③若绳长改为L，两熊在水平面内做圆锥摆运动，如图4丙，且两熊做圆锥摆运动时绳子刚好断裂，则他们落地点离O点的水平距离为多少。
【答案】（1）A；（2）BD； （3）ACD； （4）15：16；（5）①； ②绳长为L时，最大水平距离为2L； ③。
【解答】解：（1）根据平抛运动的规律可知，竖直方向h，水平方向的位移x＝vt＝v；由于程老师抛圈的速度为2m/s能够套住，他儿子的身高要低于他，要想套住必须增加水平速度；所以A正确、BCD错误；
故选：A；
（2）AB、若垂直河岸到达对岸，则v合垂直河岸，由题v船＝5m/s，v水＝3m/s，由于v船＞v水，由图可知可垂直河岸到达对岸，
故A错误，B正确；
CD、v⊥最大时，渡河时间最短，此时船头正对河岸，，故C错误，D正确。
故选：BD；
（3）A、由图可知，比早2s开始运动，故A正确；
B、由图可知，与开始运动时的距离差是5m，不是从同一位置开始运动，故B错误；
C、x﹣t图线的交点表示两个物体相遇，可知第5s末，追上，故C正确；
D、x﹣t图像的斜率表示速度，可知的速度：1m/s，的速度：，则与运动的速度大小之比为10：3，故D正确。
故选：ACD；
（4）抛出的石块做平抛运动，在水平方向与竖直方向的位移大小为：
x1＝v1t1，y1g，
根据几何关系有：
tan53°，
解得抛出的石块的初速度大小：
v1，
同理可得抛出的石块的初速度大小：
v2，
已知、抛出的石块在空中运动的时间之比为5：3，
联合解得：v1：v2＝15：16；
（5）①在最低点根据牛顿第二定律3mg﹣mg＝m
绳子断后，两熊做平抛运动，根据平抛运动的规律竖直方向上
水平距离上x＝vt
联立可得xL
②设绳长为d，则在最低点有3mg﹣mg＝m
绳子断后，两熊做平抛运动，则2L﹣d
两熊落地点离O点的水平距离为x1＝v1t1
联立可得x1，结合数学知识可得，当d＝L的时候，x1有最大值2L
③两熊做圆锥摆运动时，设绳子与竖直方向的夹角为θ时，绳子被拉断，
竖直方向有：3mgcosθ＝mg
水平方向有：3mgsinθ
此时，两熊离地面的高度为
此后，两熊做平抛运动竖直方向：
水平位移：x2＝v2t2
由几何关系：落地点到O点的水平距离
s
答：（1）A；（2）BD； （3）ACD； （4）15：16；（5）①； ②绳长为L时，最大水平距离为2L； ③。
30．如图所示，有一根细线悬挂质量m＝1kg的小球，小球在圆筒内部的水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角θ＝45°，圆筒的半径R＝0.4m，小球离圆筒底的高度为h＝5π2m，小球可看作是质点，筒内壁光滑，g＝10m/s2，求：
（1）当圆筒对小球恰好没有支持力时，小球的角速度大小；
（2）若小球以第（1）问中的角速度做匀速圆周运动，某一时刻突然剪断细线，求小球落到圆筒底面过程中转过的圈数；
（3）若小球以第（1）问中的角速度做匀速圆周运动，某一时刻剪断细线，同时对小球施加F＝20N的水平恒力，水平恒力方向与绳断瞬间小球速度方向垂直。求小球第一次击中圆筒内壁时位移大小。
【答案】（1）当圆筒对小球恰好没有支持力时，小球的角速度大小为5rad/s；
（2）小球落到圆筒底面过程中转过的圈数为圈；
（3）小球第一次击中圆筒内壁时位移大小为0.6m。
【解答】解：（1）分析小球的受力情况如下图所示：
由重力mg与细线的拉力T的合力提供向心力，设此时小球的角速度大小为ω，根据牛顿第二定律得：
mgtanθ＝mω2R
解得：
（2）细绳断后小球在竖直方向的分运动为自由落体运动，设小球落到圆筒底面所需时间为t，由运动学公式得：
解得：t＝πs
小球在水平面内的分运动为匀速圆周运动，其周期为：T
可得小球落到圆筒底面过程中转过的圈数为：
解得：n圈
（3）施加水平恒力F后小球在水平面内的分运动为类平抛运动，设小球第一次击中圆筒内壁所需时间为t1。小球在水平面内的分运动轨迹如下图所示：
由运动学公式得：
x
y＝vt1
其中：v＝ωR＝5×0.4m/s＝2m/s
根据牛顿第二定律得：F＝ma
由几何关系得：（x﹣R）2+y2＝R2
联立解得：t1＝0.2s，y＝0.4m，x＝0.4m
可得在水平面内的位移大小为：
解得：
在t1＝0.2s内小球下落的距离为：
解得：h1＝0.2m
设小球第一次击中圆筒内壁时位移大小为L，由几何关系得：
解得：L＝0.6m
答：（1）当圆筒对小球恰好没有支持力时，小球的角速度大小为5rad/s；
（2）小球落到圆筒底面过程中转过的圈数为圈；
（3）小球第一次击中圆筒内壁时位移大小为0.6m。
