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三角形的证明 单元综合复习提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问该八边形的内角和是多少度？（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，∠B=90°，以C为圆心适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点P，作射线CP交AB于点D，已知BD=3，AC=8，则的面积为（ ）
A．12 B．24 C．16 D．8
4．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．100° B．130° C．150° D．160°
6．如图，△ABC≌△DBE，点E在AC边上，AB和DE相交于点O．若∠ABD=42°，则∠BED的度数是（ ）
A．42° B．58° C．69° D．79°
7． 如图，在锐角三角形 ABC 中，AB =AC，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB，EC.若∠EBC=45°，BC=6，则△EBC 的面积是 ( )
A．12 B．9 C．6 D．3
8．如图，直线，直线c交直线a于点A，交直线b于点B，直线c，若，则的度数为（ ）
A．100° B．120° C．130° D．160°
9．如图，在四边形中，，，交的延长线于点M，交的延长线于点N．若，，则常数k的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在Rt中，.以为圆心，AM的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N.再分别以M，N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP，并延长AP交BC于点.过点作于点，垂足为，则DE的长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则 ．
12．如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E；如果△ABC的边长是12，则AE= ；
13．如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC=AD，连接BD，若∠DBC=41°，∠CAD= °.
14．如图，在 中， ， 平分 ， 于D．如果 ，那么 等于 ．
15．如图，在△ABC中，∠B=40°，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CE平分∠ACB，则∠A= °．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝ .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在河岸两侧的，两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点所在河岸一侧的平地上取一点，使点，，在一条直线上，另取点，使得，然后测得，，在的延长线上取一点，使得，量得．
（1）求的度数
（2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？
18．如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上．
（1）若，，求线段的长．
（2）连接，若，，求的度数．
19．如图，在五边形中，平分，且，交于点．
（1）五边形的内角和为______度；
（2）若，求的度数．
20．如图，在 中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接．
（1）若 求 的度数；
（2）若的周长为， 求的周长．
21． 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
22．如图，在中，，的一个动点，作点关于的对称点，，交直线于点．
（1）若，，是边上的高线．
①求线段的长；
②当，求线段的长；
（2）在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
23．如图，在△ABC中，AB=AC ，点D在边BC上(点D不与点B，点C重合)，作∠ADE=∠B，DE交边AC于点E．
（1）求证：∠BAD=∠CDE；
（2）若DC=AB，求证：△ABD≌△DCE ；
（3）当∠B=50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数．
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三角形的证明 单元综合复习提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：∵三角形三个内角度数分别为：2：3：4，
∴三个内角分别是 ，
所以该三角形是锐角三角形，
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状.
2．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问该八边形的内角和是多少度？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：（8-2）×180°=1080°。
故答案为：C。
【分析】利用多边形内角和公式计算出八边形的内角和即可得出答案。
3．如图，中，∠B=90°，以C为圆心适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点P，作射线CP交AB于点D，已知BD=3，AC=8，则的面积为（ ）
A．12 B．24 C．16 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥AC于点G，
由作图可知CD平分∠ACB，
∵∠B=90°即BD⊥CB，
∴DG=BD=3，
∴S△ADC=AC·DG=×8×3=12.
故答案为：A
【分析】过点D作DG⊥AC于点G，由作图可知CD平分∠ACB，利用角平分线的性质可求出DG的长，然后利用三角形的面积公式求出△ADC的面积.
4．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】由等边对等角得出∠ACB=∠B=72°，然后根据角平分线的定义得出∠ACD=36°，最后根据二直线平行，内错角相等得出∠CDE的度数.
5．如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．100° B．130° C．150° D．160°
【答案】B
【解析】【解答】解： 、 的平分线 、 交于点 ， ， ，
， ，
．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的性质及三角形的内角和求解即可。
6．如图，△ABC≌△DBE，点E在AC边上，AB和DE相交于点O．若∠ABD=42°，则∠BED的度数是（ ）
A．42° B．58° C．69° D．79°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠C=∠BED.
∴∠C=∠BED.
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，∠DBE= ∠DBA+ ∠ABE，
∴∠ABE+∠CBE=∠DBA+ ∠ABE.
∴∠CBE=∠ABD=42°，
∴∠C=，
∴∠BED=69°.
故答案为：C.
【分析】先利用全等三角形的性质说明∠C=∠BED，接着利用“在同一个三角形中，等边对等角”和三角形内角和定理求得∠C即可.
7． 如图，在锐角三角形 ABC 中，AB =AC，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB，EC.若∠EBC=45°，BC=6，则△EBC 的面积是 ( )
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB=AC， AD平分∠BAC，
∵∠EBC = 45°，
∴∠BED=90°-∠EBC =45°，
∴∠EBC=∠BED =45°，
∴DB=DE = 3，
∴△EBC的面积
故选： B.
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得BD=CD=3， ∠ADB=90°， 从而可得∠EBC =∠BED=45°， 进而可得DB=DE=3， 然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答.
8．如图，直线，直线c交直线a于点A，交直线b于点B，直线c，若，则的度数为（ ）
A．100° B．120° C．130° D．160°
【答案】C
【解析】【解答】∵CD⊥直线c
∴∠ACD＝90°，
∴∠ABD＝∠ACD-∠1＝90°-40°＝50°
∵
∴＝180°-∠ABD＝180°-50°＝130°
故答案为：C
【分析】根据CD⊥直线c，得到∠ACD＝90°，利用三角形的外角可求得∠ABD的度数，再根据a∥b可得到∠2的度数．
9．如图，在四边形中，，，交的延长线于点M，交的延长线于点N．若，，则常数k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：延长至点E，连接，使得，延长交于点F，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可证：，，
∴，
∵，
∴设，
设，
则，
∵，，，
∴，
∴，
即： ，
解得： ，
∴．
故答案为：B．
【分析】延长AD至点E，连接CE，使得∠E=60°，延长EC和AB，相交于点F，证明出，，，利用全等三角形的性质，找出线段之间的关系，最后列方程组求解即可．
10．在Rt中，.以为圆心，AM的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N.再分别以M，N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP，并延长AP交BC于点.过点作于点，垂足为，则DE的长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：因为AD是∠BAC的平分线， ， 于点，
所以BD=DE.又AD为△ABD与△ADE的公共边，所以△ABD≌△ADE(HL).
所以AB=AE.因为AB=8，AC=10，所以CE=AC-AE=2.
在Rt△ABC中，AB=8，AC=10，所以BC=6，.
设DE=x，则CD=6-x，所以，解得x= .
故答案为：A.
【分析】先利用角平分线的性质说明BD=DE，设DE为x，利用勾股定理求得BC，用x表示出CD，再在Rt△CDE中用勾股定理，列出关于x方程求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵是的平分线，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
故答案为：4．
【分析】本题考查角平分线的性质和含角直角三角形的性质。过作于，因为是的平分线，且、，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得；在中，、，故，而（对顶角相等），因此；在中，角对的直角边是斜边的一半，即，故。
12．如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E；如果△ABC的边长是12，则AE= ；
【答案】3
【解析】【解答】∵等边△ABC
∴∠A=60°
∵EF⊥AC
∴∠AFE=30°
∴AE= AF= AB=3，故答案为3.
【分析】由等边三角形的性质可得∠A=60°，利用垂直的定义及三角形内角和求出∠AFE=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解.
13．如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC=AD，连接BD，若∠DBC=41°，∠CAD= °.
【答案】82°
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°
∵AC=AD，∠DBC=41°
∴AB= AD，∠ABD=∠ABC－∠DBC=19°
∴∠ADB=∠ABD=19°
∴∠BAD=180°－∠ADB－∠ABD=142°
∴∠CAD=∠BAD－∠BAC=82°
故答案为：82°.
【分析】根据等边三角形的性质可得：AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，从而求出∠ABD的度数，然后根据已知条件可得：AB= AD，根据等边对等角即可得：∠ADB=∠ABD，利用三角形的内角和即可求出∠BAD，从而求出∠CAD的度数.
14．如图，在 中， ， 平分 ， 于D．如果 ，那么 等于 ．
【答案】10cm
【解析】【解答】解：∵ 平分 ， ，
∴DE=CE
∴AE+DE=AE+CE=AC=10cm
故答案为：10cm
【分析】根据角平分线的性质可得DE=EC，因此AE+DE=AE+CE=AC。
15．如图，在△ABC中，∠B=40°，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CE平分∠ACB，则∠A= °．
【答案】60
【解析】【解答】解：∵E在线段BC的垂直平分线上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACD=2∠ECB=80°，
又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=180° ∠B ∠ACB=60°，
故答案为：60.
【分析】根据垂直平分线性质可得BE=CE，根据角平分线判定定理可得CE平分∠ACB，则∠ACD=2∠ECB=80°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝ .
【答案】105°
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的一条角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠ADB=180°-30°-45°=105°.
故答案为：105°.
【分析】由角平分线的概念可得∠BAD=30°，然后在△ABD中，利用内角和定理进行求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在河岸两侧的，两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点所在河岸一侧的平地上取一点，使点，，在一条直线上，另取点，使得，然后测得，，在的延长线上取一点，使得，量得．
（1）求的度数
（2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？
【答案】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
∴．
∴这两个电线塔之间的距离是．
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）∵，，
∴．
（2）∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
∴．
∴这两个电线塔之间的距离是．
18．如图，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上．
（1）若，，求线段的长．
（2）连接，若，，求的度数．
【答案】（1）解：将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，
，，
；
（2）解：如图，连接，
，，
，
，
，
＝
．
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接，根据三角形内角和定理可得∠ABC，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，
，，
；
（2）解：如图，连接，
，，
，
，
，
＝
．
19．如图，在五边形中，平分，且，交于点．
（1）五边形的内角和为______度；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）540
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
【解析】【解答】（1）解：五边形的内角和为
故答案为：540
【分析】（1）利用多边形内角和公式（为边数 ），代入计算.
（2）先由和的度数，利用平行线同旁内角互补求；再由角平分线得；最后根据五边形内角和，结合已知、度数，求出 .
（1）解：五边形的内角和为；
故答案为：540；
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
20．如图，在 中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接．
（1）若 求 的度数；
（2）若的周长为， 求的周长．
【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，的周长为，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
【解析】【解析】（1）由于线段DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，因此。结合△ABC是等腰三角形，可求出的度数，进而得到结果。
（2）由题意可知△ABC是等腰三角形，因此。由于DE垂直平分AB，所以，进一步计算即可求解。
（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，的周长为，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
21． 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。
22．如图，在中，，的一个动点，作点关于的对称点，，交直线于点．
（1）若，，是边上的高线．
①求线段的长；
②当，求线段的长；
（2）在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】（1）解：①如图，过点作，
在中，，，
，
是边上的高线，
，
即，
解得：；
②根据题意，如图所示：
点关于对称点为，
，
由①知，
则，
（2）或
【解析】【解答】（3）①如图所示，当时，是等腰三角形，
点关于对称点为，
，
，
，
②如图所示，当时，是等腰三角形，
点关于对称点为，
，
，
③当时，是等腰三角形，
点关于对称点为，
，
是的一个外角，
，
即（舍弃），
综上所述，在的情况下，或．
【分析】（1）①先由勾股定理求出斜边AB，再利用等面积法求出CE即可；
②当时点Q、E重合，则由对称的性质知，此时，又，则；
（2）由等腰三角形的概念可分三种情况进行讨论，即：①、②、③，再根据条件分别利用等腰三角形的性质、内角和定理及三角形的外角性质进行计算即可．
（1）解：①如图，过点作，
在中，，，
，
是边上的高线，
，
即，
解得：；
②根据题意，如图所示：
点关于对称点为，
，
由①知，
则，
；
（2）如图所示：
由是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；
①当时，
点关于对称点为，
，
在中，，
'是的一个外角，
，
即；
②当时，
点关于对称点为，
，
在中，，
是的一个外角，
，
即；
③当时，
点关于对称点为，
，
是的一个外角，
，
即（舍弃），
综上所述，在的情况下，或．
23．如图，在△ABC中，AB=AC ，点D在边BC上(点D不与点B，点C重合)，作∠ADE=∠B，DE交边AC于点E．
（1）求证：∠BAD=∠CDE；
（2）若DC=AB，求证：△ABD≌△DCE ；
（3）当∠B=50°，且△ADE是等腰三角形时，直接写出∠BDA的度数．
【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠B，∠BAD+∠B=∠ADC，∠CDE+∠ADE=∠ADC，
∴∠BAD=∠CDE ；
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE (SAS)；
（3）解：当∠BDA的度数为115或100°时，△ADE是等腰三角形．
【解析】【解答】解：（3）∵∠B=∠C=50，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC= 180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°，
分三种情况讨论：
当DA=DE时，∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=∠B=50°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°，
∴∠DAE=(180°-50°)÷2=65°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-65°=15°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°- 50°-15°=115° ；
当AD=AE时，∠AED=∠ADE = 50° ，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE= 180°，
∴∠DAE =180°-∠AED-∠ADE=180°-50°-50°=80°，
∵∠BAC= 80°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴点D与点B重合，不合题意．
当EA=ED时，∠DAE=∠ADE= 50°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-50°=30°，
∵∠B+∠BAD+∠BD4= 180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100° ，
综上所述，当∠BDA的度数为115或100°时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据三角形外角性质及角的和差可求证；
（2）根据SAS求证；
（3） △ADE是等腰三角形 ，需分三种情况，DA=DE，AD=AE，EA=ED，分情况讨论得出答案.
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