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第二十八章 锐角三角函数 单元综合测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
2．如图，第一象限的点P的坐标是(3，4)，则tan 等于（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则边长为（ ）
A．7 B．8 C．7或17 D．8或17
4．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点30m的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB=65°，则这幢大楼的高度为（ ）m．
A．30 sin65° B． C．30 tan65° D．
5．如图， 在△ABC中，∠BAC=90°， AB=20， AC=15， △ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠ABC的值（ ）
A． B．1 C． D．
7．在Rt ABC中，∠C= ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．8 mm B．16mm C．8 mm D．4mm
9．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ）
A．500 sinα米 B．米
C．500 cosα米 D．米
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△BDE∽△DPE；② = ；③DP2=PH PB；④tan∠DBE=2﹣ ．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为
12．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB的长是 ．
13．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 km．
14．在△ABC中，∠A＝45°，AB＝ ，∠ABC＝75°．则BC长为 ．
15．如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的长度是 米．
16．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方向时，轮船与灯塔P的距离是 n mile． (结果保留一位小数，≈1.73)
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算 .
18．如图，是湘江段江北岸滨江路一段，长度为，C为南岸一渡口.为了解决两岸交通困难，在渡口C处架桥，垂足为点D.经测量点C在A点的东偏南45°方向，在B点的西偏南60°方向.问：桥长为多少？（结果精确到0.01，参考数据：，.）
19．美丽的甬江宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在甬江岸边的A， B两点处，利用测角仪分别对西岸的一观景亭D进行测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°，若AB=114米，求观景亭D到甬江岸边AC的距离约为多少米？
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
20．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行.“远航”号沿北偏东方向航行，每小时航行16海里；“海天”号沿北偏西方向航行，每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，求此时两轮船相距多少海里？
21．如图，某校有一教学楼AB，其上有一避雷针AC为7米，教学楼后面有一小山，其坡度为i＝ ：1，山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学搂的水平距离BF为19米，与休息亭的距离FE为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°，求教学搂AB的高度．（结果保留根号）（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
22．张明是某社区管理员，他在一楼房前点A处垂直升空一无人机巡查小区，当无人机升高到离地面100米的点D处时，以5米每秒的速度沿方向飞行，已知点A观察楼顶C的仰角是，问自D点飞行多少秒时无人机刚好离开张明的视线？参考数据：
23．如图1，已知点A、O在直线l上，且，于O点，且，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，于A，且．向右沿直线l平移得到，设平移距离为x．
（1）若的边经过点D，则平移的距离______；
（2）如图2，若截半圆E得到的的长为，求的度数；
（3）当的边与半圆E相切时，直接写出x的值．
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第二十八章 锐角三角函数 单元综合测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，
∴，
∴，
线段扫过的图形为扇形，此扇形的半径为，
∴，
故选：D．
【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，半径为4，需求出圆心角∠BCA’在Rt△BCA’中，BC=2，CA=4，求出利用即可求出CA扫过的面积。
2．如图，第一象限的点P的坐标是(3，4)，则tan 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】因为第一象限的点P的坐标是（3，4），
所以tan∠POx= ．
故答案为：B．
【分析】根据三角函数的定义和点P的坐标，直接写出tan∠POx的值.
3．在中，，则边长为（ ）
A．7 B．8 C．7或17 D．8或17
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
如图，当是钝角三角形时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，当是锐角三角形时，
．
故答案为：C．
【分析】分两种情况：①当是钝角三角形时，②当是锐角三角形时，再分别画出图形并求解即可。
4．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点30m的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB=65°，则这幢大楼的高度为（ ）m．
A．30 sin65° B． C．30 tan65° D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，∠A=65°，AO=30m，
∴tan65°=，
∴BO=30 tan65°．
故选C．
【分析】利用正切函数的定义tan∠BAO=即可解决．
5．如图， 在△ABC中，∠BAC=90°， AB=20， AC=15， △ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 在△ABC中
∵AD是高
∴
∴25AD=20×15
解之：AD=12.
在Rt△ADC中，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠ECD
∴tan∠ACF=tan∠ECD
∴即
∴.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据直角三角形的两个面积公式就可求出AD的长，利用勾股定理求出DC的长，然后利用角平分线的定义，可得到tan∠ACF=tan∠ECD，然后利用锐角三角函数的定义，就可求出DE与AF的比值。
6．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠ABC的值（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AC，
AC＝，BC＝，AB＝，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠ABC＝；
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据勾股定理可得AC＝，BC＝，AB＝，则AC2+BC2=AB2，推出△ABC是直角三角形，然后根据三角函数的概念进行计算.
7．在Rt ABC中，∠C= ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设BC=5x，AB=13x，
∴，
∴tan∠B==.
故答案为：D.
【分析】首先由已知条件可设BC=5x，AB=13x，然后由勾股定理求出AC，最后根据tan∠B=计算即可.
8．如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．8 mm B．16mm C．8 mm D．4mm
【答案】C
【解析】【解答】解：设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，如图所示：
∴∠AOB=∠BOC=60°，OA=OB=OC
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，AM=CM，
∵AB=8mm，∠AOB=60°，
∴sin∠AOB= ，
∴AM= （mm），
∴AC=2AM=8 （mm）.
故答案为：C.
【分析】设正六边形中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，由正六边形性质可∠AOB=∠BOC=60°，OA=OB=OC，推出四边形ABCO是菱形，由菱形的性质可得AC⊥OB，AM=CM，根据∠AOB的正弦函数求出AM，据此可得AC的值.
9．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ）
A．500 sinα米 B．米
C．500 cosα米 D．米
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，∠A=α，AE=500．
则EF=500sinα．
故选A．
【分析】根据题意画出图形，再利用坡角的正弦值即可求解．
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△BDE∽△DPE；② = ；③DP2=PH PB；④tan∠DBE=2﹣ ．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC﹣∠HBC=60°﹣45°=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴ = = = ，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴ = ，
∴PD2=PH CD，
∵PB=CD，
∴PD2=PH PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PB sin60°=4× =2 ，PM=PC sin30°=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM= = =2﹣ ，故④正确；
故答案为：①③④．
【分析】根据等边三角形的性质及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，从而根据等腰三角形的性质得出∠CPD=∠CDP=75°从而证得∠PDE=∠PBD=15°，从而得出△BDE∽△DPE；
由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，从而判断出△DFP∽△BPH，根据相似三角形对应边成比例得出 结论；
由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，从而判断出△DPH∽△CDP，根据相似三角形对应边成比例得出=，又PB=CD，从而得出PD2=PH PB；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，求得∠PCD=30°，根据锐角三角函数南湖的定义得到CM=PN=PB sin60°，PM=PC sin30°，由平行线的性质得到∠EDP=∠DPM，等量代换得到∠DBE=∠DPM，于是得到tan∠DBE=tan∠DPM，从而得出答案。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为
【答案】6
【解析】【解答】解：∵AB=10，cosB=，
∴BC=10×=8，
∴AC==6，
故答案为：6．
【分析】首先根据三角函数值计算出BC长，再利用勾股定理可计算出AC长．
12．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB的长是 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，
∴sinA= ，即 = ，
解得：AB=8，
故答案为：8
【分析】利用锐角三角函数定义求出所求即可．
13．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 km．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，
∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=6，
∴AD= OA=3．
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，
∴BD=AD=3，
∴AB= AD=3 ．即该船航行的距离（即AB的长）为3 km．
故答案为：3 ．
【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD= OA=3，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=3，则AB= AD=3 ．
14．在△ABC中，∠A＝45°，AB＝ ，∠ABC＝75°．则BC长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝45°，AB＝ ，∠ABC＝75°
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=60°
过点B作BD⊥AC
在Rt△ABD中，
∴ ，解得
在Rt△BDC中，
∴ ，解得BC=4
故答案为：4．
【分析】利用三角形内角和定理可求∠C的值，过点B作BD⊥AC，进而根据正弦定理求得BD，BC的值．
15．如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的长度是 米．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵迎水坡的坡比，
∴
∵堤高米，
∴米，
∴米，
故答案为：．
【分析】利用坡比的定义可得，求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
16．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方向时，轮船与灯塔P的距离是 n mile． (结果保留一位小数，≈1.73)
【答案】20.8
【解析】【解答】解：如图，过点P作PH⊥AB于H，则∠AHP=90°，则 轮船到达灯塔P的正南方向时， 轮船与灯塔P的距离为PH
由题知：∠APH=60°，∠BPH=30°，AB=24
∴ ∠PAH=30°，∠PBH=60°
在Rt中，tan∠PBH=tan60°=
∴ PH=BH
在Rt中，tan∠PAH=tan30°=
∴ PH=
∴BH=
解得BH=12
则PH=12≈20.8
则轮船与灯塔的距离约为20.8n mile.
故答案为：20.8.
【分析】本题考查解直角三角形--方位角，找出直角三角形中角度与长度的关系，是解题关键。过点P作PH⊥AB于H，则∠AHP=90°，∠PAH=30°，∠PBH=60°，根据tan∠PBH=；tan∠PAH=得BH，可得PH，即可知轮船与灯塔P的距离.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算 .
【答案】解：∵ ， ， ，
∴原式
【解析】【分析】先算乘方运算同时担任特殊角的三角函数值和化简绝对值，再算乘法运算，然后合并即可.
18．如图，是湘江段江北岸滨江路一段，长度为，C为南岸一渡口.为了解决两岸交通困难，在渡口C处架桥，垂足为点D.经测量点C在A点的东偏南45°方向，在B点的西偏南60°方向.问：桥长为多少？（结果精确到0.01，参考数据：，.）
【答案】解：设，
由题意得，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：的长约为.
【解析】【分析】设CD=xkm，在直角三角形ACD中，由锐角三角函数tanA=可将AD用含x的代数式表示出来，在直角三角形BCD中，由锐角三角函数tan∠BCD=可将BD用含x的代数式表示出来，然后由线段的构成AB=AD+BD可得关于x的方程，解方程可求解.
19．美丽的甬江宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在甬江岸边的A， B两点处，利用测角仪分别对西岸的一观景亭D进行测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°，若AB=114米，求观景亭D到甬江岸边AC的距离约为多少米？
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【答案】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，
在Rt△DEB中，tan∠DBE= ，
∵∠DBC=65°，
∴DE=xtan65°．
又∵∠DAC=45°，
∴AE=DE．
∴114+x=xtan65°，
∴解得x≈100，
∴DE≈214（米）．∴观景亭D到甬江岸边AC的距离约为214米．
【解析】【分析】
过点D作DE⊥AC，垂足为E，解直角三角形BED可把DE用含BE的代数式表示，根据等角对等边可得AE=DE=AB+BE，于是可得关于BE的方程，解方程可求得BE的值，则DE=AB可求解。
20．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行.“远航”号沿北偏东方向航行，每小时航行16海里；“海天”号沿北偏西方向航行，每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，求此时两轮船相距多少海里？
【答案】解：由题意，，，
∴，即为直角三角形，
一个半小时后，（海里），（海里），
∴在中，（海里），
∴此时两轮船相距30海里.
【解析】【分析】由题意可得：∠SPQ=60°，∠RPS=30°，则∠RPQ=90°，推出△RPQ为直角三角形，根据速度×时间=路程可得PR、PQ，然后利用勾股定理进行计算.
21．如图，某校有一教学楼AB，其上有一避雷针AC为7米，教学楼后面有一小山，其坡度为i＝ ：1，山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学搂的水平距离BF为19米，与休息亭的距离FE为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°，求教学搂AB的高度．（结果保留根号）（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
【答案】解：如图作EN⊥BF，EM⊥BC垂足分别为N、M．
在Rt△EFN中，∵∠ENF＝90°，EF＝10，EN：FN＝ ，
∴tan∠EFN＝ ，
∴∠EFN＝60°，
∴FN＝ EF＝5，EN＝ FN＝5 ，
∵∠MBN＝∠EMB＝∠ENB＝90°，
∴四边形MENB是矩形，
∴BM＝EN＝5 ，ME＝BN＝BF+FN＝24，
在Rt△CME中，∠CME＝90°，ME＝24，∠CEM＝30°，
∴CM＝ME tan30°＝24× ，
∴AM＝CM﹣AC＝8 ﹣7，
∴AB＝AM+BM＝8 ﹣7+5 ＝（13 ﹣7）m．
∴教学搂AB的高度为（13 ﹣7）m．
【解析】【分析】如图作EN⊥BF，EM⊥BC垂足分别为N、M．在Rt△EFN中，求出EN、FN，在Rt△CME中，求出CM即可。
22．张明是某社区管理员，他在一楼房前点A处垂直升空一无人机巡查小区，当无人机升高到离地面100米的点D处时，以5米每秒的速度沿方向飞行，已知点A观察楼顶C的仰角是，问自D点飞行多少秒时无人机刚好离开张明的视线？参考数据：
【答案】解：如图，过点D作，交AC延长线于点E
当飞行到E点时无人机刚好离开张明的视线
由题意得，
在中，
米
秒
答：自D点飞行27.4秒时无人机刚好离开张明的视线．
【解析】【分析】过点D作，交AC延长线于点E，先利用解直角三角形的方法求出DE的长，再利用“时间=路程÷速度”的公式求解即可。
23．如图1，已知点A、O在直线l上，且，于O点，且，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，于A，且．向右沿直线l平移得到，设平移距离为x．
（1）若的边经过点D，则平移的距离______；
（2）如图2，若截半圆E得到的的长为，求的度数；
（3）当的边与半圆E相切时，直接写出x的值．
【答案】（1）
（2）解：连接、、，如图2所示，
则半圆E的半径，
设，
∵截半圆E的的长为，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴.
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）或
【解析】【解答】（1）解：如图1，
由平移性质得，
∵，，
∴，
∴平移距离，
故答案为：；
（3）解：根据题意，分两种情况：
当的边与半圆E相切时，如图3，
设切点为P，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离；
当的边与半圆E相切时，如图4，
设切点为P，连接并延长交l于N，则，
∵，，
∴，又，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离，
综上，平移的距离x的值为或．
【分析】（1）根据平移性质可得，解直角三角形即可求出答案.
（2）连接、、，则半圆E的半径，设，根据弧长公式建立方程，解方程可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据直线平行判定定理可得，则，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当的边与半圆E相切时，设切点为P，连接，则，根据含30°角的直角三角形性质可得∠PA'E=30°，解直角三角形可得A'O，再根据平移的性质即可求出答案；当的边与半圆E相切时，设切点为P，连接并延长交l于N，则，根据角之间的关系可得∠OEP，解直角三角形可得EN，根据边之间的关系可得PN，再根据含30°角的直角三角形性质可得A'N，再根据边之间的关系可得A'O，再根据平移性质即可求出答案.
（1）解：如图1，
由平移性质得，
∵，，
∴，
∴平移距离，
故答案为：；
（2）解：连接、、，如图2所示，
则半圆E的半径，
设，
∵截半圆E的的长为，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴.
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：根据题意，分两种情况：
当的边与半圆E相切时，如图3，
设切点为P，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离；
当的边与半圆E相切时，如图4，
设切点为P，连接并延长交l于N，则，
∵，，
∴，又，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离，
综上，平移的距离x的值为或．
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