福建省厦门市集美中学高中105组2025-2026学年高二下学期数学练习（第2周）(周测)试卷(含解析)

集美中学高中 105 组高二(下)数学练习(第 2 周)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 下列等式中不成立的是( )
A. B.
C. D.
2. 整数 3528 有( )个不同的正因数.
A. 10 B. 12 C. 36 D. 40
3. 甲、乙、丙、丁、戊、己共 6 个班参加元旦合唱比赛，决出第 1 名到第 6 名的名次. 甲、 乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说:“很遗憾，你们班和乙班都不是第 1 名. "对乙班学生说:“你们班当然不会是最后 1 名, "从这两个回答分析, 6 个班的名次排列可能的不同情况种数为( )
A. 480 B. 384 C. 360 D. 288
4. 某晚会由 4 个歌舞节目和 2 个机器人表演节目组成, 若要求机器人表演节目不能相邻出演且前 3 个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有( )种.
A. 216 B. 360 C. 432 D. 672
5. 已知 1、2、3、4、5、6、7、8 八个数字组成一个八位数(各位数字不重复)，满足任意相邻数字奇偶性不同,且 5、6 两个数字相邻,则这样的八位数有( )个.
A. 432 B. 257 C. 282 D. 504
6. 某次市运会跳水项目的预赛中有 6 名参赛选手,其中 校有 3 名, 校有 2 名, 校有 1 名. 现要求 校 2 名选手的出场均不能和 校选手的出场相邻,则这 6 名选手不同出场顺序的种数为( )
A. 144 B. 288 C. 360 D. 432
7. 《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味. 若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、 《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面， 《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后, 则后六场的排法有 ( )
A. 720 种 B. 360 种 C. 288 种 D. 144 种
8. 从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行“深度学习与复习”座谈, 会议室的圆桌正有好有六个座位, 则同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.(多选)已知下列问题，其中是排列问题的有( )
A. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
B. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C. 从 四个字母中取出 2 个字母
D. 从1,2,3,4四个数字中取出 2 个数字组成一个两位数
10. 下列说法正确的有( )
A. 某商场共有 5 层, 每层均有两个楼梯, 小明从一楼上到五楼可能的走法有 32 种
B. 用0,1,2,3,4,5，6 这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 105 个
C. 现有 5 个相同的球和 5 个编号为 1,2,3,4,5 的不同的盒子,把球全部放入盒子内, 恰有一个空盒的放法有 20 种
D. 把英文单词 sorry 的字母顺序写错，可能出现的错误共有 59 种
11. 用数中0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是( )
A. 可以组成 300 个四位数
B. 可以组成 180 个四位偶数
C. 可以组成 96 个能被 3 整除的四位数
D. 将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第 85 个数为 2310
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ,则 的个位数字是_____.
13. 如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图， 现用 4 种不同颜色给图中的 5 个区域涂色, 要求相邻的区域不能涂同一种颜色, 则不同的涂色方法共有_____种.
14. 从 这 21 个整数中任选两个不同的整数 ,其中使得 的个位上的数字为 9 的有序数组 的个数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知圆 过点 ， ，且圆心在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)求过点 且与圆 相切的直线方程.
16. 已知 是公比大于 1 的等比数列， ，且 ， 成等差数列，数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
17. 如图,在四棱锥 中, 平面 , 为 的中点,点 在 上,且 是线段 上一动点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)当 四点共面时,求直线 与平面 所成角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系 中,设 ,直线 相交于点 ,
且它们的斜率之积是 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线与 交于 两点，
① 求 面积的最大值；
②若 是线段 上异于 的一点，且满足 ，证明: .
19. 已知递增数列 的前 项和为 ， ，数列 具有性质 :对任意的 ，当 时, 与 两数中至少有一个是集合 中的项.
(1)若数列 单调递增且具有性质 ，求 ；
(2)证明: ;
(3)若数列 单调递增且具有性质 . 已知 ，求 .
1. B
对于 正确;
对于 ,当 时, 错误;
对于 正确;
对于 正确.
故选: B
2. C
, 3528 的正因数必为 的形式,
所以 3528 共有 个不同的正因数.
故选: C
3. B
分步乘法计数原理, 分三步完成.
第 1 名只能是丙、丁、戊、己这 4 个班, 有 4 种可能;
乙班的名次只可能是第2,3,4,5名,有 4 种可能;
剩余 4 个班的名次有 种可能.
所以 6 个班的名次排列有 种不同情况.
故选: B
4. C
步骤 1: 先排 4 个歌舞节目: ,排好后会产生 5 个空位 (包括两端);
步骤 2: 将 2 个机器人节目插入空位: ;
步骤 3:排除“前 3 个节目全是歌舞”的情况:先从 4 个歌舞节目中选 3 个排在前 3 个位置，
有 种方法,
剩下的 1 个歌舞节目和 2 个机器人节目排在后 3 个位置, 且机器人节目不相邻, 只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列,
有 种方法. 故不满足条件的情况有 .
故总数为:
故选: C
5. D
第一步: 把 奇偶数相间而排,共有 种,
第二步:再把 5、6 两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶，
所以插入后奇数旁边放 6，偶数旁边放 5，则这 7 个空共有 种排法，
根据分步计数乘法原理可得: 这样的八位数有 个,
故选: D.
6. B
记 校 2 名选手分别为甲、乙,
记事件 : 甲与 校选手的出场相邻,事件 :乙与 校选手的出场相邻,如下图所示:
事件 为: 校选手的两边为甲和乙,
则满足题意的排法种数为
种.
故选: B.
7. D
根据题意分 2 步进行分析:
①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的 4 首诗词全排列，则有 种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这 4 首诗词的排法有 种；
②这 4 首诗词排好后，不含最后有 4 个空位，在 4 个空位中任选 2 个，
安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有 种安排方法；
则后六场的排法有 种.
故选: D
8. C
由题意可知, 个元素圆桌环形排列的所有情况为 ,故所有的情况数是 种,
同一班级的两名同学恰好排在一起相邻而坐的情况数为:首先三个班的两名同学捆绑，形成新的三个元素,环排共有 种,
又每个班两名同学可以排序,则有 种,同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为 .
故选: C.
9. AD
选项 A 是排列问题, 因为两名同学参加的活动与顺序有关;
选项 B 不是排列问题, 因为两名同学参加的活动与顺序无关;
选项C 不是排列问题, 因为取出的两个字母与顺序无关;
选项 D 是排列问题, 因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列.
故选: AD
10. BCD
对于选项 A: 每层均有 2 种选择,从一楼上到五楼可能的走法有 种,故 错误;
对于选项 B:若个位为 0，偶数共有 个；
若个位不为 0,偶数共有 个;
综上所述: 偶数共有 个,故 正确;
对于选项 : 若恰有一个空盒,则一个盒子有 2 个球,所以放法有 种,故 正确;
对于选项 D:由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题
五个字母进行全排列共有 种结果,
字母中包含 2 个 ,则五个字母进行全排列的结果要除以 2,共有 60 种结果,
在这 60 种结果里有一个是正确的,
所以可能出现的错误的种数是 ,故 D 正确;
故选: BCD.
11. AC
对于 ,先从1,2,3,4,5五个数字中选出 1 个放在千位上,有 种选择, 再从添上 0 后的剩余 5 个数中选出 4 个,放在百位,十位和个位上,有 种选择,
因此可以组成没有重复数字的四位数个数为 , A 正确;
对于 ,分两种情况,当个位为 0 时,从1,2,3,4,5五个数中,选择 3 个放在千位,百位和十位上,有 中选择,
当个位不为 0 时,先从2,4中选择 1 个放在个位上,有 种选择, 再考虑千位,从除去 0 外的剩余 4 个数中,选择 1 个放在千位,有 种选择,
再从添上 0 后的 4 个数中,选择 2 个,和剩余的百位和十位进行全排列,有 种选择, 故可以组成没有重复数字的四位偶数个数为 , B 错误;
对于 ,能被 3 整除的四位数,数位上的数字之和要能被整除,
先从0,1,2,3,4,5六个数中,选出四个数,数字之和能被 3 整除的有 ; 和1,2,4,5;
其中0,1,2,3,先考虑千位,从除去 0 的三个数中,选出 1 个,有 种选择,再考虑剩余的 3 个数,有 种选择,可以组成的没有重复数字的四位数个数为 ,
同理可得 ,均可以组成的没有重复数字的四位数个数为 18,
1,2,4,5，能组成没有重复数字的四位数个数为 ，
因此可以组成 个能被 3 整除的四位数, C 正确;
对于 ,若组成的没有重复数字的四位数千位为 1,
此时剩余的 5 个数中,选择 3 个,分别安排在百位,十位和个位,有 个,
若组成的没有重复数字的四位数千位为 2 ,
此时剩余的 5 个数中,选择 3 个,分别安排在百位,十位和个位,有 个,
,故将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列,则第 85 个四位数千位为 2, 若组成的没有重复数字的四位数千位为 2 , 百位为 0 , 此时从剩余的 4 个数字中选择 2 个, 放在十位和个位,组成的没有重复数字的四位数有 个, ,
同理可得:若组成的没有重复数字的四位数千位为 2，百位为 1，组成的没有重复数字的四位数有 个， ，
因此将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第 85 个数为 2301 ，D 错误.
故选: AC
12. 4
,
从 5 ! 开始一直到 100 ! 的个位数字都是 0 .
要求 的个位数字,则只要将前面五个数加起来,
即 . 即 的个位数字就是 4 .
13. 72
分 4 步进行分析:
①，对于区域 ，有 4 种颜色可选；
②，对于区域 ，与 区域相邻，有 3 种颜色可选；
③，对于区域 ，与 、 区域相邻，有 2 种颜色可选；
④,对于区域 ,若 与 颜色相同, 区域有 2 种颜色可选,
若 与 颜色不相同， 区域有 1 种颜色可选， 区域有 1 种颜色可选，
则区域 有 种选择,
则不同的涂色方案有 种.
14. 85
, 的个位上的数字具有周期性规律,如表所示,
1 2 3 4 5 6 7 8
的个位上的数字 2 4 8 6 2 4 8 6
的个位上的数字 3 9 7 1 3 9 7 1
由表可得 的个位上的数字周期为 4,
因此，① 当 取1,5,9,13,17,21时， 可取3,7,11,15,19，此时满足题意的有序数组 有 个;
② 当 取3,7,11,15,19时， 可取4,8,12,16,20，此时满足题意的有序数组 有 个;
③ 当 取4,8,12,16,20时， 可取1,5,9,13,17,21，此时满足题意的有序数组 有 个;
④ 当 取2,6,10,14,18时, 的个位数为 4,此时要求 的个位数为 5,而 的个位
数不可能为 5 , 故此种情况不成立.
综上,满足题意的有序数组 的个数为 个.
15. ;
(2) 或 .
(1) 由点 ,可得中点 和斜率 ,
则 的中垂线方程为: ，
由圆心既在 的中垂线上,又在直线 上,
联立可得: ,解得: ,
所以圆心坐标 ,半径 ,
所以圆 的标准方程为 ;
(2)
过点 垂直于 轴的直线为 ,圆心 到直线 的距离 ,故直线 为圆 的一条切线,
再设过点 斜率存在的切线方程为 ,
由直线与圆 相切,可得: ,
解得: ,则此时切线方程为 ,
综上,与圆 相切的直线方程为 或 .
16. ;
(2) .
(1)设等比数列 的公比为 ，由 ，且 ， 成等差数列，
得 ,解得 ,
所以数列 的通项公式为 .
(2)由数列 的前 项和为 ，得当 时， ， 而 满足上式,
因此 ,
则 ,
因此 ,
两式相减得
,
所以 .
17. (1)证明: 因为 平面 平面 ,
所以 ,因为 平面 ,
所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 .
(2)在 上取点 使得 ，则以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系,如图,
则 ,设 ,则 ,
所以 ,因为 四点共面,
所以存在实数 使得 ,则 .
解得 ,所以 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,则 .
所以有 ,令 ,则 ,所以 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 .
18.(1) 设 ,由题可得 ,化简后可得: ;
(2)①由题可得过 的直线方程斜率不为 0，
设过 直线方程为: ,将直线方程与 联立,
消去 可得: ,判别式为:
.
设 ,由韦达定理 .
不妨设 在 上方,如图所示,
,令 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时取等号;
② 设 在 上方，如图所示，设 ，
如图分别过 作 轴垂线,垂足为 ,
则 ,
从而 ,
则 ,又 在 上,则 ,
注意到 两点中点为 ,则 在 连线的中垂线上,
从而 .
19.(1) 设 ,由题可得 中必有一个在 中, 因 ,则 ,结合 ,
则 ; 此时数列为 ,因为 , 则 ,即 ;
(2)类似于(1)中分析， 中必有一个在 中，
因 ,则 ,则 .
又注意到 ,则 .
因 ,则 ,
则 ,
即 ,
将以上各式累加可得 , 即 ;
(3)设 .
由(2)分析可得 .
则 ,因 ,
则 .
又 ,则 ,注意到 ,
则 ,即 ,
故 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列,
则 .