福建省泉州市永春第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省泉州市永春第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 308.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-18 00:00:00 | ||
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文档简介
永春一中 2026 年 3 月高二数学阶段性限时训练 3.5
考试时间 120 分钟, 试卷总分 150 分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 已知 ,则 在 上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
2. 由直线 上的点向圆 作切线，则切线长的最小值为( )
A. 1 B. C. D. 3
3. 若函数 在区间 上单调，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D. 不存在这样的实数
4. 已知数列 满足 ,设 的前 项和为 ,则 ( )
A. B. C. 1 D. 2
5. 先后抛掷质地均匀的硬币 4 次, 得到以下结论:
①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间
②事件“至少 2 次正面朝上”与事件“至少 2 次反面朝上”是互斥事件
③事件“至少 1 次正面朝上”与事件“4 次反面朝上”是对立事件
④事件“1 次正面朝上 3 次反面朝上”发生的概率是
以上结论中，错误的个数为( )个
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
6. 如图已知矩形 ，沿对角线 将 折起，当二面角 的余弦值为 时，则 与 之间距离为( )
A. 1 B. C. D.
7. 已知抛物线 的焦点为 ,直线 与抛物线 交于 两点， ， 线段 的中点为 ,过点 作抛物线 的准线的垂线,垂足为 ,则 的最小值为 ( )
A. 1 B. C. 2 D.
8. 已知 ,数列 满足:
,数列 满足 ,
，定义 表示不超过 的最大整数，则数列 的前 7 项和为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. 已知 ，且 与 夹角为钝角，则 的取值可以是( )
A. -2 B. 1
C. D. 2
10. 设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 ，若 ,且 ,则抛物线 的方程可以为 ( )
A. B. C. D.
11. 如图,在棱长为 1 的正方体 中,点 为 中点,动点 在正方形 内(含边界)，则( )
A. 若 ，则点 的轨迹长度为
B. 若点 在线段 上，则 为定值
C. 若点 与点 重合,则三棱锥 的外接球表面积为
D. 若 与 的夹角为 为线段 上的动点,则 的最小值为 1
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若两条直线 与 平行，则 与 间的距离是_____.
13. 已知数列 的通项公式为 ，则数列 的最大项为_____项_____项.
14. 如图,椭圆焦点三角形的 为 的角平分线且 ,则椭圆离心率为_____.
四、本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方, 下一局比赛将作为后手. 在每一局比赛中若甲方先手, 则该局甲获胜的概率为 ; 若甲方后手,则该局甲获胜的概率为 .
(1)求双方需要进行第三局比赛的概率；
(2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率.
16. 四棱锥 中， 平面 ， .
(1)求证: 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
17. 已知圆心在 轴上的圆 与直线 切于点 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)已知 ，经过原点且斜率为正数的直线 与圆 交于 ， . 求 的最大值.
18. 已知椭圆 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点 的直线 与椭圆C相交于 两点，点 关于原点的对称点为 ,若点 总在以线段 为直径的圆内,求 的取值范围.
19. 已知函数 ,其中 .
(1)当 时，求函数 的最值；
(2)①若 恒成立，求 的最小值；
② 证明: ,其中 .
1. D
,
故 在 上的投影向量为 .
故选: D.
2. B
切线长的最小值是当直线 上的点与圆心距离最小时取得,
圆心 到直线的距离为 ,
圆的半径为 1 ,
故切线长的最小值为 ,
故选: B.
3. B
,
,
令 ,解得: 或 ,
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
函数 在区间 上单调,
或 或
若 ,则 ,解得 ,
若 ,则 ,解得 ,
若 ,则 ,解得 ,
综上所述,实数 的取值范围是 .
4. D
因为 ,所以 ,
所以 且 ,
所以 是首项为 2 公比为 2 的等比数列,
所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
故选: D.
5. A
对于①, 可以从不同角度定义样本空间,
例如: 以 4 次抛掷的有序结果为样本点,构成 个等可能样本点的样本空间,是古典概型;
若以正面出现的次数为结果,构成含有 5 个样本点的样本空间 ,
但各样本点不是等可能的, 不是古典概型;
由于可以构建不同的样本空间, 故①正确；
对于②，事件“至少 2 次正面朝上”为 2 正 2 反，3 正 1 反，4 正，
事件“至少 2 次反面朝上”为 2 反 2 正，3 反 1 正，4 反，不互斥，故②错误；
对于③，事件“至少 1 次正面朝上”为 1 正 3 反，2 正 2 反，3 正 1 反，4 正，
与事件“4 次反面朝上”互为对立事件，故③正确；
对于④，基本事件样本总数为 ，事件“1 次正面朝上 3 次反面朝上”有 种，
所以事件“1 次正面朝上 3 次反面朝上”发生的概率是 ，故④正确，
所以，错误的个数为 1 个.
6. C
解: 过 和 分别作 ,
在矩形 ,
,
则 ,即 ,
平面 与平面 所成角的余弦值为 ,
,
,
, ,
则 ,
即 与 之间距离为 ,
故选: C.
7.
设 ,
因为 ,所以 ,
过点 分别作 准线于点 ,
由抛物线定义可知 ,
由梯形中位线可知 ,
因为 ,所以 ,
当且仅当 时,等号成立,
故 ,
故 的最小值为 .
故选: B
8. D
由 ,
则 ,
由 ,
得 ,
则
,即 ,
由 ,得 ,
则数列 的奇数项是以 为首项，4 为公比的等比数列，
偶数项是以 为首项，4 为公比的等比数列，
则数列 为: ,
显然数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,
则 ,即 ,则 ,
所以 ,
则数列 的前 7 项和为
.
故选: D
9. BD
由题意得 ,且 与 不共线,则
,
即 ,解得 ,若 与 共线,则 ,即 ,得 与 反向
需要舍去,所以 的取值范围为 且 ,所以 和 选项正确, 和 选项错误, 故选: BD.
10. BC
设 ,因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
即 ,所以 ,所以 ,
解得 ,所以 ,解得 或 ,
所以抛物线 的方程为 或 .
故选:BC.
11. BCD
对于 ,则 在以 为圆心,半径为 1 的四分之一圆周上, 如图(1)
轨迹长度为 ,故 错误;
对于 ,如图(2)所示，
设 ,
,
又 ,
,故 B 正确.
对于 ,方法一,如图(3)所示， ，
取 中点 ，连接 ，则等腰 的外接圆圆心 在 上，
(3)
外接圆半径 ,依题意易知, ,
根据正弦定理可知， ，在 中，外心 为 中点， 连接 并延长交 于点 ,易知 平面 ,
过点 作平行于 的垂线交 于点 ,
即 为三棱锥 的外接球球心, ,
外接球半径 ,故 正确.
方法二,以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设球心 ,
,解得
,故 C 正确.
对于 ,
由 知,点 在以 为圆心,1 为半径的圆弧上,
连接 ,由对称性可知,当点 位于 上时, 最小,过 作 于 , 在 Rt 中, ,
故 ,如图在平面 中,过点 作 于点 , 则 ,故 D 正确.
故选: BCD.
12.
两条直线 与 平行,
解得 ,
经检验 时, ,两直线不重合;
所以 ,
则 与 间的距离 ,
故答案为: .
13. 3
依题意, ,
则 ,
当 时, ,
所以当 时, ,
所以数列 的最大项为第 3 项.
故答案为: 3
14.
解法一: 根据
知 ,且 ,
则 点坐标代入方程: ,
当 时, ,
由 可得: ,
将 点代入椭圆方程得: ,化简得 .
所以 .
因此离心率为 .
解法二: 设点 ,且 ,
因为 ,所以 ,
联立 ,解得 ,
由点 在椭圆 上，且 ，
则
同理 ,
设角平分线交 轴于 ,根据角平分线的性质,可知
,解得, ,得 .
可得直线 . 进而可得 ,
由 ,可得 ,
设 中点为 ,则 ,
点差法的结论, 证明如下:
设 为 中点,
故 ,两式作差得, ,
又由 ,可整理得, ,
最后化简得, ,
进而得到, ,
进而得 .
所以 ,故 ,解得 .
故答案为: .
15.
(2)
(1)若双方需要进行第三局比赛, 则前两局比赛中双方各胜一局,
因为前两局比赛中, 双方各先手一次,
故双方需要进行第三局比赛的概率 .
(2)记第 局甲获胜为事件 ，甲赢得比赛为事件 ，则 包含的所有事件为 ,且这 3 个事件之间两两互斥,
由 ,
得 .
16.
(1)连接 ,因为 平面 平面 ,
所以 ,
又 ,
所以 ，所以 ，所以 ，
平面 ，
所以 平面 .
(2)如图建立空间直角坐标系,则 , 所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,
则 ,
设二面角 为 ,由图可得二面角为钝二面角,
所以 ,所以二面角 的余弦值为 .
17.
(2)
(1) 由圆心在 轴上的圆 与直线 切于点 ，设 ，
直线 的斜率为 ，
则 ,所以 .
所以 ,所以 ,即 ,
所以圆 的标准方程为 .
(2)设直线 ，与圆联立方程组 ，
可得 ，
,由根与系数的关系得 ,
,
令 ,则 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号,此时 ,
所以 的最大值为 .
18.
(2)
(1)由题意，得: 又因为 解得 ,所以椭圆 的方程为 .
(2)当直线 的斜率不存在时,由题意知 的方程为 ，
此时 为椭圆的上下顶点,且 ,
因为点 总在以线段 为直径的圆内,且 ,
所以 ；
当直线 的斜率存在时,设 的方程为 .
由方程组 得 ,
因为直线 与椭圆 有两个公共点,即 ,得 ;
设 ,则 .
设 的中点 ,则 ,
所以 . 所以 ,
因为点 总在以线段 为直径的圆内,所以 对于 恒成立,
所以 ,
化简,得 ,整理得 ,
而 (当且仅当 时等号成立) 所以 ,
由 ,得 ,综上, 的取值范围是 .
19.(1) 当 时,函数 ,函数定义域为 ,
当 ; 当 ,所以 在 单调递增,在 单调递减, 所以函数在 处取得极大值也是最大值 ,无最小值.
故函数最大值 0 ; 无最小值;
(2)若 恒成立，即 ，得 .
令 ,
当 ; 当 . 所以 在 单调递增,在 单调递减,
所以 在 处取得极大值也是最大值 ,所以 .
故 的最小值为 1 ;
由 (1) 可知,当 时, 恒成立,即 (当且仅当 时等号成立), 令 ,所以 ,即对 ,都有 .
由累加法得 .
故 ,其中 .
考试时间 120 分钟, 试卷总分 150 分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 已知 ,则 在 上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
2. 由直线 上的点向圆 作切线，则切线长的最小值为( )
A. 1 B. C. D. 3
3. 若函数 在区间 上单调，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D. 不存在这样的实数
4. 已知数列 满足 ,设 的前 项和为 ,则 ( )
A. B. C. 1 D. 2
5. 先后抛掷质地均匀的硬币 4 次, 得到以下结论:
①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间
②事件“至少 2 次正面朝上”与事件“至少 2 次反面朝上”是互斥事件
③事件“至少 1 次正面朝上”与事件“4 次反面朝上”是对立事件
④事件“1 次正面朝上 3 次反面朝上”发生的概率是
以上结论中，错误的个数为( )个
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
6. 如图已知矩形 ，沿对角线 将 折起，当二面角 的余弦值为 时，则 与 之间距离为( )
A. 1 B. C. D.
7. 已知抛物线 的焦点为 ,直线 与抛物线 交于 两点， ， 线段 的中点为 ,过点 作抛物线 的准线的垂线,垂足为 ,则 的最小值为 ( )
A. 1 B. C. 2 D.
8. 已知 ,数列 满足:
,数列 满足 ,
，定义 表示不超过 的最大整数，则数列 的前 7 项和为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. 已知 ，且 与 夹角为钝角，则 的取值可以是( )
A. -2 B. 1
C. D. 2
10. 设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 ，若 ,且 ,则抛物线 的方程可以为 ( )
A. B. C. D.
11. 如图,在棱长为 1 的正方体 中,点 为 中点,动点 在正方形 内(含边界)，则( )
A. 若 ，则点 的轨迹长度为
B. 若点 在线段 上，则 为定值
C. 若点 与点 重合,则三棱锥 的外接球表面积为
D. 若 与 的夹角为 为线段 上的动点,则 的最小值为 1
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若两条直线 与 平行，则 与 间的距离是_____.
13. 已知数列 的通项公式为 ，则数列 的最大项为_____项_____项.
14. 如图,椭圆焦点三角形的 为 的角平分线且 ,则椭圆离心率为_____.
四、本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方, 下一局比赛将作为后手. 在每一局比赛中若甲方先手, 则该局甲获胜的概率为 ; 若甲方后手,则该局甲获胜的概率为 .
(1)求双方需要进行第三局比赛的概率；
(2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率.
16. 四棱锥 中， 平面 ， .
(1)求证: 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
17. 已知圆心在 轴上的圆 与直线 切于点 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)已知 ，经过原点且斜率为正数的直线 与圆 交于 ， . 求 的最大值.
18. 已知椭圆 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点 的直线 与椭圆C相交于 两点，点 关于原点的对称点为 ,若点 总在以线段 为直径的圆内,求 的取值范围.
19. 已知函数 ,其中 .
(1)当 时，求函数 的最值；
(2)①若 恒成立，求 的最小值；
② 证明: ,其中 .
1. D
,
故 在 上的投影向量为 .
故选: D.
2. B
切线长的最小值是当直线 上的点与圆心距离最小时取得,
圆心 到直线的距离为 ,
圆的半径为 1 ,
故切线长的最小值为 ,
故选: B.
3. B
,
,
令 ,解得: 或 ,
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
函数 在区间 上单调,
或 或
若 ,则 ,解得 ,
若 ,则 ,解得 ,
若 ,则 ,解得 ,
综上所述,实数 的取值范围是 .
4. D
因为 ,所以 ,
所以 且 ,
所以 是首项为 2 公比为 2 的等比数列,
所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
故选: D.
5. A
对于①, 可以从不同角度定义样本空间,
例如: 以 4 次抛掷的有序结果为样本点,构成 个等可能样本点的样本空间,是古典概型;
若以正面出现的次数为结果,构成含有 5 个样本点的样本空间 ,
但各样本点不是等可能的, 不是古典概型;
由于可以构建不同的样本空间, 故①正确；
对于②，事件“至少 2 次正面朝上”为 2 正 2 反，3 正 1 反，4 正，
事件“至少 2 次反面朝上”为 2 反 2 正，3 反 1 正，4 反，不互斥，故②错误；
对于③，事件“至少 1 次正面朝上”为 1 正 3 反，2 正 2 反，3 正 1 反，4 正，
与事件“4 次反面朝上”互为对立事件，故③正确；
对于④，基本事件样本总数为 ，事件“1 次正面朝上 3 次反面朝上”有 种，
所以事件“1 次正面朝上 3 次反面朝上”发生的概率是 ，故④正确，
所以，错误的个数为 1 个.
6. C
解: 过 和 分别作 ,
在矩形 ,
,
则 ,即 ,
平面 与平面 所成角的余弦值为 ,
,
,
, ,
则 ,
即 与 之间距离为 ,
故选: C.
7.
设 ,
因为 ,所以 ,
过点 分别作 准线于点 ,
由抛物线定义可知 ,
由梯形中位线可知 ,
因为 ,所以 ,
当且仅当 时,等号成立,
故 ,
故 的最小值为 .
故选: B
8. D
由 ,
则 ,
由 ,
得 ,
则
,即 ,
由 ,得 ,
则数列 的奇数项是以 为首项，4 为公比的等比数列，
偶数项是以 为首项，4 为公比的等比数列，
则数列 为: ,
显然数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,
则 ,即 ,则 ,
所以 ,
则数列 的前 7 项和为
.
故选: D
9. BD
由题意得 ,且 与 不共线,则
,
即 ,解得 ,若 与 共线,则 ,即 ,得 与 反向
需要舍去,所以 的取值范围为 且 ,所以 和 选项正确, 和 选项错误, 故选: BD.
10. BC
设 ,因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
即 ,所以 ,所以 ,
解得 ,所以 ,解得 或 ,
所以抛物线 的方程为 或 .
故选:BC.
11. BCD
对于 ,则 在以 为圆心,半径为 1 的四分之一圆周上, 如图(1)
轨迹长度为 ,故 错误;
对于 ,如图(2)所示，
设 ,
,
又 ,
,故 B 正确.
对于 ,方法一,如图(3)所示， ，
取 中点 ，连接 ，则等腰 的外接圆圆心 在 上，
(3)
外接圆半径 ,依题意易知, ,
根据正弦定理可知， ，在 中，外心 为 中点， 连接 并延长交 于点 ,易知 平面 ,
过点 作平行于 的垂线交 于点 ,
即 为三棱锥 的外接球球心, ,
外接球半径 ,故 正确.
方法二,以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设球心 ,
,解得
,故 C 正确.
对于 ,
由 知,点 在以 为圆心,1 为半径的圆弧上,
连接 ,由对称性可知,当点 位于 上时, 最小,过 作 于 , 在 Rt 中, ,
故 ,如图在平面 中,过点 作 于点 , 则 ,故 D 正确.
故选: BCD.
12.
两条直线 与 平行,
解得 ,
经检验 时, ,两直线不重合;
所以 ,
则 与 间的距离 ,
故答案为: .
13. 3
依题意, ,
则 ,
当 时, ,
所以当 时, ,
所以数列 的最大项为第 3 项.
故答案为: 3
14.
解法一: 根据
知 ,且 ,
则 点坐标代入方程: ,
当 时, ,
由 可得: ,
将 点代入椭圆方程得: ,化简得 .
所以 .
因此离心率为 .
解法二: 设点 ,且 ,
因为 ,所以 ,
联立 ,解得 ,
由点 在椭圆 上，且 ，
则
同理 ,
设角平分线交 轴于 ,根据角平分线的性质,可知
,解得, ,得 .
可得直线 . 进而可得 ,
由 ,可得 ,
设 中点为 ,则 ,
点差法的结论, 证明如下:
设 为 中点,
故 ,两式作差得, ,
又由 ,可整理得, ,
最后化简得, ,
进而得到, ,
进而得 .
所以 ,故 ,解得 .
故答案为: .
15.
(2)
(1)若双方需要进行第三局比赛, 则前两局比赛中双方各胜一局,
因为前两局比赛中, 双方各先手一次,
故双方需要进行第三局比赛的概率 .
(2)记第 局甲获胜为事件 ，甲赢得比赛为事件 ，则 包含的所有事件为 ,且这 3 个事件之间两两互斥,
由 ,
得 .
16.
(1)连接 ,因为 平面 平面 ,
所以 ,
又 ,
所以 ，所以 ，所以 ，
平面 ，
所以 平面 .
(2)如图建立空间直角坐标系,则 , 所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,
则 ,
设二面角 为 ,由图可得二面角为钝二面角,
所以 ,所以二面角 的余弦值为 .
17.
(2)
(1) 由圆心在 轴上的圆 与直线 切于点 ，设 ，
直线 的斜率为 ，
则 ,所以 .
所以 ,所以 ,即 ,
所以圆 的标准方程为 .
(2)设直线 ，与圆联立方程组 ，
可得 ，
,由根与系数的关系得 ,
,
令 ,则 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号,此时 ,
所以 的最大值为 .
18.
(2)
(1)由题意，得: 又因为 解得 ,所以椭圆 的方程为 .
(2)当直线 的斜率不存在时,由题意知 的方程为 ，
此时 为椭圆的上下顶点,且 ,
因为点 总在以线段 为直径的圆内,且 ,
所以 ；
当直线 的斜率存在时,设 的方程为 .
由方程组 得 ,
因为直线 与椭圆 有两个公共点,即 ,得 ;
设 ,则 .
设 的中点 ,则 ,
所以 . 所以 ,
因为点 总在以线段 为直径的圆内,所以 对于 恒成立,
所以 ,
化简,得 ,整理得 ,
而 (当且仅当 时等号成立) 所以 ,
由 ,得 ,综上, 的取值范围是 .
19.(1) 当 时,函数 ,函数定义域为 ,
当 ; 当 ,所以 在 单调递增,在 单调递减, 所以函数在 处取得极大值也是最大值 ,无最小值.
故函数最大值 0 ; 无最小值;
(2)若 恒成立，即 ，得 .
令 ,
当 ; 当 . 所以 在 单调递增,在 单调递减,
所以 在 处取得极大值也是最大值 ,所以 .
故 的最小值为 1 ;
由 (1) 可知,当 时, 恒成立,即 (当且仅当 时等号成立), 令 ,所以 ,即对 ,都有 .
由累加法得 .
故 ,其中 .
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