福建省厦门第六中学2025-2026学年高三下学期数学周练01试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省厦门第六中学2025-2026学年高三下学期数学周练01试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 591.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-18 00:00:00 | ||
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文档简介
厦门六中 2025——2026 弹年高三下数学周练 01
考试时间:120 分钟:满分:150 分:
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中.只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 双曲线 的两条渐近线夹角的正切值为( )
A. B. C. D.
4. 已知圆锥底面与圆台下底面半径相等,高相等. 若圆台体积为圆锥体积的 倍,则圆台上, 下底面积的比值为( )
A. B. C. D.
5. 若将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 可以得到另一个函数的图象,则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6. 在平面直角坐标系 中, ,设 ,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知等差数列 的公差为 . 若 ,则 ( )
A. -16 B. 16 C. -8 D. 8
8. 如图,已知函数 的部分图象与圆
的两个公共点 ,当 时, 的图象无限逼近 轴,则下列选项正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分 分.
9. 已知数列 满足 ,设 ,则 ( )
A.
B.
C. 数列 的前 项和为
D. 数列 的前 37 项和为
10. 在 中, ,则 ( )
A.
B.
C.
D. 的面积为
11. 已知函数 有两个极值点 . 设 ,点 为曲线 上一点,则( )
A.
B. 若直线 的倾斜角为 ,则
C. 有最值
D. 若存在 使得 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机变量 ,若 ,则 _____.
13. 设 分别为椭圆 的上，下焦点. 点 为 上一点(点 位于第一象限),且 ,直线 与 轴交于点 . 若 的内切圆半径为 ,则 的离心率为_____.
14. 已知函数 . 若方程 在 上恰有 85 个解, 则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 , 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式;
(2) 的内角 所对的边分别为 ，若 ， ,求 的周长.
16. 记 内角 的对边分别为 ，已知 . (1)求A；
(2)若 ，求 边上的高的最大值.
17. 已知双曲线 的焦距为 ,渐近线方程为 ,右焦点 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)已知直线 交 于 两点， 的左顶点记为 ，若 ，求弦长 .
18. 在如图所示的圆柱中, 分别是下底面圆 、上底面圆 的直径, 是圆柱的母线,过直线 且与平面 垂直的平面记为 ,平面 与该圆柱侧面的交线记为 .
平面展开图
(1)证明: 平面 ；
(2)已知 为下底面圆周上的一点，当 时，求平面 与平面 所成角的正弦值； (3)将圆柱沿母线 剪开，并展开为如图所示的平面图形，在平面展开图中，以 为原点， 以 的方向分别为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系,求 的平面展开曲线的方程.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 有 1 个极值点 ，且 ，证明: 有两个零点；
(3)在(2)的条件下，设 的两个零点分别为 ，证明: .
20. 已知一簇双曲线 ,当 时,双曲线 右顶点为 . 现按照如下规则依次构造点 : 过点 作 轴的垂线交第一象限的渐近线于点 ,再过点 作 轴的平行线与曲线 的右支交于点 . 记点 坐标为
(1)求点 的坐标；
(2)过点 作双曲线 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ，记 的面积为 ， 求数列 的通项公式;
(3)设 为射线 与 轴正半轴的夹角,已知 ,存在实数 ,使得对任意 ,不等式 均成立,求 的最小值.
1. C
由 ,可得 ,解得 ,
所以 ,
由 ,得 ,所以 ,所以 .
故选: C.
2. D
设 ,则 ,
整理得 ,
所以 ,解得 ,
则 .
故选: D.
3. B
双曲线的渐近线方程为 ,所以两条渐近线的斜率 , 记所求角为 ,则 .
故选: B
4. A
设圆台的上、下底面圆的半径分别为 ,高为 ,则由圆台体积为圆锥体积的 倍, 得到 ,解得 .
故选: A
5. A
原命题等价于 ,直线 与曲线 最多有一个交点,
所以直线 与曲线 最多有一个交点,
所以函数 必为单调函数,否则必存在直线 与其有多个交点.
求导得到 ,
又因为 ,所以只能 ,即 ,
设曲线 与直线 相切时切点的横坐标为 ,
则 ,解得 ,
所以 ,
则 的取值范围为 .
故选: A.
6. B
取线段 的中点 (如图所示).
因为 ，所以 为等边三角形， ，
所以点 在以 为圆心,以 3 为半径的圆上运动,则 ,即 .
所以 .
故选: B.
7. B
因为等差数列 的公差为 ,所以 ;
所以
,
即 ,
故
,
由上可得 ,则
故
故
所以 .
故选: B
8. D
由点 在圆 上,
所以 ,解得 .
因为当 时, ,
即 ,因为 ,取 ,则 ,
所以 .
将 代入圆的方程，得 ，解得 或 ，
结合图象知 ,即 ,将 代入 ,得 ,
所以 ,即 ,因为 ,由图象可知 ,即
,所以取 ,得 .
所以 ,将 代入，得 ，
所以 .
因此, 选项错误, 选项正确.
故选: D
9.
因 ,
对于 , ,可见 ,不满足 ,故 B 错误, A 正确;
对于 ,当 时, ,
所以数列 是以 为首项,以 为公比的等比数列,所以 ,
其前 项和为 ,故 正确;
对于 ,记 ,同选项 分析方法可得 ,其前 项和为
所以 ,故 D 错误.
故选: AC.
10. BCD
如图所示,过点 作 ,
则 ,又因为 ,
并且在 中 ,
所以 ,所以 是等腰三角形,所以 ,
由 ,可知 为 中点,
所以 是 的中位线，所以 为线段 的中点，所以 ，则 项错误.
,在 中: ,则 项正确.
过点 作 , ，所以 ， 的面积为 ,则 项正确.
故选: BCD
11. BD
由题意知, 有两个零点,则 ,则 ,故 A 错误;
由 得 或 得 ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 ,
则
,
因为直线 的倾斜角为 ，所以 ，得 ，则 正确；
由 选项可知,直线 的斜率为 ,
则 ,
易知函数 在 单调递减,
当 时, ; 当 时, ,
故 的值域为 ,无最值,因此 也无最值,则 错误;
因为 ,所以 ,
则线段 的中点为 ,
因为直线 的斜率为 ,所以线段 的垂直平分线的斜率为 ,
故线段 的垂直平分线的方程为 ,
若存在 使得 ,则 与 有交点,
因为 ,所以 的定义域为 ,
则 在区间 有零点,
得 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
所以 ,即 ,
因为 ,所以解得 ,则 正确.
故选: BD.
12. 2
,解得
故答案为: 2
13.
设该内切圆的圆心为 点,且与三角形的三边相切于 点.
则 ,
又由切线定理得 ,
所以 ,则 , ,即 , 联立 ,得 ,即 .
14.
函数 的周期 ,每个周期内 有 2 个解,
在区间 内包含 (余 ) 个完整周期,
在完整周期内有 个解,故余下区间 内有 1 个解,
设 ,则 ,
即 在区间 内有 1 个解,
由任意角可得 在区间 内有 1 个解,
解得 或 ,
因为 ,易得 ,则有:
①区间 包含 但不包含 ， 即 ,且 ,解得 ,
② 区间 包含 但不包含 ，
即 ,且 ,解得 ,
综上, 的取值范围为 .
15. (1)
(2) .
(1) 由图知: ,解得: ;
又 ,即 ,则 ;
由 ,得 ,又 ,则 ;
故 的解析式为: .
(2)因为 ，即 ，又 ，解得 ；
所以 ,则 或 (舍去);
在 中,由正弦定理知: ,故 ;
则 ,
故 的周长为 .
16.
(2)2
(1) 由 可得 ,
由正弦定理得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 .
(2)依题意， ，设 边上的高为 ，
由 ,可得 ,
由余弦定理 可得 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,
因此 ,
所以 边上的高的最大值为 2 .
17.
(2) .
(1) 由题意知, ,
解得 ,
所以 的方程为
(2)联立 ，整理得 ，
由 ,可得 ,
设 ,则
因为 ,
又直线 过点 ,且 ,
所以 ,所以 ①,(也可利用斜率相等或向量共线得出
将①式代入得 ，消去 得 ，
解得 ,
则
.
18.(1)因为 ， 是圆柱的母线，
所以 底面 底面 ,
所以 ,因为 ,
所以四边形 为正方形,
所以 ,
又因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)在底面 内过点 作直线 的垂线 ，
以 为原点,分别以 所在的直线为 轴, 轴, 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,可得 ,
此时 ,
由(1)可知 为平面 的一个法向量，
因为 ,
所以平面 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)法一
设 的平面展开曲线上任意一点 的坐标为 ,
当 时， ；当 ；
当 时,设点 在圆柱侧面上对应点为 ,
过点 的母线交上底面于点 ,
则 ,劣弧 的弧长为 ,
作 分别为垂足,连接 ,
因为平面 平面 ,底面 平面 ,
所以 平面 平面 ,
所以 ,
因为 ,所以 平面 ,所以 ,
可得四边形 为矩形,所以 ,
因为底面圆周半径为 1,所以 ,
因为 ,所以 ,
当 时,在 中, ,
因为 ,所以 ,即 ,
当 时, ,所以 ,
当 时,在 中, ,
因为 ,
所以 ,因此 ,即 .
综上可得, .
法二
设 的平面展开曲线上任意一点 的坐标为 ,设点 在圆柱侧面上对应点为 ,
则在空间直角坐标系中 ,
所以 ,
因为 为平面 的法向量,所以 ,
可得 ,即 .
综上可得, .
19.(1) 由题知 的定义域为 ,且 ,
若 ,则 ,又 ,故 恒成立, 在 上单调递增,
又 ,故不等式 的解集为 .
(2)由(1)知，当 时， 在 上单调递增，没有极值点；
当 时, ,由函数 的图象知,
当 时,存在唯一的 ,使 ,
且当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
故 只有 1 个极值点 ,
因为 ,且 ,故 1 是 在区间 上唯一的零点,且 , 又 时, ,故存在唯一的 ,使得 , 所以 有两个零点.
(3)由(2)知， ， ，
当 时, 时, ,
又 在 上单调递增,
要证 ,只要证 ,即证 ,
由 ,得 ,即要证 ,
因为 ,则 ,所以只需证
设 ,则 ,令 ,
则 ,显然 在 上单调递增,且 ,
所以 在 上恒成立,故 在 上单调递增,
又 ,故 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增,又 ,故 ,
故 ,得到 ,即 (*) 式成立,
故 ,从而 ,证毕.
20.
(2) ；
(3) .
【分析】(1) 由题知 ,点 ,再代入双曲线 即可求解;
(2)由题,当 时 ,再根据距离公式得 和 ,再计算面积,并检验 时满足即可得答案.
(3)结合(2)得,根据累加法得 ,进而得 ,将问题转化为 ,再结合三角函数的性质分类讨论求解即可.
【详解】(1)解:双曲线 的一条渐近线为直线 ，
所以 ,
则点 ,代入双曲线 ,解得 ,
故点 的坐标为 ;
(2)
解:
由题知, ) 的渐近线为 和 ,
点 ,点 ,则 ,即 ,
将其代入 方程得 ，
由距离公式,点 到 的距离分别为 和 ,
故 ,
即 ,
当 时， ，符合上式， 综上所述， ；
(3)解:由(2)知， ， ，
累加可得 ,
当 ， 满足，所以
所以 ,此正弦值是递增的,
当 时, ,所以 ,
在单位圆中分析,可得角 的终边要落在图中阴影部分区域,
其中 ,即 ,
即 位于连续两终边之间,
① 当 为 的正整数倍时,连续两终边的间隔大小为 ，即 ，取 ,此时, ,即 ,当 时, 取得最小值, ;
② 当 不为 的正整数倍时,只考虑 的情况,可设 ( ,
,则 ,此时 ,
因为 ,所以当 为正整数时, 连续两终边的间隔大小小于 ,
则必定存在正整数，使得 的终边落在区间 上，不符合题意；
综上所述， .
考试时间:120 分钟:满分:150 分:
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中.只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 双曲线 的两条渐近线夹角的正切值为( )
A. B. C. D.
4. 已知圆锥底面与圆台下底面半径相等,高相等. 若圆台体积为圆锥体积的 倍,则圆台上, 下底面积的比值为( )
A. B. C. D.
5. 若将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 可以得到另一个函数的图象,则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6. 在平面直角坐标系 中, ,设 ,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知等差数列 的公差为 . 若 ,则 ( )
A. -16 B. 16 C. -8 D. 8
8. 如图,已知函数 的部分图象与圆
的两个公共点 ,当 时, 的图象无限逼近 轴,则下列选项正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分 分.
9. 已知数列 满足 ,设 ,则 ( )
A.
B.
C. 数列 的前 项和为
D. 数列 的前 37 项和为
10. 在 中, ,则 ( )
A.
B.
C.
D. 的面积为
11. 已知函数 有两个极值点 . 设 ,点 为曲线 上一点,则( )
A.
B. 若直线 的倾斜角为 ,则
C. 有最值
D. 若存在 使得 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机变量 ,若 ,则 _____.
13. 设 分别为椭圆 的上，下焦点. 点 为 上一点(点 位于第一象限),且 ,直线 与 轴交于点 . 若 的内切圆半径为 ,则 的离心率为_____.
14. 已知函数 . 若方程 在 上恰有 85 个解, 则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 , 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式;
(2) 的内角 所对的边分别为 ，若 ， ,求 的周长.
16. 记 内角 的对边分别为 ，已知 . (1)求A；
(2)若 ，求 边上的高的最大值.
17. 已知双曲线 的焦距为 ,渐近线方程为 ,右焦点 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)已知直线 交 于 两点， 的左顶点记为 ，若 ，求弦长 .
18. 在如图所示的圆柱中, 分别是下底面圆 、上底面圆 的直径, 是圆柱的母线,过直线 且与平面 垂直的平面记为 ,平面 与该圆柱侧面的交线记为 .
平面展开图
(1)证明: 平面 ；
(2)已知 为下底面圆周上的一点，当 时，求平面 与平面 所成角的正弦值； (3)将圆柱沿母线 剪开，并展开为如图所示的平面图形，在平面展开图中，以 为原点， 以 的方向分别为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系,求 的平面展开曲线的方程.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 有 1 个极值点 ，且 ，证明: 有两个零点；
(3)在(2)的条件下，设 的两个零点分别为 ，证明: .
20. 已知一簇双曲线 ,当 时,双曲线 右顶点为 . 现按照如下规则依次构造点 : 过点 作 轴的垂线交第一象限的渐近线于点 ,再过点 作 轴的平行线与曲线 的右支交于点 . 记点 坐标为
(1)求点 的坐标；
(2)过点 作双曲线 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ，记 的面积为 ， 求数列 的通项公式;
(3)设 为射线 与 轴正半轴的夹角,已知 ,存在实数 ,使得对任意 ,不等式 均成立,求 的最小值.
1. C
由 ,可得 ,解得 ,
所以 ,
由 ,得 ,所以 ,所以 .
故选: C.
2. D
设 ,则 ,
整理得 ,
所以 ,解得 ,
则 .
故选: D.
3. B
双曲线的渐近线方程为 ,所以两条渐近线的斜率 , 记所求角为 ,则 .
故选: B
4. A
设圆台的上、下底面圆的半径分别为 ,高为 ,则由圆台体积为圆锥体积的 倍, 得到 ,解得 .
故选: A
5. A
原命题等价于 ,直线 与曲线 最多有一个交点,
所以直线 与曲线 最多有一个交点,
所以函数 必为单调函数,否则必存在直线 与其有多个交点.
求导得到 ,
又因为 ,所以只能 ,即 ,
设曲线 与直线 相切时切点的横坐标为 ,
则 ,解得 ,
所以 ,
则 的取值范围为 .
故选: A.
6. B
取线段 的中点 (如图所示).
因为 ，所以 为等边三角形， ，
所以点 在以 为圆心,以 3 为半径的圆上运动,则 ,即 .
所以 .
故选: B.
7. B
因为等差数列 的公差为 ,所以 ;
所以
,
即 ,
故
,
由上可得 ,则
故
故
所以 .
故选: B
8. D
由点 在圆 上,
所以 ,解得 .
因为当 时, ,
即 ,因为 ,取 ,则 ,
所以 .
将 代入圆的方程，得 ，解得 或 ，
结合图象知 ,即 ,将 代入 ,得 ,
所以 ,即 ,因为 ,由图象可知 ,即
,所以取 ,得 .
所以 ,将 代入，得 ，
所以 .
因此, 选项错误, 选项正确.
故选: D
9.
因 ,
对于 , ,可见 ,不满足 ,故 B 错误, A 正确;
对于 ,当 时, ,
所以数列 是以 为首项,以 为公比的等比数列,所以 ,
其前 项和为 ,故 正确;
对于 ,记 ,同选项 分析方法可得 ,其前 项和为
所以 ,故 D 错误.
故选: AC.
10. BCD
如图所示,过点 作 ,
则 ,又因为 ,
并且在 中 ,
所以 ,所以 是等腰三角形,所以 ,
由 ,可知 为 中点,
所以 是 的中位线，所以 为线段 的中点，所以 ，则 项错误.
,在 中: ,则 项正确.
过点 作 , ，所以 ， 的面积为 ,则 项正确.
故选: BCD
11. BD
由题意知, 有两个零点,则 ,则 ,故 A 错误;
由 得 或 得 ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 ,
则
,
因为直线 的倾斜角为 ，所以 ，得 ，则 正确；
由 选项可知,直线 的斜率为 ,
则 ,
易知函数 在 单调递减,
当 时, ; 当 时, ,
故 的值域为 ,无最值,因此 也无最值,则 错误;
因为 ,所以 ,
则线段 的中点为 ,
因为直线 的斜率为 ,所以线段 的垂直平分线的斜率为 ,
故线段 的垂直平分线的方程为 ,
若存在 使得 ,则 与 有交点,
因为 ,所以 的定义域为 ,
则 在区间 有零点,
得 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
所以 ,即 ,
因为 ,所以解得 ,则 正确.
故选: BD.
12. 2
,解得
故答案为: 2
13.
设该内切圆的圆心为 点,且与三角形的三边相切于 点.
则 ,
又由切线定理得 ,
所以 ,则 , ,即 , 联立 ,得 ,即 .
14.
函数 的周期 ,每个周期内 有 2 个解,
在区间 内包含 (余 ) 个完整周期,
在完整周期内有 个解,故余下区间 内有 1 个解,
设 ,则 ,
即 在区间 内有 1 个解,
由任意角可得 在区间 内有 1 个解,
解得 或 ,
因为 ,易得 ,则有:
①区间 包含 但不包含 ， 即 ,且 ,解得 ,
② 区间 包含 但不包含 ，
即 ,且 ,解得 ,
综上, 的取值范围为 .
15. (1)
(2) .
(1) 由图知: ,解得: ;
又 ,即 ,则 ;
由 ,得 ,又 ,则 ;
故 的解析式为: .
(2)因为 ，即 ，又 ，解得 ；
所以 ,则 或 (舍去);
在 中,由正弦定理知: ,故 ;
则 ,
故 的周长为 .
16.
(2)2
(1) 由 可得 ,
由正弦定理得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 .
(2)依题意， ，设 边上的高为 ，
由 ,可得 ,
由余弦定理 可得 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,
因此 ,
所以 边上的高的最大值为 2 .
17.
(2) .
(1) 由题意知, ,
解得 ,
所以 的方程为
(2)联立 ，整理得 ，
由 ,可得 ,
设 ,则
因为 ,
又直线 过点 ,且 ,
所以 ,所以 ①,(也可利用斜率相等或向量共线得出
将①式代入得 ，消去 得 ，
解得 ,
则
.
18.(1)因为 ， 是圆柱的母线，
所以 底面 底面 ,
所以 ,因为 ,
所以四边形 为正方形,
所以 ,
又因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)在底面 内过点 作直线 的垂线 ，
以 为原点,分别以 所在的直线为 轴, 轴, 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,可得 ,
此时 ,
由(1)可知 为平面 的一个法向量，
因为 ,
所以平面 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)法一
设 的平面展开曲线上任意一点 的坐标为 ,
当 时， ；当 ；
当 时,设点 在圆柱侧面上对应点为 ,
过点 的母线交上底面于点 ,
则 ,劣弧 的弧长为 ,
作 分别为垂足,连接 ,
因为平面 平面 ,底面 平面 ,
所以 平面 平面 ,
所以 ,
因为 ,所以 平面 ,所以 ,
可得四边形 为矩形,所以 ,
因为底面圆周半径为 1,所以 ,
因为 ,所以 ,
当 时,在 中, ,
因为 ,所以 ,即 ,
当 时, ,所以 ,
当 时,在 中, ,
因为 ,
所以 ,因此 ,即 .
综上可得, .
法二
设 的平面展开曲线上任意一点 的坐标为 ,设点 在圆柱侧面上对应点为 ,
则在空间直角坐标系中 ,
所以 ,
因为 为平面 的法向量,所以 ,
可得 ,即 .
综上可得, .
19.(1) 由题知 的定义域为 ,且 ,
若 ,则 ,又 ,故 恒成立, 在 上单调递增,
又 ,故不等式 的解集为 .
(2)由(1)知，当 时， 在 上单调递增，没有极值点；
当 时, ,由函数 的图象知,
当 时,存在唯一的 ,使 ,
且当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
故 只有 1 个极值点 ,
因为 ,且 ,故 1 是 在区间 上唯一的零点,且 , 又 时, ,故存在唯一的 ,使得 , 所以 有两个零点.
(3)由(2)知， ， ，
当 时, 时, ,
又 在 上单调递增,
要证 ,只要证 ,即证 ,
由 ,得 ,即要证 ,
因为 ,则 ,所以只需证
设 ,则 ,令 ,
则 ,显然 在 上单调递增,且 ,
所以 在 上恒成立,故 在 上单调递增,
又 ,故 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增,又 ,故 ,
故 ,得到 ,即 (*) 式成立,
故 ,从而 ,证毕.
20.
(2) ；
(3) .
【分析】(1) 由题知 ,点 ,再代入双曲线 即可求解;
(2)由题,当 时 ,再根据距离公式得 和 ,再计算面积,并检验 时满足即可得答案.
(3)结合(2)得,根据累加法得 ,进而得 ,将问题转化为 ,再结合三角函数的性质分类讨论求解即可.
【详解】(1)解:双曲线 的一条渐近线为直线 ，
所以 ,
则点 ,代入双曲线 ,解得 ,
故点 的坐标为 ;
(2)
解:
由题知, ) 的渐近线为 和 ,
点 ,点 ,则 ,即 ,
将其代入 方程得 ，
由距离公式,点 到 的距离分别为 和 ,
故 ,
即 ,
当 时， ，符合上式， 综上所述， ；
(3)解:由(2)知， ， ，
累加可得 ,
当 ， 满足，所以
所以 ,此正弦值是递增的,
当 时, ,所以 ,
在单位圆中分析,可得角 的终边要落在图中阴影部分区域,
其中 ,即 ,
即 位于连续两终边之间,
① 当 为 的正整数倍时,连续两终边的间隔大小为 ，即 ，取 ,此时, ,即 ,当 时, 取得最小值, ;
② 当 不为 的正整数倍时,只考虑 的情况,可设 ( ,
,则 ,此时 ,
因为 ,所以当 为正整数时, 连续两终边的间隔大小小于 ,
则必定存在正整数，使得 的终边落在区间 上，不符合题意；
综上所述， .
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