福建省厦门第一中学2025-2026学年高三下学期第一次周测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省厦门第一中学2025-2026学年高三下学期第一次周测数学试题（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 112.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-18 00:00:00 | ||
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文档简介
福建省厦门第一中学 2025-2026 学年高三 (下) 周练一 数学试卷
满分为 150 分, 考试时间 120 分钟
注意事项:
1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束, 考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 某小组 10 位同学的数学成绩依次为: 101、104、105、120、120、122、124、126、128、 132, 这组数据的上四分位数为 ( )
A. 104 B. 105 C. 125 D. 126
3. 已知复数 满足 ，则 ()
A. B. C. D.
4. 已知函数 为奇函数，则 ( )
A. B. 1 C. 2 D. 4
5. 已知线性相关的两个变量 的取值如下表所示,若其回归方程为 ,那么当 时的残差为( )
7 9 11 13
m 30 45 50
A. -8 B. -9 C. 8 D. 9
6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”. 它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征 (如图 1). 图 2 是一个圆台的侧面展开图 (扇形的一部分),若两个圆弧 所在圆台的底面半径分别是 和 ,且 ,圆台的侧面积为 ,则该圆台的体积为 ( )
图 1
图 2
A. B. C. D.
7. 某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛. 决赛采取 3 局 2 胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为 ,且各局比赛的结果相互独立. 则在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是( )
A. B. C. D.
8. 若存在 和定义在 上的 ,使得 ,则 的最大值为 ( )
A. e B. C. D.
二、多项选释题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分 分.
9. 已知函数 的最小正周期为 ,则下列结论正确的是 ( )
A. B. 的图象关于直线 对称
C. 关于点 中心对称 D. 在 单调递减
10. 某校有男生 人，女生 人，且男生身高的均值为 ，方差为 ，女生身高的均值为 ,方差为 ,全体学生身高均值和方差分别为 ,则下列说法一定正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
11. 在棱长为 2 的正方体 中，点 为正方形 内的动点 (包含边界), 点 为 的中点,则( )
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 若 ,则动点 的轨迹长度为
C. 若点 在线段 上 (不包含端点),则四棱锥 存在外接球
D. 若点 为 的中点，则过 三点的平面与该正方体的截面周长为
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若角 的终边经过点 ，则 _____.
13. 圆 与圆 的两条公切线的交点坐标为_____.
14. 已知 的周长为 2,若 ， ，则 内切圆半径的最大值为_____.
四、解答题:共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的前 项和为 . (1) 求 ；
(2) 求 .
16. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 . (1)求 ；
(2)若点 为 的外心，求 的周长.
17. 已知函数 .
( 1 )当 时，求 在点 处的切线方程；
( 2 )若 在区间 上有零点，求实数 的取值范围.
18. 已知 为坐标原点,动圆 过点 且与直线 相切.
(1)设圆 的圆心 的轨迹为曲线 ，求曲线 的方程；
(2) (i) 过点 斜率为 的直线 与曲线 交于 两点,过 分别作曲线 的两条切线 ,记 与 的交点是 ,若 的面积为 32,求 的值;
(ii) 将 绕 轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值.
19. 维空间中点的坐标可以表示为 ,其中 为该点的第 个坐标. 定义 维空间中任意两点 之间的平均离差二乘距离 . 设 维空间点集 或 1,其中
(1)若 ， ，且点 ， ，写出所有的点 的坐标；
(2)任取 维空间中的不同两点 .
(i) 若 ,求 的概率;
(ii) 记随机变量 ,求 的最大值.
1. B
,
所以 .
故选: B.
2. D
某小组 10 位同学的数学成绩依次为: 101、104、105、120、120、122、124、126、 128、132,
因为 ,所以这组数据的上四分位数为第 8 个数据 126.
3. A
由复数的运算性质,可得 ,则 ,
所以 ,所以 .
4. C
由题意得 ,
则 ,
,整理得 ,所以 , 所以 .
5. A
由题意得:
因为回归直线 过样本中心点 ,
代入 得: ，
又 ,
解得 ,
即 时真实值 ,
当 时,预测值 ,
因此当 时的残差为 .
6. C
,圆台的侧面积为 ,母线长 . 圆台的高 ,
则圆台上下底面面积为 ,
由圆台的体积计算公式可得: . 故选: C.
7. D
设甲获胜为事件 ,甲第一局获胜为事件 ,
则 ,
所以在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是 .
故选: D.
8. B
由题意得: ,即 ,
令 ,由 ,得: ,
令 ,则 ,迭代得: ,
令 ,得: ,
当 时,取 ,则有 ,不合题意;
当 时, ,即 ,
取 ,则有 ,不合题意.
因此,只能 ,此时 ,
即 ,即 ,
令 ,则 ,
所以 在 大于 0,在 小于 0 ;
所以 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,即 的最大值为 .
9. BD
化简得 ,
对于 ,故 错误,
对于 ,令 ,解得 ,
令 ,得 ,故 的图象关于直线 对称,故 B 正确,
对于 ,令 ,解得 ,
令 ,得 关于点 中心对称,故 错误,
对于 , 当 ,则 ,根据余弦函数的性质可知, 在 单调递减, 故 D 正确.
10. ABD
选项 A: 若 ,则全体均值 , A 正确; 选项 B:若 ，则 ，B 正确；
选项 C: 因为
当 时,由 选项可知 ,
代入上式可得 ,若 ,可能 (例如 时), 不成立;
选项 D: 当 时,由 可知 ,代入上式并化简可得
因为 恒成立,故 正确.
故选: ABD.
11. ABD
因为点 为正方形 内的动点,所以点 到平面 的距离为 , 又 为定值,故 正确;
由正方体 ,可得 平面 ,又 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,
同理可证 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 ,所以 平面 ,
点 为正方形 内的动点,所以 ,又 ,
所以动点 的轨迹长度为 ，故 正确；
点 在线段 上 (不包含端点),若四棱锥 存在外接球,
则四边形 需有外接圆,则 ，
又 ，所以 ，此时点 与点 重合(与题意不符合)，
所以四棱锥 不存在外接球，故 C 错误；
点 为 的中点，点 为 的中点，记直线 与 延长线分别交于点 ， 连接 分别交 于 ,连接 ,
则五边形 为过 三点的平面与该正方体的截面,
因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
由勾股定理可得 ，
,同理可得 ,
所以过 三点的平面与该正方体的截面周长为 ,故 正确.
故选: ABD.
12.
根据已知条件可知: ,
则
,
故答案为: .
13.
作图,圆 的圆心 ,半径 ;
圆 ,圆心 ,半径 .
而公切线交点 在圆心连线 上,同侧切点 构成 ,
所以 ,且 与 关于 对称,结合中点坐标公式可得 .
14.
由 ,可得 为锐角,
又由 ,可得 ,
所以 ,
所以 ①
若 ,可得 ,即 且
可得 ,所以①式成立;
若 ,则 ,由 ,所以 ,
由 ,可得 ,
则 ,所以①式不成立；
同理可证: 若 ,则①式左边为正,右边为负;
综上可得, ,所以周长 ,
当且仅当 时取等,所以 ,
内切圆半径 ,所以 的最大值为 .
15.
(2)
(1)因为 ,
所以当 时,
因为 ,所以解得 ;
当 时,
,解得 .
(2)因为 ①，
所以 ②，
所以②——①可得 ， 时，上式也成立，
所以用 代换 可得 ,
所以 ,
这说明数列 是以
为首项,18 为公差的等差数列.
所以 .
16.
(2)
(1) 在 中，由 ，得 ，
所以 ,所以 ,又 ,所以 ,
因为 ,由正弦定理得 ,
由 ,则 所以 ;
(2)由(1)知 ，
因为点 为 的外心,所以 的外接圆半径 ,
在 中 ,所以 ,
所以 ,解得 (舍去) 或 ,
所以 的周长为 .
17.
(2)
(1)因为 ，所以 ，
即 ,
所以切线的斜率为 . 又 ,
所以切线方程为 ,即 .
(2) ，则 ，
① 当 时， ，
所以 在区间 上恒成立, 在区间 上单调递增.
所以 在区间 上恒成立,即 在区间 上无零点.
② 当 时,令 ,
则 在区间 上恒成立,
所以 在区间 上单调递增,即 .
(i) 时, 在区间 上单调递增,
即 在区间 上恒成立,所以 在区间 上无零点.
(ii) 当 时, ,又 ,
所以存在 ,使得 ,
所以当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
即当 时， 取得最小值，因为 ，所以 .
因为 ,所以当 时, ,
此时, 在区间 上恒成立, 在区间 上无零点.
当 时, ,故存在 ,使得 ,
所以实数 的取值范围是 .
18.
(2) (i) ; (ii) .
(1) 设 ,动圆 的半径为 ,则 , 圆心 到直线 的距离 ,
所以 ,化简得 ,所以曲线 的方程为 .
(2)(i)设直线 方程为 ，设 联立 ,消去 得 ,
由韦达定理: .
由方程 得 ,所以 ,
则抛物线 在点 处的切线方程为 ,即 ,
在点 处的切线方程为 ,即 ,
联立 ,解得 ,所以 .
点 到直线 的距离 ,
所以 ,所以 .
(ii) 设 关于 轴的对称点分别为 记以等腰梯形 绕 轴旋转一周得到的圆台体积为 ,以 为底面直径, 为顶点的圆锥体积为 ,以 为底面直径, 为顶点的圆锥体积为 ,所求旋转体体积为:
,又 ,
所以 ,
又 ,
所以
所以 .
当 时取得 “ ”,即 时取得 “ ” 所以所求旋转体体积的最小值为 .
19.
(2) (i) (ii)
(1)由定义可知, 。
即 ,且 ,
所以解得满足方程的 点坐标为:
(2)(i)(固定点 : 设点 ，
因为 ,
因为 或 或 1,
所以 中有两项等于 0,两项等于 1,
所以满足条件的所有可能情况有 ,
因为两不同点 所有可能情况共有 种,
所以 的概率 .
(ii) 设随机变量 ,其中 ,
因为 ,
所以 ,
因为 ,
两边同时求导,得 ,
上式两边同乘 ,求导得
令 ,得 ,
所以 ,
因为 ,
所以 单调递减,因为 ,
所以 . 则 的最大值 .
满分为 150 分, 考试时间 120 分钟
注意事项:
1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束, 考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 某小组 10 位同学的数学成绩依次为: 101、104、105、120、120、122、124、126、128、 132, 这组数据的上四分位数为 ( )
A. 104 B. 105 C. 125 D. 126
3. 已知复数 满足 ，则 ()
A. B. C. D.
4. 已知函数 为奇函数，则 ( )
A. B. 1 C. 2 D. 4
5. 已知线性相关的两个变量 的取值如下表所示,若其回归方程为 ,那么当 时的残差为( )
7 9 11 13
m 30 45 50
A. -8 B. -9 C. 8 D. 9
6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”. 它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征 (如图 1). 图 2 是一个圆台的侧面展开图 (扇形的一部分),若两个圆弧 所在圆台的底面半径分别是 和 ,且 ,圆台的侧面积为 ,则该圆台的体积为 ( )
图 1
图 2
A. B. C. D.
7. 某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛. 决赛采取 3 局 2 胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为 ,且各局比赛的结果相互独立. 则在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是( )
A. B. C. D.
8. 若存在 和定义在 上的 ,使得 ,则 的最大值为 ( )
A. e B. C. D.
二、多项选释题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分 分.
9. 已知函数 的最小正周期为 ,则下列结论正确的是 ( )
A. B. 的图象关于直线 对称
C. 关于点 中心对称 D. 在 单调递减
10. 某校有男生 人，女生 人，且男生身高的均值为 ，方差为 ，女生身高的均值为 ,方差为 ,全体学生身高均值和方差分别为 ,则下列说法一定正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
11. 在棱长为 2 的正方体 中，点 为正方形 内的动点 (包含边界), 点 为 的中点,则( )
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 若 ,则动点 的轨迹长度为
C. 若点 在线段 上 (不包含端点),则四棱锥 存在外接球
D. 若点 为 的中点，则过 三点的平面与该正方体的截面周长为
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若角 的终边经过点 ，则 _____.
13. 圆 与圆 的两条公切线的交点坐标为_____.
14. 已知 的周长为 2,若 ， ，则 内切圆半径的最大值为_____.
四、解答题:共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的前 项和为 . (1) 求 ；
(2) 求 .
16. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 . (1)求 ；
(2)若点 为 的外心，求 的周长.
17. 已知函数 .
( 1 )当 时，求 在点 处的切线方程；
( 2 )若 在区间 上有零点，求实数 的取值范围.
18. 已知 为坐标原点,动圆 过点 且与直线 相切.
(1)设圆 的圆心 的轨迹为曲线 ，求曲线 的方程；
(2) (i) 过点 斜率为 的直线 与曲线 交于 两点,过 分别作曲线 的两条切线 ,记 与 的交点是 ,若 的面积为 32,求 的值;
(ii) 将 绕 轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值.
19. 维空间中点的坐标可以表示为 ,其中 为该点的第 个坐标. 定义 维空间中任意两点 之间的平均离差二乘距离 . 设 维空间点集 或 1,其中
(1)若 ， ，且点 ， ，写出所有的点 的坐标；
(2)任取 维空间中的不同两点 .
(i) 若 ,求 的概率;
(ii) 记随机变量 ,求 的最大值.
1. B
,
所以 .
故选: B.
2. D
某小组 10 位同学的数学成绩依次为: 101、104、105、120、120、122、124、126、 128、132,
因为 ,所以这组数据的上四分位数为第 8 个数据 126.
3. A
由复数的运算性质,可得 ,则 ,
所以 ,所以 .
4. C
由题意得 ,
则 ,
,整理得 ,所以 , 所以 .
5. A
由题意得:
因为回归直线 过样本中心点 ,
代入 得: ，
又 ,
解得 ,
即 时真实值 ,
当 时,预测值 ,
因此当 时的残差为 .
6. C
,圆台的侧面积为 ,母线长 . 圆台的高 ,
则圆台上下底面面积为 ,
由圆台的体积计算公式可得: . 故选: C.
7. D
设甲获胜为事件 ,甲第一局获胜为事件 ,
则 ,
所以在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是 .
故选: D.
8. B
由题意得: ,即 ,
令 ,由 ,得: ,
令 ,则 ,迭代得: ,
令 ,得: ,
当 时,取 ,则有 ,不合题意;
当 时, ,即 ,
取 ,则有 ,不合题意.
因此,只能 ,此时 ,
即 ,即 ,
令 ,则 ,
所以 在 大于 0,在 小于 0 ;
所以 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,即 的最大值为 .
9. BD
化简得 ,
对于 ,故 错误,
对于 ,令 ,解得 ,
令 ,得 ,故 的图象关于直线 对称,故 B 正确,
对于 ,令 ,解得 ,
令 ,得 关于点 中心对称,故 错误,
对于 , 当 ,则 ,根据余弦函数的性质可知, 在 单调递减, 故 D 正确.
10. ABD
选项 A: 若 ,则全体均值 , A 正确; 选项 B:若 ，则 ，B 正确；
选项 C: 因为
当 时,由 选项可知 ,
代入上式可得 ,若 ,可能 (例如 时), 不成立;
选项 D: 当 时,由 可知 ,代入上式并化简可得
因为 恒成立,故 正确.
故选: ABD.
11. ABD
因为点 为正方形 内的动点,所以点 到平面 的距离为 , 又 为定值,故 正确;
由正方体 ,可得 平面 ,又 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,
同理可证 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 ,所以 平面 ,
点 为正方形 内的动点,所以 ,又 ,
所以动点 的轨迹长度为 ，故 正确；
点 在线段 上 (不包含端点),若四棱锥 存在外接球,
则四边形 需有外接圆,则 ，
又 ，所以 ，此时点 与点 重合(与题意不符合)，
所以四棱锥 不存在外接球，故 C 错误；
点 为 的中点，点 为 的中点，记直线 与 延长线分别交于点 ， 连接 分别交 于 ,连接 ,
则五边形 为过 三点的平面与该正方体的截面,
因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
由勾股定理可得 ，
,同理可得 ,
所以过 三点的平面与该正方体的截面周长为 ,故 正确.
故选: ABD.
12.
根据已知条件可知: ,
则
,
故答案为: .
13.
作图,圆 的圆心 ,半径 ;
圆 ,圆心 ,半径 .
而公切线交点 在圆心连线 上,同侧切点 构成 ,
所以 ,且 与 关于 对称,结合中点坐标公式可得 .
14.
由 ,可得 为锐角,
又由 ,可得 ,
所以 ,
所以 ①
若 ,可得 ,即 且
可得 ,所以①式成立;
若 ,则 ,由 ,所以 ,
由 ,可得 ,
则 ,所以①式不成立；
同理可证: 若 ,则①式左边为正,右边为负;
综上可得, ,所以周长 ,
当且仅当 时取等,所以 ,
内切圆半径 ,所以 的最大值为 .
15.
(2)
(1)因为 ,
所以当 时,
因为 ,所以解得 ;
当 时,
,解得 .
(2)因为 ①，
所以 ②，
所以②——①可得 ， 时，上式也成立，
所以用 代换 可得 ,
所以 ,
这说明数列 是以
为首项,18 为公差的等差数列.
所以 .
16.
(2)
(1) 在 中，由 ，得 ，
所以 ,所以 ,又 ,所以 ,
因为 ,由正弦定理得 ,
由 ,则 所以 ;
(2)由(1)知 ，
因为点 为 的外心,所以 的外接圆半径 ,
在 中 ,所以 ,
所以 ,解得 (舍去) 或 ,
所以 的周长为 .
17.
(2)
(1)因为 ，所以 ，
即 ,
所以切线的斜率为 . 又 ,
所以切线方程为 ,即 .
(2) ，则 ，
① 当 时， ，
所以 在区间 上恒成立, 在区间 上单调递增.
所以 在区间 上恒成立,即 在区间 上无零点.
② 当 时,令 ,
则 在区间 上恒成立,
所以 在区间 上单调递增,即 .
(i) 时, 在区间 上单调递增,
即 在区间 上恒成立,所以 在区间 上无零点.
(ii) 当 时, ,又 ,
所以存在 ,使得 ,
所以当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
即当 时， 取得最小值，因为 ，所以 .
因为 ,所以当 时, ,
此时, 在区间 上恒成立, 在区间 上无零点.
当 时, ,故存在 ,使得 ,
所以实数 的取值范围是 .
18.
(2) (i) ; (ii) .
(1) 设 ,动圆 的半径为 ,则 , 圆心 到直线 的距离 ,
所以 ,化简得 ,所以曲线 的方程为 .
(2)(i)设直线 方程为 ，设 联立 ,消去 得 ,
由韦达定理: .
由方程 得 ,所以 ,
则抛物线 在点 处的切线方程为 ,即 ,
在点 处的切线方程为 ,即 ,
联立 ,解得 ,所以 .
点 到直线 的距离 ,
所以 ,所以 .
(ii) 设 关于 轴的对称点分别为 记以等腰梯形 绕 轴旋转一周得到的圆台体积为 ,以 为底面直径, 为顶点的圆锥体积为 ,以 为底面直径, 为顶点的圆锥体积为 ,所求旋转体体积为:
,又 ,
所以 ,
又 ,
所以
所以 .
当 时取得 “ ”,即 时取得 “ ” 所以所求旋转体体积的最小值为 .
19.
(2) (i) (ii)
(1)由定义可知, 。
即 ,且 ,
所以解得满足方程的 点坐标为:
(2)(i)(固定点 : 设点 ，
因为 ,
因为 或 或 1,
所以 中有两项等于 0,两项等于 1,
所以满足条件的所有可能情况有 ,
因为两不同点 所有可能情况共有 种,
所以 的概率 .
(ii) 设随机变量 ,其中 ,
因为 ,
所以 ,
因为 ,
两边同时求导,得 ,
上式两边同乘 ,求导得
令 ,得 ,
所以 ,
因为 ,
所以 单调递减,因为 ,
所以 . 则 的最大值 .
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