福建省南平市顺昌县第一中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）

顺昌一中 2025-2026 学年第二学期高一开学考 数学试题
(考试时间: 120 分钟 试卷满分:150 分)
测试范围:人教 A 版必修第一册
一、单选题: (本大题共 8 个小题, 每个小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的 选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 已知 是第四象限角,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 函数 的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
5. 已知 ，则 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 函数 的最大值为( )
A. 2 B. 3 C. D.
7. 设 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
8. 若定义在 上的函数 满足 ,且 时, ,已知函数 ,则函数 在区间 内的零点个数为( )
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法错误的是( )
A. 已知集合 ，且 ，则实数 为 0 或 3
B. 函数 的最小值为
C. 不等式 解集为 或
D. 一元二次不等式 对一切实数 都成立,则实数 的取值范围是
10. 已知函数 ，且满足 ，则( )
A.
B. 在区间 上单调递增
C.
D. 将 的图像向右平移 个单位长度得到 的图象,那么
11. 已知函数 的定义域均为 的函数图象关于 对称,函数 图象关于点 对称,且 ,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知扇形的半径为 ，弧长为 ，则此扇形的圆心角(正角)的弧度数是_____.
13. 已知函数 ,则
14. 已知函数 ,则满足 的实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. 已知集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
16. 已知
( 1 )若角 的终边过点 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.
17. 已知幂函数 在 上单调递增,二次函数
(1)求实数 的值.
(2)当 时, 的图象恒在 图象的下方,求 的取值范围.
18. 已知函数 的部分图象如图.
(1)求函数 的解析式；
(2)若将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),得到函数 的图象,求函数 的单调递增区间;
(3)函数 在区间 上有且仅有两个零点，求实数 的取值范围.
19. 已知函数 为奇函数,函数 满足 ,且 .
(1)求 的值；
(2)求 的解析式；
(3)若 在区间 上的最小值为 2，求 的值.
1. B
,则 .
2. A
根据题意,命题 “ ”为存在量词命题, 其否定为: .
3. D
已知 是第四象限角, ,则 ,
故选: D
4. D
对数的真数大于 0,
,即 ,解得 ,
令 ,则 ,
的底数 时, 单调递减,
函数 是开口向下的二次函数,对称轴为 ,
在 上单调递增,在 上单调递减,
. 复合函数的单调性满足同增异减，
在 上单调递减,在 上单调递增,故 正确. 故选: D.
5. B
依题意, ,
即 ,
由于 ,所以 ,
当且仅当 时等号成立,所以 的最小值为 2 .
故选: B
6. B
,
所以 ,即 的最大值为 3 .
故选: B
7. B
在 上单调递增,
,
,
在 单调递减,
,
,
,
在区间 单调递增,
,
,
.
故选: B
8. B
函数 的定义域为 ,而 ,即 是周期为 2 的周期函数, 函数 在 上递增,且 ,
在 上递减,且 ,在 上递增,且 ,
在同一坐标系内作出函数 的部分图象,如图,
由 得 ,即函数 在 内的零点个数是函数 的图象在 内的交点个数,
观察图象知,函数 的图象在 内有 12 个交点,
所以函数 在 内有 12 个零点.
故选: B
9. AD
对于 ,当 时, ,与集合元素互异性矛盾,
当 时,解得 或 ,
时, 与集合元素互异性矛盾,
时, ,符合题意,所以 ,故 A 错误;
对于 ,设 ,则 ,
因为 在区间 上单调递增,
所以当 时,函数取得最小值 ,故 正确;
对于 ,不等式 ,等价于 ,解得 或 ,故 正确;
对于 ,因为原式为一元二次不等式,所以 ,
若一元二次不等式 恒成立,
则有 ,解得: ,故 D 错误.
10. ACD
因为 ,且满足 ,
则 ,此时 ,解得 ,
结合 ,当 时 ; 故 A 正确;
,求其单调递增区间即 ,
化简得 ,当 时 ,
同理单调递减区间为 ,
当 时 ,因此在区间 上不单调, 故 B 不正确;
因为 , 故 选项正确;
将 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象,
故 ,
故 ,
即 ,选项 正确.
故选: ACD.
11. ABD
因为 的函数图象关于直线 对称,所以 的图象关于 轴对称,
所以 是偶函数,则 ,故 A 正确;
因为函数 图象关于点 对称,所以 .
因为 ,所以 ,又 ,
所以 ,所以 ,所以
所以函数 的周期为 4,所以 .
因为 ,由 得 ,
由 及 得 .
所以 错误;
因为 ,所以 ,又 ,所以 .
所以 正确;
由 可得,
.
因为 ,所以
正确.
故选: ABD.
12.
设扇形的圆心角为 ,由扇形的弧长公式 ,可得 . 故答案为:
13.
因为函数 ,
则 ,
所以 . 故答案为: .
14.
令 ,定义域为 ,
,所以 为奇函数.
因为 在 上递增,易知函数 在 上为增函数,
因为 ,
所以原不等式可转化为 ,
即 ,
由单调性可得 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
故答案为: .
15. (1) .
(2)
(1) 当 时, ,而 , 则 .
(2)由 ，得 或 ，解得 或 ， 所以 的取值范围是 .
16. (1)
(2)
(1) .
因为角 的终边过点 ,则 ,
所以 .
( 2 )由 ，所以 ，
所以 ,
又 且 ,所以 ,
故 .
由 ,解得 ,
所以 .
17.
(2)
(1) 由幂函数 在 上单调递增,
则 且 ,整理可得 且 ,
解得 .
(2)由(1)可知 ，由 ，则 ，
由题意可得 在 上恒成立,即 ,
当 时,不等式为 在 上显然成立,符合题意;
当 时,令 ,
当 且 时,可得 ,解得 ,所以 ;
当 时,二次函数 的对称轴为直线 ,则 ,
可得 ,解得 ,此时 .
综上可得 .
18. (1)
(2)
(3)
(1) 设函数 的最小正周期为 ,
由函数 的图像,可得 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以函数 ,
又因为 ,所以 ,解得 ,
因为 ,所以令 ,可得 ,
所以函数 的解析式为 .
( 2 )解:函数 的图象先向右平移 个单位长度，
得到 的图象,
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，
得到函数 的图象,所以 ,
令 ,解得 ,
所以函数 的单调递增区间 .
(3)令 ，则 ，
因为函数 在区间 上有且仅有两个零点,
所以方程 在 有且仅有两个实根,
令 ,得 或 ,
所以方程 的较小的三个正根从小到大排列分别是 ,
所以 ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 .
19.
(2)
(3)
(1)由题可得 的定义域为 ,
因为函数 为奇函数,
所以 , 解得: .
(2)由(1)知 的解析式为 ，则 ， 当 ,即 时,由 ,
可得 ,
又 ,符合题意,所以 的解析式为 .
(3)将函数代入 ，
则
由于 ,不妨设 ,
则
因为 ,所以 ,
则 ,所以 在 上单调递增,
则 ,即 ,
令 ,则 ,
所以 在区间 上的最小值为 2,
等价于 在区间 的最小值为 2,
由于 的对称轴为 ,
当 ,即 ,解得 ,满足条件;
当 ,即 ,方程无解;
当 ,即 ,解得 ,不满足条件,
综上可得: .