福建福州市福清第一中学2026届高三第二学期质量检测卷一数学科试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建福州市福清第一中学2026届高三第二学期质量检测卷一数学科试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 131.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-18 00:00:00 | ||
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文档简介
福清一中 2026 届高三第二学期质量检测卷一 数学
完卷时间:120 分钟 满分:150 分
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 ，则复数 在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. “ ” 是“直线 与圆 相切” 的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 的部分图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4. 在平行四边形 中, ,则 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 ,过点 的直线 与抛物线 交于 两点, 为坐标原点，则 ( )
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
6. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到 10 年内每年此农产品的销售额 (单位:万元) 等于上一年的 1.3 倍再减去 3.已知第一年(2024 年)该公司该产品的销售额为 100 万元，则按照计划该公司从 2024 年到 2033 年该产品的销售总额约为( ) (参考数据: )
A. 964 万元 B. 2980 万元 C. 3940 万元 D. 5170 万元
7. 在正四棱台 中， ，且 ，记能将正四棱台 罩住的半球的最小半径为 ，正四棱台 外接球的半径为 ,则 ( )
A. B. 1
C. D.
8. 在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与陪练打 2 局, 当两人获胜局数不少于 3 局时, 则认为这轮训练过关; 否则不过关. 已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为 ,且满足 ,每局之间相互独立. 记甲、 乙在 轮训练中训练过关的轮数为 ,若 ,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为( )
A. 32 B. 31 C. 28 D. 27
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 共 18 分.
9. 若函数 的最小正周期为 ，则()
A.
B. 的图象关于点 对称
C. 函数 是奇函数
D. 将 的图象向右平移 个单位长度后,与函数 的图象重合
10. 已知 是定义在 上的奇函数， ，且 ，则( )
A. B. 是偶函数
C. 4 是 的一个周期 D. 的图象关于点 中心对称
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 ,直线 1: 与两条渐近线交于 两点,若 ,则 的离心率可能是
( )
A. 2 B.2
C. D.
三、填空题:本大题共 3 小题, 共 15 分.
12. 若 的展开式中, 的系数等于 的系数的 5 倍,则 _____.
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线,则 _____.
14. 在锐角 中,角 的对边分别为 ,且 , ，则 的中线 的最大值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 63 分.
15. 设等差数列 的前 项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 ，求证: .
16. 如图，在五面体 中， 是等边三角形， ， ， ,平面 平面 是棱 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)证明: 平面 .
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的值域；
(2)若 ，求 在 上的零点个数.
18. 已知椭圆 过点 ，其离心率 ，点 为椭圆 的上顶点,过点 的两条直线 与椭圆 分别交于 两点,与直线 分别交于 两点, 的重心为点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求弦长 的最大值；
(3)已知点 ，若 ，其中 且 ，证明:当 在变化时，重心 在一条定直线上, 并求出这条定直线方程.
19. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下:棋手的初始分为 200 , 每局比赛, 棋手胜加 100 分; 平局不得分; 棋手负减 100 分. 当棋手总分为 0 时, 挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 300 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续. 已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 ,且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在 3 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖 5 千元. 记 局后比赛终止且棋手获奖 1 万元的概率为 ,求 的最大值.
1. A
由复数 ,可得复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ,位于第一象限.
故选: A.
2. B
由直线 与圆 相切,
得 ,解得 或 ,
则 “ ” 是 “直线 与圆 相切” 的充分不必要条件.
故选: B.
3. A
因为 ,所以 ,
所以 的图象关于原点中心对称,所以 错误.
当 时, ,所以 错误.
故选: A.
4. B
在平行四边形 中,因为 ,
所以 ,
所以 .
故选: B
5. A
当直线 与 轴垂直时,其方程为 ,代入抛物线方程, ,解得 , ,则 .
当直线 不垂直于 轴时,设直线 的方程为 ,
由 ,得 ,则
故 ,
故选: A.
6. C
该公司从 2024 年起的每年销售额依次排成一列可得数列 ,
依题意,当 时, ,即 ,
因此数列 是首项为 90,公比为 1.3 的等比数列, ,即
则 ,
所以从 2024 年到 2033 年该产品的销售总额约为 3940 万元.
故选:
7. D
如图,连接 ,它们的中点分别记为 ,连接 ,易知 为此正四棱台的高,
,则 ,所以 .
过点 作 的垂线,垂足为 ,则 ,
,则 ,
故能将正四棱台 罩住的半球的最小半径 .
设该正四棱台外接球的球心到平面 的距离为 ,则 ,解得 ,故 .
故选: D
8. D
由题可知每一轮过关的概率:
,
因为 ,所以 ,当且仅当 时等号成立, 故 . 因为 ,所以 ,则 . 故选: D.
9. AB
由题意可知 ,解得 ,故 A 正确;
可知 .
令 ,解得 . 当 时,可得 .
所以 的图象关于点 对称,故 正确;
因为 ,
令 ,因为 ,
所以函数 是偶函数,即 是偶函数,故 错误;
将 的图象向右平移 个单位长度后,得到函数
的图象,
与 的图象不重合,故 错误.
故选: AB
10. BCD
对于 ,因为 ,可得 的图象关于 对称,所以
又因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 错误;
对于 ,因为 的图象关于 对称,所以 的图象关于 轴对称,
所以 是偶函数,所以 正确;
对于 ,因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,
又因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,所以函数 是以 4 为周期的周期函数,所以 正确;
对于 ,因为 是定义在 上的奇函数,所以 的图象关于点 对称,
因为 的图象关于直线 对称,所以 的图象关于点 对称,所以 正确.
故选: BCD.
11. AD
由题意可知: 直线 过点 ,且与直线 垂直,
点 到渐近线 的距离 ,
因为 ,可知垂足为 ,且 .
联立方程 ,解得 ;
联立方程 ,解得 ;
当 时,点 在射线 上,则 ,
可得 ,整理得 ,
所以双曲线 的离心率为 ; 当 时,点 在射线 上,则 ,
可得 ,整理得 ,
所以双曲线 的离心率为 ;
综上所述: 的离心率可能是 或 2 .
故选: AD.
12. 7
由二项式定理可知, 的系数为 的系数为 ,由题可得 ,即 ,所以 ,而 且 ,解得 . 故答案为: 7 .
13. 1
由函数 ,可得 ,所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,
又由函数 ,可得 ,
设曲线 的切点为 ,
则 ,解得 . 故答案为: 1 .
14.
,
即 ,即 ,又 ,所以 ,
又 的中线 ,所以 ,
又 为锐角三角形,所以 ,
即 时, .
故答案为:
15.(1)设 的公差为 ，
依题意可得
即 解得
所以 .
(2)由(1)可得 ，
所以 .
.
16. (1) 证明: 取棱 的中点 ,连接 .
因为 分别是棱 的中点,所以 ,
且 . 因为 ,
所以 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 . 因为 平面 平面 ，所以 平面 .
(2)证明:因为 是等边三角形，且 是棱 的中点，
所以 . 因为平面 平面 ,
且平面 平面 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
因为 平面 平面 ,且 平面 , 所以 平面 .
(3)解:由(2)可知 两两垂直，则以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ,所以 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,得 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,得 .
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. (1) 时, ,此时 ,
令 .
则 ,则 在 上单调递增,
则 ,故 在 上单调递增,
则 ;
(2)由题 ，令 ， .
则 ,
时, ,根据正弦函数性质知 在 上的零点个数为 0 ;
时,所以 ,
故 在 上单调递减.
又 ,则 ,使 .
则 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减.
又注意到, ,结合 在 上单调递增,
则 时, ,又 ,
结合 在 上单调递减. 则存在 ,使 .
综上,当 时, 在 上的零点个数为 0,
当 时, 在 上的零点个数为 1 .
18.(1) 由 得 ,又 ,
由 在椭圆 上，得 ,
椭圆 的方程为 .
(2)设 ，
，其中
当 时, 取得最大值,最大值为 .
(3)由 知 三点共线，且直线 斜率存在且不为 0，所以设直线 方程为 ,
恒成立,
直线 ,令 得 ,同理 ,
, , ,
点 在定直线 上.
19.
(2)
(3)
(1) 设每局比赛甲胜为事件 ,每局比赛甲平为事件 ,每局比赛甲负为事件 ,
设“两局后比赛终止”为事件 ， 因为棋手与机器人比赛 2 局, 所以棋手可能得 0 分或 300 分比赛终止.
(i) 当棋手得分为 0 分,则 2 局均负,即 ;
(ii) 当棋手得分为 300 分,则 2 局先平后胜,即 .
因为 互斥,所以
所以两局后比赛终止的概率为 .
(2)设“3局后比赛终止”为事件 ，“3局后棋手挑战成功”为事件 .
因为
,
所以在 3 局后比赛终止的条件下, 棋手挑战成功的概率为
所以在 3 局后比赛终止的条件下,棋手挑战成功的概率为 .
(3)因为 局获奖励 1 万元，说明甲共胜 2 局.
(i) 当棋手第 局以 0 分比赛终止，说明前 局中有 3 负 2 胜，且是“负胜负胜负”的顺序， 其余均为平局,共有 种,
(ii) 当棋手第 局以 300 分比赛终止,说明前 局中有 1 负1 胜,且是先负后胜的顺序, 其余均为平局,共有 种,
则“ 局后比赛终止且棋手获得 1 万元奖励”的概率
所以 .
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 单调递减,
所以当 时, 取最大值为 .
完卷时间:120 分钟 满分:150 分
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 ，则复数 在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. “ ” 是“直线 与圆 相切” 的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 的部分图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4. 在平行四边形 中, ,则 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 ,过点 的直线 与抛物线 交于 两点, 为坐标原点，则 ( )
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
6. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到 10 年内每年此农产品的销售额 (单位:万元) 等于上一年的 1.3 倍再减去 3.已知第一年(2024 年)该公司该产品的销售额为 100 万元，则按照计划该公司从 2024 年到 2033 年该产品的销售总额约为( ) (参考数据: )
A. 964 万元 B. 2980 万元 C. 3940 万元 D. 5170 万元
7. 在正四棱台 中， ，且 ，记能将正四棱台 罩住的半球的最小半径为 ，正四棱台 外接球的半径为 ,则 ( )
A. B. 1
C. D.
8. 在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与陪练打 2 局, 当两人获胜局数不少于 3 局时, 则认为这轮训练过关; 否则不过关. 已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为 ,且满足 ,每局之间相互独立. 记甲、 乙在 轮训练中训练过关的轮数为 ,若 ,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为( )
A. 32 B. 31 C. 28 D. 27
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 共 18 分.
9. 若函数 的最小正周期为 ，则()
A.
B. 的图象关于点 对称
C. 函数 是奇函数
D. 将 的图象向右平移 个单位长度后,与函数 的图象重合
10. 已知 是定义在 上的奇函数， ，且 ，则( )
A. B. 是偶函数
C. 4 是 的一个周期 D. 的图象关于点 中心对称
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 ,直线 1: 与两条渐近线交于 两点,若 ,则 的离心率可能是
( )
A. 2 B.2
C. D.
三、填空题:本大题共 3 小题, 共 15 分.
12. 若 的展开式中, 的系数等于 的系数的 5 倍,则 _____.
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线,则 _____.
14. 在锐角 中,角 的对边分别为 ,且 , ，则 的中线 的最大值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 63 分.
15. 设等差数列 的前 项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 ，求证: .
16. 如图，在五面体 中， 是等边三角形， ， ， ,平面 平面 是棱 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)证明: 平面 .
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的值域；
(2)若 ，求 在 上的零点个数.
18. 已知椭圆 过点 ，其离心率 ，点 为椭圆 的上顶点,过点 的两条直线 与椭圆 分别交于 两点,与直线 分别交于 两点, 的重心为点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求弦长 的最大值；
(3)已知点 ，若 ，其中 且 ，证明:当 在变化时，重心 在一条定直线上, 并求出这条定直线方程.
19. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下:棋手的初始分为 200 , 每局比赛, 棋手胜加 100 分; 平局不得分; 棋手负减 100 分. 当棋手总分为 0 时, 挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 300 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续. 已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 ,且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在 3 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖 5 千元. 记 局后比赛终止且棋手获奖 1 万元的概率为 ,求 的最大值.
1. A
由复数 ,可得复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ,位于第一象限.
故选: A.
2. B
由直线 与圆 相切,
得 ,解得 或 ,
则 “ ” 是 “直线 与圆 相切” 的充分不必要条件.
故选: B.
3. A
因为 ,所以 ,
所以 的图象关于原点中心对称,所以 错误.
当 时, ,所以 错误.
故选: A.
4. B
在平行四边形 中,因为 ,
所以 ,
所以 .
故选: B
5. A
当直线 与 轴垂直时,其方程为 ,代入抛物线方程, ,解得 , ,则 .
当直线 不垂直于 轴时,设直线 的方程为 ,
由 ,得 ,则
故 ,
故选: A.
6. C
该公司从 2024 年起的每年销售额依次排成一列可得数列 ,
依题意,当 时, ,即 ,
因此数列 是首项为 90,公比为 1.3 的等比数列, ,即
则 ,
所以从 2024 年到 2033 年该产品的销售总额约为 3940 万元.
故选:
7. D
如图,连接 ,它们的中点分别记为 ,连接 ,易知 为此正四棱台的高,
,则 ,所以 .
过点 作 的垂线,垂足为 ,则 ,
,则 ,
故能将正四棱台 罩住的半球的最小半径 .
设该正四棱台外接球的球心到平面 的距离为 ,则 ,解得 ,故 .
故选: D
8. D
由题可知每一轮过关的概率:
,
因为 ,所以 ,当且仅当 时等号成立, 故 . 因为 ,所以 ,则 . 故选: D.
9. AB
由题意可知 ,解得 ,故 A 正确;
可知 .
令 ,解得 . 当 时,可得 .
所以 的图象关于点 对称,故 正确;
因为 ,
令 ,因为 ,
所以函数 是偶函数,即 是偶函数,故 错误;
将 的图象向右平移 个单位长度后,得到函数
的图象,
与 的图象不重合,故 错误.
故选: AB
10. BCD
对于 ,因为 ,可得 的图象关于 对称,所以
又因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 错误;
对于 ,因为 的图象关于 对称,所以 的图象关于 轴对称,
所以 是偶函数,所以 正确;
对于 ,因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,
又因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,所以函数 是以 4 为周期的周期函数,所以 正确;
对于 ,因为 是定义在 上的奇函数,所以 的图象关于点 对称,
因为 的图象关于直线 对称,所以 的图象关于点 对称,所以 正确.
故选: BCD.
11. AD
由题意可知: 直线 过点 ,且与直线 垂直,
点 到渐近线 的距离 ,
因为 ,可知垂足为 ,且 .
联立方程 ,解得 ;
联立方程 ,解得 ;
当 时,点 在射线 上,则 ,
可得 ,整理得 ,
所以双曲线 的离心率为 ; 当 时,点 在射线 上,则 ,
可得 ,整理得 ,
所以双曲线 的离心率为 ;
综上所述: 的离心率可能是 或 2 .
故选: AD.
12. 7
由二项式定理可知, 的系数为 的系数为 ,由题可得 ,即 ,所以 ,而 且 ,解得 . 故答案为: 7 .
13. 1
由函数 ,可得 ,所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,
又由函数 ,可得 ,
设曲线 的切点为 ,
则 ,解得 . 故答案为: 1 .
14.
,
即 ,即 ,又 ,所以 ,
又 的中线 ,所以 ,
又 为锐角三角形,所以 ,
即 时, .
故答案为:
15.(1)设 的公差为 ，
依题意可得
即 解得
所以 .
(2)由(1)可得 ，
所以 .
.
16. (1) 证明: 取棱 的中点 ,连接 .
因为 分别是棱 的中点,所以 ,
且 . 因为 ,
所以 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 . 因为 平面 平面 ，所以 平面 .
(2)证明:因为 是等边三角形，且 是棱 的中点，
所以 . 因为平面 平面 ,
且平面 平面 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
因为 平面 平面 ,且 平面 , 所以 平面 .
(3)解:由(2)可知 两两垂直，则以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ,所以 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,得 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,得 .
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. (1) 时, ,此时 ,
令 .
则 ,则 在 上单调递增,
则 ,故 在 上单调递增,
则 ;
(2)由题 ，令 ， .
则 ,
时, ,根据正弦函数性质知 在 上的零点个数为 0 ;
时,所以 ,
故 在 上单调递减.
又 ,则 ,使 .
则 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减.
又注意到, ,结合 在 上单调递增,
则 时, ,又 ,
结合 在 上单调递减. 则存在 ,使 .
综上,当 时, 在 上的零点个数为 0,
当 时, 在 上的零点个数为 1 .
18.(1) 由 得 ,又 ,
由 在椭圆 上，得 ,
椭圆 的方程为 .
(2)设 ，
，其中
当 时, 取得最大值,最大值为 .
(3)由 知 三点共线，且直线 斜率存在且不为 0，所以设直线 方程为 ,
恒成立,
直线 ,令 得 ,同理 ,
, , ,
点 在定直线 上.
19.
(2)
(3)
(1) 设每局比赛甲胜为事件 ,每局比赛甲平为事件 ,每局比赛甲负为事件 ,
设“两局后比赛终止”为事件 ， 因为棋手与机器人比赛 2 局, 所以棋手可能得 0 分或 300 分比赛终止.
(i) 当棋手得分为 0 分,则 2 局均负,即 ;
(ii) 当棋手得分为 300 分,则 2 局先平后胜,即 .
因为 互斥,所以
所以两局后比赛终止的概率为 .
(2)设“3局后比赛终止”为事件 ，“3局后棋手挑战成功”为事件 .
因为
,
所以在 3 局后比赛终止的条件下, 棋手挑战成功的概率为
所以在 3 局后比赛终止的条件下,棋手挑战成功的概率为 .
(3)因为 局获奖励 1 万元，说明甲共胜 2 局.
(i) 当棋手第 局以 0 分比赛终止，说明前 局中有 3 负 2 胜，且是“负胜负胜负”的顺序， 其余均为平局,共有 种,
(ii) 当棋手第 局以 300 分比赛终止,说明前 局中有 1 负1 胜,且是先负后胜的顺序, 其余均为平局,共有 种,
则“ 局后比赛终止且棋手获得 1 万元奖励”的概率
所以 .
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 单调递减,
所以当 时, 取最大值为 .
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