(共62张PPT)
第二课时 等差数列的性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握等差中项的定义，会利用等差中项
解决相关的问题 数学抽象
2.理解并掌握等差数列的性质及数列在实
际问题中的应用 数学运算、数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.
【问题】 （1）每隔一层的球数有什么规律？
（2）每隔二层呢？每隔三层呢？
知识点一 等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称 为x与y的等差中项，根
据等差中项与等差数列的定义可知，A＝ .
A
【想一想】
1. 任何两个实数都有等差中项吗？
提示：任何两个实数都有等差中项.
2. 若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列
吗？
提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c
为等差数列.
1.645和897的等差中项为 .
解析： ＝771.
2. 已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差
中项为2，则公差d＝ .
解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加
得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，
∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4
－2，解得d＝1.
771
1
知识点二 等差数列的性质
1. 等差数列通项公式的推广
通项公式 通项公式的推广
an＝a1＋（n－1）d （揭示首末两项的关系） an＝am＋（n－m）d
（揭示任意两项之间的关系）
2. 等差数列的性质
（1）如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p
＋q，则as＋at＝ .
①特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝ ；
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于
首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
ap＋aq
2as
（2）若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}（c为任一常数）是公差为 的等差数列；
②{can}（c为任一常数）是公差为 的等差数列；
③{an＋an＋k}（k为常数，k∈N＋）是公差为 的等差
数列.
d
cd
2d
（3）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan
＋qbn}（p，q为常数）是公差为 的等差数列.
pd1＋qd2
【想一想】
下列说法是否正确？并说明理由.
（1）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列；
提示： 错误.如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对
值就不是等差数列.
（2）若{｜an｜}是等差数列，则{an}也是等差数列；
提示： 错误.如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差
数列，但其本身不是等差数列.
（3）若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2；
提示： 正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，
都有2an＋1＝an＋an＋2成立.
（4）数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y
＝3x＋5的图象的斜率相等.
提示： 正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x
＋5的斜率也是3.
1. 在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a4＋a9＝（ ）
A. 32 B. 21
C. －33 D. 29
解析： 由等差数列的性质知a4＋a9＝a5＋a8＝21.
2. 在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝
（ ）
A. 90 B. 270
C. 180 D. 360
解析： 因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所
以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
3. 在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值
为 .
解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差中项的应用
【例1】 （1）在△ABC中，若角B是A与C的等差中项，则 cos B＝
（ ）
A. B. －
C. D. －
解析： ∵角B是A与C的等差中项，∴2B＝A＋C，
又∵A＋C＋B＝π，∴3B＝π，即B＝ .∴ cos B＝ .
（2）若 是 与 的等差中项，求证： ， ， 成等差数
列.
证明：∵ 是 与 的等差中项，
∴ ＝ ＋ ，即2ac＝b（a＋c）.
∵ ＋ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ ，
∴ 是 与 的等差中项，
∴ ， ， 成等差数列.
通性通法
a，b，c成等差数列的充要条件是b＝ （或2b＝a＋c），
可利用此关系进行等差数列的判断或有关等差中项的计算.如若证
{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）.
【跟踪训练】
1. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的
等差中项是（ ）
A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
解析： 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的
等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋
n＝6.所以m和n的等差中项为 ＝3.
2. 若 ， ， 是等差数列，求证：b2是a2与c2的等差中项.
证明：由已知得 ＋ ＝ ，通分有 ＝
.
进一步变形有2（b＋c）（a＋b）＝（2b＋a＋c）（a＋c），
整理得a2＋c2＝2b2，所以b2是a2与c2的等差中项.
题型二 等差数列性质的应用
【例2】 （1）已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4
＋a5＝（ ）
A. 30 B. 15
C. 5 D. 10
解析：∵数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝6，∴a3
＝3.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15.
（2）设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝
100，则a37＋b37＝（ ）
A. 0 B. 37
C. 100 D. －37
解析：设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也
是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0，∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
【母题探究】
1. （变条件）若本例（1）中的条件“a2＋a4＝6”变为“a1＋a5＝
6”，其他条件不变，结论又如何呢？
解：由等差数列的性质知，
a1＋a5＝2a3，∴a3＝ ＝ ＝3，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（a1＋a5）＋（a2＋a4）＋a3＝2a3＋2a3
＋a3＝5a3＝15.
2. （变设问）若本例（2）条件不变，令cn＝an＋bn，求数列{cn}的
通项公式.
解：由等差数列的性质知{cn}也是等差数列，
且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，
∴公差d＝c2－c1＝0，∴cn＝c1＋（n－1）d＝100.
通性通法
1. 本例（1）的求解主要用到了等差数列的性质：若s＋t＝p＋q，
则as＋at＝ap＋aq.
对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定
成立.例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1
＋a21＝2a11.
2. 本例（2）应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则
{an＋bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高
我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的训练.
【跟踪训练】
1. 已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为
（ ）
A. 10 B. －10
C. 15 D. －15
解析： 法一 设等差数列{an}的公差为d，则30＝（a1＋3d）
＋（a1＋6d）＋（a1＋9d）＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.a3－2a5
＝（a1＋2d）－2（a1＋4d）＝－a1－6d＝－10.
法二 由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.a3－
2a5＝a3－（a3＋a7）＝－a7＝－10.
2. 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8
＝ .
解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5＝
5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.
180
题型三 等差数列的实际应用
【例3】 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二
年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按
照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年
起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N＋），
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n.
若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an＝220－20n＜0，得n＞11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
通性通法
解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
（1）解决等差数列实际应用问题的基本步骤：①将已知条件翻译成
数学语言，将实际问题转化成数学问题；②构建等差数列模
型，由条件确定a1，d，n，an（或其中两个）；③利用通项公
式或等差数列的性质求解等差数列问题；④将所求结果还原到
实际问题中.
（2）在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数
等关键点.
【跟踪训练】
现有一古题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”大致意思是：“现有一根金棰，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，问中间三尺共重多少斤.”若从头到尾，该金棰每一尺的质量构成等差数列，则该问题的答案为（ ）
A. 6斤 B. 7斤
C. 8斤 D. 9斤
解析： 设每一尺的重量构成等差数列{an}，由题意知，a1＝4，a5
＝2，∴2a3＝a1＋a5＝6，即a3＝3，∴a2＋a3＋a4＝3a3＝9.
1. （多选）在等差数列{an}中，a2＝2，a8＝6，则a2与a8的等差中项
是（ ）
A. a5 B. a4
C. 3 D. 4
解析： ∵a2＋a8＝2a5，∴a5是a2与a8的等差中项.又∵a5＝
＝4，∴a2与a8的等差中项为4.
2. 在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（ ）
A. 12 B. 16
C. 20 D. 24
解析： 因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3. 若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（ ）
A. 26 B. 29
C. 39 D. 52
解析： 因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等
差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所
以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
4. 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下
降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气
温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是 ℃.
解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝
8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－
6.5，∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11.
－11
5. 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的
通项公式.
解：设公差为d，∵a1＋a7＝2a4，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.
∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，
∴a2a6＝9，
即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，亦即（5－2d）（5＋2d）＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 等差数列{an}中a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝（ ）
A. 35 B. 38
C. 45 D. 48
解析： 由等差数列的性质知a3＋a5＝a2＋a6＝38.
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2. 已知等差数列{an}：1，0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0，
20，40，60，…，则数列{an＋bn}是（ ）
A. 公差为－1的等差数列
B. 公差为20的等差数列
C. 公差为－20的等差数列
D. 公差为19的等差数列
解析： （a2＋b2）－（a1＋b1）＝（a2－a1）＋（b2－b1）＝
－1＋20＝19.
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3. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各
节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4
升，则第5节的容积为（ ）
A. 1升 B. 升
C. 升 D. 升
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解析： 设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有
即化简得
解得则a5＝a1＋4d＝ ，故第5节的容
积为 升.
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4. 已知等差数列{an}满足a4＋a5＝24，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝
48，则{an}的公差为（ ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
解析： 因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝48，所以3（a3＋a4）＝
48，即a3＋a4＝16， ①
又因为a4＋a5＝24. ②
②－①得a5－a3＝8，故d＝ ＝4.
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5. （多选）设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则
a，b的关系正确的是（ ）
A. a＝－b B. a＝3b
C. a＝－3b D. a＝b
解析： 由等差中项的定义知：x＝ ，x2＝ ，∴
＝ ，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
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6. （多选）等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（ ）
A. 公差d＝－4
B. a2＝7
C. 数列{an}为递增数列
D. a3＋a4＋a5＝84
解析： ∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.∵a1＝3，
∴d＝4.∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.∴a3＋a4＋a5
＝3a4＝45.故选B、C.
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7. 已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝
32，若am＝8，则m＝ .
解析：因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
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8. 如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4＝ ；a1＋a2
＋…＋a7＝ .
解析：由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4，a1＋a2＋…＋a7＝7a4
＝28.
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9. 已知数列{an}满足① k∈N＋，ak＋1＞ak；② k∈N＋，｜ak＋1－
ak｜≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式
（答案不唯一）.
解析： k∈N＋，ak＋1＞ak，说明数列是递增数列，由 k∈N
＋，｜ak＋1－ak｜＜2，不妨设该数列为等差数列，公差为1，首项
为1，所以an＝n.
an＝n（n∈N
＋）
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10. 有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有
销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单
价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20
元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销
售.某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少.
解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440
元，售价依台数n成等差数列.设该数列为{an}.
an＝780＋（n－1）（－20）＝800－20n，
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解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
当购买台数小于等于18台时，每台售价为（800－20n）元，当台
数大于18台时，每台售价为440元.
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600（元）.
作差（800－20n）n－600n＝20n（10－n），
当n＜10时，600n＜（800－20n）n，
当n＝10时，600n＝（800－20n）n，
当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，
当n＞18时，440n＜600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买
花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.
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11. （多选）在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k（k∈N＋）
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9
是数列{an}的项，则k的值可能为（ ）
A. 1 B. 3
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解析： 由题意得：插入k（k∈N＋）个数，则a1＝b1，a2
＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…，所以等差数列{an}中的项在
新的等差数列{bn}中间隔排列，且下角标是以1为首项，k＋1为
公差的等差数列，所以an＝b1＋（n－1）（k＋1），因为b9是数列{an}
的项，所以令1＋（n－1）（k＋1）＝9，n∈N＋，k∈N＋，当n
＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝
1，故k的值可能为1，3，7，故选A、B、D.
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12. 已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…
＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝ ，若ak＝13，则k
＝ .
解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝ .∵a4＋a5＋…＋a14＝
11a9＝77，∴a9＝7，∴a7＋a9＝ ，设公差为d，则d＝ .∴ak
－a9＝（k－9）d，即13－7＝（k－9）× ，解得k＝18.
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13. 已知等差数列{an}的公差大于零，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝
22.
（1）求数列{an}的通项公式；
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解：因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.
又a3·a4＝117，所以得
解得或又公差d＞0，所以a3＜a4，
所以所以解得
所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3.
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（2）若数列{bn}满足bn＝ ，是否存在非零实数c，使数列
{bn}为等差数列？若存在，求出实数c的值；若不存在，请
说明理由.
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解： 若bn＝ 为等差数列，则必有2b2＝b1＋b3，
又b1＝ ，b2＝ ，b3＝ ，其中c≠0，
所以 ×2＝ ＋ ，所以2c2＋c＝0，所以c＝－ 或c
＝0（舍去）.将c＝－ 代入bn＝ ，得bn＝2n，此时
{bn}为等差数列，即存在非零实数c＝－ ，使数列{bn}为
等差数列.
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14. 已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝
80，则a11＋a12＋a13的值为（ ）
A. 105 B. 120
C. 90 D. 75
解析： 由等差数列的性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝
5，又因为a1·a2·a3＝80，所以a1·a3＝16，所以（a2－d）·（a2＋
d）＝16，即（5－d）（5＋d）＝16，所以d2＝9，又因为d＞
0，所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3（a2＋10d）＝3×（5
＋10×3）＝105.
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15. 已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出
序号能被4除余3的项组成数列{bn}.
（1）求b1和b2；
解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为
首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}
也是等差数列.
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因为a1＝3，d＝－5，
所以an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第
11项，…，
所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
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（2）求{bn}的通项公式；
解：设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4（n－1）＝4n－1，
所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n，
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n（n∈N＋）.
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解： b503＝13－20×503＝－10 047，
设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，
解得m＝2 011，
即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项.
（3）{bn}中的第503项是{an}中的第几项？
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第一课时 等差数列的定义
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项
公式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，
并解决相应的问题 逻辑推理、数学
运算
3.体会等差数列与一元一次函数的关系 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察下列现实生活中的数列：
（1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（单位：cm）由大
至小可组成数列
25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21. ①
（2）某住宅小区2020～2024年的绿化建设有如下数据：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
绿化覆盖率/% 15.8 17.8 19.8 21.8 23.8
2020～2024年各年的绿化覆盖率组成数列
15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%. ②
（3）某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3 min，收
话费0.2元，以后每分钟（不足1 min按1 min计）收话费0.1元.那么通
话费按从小到大的次序依次组成数列
0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，…. ③
【问题】 以上数列有什么共同的特点？
知识点一 等差数列的定义
如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于
常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其
中 称为等差数列的公差.
同一
个
d
【想一想】
1. 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个
数列是等差数列吗？
提示：不一定.必须是同一个常数.即全部的后项减去前一项都等于
同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
2. 将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列
吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由.
提示：不妨设{an}为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，…，a
＋nd，则所有项倒序排列所成数列为数列{bn}：a＋nd，…，a＋
4d，a＋3d，a＋2d，a＋d，a.{bn}仍是等差数列，且公差是
－d.
（多选）下列数列中是等差数列的有（ ）
A. －10，－12，－14，－16，－18
B. －2，－1，0，1，2
C. 5，8，11，14
D. 1，2，2，2，2
解析：ABC A中数列的公差为－2，是等差数列；B中数列的公差为
1，是等差数列；C中数列的公差为3，是等差数列；D中，2－1＝1，2
－2＝0，差不是同一个常数，因此该数列不是等差数列.
知识点二 等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
递推公式 通项公式
＝d（n≥2） an＝
（n∈N＋）
an－an－1
a1＋（n－1）d
【想一想】
1. 等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？
提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋
（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中
p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an
＝q，等差数列为常数列.
2. 等差数列的单调性与公差有何关系？
提示：当d＞0时是递增数列，当d＜0时是递减数列，当d＝0时是
常数列.
3. 等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d是什么函数模型？
提示：d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数.
1. 已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等
于（ ）
A. 4－2n B. 2n－4
C. 6－2n D. 2n－6
解析：C ∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋（n－1）×（－2）＝6
－2n.
2. 在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝（ ）
A. 1 B. －1
C. ±1 D. ±2
解析：C 由已知得解得d＝±1.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列的判断
【例1】 已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为
等差数列：
（1）an＝4－2n；（2）an＝（3）an＝n2＋n.
解：（1）∵an＝4－2n，
∴an＋1＝4－2（n＋1）＝2－2n.
∴an＋1－an＝（2－2n）－（4－2n）＝－2.
故数列{an}是等差数列.
（2）由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列
从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即a3－a2＝
a4－a3＝…＝1，但a2－a1＝0，因此数列{an}不是等差数列.
（3）∵an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋
2，不是常数，故数列{an}不是等差数列.
通性通法
定义法判断数列{an}是否为等差数列的步骤
判断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即
验证其通项是否满足an＋1－an＝d（n∈N＋）.具体步骤为：
（1）作差an＋1－an，并对上式进行变形；
（2）若an＋1－an是常数（即一个与n无关的数），则数列{an}是等差
数列，否则数列{an}不是等差数列.
【跟踪训练】
在数列{an}，{bn}中，已知a1＝ ，且2an＋1＝an＋ ，bn＝
2nan，求证：数列{bn}为等差数列.
证明：法一 由2an＋1＝an＋ 得an＋1＝ an＋ ，所以bn＋1
－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1 －2nan＝1，即bn＋1－bn
＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列.
法二 在2an＋1＝an＋ 的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，
即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等
差数列.
题型二 等差数列的通项公式及应用
【例2】 （1）在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公
式an；
解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5（n∈N＋）.
（2）已知数列{an}为等差数列，a3＝ ，a7＝－ ，求a15的值.
解：（2）设等差数列的首项为a1，公差为d，
由得
解得a1＝ ，d＝－ .
∴a15＝a1＋（15－1）d＝ ＋14× ＝－ .
【母题探究】
（变条件）本例（1）中条件变为“a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝
28”问题不变.
解：设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d
＝4，∴a1＝4－7d.
代入a3a8a13＝28，整理得（4－5d）×4×（4＋5d）＝28，
解得d＝± .
当d＝ 时，a1＝－ ，an＝ n－ ；
当d＝－ 时，a1＝ ，an＝－ n＋ .
通性通法
1. 应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，
可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而
确定通项公式.
2. 若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，
则运用an＝am＋（n－m）d较为简捷.
【跟踪训练】
在等差数列{an}中.
（1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
解：（1）∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
（2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
解：（2）设数列{an}的公差为d.
由已知得解得
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
题型三 灵活设元求解等差数列
【例3】 （1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项
的6倍，求这三个数；
解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得∴这三个数为4，3，2.
（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－
8，求这四个数.
解：（2）法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d
（公差为2d），
依题意，2a＝2，且（a－3d）（a＋3d）＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.
法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d（公差为d），
依题意，2a＋3d＝2，且a（a＋3d）＝－8，
把a＝1－ d代入a（a＋3d）＝－8，
得 ＝－8，即1－ d2＝－8，
化简得d2＝4，∴d＝2或d＝－2.
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，∴d＝2，a＝－2.
故所求的四个数为－2，0，2，4.
通性通法
常见设元技巧
（1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数
为a－d，a＋d，公差为2d；
（2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，
公差为d；
（3）四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a
＋3d，公差为2d.
【跟踪训练】
已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数
之积为40，求这四个数.
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为
2d）.
由题设知
解得或
故这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
1. （多选）下列数列中，是等差数列的是（ ）
A. 1，4，7，10 B. lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C. 25，24，23，22 D. 10，8，6，4，2
解析：ABD 根据等差数列的定义，可得：A中，满足4－1＝7－4
＝10－7＝3（常数），所以是等差数列；B中，满足lg 4－lg 2＝lg
8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2（常数），所以是等差数列；C中，因为
24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数
列；D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2（常数），所以是
等差数列.故选A、B、D.
2. 已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与
公差分别是（ ）
A. 1，4 B. －1，－4
C. 4，1 D. －4，－1
解析：B 因为当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－
5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
3. 在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝ .
解析：法一 设公差为d，则解得所
以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14.
6n－14
法二 设公差为d，则d＝ ＝ ＝6，an＝a4＋（n－4）·d＝10
＋6（n－4）＝6n－14.
4. 若数列{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2 023，
则n＝ .
解析：令1＋3（n－1）＝2 023，解得n＝675.
675
5. 已知数列{an}满足a1＝1.若点 在直线x－y＋1＝0上，
则an＝ .
解析：由点 在直线x－y＋1＝0上，得 － ＋1＝
0，即 － ＝1，∴数列 为等差数列，且公差d＝1.又 ＝
1，∴ ＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝n2.
n2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列说法正确的为（ ）
A. 若a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等差数列
B. 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C. 若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D. 若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
解析： 由等差数列的定义可知A、B、D均错误，只有选项C
正确.
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2. 在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知an＝pn＋q（p，q为常
数），则a2 025＝（ ）
A. 4 048 B. 4 049
C. 4 050 D. 4 051
解析： 法一 根据题意可知数列{an}为等差数列，且公差d＝
＝2，故a2 025＝a1＋（2 025－1）d＝3＋2 024×2＝4 051.
法二 由题易得数列{an}为等差数列，则 ＝ ，解得a2
025＝4 051.
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3. 若等差数列{an}中，已知a1＝ ，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝
（ ）
A. 50 B. 51
C. 52 D. 53
解析： 设公差为d，依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代
入a1＝ ，得d＝ .所以an＝a1＋（n－1）d＝ ＋（n－1）×
＝ n－ ，令an＝35，解得n＝53.
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4. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全
书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有
五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思
为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人
所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”.则第4人所得
钱数为（ ）
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 1钱
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解析： 设从前到后的5个人所得钱数构成首项为a1，公差为d的
等差数列{an}，则有a1＋a2＝a3＋a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝
5，故解得则a4＝a1＋3d＝ － ＝ .故
选C.
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5. （多选）若数列{an}满足a1＝1，3an＋1＝3an＋1，n∈N＋，则数列
{an}是（ ）
A. 公差为1的等差数列
B. 公差为 的等差数列
C. 通项公式为an＝ ＋ 的等差数列
D. 通项公式为an＝ ＋1的等差数列
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解析： 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝
.所以数列{an}是公差为 的等差数列.又因为a1＝1，得到an＝1
＋（n－1）× ＝ ＋ ，故选B、C.
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6. （多选）若等差数列{an}和{bn}的公差均为d（d≠0），则下列数
列中是等差数列的是（ ）
A. {λan}（λ为常数） B. {an＋bn}
C. { － } D. {anbn}
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解析： 对于A，由λan＋1－λan＝λ（an＋1－an）＝λd，
为常数，知数列{λan}是等差数列；对于B，由an＋1＋bn＋1－（an
＋bn）＝（an＋1－an）＋（bn＋1－bn）＝2d，为常数，知数列{an
＋bn}是等差数列；对于C，由 － －（ － ）＝（an＋
1－an）·（an＋1＋an）－（bn＋1－bn）（bn＋1＋bn）＝d[2a1＋
（2n－1）d]－d[2b1＋（2n－1）d]＝2d（a1－b1），为常数，
知数列{ － }是等差数列；对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝（an
＋d）（bn＋d）－anbn＝d2＋d（an＋bn），不为常数，知数列
{anbn}不是等差数列.
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7. 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝ ，a6
＝ .
解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋
（n－1）×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13.
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8. 写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列an＝
.
解析：要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3＜a3，即a1
＋a2＜0，则不妨设a1＝－4，a2＝－2，则an＝－4＋（n－1）×2
＝2n－6.
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－6（答案不唯一）
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9. 数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－
2，公差为4的等差数列.若an＝bn，则n的值为 .
解析：an＝2＋（n－1）×3＝3n－1，bn＝－2＋（n－1）×4＝
4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
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10. 已知等差数列{an}：3，7，11，15，….
（1）135，4m＋19（m∈N＋）是数列{an}中的项吗？试说明
理由；
令an＝4n－1＝135，所以n＝34，
所以135是数列{an}中的第34项.
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N＋.
所以4m＋19是{an}中的第m＋5项.
解：因为a1＝3，d＝4，
所以an＝a1＋（n－1）d＝4n－1.
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（2）若ap，aq（p，q∈N＋）是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是
数列{an}中的项吗？并说明你的理由.
解：因为ap，aq是{an}中的项，
所以ap＝4p－1，aq＝4q－1.
所以2ap＋3aq＝2（4p－1）＋3（4q－1）
＝8p＋12q－5＝4（2p＋3q－1）－1，
因为2p＋3q－1∈N＋，
所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.
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11. （多选）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公
差d≠0，则（ ）
A. a3a6＞a4a5 B. a3a6＜a4a5
C. a3＋a6＝a4＋a5 D. a3a6＝a4a5
解析： 设公差为d，由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋
5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝（a1＋2d）（a1＋5d）＝
＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝ ＋7a1d＋
12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2＜0，故选B、C.
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12. 如果有穷数列a1，a2，…，am（m∈N＋）满足条件：a1＝am，a2
＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列.已知在21项的
“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差
的等差数列，则c2＝ .
解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数
列，所以c20＝1＋9×2＝19.又因为数列{cn}为21项的“对称”数
列，所以c2＝c20＝19.
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13. 已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
（1）设bn＝ ，证明：数列{bn}是等差数列；
解：证明：因为an＋1＝2an＋2n，所以 ＝
＝ ＋1，所以 － ＝1，n∈N＋.
又因为bn＝ ，所以bn＋1－bn＝1.所以数列{bn}是等差数
列，其首项b1＝1，公差为1.
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（2）求数列{an}的通项公式.
解：由（1）知bn＝1＋（n－1）×1＝n，
所以an＝2n－1bn＝n·2n－1.
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14. 我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益
九寸九分六分分之一；冬至晷（ɡuǐ）长一丈三尺五寸，夏至晷长
一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的
日影长度差为99 分；且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；
“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”
时日影长度为（ ）
A. 953 分 B. 1 052 分
C. 1 151 分 D. 1 250 分
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解析： 一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长
度差为99 分，且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏
至”时日影长度最小，为160分.从“冬至”到“立春”有：“小
寒”和“大寒”，且日影长变短，所以“立春”时日影长度为：1
350＋ ×3＝1 052 （分）.
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15. 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N＋）.
（1）当a2＝－1时，求λ及a3的值；
解： ∵a1＝2，a2＝－1，a2＝（λ－3）a1＋2，
∴λ＝ .
∴a3＝－ a2＋22，∴a3＝ .
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（2）是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项
公式；若不存在说明理由.
解： 不存在实数λ使数列 成等差数列.
理由如下：∵a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n，
∴a2＝（λ－3）a1＋2＝2λ－4.
a3＝（λ－3）a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1.
即λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解.
∴不存在实数λ使数列{an}成等差数列.
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