(共66张PPT)
第二课时 导数的几何意义
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方
向飞出.实际上物体（看作质点）做曲线运动时，运动方向在不停地
变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用
导数研究曲线的切线问题.
【问题】 你还能列举出生活中的其他实例吗？
知识点 导数的几何意义
1. 切线的概念
如图，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是
曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接
近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称直线l为
曲线S在点P0处的切线.
2. 导数的几何意义
f'（x0）就是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处（也称在x＝
x0处）的切线的斜率.设曲线在点（x0，f（x0））处切线的斜率为
k0，则
k0＝ ＝f'（x0）.
【想一想】
1. 若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P
（x0，f（x0））处的切线方程是什么？
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'
（x0）（x－x0）.
2. 曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？
提示：不一定.二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲
线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而
直线在某点处切线就是该直线.
3. 函数y＝f（x）的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较
f'（x1），f'（x2）和f'（x3）的大小吗？
提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且
kA＞kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'
（x3）.
1. 如果曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为x＋2y－
3＝0，那么（ ）
A. f'（x0）＞0 B. f'（x0）＜0
C. f'（x0）＝0 D. f'（x0）不存在
解析： 因为在点（x0，f（x0））处切线方程的斜率为－ ，所
以f'（x0）＝－ ＜0.故选B.
2. 如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f'（4）＝
（ ）
A. B. 3
C. 4 D. 5
解析： 根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4
处的切线的斜率k，注意到k＝ ＝ ，所以f'（4）＝ .
3. 抛物线y2＝x与x轴，y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条
直线中，只有 是它的切线.
解析：由切线的定义可知y轴是抛物线y2＝x的切线.
y轴
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求曲线的切线方程
【例1】 已知函数f（x）＝x3，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））
处切线的斜率与方程.
解：因为f'（1）＝
＝ ＝ [3＋3Δx＋（Δx）2]＝3，
所以由导数的几何意义知曲线在（1，f（1））处的切线斜率为k＝f'
（1）＝3.
又因为f（1）＝1，
所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝3（x－
1），即3x－y－2＝0.
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，试问例题中的切线与曲线y＝f（x）
是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，
说明理由.
解：由可得（x－1）2（x＋2）＝0，解得x1＝
1，x2＝－2.从而求得公共点为（1，1），（－2，－8）.
故例题中的切线与曲线y＝f（x）的公共点除切点（1，1）外，还
有点（－2，－8）.
2. （变条件）本例中的条件“f（x）＝x3”若换为“f（x）＝ ”其
他条件不变，试求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处切线的斜率
与方程.
解：因为f'（1）＝ ＝ ＝－1，
所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线斜率k＝f'（1）＝
－1.
又因为f（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切
线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.
通性通法
1. 过曲线上一点求切线方程的步骤
2. 求过曲线y＝f（x）外一点P（x1，y1）的切线方程的步骤
（1）设切点（x0，f（x0））；
（2）利用所设切点求斜率k＝f'（x0）＝
；
（3）用（x0，f（x0）），P（x1，y1）表示斜率；
（4）根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k；
（5）根据点斜式写出切线方程；
（6）将切线方程化为一般式.
【跟踪训练】
已知曲线y＝ x3上一点P ，求：
（1）曲线在点P处的切线方程；
解：∵y'＝ ＝ ＝
＝ [3x2＋3xΔx＋
（Δx）2]＝x2，∴当x＝2时，y'＝4，
∴曲线在点P处的切线的斜率等于4.
故曲线在点P处的切线方程是y－ ＝4（x－2），即12x－3y－
16＝0.
（2）过点P的曲线的切线方程.
解：设切点为（x0，y0），由（1）知y'＝x2，则点（x0，
y0）处的切线斜率k＝ ，切线方程为y－y0＝ （x－x0）.
又切线过点P ，且（x0，y0）在曲线y＝ x3上，
∴
整理得 －3 ＋4＝0，即（x0－2）2（x0＋1）＝0，解得x0＝
2或x0＝－1.
当x0＝2时，y0＝ ，切线斜率k＝4，切线方程为12x－3y－16＝0；
当x0＝－1时，y0＝－ ，切线斜率k＝1，切线方程为3x－3y＋2＝0.
故过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.
题型二 求切点坐标
【例2】 已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出
切点的坐标.
（1）切线的倾斜角为45°；
∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1，
即f'（x0）＝4x0＝1，得x0＝ ，
∴切点的坐标为 .
解：设切点坐标为（x0，y0），则
Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－2 －1＝4x0·Δx＋2（Δx）2，
∴ ＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时， →4x0，即f'（x0）＝4x0.
（2）切线平行于直线4x－y－2＝0；
解： ∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f'（x0）＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为（1，3）.
（3）切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
解： ∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
则k· ＝－1，即k＝8，
即f'（x0）＝4x0＝8，得x0＝2，
∴切点坐标为（2，9）.
通性通法
求切点坐标的步骤
（1）设出切点坐标；
（2）利用导数或斜率公式求出斜率；
（3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
（4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.
【跟踪训练】
直线l：y＝x＋a（a≠0）和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的
值为 ，切点坐标为 .
解析：设直线l与曲线C的切点为（x0，y0），因为y'＝
＝3x2－2x，设曲线C在x0处
的导数为y ，则y ＝3 －2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－ .当x0＝
1时，y0＝ － ＋1＝1，又（x0，y0）在直线y＝x＋a上，将x0＝
1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾，舍去.当x0＝－ 时，y0＝
－ ＋1＝ ，则切点坐标为 ，将 代
入直线y＝x＋a中得a＝ .
题型三 导数几何意义的应用
【例3】 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h（t）＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象.根据图象，请描
述、比较曲线h（t）在t＝t0，t1，t2附近的变化情况.
解：我们用曲线h（t）在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h
（t）在上述三个时刻附近的变化情况.
（1）当t＝t0时，曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h'（t0）
＝0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当t＝t1时，曲线h（t）在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.
这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t1附近单调递减.
（3）当t＝t2时，曲线h（t）在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.
这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t2附近也单调递减.
从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲
线h（t）在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢.
通性通法
导数与函数图象升降的关系
若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数存在且f'（x0）＞0（即切线
的斜率大于零），则函数y＝f（x）在x＝x0附近的图象是上升的；
若f'（x0）＜0（即切线的斜率小于零），则函数y＝f（x）在x＝x0
附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的
快慢.
【跟踪训练】
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高
点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）
之间的关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，求烟花在t＝1 s时的瞬时
速度，并解释烟花升空后至爆裂的运动情况.
解：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值.
因为 ＝ ＝4.9－4.9Δt，
所以h'（1）＝ ＝ （4.9－4.9Δt）＝4.9.
所以在t＝1 s时，烟花正以4.9 m/s的速度上升.
画出二次函数h（t）＝－4.9t2＋14.7t（0≤t≤1.5）
的大致图象，如图所示，结合导数的几何意义，我们可
以看出，在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时
烟花的瞬时速度近似为0，达到最高点时，瞬时速度为0
并爆裂；当t∈[0，1.5）时，曲线在任何点处的切线斜
率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花
在达到最高点前，以越来越小的速度升空.
1. 设f（x）为可导函数，且满足 ＝－1，则曲
线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为（ ）
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
解析： ∵f（x）为可导函数，且满足 ＝
－1，即f'（1）＝－1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的
切线的斜率为f'（1）＝－1.
2. 曲线f（x）＝－ 在点M（1，－2）处的切线方程为（ ）
A. y＝－2x＋4 B. y＝－2x－4
C. y＝2x－4 D. y＝2x＋4
解析： ＝ ＝ ，所以当Δx→0时，f'（1）＝2，即k
＝2.所以切线方程为y＋2＝2（x－1），即y＝2x－4.故选C.
3. 已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是
y＝ x＋2，则f（1）＋f'（1）＝ .
解析：由导数的几何意义得f'（1）＝ ，由点M在切线上得f（1）
＝ ×1＋2＝ ，所以f（1）＋f'（1）＝3.
3
4. 已知曲线y＝f（x）＝ x3上一点P ，求：
（1）点P处的切线的斜率；
解：因为f'（x）＝
＝
＝
＝ [3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝x2，
所以f'（2）＝22＝4.
所以点P处的切线的斜率等于4.
（2）点P处的切线方程.
解：在点P处的切线方程为y－ ＝4（x－2），
即12x－3y－16＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，
则a的值为（ ）
A. 1 B.
C. － D. －1
解析： 因为y'＝ ＝ （2a＋aΔx）＝
2a.所以2a＝2，a＝1.
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2. 已知y＝f（x）的图象如图，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是
（ ）
A. f'（xA）＞f'（xB） B. f'（xA）＜f'（xB）
C. f'（xA）＝f'（xB） D. 不能确定
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解析： 由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B
处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f'（xA）＜f'（xB）.故
选B.
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3. 已知曲线y＝x2＋1上一点A（－1，2），则点A处的切线方程为
（ ）
A. 2x－y＝0 B. 2x＋y＝0
C. x－y＋2＝0 D. x＋2y－3＝0
解析： 由Δy＝（－1＋Δx）2＋1－2＝－2Δx＋（Δx）2，得
＝ （－2＋Δx）＝－2，所以切线斜率为－2，又切线
经过点A（－1，2），所以切线方程为y－2＝－2（x＋1），即2x
＋y＝0.
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4. 过正弦曲线y＝ sin x上的点 的切线与y＝ sin x的图象的交点
个数为（ ）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 无数个
解析： 由切线的定义可知曲线y＝ sin x在点 的切线方程
为y＝1，其与y＝ sin x的图象有无数个交点.
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5. 已知函数f（x）＝x3－x，则曲线y＝f（x）过点（1，0）的切线
条数为（ ）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
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解析： 设切点的坐标为（x0， －x0），∴切线的斜率k＝f'（x0）＝ ＝ ＝ [（Δx）2＋3x0Δx＋
3 －1]＝3 －1，∴过点（x0， －x0）的切线方程为y－
＋x0＝（3 －1）（x－x0），即y＝（3 －1）x－2 .∵切线
过点（1，0），∴2 －3 ＋1＝0，∴2 －2 － ＋1＝0，
∴2 （x0－1）－（x0－1）（x0＋1）＝0，∴（x0－1）·（2
－x0－1）＝0，∴x0＝1或x0＝－ ，∴切线有两条.
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6. （多选）设P0为曲线f（x）＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的
切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为（ ）
A. （1，0） B. （2，8）
C. （－1，－4） D. （－2，－12）
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解析： 设P0的坐标为（x0，y0），f'（x0）＝
＝ ＝3 ＋1.
由于曲线f（x）＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，
所以f（x）在P0处的导数值等于4.则有f'（x0）＝3 ＋1＝4，解
得x0＝±1，所以P0的坐标为（1，0）或（－1，－4）.
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7. 如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，
则f（5）＋f'（5）＝ .
解析：由图象可知f（5）＋f'（5）＝（－5＋8）＋（－1）＝2.
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8. 设f（x）是偶函数，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切
线的斜率为1，则该曲线在点（－1，f（－1））处的切线的斜率
为 .
解析：由偶函数的图象关于y轴对称，可知曲线在点（－1，f（－
1））处的切线的斜率应为－1.
－1
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9. 已知曲线f（x）＝ ，g（x）＝ ，过两曲线交点作两条曲线的
切线，则曲线f（x）在交点处的切线方程为 .
解析：设两曲线的交点坐标为（x0，y0），由得
∴两曲线的交点坐标为（1，1）.由f（x）＝ ，得f'
（1）＝ ＝ ＝ ，∴曲线f（x）在点
（1，1）处的切线方程为y－1＝ （x－1），即x－2y＋1＝0.
x－2y＋1＝0
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10. 已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f（x）＝x3－2x2＋3相
切，求a的值及切点的坐标.
解：设直线l与曲线C相切于点P（x0，y0），
∵ ＝
＝（Δx）2＋（3x0－2）Δx＋3 －4x0.
∴ ＝3 －4x0，即f'（x0）＝3 －4x0，
由导数的几何意义，得3 －4x0＝4，
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解得x0＝－ 或x0＝2.
∴切点的坐标为 或（2，3），
当切点为 时，
有 ＝4× ＋a，∴a＝ ，
当切点为（2，3）时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
当a＝ 时，切点坐标为 ；
当a＝－5时，切点坐标为（2，3）.
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11. （多选）下列命题正确的是（ ）
A. 若f'（x0）＝0，则函数f（x）在x0处无切线
B. 函数y＝f（x）的切线与函数的图象只有一个公共点
C. 曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0
时， ＝－1
D. 若函数f（x）在x＝1处的导数f'（1）＝－1，且f（1）＝2，则f
（x）的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0
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解析： 若f'（x0）＝0，则函数f（x）在x0处的切线斜率为
0，故选项A错误；函数y＝f（x）的切线与函数的图象可以有
两个公共点，例如函数f（x）＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝
－2，与函数的图象还有一个公共点（－2，－2），故选项B错
误；因为曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以
f'（1）＝2，又 ＝－ ＝－ f'（1）＝－1，故选项C正确；因为f'（1）＝－1，又f（1）＝2，所以切点坐标为（1，2），斜
率为－1，所以切线方程为y－2＝－（x－1），化简得x＋y－3＝0，故选项D正确.故选C、D.
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12. 已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f'（x），f'（0）＞
0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则 的最小值为 .
解析：由导数的定义，得f'（0）＝ ＝
＝ （a·Δx＋b）＝b.又因为对于
任意实数x，有f（x）≥0，则所以ac≥ ，
所以c＞0，所以 ＝ ≥ ≥ ＝2.
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13. 已知函数f（x）＝ax2＋1（a＞0），g（x）＝x3＋bx，若曲线y
＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切
线，求a，b的值.
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解：∵f'（x）＝
＝ ＝2ax，
∴f'（1）＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g'（x）＝
＝
＝3x2＋b，
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∴g'（1）＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点（1，c）处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
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14. 设点P是曲线y＝x3－ x＋ 上的任意一点，点P处的切线的倾
斜角为α，则α的取值范围为（ ）
A. ∪ B. ∪
C. D.
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解析： 设切点P（x0，y0），y'＝ ＝
＝ [（Δx）2＋3xΔx＋3x2－
]＝3x2－ ，而3x2－ ≥－ .又点P处的切线的倾斜角为
α，则k＝tan α≥－ .又α∈[0，π），所以α∈
∪ .故选A.
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15. 已知曲线y＝f（x）＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点
（1，a）能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取
值范围；若不存在，请说明理由.
解：∵ ＝ ＝2x＋Δx，
∴f'（x）＝ ＝ （2x＋Δx）＝2x.
设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为k＝f'（x0）＝2x0，由点
斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0（x－x0）.
又∵切线过点（1，a），且y0＝ ＋1，
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∴a－（ ＋1）＝2x0（1－x0），即 －2x0＋a－1＝0.
∵切线有两条，
∴Δ＝（－2）2－4（a－1）＞0，解得a＜2.
故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切
线，a的取值范围是（－∞，2）.
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6.1.2 导数及其几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.理解瞬时变化率、导数的概念 数学抽象
2.理解导数的几何意义 数学抽象
3.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的
切线方程 数学运算
第一课时 瞬时变化率与导数
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
上一节我们学习了用平均速度刻画物体在一段时间内运动的快慢.在
实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车
在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车
在该时刻的瞬时速度.
【问题】 如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系？
知识点 函数的瞬时变化率与导数
1. 物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s＝f（t），当Δt趋近于0时，函
数f（t）在t0到t0＋Δt之间的平均变化率 趋近于
常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度.
2. 函数的瞬时变化率
设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为
Δx，当Δx无限趋近于0时，若平均变化率 ＝
无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在点x＝x0处
的瞬时变化率.记作当Δx→0时， →k.
还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限值等于函数在x0的
瞬时变化率，记作 ＝k.
3. 函数f（x）在x＝x0处的导数
函数y＝f（x）在点x0的瞬时变化率，通常称为f（x）在点x0处的
导数，并记作f'（x0），即f'（x0）＝ .
【想一想】
1. 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数与Δx值的正、负有关吗？
提示：无关.
2. 瞬时速度与平均速度有何区别与联系？
提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均
速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一
时刻无关.联系：瞬时速度是平均速度的极限值.
1. 在f'（x0）＝ 中，Δx不可能（ ）
A. 大于0 B. 小于0
C. 等于0 D. 大于0或小于0
解析： 由导数定义可知Δx≠0.
2. 一个物体的运动方程为s（t）＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的
单位是s，那么该物体在3 s末的瞬时速度是（ ）
A. 7 m/s B. 6 m/s
C. 5 m/s D. 8 m/s
解析： 因为Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋
Δt）2－（1－3＋9）＝5Δt＋（Δt）2，所以s'（3）＝ （5＋
Δt）＝5（m/s），即该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s.
3. 设函数f（x）在x＝x0附近有定义，且有f（x0＋Δx）－f（x0）
＝aΔx＋b（Δx）2（a，b为常数），则（ ）
A. f'（x）＝a B. f'（x）＝b
C. f'（x0）＝a D. f'（x0）＝b
解析： f'（x0）＝ ＝ （a＋
bΔx）＝a.
4. 函数f（x）＝x2在x＝1处的瞬时变化率是 .
解析：∵f（x）＝x2，∴函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率是f'
（1）＝ ＝ ＝ ＝
（2＋Δx）＝2.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求瞬时速度
【例1】 以初速度v0（v0＞0）垂直上抛的物体，t秒时的高度为s
（t）＝v0t－ gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为 .
解析：∵Δs＝v0（t0＋Δt）－ g（t0＋Δt）2－ ＝v0Δt
－gt0Δt－ g（Δt）2，∴ ＝v0－gt0－ gΔt，∴ ＝v0－gt0，
即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
v0－gt0
通性通法
求瞬时速度的步骤
（1）求物体运动位移与时间的关系s＝s（t）；
（2）求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；
（3）求平均速度 ＝ ；
（4）求瞬时速度v'＝ .
【跟踪训练】
一质点按规律s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单
位：s），若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
解：因为Δs＝s（2＋Δt）－s（2）＝a（2＋Δt）2＋1－a·22－1＝
4aΔt＋a（Δt）2，所以 ＝4a＋aΔt，故在t＝2 s时，瞬时速度为s'
（2）＝ ＝ （aΔt＋4a）＝4a.
由题意知，4a＝8，所以a＝2.
题型二 求函数在某一点处的导数
【例2】 利用导数的定义求函数y＝f（x）＝3x2－2x在x＝1处的
导数.
解：Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×12－2×1）＝3（Δx）2
＋4Δx，
∵ ＝ ＝3Δx＋4，
∴f'（1）＝ ＝ （3Δx＋4）＝4.
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，试求函数y＝f（x）在x＝2处的导数.
解：∵Δy＝3（2＋Δx）2－2（2＋Δx）－（3×22－2×2）
＝3（Δx）2＋10Δx，∴ ＝3Δx＋10，
∴f'（2）＝ ＝ （3Δx＋10）＝10.
2. （变条件）若本例中的条件变为“y＝f（x）＝2x－x3”，其他条
件不变，试求f'（1）.
解：∵Δy＝2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2×1－13）
＝－（Δx）3－3（Δx）2－Δx，
∴ ＝－（Δx）2－3Δx－1，
∴f'（1）＝ ＝ [－（Δx）2－3Δx－1]＝－1.
通性通法
求函数y＝f（x）在点x0处的导数的步骤
简称：一差、二比、三极限.
【跟踪训练】
若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则 ＝
（ ）
A. f'（x0） B. 2f'（x0）
C. －2f'（x0） D. 0
解析： 法一
＝
＝ ＋
＝f'（x0）＋
＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）.
法二
＝
＝2 ＝2f'（x0）.
1. 某物体的运动方程为s（t）＝3t2（位移单位：m，时间单位：
s），若v＝ ＝18 m/s，则下列说法中正确的是
（ ）
A. 18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B. 18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的速度
C. 18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D. 18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的平均速度
解析： v＝ 是物体在3 s这一时刻的瞬时速
度.故选C.
2. 设f（x）是可导函数，且 ＝－2，则f'
（x0）＝（ ）
A. 2 B. －1
C. 1 D. －2
解析： 根据题意， ＝f'（x0）＝－2，
故f'（x0）＝－2.故选D.
3. 一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间
的函数关系为s＝ t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为
（ ）
A. 2 B. 1
C. D.
解析： ∵ ＝ ＝ Δt＋2，
∴ ＝ ＝2，故选A.
4. 设函数f（x）＝ax＋b，若f（1）＝f'（1）＝2，则f（2）
＝ .
解析：函数f（x）＝ax＋b在x＝1处的导数为f'（1）＝
＝ ＝
＝a，又f'（1）＝2，得a＝2，而f（1）＝2，有a＋b＝2，于是b
＝0，所以f（x）＝2x，所以f（2）＝4.
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5. 求函数y＝f（x）＝x－ 在x＝1处的导数.
解：因为Δf＝（1＋Δx）－ － ＝Δx＋ ，所以
＝ ＝1＋ .
所以f'（1）＝ ＝ ＝2，
所以函数y＝f（x）＝x－ 在x＝1处的导数为2.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是
（ ）
A. 圆 B. 抛物线
C. 椭圆 D. 直线
解析： 当f（x）＝b时，瞬时变化率 ＝ ＝0，
所以f（x）的图象为一条直线.
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2. 如果质点A按照规律s（t）＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为
（ ）
A. 6 B. 18
C. 54 D. 81
解析： ∵s（t）＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）＝3（3＋Δt）2－3×32＝18Δt＋3
（Δt）2.∴ ＝18＋3Δt.∴ ＝ （18＋3Δt）＝18.故
选B.
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3. 已知f（x）＝x2－3x，则f'（0）＝（ ）
A. Δx－3 B. （Δx）2－3Δx
C. －3 D. 0
解析： f'（0）＝
＝ ＝ （Δx－3）＝－3.故选C.
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4. 函数y＝f（x）的图象如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B. 0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3）
C. 0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
D. 0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
解析： f'（2）为函数y＝f（x）的图象在点B处的切线的斜
率，f'（3）为函数y＝f（x）的图象在点A处的切线的斜率，f
（3）－f（2）＝ ，其几何意义为割线AB的斜率，由
题图可知，0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选C.
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5. 设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝（ ）
A. 2 B. －2
C. －3 D. 3
解析： 因为f'（x）＝
＝ ＝a，
所以f'（1）＝a.又f'（1）＝3，所以a＝3.
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6. 某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用
函数s（t）＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度（单位：
m/s）为（ ）
A. 1 B. 3
C. －1 D. 0
解析： Δs＝（1＋Δt）3－2－13＋2＝1＋3Δt＋3（Δt）2＋
（Δt）3－2－1＋2＝3Δt＋3（Δt）2＋（Δt）3， ＝3＋3Δt＋
（Δt）2， ＝3.所以t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
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7. 一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位
是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 米/秒.
解析：∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2
－1＋3－32＝Δt2＋5Δt，∴ ＝5＋Δt，∴当t＝3时，瞬时速度是
（5＋Δt）＝5 （米/秒）.
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8. 若f'（2）＝3，则 ＝ .
解析： ＝2 ＝2f'（2）
＝6.
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9. 若某物体的运动规律是s＝t3－6t2＋5（t＞0），则在t＝ 时
的瞬时速度为0.
解析：设t＝t0时，瞬时速度为0，
＝ ＝
[（Δt）2＋（3t0－6）Δt＋3 －12t0]＝3 －12t0＝0，∴t0
＝0或t0＝4.又t0＞0，∴t0＝4，∴t＝4时的瞬时速度为0.
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10. 已知函数y＝f（x）＝求f'（4）·f'（－1）的值.
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解：当x＝4时，Δy＝－ ＋
＝ － ＝
＝ .
∴ ＝ .
∴f'（4）＝ ＝
＝ ＝ .
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当x＝－1时， ＝
＝ ＝Δx－2，
由导数的定义，得f'（－1）＝ （Δx－2）＝－2，
∴f'（4）·f'（－1）＝ ×（－2）＝－ .
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11. （多选）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f'（x）的图象
如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是
（ ）
A. （x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0
B. （x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0
C. f ＞
D. f ＜
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解析： 由题中图象可知，导函数f'（x）
的图象在x轴下方，即f'（x）＜0，且其绝对
值越来越小，因此过函数f（x）图象上任一点
的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜
角是越来越大的钝角，由此可得f（x）的大致
图象如图所示.A选项表示x1－x2与f（x1）－f
（x2）异号，即f（x）图象的割线斜率
为负，故A正确；
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B选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）同号，即f（x）图象的割线斜
率 为正，故B不正确；f 表示 对应的函
数值，即图中点B的纵坐标， 表示当x＝x1和x＝x2
时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f
＜ ，故C不正确，D正确.故选A、D.
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12. 函数f（x）＝ 在x＝1处的导数f'（1）＝ .
解析：由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f'（1）＝
，而 ＝ ＝
，又 ＝ ，所以f'（1）＝ .
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13. 甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分
别如图①②.
（1）甲、乙两人谁跑得快？
解：乙跑得快.因为在相同的时间内，甲跑的路程少于
乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.
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（2）甲、乙两人百米赛跑，问：快到终点时，谁跑得较快？
解：乙跑得较快.因为在终点附近的某一时刻甲的瞬时
速度小于乙的瞬时速度.
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14. 已知f（x）＝ ，且f'（m）＝－ ，则m的值等于（ ）
A. －4 B. 2
C. －2 D. ±2
解析： f'（x）＝ ＝－ ，于是有－
＝－ ，m2＝4，解得m＝±2.
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15. 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝
f（x）＝ .
（1）当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么
实际意义？
解： 当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为
＝ ＝ （m3/min），
表示时间从1 min到8 min的过程中，水流量平均以 m3/min
的速度增加.
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（2）求f'（27）并解释它的实际意义.
解： f'（27）＝
＝ ＝
＝
＝ ＝ （m3/min）.
其实际意义是第27 min时，水流量以 m3/min的速度增加.
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