课时跟踪检测部分
第五章 数列
5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
1.C 由＝0.96，解得n＝24.
2.B 因为数列{an}中，an＝，所以a4＝＝，故选B.
3.B a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5.
4.C 由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
5.ACD A、D显然正确；对于B，因为数列{f（n）}是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数an＝f（n），当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列.
6.BD A项，因为an＋1－an＝－＝－＜0，所以是递减数列；B项，因为an＋1－an＝－（n2＋n）＝2n＋2＞0，所以是递增数列；C项，因为an＋1－an＝[1－2（n＋1）]－（1－2n）＝－2＜0，所以是递减数列；D项，因为an＋1－an＝（2n＋1＋1）－（2n＋1）＝2n＞0，所以是递增数列.故选B、D.
7.an＝
解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得
an＝
8.9 解析：由an＝19－2n＞0，得n＜.又因为n∈N＋，所以n≤9.
9.an＝3n－1 解析：设第n幅图中着色的三角形个数为an，由图形可得a1＝1＝30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，a4＝27＝33，据此可归纳得出该数列的一个通项公式为an＝3n－1.
10.解：（1）a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①.
（2）a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图②.
11.C 因为数列{an}是单调递减数列，所以只需k－2＜0且a1＞a2，即k＜2且k＜，故实数k的取值范围为.
12.1－ 解析：因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－.
13.解：（1）∵an＝1＋（n∈N＋，a∈R且a≠0），a＝－7，
∴an＝1＋.结合函数f（x）＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4；a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N＋）.
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
（2）an＝1＋＝1＋.
由对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立及函数f（x）＝1＋的单调性可得5＜＜6，∴－10＜a＜－8.
即实数a的取值范围为（－10，－8）.
14.A 据题意，由关系式＝f（an）得到的数列{an}满足＞an（n∈N＋），即该函数y＝f（x）的图象上任一点（x，y）都满足y＞x，结合图象，只有A满足，故选A.
15.解：（1）证明：因为f（x）＝＝＝－2＋，所以an＝－2＋.因为n∈N＋，所以an＞－2.
（2）数列{an}为递减数列.
因为an＝－2＋，所以an＋1－an＝－＝－＝＜0，
即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列.
5.1.2 数列中的递推
1.C ∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
2.A a8＝S8－S7＝82－72＝64－49＝15.
3.A 由an＋1＝得an＋1－an＝，a17＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（a17－a16）＝1＋×16＝13，故选A.
4.C a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，…，归纳可知，当n＞1时，若n为奇数，an＝；若n为偶数，an＝，所以a2 024－a2 025＝－＝－.
5.BC an＝－n2＋11n＝－＋，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值.故选B、C.
6.ABC 数列{an}满足an＋1＝a1＝，依次取n＝1，2，3，4，…，代入计算得，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，…，继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为，，，.故选A、B、C.
7.10 解析：设an＝，前3项和S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10.
8.2n－1 解析：当n≥2时，an－an－1＝2，则an－1－an－2＝2，…，a2－a1＝2，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2（n－1）＋1＝2n－1，
又a1＝1符合上式，因此an＝2n－1.
9.1 012 解析：将数列{an}的奇数项、偶数项分开看，奇数项为1，－1，2，－2，…，发现a2n－1＋a2n＋1＝0，∴a2 023＋a2 025＝a2×1 012－1＋a2×1 012＋1＝0；偶数项为1，2，3，…，∴a2n＝n，当2n＝2 024时，a2 024＝1 012，∴a2 023＋a2 024＋a2 025＝1 012.
10.解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1－9＝－8；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[（n－1）2－9（n－1）]＝2n－10.
注意到n＝1时也满足a1＝2×1－10＝－8，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－10.
（2）因为5＜ak＜8，即5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9.
又k∈N＋，所以k＝8.
11.C 由an＝解得an＝5－4n，a1＝1，所以na1＝n，所以nan＝5n－4n2，因为na1－Sn＝n－（3n－2n2）＝2n2－2n＝2n（n－1）＞0（当n≥2时）.Sn－nan＝3n－2n2－（5n－4n2）＝2n2－2n＞0（当n≥2时）.所以na1＞Sn＞nan.
12.∪ 解析：由题意数列{an}中，nan＋1＝（n＋1）an＋1，即nan＋1－（n＋1）an＝1，则有－＝＝－，则有＝＋＋（ －）＋…＋＋a1＝＋＋＋…＋＋2＝3－＜3，又对于任意的n∈N＋，不等式＜2t2－1恒成立，即3≤2t2－1恒成立，解得t≤－或t≥.
13.解：∵anan－1＝an－1－an，且an≠0，
∴当n≥2时，－＝1.
∴＝＋＋＋…＋
＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.
∴＝n＋1，∴an＝（n≥2）.
又∵n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝.
14.AC 根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2（n≥3），所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 023＝F2 025－1.故选A、C.
15.解：（1）∵xn＋2＝＝＝＝xn，
∴a2xn＝（a＋1）＋xn，即（a2－1）xn＝（a＋1）.
令n＝1，得（a2－1）x1＝（a＋1），
要使该式对任意的x1≠－1都成立，
则有解得a＝－1.
（2）数列{xn}是递减数列.
理由如下：∵x1＞0，xn＋1＝，∴xn＞0.
又∵xn＋1－xn＝－xn＝－＜0，
∴数列{xn}是递减数列.
5.2 等差数列
5.2.1 等差数列
第一课时 等差数列的定义
1.C 由等差数列的定义可知A、B、D均错误，只有选项C正确.
2.D 法一 根据题意可知数列{an}为等差数列，且公差d＝＝2，故a2 025＝a1＋（2 025－1）d＝3＋2 024×2＝4 051.
法二 由题易得数列{an}为等差数列，则＝，解得a2 025＝4 051.
3.D 设公差为d，依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.所以an＝a1＋（n－1）d＝＋（n－1）×＝n－，令an＝35，解得n＝53.
4.C 设从前到后的5个人所得钱数构成首项为a1，公差为d的等差数列{an}，则有a1＋a2＝a3＋a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5，故解得则a4＝a1＋3d＝－＝.故选C.
5.BC 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列.又因为a1＝1，得到an＝1＋（n－1）×＝＋，故选B、C.
6.ABC 对于A，由λan＋1－λan＝λ（an＋1－an）＝λd，为常数，知数列{λan}是等差数列；对于B，由an＋1＋bn＋1－（an＋bn）＝（an＋1－an）＋（bn＋1－bn）＝2d，为常数，知数列{an＋bn}是等差数列；对于C，由－－（－）＝（an＋1－an）·（an＋1＋an）－（bn＋1－bn）（bn＋1＋bn）＝d[2a1＋（2n－1）d]－d[2b1＋（2n－1）d]＝2d（a1－b1），为常数，知数列{－}是等差数列；对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝（an＋d）·（bn＋d）－anbn＝d2＋d（an＋bn），不为常数，知数列{anbn}不是等差数列.
7.3 13 解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋（n－1）×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13.
8.2n－6（答案不唯一） 解析：要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3＜a3，即a1＋a2＜0，则不妨设a1＝－4，a2＝－2，则an＝－4＋（n－1）×2＝2n－6.
9.5 解析：an＝2＋（n－1）×3＝3n－1，bn＝－2＋（n－1）×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
10.解：因为a1＝3，d＝4，
所以an＝a1＋（n－1）d＝4n－1.
（1）令an＝4n－1＝135，所以n＝34，
所以135是数列{an}中的第34项.
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N＋.
所以4m＋19是{an}中的第m＋5项.
（2）因为ap，aq是{an}中的项，
所以ap＝4p－1，aq＝4q－1.
所以2ap＋3aq＝2（4p－1）＋3（4q－1）
＝8p＋12q－5＝4（2p＋3q－1）－1，
因为2p＋3q－1∈N＋，
所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.
11.BC 设公差为d，由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝（a1＋2d）（a1＋5d）＝＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2＜0，故选B、C.
12.19 解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝1＋9×2＝19.又因为数列{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19.
13.解：（1）证明：因为an＋1＝2an＋2n，所以＝＝＋1，所以－＝1，n∈N＋.
又因为bn＝，所以bn＋1－bn＝1.所以数列{bn}是等差数列，其首项b1＝1，公差为1.
（2）由（1）知bn＝1＋（n－1）×1＝n，
所以an＝2n－1bn＝n·2n－1.
14.B 一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分，且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.从“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影长变短，所以“立春”时日影长度为：1 350＋×3＝1 052（分）.
15.解：（1）∵a1＝2，a2＝－1，a2＝（λ－3）a1＋2，∴λ＝.
∴a3＝－a2＋22，∴a3＝.
（2）不存在实数λ使数列成等差数列.
理由如下：∵a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n，
∴a2＝（λ－3）a1＋2＝2λ－4.
a3＝（λ－3）a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1.
即λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解.
∴不存在实数λ使数列{an}成等差数列.
第二课时 等差数列的性质
1.B 由等差数列的性质知a3＋a5＝a2＋a6＝38.
2.D （a2＋b2）－（a1＋b1）＝（a2－a1）＋（b2－b1）＝－1＋20＝19.
3.B 设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有即化简得解得则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升.
4.C 因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝48，所以3（a3＋a4）＝48，即a3＋a4＝16， ①
又因为a4＋a5＝24. ②
②－①得a5－a3＝8，故d＝＝4.
5.AB 由等差中项的定义知：x＝，x2＝，∴＝，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
6.BC ∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.∵a1＝3，∴d＝4.∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45.故选B、C.
7.8 解析：因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
8.4 28 解析：由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4，a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
9.an＝n（n∈N＋） 解析： k∈N＋，ak＋1＞ak，说明数列是递增数列，由 k∈N＋，｜ak＋1－ak｜＜2，不妨设该数列为等差数列，公差为1，首项为1，所以an＝n.
10.解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列.设该数列为{an}.
an＝780＋（n－1）（－20）＝800－20n，
解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
当购买台数小于等于18台时，每台售价为（800－20n）元，当台数大于18台时，每台售价为440元.
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600（元）.
作差（800－20n）n－600n＝20n（10－n），
当n＜10时，600n＜（800－20n）n，
当n＝10时，600n＝（800－20n）n，
当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，
当n＞18时，440n＜600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.
11.ABD 由题意得：插入k（k∈N＋）个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…，所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且下角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋（n－1）（k＋1），因为b9是数列{an}的项，所以令1＋（n－1）（k＋1）＝9，n∈N＋，k∈N＋，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1，3，7，故选A、B、D.
12. 18 解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7，∴a7＋a9＝，设公差为d，则d＝.∴ak－a9＝（k－9）d，即13－7＝（k－9）×，解得k＝18.
13.解：（1）因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.
又a3·a4＝117，所以得
解得或又公差d＞0，所以a3＜a4，
所以所以解得
所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3.
（2）若bn＝为等差数列，则必有2b2＝b1＋b3，
又b1＝，b2＝，b3＝，其中c≠0，
所以×2＝＋，所以2c2＋c＝0，所以c＝－或c＝0（舍去）.将c＝－代入bn＝，得bn＝2n，此时{bn}为等差数列，即存在非零实数c＝－，使数列{bn}为等差数列.
14.A 由等差数列的性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝5，又因为a1·a2·a3＝80，所以a1·a3＝16，所以（a2－d）·（a2＋d）＝16，即（5－d）（5＋d）＝16，所以d2＝9，又因为d＞0，所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3（a2＋10d）＝3×（5＋10×3）＝105.
15.解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列.
（1）因为a1＝3，d＝－5，
所以an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，
所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
（2）设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4（n－1）＝4n－1，
所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n，
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n（n∈N＋）.
（3）b503＝13－20×503＝－10 047，
设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，
解得m＝2 011，
即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项.
5.2.2 等差数列的前n项和
第一课时 等差数列的前n项和公式
1.A 设{an}的公差为d，依题意可得，－4×2＋d＝－7，∴d＝1，∴a7＝－4＋6＝2.
2.B 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋（1－11）d＝0＋（－10）×（－2）＝20.
3.A 由S5＝＝＝55，解得a3＝11.∴P（3，11），Q（4，15），∴k＝＝4.故选A.
4.C 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数图象的对称性及S2 012＝S2 021，Sk＝S2 008，可得＝，解得k＝2 025，故选C.
5.C 设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，则由题意可得解得
所以小满日影长为a11＝13.5＋10×（－1）＝3.5（尺）.
6.B 等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝S5＝15，所以a4＋a5＝0，所以2a1＋7d＝0.再根据S3＝3a1＋3d＝15，可得a1＝7，d＝－2，则S7＝7a1＋d＝49＋21×（－2）＝7.
7. 解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d.a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6， ①
S5＝5a1＋×5×（5－1）d＝10， ②
由①②联立解得a1＝1，d＝.
8. 解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，前n项和为Sn，则S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
9.8 099 解析：设数列{an}的前n项和为Sn，由已知可得数列{an}的前n项的“均倒数”为＝＝，
可得Sn＝（2n＋1）n＝2n2＋n，所以，a2 025＝S2 025－S2 024＝－（2×2 0242＋2 024）＝8 099.
10.解：（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
∴an＝a1＋（n－1）d＝12＋（n－1）×2＝10＋2n.
（2）由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22（舍去）.故n＝11.
11.BC 由S7＝＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.
12.15 101 解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，
∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝＝72－63＝9.又∵am＝a1＋d（m－1），∴＝9，∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.∵＝135，∴m＝15，∴d＝＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.
13.解：（1）由题意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以
解得a1＝7.
综上，S6＝－3，a1＝7.
（2）因为S5S6＋15＝0，
所以（5a1＋10d）（6a1＋15d）＋15＝0，
即2＋9da1＋10d2＋1＝0，
所以（4a1＋9d）2＝d2－8，所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2或d≥2.
14.C S＝（1＋2＋3＋…＋n）＋n＝＋n≤120，所以n（n＋3）≤240，所以n＝14.
15.解：①③ ②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，
所以－＝（n＋1）－n＝（常数），所以数列{}是等差数列.
①② ③.
已知{an}是等差数列，{}是等差数列.
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③ ①.
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
设数列{}的公差为d，d＞0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋（n－1）d＝nd，所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－（n－1）2d2＝2d2n－d2（n≥2），是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列.
第二课时 等差数列前n项和的性质及应用
1.B ∵＝，∴＝.∴n＝10，故选B.
2.B 等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
3.A 由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1，∴S200＝（a1＋a200）＝100.
4.C 根据等差数列的性质可得am－1＋am＋1＝2am.∵am－1＋am＋1－＝0，∴am＝0或am＝2.若am＝0，显然S2m－1＝（2m－1）am＝38不成立，∴am＝2.∴S2m－1＝（2m－1）am＝38，解得m＝10.
5.B ∵等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n可看作是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝＝.又∵S6＝Sk，∴＝，解得k＝7.
6.AC 因为a1＋3a5＝S7，所以a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋d，又因为d＝1，解得a1＝－3.对选项A，a5＝a1＋4d＝1，故A正确；对选项B，an＝－3＋n－1＝n－4，因为a1＝－3＜0，a3＝－1＜0，a4＝0，a5＝1＞0，所以Sn的最小值为S3或S4，故B错误；对选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，又因为a4＝0，所以S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确；对选项D，因为a1＝－3＜0，d＝1＞0，所以Sn无最大值，故D错误.
7.5 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.
8.5 －9 解析：依题意得：解得所以a6＝－5＋10＝5，Sn＝－5n＋×2＝n2－6n，当n＝3时，Sn的最小值为－9.
9.405 解析：由a203＋a204＞0知a1＋a406＞0，即S406＞0，又由a1＜0且a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0，所以使前n项和Sn＜0的最大自然数n＝405.
10.解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜
＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d
＝13n＋×（－4）
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜
＝（a1＋a2＋a3＋a4）－（a5＋a6＋…＋an）
＝S4－（Sn－S4）＝2S4－Sn
＝2×－（15n－2n2）
＝2n2－15n＋56.
∴Tn＝
11.B 法一 设数列{an}的公差为d，由题意得解得故S20＝20a1＋×d＝180.
法二 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10（a1＋a20）＝10（a2＋a19）＝10×（－8＋26）＝180.
12.ABD 依题意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝×12＝6（a6＋a7）.而a7＜0，所以a6＞0，a1＞0，d＜0，A选项正确.且解得－＜d＜－3，B选项正确.由于S13＝×13＝13a7＜0，而S12＞0，所以Sn＜0时，n的最小值为13，C选项错误.由上述分析可知，n∈[1，6]时，an＞0，n≥7时，an＜0；当n∈[1，12]时，Sn＞0，当n≥13时，Sn＜0.所以当n∈[7，12]时，an＜0，Sn＞0，＜0，且当n∈[7，12]时，｜an｜为递增数列，Sn为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项，D选项正确.故选A、B、D.
13.解：（1）法一 设{an}的公差为d，
由3a5＝5a8，得3（a1＋4d）＝5（a1＋7d），∴d＝－a1.
∴Sn＝na1＋×＝－a1n2＋a1n＝－a1（n－12）2＋a1.
∵a1＞0，∴当n＝12时，Sn取得最大值.
法二 由3a5＝5a8得9a5＝15a8，∴S9＝S15.由Sn对应的二次函数图象的对称性可知，当n＝＝12时，Sn取得最大值.
（2）由（1）及a1＝－46，得d＝－×（－46）＝4，
∴an＝－46＋（n－1）×4＝4n－50，
Sn＝－46n＋×4＝2n2－48n.
∴bn＝＝＝2n＋－52≥2－52＝－32，
当且仅当2n＝，即n＝5时，等号成立.
故bn的最小值为－32.
14.3 11 解析：由题意知，S10＝5×1＋d1＋5×2＋d2＝75，故d1＋d2＝6.∵对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，∴a2k－1＜a2k＜a2k＋1（k∈N＋），即1＋（k－1）d1＜2＋（k－1）d2＜1＋kd1，取k＝2时，可得1＋d1＜2＋d2＜1＋2d1，结合d1＋d2＝6可解得＜d1＜，＜d2＜，又d1，d2为整数，∴d1＝3＝d2.∴a8＝a2＋3d2＝2＋3×3＝11.
15.解：选①：设数列{an}的公差为d，a5＝6，a1＋S3＝50，
则解得a1＝14，d＝－2，即an＝14－2（n－1）＝16－2n，
当an≥0时，有16－2n≥0，得n≤8，
∴当n≤7时，an＞0；n＝8时，an＝0；n≥9时，an＜0，
∴n＝7或n＝8时，Sn取最大值.
选②：设数列{an}的公差为d，由S12－S9＞0，得a12＋a11＋a10＞0，由等差中项的性质有3a11＞0，即a11＞0，
由a2＋a21＜0，得a2＋a21＝a11＋a12＜0，
∴a12＜0，故d＝a12－a11＜0，
∴当n≤11时，an＞0，n≥12时，an＜0，故n＝11时，Sn取最大值.
选③：设数列{an}的公差为d，由S9＞0，得S9＝＝＞0，可得a5＞0，由S10＜0，得S10＝＝＜0，可得a5＋a6＜0，∴a6＜0，故d＝a6－a5＜0，∴当n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0，故n＝5时，Sn取最大值.
5.3 等比数列
5.3.1 等比数列
第一课时 等比数列的定义
1.A ∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405.
2.C 设公比为q，由题意得q3＝＝8，解得q＝2.
3.D 由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 026＝log332 025＝2 025.
4.B 数列{an－1}为等比数列 ＝＝q，即：λan－2＝qan－q恒成立，可知： λ＝2.
5.AC 设等比数列{an}的公比为q，
∵ ＝｜q｜，∴{｜an｜}是等比数列.
当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，
∴{an－an＋1}不是等比数列.
∵＝＝，∴是等比数列.
当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列.
故只有A、C一定是等比数列.
6.AC 因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以a2＋a4＝2（a3＋1），因为a3＝4.又{an}是公比为q的等比数列，所以由a2＋a4＝2（a3＋1），得a3＝2（a3＋1），即q＋＝，解得q＝2或.
7.－1或2 解析：设首项为a1，显然a1q≠0，由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2.
8.2，8，32（答案不唯一） 解析：因为数列{an}的通项公式为an＝3n－1，所以数列{an}中的项依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…，显然＝，所以2，8，32能构成等比数列.
9. －1 解析：由题意可得＝，
即（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋6d），
故有3a1＋2d＝0， ①
由2a1＋a2＝1，得3a1＋d＝1， ②
联立①②解得d＝－1，a1＝.
10.解：（1）设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
所以4q＋2q2＝30，所以q2＋2q－15＝0，
所以q＝3或－5.因为an＞0，所以q＝3.
所以an＝a1qn－1＝2×3n－1（n∈N＋）.
（2）因为b1＝a2，所以b1＝6.又bn＋1＝bn＋an，所以bn＋1＝bn＋2·3n－1.
所以b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，b4＝b2＋2×32＝14＋18＝32，b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
11.ABC 由题意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，则bn＋1－bn＝[2a1＋（2n＋3）d]－[2a1＋（2n＋1）d]＝2d，因此数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是公差为2d的等差数列，即A、B正确，D错误；当a1≠0，d＝0时bn＝2a1，此时数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比数列，即C正确.故选A、B、C.
12.2 5n－3 解析：∵a1＜b1，b2＜a3，∴∴b（a－2）＜a＜b，∴a＜3，又∵a＞1，且a∈N＋，∴a＝2.∵对于任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，∴令n＝1，得2＋（m－1）b＋3＝b，∴b（2－m）＝5，又∵2－m＜2，且2－m∈N＋，∴∴an＝a＋（n－1）b＝5n－3.
13.解：（1）证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－（4an＋2）＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1.于是－＝，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，
＝＋（n－1）×＝n－.
所以an＝（3n－1）·2n－2.
14.C 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝.
15.解：（1）证明：因为＝＝2d（n＝1，2，3）是同一个常数，所以，，，依次构成等比数列.
（2）令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d（a＞d，a＞－2d，d≠0）.
假设存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列，
则＝，即a4＝（a－d）（a＋d）3，
同理得（a＋d）6＝a2（a＋2d）4.
令t＝，则1＝（1－t）（1＋t）3，且（1＋t）6＝（1＋2t）4，化简得t3＋2t2－2＝0 （*），且t2＝t＋1.
将t2＝t＋1代入（*）式，得t（t＋1）＋2（t＋1）－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－.
显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列.
第二课时 等比数列的性质
1.C 由题意得，am＝＝（a1q2）5＝q10＝q10＝q11－1，所以m＝11.故选C.
2.B 由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即（a1·a5）·（a2·a4）·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝，所以＝1，得a3＝1.
3.C ∵a3a8a13＝，∴lg（a3a8a13）＝lg ＝3lg a8＝6，∴a8＝100，∴a1a15＝＝10 000，故选C.
4.B 根据等比数列的性质可得a4·a7＝a3·a8＝－512，又a3＋a8＝124，所以或因为公比为整数，所以所以q5＝＝－32，所以q＝－2.
5.C 由题意得，每年末的本利和依次构成以1＋2.50%＝1.025为公比，8×1.025为首项的等比数列，所以第十年末的本利和为8×1.025×1.02510－1＝8×1.02510万元.故选C.
6.ABD 根据题意，分析选项.对于B，若K6＝K7，则a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列单调递减，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D.
7.1 024 解析：设等比数列{an}的公比为q，
a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝·q6＝1， ①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝·q54＝8，②
②÷①得q48＝8，q16＝2，所以a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝·q166＝·q6·q160＝（·q6）·（q16）10＝210＝1 024.
8.2 048 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}（1≤n≤10，n∈N＋），则第10个正方形的面积S＝＝（）2＝211＝2 048.
9. 解析：由等比数列性质知a2a7a12＝＝3，解得a7＝，又数列{bn}为等差数列，b1＋b7＋b13＝3b7＝6π，解得b7＝2π，又b2＋b12＝2b7＝4π，a3a11＝＝3，所以tan＝tan＝tan＝.
10.解：依题意＝a1a17，即（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d），所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d.设数列{}的公比为q，则q＝＝＝3，
所以＝a13n－1， ①
又因为＝a1＋（bn－1）d＝a1， ②
由①②得a1·3n－1＝·a1.
因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.
11.AD 当an＝1时，log2（an）2＝0，数列{log2（an）2}不一定是等比数列.当q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不一定是等比数列.由等比数列的性质知和{an＋an＋1＋an＋2}都是等比数列.故选A、D.
12.e5 50 解析：因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又因为a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln（a1a2…a20）＝ln[（a1a20）·（a2a19）·…·（a10a11）]＝ln（a10a11）10＝ln（e5）10＝ln e50＝50.
13.解：（1）由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1.
经验证，n＝1时，上式也成立，
所以an＝2kn－k＋1.
（2）因为am，a2m，a4m成等比数列，
所以＝am·a4m，
即（4mk－k＋1）2＝（2km－k＋1）（8km－k＋1），
整理得mk（k－1）＝0.因为对任意的m∈N＋成立，所以k＝0或k＝1.
14.ABC 由于等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，所以（a7－1）＜0，由题意得a6＞1，a7＜1，所以0＜q＜1. 因为a6a7＋1＞2，所以a6a7＞1，T12＝a1·a2·…·a11·a12＝＞1，T13＝＜1.故选A、B、C.
15.解：不存在.理由如下：
假设存在符合条件的等比数列{an}，
则a3a4＝a1a6＝，与a1＋a6＝11联立，
解得或（舍去，因为an＋1＞an）.
设{an}的公比为q，由a6＝a1q5，得＝q5，解得q＝2，
所以an＝·2n－1（n∈N＋）.
又因为am－1，，am＋1＋成等差数列，
所以2＝am－1＋，
即2＝（·2m－2）＋（·2m＋），
化简整理，得22m－7·2m－8＝0，即（2m－8）·（2m＋1）＝0.
因为2m＋1＞0，所以2m－8＝0，即2m＝8，所以m＝3.
这与条件（3）中的m＞4矛盾.
所以不存在符合条件的等比数列{an}.
5.3.2 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和公式
1.C 由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或q＝1.
2.B 法一 设等比数列{an}的公比为q，则由
解得
所以Sn＝＝2n－1，
an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B.
法二 设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n，故选B.
3.C 由a5＝a2q3，得q3＝，所以q＝，而数列{anan＋1}也为等比数列，其首项为a1·a2＝8，公比为q2＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝（1－4－n）.
4.C 设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＝q15S5＝23×2＝16.
5.D 由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，所以q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.
6.ABC ∵a1＞1，a7a8＞1，＜0，∴a7＞1，0＜a8＜1，∴0＜q＜1，故A正确；a7a9＝＜1，故B正确；T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；因为a1＞1，0＜q＜1，所以Sn无最大值，故D不正确.故选A、B、C.
7.（答案不唯一） 解析：根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列，an＝就是符合条件的一个通项.
8.450 解析：由＝q，q＝2，得＝2 a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝（a1＋a3＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝150＋300＝450.
9. 解析：由题意知，q≠1，由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，＝，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为＝.
10.解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.
由题意得
即解得
故数列{an}的通项公式为an＝3×（－2）n－1.
（2）由（1）有Sn＝＝1－（－2）n.
若存在正整数n，使得Sn≥2 025，则1－（－2）n≥2 025，
即（－2）n≤－2 024.
当n为偶数时，（－2）n＞0，上式不成立；
当n为奇数时，（－2）n＝－2n≤－2 024，即2n≥2 024，则n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为{n｜n＝2k＋1，k∈N，k≥5}.
11.BCD 因为an＝2n－1，所以{an}是等比数列，且a1＝1，公比q＝2，所以S2＝a1＋a2＝3，Sn＝＝2n－1.Sn－Sn＋1＝2n－1－（2n＋1－1）＝－2n＜0，所以Sn＜Sn＋1，＝＝（）n，所以{}是等比数列.
12.（1）73 （2）1－ 解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝，∴a3＝73.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×＋8×＋82×＋…＋8n－1×＝＝1－.
13.解：（1）令n＝1，则由Sn＝an＋1＋t可得S1＝a2＋t，a2＝1－t，
当n≥2时，由Sn＝an＋1＋t可得Sn－1＝an＋t，
两式相减，可得an＝an＋1－an，即an＋1＝2an，
依题意，{an}为等比数列，故a2＝2＝1－t，t＝－1.
（2）由（1）可知{an}为首项等于1，公比等于2的等比数列，故an＝2n－1，
故{（cos nπ）·an}为首项等于－1，公比等于－2的等比数列，
故an＝（－1）（－2）n－1.
故Tn＝＝（－2）n－.
14.C 由题意知，马每天行走的路程构成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有＝700（里），
则a1＝（里），则＝（里）.
故选C.
15.解：（1）设等差数列{bn}的公差为d，由a1＝3，a3＝9，得b1＝log2（a1－1）＝log22＝1，b3＝log2（a3－1）＝log28＝3，
∴b3－b1＝2＝2d，∴d＝1，∴bn＝1＋（n－1）×1＝n.
（2）由（1）知bn＝n，∴log2（an－1）＝n，∴an－1＝2n，∴an＝2n＋1.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝（2＋1）＋（22＋1）＋…＋（2n＋1）
＝（2＋22＋…＋2n）＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.
第二课时 数列求和
1.A 由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以前99项的和为S99＝（2－1）＋（22－1）＋…＋（299－1）＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.
2.B 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以由Sn＝2an＋1，得Sn＝2（Sn＋1－Sn），整理得3Sn＝2Sn＋1，所以＝，所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故Sn＝.
3.B ∵对数函数y＝logax的图象过定点（1，0），∴函数y＝loga（x－1）＋3的图象过定点（2，3），则a2＝2，a3＝3，故an＝n，∴bn＝＝－，∴T10＝＋＋…＋＝1－＝，故选B.
4.D 因为an＝＝1－，所以Sn＝＋＋＋…＋＝n－（＋＋＋…＋）＝n－＝n－1＋，令n－1＋＝＝5＋，所以n＝6.
5.C ∵＝an＋an＋2，a1＝2 024，a2＝2 025，∴a3＝1，a4＝－2 024，a5＝－2 025，a6＝－1，a7＝2 024，…，∴＝an，且a1＋a2＋…＋a6＝0.∴S2 025＝337（a1＋a2＋…＋a6）＋（a1＋a2＋a3）＝4 050.故选C.
6.ACD 由Sn＋an＝2p，可得S1＋a1＝2a1＝2p，即a1＝p，n≥2时，Sn－1＋an－1＝2p，Sn＋an＝2p，相减可得2an－an－1＝0，即数列{an}是首项为p，公比为的等比数列，故A正确；由A可得p＝1时，S5＝＝，故B错误；｜a3｜＋｜a8｜＝｜p｜＝｜p｜·，｜a5｜＋｜a6｜＝｜p｜＝｜p｜·，因为p为非零常数，所以｜p｜＞0，则｜a3｜＋｜a8｜＞｜a5｜＋｜a6｜，故C正确；由A可得am·an＝am＋n，等价为p2·＝p·，可得p＝，故D正确.故选A、C、D.
7. 解析：∵等比数列{an}中，a1＝1，3a3＝2a2＋a4，∴3q2＝2q＋q3.又∵q≠1，∴q＝2，∴an＝2n－1，∴＝，即是首项为，公比为的等比数列，∴数列的前4项和为＝.
8.24 650 解析：当n＝1时，a1＝S1＝9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－n2－[10（n－1）－（n－1）2]＝－2n＋11，当n＝1时也满足，所以an＝－2n＋11（n∈N＋），所以当n≤5时，an＞0，bn＝an，当n＞5时，an＜0，bn＝－an，所以T4＝S4＝10×4－42＝24，T30＝S5－a6－a7－…－a30＝2S5－S30＝2×（10×5－52）－（10×30－302）＝650.
9. 解析：由an＋1＝an（1－an＋1），得－＝1，因此数列是以＝1为首项，1为公差的等差数列，所以＝n，即an＝，bn＝anan＋1＝＝－，所以S10＝b1＋b2＋…＋b10＝＋＋…＋＝1－＝.
10.解：（1）证明：当n＝1时，a1＝S1，S1－2a1＝1－4，解得a1＝3.
由Sn－2an＝n－4可得Sn－2（Sn－Sn－1）＝n－4（n≥2），
即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－（n－1）＋2].
因为S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，
于是Tn＝（22＋23＋…＋2n＋1）＋（1＋2＋…＋n）－2n＝＋－2n＝.
11.AC 因为an＋an＋1＝3n，所以an＋1＋an＋2＝3n＋1，两式相减得an＋2－an＝2×3n，所以a2 024＝（a2 024－a2 022）＋（a2 022－a2 020）＋…＋（a4－a2）＋a2＝2×（32＋34＋…＋32 022）＋2＝，故A正确，B错误.S2 025＝a1＋（a2＋a3）＋（a4＋a5）＋…＋（a2 024＋a2 025）＝1＋（32＋34＋…＋32 024）＝，故C正确，D错误.故选A、C.
12.n＋1 解析：由题意a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，∴n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝（n－1）·2n－1，两式相减得2n－1an＝n·2n－（n－1）·2n－1＝（n＋1）·2n－1，an＝n＋1，又a1＝2，满足an＝n＋1，∴an＝n＋1，Sn＝＝.
13.解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且解得
所以an＝1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.
（2）由（1）得＝，
Sn＝1＋＋＋…＋＋， ①
2Sn＝2＋3＋＋…＋＋. ②
②－①，得Sn＝2＋2＋＋＋…＋－
＝2＋2×－
＝2＋2×－＝6－.
14.D 当n为奇数时，an＝n2－（n＋1）2＝－2n－1，当n为偶数时，an＝－n2＋（n＋1）2＝2n＋1，所以a1＝－3，a2＝5，a3＝－7，a4＝9，…，故a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 024＝2×＝2 024.故选D.
15.解：（1）因为4Sn＝（an＋1）2，
所以当n＝1时，4a1＝4S1＝（a1＋1）2，解得a1＝1.
当n≥2时，4Sn－1＝（an－1＋1）2，又4Sn＝（an＋1）2，
所以两式相减得4an＝（an＋1）2－（an－1＋1）2，
可得（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，
因为an＞0，所以an－an－1＝2，
所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
（2）若选条件①，
bn＝＝＝，
则Tn＝［＋＋＋…＋］＝＝.
若选条件②，
bn＝3n·an＝3n·（2n－1），
则Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋（2n－1）×3n， ①
3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋（2n－1）×3n＋1， ②
①－②得－2Tn＝3＋2×（32＋33＋…＋3n）－（2n－1）×3n＋1＝－6＋（2－2n）·3n＋1，
可得Tn＝（n－1）·3n＋1＋3.
若选条件③，
由an＝2n－1可得Sn＝＝n2，
所以bn＝＝＝，
故Tn＝［＋＋＋…＋］＝＝.
5.4 数列的应用
1.C 设年增长率为x，则2020年为：40（1＋x）10＝50，则（1＋x）10＝.2030年为：40（1＋x）20＝40×[（1＋x）10]2＝40××＝62.5≈63（万吨）.
2.B “三角形数”的通项公式an＝，前n项和公式为Sn＝1＋3＋6＋…＋＝＋＝＋，当n＝10时，S10＝＋＝220.故选B.
3.A 由题意可知，弹性小球每次着地后又跳回原来高度的再落下，其每次触地至下一次触地前所经过的路程可看成等比数列，公比q＝，首项为，所以该数列前n项和为·，所以总路程Sn＝100＋·，n≥2，化简可得Sn＝500－400×，因为400＞0，所以Sn＜500.
4.C 三角形数组成的数列的通项公式an＝，正方形数组成的数列的通项公式bn＝n2，验证知C项符合条件.
5.B 由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝＝90，即共织布90尺.
6.A 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35.
7.45 解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45（分钟）.
8.4 解析：由题意知，此人每天写的字数构成等差数列{an}，其中a1＝4，a3＝12，设公差为d，则d＝＝4.
9.40 解析：设这n台收割机工作的时间（单位：小时）依次为a1，a2，…，an，依题意，{an}是一个等差数列，且
由②得＝24n，所以a1＋an＝48. ③
将①③联立，解得a1＝40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40小时.
10.解：1月存入款的利息：1 000×12×0.35%，
2月存入款的利息：1 000×11×0.35%，
…
11月存入款的利息：1 000×2×0.35%，
12月存入款的利息：1 000×1×0.35%，
于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和
S12＝1 000×12×0.35%＋1 000×11×0.35%＋…＋1 000×2×0.35%＋1 000×1×0.35%＝1 000×0.35%×（1＋2＋3＋…＋12）＝1 000×0.35%×＝273（元）.
应纳税273×20%＝54.6（元）.
实际取出1 000×12＋273－54.6＝12 218.4（元）.
11.A 设“衰分比”为q，则18＋18q＋18q2＝38，解得q＝或q＝－（舍去）.
12.解：（1）设甲企业前n年的总销售量为Sn，第n年的销售量为an，乙企业第n年的销售量为bn，根据题意，
得Sn＝（n2－n＋2），bn－bn－1＝（n≥2）.
∴a1＝S1＝p.
当n≥2时，∵an＝Sn－Sn－1＝p（n－1），
∴an＝
∵bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1），
∴bn＝p＋＋…＋＝p.
（2）∵an≥p，bn≥p，∴an＞bn＞bn，
故甲企业不可能被乙企业收购，
当n＝1时，a1＝b1＝p，乙企业不可能被甲企业收购，
当n≥2时，∵an＞bn p（n－1）＞p，
∴n＞11－，
则当n＝2，3时，经验证，n＜11－，
当4≤n≤10且n∈N＋时，有11－＞10，
∴n＜11－，
当n≥11且n∈N＋时，11－＜11，
∴必有n≥11，则n＞11－，
故当n＝11时，即2028年乙企业将被甲企业收购.
13.解：（1）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），
则数列{an}（1≤n≤9）是等差数列，a1＝30，公差为50，所以a9＝30＋50×（9－1）＝430，a10＝430－20＝410，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为（a1＋a2＋…＋a9）＋a10＝＋410＝2 480（人）.
（2）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），
11月k日新感染者人数最多，当1≤n≤k时，an＝50n－20.
当k＋1≤n≤30时，an＝（50k－20）－20（n－k）＝－20n＋70k－20，
因为这30天内的新感染者总人数为11 940人，所以＋＝11 940，
得－35k2＋2 135k－ 9 900＝11 940，即k2－61k＋624＝0，
解得k＝13或k＝48（舍），
此时a13＝50×13－20＝630.
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
14.C 第n月的家用商品需求量为Sn－Sn－1＝（21n－n2－5）－[21（n－1）－（n－1）2－5]＝；令＞1.5，即n2－15n＋54＜0，解得6＜n＜9.
15.解：最底层正方体的棱长为1，
则该正方体除底面外的表面积为5×12＝5；
倒数第2个正方体的棱长为1×＝，
它的侧面积为4×＝4×，
倒数第3个正方体的棱长为×＝.
它的侧面积为4×＝4×；
倒数第n个小正方体的棱长为，
它的侧面积为4×＝4×，
则Sn＝5＋4×［＋＋＋…＋］＝5＋4×＝9－＝9－.
5.5 数学归纳法
1.C 假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.
2.A 因为n≥2，所以第一步应验证当n＝2时，1＋＜2－.
3.C 因为f（k）＝k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2），f（k＋1）＝（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2）＋（3k－1）＋3k＋（3k＋1），则f（k＋1）－f（k）＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.
4.A 三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面（0＋2＝0＋（3－1））；五棱柱有5个对角面（2＋3＝2＋（4－1））；六棱柱有9个对角面；（5＋4＝5＋（5－1））.猜想：若k棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱有f（k）＋k－1个对角面.故选A.
5.C 当n＝k时，左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，故不等式左边的变化是增加和两项，同时减少一项.
6.A 令n＝1，2，3，
得
即
解得a＝，b＝，c＝.
7.2k＋1 解析：∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需证n＝2k＋1时，命题成立.
8.1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，
所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25（k＋1）－1.
9.k＋1 解析：f（k）＝1＋，f（k＋1）＝1＋，∴f（k＋1）－f（k）＝－＝k＋1，∴f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）.
10.证明：（1）当n＝2时，左边＝f（1）＝1，
右边＝2×＝1，左边＝右边，等式成立.
（2）假设n＝k（k≥2，k∈N＋）时，等式成立，
即f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＝k[f（k）－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＋f（k）
＝k[f（k）－1]＋f（k）
＝（k＋1）f（k）－k
＝（k＋1）－k
＝（k＋1）f（k＋1）－（k＋1）
＝（k＋1）[f（k＋1）－1]，
∴当n＝k＋1时等式仍然成立.
由（1）（2）可知，f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）成立.
11.A 由条件知，，，…，对应的圆心角都是，且半径依次为1，2，3，4，…，故弧长依次为，×2，×3，….据题意，第1圈长度为（1＋2＋3），第2圈长度为（4＋5＋6），……第n圈长度为[（3n－2）＋（3n－1）＋3n]，故Ln＝（1＋2＋3＋…＋3n）＝·＝（3n2＋n）π.
12.解：（1）a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
（2）由（1）的计算猜想an＝.
下面用数学归纳法进行证明.
①当n＝1时，a1＝1，猜想成立.
②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据①②可知，对任意n∈N＋都有an＝.
13.解：（1）当n＝1时，f（1）＝1，g（1）＝1，所以f（1）＝g（1）；
当n＝2时，f（2）＝，g（2）＝，所以f（2）＜g（2）；
当n＝3时，f（3）＝，g（3）＝，
所以f（3）＜g（3）.
（2）由（1）猜想f（n）≤g（n）.
下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝1，2，3时，不等式显然成立.
②假设当n＝k（k≥3，k∈N＋）时，不等式成立，
即1＋＋＋＋…＋＜－.
那么，当n＝k＋1时，
f（k＋1）＝f（k）＋＜－＋.
因为f（k＋1）－g（k＋1）＜－＋－
＝－
＝－＝＜0，
所以f（k＋1）＜g（k＋1）.
由①②可知，对一切n∈N＋，都有f（n）≤g（n）成立.
14.5 解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5； 当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
15.解：（1）由P1的坐标为（1，－1）知，a1＝1，b1＝－1，
∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝，∴点P2的坐标为，故直线l的方程为2x＋y＝1.
（2）证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋（－1）＝1，命题成立.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝（2ak＋1）＝＝＝1，故当n＝k＋1时，命题也成立.
由①和②知，对任意的n∈N＋，都有2an＋bn＝1成立，即点Pn都在直线l上.
第六章 导数及其应用
6.1 导数
6.1.1 函数的平均变化率
1.B 函数f（x）从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝，割线AB的倾斜角为，故选B.
2.C Δs＝（3×32＋1）－（3×22＋1）＝15.∴＝＝15.
3.B 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1（t）在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2（t）在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙.
4.D 因为Δs＝5－3（1＋Δt）2－（5－3×12）＝－3（Δt）2－6Δt，所以平均速度v＝＝＝－3Δt－6.
5.D k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx.所以k1－k2＝2Δx，因为Δx的正负不确定，所以k1与k2的大小关系也不确定.
6.ABC 根据平均变化率的计算公式，可得＝，所以在x＝1附近取Δx＝0.3，则平均变化率的公式为＝，则要计算平均变化率的大小，只需先计算Δy＝f（1.3）－f（1）的大小，下面逐项判定：
A中，函数y＝x，Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.3，＝1，正确；B中，函数y＝x2，Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.69，＝2.3，正确；C中，函数y＝x3，Δy＝f（1.3）－f（1）＝1.197，＝3.99，正确；D中，函数y＝中，Δy＝f（1.3）－f（1）≈－0.23，≈－0.77，错误，故选A、B、C.
7.[x3，x4] 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f（x）在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f（x）的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
8.5 解析：因为函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所以＝＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2（舍去）.
9.2π＋π·Δr 解析：＝＝2π＋π·Δr.
10.解：函数f（x）＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝＝＝－2x0－Δx.
当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为－；
当x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为－；
当x0＝3，Δx＝时，平均变化率的值为－.
∵－＞－＞－，
∴函数f（x）＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大.
11.CD Δx＝b－a，Δy＝f（b）－f（a）＝5（b－a），＝＝5，所以平均变化率与a，b的取值没有关系.
12.（0，＋∞） 解析：函数f（x）在[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝＝－3－Δx，由－3－Δx≤－1得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是（0，＋∞）.
13.解：因为ΔV＝m3－×13＝（m3－1），
所以＝＝，
即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍去）.
14.①②③ 解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误.
15.解：（1）在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为
T（0）＝＋15＝39，
T（10）＝＋15＝23，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃.
（2）平均变化率为＝－＝－1.6.
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
6.1.2 导数及其几何意义
第一课时 瞬时变化率与导数
1.D 当f（x）＝b时，瞬时变化率＝＝0，所以f（x）的图象为一条直线.
2.B ∵s（t）＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）＝3（3＋Δt）2－3×32＝18Δt＋3（Δt）2.∴＝18＋3Δt.∴＝（18＋3Δt）＝18.故选B.
3.C f'（0）＝
＝＝（Δx－3）＝－3.故选C.
4.C f'（2）为函数y＝f（x）的图象在点B处的切线的斜率，f'（3）为函数y＝f（x）的图象在点A处的切线的斜率，f（3）－f（2）＝，其几何意义为割线AB的斜率，由题图可知，0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选C.
5.D 因为f'（x）＝
＝＝a，
所以f'（1）＝a.又f'（1）＝3，所以a＝3.
6.B Δs＝（1＋Δt）3－2－13＋2＝1＋3Δt＋3（Δt）2＋（Δt）3－2－1＋2＝3Δt＋3（Δt）2＋（Δt）3，＝3＋3Δt＋（Δt）2，＝3.所以t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
7.5 解析：∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－1＋3－32＝Δt2＋5Δt，∴＝5＋Δt，∴当t＝3时，瞬时速度是（5＋Δt）＝5 （米/秒）.
8.6 解析：＝2＝2f'（2）＝6.
9.4 解析：设t＝t0时，瞬时速度为0，
＝
＝[（Δt）2＋（3t0－6）Δt＋3－12t0]＝3－12t0＝0，∴t0＝0或t0＝4.又t0＞0，∴t0＝4，∴t＝4时的瞬时速度为0.
10.解：当x＝4时，Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴f'（4）＝＝
＝＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2，
由导数的定义，得f'（－1）＝（Δx－2）＝－2，
∴f'（4）·f'（－1）＝×（－2）＝－.
11.AD 由题中图象可知，导函数f'（x）的图象在x轴下方，即f'（x）＜0，且其绝对值越来越小，因此过函数f（x）图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f（x）的大致图象如图所示.A选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）异号，即f（x）图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）同号，即f（x）图象的割线斜率为正，故B不正确；f表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f＜，故C不正确，D正确.故选A、D.
12. 解析：由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f'（1）＝，而＝＝，又＝，所以f'（1）＝.
13.解：（1）乙跑得快.因为在相同的时间内，甲跑的路程少于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.
（2）乙跑得较快.因为在终点附近的某一时刻甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度.
14.D f'（x）＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
15.解：（1）当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝（m3/min），
表示时间从1 min到8 min的过程中，水流量平均以 m3/min的速度增加.
（2）f'（27）＝
＝＝
＝
＝＝（m3/min）.
其实际意义是第27 min时，水流量以 m3/min的速度增加.
第二课时 导数的几何意义
1.A 因为y'＝＝（2a＋aΔx）＝2a.所以2a＝2，a＝1.
2.B 由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f'（xA）＜f'（xB）.故选B.
3.B 由Δy＝（－1＋Δx）2＋1－2＝－2Δx＋（Δx）2，得＝（－2＋Δx）＝－2，所以切线斜率为－2，又切线经过点A（－1，2），所以切线方程为y－2＝－2（x＋1），即2x＋y＝0.
4.D 由切线的定义可知曲线y＝sin x在点的切线方程为y＝1，其与y＝sin x的图象有无数个交点.
5.B 设切点的坐标为（x0，－x0），∴切线的斜率k＝f'（x0）＝
＝
＝[（Δx）2＋3x0Δx＋3－1]＝3－1，
∴过点（x0，－x0）的切线方程为y－＋x0＝（3－1）（x－x0），即y＝（3－1）x－2.∵切线过点（1，0），∴2－3＋1＝0，∴2－2－＋1＝0，∴2（x0－1）－（x0－1）（x0＋1）＝0，∴（x0－1）·（2－x0－1）＝0，∴x0＝1或x0＝－，∴切线有两条.
6.AC 设P0的坐标为（x0，y0），
f'（x0）＝
＝＝3＋1.
由于曲线f（x）＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f（x）在P0处的导数值等于4.则有f'（x0）＝3＋1＝4，解得x0＝±1，所以P0的坐标为（1，0）或（－1，－4）.
7.2 解析：由图象可知f（5）＋f'（5）＝（－5＋8）＋（－1）＝2.
8.－1 解析：由偶函数的图象关于y轴对称，可知曲线在点（－1，f（－1））处的切线的斜率应为－1.
9.x－2y＋1＝0 解析：设两曲线的交点坐标为（x0，y0），由得∴两曲线的交点坐标为（1，1）.由f（x）＝，得f'（1）＝＝＝，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为y－1＝（x－1），即x－2y＋1＝0.
10.解：设直线l与曲线C相切于点P（x0，y0），
∵＝
＝（Δx）2＋（3x0－2）Δx＋3－4x0.
∴＝3－4x0，即f'（x0）＝3－4x0，
由导数的几何意义，得3－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2.
∴切点的坐标为或（2，3），
当切点为时，
有＝4×＋a，∴a＝，
当切点为（2，3）时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
当a＝时，切点坐标为；
当a＝－5时，切点坐标为（2，3）.
11.CD 若f'（x0）＝0，则函数f（x）在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；函数y＝f（x）的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数f（x）＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图象还有一个公共点（－2，－2），故选项B错误；因为曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f'（1）＝2，又＝－＝－f'（1）＝－1，故选项C正确；因为f'（1）＝－1，又f（1）＝2，所以切点坐标为（1，2），斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－（x－1），化简得x＋y－3＝0，故选项D正确.故选C、D.
12.2 解析：由导数的定义，得f'（0）＝＝＝（a·Δx＋b）＝b.又因为对于任意实数x，有f（x）≥0，则所以ac≥，所以c＞0，所以＝≥≥＝2.
13.解：∵f'（x）＝
＝＝2ax，
∴f'（1）＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g'（x）＝＝
＝3x2＋b，
∴g'（1）＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点（1，c）处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
14.A 设切点P（x0，y0），y'＝＝＝[（Δx）2＋3xΔx＋3x2－]＝3x2－，而3x2－≥－.又点P处的切线的倾斜角为α，则k＝tan α≥－.又α∈[0，π），所以α∈∪.故选A.
15.解：∵＝＝2x＋Δx，
∴f'（x）＝ ＝ （2x＋Δx）＝2x.
设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为k＝f'（x0）＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0（x－x0）.
又∵切线过点（1，a），且y0＝＋1，
∴a－（＋1）＝2x0（1－x0），即－2x0＋a－1＝0.
∵切线有两条，
∴Δ＝（－2）2－4（a－1）＞0，解得a＜2.
故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是（－∞，2）.
6.1.3 基本初等函数的导数
1.B ∵f'（x）＝，∴f'（16）＝＝.
2.B 由f'（x）＝4x3知f（x）中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得f（x）＝x4－2.故选B.
3.D 由题意知，f'（x）＝cos x，∴f'（0）＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π），∴α＝.
4.B ∵s'＝，∴当t＝4时，s'＝×＝ .
5.D 因为当x＝2时，y'＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2（x－2）.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成三角形的面积为×｜－e2｜×1＝.
6.AB 因为f（x）＝，所以f'（x）＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，即f'（x）＝－＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，f（1）＝1；当x＝－1时，f（1）＝－1，则点的坐标为（1，1）或（－1，－1）.
7.f（x）＝x2（答案不唯一） 解析：设f（x）＝x2，则f'（x）＝2x，所以f（x）·f'（x）＝2x3在R上为单调递增，满足条件.所以f（x）＝x2满足条件.
8. x－ey＝0 解析：∵f'（x）＝（ln x）'＝，∴f'（e）＝.∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0.
9.（e，1） 解析：因为y＝ln x，所以y'＝（x＞0），设A（x0，ln x0），则在点A处的切线方程为y－ln x0＝（x－x0），化简为y＝x＋ln x0－1，因为切线过点（－e，－1），所以－1＝（－e）＋ln x0－1，所以ln x0－＝0，所以x0＝e时方程成立，又因为y＝ln x－递增（x＞0），所以方程有唯一解x0＝e，A（e，1）.
10.解：设直线l与曲线C1：y＝相切于点M（x0，y0），则＝，又y0＝，解得x0＝1，y0＝1，所以切点为（1，1），切线l的方程为y＝（x＋1），因为直线l与曲线C2：y＝x2＋x＋c相切，所以由方程组消元整理得x2＋x＋c－＝0，所以判别式Δ＝－4＝0，所以c＝.
11.AB 因为g'（x）＝3x2，f'（x）＝2x，由g'（x）－f'（x）＞0，得3x2－2x＞0，得x＞或x＜0.
12.4 解析：∵y'＝，∴切线方程为y－＝（x－a），令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.
13.解：设切点P的坐标为（x0，）.
∵y＝x2，∴y'＝2x，
∴k＝2x0，
∴切线方程为y－＝2x0（x－x0）.
将点B（3，5）代入上式，得5－＝2x0（3－x0），
即－6x0＋5＝0，
∴（x0－1）（x0－5）＝0，
∴x0＝1或x0＝5，
∴切点坐标为（1，1）或（5，25），
故所求切线方程为y－1＝2（x－1）或y－25＝10（x－5），
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
14.B 对y＝（n∈N＋）求导得y'＝（n＋1）xn. 令x＝1，得在点（1，1）处的切线的斜率k＝n＋1，所以在点（1，1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1）.令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·…·xn＝×××…××＝.故选B.
15.证明：由xy＝1，得y＝，所以y'＝－.
在曲线xy＝1上任取一点P，
则过点P的切线的斜率k＝－，
切线方程为y－＝－（x－x0），
即y＝－x＋.
设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，
则A（2x0，0），B.
故S△OAB＝｜OA｜·｜OB｜＝·｜2x0｜·＝2.
所以曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数.
6.1.4 求导法则及其应用
第一课时 函数和、差、积、商的求导法则
1.C y'＝'＝
＝＝－.
2.B ∵f'（x）＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f'（－1）＝－f'（1）＝－2.
3.B 法一 ∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，∴f'（1）＝－2，又f（1）＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.故选B.
法二 ∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，f'（1）＝－2，∴切线的斜率为－2，排除C、D.又f（1）＝1－2＝－1，∴切线过点（1，－1），排除A.故选B.
4.D ∵f（x）＝2sin x＋x3，∴f'（x）＝2cos x＋3x2，∴f'（0）＝2cos 0＋0＝2，故选D.
5.A 设切点为（x0，y0），则y0＝3x0＋1，且y0＝a＋3，所以3x0＋1＝a＋3 ①.对y＝ax3＋3求导得y'＝3ax2，则3a＝3，a＝1 ②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
6.A 因为f'（x）＝（x＋a＋1）ex，所以f'（1）＝（a＋2）·e，f'（－1）＝ae－1＝.由题意有f'（1）f'（－1）＝－1，所以a＝－1.
7.y＝ex－1（答案不唯一） 解析：由题意可知：f（0）＝0，f'（0）＝1，取f（x）＝ex－1，此时f（0）＝e0－1＝0，f'（x）＝ex，f'（0）＝1，故符合.
8.1 解析：由题知y'1＝，y'2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
9.1 解析：∵f'（x）＝－f'sin x＋cos x，∴f'＝－f'×＋，得f'＝－1.∴f（x）＝（－1）cos x＋sin x.∴f＝1.
10.解：（1）y'＝（－ln x）'
＝（）'－（ln x）'＝－.
（2）y'＝[（x2＋1）（x－1）]'
＝（x3－x2＋x－1）'
＝（x3）'－（x2）'＋（x）'－（1）'
＝3x2－2x＋1.
（3）y'＝
＝.
（4）y'＝
＝.
11.BCD 设切点坐标为（x0，x0），因为y'＝（x＋1）ex，所以y＝（x0＋1），所以切线方程为y－x0＝（x0＋1）·（x－x0），将点A（a，0）代入可得－x0＝（x0＋1）（a－x0），化简得－ax0－a＝0，过点A（a，0）作曲线C的切线有且仅有两条，即方程－ax0－a＝0有两个不同的解，则Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，故实数a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.－ln e5＝－5ln e＝－5，所以由选项判断可知B、C、D正确.故选B、C、D.
12.2－1 解析：y'＝－，则y'x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0，圆心（－2，0）到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.
13.解：（1）∵f（x）＝x3＋ax＋b的导数f'（x）＝3x2＋a，
由题意可得f'（2）＝12＋a＝13，f（2）＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
（2）∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为（x0，y0），
则f'（x0）＝3＋1＝4，
∴x0＝±1.
由f（x）＝x3＋x－16，
可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18，
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
14.BC f（x）＝x3－x2＋ f'（x）＝x2－x f″（x）＝2x－1，令f″（x）＝2x－1＝0，解得x＝，f＝×－×＋＝1，由题意可知：函数f（x）＝x3－x2＋的对称中心为，C正确，D错误；
因为函数f（x）＝x3－x2＋的对称中心为，所以有f（x）＋f（1－x）＝2，
设S＝f＋f＋…＋f＋f， ①
所以有S＝f＋f＋…＋f＋f， ②
①＋②得，2S＝2＋2＋…＋2＋2＝2×99 S＝99，
即f＋f＋…＋f＋f的值是99，B正确，D错误.故选B、C.
15.解：（1）f'（x）＝1＋，g'（x）＝－，
所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3，曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－a，由已知，得f'（1）＝g'（1），得a＝－3.
（2）由题意，得1＋＝－（x＞0），
则a＝－x－≤－2，当且仅当x＝时，等号成立，
故实数a的取值范围为（－∞，－2].
第二课时 简单复合函数的求导法则
1.D 选项A，（sin x）'＝cos x，故A错误；选项B，（log2x）'＝，故B错误；选项C，'＝，故C错误；选项D，（e2x＋1）'＝e2x＋1·（2x＋1）'＝2e2x＋1正确.故选D.
2.B f'（x）＝10（1－2x3）9（－6x2），所以f'（1）＝10×（1－2）9×（－6）＝60.
3.A ∵f'（x）＝－2e－2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点（0，2）处的切线方程为y＝－2x＋2.由得x＝y＝，∴A，则围成的三角形的面积为××1＝.
4.C 由y＝xex－1，得y'＝ex－1＋xex－1，故y'｜x＝1＝2，故切线的斜率为2.
5.B 由f（x）＝ln（2x－1），得f'（x）＝，由f'（x0）＝＝1，解得x0＝.
6.D ∵f'（x）＝，∴函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝＝1.设函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为θ，则tan θ＝1，∴θ＝.
7.1 解析：令u＝2x＋a，则yx'＝yu'·ux'＝（u2）'（2x＋a）'＝4（2x＋a），则f'（2）＝4（2×2＋a）＝20，∴a＝1.
8.－ex＋ －2e 解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，∴令x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－＝－f（x），∴f（x）＝－ex＋，x＞0.∴f'（x）＝－ex－，x＞0，∴f'（1）＝－e－1，f（1）＝－e＋1，∴f（1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝－2e.
9.1 解析：∵f'（x）＝（1－ax）2－2ax（1－ax），∴f'（2）＝（1－2a）2－4a（1－2a）＝12a2－8a＋1＝5（a＞0），解得a＝1.
10.解：由y'＝（e2xcos 3x）'＝（e2x）'cos 3x＋e2x（cos 3x）'
＝2e2xcos 3x＋e2x（－3sin 3x）＝e2x（2cos 3x－3sin 3x），
得y'x＝0＝2.
则切线方程为 y－1＝2（x－0），
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝＝，解得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
11.AD 对于A，f'（x）＝cos x＋sin x，f″（x）＝－sin x＋cos x＝－sin，当x∈时，－＜x－＜0，f″（x）＞0，故f（x）＝sin x－cos x不是凸函数；对于B，f'（x）＝－2，f″（x）＝－＜0，故f（x）＝ln x－2x是凸函数；对于C，f'（x）＝－3x2＋2，对任意的x∈，f″（x）＝－6x＜0，故f（x）＝－x3＋2x－1是凸函数；对于D，f'（x）＝（x＋1）ex，对任意的x∈，f″（x）＝（x＋2）ex＞0，故f（x）＝xex不是凸函数.故选A、D.
12.2x－y＝0 解析：设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝ex－1＋x.因为f（x）为偶函数，所以当x＞0时，f（x）＝ex－1＋x，f'（x）＝ex－1＋1，f'（1）＝2，即所求的切线方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0.
13.解：（1）∵y＝e－x，∴yx'＝（e－x）'＝－e－x，
当x＝t时，yx'＝－e－t.
故切线方程为y－e－t＝－e－t（x－t），
即x＋ety－（t＋1）＝0.
（2）令y＝0，得x＝t＋1.
令x＝0，得y＝e－t（t＋1）.
∴S（t）＝（t＋1）·e－t（t＋1）＝（t＋1）2e－t（t≥0）.
14.A ∵f（x）＝cos（x＋φ），∴f'（x）＝－sin（x＋φ），∴g（x）＝f（x）＋f'（x）＝cos（x＋φ）－sin（x＋φ）＝2cos.∵函数g（x）为偶函数，∴φ＋＝kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z.∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.故选A.
15.解：由P（t）＝P0得P'（t）＝－·P0·ln 2，因为t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，即P'（15）＝－P0＝－，解得P0＝18，则P（t）＝18·，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P（t）＝4.5，所以18·＝4.5，即＝，所以－＝－2，解得t＝60.
故该放射性同位元素含量为4.5贝克时衰变所需的时间为60天.
6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
1.D 由题意得，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝2x·ln x＋x2·＝2xln x＋x＝x（2ln x＋1）.
令f'（x）＜0，得2ln x＋1＜0，解得0＜x＜，
故函数f（x）＝x2ln x的单调递减区间为.
2.D ∵函数f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都是减函数，∴当x＞0时，f'（x）＜0；当x＜0时，f'（x）＜0.故选D.
3.A ∵y＝x2－ln x的定义域为（0，＋∞），∴y'＝x－，令y'＜0，即x－＜0，解得0＜x＜1.故选A.
4.A 由f'（x）＝＜0，解得x＞e，∴f（x）在（e，＋∞）上为减函数，∵e＜a＜b，∴f（a）＞f（b）.
5.B 任取x1，x2∈（0，＋∞），假设x1＜x2，因为＞4，所以f（x1）－f（x2）＜4（x1－x2），即f（x1）－4x1＜f（x2）－4x2.构造函数g（x）＝f（x）－4x，由题意知，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g'（x）＝f'（x）－4≥0，即＋2x－4≥0，所以a≥2x－x2，又2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，所以a≥1，所以a的取值范围是[1，＋∞）.
6.BC B项中，y＝xex，y'＝ex＋xex＝ex（1＋x），当x∈（0，＋∞）时，y'＞0，∴y＝xex在（0，＋∞）内为增函数；对于选项C，y'＝3x2＋1＞0，∴y＝x3＋x在（0，＋∞）内为增函数.
7.（－∞，0）和（0，1） 解析：函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），y'＝＝，令y'＜0，得x＜1，且x≠0.故函数的单调递减区间是（－∞，0）和（0，1）.
8.[3，＋∞） 解析：∵f（x）＝x3－ax－1，∴f'（x）＝3x2－a.要使f（x）在（－1，1）上单调递减，则f'（x）≤0在x∈（－1，1）上恒成立，故a≥3x2在x∈（－1，1）上恒成立，在x∈（－1，1）上，3x2＜3，即a≥3，∴a的取值范围为[3，＋∞）.
9.（－3，－1）∪（0，1） 解析：由题图知，当x∈（－∞，－3）∪（－1，1）时，f'（x）＜0，当x∈（－3，－1）∪（1，＋∞）时，f'（x）＞0，故不等式＜0的解集为（－3，－1）∪（0，1）.
10.解：（1）由已知，h'（x）＝2ax＋b，
其图象为直线，且过（0，－8），（4，0）两点，
把两点坐标代入h'（x）＝2ax＋b，解得
∴h（x）＝x2－8x＋2，h'（x）＝2x－8，
∴f（x）＝6ln x＋x2－8x＋2.
（2）∵f'（x）＝＋2x－8＝（x＞0）.
∴当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0，1] （1，3] （3，＋∞）
f'（x） ＋ － ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
∴f（x）的单调递增区间为（0，1]和（3，＋∞），
f（x）的单调递减区间为（1，3].
11.AD 对于A，exf（x）＝ex·2－x＝，在R上为增函数，故A符合要求；对于B，exf（x）＝ex·3－x＝，在R上为减函数，故B不符合要求；对于C，exf（x）＝ex·x3，故[exf（x）]'＝（ex·x3）'＝ex·（x3＋3x2），显然函数exf（x）＝ex·x3在R上不单调，故C不符合要求；对于D，exf（x）＝ex·（x2＋2），故[exf（x）]'＝[ex·（x2＋2）]'＝ex·（x2＋2x＋2）＝ex·[（x＋1）2＋1]＞0，故函数exf（x）＝ex·（x2＋2）在R上为增函数，故D符合要求，故选A、D.
12.1 m≥0或m≤－3 解析：因为函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），所以a＋b＝4. ①
f'（x）＝3ax2＋2bx，则f'（1）＝3a＋2b.
由条件f'（1）·＝－1，即3a＋2b＝9. ②
由①②解得a＝1，b＝3.
f（x）＝x3＋3x2，则f'（x）＝3x2＋6x.令f'（x）＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2.因为函数f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，所以[m，m＋1] （－∞，－2]∪[0，＋∞），所以m≥0或m＋1≤－2，所以m≥0或m≤－3.
13.解：（1）根据题意知，f'（x）＝（x＞0），
当a＞0时，则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）；
同理，当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0，1）；
当a＝0时，f（x）＝－3，不是单调函数，无单调区间.
（2）证明：当a＝－1时，f（x）＝－ln x＋x－3，
所以f（1）＝－2，
由（1）知f（x）＝－ln x＋x－3在（1，＋∞）上单调递增，
所以当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞f（1），
即f（x）＞－2，所以f（x）＋2＞0.
14.AC 由f（x）＝f（2－x）得f（x＋1）＝f（1－x），则函数关于x＝1对称，当x＞1时，由（x－1）f'（x）＜0得f'（x）＜0，函数单调递减；当x＜1时，由（x－1）f'（x）＜0得f'（x）＞0，函数单调递增.又a＝f（0）＝f（2），b＝f＝f，c＝f（3），故b＞a＞c.故选A、C.
15.解：（1）y＝f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，
所以y＝f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝，
当f'（x）＜0时，0＜x＜，当f'（x）＞0时，x＞，
则y＝f（x）在上单调递减，在上单调递增.
（2）F（x）＝[a（x－1）－ln x]·ex，
由题意知F'（x）＝·ex≥0在[1，＋∞）上恒成立，
所以ax－ln x－≥0在[1，＋∞）上恒成立.
令h（x）＝ax－ln x－，则至少有h（1）≥0 a－1≥0 a≥1（经检验a＝1符合题意）.
当a≥1时，有h'（x）＝a－＋＝.
令φ（x）＝ax2－x＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝∈，
故φ（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（1）＝a＞0，
所以h'（x）＞0，所以h（x）在[1，＋∞）上单调递增.
综上，实数a的取值范围为[1，＋∞）.
6.2.2 导数与函数的极值、最值
第一课时 函数的导数与极值
1.A 若f（x）可导，由f'（x）＝0有实根，则f（x）不一定有极值，若f（x）有极值，则f'（x）＝0一定有实根.
2.B 由已知，得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3x－＝，令f'（x）＝0，得x＝.当x＞时，f'（x）＞0；当0＜x＜时，f'（x）＜0.所以当x＝时，f（x）取得极小值，从而f（x）的极小值点为x＝，无极大值点，故选B.
3.C f（x）的定义域是（0，＋∞），∵f（x）＝ln x＋ax2－（a＋1）x＋1，∴f'（x）＝＋ax－（a＋1）＝，令f'（x）＝0，解得x＝或x＝1.若f（x）在x＝1处取得极小值，则0＜＜1，解得a＞1.
4.B 令g（x）＝x2ex，则g'（x）＝2xex＋x2ex＝xex（2＋x）.令g'（x）＝0，得x＝0或x＝－2，∴g（x）在（－2，0）上单调递减，在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递增，∴g（x）极大值＝g（－2）＝，g（x）极小值＝g（0）＝0.又f（x）＝x2ex－a恰有三个零点，∴0＜a＜.
5.BCD 由导函数的图象可知：x∈（－∞，0）∪（2，4）时，f'（x）＞0，x∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（x）＜0，因此f（x）在（－∞，0），（2，4）上单调递增，在（0，2），（4，＋∞）上单调递减，所以在x＝0处取得极大值，x＝2处取得极小值，x＝4处取得极大值，故选B、C、D.
6.AD 根据材料知：h（x）＝＝＝（x＞0），所以h'（x）＝·'＝·＝（1－ln x），令h'（x）＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增；当x＞e时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减.所以h（x）有极大值且为h（e）＝，无极小值.故选A、D.
7.（－∞，－1） 解析：∵y＝ex＋ax，∴y'＝ex＋a.令y'＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln（－a）.又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
8.10 －98 解析：f'（x）＝3x2－12x－15＝3（x－5）（x＋1），在（－∞，－1），（5，＋∞）上f'（x）＞0，在（－1，5）上，f'（x）＜0，所以f（x）极大值＝f（－1）＝10，f（x）极小值＝f（5）＝－98.
9.－4或4 解析：设f（x）＝2x3－6x＋c，对f（x）求导可得，f'（x）＝6x2－6，令f'（x）＝0，可得x＝±1，易知f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减.若f（1）＝2－6＋c＝0，可得c＝4；若f（－1）＝－2＋6＋c＝0，可得c＝－4.
10.解：由f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R知f'（x）＝ex－2，x∈R.令f'（x）＝0，得x＝ln 2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，ln 2） ln 2 （ln 2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值 2（1－ln 2＋a） 单调递增
故f（x）的单调递减区间是（－∞，ln 2），单调递增区间是（ln 2，＋∞）；f（x）在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f（ln 2）＝2（1－ln 2＋a），无极大值.
11.BCD 由图象可知，x＝1，x＝2是函数的两个极值点，∴B正确；又x∈（－∞，1）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0；x∈（1，2）时，f'（x）＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故C、D正确.故选B、C、D.
12.－1 （1，3） 解析：因为f'（x）＝－2ax－8，所以f'（3）＝2－6a－8＝0，解得a＝－1.函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由a＝－1知f（x）＝6ln x＋x2－8x＋b.所以f'（x）＝＋2x－8＝.由f'（x）＞0可得x＞3或0＜x＜1，由f'（x）＜0可得1＜x＜3所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，＋∞），单调递减区间为（1，3）.
13.解：（1）f'（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4.
由已知得f（0）＝4，f'（0）＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
（2）由（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，
f'（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）.
令f'（x）＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln 2，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（－2，－ln 2）时，f'（x）＜0.
故f（x）在（－∞，－2），（－ln 2，＋∞）上单调递增，在（－2，－ln 2）上单调递减.
当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（－2）＝4（1－e－2）.
14.ABC 函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f'（x）＝3x2＋2ax＋b，当x→－∞时，f'（x）→＋∞，当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，又当x→－∞时，f（x）＜0，当x→＋∞时，f（x）＞0，又f（x）为连续函数，所以 x0∈R，f（x0）＝0，故A正确；当a＝b＝0时，f'（x）＝3x2≥0，所以f（x）＝x3＋c在R上单调递增，无极值点，故B正确；三次函数是连续的，若x0是f（x）的极值点，则f'（x0）＝0，故C正确；若x0是f（x）的极小值点，即f'（x0）＝0，则3x2＋2ax＋b＝0必有两个不相等的实数根，又f'（x）＝3x2＋2ax＋b在（－∞，－）上单调递减，在（－，＋∞）上单调递增，当x→－∞时，f'（x）→＋∞，当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，所以f（x）有极大值点x1且x1＜x0，此时f（x）在区间（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，故D错误.故选A、B、C.
15.解：（1）当a＝－1时，f（x）＝，f'（x）＝.
由f'（x）＝0，得x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2， ＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）的极小值为f（2）＝－，
函数f（x）无极大值.
（2）F'（x）＝f'（x）＝＝，令F'（x）＝0，得x＝2.
①当a＜0时，F'（x），F（x）随x的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
F'（x） － 0 ＋
F（x） 单调递减 极小值 单调递增
若使函数F（x）没有零点，当且仅当F（2）＝＋1＞0，
解得a＞－e2，所以此时－e2＜a＜0；
②当a＞0时，F'（x），F（x）随x的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
F'（x） ＋ 0 －
F（x） 单调递增 极大值 单调递减
当x＞2时，F（x）＝＋1＞1，
当x＜2时，令F（x）＝＋1＜0，
即a（x－1）＋ex＜0，
由于a（x－1）＋ex＜a（x－1）＋e2，
令a（x－1）＋e2≤0，得x≤1－，
即x≤1－时，F（x）＜0，
所以F（x）总存在零点，
综上所述，所求实数a的取值范围是（－e2，0）.
第二课时 函数最值的求法
1.D 因为函数f（x）＝x2＋ln x，则f'（x）＝x＋，显然在[1，e]上f'（x）＞0，故函数f（x）单调递增，故f（x）max＝f（e）＝e2＋ln e＝＋1.
2.B 由f'（x）＝－＝＝0，得x＝1，且x∈（0，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，5]时，f'（x）＞0，所以x＝1时，f（x）取得极小值且为最小值，故最小值为f（1）＝3.
3.B ∵f'（x）＝3x2－3a，令f'（x）＝0，可得a＝x2，又∵x∈（0，1），∴0＜a＜1.故选B.
4.B f'（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）.由f'（x）＝0，得x＝3或x＝－1.又因为f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27，f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.由f（x）max＝k＋5＝10，得k＝5，所以f（x）min＝k－76＝－71.
5.C 因为函数f（x）＝－x3－ax在（－∞，－1]上单调递减，所以f'（x）＝－3x2－a≤0对于一切x∈（－∞，－1]恒成立，得－3x2≤a，所以a≥－3.又因为g（x）＝x2－在区间（1，2]上既有最大值，又有最小值，所以可知g'（x）＝2x＋在（1，2）上有零点，也就是极值点，即2x＋＝0有解，解得a＝－2x3，可得－16＜a＜－2，所以－3≤a＜－2.
6.BCD f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），f'（x）＝0时，x＝－2或x＝0，当x＜－2或x＞0时，f'（x）＞0，当－2＜x＜0时，f'（x）＜0，所以函数的单调递增区间是（－∞，－2）和（0，＋∞），函数的单调递减区间是（－2，0），所以函数的极大值点是－2，极小值点是0，且f（0）＝－2，那么当x3＋x2－2＝－2，解得x＝0或x＝－3，所以函数在区间（a－2，a＋3）上存在最小值，则解得－1≤a＜2.故选B、C、D.
7.[0，e] 解析：由f'（x）＝＝＝0，得x＝0或2（舍去），f（－1）＝e，f（0）＝0，f（1）＝，所以f（x）的值域为[0，e].
8.20 解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f'（x）＞0；当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.∴f（x）在[0，1）上单调递减，在（1，3]上单调递增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20.
9.（－∞，0） 解析：f'（x）＝xex＋x2ex＝·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2
f'（x） 0 － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值0 单调递增
∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0.
10.解：（1）依题意可知点P（1，f（1））为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f（1）＝3×1＋1＝4，
∴f（1）＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5得，
f'（x）＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f'（1）＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得∴a＝2，b＝－4.
（2）由（1）知f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，
f'（x）＝3x2＋4x－4＝（3x－2）（x＋2），
令f'（x）＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
x －3 （－3，－2） －2 1
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 8 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 4
∴f（x）的极大值为f（－2）＝13，极小值为f＝，
又∵f（－3）＝8，f（1）＝4，
∴f（x）在[－3，1]上的最大值为13.
11.ACD f（x）定义域为R，f'（x）＝x2－4.令f'（x）＝0，得x＝－2或x＝2，所以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在[－2，2]上单调递减，故C正确；f（x）极大值＝f（－2）＝×（－2）3－4×（－2）＋2＝，f（x）极小值＝f（2）＝×23－4×2＋2＝－，故A正确；当x∈[3，4]时，函数f（x）单调递增，f（3）＝×33－4×3＋2＝－1，f（4）＝×43－4×4＋2＝，所以当x∈[3，4]时，f（x）的最大值为，最小值为－1，故B不正确；f'（0）＝－4，曲线在点（0，2）处的切线的方程为y－2＝－4（x－0），即y＝－4x＋2，故D正确.
12.－ 解析：y'＝－2x－2，令y'＝0，得x＝－1，∴函数在（－∞，－1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调递减.若－1＜a＜2，则最大值为f（a）＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－；若a≤－1，则最大值为f（－1）＝－1＋2＋3＝4≠.综上知，a＝－.
13.解：f'（x）＝4ax3ln x＋ax4×＋4bx3
＝x3（4aln x＋a＋4b）.
∵函数f（x）在x＝1处取得极值－3－c，
∴
即解得a＝12，b＝－3.
∴f'（x）＝48x3ln x（x＞0），
令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝1.
∵x＞0，∴x＝1.
当x变化时，f'（x）及f（x）的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） ↘ －3－c ↗
∴当x＝1时，f（x）有极小值为－3－c，
并且该极小值为函数的最小值.
∴要使对任意x＞0，不等式f（x）≥－2c2恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可.
整理得2c2－c－3≥0.解得c≥或c≤－1.
∴c的取值范围为（－∞，－1]∪.
14.D 因为f（x）的图象始终在g（x）的上方，所以｜MN｜＝f（x）－g（x）＝x2－ln x，设h（x）＝x2－ln x，则h'（x）＝2x－＝，令h'（x）＝＝0，得x＝或x＝－（舍去），所以h（x）在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时有最小值，故t＝.
15.解：（1）当a＝－1，b＝3时，f（x）＝－x2＋3x－ln x，且x∈，
f'（x）＝－2x＋3－＝－＝－.
当＜x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，
所以函数f（x）在区间上仅有极大值点x＝1，
故这个极大值点也是最大值点，
即函数在上的最大值是f（1）＝2.
又f（2）－f＝（2－ln 2）－＝－2ln 2＝－ln 4＜0，
所以f（2）＜f，
故函数f（x）在上的最小值为f5.4 数列的应用
1.某钢厂的年产值由2010年的40万吨，增加到2020年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2030年的年产值将接近（ ）
A.60万吨 B.61万吨
C.63万吨 D.64万吨
2.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为（ ）
A.55 B.220
C.285 D.385
3.一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是（ ）
A.Sn＜500 B.Sn≤500
C.Sn的最小值为100 D.Sn的最大值为400
4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：
他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A.289 B.1 024
C.1 225 D.1 378
5.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其大意为：“有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺.”那么答案是（ ）
A.30尺 B.90尺
C.150尺 D.180尺
6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于（ ）
A.35 B.32
C.23 D.38
7.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后 分钟，该病毒占据内存64 MB（1 MB＝210 KB）.
8.某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写 个大字.
9.有n台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，则收割完毕需要24小时.现在这些收割机每隔相同的时间依次投入工作，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收割完这片土地上的小麦需要 小时.
10.某人从1月起，每月第一天存入1 000元，到12月最后一天取出全部本金及其利息，已知月利率是0.35%，应纳税率是20%，那么实际取出多少钱？
11.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.现有38石粮食，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知甲分得18石粮食，则“衰分比”为（ ）
A. B.
C. D.
12.甲、乙两企业，2018年的销售量均为p（2018年为第一年），根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为（n2－n＋2），乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多.
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
（2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由.
13.流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k＋1（9≤k≤29，k∈N＋）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11 940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
14.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn＝（21n－n2－5）（n＝1，2，…，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）
A.5月、6月 B.6月、7月
C.7月、8月 D.8月、9月
15.如图，将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上.上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放.如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，求Sn.
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