学习讲义部分
第五章 数 列
5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
【基础知识·重落实】h
知识点一
1.一定次序 数 第一位置上 个数 {an} 2.项数有限 项数无限
想一想
1.提示：不是.
2.提示：可以构成数列，且是无穷数列.
自我诊断
1.D A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；B是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，{1，3，5，7}是一个集合；D是正确的.
2.2 解析：数列中每一项的被开方数均比前一项大5，故第6项为＝2.
知识点二
1.正整数 n 2.n
想一想
1.提示：并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.
2.提示：an＝k.
3.提示：一般不唯一.如数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为an＝或an＝cos（n－1）π.
自我诊断
1.20 解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，
所以a2·a3＝20.
2.5 解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，
令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3（舍去）.
知识点三
想一想
1.提示：数列的表示方法有解析法、列表法和图象法.
2.提示：其图象是一些离散的点.
自我诊断
1.C 数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，4，…，30是递增数列，但不是无穷数列.
2.②④ ①③ ② ④ ③
【典型例题·精研析】
【例1】 ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列.
跟踪训练
① ②③ ① ② ③ 解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列.
【例2】 （1）an＝ 解析：数列可写为，，，，…，分子满足3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，分母满足5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…，因此它的一个通项公式为an＝.
（2）解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，
因此数列的一个通项公式为an＝.
②正负相间，且负号在奇数项，故可用（－1）n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，
因此数列的一个通项公式为an＝（－1）n（2n＋1－1）.
③为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，
而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用（－1）n来表示.
因此它的一个通项公式为an＝4＋（－1）n·2或an＝
跟踪训练
1.C 因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的.故通项公式为an＝.
2.C 由图知前四项分别为1，3，6，10，…逐项验证可知C正确.故选C.
【例3】 解：（1）a4＝3×16－28×4＝－64，
a6＝3×36－28×6＝－60.
（2）令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝（舍去），
所以n＝7，即－49是该数列的第7项.
令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2.
因为 N＋，－2 N＋，所以68不是该数列的项.
母题探究
1.解：an＝n（3n－28），令an＜0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项.
2.解：假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.所以253是这个数列的第121项.
假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，这与n是正整数矛盾，所以153不是这个数列中的项.
跟踪训练
解：（1）an＝12n＋13，bn＝n2.
（2）令an＝bn，得12n＋13＝n2，可解得n1＝13，n2＝－1（舍去），
所以这两个数列存在序号与项都相同的项，它是第13项.
【例4】 （1）C 由题意知an＝因为数列{an}是递增数列，所以当n≤10时，3－a＞0，即a＜3；当n＞10时，a＞1.且a10＜a11，所以（3－a）×10－6＜a11－9，即a2＋10a－24＞0，即（a＋12）（a－2）＞0，所以a＜－12或a＞2.综上可得a的取值范围为（2，3）.
（2）解：①证明：因为n∈N＋，所以an＝＜＜＝1，所以0＜an＜1.
②因为an＋1－an＝－
＝＝.
又因为n∈N＋，且n≥1，
所以n＋≥，≥，－≤－.
故－＋≤－＋＝－1＜0，
所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an，故该数列为递减数列.
跟踪训练
1.D 因为对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数列.由an＝n2＋λn知（n，an）（n∈N＋）是函数f（x）＝x2＋λx图象上的点，而函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an即可.欲满足上述不等关系，需－＜，解得λ＞－3.
2.解：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的.
拓视野 数列单调性的判断及应用
迁移应用
解：法一 an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，即an＋1＞an（n∈N＋），故数列{an}是递增数列.
法二 an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则＝＝·＞1.
又因为an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列.
（注：这里要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小）
法三 令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的拋物线，其对称轴为直线x＝，＜1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列.
随堂检测
1.A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…的一个通项公式为an＝④错误.故选A.
2.B 由题意令an＝n2－n＝2，可得n＝2为正整数，即2是{an}的项；同理令an＝n2－n＝40，可得n不为正整数，即40不是{an}的项；令an＝n2－n＝56，可得n＝8为正整数，即56是{an}的项；令an＝n2－n＝90，可得n＝10是正整数，即90是{an}的项.
3.B 对于A，当通项公式为an＝时，a1＝≠，不符合题意，故选项A错误；对于B，由数列的通项公式以及n∈N＋可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；对于D，数列，，…，是递减数列，故选项D错误.故选B.
4.A 由条件得－an＝3＞0，可知＞an，所以数列{an}是递增数列.
5.B 由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200.
5.1.2 数列中的递推
【基础知识·重落实】
知识点一
一个公式
自我诊断
1.B B中相邻的两项，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.
2.D 由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，
则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
3.D 由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有（5n＋1）个化学键.故选D.
4. 解析：由a1＝1，an＝1＋，得a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.
知识点二
1.a1＋a2＋a3＋…＋an 2.（1）n＝1 （2）n≥2且n∈N＋
自我诊断
4n－1 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2（n－1）2－（n－1）＝4n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2×1＋1＝3＝4×1－1，满足上式，∴an＝4n－1（n∈N＋）.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由－anan＋2＝（－1）n，得an＋2＝，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109，∴数列{an}的前5项为1，3，10，33，109.
跟踪训练
解：由题意得，a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
∴{an}是周期为4的数列，∴a2 025＝a4×506＋1＝a1＝2.
【例2】 解：∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝，a3－a2＝，a4－a3＝，…，an－an－1＝，
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∵a1＝－1，∴an＋1＝1－，∴an＝－（n≥2）.
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－.
【例3】 解：∵a1＝1，an＝an－1（n≥2），∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝.
跟踪训练
1.an＝4n＋2 解析：我们把图案按如下规律分解：
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4（n－1）＝4n＋2.
2.解：因为an＝an－1（n≥2），
所以当n≥2时，＝，
所以＝，＝，…，＝，＝，
以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，
即＝××2×1，又a1＝，所以an＝.
当n＝1时，a1＝＝，与已知a1＝相符，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
【例4】 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n－1）]＝4n－5，由于a1也适合此式，所以an＝4n－5.
（2）当n＝1时，a1＝S1＝3＋b；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋b）－（3n－1＋b）＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此式.
当b≠－1时，a1不适合此式.
所以当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
母题探究
解：因为a4＝S4－S3＝－＝（81－27）＝27a1＝54，所以a1＝2，所以Sn＝3n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－（3n－1－1）＝2×3n－1.
而2×31－1＝2＝a1，
故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.
跟踪训练
解：（1）a5＋a6＝S6－S4＝（－6）－（－4）＝－2，
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（－1）n＋1·n－（－1）n·（n－1）
＝（－1）n＋1·[n＋（n－1）]＝（－1）n＋1·（2n－1），
又因为a1也适合此式，所以an＝（－1）n＋1·（2n－1）.
（2）因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2n＋1）－[3n－1＋2（n－1）＋1]＝2·3n－1＋2，
由于a1不适合此式，所以an＝
【例5】 解：法一 an＋1－an＝（n＋2）－（n＋1）＝，
当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
则a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×.
法二 根据题意，令（n＞1），
即（n＞1），
解得9≤n≤10.
又n∈N＋，则n＝9或n＝10.
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×.
跟踪训练
89 解析：an＝＝1＋.由于44＜＜45，则当n≤44时，an＝1－＜1且数列{an}递减；当n≥45时，an＝1＋＞1且数列{an}递减.所以a44最小，a45最大，即p＝45，q＝44，故p＋q＝45＋44＝89.
随堂检测
1.B 由a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，依此类推，a4＝.
2.C 由题意a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52，
则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝.
3.D 由a5＝0倒推可求得a4＝－1，再求a3＝－，a2＝－，从而可得a1＝－.
4. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋1）－（3n－1＋1）＝2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝
5. 解析：由（n＋1）－n＋anan＋1＝[（n＋1）an＋1－nan]·（an＋1＋an）＝0，可得＝，将＝，＝，…，＝，叠乘可得an＝.
5.2 等差数列
5.2.1 等差数列
第一课时 等差数列的定义
【基础知识·重落实】
知识点一
同一个 d
想一想
1.提示：不一定.必须是同一个常数.即全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
2.提示：不妨设{an}为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，…，a＋nd，则所有项倒序排列所成数列为数列{bn}：a＋nd，…，a＋4d，a＋3d，a＋2d，a＋d，a.{bn}仍是等差数列，且公差是－d.
自我诊断
ABC A中数列的公差为－2，是等差数列；B中数列的公差为1，是等差数列；C中数列的公差为3，是等差数列；D中，2－1＝1，2－2＝0，差不是同一个常数，因此该数列不是等差数列.
知识点二
an－an－1 a1＋（n－1）d
想一想
1.提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列.
2.提示：当d＞0时是递增数列，当d＜0时是递减数列，当d＝0时是常数列.
3.提示：d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数.
自我诊断
1.C ∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋（n－1）×（－2）＝6－2n.
2.C 由已知得解得d＝±1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2（n＋1）＝2－2n.
∴an＋1－an＝（2－2n）－（4－2n）＝－2.
故数列{an}是等差数列.
（2）由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即a3－a2＝a4－a3＝…＝1，但a2－a1＝0，因此数列{an}不是等差数列.
（3）∵an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋2，不是常数，故数列{an}不是等差数列.
跟踪训练
证明：法一 由2an＋1＝an＋得an＋1＝an＋，所以bn＋1－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列.
法二 在2an＋1＝an＋的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列.
【例2】 解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5（n∈N＋）.
（2）设等差数列的首项为a1，公差为d，
由得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋（15－1）d＝＋14×＝－.
母题探究
解：设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.
代入a3a8a13＝28，整理得（4－5d）×4×（4＋5d）＝28，
解得d＝±.
当d＝时，a1＝－，an＝n－；
当d＝－时，a1＝，an＝－n＋.
跟踪训练
解：（1）∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
（2）设数列{an}的公差为d.
由已知得解得
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.
【例3】 解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得∴这三个数为4，3，2.
（2）法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d），依题意，2a＝2，且（a－3d）（a＋3d）＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.
法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d（公差为d），
依题意，2a＋3d＝2，且a（a＋3d）＝－8，
把a＝1－d代入a（a＋3d）＝－8，
得＝－8，
即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，∴d＝2或d＝－2.
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，∴d＝2，a＝－2.
故所求的四个数为－2，0，2，4.
跟踪训练
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d）.
由题设知
解得或
故这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
随堂检测
1.ABD 根据等差数列的定义，可得：A中，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列；
B中，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2（常数），所以是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2（常数），所以是等差数列.故选A、B、D.
2.B 因为当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
3.6n－14 解析：法一 设公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14.
法二 设公差为d，则d＝＝＝6，an＝a4＋（n－4）·d＝10＋6（n－4）＝6n－14.
4.675 解析：令1＋3（n－1）＝2 023，解得n＝675.
5.n2 解析：由点在直线x－y＋1＝0上，得－＋1＝0，即－＝1，∴数列为等差数列，且公差d＝1.又＝1，∴＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝n2.
第二课时 等差数列的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
A
想一想
1.提示：任何两个实数都有等差中项.
2.提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列.
自我诊断
1.771 解析：＝771.
2.1 解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4－2，解得d＝1.
知识点二
2.（1）ap＋aq ①2as （2）①d ②cd ③2d （3）pd1＋qd2
想一想
提示：（1）错误.如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列.
（2）错误.如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列.
（3）正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2成立.
（4）正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.
自我诊断
1.B 由等差数列的性质知a4＋a9＝a5＋a8＝21.
2.C 因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，
所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
3.30 解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A ∵角B是A与C的等差中项，
∴2B＝A＋C，又∵A＋C＋B＝π，
∴3B＝π，即B＝.∴cos B＝.
（2）证明：∵是与的等差中项，
∴＝＋，即2ac＝b（a＋c）.
∵＋＝＝
＝＝＝，
∴是与的等差中项，
∴，，成等差数列.
跟踪训练
1.B 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3.
2.证明：由已知得＋＝，通分有＝.
进一步变形有2（b＋c）（a＋b）＝（2b＋a＋c）（a＋c），整理得a2＋c2＝2b2，
所以b2是a2与c2的等差中项.
【例2】 （1）B （2）C 解析：（1）∵数列{an}为等差数列，
∴a2＋a4＝2a3＝6，∴a3＝3.
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15.
（2）设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，
则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0，
∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
母题探究
1.解：由等差数列的性质知，
a1＋a5＝2a3，∴a3＝＝＝3，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（a1＋a5）＋（a2＋a4）＋a3＝2a3＋2a3＋a3＝5a3＝15.
2.解：由等差数列的性质知{cn}也是等差数列，
且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，
∴公差d＝c2－c1＝0，
∴cn＝c1＋（n－1）d＝100.
跟踪训练
1.B 法一 设等差数列{an}的公差为d，则30＝（a1＋3d）＋（a1＋6d）＋（a1＋9d）＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.a3－2a5＝（a1＋2d）－2（a1＋4d）＝－a1－6d＝－10.
法二 由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.a3－2a5＝a3－（a3＋a7）＝－a7＝－10.
2.180 解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.
【例3】 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N＋），
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n.
若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an＝220－20n＜0，得n＞11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
跟踪训练
D 设每一尺的重量构成等差数列{an}，由题意知，a1＝4，a5＝2，∴2a3＝a1＋a5＝6，即a3＝3，∴a2＋a3＋a4＝3a3＝9.
随堂检测
1.AD ∵a2＋a8＝2a5，∴a5是a2与a8的等差中项.又∵a5＝＝4，∴a2与a8的等差中项为4.
2.B 因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3.C 因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
4.－11 解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11.
5.解：设公差为d，∵a1＋a7＝2a4，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，亦即（5－2d）（5＋2d）＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n.
5.2.2 等差数列的前n项和
第一课时 等差数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
na1＋d
想一想
1.提示：2倍关系.由Sn＝n2＋n可知，存在2倍关系.
2.提示：不一定，当d＝0时Sn＝na1，即Sn与n是一次函数关系；当d≠0时，Sn与n是二次函数关系.
自我诊断
1.D 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n×1＋×1＝＝＝，故选D.
2.D 设等差数列{an}的公差为d，
由已知得4a1＋d＝20，
即4×＋d＝20，解得d＝3，
∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.
3.27 解析：因为a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一 ∵a6＝10，S5＝5，
∴解得
法二 ∵S6＝S5＋a6＝15，
∴15＝，即3（a1＋10）＝15.
∴a1＝－5，d＝＝3.
（2）法一 ∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝.
∴S5＝5a1＋10d＝5（a1＋2d）＝5×＝24.
法二 ∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，
∴S5＝＝×＝24.
跟踪训练
1.1 解析：由a3＝3，S6＝21，得解得
2.12 解析：Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5（舍去），即n＝12.
【例2】 解：（1）因为Sn＝n2－17n，
所以当n＝1时，
a1＝S1＝12－17×1＝－16，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－17n－[（n－1）2－17（n－1）]＝2n－18.
验证当n＝1时a1＝－16，上式成立，
所以an＝2n－18.
（2）由an＝2n－18，
得an－1＝2（n－1）－18（n≥2），
所以an－an－1＝2n－18－[2（n－1）－18]＝2，
所以数列{an}是等差数列.
母题探究
解：（1）∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，
Sn－1＝－2（n－1）2＋（n－1）＋2＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1＝（－2n2＋n＋2）－（－2n2＋5n－1）＝－4n＋3.
又∵a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是an＝
（2）由（1）知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4（n＋1）＋3]－（－4n＋3）＝－4，
但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列.
跟踪训练
证明：令n＝1，则a2＝4S1－1＝3；令n＝2，则3a3＝4S2－1＝15，所以a3＝5.
当n≥2时，4Sn－1＝（2n－3）an＋1，从而（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1.
法一 由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，得＝，
因为＝＝1，所以数列是常数列，
所以＝＝1，所以an＝2n－1.
因为an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.
法二 由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，
得（2n＋3）an＋1＝（2n＋1）an＋2，
两式相减得an＋an＋2＝2an＋1，且a1＋a3＝2a2，
所以数列{an}为等差数列.
【例3】 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500＞480 ，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
跟踪训练
C 设每日织布增长x尺，则5＋（5＋x）＋（5＋2x）＋…＋（5＋29x）＝390，即＝390，解得x＝.故选C.
随堂检测
1.A 由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.
∴a3＝1，∴S5＝＝＝5.
2.B 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3（3a1＋3d）＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋（5－1）d＝2＋4×（－3）＝－10.
3.405 解析：因为最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则每圈的石板数构成一个以9为首项，以9为公差的等差数列，所以an＝9n，当n＝9时，第9圈共有81块石板，所以这9圈的石板总数S9＝（9＋81）＝405.
4.（1）3－2n （2）7 解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而，an＝1＋（n－1）×（－2）＝3－2n.
（2）由（1）可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.又k∈N＋，故k＝7为所求.
5.解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
（1）法一 由已知得解得
∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
法二 由已知得
∴a1＋a10＝42，∴S10＝＝5×42＝210.
（2）∵S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510，∴n＝20.
第二课时 等差数列前n项和的性质及应用
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）C （2） 解析：（1）根据等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列.所以Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn），即30＋（S3n－100）＝2×（100－30），解得S3n＝210.
（2）由等差数列的性质知，＝＝＝＝＝.
跟踪训练
1.A 设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，（a5＋a6＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.
2.5 解析：由等差数列前n项和的性质，得＝.由条件可得＝，则＝＝＝，所以＝＝2＋.要使为整数，则必为整数，即n＋1为32的约数.又n为正整数，所以n的取值为1，3，7，15，31，共5个.
【例2】 解：设公差为d，由S17＝S9且a1＝25，得
25×17＋d＝25×9＋d，
解得d＝－2.
法一（公式法） Sn＝25n＋×（－2）＝－（n－13）2＋169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
法二（邻项变号法） ∵a1＝25＞0，
由
得即12≤n≤13.
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为25×13＋×（－2）＝169.
母题探究
1.解：由本例知Sn＝－n2＋26n，
令bn＝＝－n＋26，
∴{bn}是以25为首项，公差为－1的等差数列，
∴Tn＝25n＋×（－1）＝－n2＋n.
2.解：因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝41－2n，
所以a1＝39，Sn＝39n＋×（－2）＝40n－n2.
当Sn取得最大值时，满足
即19≤n≤20.
因为n∈N＋，所以当n＝20时，Sn有最大值S20＝400.
跟踪训练
A 设等差数列的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.
又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.
∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，
故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A.
【例3】 解：（1）因为5a1a3＝（2a2＋2）2，a1＝10，
所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4.
故an＝－n＋11或an＝4n＋6.
（2）因为d＜0，所以由（1）得d＝－1，an＝－n＋11.
设数列{an}的前n项和为Sn，
当n≤11时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝Sn＝－n2＋n；
当n≥12时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
跟踪训练
解：设等差数列{an}的公差为d，则
d＝＝＝3，
所以an＝a1＋（n－1）d＝－60＋3（n－1）＝3n－63.
又因为an＜0时，3n－63＜0，即n＜21，
所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数.
设Sn和Sn'分别表示数列{an}和{｜an｜}的前n项和.
当0＜n≤20时，
Sn'＝－Sn＝－＝－n2＋n；
当n＞20时，
Sn'＝－S20＋（Sn－S20）＝Sn－2S20
＝－60n＋－2×
＝n2－n＋1 260.
所以数列{｜an｜}的前n项和为
Sn'＝
随堂检测
1.A 由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋…＋（S18－S15）＝＝36.
2.C 设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120＋5（n－1）＝5n＋115，由an＜180，得n＜13且n∈N＋.由n边形内角和定理得，（n－2）×180＝n×120＋×5.解得n＝16或n＝9.因为n＜13，所以n＝9.
3.A ∵数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，∴数列{an}是等差数列，公差d＝an＋1－an＝2，5a1＋10d＝－35，解得a1＝－11.∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，∴当Sn取得最小值时，n的值是6.
4.AB ∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又∵S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确.
5.11 7 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项.
5.3 等比数列
5.3.1 等比数列
第一课时 等比数列的定义
【基础知识·重落实】
知识点一
同一个常数q q q
想一想
1.提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列.
2.提示：不能.
3.提示：不一定，如0，0，0，….
自我诊断
0 解析：①不是等比数列，因为≠.②不一定是等比数列，因为不知道的值.事实上，即使＝2，数列{an}也未必是等比数列.③不一定是等比数列，当c＝0时，数列不是等比数列.
知识点二
a1qn－1
想一想
提示：不一定.如当q＝1时，an是关于n的常数函数.
自我诊断
1.C 由已知可得a1＝2，公比q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.
2.－729 解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，∵a4＝a1q3＝－27a1＝27，∴a1＝－1，∴a7＝a1q6＝－1×（－3）6＝－729.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得，＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
跟踪训练
1.证明：由已知，有2a2＝a1＋a3， ①
＝， ②
＝＋. ③
由③得＝，所以a4＝. ④
由①得a2＝. ⑤
将④⑤代入②，得＝·.
所以a3＝，即a3（a3＋a5）＝a5（a1＋a3）.
化简得＝a1·a5，
因为a1，a3，a5均不为0，所以＝，故a1，a3，a5成等比数列.
2.证明：依题意an＝2＋（n－1）×（－1）＝3－n，
于是bn＝.
而＝＝＝2，
又因为b1＝＝.
所以数列{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
【例2】 解：设等比数列的首项为a1，公比为q.
（1）法一 因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.
法二 因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝.
所以an＝a4qn－4＝2×（）n－4＝.
（2）法一 因为
由得q＝，从而a1＝32.
又因为an＝1，所以32×＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二 因为a3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
母题探究
1.解：由本例（1）知an＝.令an＝128，
得＝7，即n＝13.
故128是该数列中的第13项.
2.解：因为an＝a1qn－1，所以×＝，
即＝，解得n＝5.
跟踪训练
1.B ∵a2＝a1q＝12q＝24，∴q＝2，∴a3＝a1q2＝12×22＝48.
2.D 由题意可得
＝＝＝
＝＝4.
【例3】 （1）45 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.
即
整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
（2）解：设前三个数为，a，aq，
则·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6.
因此前三个数为，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6，
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四个数为9，6，4，2.
跟踪训练
B 设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.由题意得q3＝2，q3n－6＝4，两式相乘得q3（n－1）＝8，即qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，∴＝64，即（qn－1）n＝642，∴2n＝642＝212，解得n＝12.
拓视野 等比数列的单调性
迁移应用
1.A 由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又因为a1＞0，所以数列{an}为递增数列.
2.C 由an－an－1＞0（n≥2）可知，数列{an}是递增的等比数列.又因为数列{an}的各项均为正数，所以q＞1.
3.D 如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列的公比为，是递减数列；等比数列的公比为，是递增数列.
随堂检测
1.A 数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝（n≥2，n∈N＋），设bn＝·a2n，则＝＝·（）2＝2（n≥2，n∈N＋）.
2.D 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3.A 原式＝＝＝.
4.A 由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1.
5.28－n 解析：由已知得得∵an＞0，
∴∴an＝128×＝28－n.
第二课时 等比数列的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
等比 ±
想一想
1.提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项.
2.提示：不是.若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立.
自我诊断
1.BC ∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3.由等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
2.－4 解析：由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知（2x＋2）2＝x（3x＋3），解得x＝－1或x＝－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾，所以x＝－4.
知识点二
apaq apaq
想一想
提示：相等.因为1＋n＝2＋（n－1）＝3＋（n－2）＝…，所以a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
自我诊断
1.A ∵3＋5＝1＋7，∴a1a7＝a3a5＝4.
2.32 解析：a1a2a3a4a5＝＝25＝32.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B 由an＝×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，∴a4与a8的等比中项为±4，又∵a1＞0，q＞0，∴a6＞0，故a4与a8的等比中项为a6＝4.
（2）证明：因为b是a，c的等比中项，
所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又因为（a2＋b2）（b2＋c2）＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，（ab＋bc）2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以（ab＋bc）2＝（a2＋b2）（b2＋c2），
即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.
跟踪训练
1.C 依题意知，2a＝1＋2，b2＝（－1）×（－16），∴a＝，b＝±4，∴ab＝±6.
2.4× 解析：由已知可得（a＋1）2＝（a－1）（a＋4），
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，所以an＝4×.
【例2】 （1）A （2）256 解析：（1）设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则a2·a3·…·an＋1＝（a1an＋2＝（100＝10n.
（2）因为a1a2a3…a10＝（a3a8）5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29，因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256.
母题探究
1.解：∵a1a2…a10＝（a2a9）5＝265，
∴a2a9＝213＝8 192.又∵a1a5＝＝162＝256.
∴a1a5＋a2a9＝256＋8 192＝8 448.
2.解：∵a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝＝9，∴a1a2…a8a9＝94×3＝19 683.
跟踪训练
1.D 因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，联立解得或故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.
2.n2 解析：设数列{an}的公比为q，由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝q2n－2＝22n，所以（a1qn－1）2＝（2n）2.又an＞0，所以a1qn－1＝2n.故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2（a1·a3·…·a2n－1）＝log2（q2＋4＋…＋2n－2）＝log2[qn（n－1）]＝log2[（a1qn－1）n]＝log2[（2n）n]＝n2.
【例3】 解：设从2024年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列，∴an＝a（1＋m%）n－1，
∴2025年8月底该厂的生产总值为a20＝a（1＋m%）20－1＝a（1＋m%）19（万元）.
跟踪训练
C 由题意知，该家庭2026年1月1日本金加收益和为10·（1＋5%）＝10×1.05，2027年1月1日本金加收益和为10×1.052，2028年1月1日本金加收益和为10×1.053，…，2035年1月1日本金加收益和为10×1.0510≈10×1.63＝16.3.所以到2035年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元.
随堂检测
1.C 设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝（2＋）×（2－）＝1，∴G＝±1.
2.C 因为＝＝q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列.
3.C 由等比数列的性质可知，a5·a8＝a6·a7＝－8，又因为a5＋a8＝2，所以a5＝4，a8＝－2，或a5＝－2，a8＝4，所以q3＝＝－2或－.
4.9 解析：因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9，所以（a1a9）2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项（或偶数项）的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
5.解：（1）∵a1a2a3＝＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12·.
（2）∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，
∴q4＝4，∴q＝±.
5.3.2 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
na1 na1
想一想
1.提示：公比q≠1.
2.提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.
3.提示：是.根据等比数列前n项和公式Sn＝（q≠0且q≠1）变形为Sn＝－qn（q≠0且q≠1），
若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－aqn.
自我诊断
1.A 由S5＝＝44，得a1＝4.
2.C ＝×＝＝.
3.±1 解析：由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6（a1＋a2＋a3），则q6＝1，q＝±1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）显然q≠1，由Sn＝，即＝，
∴q＝.又∵an＝a1qn－1，即8×＝，∴n＝6.
（2）法一 由S6≠2S3知q≠1，由题意得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝.
法二 由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋a3）＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3，
∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入＝，得a1＝.
母题探究
1.解：由本例（2）知a1＝，q＝2，
所以an＝a1qn－1＝·2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－.
2.解：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则解得q＝2，a1＝.
跟踪训练
解：法一 由题意，得
化简得
①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去，∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.
当q＝2时，代入①得a1＝1，∴S8＝＝255.
当q＝－2时，代入①得a1＝－1.∴S8＝＝.
综上知S8＝255或S8＝.
法二 由等比数列的性质得a3·a5＝＝64，∴a4＝±8.
当a4＝8时，∵a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝＝4，∴q＝±2.
当a4＝－8时，a6－a4＝24，∴a6＝16.
∴q2＝＝－2，无解.故q＝±2.
当q＝2时，a1＝＝1，S8＝＝255.
当q＝－2时，a1＝＝－1，S8＝＝.
综上知S8＝255或S8＝.
【例2】 63 解析：法一 设公比为q，由已知易知q≠1，由可得所以S3n＝＝·[1－（qn）3]＝64×＝63.
法二 由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63.
跟踪训练
1.B 法一 设数列{an}的公比为q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2.于是＝＝＝.
法二 由＝3，得S6＝3S3.设数列{an}的公比为q，由题意知q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，所以（S6－S3）2＝S3（S9－S6），解得S9＝7S3，所以＝.
2.解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×.
【例3】 解：（1）每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝，
∴2026年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×＝1 458（辆），
∴该市在2026年应该投入1 458辆电力型公交车.
（2）设{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝256×，
由Sn＞（10 000＋Sn）×，即Sn＞5 000，n∈N＋，解得n＞7.
∴该市在2027年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
跟踪训练
2n－＋1 解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.
随堂检测
1.C 由题意知解得∴ a3＝a1q2＝4.故选C.
2.B 根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33.
3.A 因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.
4.C 由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k（n∈N＋），当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－（3n－1＋k）＝2×3n－1.因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1.
5.解：（1）由题意知解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
（2）∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，
∴＝189.∴q＝2.
∴an＝a1qn－1＝3×2n－1，∴96＝3×2n－1，∴n＝5＋1＝6.
第二课时 数列求和
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，
b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，
所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，
所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N＋.
（2）因为an＋1＝
所以k∈N＋时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，①
a2k＋1＝a2k＋2， ②
a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1， ③
①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，
所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，
又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.
所以数列{an}的前20项和S20＝（a1＋a3＋a5＋…＋a19）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a20）＝10＋×3＋20＋×3＝300.
跟踪训练
1.A S2 026＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋（－2 025＋2 026）＝1 013.
2.解：（1）由a1＝3，得2p＋q＝3，又因为a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q，且a1＋a5＝2a4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.
（2）由（1），知an＝2n＋n，所以Sn＝（2＋22＋…＋2n）＋（1＋2＋…＋n）＝2n＋1－2＋.
【例2】 解：（1）设数列{an}的公比为q，由＝9a2a6得＝9，∴q2＝.
由条件可知q＞0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，∴a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
（2）∵an＝，∴bn＝－log ＝2n，
∴＝＝，
∴Tn＝
＝＝.
跟踪训练
解：（1）设数列{an}的公比为q（q≠0）.
因为2，a2＋1，a3成等差数列，所以2（a2＋1）＝2＋a3，
即2（a1q＋1）＝2＋a1q2.
又a1＝2，所以q2－2q＝0，解得q＝2或q＝0（舍去），
所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
（2）因为a1×a2×a3×…×an＝21×22×23×…×2n＝21＋2＋3＋…＋n＝＝，
所以bn＝，从而＝＝2，
所以的前n项和Sn＝2［＋＋＋…＋］
＝2＝.
【例3】 解：选条件①：
（1）∵a3＝5，a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，d＞1，
∴解得或（舍去），∴∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
（2）由题意得，cn＝＝＝（2n－1）×，
∴Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋（2n－1）×， ①
Tn＝1×＋3×＋…＋（2n－3）×＋（2n－1）×， ②
①－②，得Tn＝1＋2×［＋＋…＋］－（2n－1）×＝1＋2×－（2n－1）×＝3－（2n＋3）×，
∴Tn＝6－（2n＋3）×.
选条件②：
（1）∵b2＝2，a3＋a4＝3b3，a1＝b1，d＝q，d＞1，
∴∴
解得或（舍去），∴
∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
（2）由题意得，cn＝＝＝（2n－1）×，
∴Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋（2n－1）×， ①
Tn＝1×＋3×＋…＋（2n－3）×＋（2n－1）×， ②
①－②，得Tn＝1＋2×［＋＋…＋］－（2n－1）×＝1＋2×－（2n－1）×＝3－（2n＋3）×，∴Tn＝6－（2n＋3）×.
选条件③：
（1）∵S3＝9，a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，d＞1，
∴
解得或（舍去），∴
∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
（2）由题意得，cn＝＝＝（2n－1）×，
∴Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋（2n－1）×， ①
Tn＝1×＋3×＋…＋（2n－3）×＋（2n－1）×， ②
①－②，得×Tn＝1＋2×［＋＋…＋］－（2n－1）×＝1＋2×－（2n－1）×＝3－（2n＋3）×，
∴Tn＝6－（2n＋3）×.
跟踪训练
解：（1）证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.
所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）得＝1＋（n－1）·1＝n，所以an＝n2.从而bn＝n·3n.
Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n， ①
3Sn＝1·32＋2·33＋…＋（n－1）·3n＋n·3n＋1， ②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1＝，
所以Sn＝.
拓视野 由数列的递推关系求通项
迁移应用
1.an＝2－ 解析：由a1＝S1＝2－a1，得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－an－[2（n－1）－an－1]＝－an＋2＋an－1，所以an＝an－1＋1，即an－2＝（an－1－2）.令bn＝an－2，则bn＝bn－1，且b1＝1－2＝－1，于是数列{bn}是首项为－1，公比为的等比数列，所以bn＝－1×＝－，故an＝2－.
2.an＝2×3n－1－2n－1 解析：令an＋1－xan＝y（an－xan－1）（n≥2），即an＋1＝（x＋y）an－xyan－1.于是得解得或取x＝2，y＝3得an＋1－2an＝3（an－2an－1）（n≥2）.由于a2－2a1＝2≠0，所以数列{an＋1－2an}是以2为首项，3为公比的等比数列，即an＋1－2an＝2×3n－1.两边同除以2n＋1，得－＝×.所以＝＋＋…＋＋＝×＋×＋…＋×＋＝×＋＝－.故an＝2×3n－1－2n－1.取x＝3，y＝2得an＋1－3an＝2（an－3an－1）（n≥2）.由于a2－3a1＝1≠0，所以数列{an＋1－3an}是以1为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－3an＝2n－1.整理得an＋1＋2n＝3（an＋2n－1），又因为a1＋21－1＝2，所以数列{an＋2n－1}是以2为首项，3为公比的等比数列，即an＋2n－1＝2×3n－1，所以an＝2×3n－1－2n－1，综上可知an＝2×3n－1－2n－1.
3.解：（1）证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1－bn＝2.
又因为b1＝a2－a1＝1，故数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）知bn＝1＋2（n－1）＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.
于是an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1
＝[2（n－1）－1]＋[2（n－2）－1]＋…＋（2×1－1）＋1
＝2[1＋2＋3＋…＋（n－1）]－（n－1）＋1
＝2×－n＋2＝n2－2n＋2.
随堂检测
1.D S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
2.C ∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝（－1）＋（－）＋…＋（－）＝－1，令－1＝10，得n＝120.
3.C Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝（21＋2×1－1）＋（22＋2×2－1）＋（23＋2×3－1）＋…＋（2n＋2n－1）＝（2＋22＋…＋2n）＋2（1＋2＋3＋…＋n）－n＝＋2×－n＝2（2n－1）＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.
4.B ∵S15＝（－4）×7＋（－1）14（4×15－3）＝29，S22＝（－4）×11＝－44，S31＝（－4）×15＋（－1）30（4×31－3）＝61，∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
5.解：（1）∵＝＝64＝q3，
∴q＝4.∴an＝a2·4n－2＝8×4n－2＝22n－1.
（2）由bn＝nan＝n×22n－1知Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1， ①
从而22×Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1， ②
①－②得（1－22）×Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，即Sn＝[（3n－1）22n＋1＋2].
5.4 数列的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：因为每期所还本金为＝25 000（元），
因此第n年以前已还本金总额为25 000（n－1）元.
从而有an＝25 000＋[500 000－25 000（n－1）]×5%＝－1 250n＋51 250.
可以看出{an}是一个递减的等差数列.
跟踪训练
解：设小李每个月还款x元，则
x[（1＋0.5%）11＋（1＋0.5%）10＋…＋（1＋0.5%）1＋1]＝100 000（1＋0.5%）12，
∴x＝≈8 607（元）.
即小李每个月应还款约8 607元.
【例2】 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则an＝20（1＋5%）n，bn＝6＋1.5n，
Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋…＋（an－bn）
＝（a1＋a2＋…＋an）－（b1＋b2＋…＋bn）
＝（20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n）－（7.5＋9＋…＋6＋1.5n）＝－（7.5＋6＋1.5n）
＝420×1.05n－n2－n－420.
当n＝5时，S5≈63.5.
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
跟踪训练
C 设原杂质数为1，由题意，得各次过滤杂质数成等比数列，且a1＝1，公比q＝1－20%，故an＋1＝（1－20%）n.由题意可知（1－20%）n＜5%，即0.8n＜0.05.两边取对数，得nlg 0.8＜lg 0.05，因为lg 0.8＜0，所以n＞，即n＞＝＝≈≈13.41，故取n＝14.
【例3】 解：（1）当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，∴an＝45.5＋0.5×（n－1）＝45＋0.5n，
当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，
又∵a10＝50，∴an＝50×0.99n－10.
因此，实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为an＝
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，结合（1）知，
S20＝S10＋（a11＋a12＋…＋a20）＝10×45.5＋×0.5＋＝477.5＋4 950×（1－0.9910）≈972.5，
∵＝48.625＜49，
故到2037年年底后不需要调整政策.
跟踪训练
解：（1）由题意得a1＝2 000×（1＋50%）－d＝3 000－d，a2＝a1（1＋50%）－d＝a1－d＝4 500－d，
an＋1＝an（1＋50%）－d＝an－d.
（2）由（1）得an＝an－1－d＝－d＝·an－2－d－d＝…＝a1－d［1＋＋＋…＋］，
整理得an＝（3 000－d）－2d＝·（3 000－3d）＋2d.
由题意知am＝4 000，所以（3 000－3d）＋2d＝4 000，
解得d＝＝.
故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4 000万元.
随堂检测
1.C 设第一个尺码为a1，公差为d，则a1＝25，d＝0.5，则an＝25＋（n－1）×0.5＝0.5n＋24.5，当an＝0.5n＋24.5＝36.5时，n＝24，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为S24＝＝738码，所有缺货尺寸的和为738－677＝61码，又因为缺货的一个尺寸为28.5码，则另外一个缺货尺寸为61－28.5＝32.5码，故选C.
2.C 经过一次砍伐后，木材存量为1 800（1＋25%）－x＝2 250－x；经过两次砍伐后，木材存量为（2 250－x）×（1＋25%）－x＝2 812.5－2.25x.由题意应有2 812.5－2.25x＝1 800×（1＋50%），解得x＝50.
3.解：（1）设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，所以n≥10.
故到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.
（2）设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，
由题意可知an＞0.85bn，即250＋（n－1）×50＞400×1.08n－1×0.85.解得满足上述不等式的最小正整数n＝6.
故到2017年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
5.5 数学归纳法
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.C 根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.
2.1＋a＋a2
【典型例题·精研析】
【例1】 证明：（1）当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥1）时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则
＋
＝＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立.
综合（1）和（2）可知，对一切正整数n等式都成立.
跟踪训练
证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2.
那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）·[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＋都成立.
【例2】 证明：（1）当n＝2时，
左边＝＋＋＋＞，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时不等式成立，
即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋＞＋（3×－）＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立.
跟踪训练
证明：（1）当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝，
∵＜，∴不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时，不等式成立，
即＋＋＋…＋＜1－.
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立.
【例3】 证明：（1）当n＝1，原式＝4×7－1＝27能被9整除.
（2）假设当n＝k（k∈N＋），即（3k＋1）·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3（k＋1）＋1]·7k＋1－1
＝[（3k＋1）＋3]（1＋6）·7k－1
＝（3k＋1）·7k－1＋（3k＋1）·6·7k＋21·7k
＝[（3k＋1）·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.
∴n＝k＋1时也能被9整除.
由（1）（2）可知，对任何n∈N＋，（3n＋1）·7n－1都能被9整除.
跟踪训练
证明：（1）当n＝1时，a1＋1＋（a＋1）2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时，ak＋1＋（a＋1）2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，
ak＋2＋（a＋1）2k＋1＝a·ak＋1＋（a＋1）2·（a＋1）2k－1
＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a＋1）2（a＋1）2k－1－a（a＋1）2k－1
＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a2＋a＋1）（a＋1）2k－1.
显然，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，
故n＝k＋1时命题成立.
根据（1）（2）可知，对n∈N＋，原命题成立.
【例4】 解：S1＝＝，S2＝＋＝，S3＝＋＝，S4＝＋＝，
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝.
下面用数学归纳法证明：
（1）显然当n＝1时，S1＝＝，猜想成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时，等式成立，即Sk＝.
则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋＝＋＝＝＝，即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据（1）和（2）可知，猜想对任何n∈N＋都成立.
跟踪训练
解：（1）当n＝1时，＋＋＝＝，则＞，所以a＜26，而a是正整数，所以猜想a的最大值为25.
（2）下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＞.
①当n＝1时，已证.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即＋＋＋…＋＞.
那么当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＋＋
＝＋（＋＋－）＞＋
＝＋
＞＋
＝＋＝，
即当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据①和②，可知对任何n∈N＋，都有＋＋＋…＋＞.
所以正整数a的最大值为25.
随堂检测
1.D 要注意末项与首项，因为f（n＋1）＝1＋＋＋…＋＋＋＋＋＋，所以f（n＋1）－f（n）＝＋＋.
2.B 本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立.
3.D 当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；
当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共（2k＋1－1）－2k＋1＝2k项.
4.（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6 解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.
章末复习与总结
【例1】 （1）C （2）95 解析：（1）法一 设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn＝na1，不满足S6＝21S2，∴q≠1.由S6＝21S2，得＝21a1（1＋q）.整理，得1－q6＝21（1－q2），即（1－q2）（q4＋q2－20）＝0.显然q≠±1，∴q4＋q2－20＝0，解得q2＝－5（舍去）或q2＝4.∴S8＝＝＝（1＋q4）S4＝（1＋42）×（－5）＝－85.故选C.
法二 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，∴（S4－S2）2＝S2·（S6－S4），解得S2＝ －1或S2＝.当S2＝－1时，由（S6－S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去.∴S8＝－85，故选C.
（2）法一（基本量法） 因为数列{an}为等差数列，
则由题意得解得
则S10＝10a1＋d＝10×（－4）＋45×3＝95.
法二（下标和性质法） 设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5（a5＋a6）＝5×19＝95.
【例2】 解：（1）∵3a2＝3a1＋a3，∴3（a2－a1）＝a3，
∴3d＝a1＋2d，∴a1＝d，则an＝nd（d＞1），
∴bn＝，
∴S3＝a1＋a2＋a3＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝，
∴6d＋＝21.整理，得2d2－7d＋3＝0，
即（2d－1）（d－3）＝0，解得d＝3或d＝（舍去）.
∴an＝3n，n∈N*.
（2）若{bn}为等差数列，
则b1＋b3＝2b2，即＋＝2·.
整理，得－3a1d＋2d2＝0.
解得a1＝d或a1＝2d.
当a1＝d时，an＝nd，bn＝＝，
∴S99－T99＝（d＋99d）－（＋）＝99.
整理，得50d2－d－51＝0，
解得d＝或d＝－1（舍去）.
当a1＝2d时，an＝（n＋1）d，bn＝＝，
∴S99－T99＝（2d＋100d）－（＋）＝99.
整理，得51d2－d－50＝0，
解得d＝－或d＝1.
∵d＞1，∴此时无解.
综上可知，d＝.
【例3】 解：（1）当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.
当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝（n－1）an－1，
两式相减得2an＝nan－（n－1）an－1，
即（n－1）an－1＝（n－2）an，
当n＝2时，可得a1＝0，
故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1（n≥3）.
当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1.
（2）法一 令bn＝＝，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋， ①
Tn＝＋＋…＋＋， ②
由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，
即Tn＝2－.
法二 设bn＝，
所以bn＝＝＝（n＋0）×（）n－1，故a＝，b＝0，q＝.
故A＝＝＝－1，B＝＝＝－2，C＝－B＝2.
故Tn＝（An＋B）·qn＋C＝（－n－2）（）n＋2，整理得Tn＝2－.
【例4】 解：（1）证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，
代入＋＝2可得，＋＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝（n≥2）.
又＋＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，bn＝，则＋＝2，所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.故an＝
【例5】 解：（1）当n＝1时，
由已知得a1＝＋－1，即＋2a1－2＝0.
所以a1＝－1（a1＞0）.
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.
所以a2＝－（a2＞0）.
同理可得a3＝－.
猜想an＝－（n∈N＋）.
（2）证明：①由（1）知，当n＝1时，通项公式成立.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，通项公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，整理得＋2ak＋1－2＝0，
所以ak＋1＝－＝－，
即n＝k＋1时公式也成立.
由①②可知对所有n∈N＋，an＝－都成立.
第六章 导数及其应用
6.1 导数
6.1.1 函数的平均变化率
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）x2－x1 （2）y2－y1 （3）
2.斜率
想一想
提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率可正可负可为零.
自我诊断
1.D 由Δy的定义可知Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.
2.A ∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝（3＋Δt）2＋3－32－3＝6Δt＋Δt2.∴从3到3＋Δt的平均速度为＝＝6＋Δt.
3.B ＝＝－1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为f（x）＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
（2）f（x0＋Δx）－f（x0）＝3（x0＋Δx）2＋5－（3＋5）
＝3＋6x0Δx＋3（Δx）2＋5－3－5＝6x0Δx＋3（Δx）2.
函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝6x0＋3Δx.
跟踪训练
－ 解析：当x∈时，＝＝；当x∈时，＝＝＝－.因此，y＝cos x在区间和区间上的平均变化率分别是和－.
【例2】 解：（1）＝
＝＝0（m/s），
即运动员在这段时间内的平均速度是0 m/s.
（2）运动员在这段时间里显然不是静止的.
（3）由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时.
跟踪训练
B 由已知，得＝26，所以（5×32＋3m）－（5×22＋2m）＝26，解得m＝1，故选B.
【例3】 解：山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝＝＝，∴kBC＞kAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭.
跟踪训练
解：由y＝f（x）＝2，可以计算出相应的平均线密度，
为了提高精度，可以缩短计算线密度所需距离间隔，如取原长度的，即求出2 m到2.1 m这段合金棒的平均线密度＝＝20（－）≈20×（1.449－1.414）＝0.700（kg/m），用它来近似表示合金棒在x0＝2 m处的线密度.
随堂检测
1.B 因为Δy＝[2（1＋Δx）2－1]－（2×12－1）＝4Δx＋2（Δx）2，所以＝4＋2Δx.
2.B 因为Δy＝（3＋Δx）2－1－32＋1＝6Δx＋（Δx）2，所以＝＝6＋Δx，故选B.
3.3 解析：因为＝＝＝m＋1＝4，所以m＝3.
4.30＋5Δt 解析：Δs＝g×（3＋Δt）2－g×32＝×10×[6Δt＋（Δt）2]＝30Δt＋5（Δt）2，＝＝30＋5Δt.
6.1.2 导数及其几何意义
第一课时 瞬时变化率与导数
【基础知识·重落实】
想一想
1.提示：无关.
2.提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关.联系：瞬时速度是平均速度的极限值.
自我诊断
1.C 由导数定义可知Δx≠0.
2.C 因为Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－（1－3＋9）＝5Δt＋（Δt）2，所以s'（3）＝（5＋Δt）＝5（m/s），即该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s.
3.C f'（x0）＝＝（a＋bΔx）＝a.
4.2 解析：∵f（x）＝x2，∴函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率是f'（1）＝ ＝ ＝ ＝ （2＋Δx）＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 v0－gt0 解析：∵Δs＝v0（t0＋Δt）－g（t0＋Δt）2－＝v0Δt－gt0Δt－g（Δt）2，∴＝v0－gt0－gΔt，∴ ＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
跟踪训练
解：因为Δs＝s（2＋Δt）－s（2）＝a（2＋Δt）2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a（Δt）2，所以＝4a＋aΔt，故在t＝2 s时，瞬时速度为s'（2）＝＝（aΔt＋4a）＝4a.
由题意知，4a＝8，所以a＝2.
【例2】 解：Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×12－2×1）＝3（Δx）2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴f'（1）＝＝（3Δx＋4）＝4.
母题探究
1.解：∵Δy＝3（2＋Δx）2－2（2＋Δx）－（3×22－2×2）
＝3（Δx）2＋10Δx，∴＝3Δx＋10，
∴f'（2）＝＝（3Δx＋10）＝10.
2.解：∵Δy＝2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2×1－13）
＝－（Δx）3－3（Δx）2－Δx，
∴＝－（Δx）2－3Δx－1，
∴f'（1）＝＝[－（Δx）2－3Δx－1]＝－1.
跟踪训练
B 法一
＝
＝＋
＝f'（x0）＋
＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）.
法二
＝
＝2＝2f'（x0）.
随堂检测
1.C v＝ 是物体在3 s这一时刻的瞬时速度.故选C.
2.D 根据题意，＝f'（x0）＝－2，故f'（x0）＝－2.故选D.
3.A ∵＝＝Δt＋2，∴＝＝2，故选A.
4.4 解析：函数f（x）＝ax＋b在x＝1处的导数为f'（1）＝＝＝＝a，又f'（1）＝2，得a＝2，而f（1）＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，所以f（x）＝2x，所以f（2）＝4.
5.解：因为Δf＝（1＋Δx）－－＝Δx＋，所以＝＝1＋.
所以f'（1）＝＝＝2，
所以函数y＝f（x）＝x－在x＝1处的导数为2.
第二课时 导数的几何意义
【基础知识·重落实】
知识点
2.
想一想
1.提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.
2.提示：不一定.二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线.
3.提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA＞kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'（x3）.
自我诊断
1.B 因为在点（x0，f（x0））处切线方程的斜率为－，所以f'（x0）＝－＜0.故选B.
2.A 根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f'（4）＝.
3.y轴 解析：由切线的定义可知y轴是抛物线y2＝x的切线.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：因为f'（1）＝
＝＝[3＋3Δx＋（Δx）2]＝3，
所以由导数的几何意义知曲线在（1，f（1））处的切线斜率为k＝f'（1）＝3.
又因为f（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0.
母题探究
1.解：由可得（x－1）2（x＋2）＝0，解得x1＝1，x2＝－2.从而求得公共点为（1，1），（－2，－8）.
故例题中的切线与曲线y＝f（x）的公共点除切点（1，1）外，还有点（－2，－8）.
2.解：因为f'（1）＝＝＝－1，
所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线斜率k＝f'（1）＝－1.
又因为f（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.
跟踪训练
解：（1）∵y'＝＝＝＝[3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝x2，∴当x＝2时，y'＝4，
∴曲线在点P处的切线的斜率等于4.
故曲线在点P处的切线方程是y－＝4（x－2），即12x－3y－16＝0.
（2）设切点为（x0，y0），由（1）知y'＝x2，则点（x0，y0）处的切线斜率k＝，切线方程为y－y0＝（x－x0）.
又切线过点P，且（x0，y0）在曲线y＝x3上，
∴
整理得－3＋4＝0，即（x0－2）2（x0＋1）＝0，解得x0＝2或x0＝－1.
当x0＝2时，y0＝，切线斜率k＝4，切线方程为12x－3y－16＝0；
当x0＝－1时，y0＝－，切线斜率k＝1，切线方程为3x－3y＋2＝0.
故过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.
【例2】 解：设切点坐标为（x0，y0），则
Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－2－1＝4x0·Δx＋2（Δx）2，
∴＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时，→4x0，即f'（x0）＝4x0.
（1）∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，
即f'（x0）＝4x0＝1，得x0＝，∴切点的坐标为.
（2）∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f'（x0）＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为（1，3）.
（3）∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
则k·＝－1，即k＝8，
即f'（x0）＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为（2，9）.
跟踪训练
解析：设直线l与曲线C的切点为（x0，y0），
因为y'＝＝3x2－2x，设曲线C在x0处的导数为y，
则y＝3－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，y0＝－＋1＝1，
又（x0，y0）在直线y＝x＋a上，
将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾，舍去.
当x0＝－时，y0＝－＋1＝，
则切点坐标为，将代入直线y＝x＋a中得a＝.
【例3】 解：我们用曲线h（t）在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h（t）在上述三个时刻附近的变化情况.
（1）当t＝t0时，曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h'（t0）＝0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当t＝t1时，曲线h（t）在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t1附近单调递减.
（3）当t＝t2时，曲线h（t）在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t2附近也单调递减.
从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h（t）在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢.
跟踪训练
解：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值.
因为＝＝4.9－4.9Δt，
所以h'（1）＝＝（4.9－4.9Δt）＝4.9.
所以在t＝1 s时，烟花正以4.9 m/s的速度上升.
画出二次函数h（t）＝－4.9t2＋14.7t（0≤t≤1.5）的大致图象，如图所示，结合导数的几何意义，我们可以看出，在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度近似为0，达到最高点时，瞬时速度为0并爆裂；当t∈[0，1.5）时，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空.
随堂检测
1.A ∵f（x）为可导函数，且满足＝－1，即f'（1）＝－1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）＝－1.
2.C ＝＝，所以当Δx→0时，f'（1）＝2，即k＝2.所以切线方程为y＋2＝2（x－1），即y＝2x－4.故选C.
3.3 解析：由导数的几何意义得f'（1）＝，由点M在切线上得f（1）＝×1＋2＝，所以f（1）＋f'（1）＝3.
4.解：（1）因为f'（x）＝ ＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝x2，
所以f'（2）＝22＝4.所以点P处的切线的斜率等于4.
（2）在点P处的切线方程为y－＝4（x－2），
即12x－3y－16＝0.
6.1.3 基本初等函数的导数
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）x （2）
想一想
1.提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴.
2.提示：奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数.
自我诊断
1.ABC 由导数定义及常数函数与幂函数的导数公式可知，A、B、C三项正确.
2.C ∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴f'（3）＝6.
3.3 解析：因为y'＝αxα－1，所以α·2α－1＝12，解得α＝3.
知识点二
0 αxα－1 cos x －sin x axln a ex
想一想
提示：公式对任意不为0的实数α都成立.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.C ①当f（x）＝sin x＋1时，f'（x）＝cos x；②当f（x）＝2时，f'（x）＝0；④若f（x）＝，则f'（x）＝－.
3.B 因为f'（x）＝ex，所以f'（0）＝e0＝1.
4.C 由题意可知x＞0，因为f'（x）＝2x，g'（x）＝，所以f'（x）＜g'（x），即2x＜，解得0＜x＜.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）y'＝（x12）'＝12x11.
（2）y'＝'＝（x－4）'＝－4x－5＝－.
（3）y'＝（）'＝（）'＝.
（4）y'＝（3x）'＝3xln 3.
（5）y'＝（log5x）'＝.
跟踪训练
解：（1）y'＝'＝ln ＝－ln 2.
（2）y'＝（x）'＝（）'＝＝.
（3）y'＝'＝＝－.
【例2】 解：（1）因为f（1）＝＝1≠0，所以点Q（1，0）不是曲线y＝f（x）上的点.
（2）设过点Q（1，0）的切线的切点为A，
那么该切线斜率为k＝f'（a）＝－.
则切线方程为y－＝－（x－a）. ①
将Q（1，0）代入方程0－＝－（1－a），
得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.
母题探究
1.解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝－.
显然P（1，1）是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数f（x）＝在点P（1，1）处的导数，即k＝f'（1）＝－1.
所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y－1＝－（x－1），即为x＋y－2＝0.
2.解：因为f'（x）＝（sin x）'＝cos x，
所以所求切线的斜率k＝cos π＝－1.
又因为sin π＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－π），即x＋y－π＝0.
跟踪训练
1.D 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝ ①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为（x0，）（x0＞0），则y＝＝k ②，＝kx0＋b ③，由②③可得b＝，将b＝，k＝－代入①得x0＝1或x0＝－（舍去），所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋.
2.y＝xln 2＋1 解析：∵f（x）＝2x，∴f'（x）＝2xln 2，∴f'（0）＝ln 2.故所求切线方程为y－1＝（x－0）ln 2，即y＝xln 2＋1.
【例3】 （1） －sin t 解析：v（t）＝S'（t）＝cos t，∴v＝cos ＝，即质点在t＝时的速度为，∵v（t）＝cos t，∴加速度a（t）＝v'（t）＝（cos t）'＝－sin t.
（2）解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P（x0，y0）.∴两条曲线在P（x0，y0）处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·（－sin x0）＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的.
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直.
跟踪训练
解：如图，由题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点.设P（x0，y0），
∵y'＝（ex）'＝ex，∴＝1，∴x0＝0，代入y＝ex得y0＝1，∴P（0，1）.
由点到直线的距离公式得，点P到直线y＝x的距离为.
随堂检测
1.BCD 在A中（3x）'＝3xln 3，错误；由运算法则可知B、C、D均正确.
2.C ∵f（x）＝sin x，∴f'（x）＝cos x，∴f'＝cos ＝.
3.C f1（x）＝sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），故f2（x）＝cos x，f3（x）＝－sin x，f4（x）＝－cos x，f5（x）＝sin x，周期为4，故f2 025（x）＝f1（x）＝sin x，f2 025＝sin ＝.
4. 解析：∵f'（x）＝，∴f'（1）＝＝－1.∴ln a＝－1，即a＝.
5.解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝（）'＝（）'＝，所以f'（8）＝×＝，即曲线在点P（8，4）处的切线的斜率为，所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3（x－4），即3x＋y－20＝0.
6.1.4 求导法则及其应用
第一课时 函数和、差、积、商的求导法则
【基础知识·重落实】
知识点
2.（1）f'（x）±g'（x） （2）f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）
（3）（g（x）≠0）
想一想
1.提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都成立.
2.提示：两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必可导.
3.提示：若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
自我诊断
1.B y'＝（sin x·cos x）'＝（sin x）'cos x＋sin x（cos x）'＝cos2x－sin2x＝cos 2x.
2.－xsin x 解析：y'＝（xcos x－sin x）'＝（xcos x）'－（sin x）'＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
3.0 解析：因为f'（x）＝＝x'＋＝1－，
所以f'（1）＝1－1＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）y'＝（x2＋log3x）'＝（x2）'＋（log3x）'＝2x＋.
（2）y'＝（x3·ex）'＝（x3）'·ex＋x3·（ex）'
＝3x2·ex＋x3·ex＝ex（x3＋3x2）.
（3）y'＝'＝
＝＝－.
跟踪训练
解：（1）y'＝（sin x－2x2）'＝（sin x）'－（2x2）'＝cos x－4x.
（2）y'＝（cos x·ln x）'＝（cos x）'·ln x＋cos x·（ln x）'
＝－sin x·ln x＋.
（3）y'＝'＝
＝＝.
【例2】 解：∵y'＝2x＋1，∴直线l1在点（1，0）处的斜率为2×1＋1＝3，
由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B（b，b2＋b－2），
则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1.
∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，即b＝－，
∴B，
故直线l2的方程为y＝－x－.
母题探究
解：解方程组得
∴直线l1和l2的交点坐标为.
又l1，l2与x轴的交点坐标分别为（1，0），，
故所求三角形的面积为S＝××＝.
跟踪训练
1.C 由题意可知y'＝＝，则曲线y＝在点（1，）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝，所以曲线y＝在点（1，）处的切线方程为y－＝（x－1），即y＝x＋，故选C.
2.解：（1）由题意，函数的定义域为（0，＋∞），
由f（x）＝ax2＋ln x，
得f'（x）＝2ax＋，
所以f（1）＋f'（1）＝3a＋1.
（2）因为曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈（0，＋∞）内导函数f'（x）＝2ax＋存在零点，
即f'（x）＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是（－∞，0）.
【例3】 （1）D （2）f（x）＝2x3－9x2＋12x
解析：（1）y'＝f'（x）＝aex＋ln x＋1，k＝f'（1）＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1.又∵ 切线方程为y＝2x＋b，∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D.
（2）因为f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f'（1）＝0，f'（2）＝0，f（1）＝5，所以解得故函数f（x）的解析式是f（x）＝2x3－9x2＋12x.
跟踪训练
B f'（x）＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋（a＋1）][x＋（a－1）]，图①与②中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③中的图象是函数f（x）的导函数的图象.由图③知f'（0）＝0，由根与系数的关系得解得a＝－1.故f（x）＝x3－x2＋1，所以f（－1）＝－.
随堂检测
1.D y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x.
2.D ∵s'＝2t－，∴s't＝2＝4－＝.
3.BC 因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0），因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）·sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C.
4.1 解析：由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1.
5.解：（1）法一 y'＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）（2x＋2）＝3x2.
法二 ∵y＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8，∴y'＝3x2.
（2）y'＝－2x·ln 2
＝－2x·ln 2
＝＋ln x－2xln 2.
第二课时 简单复合函数的求导法则
【基础知识·重落实】
知识点
1.f（g（x）） u 2.（1）f'（u）·g'（x） f'（g（x））·g'（x） （2）y'u·u'x
想一想
1.提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数.
2.提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
3.提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导.
自我诊断
1.C y'＝（cos 2x）'＝－2sin 2x.
2.10 解析：f'（x）＝5（2x＋1）4·（2x＋1）'＝10（2x＋1）4，∴f'（0）＝10.
3.1或 解析：设y＝kx＋b与y＝ex－2和y＝ln x的切点分别为（x1，），（x2，ln x2），由导数的几何意义可得k＝＝，曲线y＝ex－2在点（x1，）处的切线方程为y－＝（x－x1），即y＝x＋（1－x1），曲线y＝ln x在点（x2，ln x2）处的切线方程为y－ln x2＝（x－x2），即y＝x＋ln x2－1，则解得x2＝1，或x2＝e，所以k＝1或.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）设y＝eu，u＝cos x＋1，
则y' x＝y' u·u' x＝eu·（－sin x）＝－ecos x＋1sin x.
（2）设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y' x＝y' u·u' x＝＝.
（3）设y＝2sin u，u＝3x－，
则y' x＝y' u·u' x＝2cos u×3＝6cos.
（4）设y＝，u＝1－2x，
则y' x＝y' u·u' x＝'·（1－2x）'
＝－×（－2）＝（1－2x.
跟踪训练
解：（1）令u＝3x－2，则y＝10u，
所以y' x＝y' u·u' x＝10uln 10·（3x－2）'
＝3×103x－2ln 10.
（2）令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y' x＝y' u·u' x＝·（ex＋x2）'
＝·（ex＋2x）＝.
（3）因为y＝sin4x＋cos4x
＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x
＝1－sin22x＝1－（1－cos 4x）
＝＋cos 4x，
所以y'＝'＝－sin 4x.
【例2】 解：（1）∵（ln 3x）'＝×（3x）'＝，
∴y'＝
＝＝.
（2）y'＝（x）'
＝x'＋x（）'
＝＋
＝.
（3）∵y＝xcossin
＝x（－sin 2x）cos 2x＝－xsin 4x，
∴y'＝'
＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
跟踪训练
解：（1）∵y＝，
∴y'＝（－）'＝sinx.
（2）y'＝（sin3x＋sin x3）'＝（sin3x）'＋（sin x3）'
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
【例3】 A 设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.∵y＝ln（2x－1），∴y'＝，y＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
母题探究
解：由题意可知，设切点为P（x0，y0），∵y＝ln（2x－1），
∴y'＝，y＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点P（1，0），∴＝2，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12.
跟踪训练
解：∵f'（x）＝3－2sin 2x＋2cos 2x，∴f'＝3－2sin ＋2cos ＝1，即a＝1，∵P（a，b）在曲线y＝x3上，∴b＝a3＝1，即P（1，1），
①若P是切点，∵y'＝3x2，∴曲线y＝x3在P（1，1）处的切线斜率k＝3，
∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0；
②若P不是切点，可设切点坐标为（t，t3），
∴切线斜率k＝3t2＝，解得t＝－，∴k＝，
∴所求切线方程为y－1＝（x－1），即3x－4y＋1＝0.
综上所述：过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
拓视野 导函数的奇偶性及周期性探究
迁移应用
推广1：证明：必要性：由函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称，得f（x）＋f（2a－x）＝2f（a），于是[f（x）＋f（2a－x）]'＝[2f（a）]'，又[f（2a－x）]'＝f'（2a－x）×（－1）＝－f'（2a－x），
因此f'（x）－f'（2a－x）＝0，即f'（x）＝f'（2a－x）.
所以导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称.
充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称，则f'（x）＝f'（2a－x），
即[f（x）＋f（2a－x）]'＝0，于是f（x）＋f（2a－x）＝C（C为常数）.
令x＝a，则有2f（a）＝C.所以f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）.
因此可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称.
推广2：证明：必要性：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f（x）＝f（2a－x），于是f'（x）＝[f（2a－x）]'，故f'（x）＝－f'（2a－x），
即f'（x）＋f'（2a－x）＝0.
因此导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称，则f'（x）＋f'（2a－x）＝0.
即[f（x）－f（2a－x）]'＝0，因此f（x）－f（2a－x）＝C（C为常数）.
令x＝a，得C＝0.所以f（x）＝f（2a－x）.
故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
随堂检测
1.A f'（x）＝－sin 2x·（2x）'＋e2x·（2x）'＝－2sin 2x＋2e2x，故选A.
2.B y'＝（x2）'cos＋x2'
＝2xcos＋x2'＝2xcos－2x2sin.
3.D y'＝a－，则y'｜x＝0＝a－1.又切线方程为y＝2x，所以a－1＝2，解得a＝3.
4. 解析：∵f'（x）＝·（3x－1）'＝，∴f'（1）＝.
5.2 解析：由题意知y'＝aeax，∴k＝a·ea×0＝a＝2.
6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
【基础知识·重落实】
知识点
（1）f'（x）＞0 （2）f'（x）＜0
想一想
1.提示：函数y＝f（x）在这个区间上是常数函数，不具有单调性.
2.提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f'（x）＞0是y＝f（x）在某个区间上单调递增的充分不必要条件.
3.提示：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的较快，其图象比较陡峭.即｜f'（x）｜越大，则函数f（x）的切线斜率的绝对值越大，函数f（x）的变化率就越大.
自我诊断
1.A 因为f'（x）＝2－cos x＞0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上是单调递增函数.
2.C 观察y＝f（x）的图象可知，函数在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以导函数y＝f'（x）在（－∞，0）上小于0，在（0，＋∞）上大于0.结合各选项可知，只有选项C符合题意.
3.（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞） （－3，－2]，（1，3]
解析：由f'（x）的图象可知，当x在区间（－3，－2]和（1，3]时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x在区间（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增.所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）；f（x）的单调递减区间是（－3，－2]，（1，3].
【典型例题·精研析】
【例1】 C 由函数y＝f（x）的图象的增减变化趋势判断函数y＝f'（x）的正、负情况如下表：
x [－1，b） [b，a） [a，1]
f'（x） － ＋ －
f（x） 单调递减 单调递增 单调递减
由表可知函数y＝f'（x）的图象，当x∈[－1，b6.1.1 函数的平均变化率
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率 直观想象
2.理解函数平均变化率的几何意义和物理意义 数学抽象
3.理解数学中“以直代曲”的思想 数学抽象
2020年珠穆朗玛峰（简称珠峰）新测高度8 848.86米，是世界第一高峰，是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰，每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时，登山队员的攀登的难度也是不一样的.
【问题】 你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？
知识点 函数y＝f（x）的平均变化率
1.函数平均变化率的定义
若函数y＝f（x）的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f（x1），y2＝f（x2），则
（1）称Δx＝ 为自变量的改变量；
（2）称Δy＝ （或Δf＝f（x2）－f（x1））为相应的因变量的改变量；
（3）称＝ （或＝ ）为函数y＝f（x）在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率.
2.函数平均变化率的几何意义
函数y＝f（x）在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的 .如图，函数y＝f（x）在[x1，x2]上的平均变化率，等于直线AB的斜率，其中A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））.
3.函数的平均变化率的物理意义即平均速度
物体在某段时间内的平均速度即函数在该段时间内的平均变化率.
【想一想】
Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？
1.已知函数y＝f（x），则自变量x从x0到x0＋Δx时，因变量的改变量Δy为（ ）
A.f（x0＋Δx） B.f（x0）＋Δx
C.f（x0）·Δx D.f（x0＋Δx）－f（x0）
2.已知质点运动规律为s（t）＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为（ ）
A.6＋Δt B.6＋Δt＋
C.3＋Δt D.9＋Δt
3.如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
题型一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数f（x）＝3x2＋5，求f（x）.
（1）从0.1到0.2的平均变化率；
（2）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.
尝试解答
通性通法
1.求函数平均变化率的步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f（x2）－f（x1）；
第三步，求平均变化率＝.
2.求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式.
【跟踪训练】
函数y＝cos x在x∈上的平均变化率为 ；在x∈上的平均变化率为 .
题型二 求物体运动的平均变化率
【例2】 跳水运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10.
（1）求运动员在这段时间内的平均速度；
（2）运动员在这段时间内是静止的吗？
（3）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
尝试解答
通性通法
1.平均速度反映的是运动物体的位移随时间变化而变化的情况，平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值.
2.运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s（t）在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质就是求函数的平均变化率.
【跟踪训练】
一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为（ ）
A.2 B.1
C.－1 D.6
题型三 平均变化率的应用
【例3】 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化AB段，BC段曲线的陡峭程度吗？
尝试解答
通性通法
函数的平均变化率表示点（x0，f（x0））与点（x1，f（x1））连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势.
（1）当比较函数平均变化率的大小时，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较；
（2）当识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，图象在点x0附近越“陡峭”，函数值变化就越快.
【跟踪训练】如图，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10 m.设x（单位：m）表示OX这段棒的长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：y＝f（x）＝2.估计该合金棒在x＝2 m处的线密度（物理学的“线密度”定义为单位长度的质量）.
1.函数y＝f（x）＝2x2－1在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率＝（ ）
A.4 B.4＋2Δx
C.4＋2（Δx）2 D.4Δx
2.已知函数y＝x2－1的图象上一点A（3，8）及邻近一点B（3＋Δx，8＋Δy），则割线AB的斜率等于（ ）
A.6 B.6＋Δx
C.6＋（Δx）2 D.6x
3.若函数f（x）＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为4，则m＝ .
4.已知质点运动规律s＝gt2，则在时间区间（3，3＋Δt）内的平均速度等于 .（g＝10 m/s2）
提示：完成课后作业 第六章 6.1 6.1.1
4 / 4
