成都石室中学2025-2026学年度下期高2026届二诊模拟测试
数 学
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
2．已知命题：“”，则为( )
A． B． C． D．
3．已知平面内三点，则向量在上的投影向量为( )
A． B． C． D．
4．在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是( )
A． B． C． D．
5．若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为( )
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为，点在轴上，若对上任意一点，都有成立，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
7．已知不重合的两个圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为( )
A． B． C． D．
8．美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图，将火锅抽象为乙图的两个同轴圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，圆柱的高为30cm．汤料只放在两圆柱之间的汤锅中，将汤勺视为一条线段．若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间，若无论如何放置汤勺，汤料都不会将汤勺完全淹没，则汤勺长度最短为( )cm
A． B． C． D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，设，得到新数据，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是( )
A.平均数是 B.中位数是 C.方差是 D.极差是
10．如图，在棱长为的正方体中，已知分别是棱的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则( )
A．平面
B．平面截正方体所得的截面面积为
C．点的轨迹长度为
D．能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
11．已知在中，角所对的边长分别为，且满足，点在线段的延长线上，则( )
A． B．若，则
C． D．若，当点运动时，为定值
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．复数满足，其中为虚数单位，则__________．
13．已知，则的最大值为__________．
14．若函数的图象存在对称轴，则的最小值为__________．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若直线与曲线相切，求的值．
17．如图，在四棱锥中，平面，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，点为的重心，求直线与平面所成角的正弦值．
18．如图，已知椭圆．点在椭圆上且，分别经过的左、右焦点，且．
（1）若，求点的坐标；
（2）证明：是定值，并求出的值；
（3）求四边形面积最大值．
19．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定“满二进一”就是二进制；“满十进一”就是十进制；“满十六进一”就是十六进制等．一般地，若是一个大于的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式，其中，且，，如，所以在三进制下可写为.
（1）将五进制数转化成三进制数；
（2）对于任意两个不同的位二进制数，，，记．
（i）若，求随机变量的分布列与数学期望；
（ii）证明：.
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