【培优方案】8.2.1　两角和与差的余弦（课件）人教B版数学必修第三册

(共64张PPT)
8.2.1　
两角和与差的余弦
新课程标准解读 核心素养
1.通过感悟利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式
的过程，进一步体会向量方法的作用 逻辑推理
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式 逻辑推理
3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地平
面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发
射塔的视角（∠CAD）约为45°，∠CAB＝15°，求这座电视发射
塔的高度.
　　设电视发射塔的高度CD＝x.则AB＝AC· cos 15°＝60 cos 15°，BC＝AC sin 15°＝60 sin 15°，BD＝AB·tan 60°＝60· cos 15°·tan 60°＝60 cos 15°，所以x＝BD－BC＝60 cos 15°－60 sin 15°，如果能求出 cos 15°， sin 15°的值，就可求出电视发射塔的高度了.
【问题】　（1）30°＝60°－30°，那么 cos 30°＝ cos 60°－ cos
30°成立吗？类似的15°＝45°－30°，那么 cos 15°＝ cos 45°－
cos 30°成立吗？为什么？
（2）如何用α，β的正弦、余弦值来表示 cos （α－β）呢？
知识点　两角和与差的余弦
名称 公式 简记符号 使用条件
两角差的余弦 cos （α－β）＝ Cα－β α，β∈R
两角和的余弦 cos （α＋β）＝ Cα＋β α，β∈R
cos α·
cos β＋ sin α sin β
cos α·
cos β－ sin α sin β
提醒　两角和与差的余弦公式的结构特征
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.（1）
“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正
弦；（2）“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两
角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后两项之间用“－”，
两角差的余弦展开后两项之间用“＋”.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） cos （60°－30°）＝ cos 60°－ cos 30°. （　×　）
（2） α，β∈R， cos （α－β）＝ cos α－ cos β成立.
（　√　）
（3） α，β∈R， cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β
都成立. （　√　）
×
√
√
2. cos 22° cos 38°－ sin 22° sin 38°的值为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　原式＝ cos （22°＋38°）＝ cos 60°＝ .
3. cos （－15°）的值是（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　 cos （－15°）＝ cos 15°＝ cos （45°－30°）＝ cos
45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°＝ × ＋ × ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值问题
【例1】　求下列各式的值：
（1） cos 345°；
解： cos 345°＝ cos （360°－15°）＝ cos 15°＝ cos
（45°－30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°＝
.
（2） cos 45° cos 15°＋ sin 45° sin 15°；
解： cos 45° cos 15°＋ sin 45° sin 15°＝ cos （45°－
15°）＝ cos 30°＝ .
（3） sin 163° sin 223°＋ sin 253° sin 313°.
解： sin 163° sin 223°＋ sin 253° sin 313°
＝ sin （180°－17°） sin （180°＋43°）＋ sin （180°＋
73°）· sin （360°－47°）＝－ sin 17° sin 43°＋ sin 73°
sin 47°
＝－ sin 17° sin 43°＋ cos 17° cos 43°
＝ cos （17°＋43°）＝ cos 60°＝ .
通性通法
含非特殊角的三角函数式求值的解法
（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值；
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差（和）的余弦
公式的形式，然后逆用公式求值.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1） cos ；
解： cos ＝ cos
＝ cos cos － sin sin
＝ × － ×
＝ .
（2） sin 460° sin （－160°）＋ cos 560° cos （－280°）.
解： 原式＝－ sin 100° sin 160°＋ cos 200° cos 280°
＝－ sin 80° sin 20°－ cos 20° cos 80°
＝－（ cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°）
＝－ cos 60°＝－ .
题型二 给值（式）求值
【例2】　（1）已知α∈ ，β是第三象限角， sin α＝ ，
cos β＝－ .求 cos （α＋β）的值；
解： ∵α∈ ， sin α＝ ，
∴ cos α＝－ ＝－ ＝－ .
∵β是第三象限角， cos β＝－ ，
∴ sin β＝－ ＝－ ＝－ ，
∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝
× － × ＝ .
（2）α，β为锐角， cos （α＋β）＝ ， cos （2α＋β）＝ ，
求 cos α的值.
解： ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.
又∵ cos （α＋β）＝ ，∴0＜α＋β＜ ，
又∵ cos （2α＋β）＝ ，∴0＜2α＋β＜ ，
∴ sin （α＋β）＝ ， sin （2α＋β）＝ ，
∴ cos α＝ cos [（2α＋β）－（α＋β）]
＝ cos （2α＋β）· cos （α＋β）＋ sin （2α＋β）· sin
（α＋β）
＝ × ＋ × ＝ .
通性通法
给值求值的解题步骤
（1）找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函
数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异；
（2）拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的
变换有：
α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝（2α－β）
－（α－β），
α＝ [（α＋β）＋（α－β）]，α＝ [（β＋α）－（β
－α）]等；
（3）求解.结合公式Cα±β求解.
【跟踪训练】
1. 若tan αtan β＝3，且 sin α sin β＝ ，则 cos （α－β）的值为
（　　）
A. － B.
解析： 　因为tan αtan β＝ ＝3，且 sin α sin β＝ ，所
以 cos α cos β＝ ，则 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin
β＝ ＋ ＝ .
C. D. 1
2. 已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ，且α，β均为锐角，求 cos
β的值.
解：∵α，β均为锐角，
∴0＜α＋β＜π，∴ sin （α＋β）＞0.
由 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ，
得 sin α＝ ， sin （α＋β）＝ .
∴ cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin
（α＋β）· sin α＝ × ＋ × ＝ .
题型三 已知三角函数值求角
【例3】　已知α，β均为锐角，且 cos α＝ ， cos β＝ ，求
α－β的值.
解：∵α，β均为锐角， cos α＝ ， cos β＝ ，
∴ sin α＝ ， sin β＝ ，
∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋
× ＝ .
又 sin α＜ sin β，∴0＜α＜β＜ ，∴－ ＜α－β＜0.故α－β
＝－ .
【母题探究】
1. （变条件）本例中条件变为“ cos α＝ ， cos β＝－ ，2π＜α
＜3π，0＜β＜π”，问题不变.
解：因为 cos α＝ ，且2π＜α＜3π， sin 2α＋ cos 2α＝1，所以
sin α＝ ；
因为 cos β＝－ ，且0＜β＜π， sin 2β＋ cos 2β＝1，所以 sin
β＝ .
所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋
× ＝ ，
因为 cos α＝ ＞0，所以2π＜α＜ π，
因为 cos β＝－ ，所以 ＜β＜π，即－π＜－β＜－ ，
所以π＜α－β＜2π，所以α－β＝ π.
2. （变条件）本例中条件变为“a＝（ cos α， sin β），b＝（ cos
β， sin α），0＜β＜α＜ 且a·b＝ ”，问题不变.
解：a·b＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ cos （α－β）＝ ，又
0＜β＜α＜ ，所以0＜α－β＜ ，故α－β＝ .
通性通法
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内
单调的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
【跟踪训练】
　已知 sin α＋ sin β＝ ， cos α＋ cos β＝ ，0＜α＜β＜π，求
α－β的值.
解：因为（ sin α＋ sin β）2＝ ，（ cos α＋ cos β）2＝ ，
以上两式展开两边分别相加得2＋2 cos （α－β）＝1，
所以 cos （α－β）＝－ .
因为0＜α＜β＜π，所以－π＜α－β＜0，所以α－β＝－ .
1. 下列式子中，正确的个数为（　　）
① cos （α－β）＝ cos α－ cos β；② cos ＝ sin α；
③ cos （α－β）＝ cos α cos β－ sin α sin β.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解析： 　由 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β知①③
错误， cos ＝－ sin α，故②错误，故选A.
2. 计算 cos 8° cos 38°＋ sin 8° sin 38°＝（　　）
A. B.
C. D. －
解析： 　逆用两角差的余弦公式，得 cos 8° cos 38°＋ sin 8°
sin 38°＝ cos （8°－38°）＝ cos （－30°） ＝ cos 30°＝ .
3. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ，则 cos α cos β
的值为（　　）
A. 0 B.
C. 0或 D. 0或±
解析： 　由条件得， cos α cos β－ sin α sin β＝ ，　①
cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，　②
①＋②得 cos α cos β＝0.
4. 已知 cos ＝ cos α，则tan α＝ 　 　.
解析：∵ cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin
α＝ cos α，∴ sin α＝ cos α，∴ ＝tan α＝ .
　
解：因为α，β都是锐角且 cos α＝ ＜ ，
所以 ＜α＜ ，0＜β＜ ，所以 ＜α＋β＜π，
又 sin （α＋β）＝ ＜ ，所以 ＜α＋β＜π，
所以 cos （α＋β）＝－ ＝－ ，
sin α＝ ＝ ，所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]
5. 设α，β都是锐角，且 cos α＝ ， sin （α＋β）＝ ，求 cos
β的值.
＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α
＝－ × ＋ × ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. cos 80° cos 35°＋ sin 80° cos 55°＝（　　）
A. B. － C. D. －
解析： 　原式＝ cos 80° cos 35°＋ sin 80° sin 35°＝ cos
（80°－35°）＝ cos 45°＝ .
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2. （多选）下列各式化简正确的是（　　）
A. cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos 60°
B. cos 75°＝ cos 45° cos 30°－ sin 45° sin 30°
C. sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°） cos α＝ cos 45°
D. cos ＝ cos α－ sin α
解析： 　根据两角和与差的余弦公式可知选项A、B、C都正
确，选项D， cos ＝ cos α cos － sin α sin ＝ cos α－
sin α.
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3. 已知 cos ＝ ，0＜θ＜ ，则 cos θ＝（　　）
A. B.
解析： 因为θ∈ ，所以θ＋ ∈ ，所以 sin ＝ .又 cos θ＝ cos ＝ cos cos ＋ sin
sin ＝ × ＋ × ＝ .
C. D.
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4. 已知 cos ＝ ，则 cos x＋ cos ＝（　　）
A. －1 B. 1
C. D.
解析： 　∵ cos ＝ ，∴ cos x＋ cos （x－ ）＝ cos x＋
cos x＋ sin x＝ （ cos x＋ sin x）＝ cos ＝
× ＝1.
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5. 若 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝ ，则tan α·tan β＝
（　　）
A. 2 B.
C. －2 D. －
解析： 　由 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝ 可得
则 sin α sin β＝ ， cos α cos β＝
.故tan αtan β＝ ＝ ＝ .
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6. （多选）已知α，β，γ∈ ， sin α＋ sin γ＝ sin β， cos
β＋ cos γ＝ cos α，则下列说法正确的是（　　）
A. cos （β－α）＝ B. cos （β－α）＝－
C. β－α＝ D. β－α＝－
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解析： 　由已知，得 sin γ＝ sin β－ sin α， cos γ＝ cos α－
cos β.两式分别平方相加，得（ sin β－ sin α）2＋（ cos α－
cos β）2＝1，∴－2 cos （β－α）＝－1，∴ cos （β－α）＝
，∴A正确，B错误；∵α，β，γ∈ ，∴ sin γ＝ sin β
－ sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝ ，∴C正确，D错误.
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7. cos （－40°） cos 20°－ sin （－40°） sin （－20°）＝ .
解析：原式＝ cos （－40°）· cos （－20°）－ sin （－
40°）· sin （－20°）＝ cos [－40°＋（－20°）]＝ cos （－
60°）＝ cos 60°＝ .
　
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8. 已知α∈ ，且 cos ＝－ ，则 sin （α＋ ）
＝ 　 　， cos α＝ 　 　.
解析：∵α∈ ，∴α＋ ∈ ，∴ sin （α＋ ）＝
＝ ，∴ cos α＝ cos ［（α＋ ）－ ］＝ cos
cos ＋ sin sin ＝ × ＋ × ＝ .
　
　
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9. 已知 cos ＋ sin α＝ ，则 cos 的值是 　 　.
解析：∵ cos ＋ sin α＝ cos α＋ sin α＝ ，∴ cos
α＋ sin α＝ ，∴ cos ＝ cos α＋ sin α＝ .
　
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10. 已知函数f（x）＝ cos ，x∈R.
（1）求f 的值；
解： f ＝ cos ＝ cos ＝ × ＝1.
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（2）若 cos θ＝ ，θ∈ ，求f .
解： ∵ cos θ＝ ，θ∈ ，
∴ sin θ＜0，∴ sin θ＝－ ＝－ ＝－ .
∴f ＝ cos ＝ cos （θ－ ）＝
＝ （ cos θ× ＋ sin
θ× ）＝ cos θ＋ sin θ＝ － ＝－ .
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11. （多选）满足 cos α cos β＝ － sin α sin β的一组α，β的值
是（　　）
A. α＝ π，β＝ π B. α＝ ，β＝
C. α＝ ，β＝ D. α＝ ，β＝
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解析： 　由条件 cos α cos β＝ － sin α sin β得 cos α cos
β＋ sin α sin β＝ ，即 cos （α－β）＝ ， α＝ ，β＝
满足题意，α＝ ，β＝ 也满足题意，故选B、D.
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12. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ， ＜α＋β＜
2π， ＜α－β＜π，则 cos 2α＝ 　－ 　.
解析：因为 cos （α＋β）＝ ， ＜α＋β＜2π，所以 sin （α
＋β）＝－ ；因为 cos （α－β）＝－ ， ＜α－β＜π，所以
sin （α－β）＝ ，所以 cos 2α＝ cos [（α＋β）＋（α－
β）]＝ cos （α＋β） cos （α－β）－ sin （α＋β） sin （α
－β）＝－ .
－ 　
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13. 在平面直角坐标系中，已知角α，β的顶点都在坐标原点，始边
都与x轴的非负半轴重合，角α的终边上有一点A，坐标为（1，
－1）.
（1）求 cos 的值；
解： 角α终边上一点A（1，－1），根据三角函数定
义：r＝ ＝ ，
∴ sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ，
cos ＝ cos α cos － sin α sin ＝ ×
＝1.
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（2）若角β满足下列三个条件之一.
①锐角β满足tan β＝2；②锐角β的终边在直线y＝2x上；
③角β的终边与 π的终边相同.请从上述三个条件中任
选一个，你的选择是 　　，求 cos （α－β）的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解： 若选择①，∵tan β＝ ＝2，∴ sin β＝2
cos β，
又∵ sin 2β＋ cos 2β＝1，
即（2 cos β）2＋ cos 2β＝1，即5 cos 2β＝1， cos 2β
＝ ，
又∵β为锐角，∴ cos β＝ ，
sin β＝ ＝ ＝ ＝ ，
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∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝
× ＋ × ＝－ .
若选择②，∵锐角β的终边在直线y＝2x上；
即角β的终边在第一象限，不妨在直线上取一点B（1，
2），
根据三角函数的定义得r＝ ＝ ，
sin β＝ ＝ ， cos β＝ ＝ ，
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∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝
× ＋ × ＝－ .
若选择③，∵角β的终边与 π的终边相同，
又∵ π＝ π＝336×2π＋ π，
即 π与 终边相同，∴β与 终边相同，
∴ sin β＝ sin ＝－ sin ＝－ ，
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cos β＝ cos ＝－ cos ＝－ ，
∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝
× ＋ × ＝ .
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14. 设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝（2 cos A，2 sin
A），b＝（3 cos B，3 sin B）.若a，b的夹角的弧度数为 ，则
A－B＝（　　）
A. B. －
C. ± D.
解析： 　 cos ＝ ＝ ＝ cos A cos B
＋ sin A sin B＝ cos （A－B）.又－ ＜A－B＜ ，∴A－B＝
± .
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15. 如图，设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两
点，O为坐标原点，∠AOP＝ ，∠AOQ＝α，α∈ .
（1）若Q ，求 cos 的值；
解： 因为Q ，∠AOQ＝α，
所以 sin α＝ ， cos α＝ ，
则 cos ＝ cos α· ＋ sin α· ＝ .
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（2）设函数f（α）＝ · ，求f（α）的值域.
解： 由题意得Q（ cos α， sin α），∠AOP＝ ，
则P ，所以 · ＝ cos α＋ sin α，
即函数f（α）＝ cos α＋ sin α＝ cos .
由α∈ ，得α－ ∈ ，
所以f（α）∈ .
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