【培优方案】8.2.4　三角恒等变换的应用（课件）人教B版数学必修第三册

(共65张PPT)
8.2.4　
三角恒等变换的应用
新课程标准解读 核心素养
1.了解半角公式及其推导过程，并能推导出积化和差与
和差化积公式 逻辑推理
2.灵活运用和、差、倍角公式、积化和差与和差化积公
式进行相关计算及化简、证明 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半
角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占
一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，
汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字
符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符.
【问题】　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数
量关系？
知识点一　半角公式
： sin ＝ 　± 　；
： cos ＝ 　± 　；
：tan ＝ 　± 　＝ 　 　＝ 　 　.
± 　
± 　
± 　
　
　
【想一想】
　如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？
提示：（1）如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两
个符号；
（2）若给出角α的具体范围（即某一区间）时，则先求角 所在范
围，然后再根据角 所在象限确定符号.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） cos ＝ . （　×　）
（2）存在α∈R，使得 cos ＝ cos α. （　√　）
（3）对于任意α∈R， sin ＝ sin α都不成立. （　×　）
（4）若α是第一象限角，则tan ＝ . （　√　）
×
√
×
√
2. 若 cos α＝ ，α∈（0，π），则 cos ＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析： 　由题意知 ∈ ，所以 cos ＞0， cos ＝
＝ .
3. 已知 sin θ＝－ ，3π＜θ＜ π，则tan 的值为（　　）
A. 3 B. －3
C. D. －
解析： 　∵3π＜θ＜ ， sin θ＝－ ，∴ cos θ＝－ ，tan ＝
＝－3.
知识点二　积化和差、和差化积公式
1. 积化和差公式
cos α cos β＝ ；
sin α sin β＝ ；
sin α cos β＝ ；
cos α sin β＝ .
[ cos （α＋β）＋ cos （α－β）]　
－ [ cos （α＋β）－ cos （α－β）]　
[ sin （α＋β）＋ sin （α－β）]　
[ sin （α＋β）－ sin （α－β）]　
2. 和差化积公式
cos x＋ cos y＝ ；
cos x－ cos y＝ ；
sin x＋ sin y＝ ；
sin x－ sin y＝ .
2 cos cos 　
－2 sin · sin 　
2 sin cos 　
2 cos · sin 　
【想一想】
　和差化积公式的适用条件是什么？
提示：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式
化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导
公式化成同名函数后再运用公式.
1. 计算 sin 105° cos 75°＝（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 　 sin 105° cos 75°＝ （ sin 180°＋ sin 30°）＝ .
2. sin cos 化成和差的形式为（　　）
A. sin （α＋β）＋ cos （α－β）
B. cos （α＋β）＋ sin （α－β）
C. sin （α＋β）＋ sin （α－β）
D. cos （α＋β）＋ cos （α－β）
解析： 　 sin cos ＝ ［ sin （ ＋α＋ ＋β）＋
sin （ ＋α－ －β）］＝ ［ sin （ ＋α＋β）＋ sin （α－
β）］＝ cos （α＋β）＋ sin （α－β）.故选B.
3. cos 2α－ cos 3α化为积的形式为 .
解析： cos 2α－ cos 3α＝－2 sin sin ＝－2 sin sin
＝2 sin sin .
2 sin sin 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 应用半角公式求值
【例1】　已知 sin α＝－ ，π＜α＜ ，求 sin ， cos ，tan
的值.
解：∵π＜α＜ ， sin α＝－ ，
∴ cos α＝－ ，且 ＜ ＜ ，
∴ sin ＝ ＝ ，
cos ＝ － ＝－ ，
tan ＝ ＝－2.
【母题探究】
　（变条件）本例条件变为“已知 cos α＝ ，α为第四象限角”，
问题不变.
解：∵α为第四象限角，∴ 为第二、四象限角.
当 为第二象限角时， sin ＝ ＝ ， cos ＝－ ＝－
，tan ＝－ ＝－ ；
当 为第四象限角时，
sin ＝－ ＝－ ，
cos ＝ ＝ ，
tan ＝－ ＝－ .
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两
倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必
依据角的范围，求出相应半角的范围.
注意　已知 cos α的值可求 的正弦、余弦、正切值，要注意确
定其符号.
【跟踪训练】
1. 求值 sin ＝ 　 　.
解析： sin ＝ ＝ ＝ .
　
2. 已知 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，求tan 的值.
解：因为 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，依半角公式得
sin θ＝ ＝ ＝ ，
cos θ＝－ ＝－ ＝－ ，
所以tan ＝ ＝ ＝ .
题型二 积化和差、和差化积问题
【例2】　（1）已知α满足 cos 2α＝ ，则 cos · cos
＝（　A　）
A. B.
C. － D. －
A
解析： 法一　∵ cos 2α＝ ，∴ cos cos （ －
α）＝ cos cos ［ － ］＝ cos · sin
＝ sin ＝ cos 2α＝ .
法二　 cos cos ＝ ［ cos （ ＋α＋ －α）＋ cos
］＝ cos 2α＝ .
（2） sin α＋ sin β＝ ， cos α＋ cos β＝ ，则tan（α＋β）的值
为 .
　
解析：由 sin α＋ sin β＝ ，得2 sin cos ＝ ，
①
由 cos α＋ cos β＝ ，得2 cos cos ＝ ，
②
由①②两式相除得tan ＝ ，
则tan（α＋β）＝ ＝ ＝ .
通性通法
积化和差、和差化积公式应用时的注意事项
（1）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相
消，从而化为特殊角的三角函数；
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或
消项.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1） cos ＋ cos －2 sin cos ；
解： cos ＋ cos －2 sin cos ＝2 cos · cos
－ cos ＝2 cos cos － cos ＝ cos － cos ＝0.
（2） sin 138°－ cos 12°＋ sin 54°.
解： sin 138°－ cos 12°＋ sin 54°＝ sin 42°－ cos
12°＋ sin 54°＝ sin 42°－ sin 78°＋ sin 54°＝－2 cos 60°
sin 18°＋ sin 54°＝ sin 54°－ sin 18°＝2 cos 36° sin 18°＝
＝ ＝ ＝
＝ ＝ .
题型三 积化和差、和差化积公式的应用
【例3】　已知函数f（x）＝ sin cos .
（1）求f（x）的值域；
解： 由积化和差公式可知
f（x）＝ ［ sin ＋ sin （x－ －x－ ）］
＝
＝ sin － ，
∵ sin ∈[－1，1]，∴f（x）的值域为[－1，0].
（2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点.
解： 令f（x）＝0，∴ sin ＝1，
∴2x－ ＝ ＋2kπ，k∈Z，
∴x＝ ＋kπ，k∈Z，
∵x∈[0，2π]，∴x＝ 或x＝ ，
∴f（x）的零点为 ， .
通性通法
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
【跟踪训练】
1. 函数y＝ cos cos 的最大值是 　 　.
解析：由题意知，y＝ ［ cos （2x＋π）＋ cos （－ ）］＝
＝ － cos 2x.因为－1≤ cos 2x≤1，所以ymax
＝ .
　
2. 已知在△ABC中， cos A＋ cos B＝ sin C，求证：△ABC是直角三
角形.
证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴ sin C＝ sin （A＋B）＝ cos A＋ cos B，
由和差化积公式，得
cos A＋ cos B＝2 cos cos ，
∴2 sin cos ＝2 cos cos .
显然 cos ≠0，∴ sin ＝ cos .
两边平方，得 sin 2 ＝ cos 2 ，
∴ ＝ ，
∴ cos （A＋B）＋ cos （A－B）＝0，
∴2 cos A cos B＝0，∴ cos A＝0或 cos B＝0.
∵A，B为△ABC的内角，∴A，B中必有一个是直角.
∴△ABC是直角三角形.
1. 已知 cos α＝ ，α∈ ，则 sin ＝（　　）
A. B. －
C. D.
解析：∵α∈ ，∴ ∈ ， sin ＝ ＝ .
2. 已知 sin 2α＝ ，则 cos 2 ＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： 　 cos 2 ＝ ＝ ＝ .
3. sin 75°－ sin 15°的值为（　　）
A. B.
C. D. －
解析： 　 sin 75°－ sin 15°＝2 cos · sin ＝
2× × ＝ .故选B.
4. 若 cos 2α－ cos 2β＝m，则 sin （α＋β） sin （α－β）＝
.
解析： sin （α＋β） sin （α－β）＝－ （ cos 2α－ cos 2β）
＝－ [（2 cos 2α－1）－（2 cos 2β－1）]＝ cos 2β－ cos 2α＝
－m.
－
m　
5. 证明：tan －tan ＝ .
证明：法一　tan －tan ＝ －
＝ ＝
＝ ＝ .
法二　 ＝
＝ ＝
＝ － ＝tan －tan .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设5π＜θ＜6π， cos ＝a，则 sin ＝（　　）
A. － B. －
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C. － D. －
解析： 由于5π＜θ＜6π，所以 ＜ ＜ .所以 sin ＝－
＝－ .
2. cos 37.5°· cos 22.5°的值是（　　）
A. ＋ B.
C. D.
解析： 　原式＝ （ cos 60°＋ cos 15°）＝ （ ＋ ）.
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3. （多选）下列命题是真命题的有（　　）
A. x∈R， sin 2 ＋ cos 2 ＝
B. x，y∈R， sin （x－y）＝ sin x－ sin y
C. x∈[0，π]， ＝ sin x
D. sin x＝ cos y x＋y＝
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解析： 因为 sin 2 ＋ cos 2 ＝1≠ ，所以A为假命题；当x＝
y＝0时， sin （x－y）＝ sin x－ sin y，所以B为真命题；因为
＝ ＝｜ sin x｜＝ sin x，x∈[0，π]，所以C
为真命题；当x＝ ，y＝2π时， sin x＝ cos y，但x＋y≠ ，所以
D为假命题.故选B、C.
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4. 若 cos （α＋β） cos （α－β）＝ ，则 cos 2α－ sin 2β＝
（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： 　因为 cos （α＋β） cos （α－β）＝ （ cos 2α＋ cos
2β）＝ [（2 cos 2α－1）＋（1－2 sin 2β）]＝ cos 2α－ sin
2β，所以 cos 2α－ sin 2β＝ .
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5. 在△ABC中， sin C＝ ，则此三角形的形状是（　　）
A. 等边三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　∵C＝π－（A＋B），∴ sin C＝ sin （A＋B）＝
，∴2 sin cos ＝ ，∴2 cos 2
＝1，即 cos （A＋B）＝0，∴A＋B＝ ，∴C＝ .故此三角形
为直角三角形.
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6. 若x＋y＝1，则 sin x＋ sin y与1的大小关系是（　　）
A. sin x＋ sin y＞1 B. sin x＋ sin y＝1
C. sin x＋ sin y＜1 D. 不确定
解析： 　∵ sin x＋ sin y＝2 sin · cos ＝2 sin · cos
，又0＜ ＜ ＜ ，∴ sin ＜ sin .∴2 sin ＜2 sin ＝1.∴ sin
x＋ sin y＝2 sin · cos ＜ cos ≤1.∴ sin x＋ sin y＜1.
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7. 已知 cos α＋ cos β＝ .则 cos cos 的值为 　 　.
解析：∵ cos α＋ cos β＝ ，∴ cos cos ＝
＝ （ cos α＋ cos β）＝ × ＝ .
　
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8. 求值： cos 47°－ cos 61°－ cos 11°＋ cos 25°－ sin 7°
＝ .
解析：原式＝（ cos 47°－ cos 61°）－（ cos 11°－ cos 25°）
－ sin 7°＝2 sin 54° sin 7°－2 sin 18° sin 7°－ sin 7°＝2 sin
7°·（ sin 54°－ sin 18°）－ sin 7°＝2 sin 7°·2 cos 36° sin
18°－ sin 7°＝ sin 7°· － sin 7°＝ sin
7°· － sin 7°＝ sin 7°－ sin 7°＝0.
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9. 设a，b是非零实数，且满足 ＝tan ，则
＝ .
解析：∵tan ＝ ＝tan ，tan θ＝ ，∴ ＋θ＝
kπ＋ ，k∈Z，解得θ＝kπ＋ .∴tan θ＝tan ＝
.∴ ＝ .
　
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10. 已知函数f（x）＝－ ＋ ，x∈（0，π）.
（1）将f（x）表示成 cos x的多项式；
解： f（x）＝ ＝
＝2 cos cos ＝ cos 2x＋ cos x
＝2 cos 2x＋ cos x－1.
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（2）求f（x）的最小值.
解： ∵f（x）＝2 － 且－1＜ cos x＜1，
∴当 cos x＝－ 时，f（x）取最小值－ .
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11. 在△ABC中，若B＝45°，则 cos A sin C的取值范围是（　　）
A. [－1，1] B.
C. D.
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解析： 　在△ABC中，B＝45°，所以 cos A sin C＝ [ sin （A
＋C）－ sin （A－C）]＝ [ sin B－ sin （A－C）]＝ － sin
（A－C），因为B＝45°，所以－135°＜A－C＜135°，所以
－1≤ sin （A－C）≤1，所以 ≤ cos A sin C≤ ，故选B.
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12. 已知A＋B＝ ，那么 cos 2A＋ cos 2B的最大值是 　 　，最小值
是 .
解析：∵A＋B＝ ，∴ cos 2A＋ cos 2B＝ （1＋ cos 2A＋1＋
cos 2B）＝1＋ （ cos 2A＋ cos 2B）＝1＋ cos （A＋B）· cos
（A－B）＝1＋ cos cos （A－B）＝1－ cos （A－B），
∴当 cos （A－B）＝－1时，原式取得最大值 ；当 cos （A－
B）＝1时，原式取得最小值 .
　
　
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13. 已知函数f（x）＝2 sin x cos x－2 cos · cos .
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（1）函数f（x）的最小正周期T＝ ＝π，
由2x－ ＝kπ＋ ，k∈Z，得对称轴方程为x＝ ＋ ，
k∈Z.
解：f（x）＝ sin 2x＋2 sin cos ＝ sin
2x＋ sin ＝ sin 2x－ cos 2x＝2 sin .
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（2）求函数f（x）在区间 上的值域.
解：因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x－ ≤ ，
所以当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）max＝2，
当2x－ ＝－ ，即x＝－ 时，f（x）min＝2× ＝
－ ，
所以f（x）的值域是[－ ，2].
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14. （多选）下列各式与tan α相等的是（　　）
A.
B.
C. · （α∈（0，π））
D.
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解析： 　A项， ＝ ＝ ＝｜tan α｜，
不符合；B项， ＝ ＝tan ，不符合；C项，因为
α∈（0，π），所以原式＝ · ＝ ＝tan α，符
合；D项， ＝ ＝tan α，符合；故选C、D.
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15. 在△ABC中，求证：
（1）tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC，其中n∈Z；
证明： ∵A＋B＝π－C，
∴tan（nA＋nB）＝tan（nπ－nC）＝－tan nC，
∴ ＝－tan nC，
∴tan nA＋tan nB＝－tan nC＋tan nAtan nBtan nC，
∴tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC.
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（2）tan tan ＋tan tan ＋tan tan 为定值.
证明： 原式＝tan ＋tan tan
＝tan tan ＋tan ·tan .
∵ ＋ ＝ ，
∴ sin ＝ cos ， cos ＝ sin ，
∴tan tan ＝ · ＝ · ＝1，
∴原式＝1－tan tan ＋tan tan ＝1（定值）.
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