【培优方案】7.1.2　弧度制及其与角度制的换算（课件）人教B版数学必修第三册

(共62张PPT)
7.1.2　
弧度制及其与角度制的换算
新课程标准解读 核心素养
1.了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之
间的互化 数学抽象
2.理解弧度制下扇形的弧长与面积公式 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一
单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧
拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的
一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把
圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等
于周角的 .这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角
公式及计算.
【问题】　按照上述定义30°是多少弧度？
知识点一　弧度制
1. 度量角的两种制度
角度制 定义 用度作单位来度量角的制度
1度的角 1度的角等于周角的 ，记作1°
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的制度
1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角为1弧度的角.记作1 rad（rad可省略不写）
　
半径长　
在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为 α rad，则α
＝ （l＝αr）.
2. 弧度制与角度制的换算
（1）弧度制与角度制的互化（换算）
180°＝ rad；
设一个角的角度数为n，弧度数为α，则 ＝ .
（2）特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π π π π π 2π
π　
提醒　角度制和弧度制的比较：①弧度制与角度制是以不同
单位来度量角的单位制；②1弧度的角与1度的角所指含义不
同，大小更不同；③无论是以“弧度”还是以“度”为单位
来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值；④
用“度”作为单位度量角时，“度”（或“°”）不能省
略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或
“rad”通常省略不写.
【想一想】
1. 在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？为什么？
提示：不相等.这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同
的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同.
2. 某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α｜α＝2kπ
＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？
提示：这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否
则会产生混乱，正确的表示方法应为 或
{α｜α＝k·360°＋30°，k∈Z}.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.
（　√　）
（2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关. （　×　）
（3）1弧度的角等于1度的角. （　×　）
（4）直角的弧度数为 . （　√　）
√
×
×
√
2.360°化为弧度数是（　　）
A. B. π
C. D. 2π
知识点二　扇形的弧长及面积公式
　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，n为圆心角
的角度数，则扇形的弧长：l＝ ＝ ；扇形的面积：S＝ 　
＝ .
αr　
lr　
αr2　
提醒　扇形面积公式的再理解：①在应用公式l＝αr和S＝ lr＝
αr2时，要注意α的单位是弧度；②弧度制下的扇形面积公式S＝
lr，与三角形面积公式S＝ ah（h是三角形底边a上的高）有类似的
形式.
【想一想】
　圆心角所对的弧长与半径的比值，与半径的大小有关吗？
提示：只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯
一确定.
1. 已知扇形的周长为6 cm，半径是2 cm，则扇形的圆心角的弧度数是
（　　）
A. 4 B. 1
C. 1或4 D. 2
解析： 　设扇形的圆心角为α rad，半径为R cm，则
解得α＝1.
2. 圆心角为 弧度，半径为6的扇形的面积为 　6π 　.
解析：扇形的面积为 ×62× ＝6π.
6π
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　题型一 弧度制的概念
【例1】　下列说法中正确的是（　　）
A. 1弧度是1度的圆心角所对的弧
B. 1弧度是长度为半径长的弧
C. 1弧度是1度的弧与1度的角之和
D. 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种
度量单位
解析： 　利用弧度的定义及角度的定义判断.
选项 结论 理由
A 错误 长度等于半径长的弧所对的圆心
角叫做1弧度的角，弧度是角的
一种度量单位，而不是长度的度
量单位
B 错误 C 错误 D 正确 通性通法
弧度制与角度制的区别与联系
区别 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以
“度”为度量单位；
②定义不同
联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与
圆的半径大小无关的定值
【跟踪训练】
　时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为（　　）
A. π B. － π
C. π D. － π
解析： 　显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了
周，转过的弧度数为 ×2π＝－ π.
题型二 角度与弧度的换算
【例2】　（1）将α1＝510°，α2＝－750°用弧度表示出来，并指
出它们各自终边所在的象限；
解： ∵1°＝ rad，
∴α1＝510°＝510× ＝ ＝2π＋ ；
α2＝－750°＝－750× ＝－ ＝－4π－ .
∴角α1的终边在第二象限，角α2的终边在第四象限.
（2）将β1＝ ，β2＝－ 用角度表示出来，并在（－360°，
360°）内找出与它们各自终边相同的所有的角.
解： β1＝ ＝ ＝144°.
设θ1＝k·360°＋144°（k∈Z），
∵－360°＜θ1＜360°，∴－360°＜k·360°＋144°＜
360°，
∴k＝－1或k＝0.
∴在（－360°，360°）内与角β1终边相同的角是－216°.
β2＝－ ＝ ＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°（k∈Z），
∵－360°＜θ2＜360°，∴－360°＜k·360°－330°＜
360°，
∴k＝0或k＝1.
∴在（－360°，360°）内与角β2终边相同的角是30°.
通性通法
角度制与弧度制转换中的注意点
（1）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键.
由它可以得：度数× ＝弧度数，弧度数× °＝度数；
（2）特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记；
（3）在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统
一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法；
（4）判断角α终边所在的象限时，若α [－2π，2π]，应首先把α表
示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边
所在的象限来确定角α终边所在的象限.
【跟踪训练】
1. 把下列弧度化为角度.
（1） ＝ ；
解析： ＝ ＝690°.
（2）－ ＝ .
解析： － ＝－ ＝－390°.
690°　
－390°　
2. 将α＝－800°改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并
指出α是第几象限角.
解：∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝ π，
∴α＝－800°＝ ＋（－3）×2π.
∵α与角 终边相同，∴α是第四象限角.
题型三 扇形的弧长公式及面积公式
【例3】　已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 .求：
（1）这个圆心角所对的弧长；
解： 因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 ，所
以半径r＝ ＝ ，
所以这个圆心角所对的弧长l＝ × ＝ .
（2）这个扇形的面积.
解： 由（1）得扇形的面积S＝ × × ＝ .
【母题探究】
1. （变条件）本例条件变为“圆的半径为10，圆心角为60°”，完成
本例问题（1）.
解：设圆心角为α，则α＝60°＝ rad.又r＝10，∴l＝αr＝
.
2. （变条件）本例条件变为“扇形的圆心角是 ，弧长为π”，完成
本例问题（2）.
解：设扇形的圆心角的度数为n，由l＝αr，∴r＝3，∴S＝ lr
＝ .
通性通法
关于弧度制下扇形问题的解决方法
（1）三个公式：｜α｜＝ ，S＝ lr＝ αr2，要恰当选择公式，建
立未知量、已知量间的关系，通过解方程（组）求值；
（2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长
（面积），利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值
求解.
【跟踪训练】
1. 一个扇形的面积为15π，弧长为5π，则这个扇形的圆心角为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　设扇形的圆心角为θ，半径为r，则解得
故扇形的圆心角为 .
2. 已知扇形的周长是4，则扇形面积的最大值为 ，此时扇形的圆
心角α＝ .
解析：设扇形的半径为r，则弧长l＝4－2r，∴扇形面积S＝ lr＝
（2－r）r＝－（r－1）2＋1，当r＝1时，S最大，最大值为1.此
时l＝2，扇形的圆心角α＝ ＝2.
1　
2　
　扇形的弧长公式的应用
如图，点P，Q从点A（4，0）同时出发，沿圆周运动，点P按
逆时针方向每秒钟转 ，点Q按顺时针方向每秒钟转 .
【问题探究】
1. 点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t· ＋t·
＝2π，解得t＝4，∴第一次相遇时用了4 s.
2. 点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？
提示：第一次相遇时，点P运动到角 的终边与圆相交的位置，
点Q运动到角－ 的终边与圆相交的位置，
∴点P走过的弧长为 ·4＝ ，点Q走过的弧长为 ×4＝
.
【迁移应用】
　若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
解：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t· －t· ＝2π，解得t
＝12 s.所以第一次相遇时用了12 s.
1. （多选）下列各式正确的是（　　）
A. －210°＝－ B. 405°＝
C. 335°＝ D. 705°＝
解析： 　对于A，－210°＝－210× ＝－ ，正确；对于
B，405°＝405× ＝ ，正确；对于C，335°＝335× ＝
，错误；对于D，705°＝705× ＝ ，正确.
2. 在半径为8 cm的圆中， π的圆心角所对的弧长为（　　）
A. π cm B. π cm
C. π cm D. π cm
解析： 　根据弧长公式，得l＝ π×8＝ π（cm）.
3. 如果α＝－2，则α的终边所在的象限为（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　因为－π＜－2＜－ ，所以α的终边在第三象限.
4. 将－1 485°化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式为
.
解析：由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示
为－10π＋ π.
－10π
＋ π　
5. 一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数.
解：设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则2r＋l＝4.　①
由扇形的面积公式S＝ lr，得 lr＝1.　②
由①②得r＝1，l＝2，所以α＝ ＝2 rad.
所以扇形的圆心角为2 rad.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列角与－ 的终边相同的是（　　）
A. － B.
C. D. －
解析： 　法一　由于－ ＝－4π＋ ，所以－ 与 的终边相
同，与 的终边相同的角的集合为 ，令k＝
1，α＝ ，故选C.
法二　因为－ － ＝－ ，－ － ＝－ ，－ －
＝－6π，－ － ＝－ ，只要两个角的差为周角的整数倍，
那么其终边相同，故选C.
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2. 已知点P在圆O上先按顺时针方向旋转 弧度，再按逆时针方向旋
转 弧度，则OP转过的角等于（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： 　∵按顺时针方向旋转转过的角为负角，按逆时针方向旋
转转过的角为正角，∴OP转过的角为－ ＋ ＝－ .故选B.
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3. （多选）下列转化结果正确的是（　　）
A. 67°30'化成弧度是
B. － 化成角度是－600°
C. －150°化成弧度是－
D. 化成角度是15°
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解析： 　对于A，67°30'＝67.5× ＝ ，故A正确；对于
B，因为－ × ＝－600°，所以－ ＝－600°，故B正
确；对于C，－150°＝－150× ＝－ ，故C错误；对于D，因
为 × ＝15°，所以 ＝15°，故D正确.故选A、B、D.
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4. 把－ π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是
（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： 　∵－ ＝－2π－ ，∴－ 与－ 是终边相同的
角，且此时 ＝ 是最小的.
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5. 圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角
的弧度数为（　　）
A. B.
C. D. 2
解析： 　如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三
角形的边长为 R，所以圆弧长度为 R的圆心角
的弧度数α＝ ＝ .
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6. 《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》章给出
计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ （弦×矢＋矢2）.
弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的
弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为
，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
（　　）
A. 6 m2 B. 9 m2
C. 12 m2 D. 15 m2
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解析： 　根据题设，弦＝2×4 sin ＝4 m，矢＝4－4 cos ＝2
m，故弧田面积＝ ×（弦×矢＋矢2）＝ ×（4 ×2＋22）＝
4 ＋2≈9 m2.
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7. －105°化为弧度为 　－ π　， π化为角度为 .
解析：－105°＝－105× ＝－ π， π＝ π× ＝
600°.
－ π　
600°　
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8. 弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为 ，面积为 .
解析：因为135°＝ ＝ ，所以扇形的半径为 ＝4，面积为
×3π×4＝6π.
4　
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9. 若角α的终边与角 π的终边相同，则在[0，2π]上，终边与角 的
终边相同的角是 .
解析：由题意，得α＝ ＋2kπ，∴ ＝ ＋ （k∈Z）.令k＝
0，1，2，3，得 ＝ ， ， ， .
， ， ， 　
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10. 已知角α＝1 200°.
（1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出
α是第几象限的角；
解： 因为α＝1 200°＝1 200× ＝ ＝3×2π＋
，又 ＜ ＜π，所以角α与 的终边相同，所以角α是
第二象限的角.
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（2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.
解： 因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2kπ
＋ ，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋ ≤π，得－ ≤k≤ .
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－ ，－
， .
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11. 数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以
对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别
以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三
角形.若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（　　）
A. 2π－ B. π－
C. 2π－2 D. 2π＋
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解析： 　由已知得AB＝BC＝AC＝2，则 ＝ ＝ ＝ ，
故扇形的面积为 ，由已知可得，莱洛三角形的面积是扇形面积
的3倍减去三角形面积的2倍，所以所求面积为3× －2× ×22
＝2π－2 .故选C.
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12. （多选）某扇形的周长为6，面积为2，则其圆心角的弧度数可能
是（　　）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
解析： 　设此扇形的半径为r，圆心角的弧度数是α（0＜α＜
2π），则有解得α＝1或α＝4，故选A、C.
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13. 某时针的秒针端点A到中心O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O
旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合.设秒针端点
A转过的路程为d cm，所形成的扇形面积为S cm2，分别求d与S关
于时间t（s）的函数，其中t∈[0，60].
解：∵秒针的旋转方向为顺时针，
∴t s后秒针端点A转过的角α＝－ rad，∴秒针端点A转过的路
程为d＝｜α｜·r＝ （cm），
∴形成的扇形面积为S＝ ｜α｜·r2＝ （cm2），∴d＝
（t∈[0，60]），S＝ （t∈[0，60]）.
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